威布尔分布相关系数法参数估计在EXCEL中的实现方法研究
威布尔分布的参数估计
PARAMETERS ESTIMATION IN WEIBULL
DISTRIBUTION
作者： 程靖
作者机构： 巢湖学院数学系,安徽巢湖238000
出版物刊名： 巢湖学院学报
页码： 20-23页
主题词： 参数估计 最小二乘 顺序统计量 定数结尾
摘要：威布尔分布是常见的寿命分布之一。
对其密度函数中参数的估计方法有很多，常见的有矩法极大法Menond方法等。
本文将利用最小二乘的思想给出定数结尾试验下双参数威布尔分布的参数估计的一种计算公式．以列表的方式给出计算时所需要的部分顺序统计量的期望．并通过模拟给出一个例子来说明该方法的可行性。
关于一种三参数Weibull分布的参数估计问题的研究
（ 4）
{ α（ ∏ i =1
n
β xi － γ ） α
β －1
exp［－ （
（ 5）
n xi － γ β nβ β， γ） β ln L（ α， =－ + ∑（ ） = 0， α α α i =1 α n n ln L（ α， xi － γ β xi － γ n β， γ） （ 6） =－ + ∑ ln （ x i － γ） － nln α － ∑ （ ） ln （ ） = 0 β β α α i =1 i =1 n n 1 β， γ） β ln L（ α， β －1 = （ x － ） － （ － 1 ） （ ） = 0． γ β ∑ i β∑ xi － γ γ α i =1 i =1 lnL（ α， β， γ） ＞ 0 ． 则对任意的 β ≤ 1 ， 对于方程组（ 6 ） 的第三个方程， 如果 β ≤ 1 ， 则 当 γ → x1 时， γ L （ α， β， γ） → +∞ ． 显然此时使用极大似然法估计参数并不适合 ， 故这里只考虑 β ＞ 1 的情况．
(（ ∏ i =1
n
n
xi β ）（ ） α α
β －1
·exp［－ （
（ 2）
பைடு நூலகம்
∑ x i β ln x i n 1 ， β = i = 1 － ln x ∑ i n n i = 1 ∑ xi β i =1 n αβ = 1 x β． ∑ n i =1 i 4］ 文［ 指出， 可取 β0 = （ ln x n － 1 ln x i ） n∑ i =1
205
G（ γ） =
β（ γ） （ ） ∑ （ x i － γ） α（ γ ） β γ i = 1
如何在Excel中使用CORREL函数计算样本相关系数
如何在Excel中使用CORREL函数计算样本相关系数使用CORREL函数计算样本相关系数是Excel中一个常用的功能。
样本相关系数用于衡量两个变量之间的线性关系强度及方向。
在Excel 中，可以通过以下步骤使用CORREL函数进行计算样本相关系数。
1. 打开Excel并准备数据：在Excel中打开一个新的工作表，并输入需要计算的变量数据。
假设我们有两列数据，分别是变量X和变量Y的取值。
2. 选择合适的单元格：在Excel中选择一个合适的单元格作为计算样本相关系数的结果。
3. 输入CORREL函数：在选定的单元格中输入"=CORREL("，然后选择需要比较的两个变量的数据范围。
例如，如果变量X的数据在A1:A10单元格中，变量Y的数据在B1:B10单元格中，那么在输入函数时应为"=CORREL(A1:A10, B1:B10)"。
4. 完成公式输入：输入完函数后，在最后添加一个闭合括号")"，然后按下回车键即可完成计算。
Excel会自动计算样本相关系数，并在选定的单元格中显示结果。
请注意，CORREL函数计算的是样本相关系数，而不是总体相关系数。
样本相关系数是通过对一部分数据样本进行计算来估计总体相关系数。
如果需要计算总体相关系数，可以使用PEARSON函数进行计算。
在使用CORREL函数计算样本相关系数时，需要注意以下几点：1. 数据范围应该是连续的区域，不能有空白单元格或其他非数值的单元格。
2. 输入数据范围的大小应该相同，即变量X和变量Y的数据应具有相同的行数或列数。
3. 数据应该代表同一组或相关的观测数据。
总而言之，使用Excel中的CORREL函数可以方便地计算样本相关系数，帮助我们分析变量之间的线性关系。
通过正确输入数据范围和遵循相关的数据要求，我们可以得到准确的结果。
统计分布的随机试验在Eviews中的实现
2. Eviews 中的随机抽样函数
Eviews 中提供了 18 种随机变量的随机抽样函数，都是以@r 开头，加上相应的分布名称，如表 1 所 示(括号中是分布参数) [1] [2] [3]： 运用这些函数就可以从 18 种随机变量所服从的分布中抽取任意数目的随机样本， 进行随机试验或对 统计量和估计量的分布特征进行经验研究。下面通过几方面的例子介绍随机试验在 Eviews 中的实现。
Abstract
Random simulation is an important way for people to understand the regularity of random phenomena. It has an important application in understanding and studying the distribution characteristics of statistics and estimates. Eviews software provides a platform for people to carry out random simulation. In this paper, a few examples are given to illustrate the strong support of Eviews’s random simulation function to the research of statistics and estimation distribution.
(
)
DOI: 10.12677/sa.2018.72016
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统计学与应用
曹樱子
重复抽样 1000 次，每次 200 个样本数，观察样本均值的分布。模拟的代码如下(循环语句必须输入到程 序窗口，通过命令 program 打开程序窗口，运行大约 2 分钟)： wfcreate mywork u 1 1000 for !k=1 to 1000 '定义控制变量!k，建立循环，循环 1000 次 series x{!k} '建立序列 x{!k} series y{!k} smpl 1 200 '调整样本范围到 1~200 x{!k}=1+2*@rnorm y{!k}=@rexp(3) '序列 y{!k}的值来自参数是 3 的指数分布 scalar xm=@mean(x{!k}) '计算序列 x{!k}的样本均值 scalar ym=@mean(y{!k}) smpl 1 1000 '恢复工作文件范围到 1~1000 matrix(1000,2) mat '建立矩阵 mat(1000×2) mat(!k,1)=@mean(x{!k}) '将序列 x{!k}的均值存放于矩阵 mat 第一列中 mat(!k,2)=@mean(y{!k}) next '循环结束 delete x?? x??? mtos(mat,g) '将矩阵 mat 转化为两个序列(默认名称是 ser01 和 ser02) ser01.hist '查看序列 ser01 的直方图 ser02.hist 下面的图 3 和图 4 是一次运行的结果： 从图 3 可以看出，样本均值的均值接近于 1，样本均值的标准差接近于 2 10 ，并且 JB 统计量说明 不能拒绝样本均值服从于正态分布的原假设。 从图 4 可以看出，样本均值的均值接近于 3，样本均值的标准差接近于 9 200 ，同样 JB 统计量说 明也不能拒绝样本均值服从于正态分布的原假设，表明试验结果与理论结论一致。 对于该随机模拟，可以更改模拟次数、样本容量、总体的分布类型等对样本均值的分布特征一一加 以验证。
广义逆威布尔分布参数的ML估计
广义逆威布尔分布参数的ML估计广义逆威布尔分布是广义威布尔分布的一种推广形式，适用于描述具有更灵活形态的随机变量分布。
在实际应用中，我们常常需要根据样本数据来估计分布的参数，以便进行后续的统计推断或预测分析。
本文将重点讨论关于广义逆威布尔分布参数的最大似然估计方法，旨在为读者提供一种实用的参数估计技术。
一、广义逆威布尔分布的密度函数广义逆威布尔分布是一种灵活的概率分布形式，其概率密度函数可以表示为：f(x|λ,α,β) = λαβ^α x ^{α-1} e^{-(βx)^λ} /Γ(α/λ)其中λ,α,β分别为分布的参数，Γ(·)为伽玛函数。
二、最大似然估计原理最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其核心思想是寻找使得样本观测到的概率最大的参数值。
对于广义逆威布尔分布的参数λ,α,β，我们可以构建其似然函数L(λ,α,β|X) = ∏_{i=1}^{n} f(X_i|λ,α,β)，其中X为样本数据。
为了便于计算，通常取似然函数的对数，得到对数似然函数l(λ,α,β|X) =Σ_{i=1}^{n} ln(f(X_i|λ,α,β))。
然后通过对对数似然函数对参数的偏导数，并令偏导数等于0，可以得到参数的最大似然估计值。
针对广义逆威布尔分布的参数λ,α,β的最大似然估计，我们可以按照上述方法进行计算。
1. λ的最大似然估计对于λ的最大似然估计，我们首先计算对数似然函数对λ的偏导数：其中Ψ(·)为伽玛函数的对数导数，即Ψ(·) = d ln(Γ(·))/d x。
令∂l/∂λ = 0，求得λ的最大似然估计值为：λ^ = α/(Σ_{i=1}^{n} ln(x_i)- (α/λ)Σ_{i=1}^{n} Ψ(α/λ))四、参数估计的实际应用通过上述计算，我们可以得到广义逆威布尔分布的参数λ,α,β的最大似然估计值。
将这些估计值代入到分布的概率密度函数中，就可以得到最优拟合的分布模型。
韦伯分布参数估计
韦伯分布参数估计引言韦伯分布（Weibull distribution ）是一种常见的概率分布，广泛应用于可靠性工程、生物学、工业工程等领域。
它具有灵活性和适应性强的特点，在数据建模和分析中发挥着重要的作用。
韦伯分布的参数估计是使用已观测到的数据计算韦伯分布的参数，从而对未来的事件进行预测和分析。
韦伯分布的定义韦伯分布是一种连续概率分布，其概率密度函数由下式给出：f (x;λ,k )={(k λ)(x λ)k−1e −(x λ)k,x ≥0;0,x <0.其中，x 是随机变量的取值，λ 是形状参数，k 是尺度参数。
韦伯分布参数估计方法对于韦伯分布的参数估计，常用的方法有最大似然估计法和矩估计法。
1. 最大似然估计法最大似然估计法是一种常用的参数估计方法，其思想是寻找参数值，使得观测到的数据在该参数值下的似然函数取得最大值。
对于韦伯分布，最大似然估计法的步骤如下：1. 建立似然函数。
假设有n 个观测值 x 1,x 2,...,x n ，则似然函数定义为：L (λ,k )=∏[k λ(x i λ)k−1e −(x i /λ)k ]ni=1 2. 对似然函数取对数。
对数似然函数的形式为：lnL (λ,k )=∑[lnk −lnλ+(k −1)ln (x i /λ)−(x i /λ)k ]ni=13.求解对数似然函数的偏导数为零的方程，得到参数的估计值。
对参数λ和k分别求偏导数，并令偏导数为零，可以得到方程组：{∂∂λlnL(λ,k)=∑[kλ2(x iλ)k−1−k(k−1)λ(x iλ)k]ni=1=0∂∂k lnL(λ,k)=∑[1k−ln(x i/λ)k2−ln(x i/λ)+(x iλ)kln(x i/λ)]ni=1=0通过求解以上方程组，可以得到参数λ和k的最大似然估计值。
2. 矩估计法矩估计法是另一种常用的参数估计方法，其基本思想是通过样本矩与理论矩的等值性对参数进行估计。
对于韦伯分布，矩估计法的步骤如下：1.计算样本矩。
加速寿命试验三参数威布尔分布的极小变异-极大似然估计
装备环境工程第20卷第5期·12·EQUIPMENT ENVIRONMENTAL ENGINEERING2023年5月加速寿命试验三参数威布尔分布的极小变异-极大似然估计马小兵，刘宇杰，王晗（北京航空航天大学 可靠性与系统工程学院，北京 100191）摘要：目的在加速试验中，对寿命服从三参数威布尔分布的产品进行可靠性评估与寿命预测，解决形状参数小于1时传统方法难以计算的问题。
方法利用三参数威布尔分布与指数分布之间的转换关系，以变异系数误差最小为优化目标，在确定最优位置参数估计值的基础上，应用拟极大似然方法估计分布模型中的其余参数，建立极小变异–极大似然估计（MV-MLE）。
根据加速寿命试验中失效机理不变的原则，在失效机理等同条件下，将该方法推广至多应力水平下的可靠寿命评估。
结果在单一应力与多应力水平下，通过仿真模拟验证了所提方法的有效性。
与传统方法相比，在小样本条件下，所提方法可提高形状参数（机理等同性参数）估计精度40%以上。
结论所提方法对于三参数威布尔分布的参数估计和寿命评估具有较高精度，能够有效克服传统方法的不足，在加速寿命试验评估中具有良好的应用效果。
关键词：三参数威布尔分布；变异系数；加速寿命试验；机理等同性；可靠性评估；寿命预测中图分类号：TB114 文献标识码：A 文章编号：1672-9242(2023)05-0012-07DOI：10.7643/ issn.1672-9242.2023.05.003Minimum Variation-Maximum Likelihood Estimation of Three-parameterWeibull Distribution under Accelerated Life TestMA Xiao-bing, LIU Yu-jie, WANG Han(School of Reliability and Systems Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China)ABSTRACT: The work aims to estimate the reliability and predict the lifetime of the products subject to three-parameter Weibull distribution under accelerated life test, so as to solve the problem that the traditional methods are difficult to complete the calculation when the shape parameter is less than 1. Through the conversion relationship between three-parameter Weibull distribution and exponential distribution, the best estimated value of the location parameter was determined with the error of co-efficient of variation as the optimization objective. Then, the analogue maximum likelihood method was used to estimate the remaining parameters of the Weibull distribution, based on which the minimum variation-maximum likelihood estimation收稿日期：2023–04–13；修订日期：2023–05–04Received：2023-04-13；Revised：2023-05-04基金项目：国家自然科学基金（72201019，52075020）；可靠性与环境工程技术重点实验室项目（6142004210105）；国防技术基础项目（JSZL2018601B004）Fund：The National Natural Science Foundation of China (72201019, 52075020); Reliability and Environmental Engineering Science & Tech-nology Laboratory (6142004210105); Basic Technical Research Project of China (JSZL2018601B004).作者简介：马小兵（1978—），男，博士。
数据分析利器EXCEL的协方差与相关系数
数据分析利器EXCEL的协方差与相关系数在数据分析的领域中，EXCEL是最为常用的工具之一。
其中，协方差和相关系数是用来衡量两个变量之间关系的重要指标。
本文将介绍如何使用EXCEL进行协方差和相关系数的计算，并探讨其在实际数据分析中的应用。
一、协方差的计算与应用协方差是衡量两个变量之间关系强度和方向的统计量。
它描述的是两个变量的总体变动趋势是否相似。
在EXCEL中，我们可以使用COVAR函数来计算协方差。
COVAR函数的使用方法为：=COVAR(范围1, 范围2)。
范围1和范围2是指两个变量的数据范围，可以是单列或单行的数据。
函数将返回两个变量之间的协方差值。
协方差的值越大，表示两个变量的变动趋势越一致；协方差的值越小，表示两个变量的变动趋势越不一致。
当协方差为正时，表示两个变量呈正相关关系；当协方差为负时，表示两个变量呈负相关关系。
在实际应用中，我们可以利用协方差来判断两个变量之间的关系。
如果我们希望衡量两个变量的变动趋势，以及它们之间的相关性，协方差可以提供一个初步的评估。
二、相关系数的计算与应用相关系数是衡量两个变量之间关系密切程度的统计量。
与协方差不同的是，相关系数除以了两个变量的标准差，将其标准化，使得相关系数的取值范围在-1到1之间。
在EXCEL中，我们可以使用CORREL 函数来计算相关系数。
CORREL函数的使用方法为：=CORREL(范围1, 范围2)。
范围1和范围2是指两个变量的数据范围，可以是单列或单行的数据。
函数将返回两个变量之间的相关系数。
相关系数的取值范围为-1到1。
当相关系数为1时，表示两个变量呈完全正相关关系；当相关系数为-1时，表示两个变量呈完全负相关关系；当相关系数接近于0时，表示两个变量之间关系较弱。
相关系数可以用来衡量两个变量之间的线性关系。
当我们进行数据分析时，可以利用相关系数来判断数据之间的相关性，从而得出一些有用的结论。
三、协方差与相关系数的应用案例为了更好地理解协方差和相关系数的应用，我们举一个实际的例子。
三参数威布尔分布参数估算方法对比研究
三参数威布尔分布参数估算方法对比研究郝晓乐;雷晓波;雷蒂远;文敏【摘要】提出了一种改进的最大似然法用于估算三参数威布尔分布参数.从累积分布函数、样本量、数据敏感性三个方面对比分析了相关系数法、最大似然法和灰色模型法三种参数估算方法的优劣性.研究得出:相关系数法和改进后的最大似然法估算的参数精度比灰度模型法高,灰度模型法对数据更敏感、参数估算值波动大,建议在飞机和发动机可靠性研究中采用相关系数法或最大似然法估算三参数威布尔分布参数.将威布尔分布应用在某飞机法向极值的研究中,结果表明该飞机法向过载极值符合三参数威布尔分布.建立的方法对于飞机和发动机结构可靠性研究具有一定的参考价值.【期刊名称】《机械研究与应用》【年(卷),期】2017(030)002【总页数】4页(P1-4)【关键词】飞行试验;可靠性研究;威布尔分布;最大似然法;极值预测;法向过载【作者】郝晓乐;雷晓波;雷蒂远;文敏【作者单位】中国飞行试验研究院发动机所,陕西西安 710089;中国飞行试验研究院发动机所,陕西西安 710089;中国飞行试验研究院发动机所,陕西西安 710089;中国飞行试验研究院发动机所,陕西西安 710089【正文语种】中文【中图分类】V217.32在航空发动机研制试车和服役阶段内出现的结构故障和可靠性问题,严重制约着部队战斗力,并使新一代发动机研制周期大大延迟。
发动机可靠性和寿命问题导致的恶性循环促使研究人员逐步重视发动机结构可靠性和寿命问题。
根据研究人员和工程人员的大量试验研究和统计分析发现:航空发动机许多关键部件,如涡轮叶片寿命、盘轴寿命、整机寿命等都符合威布尔分布[1-4]。
威布尔分布是根据最弱环节模型或串联模型得到的,能充分反映材料缺陷和应力集中源对材料疲劳寿命的影响,将它作为材料或零件的寿命分布模型或给定寿命下的疲劳强度模型是合适的,威布尔分布在整个材料及机械可靠性领域应用十分广泛。
威布尔分布包含双参数和三参数分布,由于三参数威布尔分布包含衡量最小寿命的位置参数,因此相比于双参数威布尔分布,三参数威布尔分布在强度与环境研究领域及机械零件磨损寿命评价中广泛更应用。
excel回归 计算相关系数
excel回归计算相关系数Excel是一款强大的数据处理和分析工具，其中的回归分析功能可以帮助我们计算相关系数。
相关系数是衡量两个变量之间关联程度的指标，它能够告诉我们变量之间的线性关系以及变量的变化趋势。
在本文中，我们将介绍如何使用Excel进行回归分析，并计算相关系数。
我们需要准备好要进行回归分析的数据。
假设我们有两个变量X和Y，我们希望通过回归分析来探究它们之间的关系。
在Excel中，我们可以将X和Y的数据分别输入到两列中，然后选中这两列数据。
接下来，我们需要找到Excel中的回归分析功能。
在Excel的菜单栏中，选择“数据”选项卡，然后点击“数据分析”按钮。
如果你没有找到“数据分析”按钮，说明你的Excel可能没有安装数据分析工具包，你需要先安装该工具包。
在“数据分析”对话框中，找到“回归”选项，然后点击“确定”按钮。
这时会出现一个新的对话框，我们需要填写一些参数。
首先，我们需要指定因变量（即Y）的数据范围，可以直接选中Y的数据列。
然后，我们需要指定自变量（即X）的数据范围，可以直接选中X的数据列。
最后，我们可以选择一些选项，如是否需要计算拟合优度等。
点击“确定”按钮后，Excel会自动进行回归分析，并将结果显示在一个新的工作表中。
在这个工作表中，我们可以看到回归方程的系数、拟合优度等统计指标。
其中，我们最关注的是相关系数。
相关系数通常用r表示，它的取值范围是-1到1。
当相关系数为1时，表示两个变量完全正相关；当相关系数为-1时，表示两个变量完全负相关；当相关系数为0时，表示两个变量之间没有线性关系。
通过观察相关系数的大小和符号，我们可以初步判断变量之间的关系。
除了相关系数，Excel还为我们提供了其他一些有关回归分析的统计指标，如回归方程的系数、拟合优度等。
这些指标可以帮助我们更全面地了解变量之间的关系。
需要注意的是，相关系数只能反映变量之间的线性关系，不能反映非线性关系。
如果我们怀疑变量之间存在非线性关系，就需要进行其他分析方法，如多项式回归分析或非线性回归分析。