数值分析习题集及答案

数值分析习题集

适合课程《数值方法 A 》和《数值方法B》)

长沙理工大学

第一章绪论

1. 设 x>0, x 的相对误差为δ, 求的误差.

2. 设 x 的相对误差为2％, 求的相对误差.

3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数, 即误差限不超过最后一位的半个单位, 试指出

它们是几位有效数字:

4. 利用公式求下列各近似值的误差限:

其中均为第 3 题所给的数.

5. 计算球体积要使相对误差限为1％, 问度量半径 R时允许的相对误差限是多少?

6. 设按递推公式

( n=1,2, ⋯)

计算到. 若取≈( 五位有效数字), 试问计算将有多大误差?

7. 求方程的两个根, 使它至少具有四位有效数字( ≈.

8. 当 N 充分大时, 怎样求?

9. 正方形的边长大约为100 ㎝, 应怎样测量才能使其面积误差不超过 1 ㎝?

10. 设假定 g 是准确的,而对 t 的测量有±秒的误差, 证明当 t 增加时 S的绝对误差增加,

而相对误差却减小.

11. 序列满足递推关系(n=1,2, ⋯), 若(三位有效数字), 计算到时误差有多大?这个计算过程

稳定吗?

12. 计算,取, 利用下列等式计算, 哪一个得到的结果最好?

13. ,求f (30) 的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式

计算, 求对数时误差有多大?

14. 试用消元法解方程组假定只用三位数计算, 问结果是否可靠?

15. 已知三角形面积其中 c 为弧度,, 且测量 a , b , c 的误差分别为证明面积的误差满足

第二章插值法

1. 根据定义的范德蒙行列式, 令

证明是 n次多项式,它的根是,且

2. 当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 , 求 f ( x)的二次插值多项式

3. 给出 f ( x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 的近似值.

4. 给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长 h =1′ =(1/60) °,若函数表具有 5 位有效数

字, 研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.

5. 设, k=0,1,2,3, 求.

6. 设为互异节点(j =0,1, ⋯, n), 求证:

i)

ii)

7. 设且, 求证

8. 在上给出的等距节点函数表, 若用二次插值求的近似值, 要使截断误差不超过, 问使用函

数表的步长应取多少?

9. 若, 求及.

10. 如果是次多项式, 记,证明的阶差分是次多项式, 并且为正整数).

11. 证明.

12. 证明

13. 证明

14. 若有个不同实根, 证明

15. 证明阶均差有下列性质:

i) 若, 则;

ii) 若, 则.

16. , 求及.

17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是

并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.

18. 求一个次数不高于4次的多项式, 使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限

19. 试求出一个最高次数不高于 4 次的函数多项式, 以便使它能够满足以下边界条件,,.

20. 设, 把分为等分, 试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时, 在上一致收敛到.

21. 设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误

差.

22. 求在上的分段线性插值函数, 并估计误差.

23. 求在上的分段埃尔米特插值, 并估计误差.

24. 给定数据表如下:

试求三次样条插值并满足条件

i)

ii)

25. 若, 是三次样条函数, 证明

i) ;

ii) 若,式中为插值节点, 且,则.

26. 编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图( 可用式的表达式).

第三章函数逼近与计算

1. (a) 利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式.

(b) 对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形, 并与相应的马克劳林级数部分和误

差做比较.

2. 求证:

（a）当时,. （b）当时,.

3. 在次数不超过 6 的多项式中, 求在的最佳一致逼近多项式.

4. 假设在上连续, 求的零次最佳一致逼近多项式.

5. 选取常数,使达到极小, 又问这个解是否唯一?

6. 求在上的最佳一次逼近多项式, 并估计误差.

7. 求在上的最佳一次逼近多项式.

8. 如何选取, 使在上与零偏差最小?是否唯一?

9. 设, 在上求三次最佳逼近多项式.

10. 令, 求.

11. 试证是在上带权的正交多项式.

12. 在上利用插值极小化求 1 的三次近似最佳逼近多项式.

13. 设在上的插值极小化近似最佳逼近多项式为, 若有界, 证明对任何, 存在常数、, 使

14. 设在上,试将降低到 3 次多项式并估计误差.

15. 在上利用幂级数项数求的 3 次逼近多项式, 使误差不超过.

16. 是上的连续奇（偶）函数,证明不管是奇数或偶数,的最佳逼近多项式也是奇（偶）函数.

17. 求、使为最小. 并与 1 题及 6 题的一次逼近多项式误差作比较.

18. 、, 定义

问它们是否构成内积?

19. 用许瓦兹不等式估计的上界, 并用积分中值定理估计同一积分的上下界, 并比较其结果

20. 选择,使下列积分取得最小值:.

21. 设空间,分别在、上求出一个元素,使得其为的最佳平方逼近, 并比较其结果.

22. 在上,求在上的最佳平方逼近.

23. 是第二类切比雪夫多项式, 证明它有递推关系

24. 将在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开, 求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图

形,再计算均方误差.

25. 把在上展成切比雪夫级数.

26.

27. ,

.

.

29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图.

30. 编出改进FFT 算法的程序框图.

31. 现给出一张记录, 试用改进FFT 算法求出序列的离散频谱

第四章数值积分与数值微分

1. 确定下列求积公式中的待定参数, 使其代数精度尽量高, 并指明所构造出的求积公式所

具有的代数精度: