利用EXCE的规划求解进行求解威布尔分布参数(技术专攻)
威布尔分布参数计算方法
威布尔分布参数计算方法\[ f(x;\lambda, k) = \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(x/\lambda)^k} \]其中，$\lambda>0$和$k>0$是威布尔分布的两个参数，$\lambda$称为尺度参数，$k$称为形状参数。
下面将介绍如何计算威布尔分布的参数。
##最大似然估计法最常用的参数估计方法是最大似然估计法。
假设我们有$n$个样本数据$x_1, x_2, ..., x_n$，要估计威布尔分布的参数$\lambda$和$k$。
首先，根据概率密度函数，我们可以得到似然函数：\[ L(\lambda, k ; x_1, x_2, ..., x_n) = \prod_{i=1}^{n}\frac{k}{\lambda} \left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(x_i/\lambda)^k} \]为了方便计算，我们可以求似然函数的对数：\[ \log L(\lambda, k ; x_1, x_2, ..., x_n) = n \log k - n \log \lambda + (k-1) \sum_{i=1}^{n}\log\left(\frac{x_i}{\lambda}\right) - \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^k \]接下来，我们需要最大化对数似然函数。
可以通过求偏导数等于0来求解最大化的参数。
求解$\lambda$的最大似然估计值：\[ \frac{\partial \log L}{\partial \lambda} = -\frac{n}{\lambda} + \frac{(k-1)}{\lambda} \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^k}{\lambda^{k+1}} = 0 \]化简上式得到：\[ \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{x_i}{\lambda}\right)^k =\frac{(k-1)}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{\lambda} \]我们可以定义一些中间变量：\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]\[ s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \]将上面的结果代入方程中：\[ \left(\frac{\bar{x}}{\lambda}\right)^k = \frac{(k-1)}{n} \frac{\bar{x}}{\lambda} \]进一步整理可得：\[ \lambda = \left(\frac{\bar{x}}{k-1}\right)^{1/k} \]接下来求解$k$的最大似然估计值，我们将$\lambda$的最大似然估计值带入似然函数中，得到：\[ \log L(k ; x_1, x_2, ..., x_n) = n \log k - n \log\left(\frac{\bar{x}}{k-1}\right)^{1/k} + (k-1) \sum_{i=1}^{n}\log\left(\frac{x_i}{\left(\frac{\bar{x}}{k-1}\right)^{1/k}}\right) - \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i}{\left(\frac{\bar{x}}{k-1}\right)^{1/k}}\right)^k \]类似地，对上式求偏导等于0，可以得到对$k$的求解。
利用EXCE的规划求解进行求解威布尔分布参数
利用EXCE的规划求解进行求解威布尔分布参数
由于威布尔分布的可以描述独立同分布变量的分布，经常被用于不同
概率密度函数模型之间的相互比较，因此其参数估计一直是建模分析的重
要环节，使用EXCEL可以规划求解威布尔分布参数，我们以以下案例来求
解该分布参数：
假设有一组随机样本x(1),x(2),…,x(n)，满足威布尔分布，想对α
和β参数进行估计，那么我们可以使用下面的方法：
1.首先，使用EXCEL编写对数似然函数，其表达式为：
lnL=ln[αβ^(α+n)]+α∑lnx-β∑x-nlnβ
这里α,β为待求参数。
2.编写规划过程求解α、β估计值。
具体而言，我们需要构建EXCEL规划模型，使得对数似然函数最大，而其估计值α、β即为结果。
我们以EXCEL求解威布尔分布参数为例，指导将这一过程编写如下：
1.首先，在EXCEL中编写对数似然函数，其表达式为：
lnL=ln[αβ^(α+n)]+α∑lnx-β∑x-nlnβ
这里α,β为待求参数，其取值范围通常设置为大于0小于100，因此，可以将参数α作为变量编写入EXCEL规划模型，即：
MIN = lnL
S.T.0 < α < 100 and0 < β < 100
2.在EXCEL中编写对数似然函数，其表达式为：
lnL=ln[αβ^(α+n)]+α∑lnx-β∑x-nlnβ
其中α,β为待求参数，α ∑ lnx 为样本的对数期望值， -β ∑x 为样本的期望值，而n ln β 为测量方差。
用Excel求解数学规划
用Excel求解数学规划武汉大学水利水电学院万飚Excel是Microsoft Office办公软件中的一个组件，以其强大的电子表格处理功能备受广大用户的青睐。
由于Excel支持丰富的公式和函数，因而在一般财务计算、高级财务管理、财务分析、信息管理、管理决策、市场营销、工程管理，以及管理科学、经济学和统计学等领域都得到了广泛的应用。
一、关于规划求解“规划求解”是Microsoft Excel中的一个加载宏，借助它可以求解许多运筹学中的数学规划问题。
Excel的“规划求解”工具来自德克萨斯大学奥斯汀分校的Leon Lasdon和克里夫兰州立大学的Allan Waren共同开发的Generalized Reduced Gradient(GRG2)非线性最优化代码；线性规划和整数规划算法来自Frontline Systems公司的John Watson和Dan Fylstra 提供的有界变量单纯形法和分支定界法。
安装Office的时候，系统默认的安装方式不会安装该宏程序，需要用户自己选择安装。
安装方法为：从Excel菜单中选择“工具”→“加载宏”，打开如下对话框：选择其中的“规划求解”后单击“确定”按钮，会出现提示：“这项功能目前尚未安装，是否现在安装?”，选择“是”，系统要你插入Office的安装光盘，准备好后单击确定，很快就会安装完毕。
于是，你会发现在“工具”菜单下多出一个名为“规划求解”的子菜单，说明“规划求解”功能已经成功安装。
二、第一个线性规划问题例：求解以下线性规划问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0,124 16 48232 21212121x x x x x x x x z max 步骤：1．将模型中的目标函数和约束条件的系数输入到单元格中；为了使我们在操作过程中看得更清楚，可以附带输入相应的标识符，并给表格加上边框。
如下图所示：2．在E4单元格（目标值）输入“=SUMPRODUCT($C$3:$D$3,C4:D4)”；其中，SUMPRODUCT 函数的功能是将数组间对应的元素相乘，并返回乘积之和，即SUMPRODUCT($C$3:$D$3,C4:D4)＝C3×C4＋D3×D4；$C$3:$D$3表示这几个单元格为绝对引用。
EXCEL规划求解解析
例1. 工厂生产计划优化问题
某工厂生产4种小型工具，由于该四种工具有 不同的大小、形状、重量和风格，所以它们所需要 的主要原料（钢材和橡胶）、制作时间、最大销售 量与利润均不相同。该厂每天可提供的钢材、橡胶 和工人劳动时间分别为600单位、1000单位与400小 时，详细的数据资料见下表。
应如何安排这四种工具的日产量，使得该厂的日利 润最大？
，求x2+3y的最大值。
完整的模型描述：
第二步 在“工具”菜单中选择“规划求解”。 第三步 在“规划求解参数”对话框进行选择如下图。
第四步 点击“选项”按钮，弹出“规划求解选项”对话框
第五步 单击“求解”，即可解决此题。
最后结果如下页图所示。
例2. 整数求解问题
完成下题的求解：
一般数值求解问题： 已知x,y取值满足
工具类型
表1 生产基本数据
12 3
4 可提供两
劳动时间（小时/件） 2 1 3 2 400小时
钢材（单位/件）
4 2 1 2 600单位
橡胶（单位/件）
6 2 1 2 1000单位
单位利润（元/件） 60 20 40 30
最大销售量（件） 100 200 50 100
解：依题意，设置四种工具的日产量分别为决策变量
2.如何加载“规划求解”
1) 在“工具”菜单上,单击“加载宏”
2) 在弹出的对话框中的“可用加载宏”列表框 中,选定待添加的加载宏“规划求解”选项旁 的复选框,然后单击“确定”.单击“确定” 后,“工具”菜单下就会出现一项“规划求解”
3. “规划求解”各参数设置
单击“规划求解”按钮,将会出现以下规划求Fra bibliotek解参数设置对话框
利用EXCE的规划求解进行求解威布尔分布参数技术专攻
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专业课
择“显示公式”和“显示R2值”； ⑶ EXCEL自动绘制回归直线，并把结果显示在图上，结果如图3 所示。其中斜率1.8486 即为形状参数m
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( ) i F t 采用中位值算法，即F(t )=(i − 0.3) (n + 0.4) i ； ⑺ 在F2 单元格中输入公式“
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=LN(LN(1/(1-E2)))”，用填充柄填充F3～F6 单元格，F2～ F6 单元格的值为为i y ，即 1 ( ) ln ln 1
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i t ； ⑸ 在D2 单元格中输入公式“=C2*C2”，用填充柄填充D3～D6 单元格，D2～D6 单元 格的值为为2 i x ； ⑹ 在
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E2 单元格中输入公式“=(A2-0.3)/5.4”，用填充柄填充E3～E6 单元格，E2～E6 单 元格的值为为( ) i F t ，这里
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专业课
模随机失效；当m>1 时，失效率是递增的， 适合于建模磨耗或老化失效。 设有n 个产品进行寿命试验数据，按失效时间先后得到的寿命数据
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失效时间(顺序统计 量)为 n t ≤ t ≤Λ ≤ t 1 2 ，对应的累计失效概率(经验分布函数)为( ) ( ) ( )
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专业课
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]，现有几十种参 数估计方法，但多数只能用于形状参数和尺度参数的估计。在众多的估计方法中，能用于三 参数估计的并不多，见诸文献的有极大似然估
excel求解线性规划
线性规划的excel求解模型
在单元格E4和E5中分别输入： E4 =C4*C7+D4*D7 E5 =C5*C7+D5*D7
(4) 确定用于表示目标函数值的单元格，称为目标单元格，这里用E6表示。 在E6输入：E6 =C6*C7+D6*D7
注意：特别关注C7，D7和E6，所以将其背景刷灰
线性规划的excel求解模型
(2) 确定用于表示变量的单元格，称为可变单元格，这里分别用C7，D7表示
x1和x2。
(3) 确定用于表示原约束方程的左边的单元格，称为输出单元格。这里分别 用E4，E5表示第一和第二个约束的左边，由于约束左边决定于变量的取值，即 决定于可变单元格C7和D7的值，所以E4，E5取值决定于C7，D7。
在Excel菜单栏中选择“工具/规划求解”，便会弹出“规划求解参数”对话 框，如下图所示。
模型参数设置
在开始求解之前，需先在对话框中设置好各种参数，包括目标单元格、问 题类型（求最大值还是最小值）、可变单元格以及约束条件等。
规划求解选项
在设置完模型参数之后，需要设置计算参数，点击“选项”按钮，选择运 算参数。
EXCEL线性规划求解
主要内容
Excel规划求解功能的加载 建立线性规划问题的excel模型 线性规划的Excel求解过程 求解结果分析
1、打开Excel 点击 “工具”菜单在下拉菜单中选 择“加载宏”；
2、在弹出式菜单中勾选“规划求解”，并点击“确 定”，则规划求解功能被加载(如果MS Office 2003未完全安装，则需要插入安装盘，才能顺利 加载)；
注意: (1) 特别关注决策变量的取值以及目标函数值，所以C7，D7和E6，所以将
其背景刷灰； (2) 单元格内没有任何输入时，默认取值为0；单元格内输入“=”表示单元
用Excel软件求解规划的方法
Microsoft Excel软件是当今十分流行的功能 Excel软件是当今十分流行的功能 强大操作方便的软件。在Microsoft Excel软 强大操作方便的软件。在Microsoft Excel软 件中，具有规划求解功能。如图1 件中，具有规划求解功能。如图1，在工具 菜单下，一般有“规划求解” 菜单下，一般有“规划求解”项，若未有， 则应先运行“加载宏” 则应先运行“加载宏”项目把其安装上。
图8
此时按“求解”按钮即可获得结果如图9 此时按“求解”按钮即可获得结果如图9。
图9
这时从A6至E9处可读出模型的最优解为: 这时从A6至E9处可读出模型的最优解为: x11=25000、 x20=14000、x30 =21000、x11=25000、 x20=14000、 x21=16000、y1=1,其余变量均为0。再从F14 x21=16000、y1=1,其余变量均为0。再从F14 处读出模型的最优值为2384095。 处读出模型的最优值为2384095。
图7
进入“规划求解”界面。“ 进入“规划求解”界面。“设置目标单元 格”处输入“F14”,然后选“最小值”，再 处输入“F14” 然后选“最小值” 在“可变单元格”处输入“A6:E9”,在“约 可变单元格”处输入“A6:E9” 束”处添加12个约束：⑴“A8：E8>=0”、 处添加12个约束：⑴“A8：E8>=0” ⑵“A9=1”、⑶“B9：E9＝二进制”、⑷ A9=1”、⑶“B9：E9＝二进制” “A10=35000”、⑸“B10=0”、⑹ “C10=0”、 A10=35000”、⑸“B10=0” C10=0” ⑺ “D10=0”、⑻ “E10=0”、⑼“F6=G6”、 D10=0” E10=0”、⑼“F6=G6” ⑽ “F7=G7”、⑾ “F8=G8”、⑿ “F9=1”。 F7=G7” F8=G8” F9=1” 最后，规划求解参数界面如图8 最后，规划求解参数界面如图8。再在 “选项”中选择“采用线性模型”。 选项”中选择“采用线性模型”
利用Excel中的加载宏新加入的规划求解功能解决线性规划问题
利用Excel中的加载宏新加入的规划求解功能解决线性规划问题（郑来运PPT例1）
具体步骤如下：
1.打开Excel，单击“工具”弹出菜单，然后单击“加载宏”会出现如下画面：
选择“规划求解”点击确定，这样你的Excel就有了能解决线性规划问题的功能。
2.依次输入以下数据作为准备工作，如下图：图中用不同的色块表示约束条件和可变部分
3.在表中选中D2的位置然后点击函数，出现“插入函数”的弹出框后，选择”常用函数”中的”SUMPRODUCT”,
如下图所示。
点击确定后在弹出的对话框中array1选择B2：C2，在Array2中选择B6：C6，同时可以看到公式的生成。
用相同的方法让D3,D4,都相应填上公式
选中E6输入公式SUMPRODUCT(B5:C5，B6:C6)
4.单击“工具”选择“规划求解”设置目标单元格为E6，可变单元格为B6，C6，并添加约束条件，如下图
单击“求解”
选择保存规划求解结果，点击“确定”得到求解结果。
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3～H6 单元格， H2～H6 单元格的值为 −γ ⒁ 在I2 单元格中输入公式“=($C$9-F2)/(B2-$I
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$8)”，用填充柄填充I3～I6单元格，I2～ I6 单元格的值为 ； ⒂ 在F8 单元格中输入公式“=SUM(H2:H6)”，F8单元格的
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i x ⋅ y ； ⑼ 在C7 单元格中输入公式 “=AVERAGE(C2:C6)”，C7 单元格的值为x ； ⑽ 在C8 单元 格中
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输入公式“=SUM(D2:D6)”，C8 单元格的值为Σ= n i i x ` 2 ； ⑾ 在C9 单元格中输入公式“=AVER
威布尔分布是瑞典物理学家Weibull W.分析材料强度时在 实际经验的基础上推导出来 的分布形式[1]，国内外大量 研究表明，用三参数威
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布尔分布比用对数正态分布往往能更准确 地描述结构疲
劳寿命或腐蚀损伤的概率分布[2]，物理意义更加合理； 在以损耗为特征的机械 零件寿命评估中，
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采用三参数威布尔分布比采用二参数威布尔分布拟合精 度更高。因此，三 参数威布尔分布在强度与环境研究领 域及机械零件磨损寿命评价中得到越来越广泛的
法、图估计法等，除图估计法外，其他方法大都计算复 杂，应用不便，即便是计算 机水平发达的今天
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，也只能通过Matlab 或其他计算机语言编程计算。EXCEL 提供了超强的 数学运算、统计分析等实用程序 ，利用它
的规划求解功能可以快速、
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高效地求解三参数威 布尔分布的参数估计问题。
2. 三参数威布尔分布模型 威布尔分布的寿命分布函
F t i i （2） 根据失效时间和累计失效概率即可用各种方法对其参数进 行估计。
3. 最大相关系数优化法 对（ 专业课
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1）式做变形处理，并取两次自然对数得到： 4. 用EXCEL 进行参数估计 （6）式所表示的方程十分复杂，解该方程 一般是通过编程，用数值解法
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求出γ ，然后 求再用最小二乘法或其他方法求解 形状参数和尺度参数。MS EXCEL 具有强大的统计和计 算 功能，其“规划求解”功
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E2 单元格中输入公式“=(A2-0.3)/5.4”，用填充柄填充 E3～E6 单元格，E2～E6 单 元格的值为为( ) i F t ，这里
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( ) i F t 采用中位值算法，即F(t )=(i − 0.3) (n + 0.4) i ； ⑺ 在F2 单元格中输入公式“
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能更是求解最优化问题的强有力工具，（6）式所表示的 方程利用 EXCEL 的“规划求解”功能可很容易解出，然 后再利用其散点图的趋势线功能即可求
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出形状 参数和尺度参数。本文通过实例，就相关系数优化法， 用EXCEL 进行求解。
例：选取5 台某产品进行可靠性试验，失效时间分别是
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AGE(F2:F6)”，C9 单元格的值为y ； ⑿ 在C10 单元格中输 入公式“=SUM(G2:G6)”，C10 单元格的值为&Sigma
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;= ⋅ n i i i x y ` ； ⒀ 在H2 单元格中输入公式 “=($C$7-C2)/(B2-$I$8)”，用填充柄填充H
值； ⑷ 在C2 单元格中输入公式
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“=LN(B2-$I$8)”，用填充柄填充C3～C6 单元格，C2～C6 单 元格的值为i x ，即ln( −γ )
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i t ； ⑸ 在D2 单元格中输入公式“=C2*C2”，用填充柄填 充D3～D6 单元格，D2～D6 单元 格的值为为2 i x ； ⑹ 在
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应用。
在农业机械的强度设计中也经常要用到威布尔分布。
威布尔分布参数估计方法有很多， 国内外一直有人在进行相关研究[3-
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]，现有几十种参 数估计方法，但多数只能用于形状参数 和尺度参数的估计。在众多的估计方法中，能用于三 参
数估计的并不多，见诸文献优化法、概率权重矩法、 灰色估计
数由下式给出 式中：m 称为形状参数
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，m>0；η 称为尺度参数，η>0；γ 称为位 置参数，也称最小寿 命，表示产品在γ 以前不会 失效，对
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于产品寿命有γ ≥ 0 ,γ =0 时退化为二参数 威布尔分布； t 是产品的工作时间， t ≥ γ 。
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当m<1 时， 由式( 3 ) 给出的失效率是递减型的，适合于 建模早期失效；当m=1 时， 失效率为常数，即退化为指 数分布，适合于建
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模随机失效；当m>1 时，失效率是递增的， 适合于建模磨耗或老 化失效。
设有n 个产品进行寿命试验数据，按失效时间先后得到的寿
命数据
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27,32,36,42,49，已知产品寿命 服从威布尔分布，试估计 分布参数。
1) 准备数据表 按图1 准备数据表 ⑴ 在A2～A6
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单元格中输入产品失效的顺序号1～5； ⑵ 在B2～B6 单元 格中输入产品的失效时间27、32、36、42、49；
⑶ 在I8 单元
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格中输入位置参数γ 的迭代初值，初值可选择接 近于第一个失效时间，也 可用图估计法的估计值作为初
失效时间(顺序统计 量)为 n t ≤ t ≤Λ ≤ t 1 2 ，对应 的累计失效概率(经验分布函数)为( ) ( ) ( )
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1 2 n F t ≤ F t ≤Λ ≤ F t 。
其中到第i 个产品失效时的累计失效概率F(ti )可用中
位秩算
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法求得：
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=LN(LN(1/(1-E2)))”，用填充柄填充F3～F6 单元格，F2～ F6 单元格的值为为i y ，即 1 ( ) ln ln 1
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i − F t ； ⑻ 在G2 单元格中输入公式“=C2*F2”，用 填充柄填充G3～G6 单元格，G2～G6 单元格 的值为i