二维极值分布的参数估计
概率论与数理统计B教案第六、七章
使 则称为的最大似然估计值.称相应的统计量为最大似然估计量. 它们统称 为的最大似然估计(MLE).
三、求最大似然估计的一般方法 求未知参数的最大似然估计问题, 归结为求似然函数的最大值点的 问题. 当似然函数关于未知参数可微时, 可利用微分学中求最大值的方法 求之. 其主要步骤: (1) 写出似然函数; (2) 令或, 求出驻点; 注: 因函数是L的单调增加函数,且函数与函数有相同的极值点,故常 转化为求函数的最大值点较方便. (3) 判断并求出最大值点, 在最大值点的表达式中, 用样本值代入就 得参数的最大似然估计值. 注：(i) 当似然函数关于未知参数不可微时，只能按最大似然估计 法的基本思想求出最大值点。 (ii) 上述方法易推广至多个未知参数的情形.
2．有效性 一个参数常有多个无偏估计量,在这些估计量中,自然应选用对的偏 离程度较小的为好,即一个较好的估计量的方差应该较小.由此引入评选 估计量的另一标准—有效性. 定义2 设和都是参数的无偏估计量, 若
, 则称较有效.
注: 在数理统计中常用到最小方差无偏估计, 其定义如下: 设是取自总体X的一个样本, 是未知参数的一个估计量, 若满足: (1) 即为的无偏估计; (2) 是的任一无偏估计. 则称为的最小方差无偏估计(也称最佳无偏估计).
例题选讲：
矩估计法 例1（讲义例1）设总体X的概率密度为 其中是未知数，是取自X的样本, 求参数的矩估计. 例2（讲义例2）设总体在上服从均匀分布，未知. 是来自 的样本, 试求的矩估计量. 例3（讲义例3）设总体的均值及方差都存在, 且有, 但均为未知, 又 设是来自的样本. 试求的矩估计量. 例4（讲义例4）设总体X的概率分布为 其中为未知参数.现抽得一个样本求的矩估计值.
二维离散空间与连续空间中的极值点
一、概述二维离散空间和连续空间是数学中重要的概念，在这两种空间中寻找极值点是一个基本而且重要的问题。
本文将分别介绍二维离散空间和连续空间中的极值点的定义、求解方法以及相关定理。
二、二维离散空间中的极值点1. 定义在二维离散空间中，极值点指的是一个点，在该点的邻域内，函数取得局部最大值或者最小值的点。
离散空间中的函数是在离散的点上定义的，因此极值点的求解方式也与连续空间有所不同。
2. 求解方法在二维离散空间中，求解极值点的方法一般包括以下步骤：（1）确定函数在给定区域内的取值范围。
（2）遍历区域内的所有点，计算函数在这些点上的取值。
（3）找出函数取值最大或者最小的点，即为极大值点或者极小值点。
3. 相关定理在二维离散空间中，可以利用两阶偏导数的方法来判断一个点是否为极值点。
具体来讲，通过计算函数的一、二阶偏导数，可以求解其驻点，并判断这些驻点是否为极值点。
三、连续空间中的极值点1. 定义在连续空间中，极值点的定义与二维离散空间中相似，即在该点的邻域内，函数取得局部最大值或者最小值。
2. 求解方法在连续空间中，求解极值点的方法一般包括以下步骤：（1）计算函数的一阶偏导数，找出其所有的驻点。
（2）利用二阶偏导数的方法判断这些驻点是否为极值点。
（3）在确定极值点的要验证其是否为局部最大值或者最小值。
3. 相关定理在连续空间中，存在许多与求解极值点相关的重要定理，例如费马定理、拉格朗日乘子法和极值存在的充分条件等。
这些定理为求解连续空间中的极值点提供了重要的理论基础和方法论。
四、总结在本文中，我们分别介绍了二维离散空间和连续空间中的极值点的定义、求解方法和相关定理。
通过对这两种空间中极值点求解的方式和理论基础的分析，可以更好地理解数学中的极值问题，为相关领域的研究和应用提供理论支持。
我们也可以看到，二维离散空间与连续空间中极值点的研究有着许多相似之处，但在具体的求解方法和理论体系上也有所差异，这为我们在实际问题中的求解提供了更多的选择空间。
第二章多元正态分布的参数估计
就是剔除了 X2 Xk1, , X p 得(线性)影响之后,Xi和
Xj之间得协方差。
给定X2时Xi 和Xj得偏相关系数(partial correlation
coefficient)定义为: ij k1, , p
ij k1, , p
,
ii k1, , p jj k1, , p
其中 Σ11 2 ij k1, , p 。
μ12
μ1
Σ12
Σ
1 22
x2 μ2
Σ112
Σ11
Σ12
Σ
1 22
Σ
21
μ1·2和Σ11·2分别就是条件数学期望和条件协方差矩
阵,Σ11·2通常称为偏协方差矩阵。
这一性质表明,对于多元正态变量,其子向量得条件分布仍
就是(多元)正态得。
例5 设X~N3(μ, Σ),其中
1
16 4 2
μ
0 2
μ(1) μ(2)
11 Σ 21
31
12 22 32
13 23 33
Σ11
Σ
21
Σ12
22
则
X (1)
X1
X
2
~
N2 ( μ(1) ,
Σ11)
其中
μ (1)
1
2
Σ11
11 21
12
22
在此我们应该注意到，如果 X ( X1, X 2 , , X p ) 服从 p
aX
(0,1,
0)
X
2
X2
~
N (aμ, aΣa)
X3
1
aμ
(0,1,
0)
2
2
3
11 12 aΣa (0,1, 0) 21 22
Gumbel分布的参数估计方法探讨
丁 咏 梅 ,刘 丽 珺 ,雷 晴
(武汉科技大学 理学院,湖北 武汉 ４３００８０)
摘要:极值分布中的 Gumbel分布常被用于极端事件的估计和预测．该文从 Gumbel分布的参 数估计入手,比较该分布的矩法、最大似然估计法以及最小二 乘 法 的 统 计 性 质;利 用 瑞 士 ３ 个 站 点 的降雨量数据为样本,基于 R 语言进行实证探讨,以适应值函数和残差 QQ 图作为评价工具,来比 较３种方法的优劣．结果表明,相较于最小二乘估计,最大似然 估 计 法 和 矩 估 计 法 表 现 出 较 好 的 参 数估计效果．
布的尾部来建立模型并分析事件的变动特征和预测事件的风险．
极值 理 论 最 早 追 溯 到 了 ２０ 世 纪 早 期 ,冯 ������ 博 特 凯 维 兹 于 １９２２ 年 通 过 对 正 态 分 布 的 样 本 极 差 的 研 究
提 出 极 值 问 题 ．此 后 ,Dodd等 陆 续 地 展 开 了 极 值 理 论 研 究 ．１９２８ 年 ,Fisher提 出 极 值 分 布 的 三 大 类 型 ． １９５８ 年 ,Gumbel出 版 了 著 作 «StatisticsofExtremes»,奠 定 极 值 理 论 的 基 础[１]．近 年 来 ,Gumbel分 布 广 泛
进 行 估 计 分 析 ,并 使 用 优 化 指 标 对 样 本 估 计 值 的 结 果 进 行 比 较 评 价 ．
１ 参 数 估 计
Gumbel分 布 函 数
F(x)＝expéëêê
æ
－expç
è
－x－μö÷ βø
ùûúú
,
(１)
收 稿 日 期 :２０１８Ｇ０５Ｇ１８ 基 金 项 目 :国 家 自 然 科 学 基 金 面 上 项 目 (６１４７３３３８);冶 金 工 业 过 程 系 统 科 学 湖 北 省 重 点 实 验 室 项 目 (Y２０１７１１) 作 者 简 介 :丁 咏 梅 (１９７８－ ),女 ,副 教 授 ,博 士 ,硕 士 生 导 师 ．主 要 从 事 计 量 经 济 、空 间 极 值 分 析 等 研 究 ．
运用Gumbel-Logistic模式模拟区域暴雨的试验
第５ 卷 第１ 期
２ １ 年 ２月 ０１
沙 漠 与 绿 洲 气 象
Ｄｅ ｅ ｔａ ｄ Ｏａ ｉ ｅ ｅ ｒ ｌｇ ｓ ｒ ｎ ｓｓＭ ｔ ｏ ｏｏ ｙ
运用 Ｇ ｍ ｅ Ｌ ｇ ｔ 模式模拟区域 ｕ ｂｌ ｏｉｉ — ｓｃ 暴雨的试验
谢 敏， 江志红 ， 丁裕 国
ｒｓ ａｃ ｅｅｒｈ
研究表明，由于暴雨或强降水实际上涉及到降
收稿 日期 ：０ ０ １— ５ ２ １ — ０ １
水的历时 、 强度 、 面积 、 深度等多方面 的时空分布特 征， 它既有一定的持续时间， 占据一定的区域面积 又
或范围， 更有量级和强度大小 ， 因此， 这类极值问题 仅仅运用一维极值分布模式来描述其特征 ，并不能 满足实际工作的需要 ，而应用二维或多维极值分布 式描述其全方位特征则较为恰当。 近年来 ， 国际上 有不少 学者利用二维极值分布模式研究区域和单
通讯作 者 ： 丁裕 国（９ １ ， ， １４ 一）男 教授 ， 长期从 事气候变化 与极端气候 研究 。Ｅ ｍａｌｄ ｇｉ ２ ． ｍ — ｉ ｙｎｍ＠１６ｅ ： ｏ
沙 漠 与 绿 洲 气 象
—
第 ５卷 第 １期
２ １ 年 ２月 ０１
Ｄｅ。。 ’。。。’。。。。ｔ。ｒ’。 ｙ —。ｅ。 ’。。。。。。。。。。 。。。 ’。。‘ 。ｄ。 。。 ‘。ｅ。ｏ。— 。。’。。。。ｓ。。’。。 。ｏ — 。 ａ。。Ｏ 。ｓ。。。。 。。 。ｒ ｎ ｓ。ｔ’ 。 。ａ。。Ｍ ｅ。ｏ ｌ。 ｉ 。 。 。ｇ
式中， Ｐ是积矩关系系数 ， 可由下式计算 ：
坚
ｏ＇ ９ ７ Ｙ ｏ
式 中 ，／ ， ） （ ） 别 是 和 ｙ 的平 均 （ ｘ 和 ／ ， 分 ｘ 值 和标 准差 。 当 ｍ＝ ｌ时 ，二 维 分布 为两 个边 缘分 布 的乘积 ，
联合极值分布在码头顶高程计算中的应用
2021年6月第6期总第583期水运工程Port & Waterway Engineering Jun. 2021No. 6 Serial No. 583联合极值分布在码头顶咼程计算中的应用张磊，解东升，施凌（中交水运规划设计院有限公司，北京100007）摘要：介绍国际工程中常用的码头顶高程计算方法和二维极值分布，指出码头顶高程计算中主要考虑的变量是波高和水位。
以几内亚铝矶土出口码头项目为例，提出波峰面高度重现期的概念。
采用极值分布理论对水位和波高分别进行拟合,选择了合适的水位和波高联合极值分布模型。
从案例计算结果对比分析发现，引入波峰面高度重现期的概念，采用水位和波高联合极值分布所计算的码头顶高程比采用二者单独一维极值分布计算的码头顶高程低。
在波浪较小区域，该计算结论对EPC 承包商控制成本、提高履约能力有积极作用。
关键词： 联合极值分布； 码头顶高程； 波高； 水位中图分类号：U 652.7+1文献标志码：A文章编号：1002-4972（2021）06-0078-05Application of joint extremum value distribution in wharf top elevation calculationZHANG Lei, XIE Dong-sheng, SHI Ling(CCCC Water Transportation Consultants Co., Ltd., Beijing 100007, China)Abstract ： The commonly used wharf top elevation calculation methods and the two-dimensional extreme valuedistribution in international engineering are introduced, and that the main variables considered in the wharf top elevationcalculation are wave height and water level is pointed out. Taking the Guinea bauxite export project as an example, thedefinition of the wave crest height's return period is proposed. The extreme value distribution theory is adopted to fit thewater level and wave height respectively, and the appropriate joint extreme value distribution model of water level and wave height is selected. From the comparative analysis of the calculation results of the case, it can be found that theconcept of the return period of the wave crest surface height is introduced, and the wharf top elevation calculated by the joint extreme value distribution of water level and wave height is lower than the wharf top elevation calculated by the twoseparate one-dimensional extreme value distributions. In the area where wave force is non-dominant, the conclusionbenefits the EPC contractor by reducing the project cost and improving its performance ability.Keywords ： joint extreme value distribution; wharf top elevation; wave height; water level码头顶高程的确定是码头总体设计的重要内容。
概率论与数理统计-参数估计
第七章 参数估计
例：
引言
设总体 X 是服从参数为 的指数分布，其中参数
未 知 ，
0 ．X1 ,,
X
是总体
n
X
的一个样本，
我们的任务是根据样本，来估计 的取值，从
而估计总体的分布．
这 是 一 个 参 数 估 计 问 题．
第七章 参数估计
§1 点估计 §2 估计量的评选标准 §3 区间估计
第七章 参数估计 §1 点估计
2
令
A1
A2
, (
2
1)
.
第七章 参数估计
例6(续）
解此方程组，得
§1 点估计
ˆ
A1 2 A2 A12
,
ˆ
A2
A1 A12
.
ˆ X 2 ,
即
B2
ˆ X .
B2
其中 B2
1 n
n i 1
Xi X
2 为样本的二阶中心矩．
第七章 参数估计（第二十二讲） 三、 极大似然法
§1 点估计
1
第七章 参数估计
例6(续）
EX 2 x 2 f
x dx x 2
x 1e x dx
0
§1 点估计
2 2 x ( e 2)1 x dx
2 0 2
2 2
1 2
1
2
因此有
EX
,
EX
2
1 .
⑵ 在不引起混淆的情况下，我们统称估计量
与估计值为未知参数 的估计．
第七章 参数估计
二、 矩估计法
§1 点估计
设X为连续型随机变量，其概率密度为
f ( x;1 ,, k ), X为离散型随机变量，其分布列为
考研数学(三)考试大纲解析(概率论与数理统计 第7章 参数估计)【圣才出品】
L(x1, x2,, xn; ) maxL(x1, x2,xn; )
这样得到的
与样本值
x1,
x2
,
,
xn
有关，常记为
( x1 ,
x2
,
,
xn
)
，称为参数
的最大似然
估计值，而相应的统计量 ( X1, X 2,, X n ) 称为参数 的最大似然估计量．
3．最大似然估计值的求法
（1）在很多情形下， p(x; ) 和
(
)
三、最大似然估计法
1．似然函数
（1）离散型
若总体 X 属离散型，其分布律 P{X x} p(x; ), 的形式为已知， 为待估参数， 是 可能取值的范围，设 X1, X2,, Xn 是来自 X 的样本，则 X1, X2,, Xn 的联合分布律为
n
p(xi; )
i 1
又设 x1, x2,, xn 是相应于样本 X1, X2,, Xn 的一个样本值，易知样本 X1, X2,, Xn 取到 观察值 x1, x2,, xn 的概率，亦即事件{X1 x1, X2 x2,, Xn xn} 发生的概率为
为
n
f (xi; )dxi
i 1
n
n
其值随 的取值而变化，取 的估计值 使概率
i 1
f (xi ; )dxi.
取到最大值，但因子
dxi
i 1
n
L( ) L(x1, x2,, xn; ) f (xi; )
不随 而变，故只需考虑函数
i1
的最大
值，这里 L( )称为样本的似然函数．若
L(x1, x2,, xn; ) maxL(x1, x2,, xn; )
xl