函数的奇偶性及周期性

第六节 函数的奇偶性及周期性

一、函数的奇偶性 奇偶性 定 义

图象特点 偶函数

如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，

那么函数f (x )是偶函数

关于y 轴对称

奇函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，

那么函数f (x )是奇函数

关于原点对称

二、周期性 1．周期函数

对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．

2．最小正周期

如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．

课前检测

1．下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x 3 C ．y ＝e x

D ．y ＝ln

x 2＋1

解析：选D 四个选项中的函数的定义域都是R.y ＝sin x 为奇函数．幂函数y ＝x 3也为奇函数．指数函数y ＝e x 为非奇非偶函数．令f (x )＝ln x 2＋1，得f (－x )＝ln －x

2

＋1＝

ln

x 2＋1＝f (x )．所以y ＝ln x 2＋1为偶函数．

2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－1

3

B.13

C.12

D ．－12

解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝1

3

.又f (－x )＝f (x )，

∴b ＝0，∴a ＋b ＝1

3

.

3．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1

D ．2

解析：选B ∵f (x )为奇函数且f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (0)＝0，T ＝4. ∴f (8)＝f (0)＝0.

4．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.

解析：法一：∵f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |对于x ∈R 恒成立，两边平方整理得ax ＝0，对于x ∈R 恒成立，故a ＝0.

法二：由f (－1)＝f (1)， 得|a －1|＝|a ＋1|，故a ＝0. 答案：0

5．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.

解析：观察可知，y ＝x 3cos x 为奇函数，且f (a )＝a 3cos a ＋1＝11，故a 3cos a ＝10.则f (－a )＝－a 3cos a ＋1＝－10＋1＝－9.

答案：－9

1.奇、偶函数的有关性质：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件； (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反之亦然； (3)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0；

(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调

性相同；利用偶函数的图象关于y 轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．

2．若函数满足f (x ＋T )＝f (x )，由函数周期性的定义可知T 是函数的一个周期；应

注意nT (n ∈Z 且n ≠0)也是函数的周期．

一、函数奇偶性的判断

[例1] 设Q 为有理数集，函数f (x )＝⎩

⎨⎧

1，x ∈Q ，

－1，x ∈∁R Q ，g (x )＝e x －1e x ＋1，则函数h (x )＝

f (x )·

g (x )( )

A ．是奇函数但不是偶函数

B ．是偶函数但不是奇函数

C ．既是奇函数也是偶函数

D ．既不是偶函数也不是奇函数

[自主解答] ∵当x ∈Q 时，－x ∈Q ，∴f (－x )＝f (x )＝1；当x ∈∁R Q 时，－x ∈∁R Q ，∴f (－x )＝f (x )＝－1.综上，对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，故函数f (x )为偶函数．∵g (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1－e x 1＋e x ＝－e x －1

1＋e x

＝－g (x )，∴函数g (x )为奇函数．∴h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝f (x )·[－g (x )]＝－f (x )g (x )＝－h (x )，∴函数h (x )＝f (x )·g (x )是奇函数．∴h (1)＝f (1)·g (1)＝

e －1

e ＋1

，h (－1)＝f (－1)·g (－1)＝1×e －1－1e －1＋1＝1－e 1＋e

，h (－1)≠h (1)，∴函数h (x )不是偶函数．

[答案] A 由题悟法

利用定义判断函数奇偶性的方法

(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件； (2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是否对定义域内的每一个x 恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)．

[注意] 判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．

以题试法

1．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3x －3－x ； (3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3

；