第二章 过程特性及其数学模型
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2过程特性
容量滞后是多容量过程的固有特性，是由于物料或能 量的传递需要通过一定的阻力而引起的。
1 F1
c(t)
h1 2 f(t) F2
c(0) 1
3 2 T 纯滞后
t
h2
容量滞后
（1）纯滞后对控制通道的影响
希望τo小。纯滞后τ对系统控制过程的影响， 是以其与时间常数的比值τ/T来衡量的。
/ T 0.3的过程较易控制；
但是许多过程较复杂、扰动因素较多，会影响测 试精度；在相同的测试条件下重复做多次实验求 平均值。 另外，由于工艺条件的限制，阶跃扰动幅度不能 太大，所以在实施扰动法时应该在系统相对稳定 的情况下进行。
•矩形脉冲扰动法pp20 •周期扰动法 •统计相关法
课后作业
• pp20
– #2-3 – #2-6 – #2-7 • 提交时间：作业布置后一周周二下午五点之前
?阶跃扰动法反应曲线法当过程处于稳定状态时在过程的输入端施加一个幅度已知的阶跃扰动测量和记录过程输出变量的数值画出输出变量随时间变化的响应曲线根据响应曲线求得过程特性参数
第二章 过程特性
湘潭大学化工学院
本章主要内容：
2.1 过程特性的类型 2.2 过程的数学描述 2.3 过程特性的一般分析 2.4 过程特性的实验测定方法
其中：To , Tf , Ko , K f 分别为控制通道、扰动通 道的时间常数和放大系数； 分别为被控变量增量、 操纵变量增量和扰动变量增量。
c(t ), q(t ), f (t )
传递函数pp15
2.3 过程特性的一般分析
描述有自衡非振荡过程的特性参数有放大 系数K、时间常数T和时滞τ。 放大系数K (1) 控制通道的放大系数Ko (2) 扰动通道的放大系数Kf
过程控制 第二章(过程建模与过程特性)
因此，qi H qo，直至qi=qo可见该系统受到干扰以后，即使不加控制，最 终自身是会回到新的平衡状态，这种特性称为“自衡特性”。 右图：如果水箱出口由泵打出，其不同之处在于：qi当发生变化时，qo不发生变化。如 果qi＞qo ，水位H将不断上升，直至溢出，可见该系统是无自衡能力。 绝大多数对象都有自衡能力，一般而言有自衡能力的系统比无自衡能力的系统容易控制。
例1.液体储罐的动态模型 1.液体储罐（一阶对象） 干扰作用 Q1 h
液体储罐的 动态模型？ ？
控制作用
水槽
Q2
列写微分方程式的依据可表示为： 对象物料蓄存量变化率＝单位时间内（流入对象物料—流出对象物料）
假定t＜0时，Q1=Q10，Q2= Q20, 且Q10= Q20， h =h0, 当t≥0时，Q1= Q10+ΔQ1，Q2= Q20+ΔQ2，h = h0+Δh, 则在很短一段时间d t内，由物料平衡关系可得：
u(t ) u1 (t ) u1 (t t )
其中
u 2 (t ) u1 (t t )
假定对象无明显非线性，则矩形脉冲 响应就是两个阶跃响应之和，即
y(t ) y1 (t ) y1 (t t )
Rs
Rs
将此关系式代入上式，便有：
(Q1 h )d t Adh Rs
AR S dh h RS Q1 dt
移项整理后可得：
令
T ARS
K RS
代入上式得：
THale Waihona Puke dh h KQ1 dt
上式是用来描述简单的水槽对象特性的一阶常系数微分方 程式。式中T称时间常数，K称放大系数。
传递函数：
H 2 ( s) K K Qi ( s) T1T2 s 2 (T1 T2 )s 1 (T1s 1)(T2 s 1)
第二章 过程特性及其数学模型-赵金才
为了进一步理解放大系数K与时间常数T的物理意义， 下面结合图2—2所示的水槽例子，来进一步加以说明。
由前面的推导可知,简单水槽的对象特性如下式所示。
假定Q1为阶跃作用，t＜0时Q1＝0；t≥0时Q1＝A，如图 2—16(a)所示。为了求得在Q1 作用下h的变化规律，可以对 上述微分方程式求解，得： −，当流人流量Q1有 一定的阶跃变化后，液位h也会有相应的变化，但最后会 稳定在某一数值上。为什么？ 如果我们将流量Q1的变化看作对象的输入、而液位h的 变化看作对象的输出，那么在稳定状态时，对象一定的输 入就对应着—定的输出，这种特性称为对象的静态特性。
其数学模型为：
(2) 一阶 电路 一阶RC电路
图2—3为RC电路，若取ei为输人参数，eo输出参数。
根据基尔霍夫定律可得：
ei = iR + e0
显然，i为中间变量，应消去，因为
de0 i=C dt
Q idt C= = U de0
联立两式，得
de0 RC + e0 = ei dt
或
de0 T + e0 = ei dt
h(∞) K= h(∞) = KA 或 A 这就是说，K是对象受到阶跃输入作用后，被控变量新 的稳定值与所加的输入量之比，故是对象的放大系数。它表 示对象受到输入作用后，重新达到平衡状态时的性能，是不 随时间而变的，所以是对象的静态性能。
1．阶跃反应曲线法 阶跃反应曲线法 所谓测取对象的阶跃反应曲线，就是用实验的方法测取对 象在阶跃输入作用下，输出量y随时间的变化规律。 例如要测取图2—7所示简单水槽的动态特性，这时，表征 水槽工作状况的物理量是液位h，我们要测取输入流量Q1 改变时，输出h的反应曲线。
优点：方法比较简单，不需要专用设备和仪器。 缺点：主要是对象在阶跃信号作用下，从不稳定到稳定 一般所需时间较长，在这样长的时间内，对象不可避免要 受到许多其他干扰因案的影响，因而测试精度受到限制。 为了提高精度，就必须加大所施加的输入作用幅值，可 是这样做就意味着对正常生产的影响增加，工艺上往往是 不允许的。 一般所加输入作用的大小是取额定值的5％~10％。因此， 阶跃反应曲线法是一种简易但精度较差的对象动态特性测试 方法。
第二章过程特性及其数学模型
33
第三节 描述对象特性得参数
在输入作用加入得瞬间,液位h得变化速度就是多大呢？
ht KA 1 et T
(2-33)
将式(2-33)对 t 求导,得
dh KA et T dt T
(2-37)
当 t =0
dh KA h
dt t0 T
T
(2-38)
当 t →∞时,式(2-37)可得
dh 0 dt t
an ynt an1 yn1t a1 yt a0 yt
(2-1)
bm xmt bm1xm1t b1xt b0 xt
在允许得范围内,多数化工对象动态特性可以忽略输入量 得导数项,因此可表示为
an ynt an1 yn1 t a1 yt a0 yt xt
简单水槽得动态特性
优点 缺点
简单 稳定时间长 测试精度受限
图2-7 简单水槽对象
图2-8 水槽的阶跃反应曲线
21
第二节 对象数学模型得建立
2、 矩形脉冲法
当对象处于稳定工况下,在时间t0突然加一阶跃干扰,幅 值为A,到t1时突然除去阶跃干扰,这时测得得输出量y随时 间得变化规律,称为对象得矩形脉冲特性,而这种形式得干 扰称为矩形脉冲干扰。此外,还可以采用矩形脉冲波和正 弦信号。
二、机理建模
优点
具有非常明确的物理意义，所得的模型具有很大 的适应性，便于对模型参数进行调整。
缺点
对于某些对象,人们还难以写出她们得数学表达 式,或者表达式中得某些系数还难以确定时,不 能适用。
11
第二节 对象数学模型得建立
举例 1、 一 阶 对 象 (1)水槽对象
依据
图2-2 水槽对象
对象物料蓄存量得变化率 ＝单位时间流入对象得物料－单位时间流出对象得物料
第二章_对象特性和建模
23
第二节 机理建模
举例
溶解槽及其 反应曲线
纯滞后时间
显然， 与皮带输送机的传送速度v和传送距 显然，纯滞后时间τ0与皮带输送机的传送速度 和传送距 L 有如下关系： 离L有如下关系： 有如下关系 τ = （2-16） ）
0
v
24
第二节 机理建模
x为输入量 为输入量
x (t − τ 0 ), y= 0, t ≥τ0 t ≤τ0
Y (s ) bm s m + bm −1 s m −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b1 s + b0 G (s ) = = X (s ) a n s n + a n−1 s n−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 s + a0
（2-8） ）
13
第一节 数学模型及描述方法
对于一阶对象,由式 (2-4)两端取拉氏变换,得 对于一阶对象, (2-4)两端取拉氏变换, 两端取拉氏变换
过程的输入、 图2-1 过程的输入、输出量
3
？
第一节 数学模型及描述方法
过程的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型
基础
静态数学模型
特例
动态数学模型
4
第一节 数学模型及描述方法
用于控制的数学模型（ 、 ）与用于工艺设计与分析 工艺设计与分析的数学 用于控制的数学模型（a、b）与用于工艺设计与分析的数学 控制的数学模型 模型（ ）不完全相同。 模型（c）不完全相同。 一般是在工艺 流程和设备尺 寸等都确定的 情况， 情况 ， 研究过 程的输入变量 程的 输入变量 是如何影响输 出变量的。 出变量的。
对象可以用一阶微分方程式来描述, 对象可以用一阶微分方程式来描述, 但输入变量与 输出变量之间有一段时滞τ 输出变量之间有一段时滞 0
thx3-过程特性及其数学模型
阶跃反应曲线法：用实验的方法来测取对象在阶跃输入作用下， 输出量随时间的变化规律。
（1）阶跃反应曲线法
特点：简易但精度较差。如果输入量是流量，只要将阀门的 开度作突然的改变，便可认为施加了一个阶跃干扰，同时还 可以利用原设备上的仪表把输出量的变化记录下来，既不需 要增加仪器设备，测试工作量也不大。但由于对象在阶跃信 号作用下，从不稳定到稳定所需时间一般较长，这期间干扰 因素较多，因而测试精度受到限制。为提高测试精度就必须 加大输入量的幅度，这往往又是工艺上不允许的。
•
回顾&作业
• • • • • • 被控对象的特性；★ 对象的数学模型； 机理建模法（一阶模型的建立方法）；★ 实验建模法（阶跃反应曲线法）；★ 混合建模法。 作业：Ex6。
2.系统辨识
系统辨识：应用对象的输入输出的实测数据来决定其模 型的结构和参数，通常称为~。 • • 根据测试数据确定模型结构（包括结构形式、方程阶次 及时滞情况等）。 在已定模型结构的基础上，再由测试数据确定模型的参 数。
3.典型实验测取法
（1）阶跃反应曲线法 （2）矩形脉冲法
（1）阶跃反应曲线法
•
•
（2）矩形脉冲法
• 特点：提高了精度，对工 艺影响较小。采用~时， 由于加在对象上的干扰经 过一段时间后即被除去， 因此干扰的幅值可以取得 较大，提高了实验精度。 同时，对象的输出量又不 会长时间偏离给定值，故 对工艺生产影响较小。
六、混合建模法
1.混合建模：将机理建模和实验建模结合起来，先由机理分 析的方法提供数学模型的结构形式，然后对其中某些未 知的或不确定的参数利用实测的方法给予确定。 • 比较实用的方法 2.参数估计：在已模型结构的基础上，通过实测数据来确 定其中的某些参数，称为~。 • 试比较参数估计与系统辨识
（1）阶跃反应曲线法
特点：简易但精度较差。如果输入量是流量，只要将阀门的 开度作突然的改变，便可认为施加了一个阶跃干扰，同时还 可以利用原设备上的仪表把输出量的变化记录下来，既不需 要增加仪器设备，测试工作量也不大。但由于对象在阶跃信 号作用下，从不稳定到稳定所需时间一般较长，这期间干扰 因素较多，因而测试精度受到限制。为提高测试精度就必须 加大输入量的幅度，这往往又是工艺上不允许的。
•
回顾&作业
• • • • • • 被控对象的特性；★ 对象的数学模型； 机理建模法（一阶模型的建立方法）；★ 实验建模法（阶跃反应曲线法）；★ 混合建模法。 作业：Ex6。
2.系统辨识
系统辨识：应用对象的输入输出的实测数据来决定其模 型的结构和参数，通常称为~。 • • 根据测试数据确定模型结构（包括结构形式、方程阶次 及时滞情况等）。 在已定模型结构的基础上，再由测试数据确定模型的参 数。
3.典型实验测取法
（1）阶跃反应曲线法 （2）矩形脉冲法
（1）阶跃反应曲线法
•
•
（2）矩形脉冲法
• 特点：提高了精度，对工 艺影响较小。采用~时， 由于加在对象上的干扰经 过一段时间后即被除去， 因此干扰的幅值可以取得 较大，提高了实验精度。 同时，对象的输出量又不 会长时间偏离给定值，故 对工艺生产影响较小。
六、混合建模法
1.混合建模：将机理建模和实验建模结合起来，先由机理分 析的方法提供数学模型的结构形式，然后对其中某些未 知的或不确定的参数利用实测的方法给予确定。 • 比较实用的方法 2.参数估计：在已模型结构的基础上，通过实测数据来确 定其中的某些参数，称为~。 • 试比较参数估计与系统辨识
化工仪表及自动化第五版第二章 过程特性及其数学模型.ppt
对象机理数学模型的建立
问题：处于平衡状态的对象加入干扰以后，不经控制系统能否自行达到新的平衡状态？
qi
qi
q0
q0
左图：假设初始为平衡状态qi=qo，水箱水位保持不变。 当发生变化时(qi＞qo)，此时水箱的水位开始升高
根据流体力学原理，水箱出口流量与H是存在一定的对应关系的：q0 H / R
y(t)表示输出量，x(t)表示输入量，通常输出量的阶次不低与输入量的阶次(n≥m) 通常n=1，称该对象为一阶对象模型；n=2，称二阶对象模型。
非参量模型：采用曲线、表格等形式表示。 特点：形象、清晰，缺乏数学方程的解析性质（必要时须进行数学处 理获得参量模型）。
第二节 对象数学模型的建立
建模的目的（略）
因此，qi H qo，直至qi=qo可见该系统受到干扰以后，即使不加控制，最 终自身是会回到新的平衡状态，这种特性称为“自衡特性”。
右图：如果水箱出口由泵打出，其不同之处在于：qi当发生变化时，qo不发生变化。如 果qi＞qo ，水位H将不断上升，直至溢出，可见该系统是无自衡能力。
绝大多数对象都有自衡能力，一般而言有自衡能力的系统比无自衡能力的系统容易控制。
d 2h2 dt 2
(R1 A1
R2
A2
)
dh2 dt
h2
R2
qi
T1T2
d 2h2 dt 2
(T1
T2
)
dh2 dt
h2
K
qi
(T1 A1R1 T2 A2R2
K R2 )
·二阶线性对象（总结）
典型的微分方程
T1T2
d 2h2 dt 2
(T1
过程控制第二章(过程建模与过程特性)解析
传递函数：
H 2 ( s) K K Qi ( s) T1T2 s 2 (T1 T2 )s 1 (T1s 1)(T2 s 1)
二阶线性对象（总结）
典型的微分方程
d 2 h2 dh2 T1T2 ( T T ) h2 K qi 1 2 2 dt dt (T1 A1 R1 T2 A2 R2 K R2 )
（5）工业过程的故障检测与诊断；
（6）设备启动与停车的操作方案；信号作用下的四种典型类型： 1. 自衡的非振荡过程 2. 无自衡的非振荡过程 3. 有自衡的振荡过程 4. 具有反向特性的过程
单容过程
1.自衡的非振荡过程
Q1 Q1
t h
h
Q2 t
u(t ) u1 (t ) u1 (t t )
其中
u 2 (t ) u1 (t t )
假定对象无明显非线性，则矩形脉冲 响应就是两个阶跃响应之和，即
y(t ) y1 (t ) y1 (t t )
典型的阶跃响应函数
h2 (t ) Ka[1
T1 e T2 T1
t T1
T2 e T2 T1
t T2
]
典型的阶跃响应曲线
qi
a
t
h2 (t )
不相关 双容
二阶线性对象（总结）
典型的微分方程
d 2 h2 dh2 T1T2 ( T T ) h2 K qi 1 2 2 dt dt (T1 A1 R1 T2 A2 R2 K R2 )
f u y K 其它参数 不变
广义对象 控制通道放大系数
y Ko u
干扰通道放大系数
Kf
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A—水槽截面积 将dV代入
0 h h2
t1
t
(Q1 Q2 )dt Adh
h1
t1
t
h Q2 Rs
Rs—阀的阻力
h )dt Adh 代入上式 (Q1 Rs
整理得
dh ARs h Rs Q1 dt
K=Rs
一阶常系数微分 方程
令：T=ARs 所以
dh T h KQ1 dt
t dh T h KQ1 解微分方程得 h KQ (1 e T ) 1 dt
当对象受到阶跃变化Q1=A 输出h是如何变化的。如图
Q1
A
0
h KA(1 e )
当t →∞时， h(∞)=KA 或 K=h(∞)/A
t T
t
h
h(∞) 0
t1
t
放大系数，是对象的静态参数
储槽的阶跃响应曲线
三、对象动态特性的研究方法 1.理论分析 根据系统工艺实际过程的数质量关系，分析计算 输入量与输出量之间的关系。
2.实验研究 需要在实际系统或实验系统中，通过一组输入 ,来 考察输出的跟随变化规律—反映输入与输出关系 的经验曲线和经验函数关系。
第二节 对象数学模型的建立
一、 机理建模法 机理法建摸就是根据生产过程的内在机理，写出各 种有关平衡方程式。如物料平衡方程式、能量平衡 1 方程式等。 1、一阶对象（单容对象） 举例 如图所示为一液体储槽对象 其静态方程
11．已知一个对象特性是具有纯滞后的一阶特性， 其时间常数为5，放大系数为10，纯滞后时间为2 ，试写出描述该对象特性的一阶微分方程式。
无滞后 有滞后 一阶微分方程式：
dy(t 2) 5 y(t 2) 10 x(t ) dt
12.如图2-3所示的RC电路中，已知R=5，C=2。试画 出ei突然由0阶跃变化到5V时的eo变化曲线，并计 算出t=T、t=2T、t=3T时的eo值。
t
τ0
图2-19 纯滞后特性
比较两条响应曲线，它们除了在时 间轴上前后相差一个ζ的时间外， 其他形状完全相同。 表示成数学关系式为：
对象特性为一阶微分方程式： 无滞后 有滞后
输 入
y
t
反应器温度控制系统
τ0 τ
τn
t
n—容量滞后
所以滞后时间
0 n
纯滞后和容量滞后尽管本质不同，但实际上很难区分， 两者同时存在时，常常把两者合起来统称滞后时间。
该对象为具有纯滞后的一阶对象，由图可知放 大系数为：
K 150 120 60 3.0 2.5
（℃h/t）
一阶对象的输出响应：
带入数据，可得： 解此方程：
由于有纯滞后时间：
系统的微分方程为：
当燃料的变化量为0.5t/h时，其输出温度变化量的函数 表达式为：
KA(1 e
1.了解对象的惯性，变化的快慢； 2.T小，输出变化速度快，调节速度也快。反之 T大变 化速度慢，调节速度也慢。因此，时间常数大对控 制不利； 3.时间常数T是一动态参数。
三、滞后时间τ
定义：对象的输入变化后，到控制发生作用时所用 的时间。
传递滞后又叫纯滞后，一般用τ0表示。
加料量
t 浓度
0
图2-19
对象
图2-1 对象的输入输出量
控制通道：操纵变量至被控变量的信号联系。 干扰通道：干扰作用至被控变量的信号联系。
所谓研究对象的特性，就是用数学的方法来描述 出对象输入量与输出量之间的关系——数学建模。 二、数学模型的表示方法： 1.非参量模型：用曲线、图表表示系统的输入与 输出量之间的关系。 2.参量模型：用数学方程式表示的系统输入与输 出量之间的关系。
意义：
1.放大系数的大小可以说明对象的灵敏度；
2.K大灵敏度高，稳定性下降；
3.K等于常数，是线性对象。
二、时间常数T
h KA(1 e
将t=T代入上式
1
t T
)
Q1 A
h(T ) KA(1 e ) 0.632KA
0
t
h(T ) 0.632h()
当对象受到阶跃输入作用后， 输出达到新的稳态值的63.2% 所需的时间,就是时间常数。
意义： 1.表示对象的惰性；
2.τ大时控制困难。 四、根据阶跃响应曲线作图求特性参数 K、T和τ
Q1
加料量
0 浓度
0
储槽的阶跃响应曲线
纯滞后特性
滞后时间
示意图
习题与思考题
1．什么是对象特性？为什么要研究对象特性？ 2．何谓对象的数学模型？静态数学模型与动态数学 模型有什么区别？ 3．建立对象的数学模型有什么重要意义？ 4．建立对象的数学模型有哪两类主要方法？ 5．机理建模的根据是什么？
6．何谓系统辨识和参数估计？ 7．试述实验测取对象特性的阶跃反应曲线法和矩 形脉冲法各有什么特点？ 8．反映对象特性的参数有哪些？各有什么物理意 义？它们对自动控制系统有什么影响？ 9．为什么说放大系数K是对象的静态特性？而时间 常数T和滞后时间ζ是对象的动态特性？ 10．对象的纯滞后和容量滞后各是什么原因造成的 ？对控制过程有什么影响？
第二章 过程特性及其数学模型
第一节 化工过程的特点及其描述方法 第二节 对象数学模型的建立 第三节 描述对象特性的参数
第一节 化工过程的特点及其描述方法
一、对象特性 所谓对象特性是指被控对象的输出随输入及时间变化 的特性。
被控对象的输出量是 自动控制系统的被控变量。
操纵变量
干扰
被控变量
干扰 输入量 操纵变量
Q1
Q1 Q2
h为一不变的常数。用微分方程来 描述对象往往着眼于变化量。
h
2
Q2
Rs
当在某一时刻t1到t2这段时间内Q1 发生变化，Q1＞Q2，这时流入水槽 水量为
Q1
dV (Q1 Q2 )(t2 t1 ) (Q1 Q2 )dt
水位从h1上升到h2
h Rs
Q1
Q2
dV h2 h1 dh A
该水槽具有积分特性，如果以h、Q1分别表示液位和 流入量的变化量，那么就有：
带入已知量，得到h和t之间的函数关系：
h(t ) 0.2t
水槽随时间的变化曲线：
14.为了测定某重油预热炉的对象特性，在某瞬间（假定为 t0 =0）突然将燃料气量从2.5t/h增加到3.0/h，重油出口 温度记录仪得到的阶跃反应曲线如图2-25所示。假定该对 象为一阶对象，试写出描述该重油预热炉特性的微分方程 式（分别以温度变化量与燃料量变化量为输出量与输入量 ），并写出燃料量变化量为0.5t/h时温度变化量的函数表 达式。
h
h(∞)
0.632h(∞)
100%
0 T
t
当对象受到阶跃输入作用后，被控参数如果保持初 始速度变化，达到新的稳定值所需的时间。
t h KQ 1 e T
dh KQ dt t 0 T
h
h
T
t
t
由此可见，时间常数越小，输出的变化快，达到新的 稳态值所需的时间也越短。 意义：
代入边界条件解微分方程
t T
h KQ1 (1 e )
h
h2
0
t1
t
储槽的阶跃响应曲线
3.实验建模
1）阶跃响应曲线法
Q1 B
0
2）矩行脉冲法
Q1
A
t
t
h
y
0
t1
t
t
图2-9 储槽的阶跃响应曲线
矩形脉冲特性曲线
第三节 描述对象特性的参数
一、放大系数K 水槽对象的输入与输出的关系。得微分方程式。K称 为放大系数，
35
) 30(1 e
t 2 3.35
)
其中时间t的取值范围为t≥2
表示RC电路特性的微分方程式：
方程的解为：
eo ei (1 e t / RC )
e0的变化曲线如下：
13.已知一个简单水槽，其截面积为0.5m2，水槽中 的液体由正位移泵抽出，即流出流量是恒定的。 如果在稳定的情况下，输入流量突然在原来的基 础上增加了0.1m3/h，试画出水槽液位Δh的变化 曲线。
0 h h2
t1
t
(Q1 Q2 )dt Adh
h1
t1
t
h Q2 Rs
Rs—阀的阻力
h )dt Adh 代入上式 (Q1 Rs
整理得
dh ARs h Rs Q1 dt
K=Rs
一阶常系数微分 方程
令：T=ARs 所以
dh T h KQ1 dt
t dh T h KQ1 解微分方程得 h KQ (1 e T ) 1 dt
当对象受到阶跃变化Q1=A 输出h是如何变化的。如图
Q1
A
0
h KA(1 e )
当t →∞时， h(∞)=KA 或 K=h(∞)/A
t T
t
h
h(∞) 0
t1
t
放大系数，是对象的静态参数
储槽的阶跃响应曲线
三、对象动态特性的研究方法 1.理论分析 根据系统工艺实际过程的数质量关系，分析计算 输入量与输出量之间的关系。
2.实验研究 需要在实际系统或实验系统中，通过一组输入 ,来 考察输出的跟随变化规律—反映输入与输出关系 的经验曲线和经验函数关系。
第二节 对象数学模型的建立
一、 机理建模法 机理法建摸就是根据生产过程的内在机理，写出各 种有关平衡方程式。如物料平衡方程式、能量平衡 1 方程式等。 1、一阶对象（单容对象） 举例 如图所示为一液体储槽对象 其静态方程
11．已知一个对象特性是具有纯滞后的一阶特性， 其时间常数为5，放大系数为10，纯滞后时间为2 ，试写出描述该对象特性的一阶微分方程式。
无滞后 有滞后 一阶微分方程式：
dy(t 2) 5 y(t 2) 10 x(t ) dt
12.如图2-3所示的RC电路中，已知R=5，C=2。试画 出ei突然由0阶跃变化到5V时的eo变化曲线，并计 算出t=T、t=2T、t=3T时的eo值。
t
τ0
图2-19 纯滞后特性
比较两条响应曲线，它们除了在时 间轴上前后相差一个ζ的时间外， 其他形状完全相同。 表示成数学关系式为：
对象特性为一阶微分方程式： 无滞后 有滞后
输 入
y
t
反应器温度控制系统
τ0 τ
τn
t
n—容量滞后
所以滞后时间
0 n
纯滞后和容量滞后尽管本质不同，但实际上很难区分， 两者同时存在时，常常把两者合起来统称滞后时间。
该对象为具有纯滞后的一阶对象，由图可知放 大系数为：
K 150 120 60 3.0 2.5
（℃h/t）
一阶对象的输出响应：
带入数据，可得： 解此方程：
由于有纯滞后时间：
系统的微分方程为：
当燃料的变化量为0.5t/h时，其输出温度变化量的函数 表达式为：
KA(1 e
1.了解对象的惯性，变化的快慢； 2.T小，输出变化速度快，调节速度也快。反之 T大变 化速度慢，调节速度也慢。因此，时间常数大对控 制不利； 3.时间常数T是一动态参数。
三、滞后时间τ
定义：对象的输入变化后，到控制发生作用时所用 的时间。
传递滞后又叫纯滞后，一般用τ0表示。
加料量
t 浓度
0
图2-19
对象
图2-1 对象的输入输出量
控制通道：操纵变量至被控变量的信号联系。 干扰通道：干扰作用至被控变量的信号联系。
所谓研究对象的特性，就是用数学的方法来描述 出对象输入量与输出量之间的关系——数学建模。 二、数学模型的表示方法： 1.非参量模型：用曲线、图表表示系统的输入与 输出量之间的关系。 2.参量模型：用数学方程式表示的系统输入与输 出量之间的关系。
意义：
1.放大系数的大小可以说明对象的灵敏度；
2.K大灵敏度高，稳定性下降；
3.K等于常数，是线性对象。
二、时间常数T
h KA(1 e
将t=T代入上式
1
t T
)
Q1 A
h(T ) KA(1 e ) 0.632KA
0
t
h(T ) 0.632h()
当对象受到阶跃输入作用后， 输出达到新的稳态值的63.2% 所需的时间,就是时间常数。
意义： 1.表示对象的惰性；
2.τ大时控制困难。 四、根据阶跃响应曲线作图求特性参数 K、T和τ
Q1
加料量
0 浓度
0
储槽的阶跃响应曲线
纯滞后特性
滞后时间
示意图
习题与思考题
1．什么是对象特性？为什么要研究对象特性？ 2．何谓对象的数学模型？静态数学模型与动态数学 模型有什么区别？ 3．建立对象的数学模型有什么重要意义？ 4．建立对象的数学模型有哪两类主要方法？ 5．机理建模的根据是什么？
6．何谓系统辨识和参数估计？ 7．试述实验测取对象特性的阶跃反应曲线法和矩 形脉冲法各有什么特点？ 8．反映对象特性的参数有哪些？各有什么物理意 义？它们对自动控制系统有什么影响？ 9．为什么说放大系数K是对象的静态特性？而时间 常数T和滞后时间ζ是对象的动态特性？ 10．对象的纯滞后和容量滞后各是什么原因造成的 ？对控制过程有什么影响？
第二章 过程特性及其数学模型
第一节 化工过程的特点及其描述方法 第二节 对象数学模型的建立 第三节 描述对象特性的参数
第一节 化工过程的特点及其描述方法
一、对象特性 所谓对象特性是指被控对象的输出随输入及时间变化 的特性。
被控对象的输出量是 自动控制系统的被控变量。
操纵变量
干扰
被控变量
干扰 输入量 操纵变量
Q1
Q1 Q2
h为一不变的常数。用微分方程来 描述对象往往着眼于变化量。
h
2
Q2
Rs
当在某一时刻t1到t2这段时间内Q1 发生变化，Q1＞Q2，这时流入水槽 水量为
Q1
dV (Q1 Q2 )(t2 t1 ) (Q1 Q2 )dt
水位从h1上升到h2
h Rs
Q1
Q2
dV h2 h1 dh A
该水槽具有积分特性，如果以h、Q1分别表示液位和 流入量的变化量，那么就有：
带入已知量，得到h和t之间的函数关系：
h(t ) 0.2t
水槽随时间的变化曲线：
14.为了测定某重油预热炉的对象特性，在某瞬间（假定为 t0 =0）突然将燃料气量从2.5t/h增加到3.0/h，重油出口 温度记录仪得到的阶跃反应曲线如图2-25所示。假定该对 象为一阶对象，试写出描述该重油预热炉特性的微分方程 式（分别以温度变化量与燃料量变化量为输出量与输入量 ），并写出燃料量变化量为0.5t/h时温度变化量的函数表 达式。
h
h(∞)
0.632h(∞)
100%
0 T
t
当对象受到阶跃输入作用后，被控参数如果保持初 始速度变化，达到新的稳定值所需的时间。
t h KQ 1 e T
dh KQ dt t 0 T
h
h
T
t
t
由此可见，时间常数越小，输出的变化快，达到新的 稳态值所需的时间也越短。 意义：
代入边界条件解微分方程
t T
h KQ1 (1 e )
h
h2
0
t1
t
储槽的阶跃响应曲线
3.实验建模
1）阶跃响应曲线法
Q1 B
0
2）矩行脉冲法
Q1
A
t
t
h
y
0
t1
t
t
图2-9 储槽的阶跃响应曲线
矩形脉冲特性曲线
第三节 描述对象特性的参数
一、放大系数K 水槽对象的输入与输出的关系。得微分方程式。K称 为放大系数，
35
) 30(1 e
t 2 3.35
)
其中时间t的取值范围为t≥2
表示RC电路特性的微分方程式：
方程的解为：
eo ei (1 e t / RC )
e0的变化曲线如下：
13.已知一个简单水槽，其截面积为0.5m2，水槽中 的液体由正位移泵抽出，即流出流量是恒定的。 如果在稳定的情况下，输入流量突然在原来的基 础上增加了0.1m3/h，试画出水槽液位Δh的变化 曲线。