高中数学利用导数求函数的最值

函数的最值一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。

例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。

()f x 没有最大值。

（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个。

2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x （1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点（2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点8、最值点的作用（1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =-+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤-二、典型例题：例1：求函数()xf x xe-=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值解：()()'1x fx x e -=-，令()'0f x >,解得：1x <()f x ∴的单调区间为：x (),1-∞()1,+∞'()f x +-()f x()()max 11f x f e∴==，无最小值小炼有话说：函数()xf x xe-=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。

例2：已知函数()322f x x ax =++,2x =是()f x 的一个极值点，求：（1）实数a 的值（2）判断()f x 在区间(]1,4-上是否存在最大值和最小值解：（1）()'232f x x ax=+2x = 是()f x 的一个极值点()'21240f a ∴=+=3a ∴=-（2）思路，由第（1）问可得()3232f x x x =-+，进而求出单调区间得到最值解：()()'23632fx x x x x =-=-,令()'0fx >,解得：10x -<<或24x <<()f x ∴的单调区间为：x ()1,0-()0,2()2,4'()f x +-+()f x计算()()()()12,02,22,418f f f f -=-==-=()()max 418f x f ∴==()()min 22f x f ==小炼有话说：在本题中，最小值的求解尽管1x =-不在所给区间中，但也需要代入到()f x 中计算，此时计算出的是函数左边界的临界值，如果()()12f f -<，则函数就不存在最小值了。

所以在求定义域为开区间的函数最值时，也要关注边界处的临界值。

例3：已知函数()326f x ax ax b =-+,是否存在实数,a b ，使得()f x 在[]1,2上取得最大值4，最小值29?-若存在，求出,a b 的值，若不存在，请说明理由思路：利用()'fx 求出函数的单调区间，在根据单调区间判断最大最小值点的可能位置，进而根据最大最小值解出,a b 解：()()'231234fx ax ax ax x =-=-，（1）当0a >时，[]1,2x ∈ 40,0x x ∴-<>()'f x ∴<()f x 在[]1,2单调递减()()()()max min 15431931629f x f b a a b f x f b a ==-=⎧=⎧⎪∴⇒⎨⎨===-=-⎩⎪⎩（2）当0a <时，[]1,2x ∈ 40,0x x ∴-<>()'fx ∴>()f x 在[]1,2单调递增()()()()max min 31643441529f x f b a a b f x f b a ==-=⎧=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=-==-=-⎩⎪⎩319a b =⎧∴⎨=⎩或344a b =-⎧⎨=-⎩小炼有话说：本题在求最值时由于函数带有参数，从而在解单调区间的过程中涉及到对参数的分类讨论。

从而确定最值的选取（有关含参数单调区间的计算详见2.1）例4：求函数()322912f x x x x =-+([]1,3x ∈-)的最值思路一：考虑去掉绝对值得到一个分段函数，在利用导数求出每段的最值，再进行比较解：()()22912f x x x x =-+229120x x -+> 恒成立()()[]()[)222912,0,32912,1,0x x x x f x x x x x ⎧-+∈⎪∴=⎨--+∈-⎪⎩当[]0,3x ∈时，()()()'22291249612fx x x x x x x =-++-=--可得：()f x 在()()0,1,2,3单调递增，在()1,2单调递减()()()()00,15,39,24f f f f ∴====∴[]0,3x ∈时,()()min max 0,9f x f x ==当[)1,0x ∈-时，()()()()'22291249612fx x x x x x x =--++-=---()f x ∴在[)1,0-单调递减，()()max 123f x f ∴=-=-当0x →时，()0f x →∴可得函数()f x 的最值为()()max 123f x f =-=-，()()min 00f x f ==思路二：考虑先求出绝对值里表达式的值域，然后在加上绝对值求出最值。

解：令()322912g x x x x=-+()()()'612g x x x ∴=--,[]1,3x ∈-令()'0g x >，解得:11x -<<或23x <<()g x ∴的单调区间为：x ()1,1-()1,2()2,3'()f x +-+()f x()()()()123,15,24,39g g g g ∴-=-===()g x ∴的值域为[]23,9-()()f xg x =()f x ∴的值域为[]0,23()max 23f x =-，()min 0f x =小炼有话说：（1）第一种方法为处理含绝对值函数的常用方法，绝对值的函数中若绝对值内部比较简单，则通常先通过讨论绝对值内部的符号，将函数转化成为分段函数进行分析，而求分段函数的最值时可分别求出每一段的最值再进行比较（2）第二种方法用于当绝对值内部的符号不易确定时（例如绝对值为0的点不好确定），也可考虑先求出内部的取值范围，再取绝对值进而得到值域。

例5：已知函数()x e f x x =的定义域为()0,+∞，求()f x 在[](),10m m m +>上的最值思路：()x e f x x =的单调区间可通过导数来确定，()()'21x x e f x x-=,1x =是()f x 的极值点，而极值点是否在[],1m m +会影响最值点的选取，从而要依次进行分类讨论解：()()'21x x e fx x-=，令()'0f x >解得1x >()f x ∴在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增1x =为()f x 的极小值点（1）当1m ≥时，()f x 在[],1m m +单调递增()()()()1minmax ,11m m e e f x f m f x f m m m +∴===+=+（2）当01m <<时，11m +>()f x ∴在(),1m 单调递减，在()1,1m +单调递增()()min 1f x f e∴==()()(){}max max ,1f x f m f m =+()()1,11m m e e f m f m m m +=+=+下面比较()(),1f m f m +的大小若()()11111m m e e ef m f m m m m m +<+⇔<⇔<++111m em m e ⇔+<⇔>-11m e ∴>-时，()()1max 11m e f x f m m +=+=+当11m e =-时，()()()()1max 11me ef x f m f m e e m -=+===-当101m e <<-时，()()max me f x f m m==综上所述：1m ≥时，()()()()1minmax ,11m m e e f x f m f x f m m m +===+=+111m e <<-时，()()min 1f x f e ==，()()1max 11m e f x f m m +=+=+11m e =-时，()()()()1max 11e f x f m f m e e -=+==-101m e <<-时，()()max me f x f m m==例6：已知函数()ln ()mf x x m R x=-∈在区间上取得最小值4，则___________．思路一：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21()m f x x x '=+．当()0f x '=时，210mx x+=，当0m ≥时，()0f x '>，()f x 为增函数，所以min ()(1)4f x f m ==-=，4m =-，矛盾舍去；当0m <时，若(0,)x m ∈-，()0f x '<，()f x 为减函数，若(,)x m ∈-+∞，()0f x '>，()f x 为增函数，所以()ln()1f m m -=-+为极小值，也是最小值；①当1m -<，即10m -<<时，()f x 在[1,]e 上单调递增，所以min ()(1)4f x f m ==-=，所以4m =-（矛盾）；②当m e ->，即m e <-时，()f x 在[1,]e 上单调递减，min ()()14mf x f e e==-=，所以3m e =-．③当1m e -≤-≤，即1e m -≤≤时，()f x 在[1,]e 上的最小值为()ln()14f m m -=-+=，此时2m e e =-<-（矛盾）．综上3m e =-．思路二：()'221m x m fx x x x+=+=，令导数()'0f x x m =⇒=-，考虑最小值点只有可能在边界点与极值点处取得，因此可假设,1,x m x x e ===分别为函数的最小值点,求出m 后再检验即可。