三重两参数威布尔分布混合模型的统计分析
非对称三参数Weibull分布的统计分析及其应用
非对称三参数Weibull分布的统计分析及其应用作者：胡银花徐晓岭来源：《上海师范大学学报·自然科学版》2018年第01期摘要：在两参数Weibull分布的基础上，提出了一种取值于（-∞，+∞）上的非对称三参数Weibull分布，研究了其密度函数的图形特征，给出了该分布的数字特征，在全样本场合下给出了参数的两种矩估计和极大似然估计，并通过Monte-Carlo模拟考察了估计的精度.最后选取2016年1月4日至2016年5月6日上证综指和深圳成指的数据，应用非对称三参数Weibull分布对中国股市大盘进行实证分析，结果表明非对称三参数Weibull分布模型能够较好地拟合中国股市大盘的日收益率，同时还得到了相应参数的点估计.关键词：非对称三参数Weibull分布; 形状参数; 刻度参数; 矩估计; 极大似然估计; 股指收益率; KS检验中图分类号： O 29文献标志码： A文章编号： 1000-5137（2018）01-0011-11The statistical analysis and application of asymmetricthree-parameter weibull distributionHu Yinhua， Xu Xiaoling*（School of Statistics and Information，Shanghai University of International Business and Economics，Shanghai 201620，China）Abstract：On the basis of two-parameter Weibull distribution，we propose asymmetric three-parameter Weibull distribution which takes values in （-∞，+∞），and study its graphic features of the density function as well as the numerical characteristics of this distribution. In the full sample cases，we offer two moment estimation methods and MLE method to estimate the parameters of the distribution，and study the accuracy of our estimation by using the Monte-Carlo simulation.We choose data of Shanghai Composite Index and Shenzhen Component Index from Jan.4th，2016 to May 6th，2016，and apply the asymmetric three-parameter Weibull distribution model to carry out the empiricalanalysis on these two market indices of China.We show that the asymmetric three-parameter Weibull distribution model fits well the daily return of Chinese stock market index，and also get the point estimation for relevant parameters at the same time.Key words：asymmetric three-parameter Weibull distribution; shape parameter; scale parameter; moment estimation; MLE; index return; KS test收稿日期： 2017-06-14基金项目：国家自然科学基金（11671264）作者简介：胡银花（1992-），女，硕士研究生，主要从事数理金融统计方面的研究.E-mail：huyinhua_betty@*通信作者：徐晓岭（1965-），男，教授，主要从事应用统计方面的研究.E-mail：xlxu@引用格式：胡银花，徐晓岭.非对称三参数Weibull分布的统计分析及其应用 [J].上海师范大学学报（自然科学版），2018，47（1）：11-21.Citation format： Hu Y H，Xu X L.The statistical analysis and application of asymmetric three-parameter weibull distribution [J].Journal of Shanghai Normal University（Natural Sciences），2018，47（1）：11-21.0引言两参数Weibull分布最早是由瑞典科学家、工程师威布尔于1939年在对材料断裂强度进行概率特性的描述时提出的，由于Weibull分布具备良好的性质，它已经和正态分布、指数分布和t分布等常用分布一样，成为现代统计领域应用最多的统计分布之一，并广泛地应用于产品可靠性、金融和保险等领域.但是随着科技发展和数据类型的丰富，经典的Weibull分布不能很好地拟合非单调风险率模型.鉴于此，有学者在Weibull分布的基础上进行了一系列拓展分析，例如2000年，Sornette在文献[1]中通过正态分布导出了一种修正的Weibull分布，并在文献[2]中详细地研究了该修正的Weibull分布的性质，同时也指出了其在金融领域中的应用.龙源期刊网 。
Weibull分布
Weibull分布（韦伯分布）(2006-07-04 22:04:01)转载分类：学习Weibull分布，又称韦伯分布、韦氏分布或威布尔分布，由瑞典物理学家Wallodi Weibull于1939年引进，是可靠性分析及寿命检验的理论基础。
Weibull分布能被应用于很多形式，包括1参数、2参数、3参数或混合Weibull。
3参数的该分布由形状、尺度（范围）和位置三个参数决定。
其中形状参数是最重要的参数，决定分布密度曲线的基本形状，尺度参数起放大或缩小曲线的作用，但不影响分布的形状。
另外，通过改变形状参数可以表示不同阶段的失效情况；也可以作为许多其他分布的近似，如，可将形状参数设为合适的值近似正态、对数正态、指数等分布。
形状参数通常在[1，7]间取值。
一般由W（α,β）表示2个参数的Weibull分布，其分布函数为：，其中x>0，α、β>0。
可以看出有两个参数α、β，其中β为形状参数，α为尺度参数。
若取β为1，则F（x）为指数分布。
Weibull分布的概率密度函数（pdf）为：。
Weibull双参数的PDF分布见上图。
（自己做的，有点粗糙）下面我们以其pdf图看Weibull分布各参数的作用。
下图是形状参数β对pdf的影响（α固定）：下图为尺度参数α对pdf的影响（β固定），横轴为变量x，纵轴为f（x）：另外，由于Weibull分布可以近似表示其他别的分布，eg，β=1时，F（x）为指数分布。
将其用到复杂网络中，则此时对应指数网络？当β逐渐增大时，是不是对应分布极不均匀的无尺度网络？这样的话可以通过调整一个参数构造不同的网络？而**人的层次故障节点动态模型就是因此而引入Weibull分布（1参数）的吧？这样的话，β大的网络发生层次故障的规模比较大就可以理解了。
再继续深入分析。
关于一种三参数Weibull分布的参数估计问题的研究
（ 4）
{ α（ ∏ i =1
n
β xi － γ ） α
β －1
exp［－ （
（ 5）
n xi － γ β nβ β， γ） β ln L（ α， =－ + ∑（ ） = 0， α α α i =1 α n n ln L（ α， xi － γ β xi － γ n β， γ） （ 6） =－ + ∑ ln （ x i － γ） － nln α － ∑ （ ） ln （ ） = 0 β β α α i =1 i =1 n n 1 β， γ） β ln L（ α， β －1 = （ x － ） － （ － 1 ） （ ） = 0． γ β ∑ i β∑ xi － γ γ α i =1 i =1 lnL（ α， β， γ） ＞ 0 ． 则对任意的 β ≤ 1 ， 对于方程组（ 6 ） 的第三个方程， 如果 β ≤ 1 ， 则 当 γ → x1 时， γ L （ α， β， γ） → +∞ ． 显然此时使用极大似然法估计参数并不适合 ， 故这里只考虑 β ＞ 1 的情况．
(（ ∏ i =1
n
n
xi β ）（ ） α α
β －1
·exp［－ （
（ 2）
பைடு நூலகம்
∑ x i β ln x i n 1 ， β = i = 1 － ln x ∑ i n n i = 1 ∑ xi β i =1 n αβ = 1 x β． ∑ n i =1 i 4］ 文［ 指出， 可取 β0 = （ ln x n － 1 ln x i ） n∑ i =1
205
G（ γ） =
β（ γ） （ ） ∑ （ x i － γ） α（ γ ） β γ i = 1
基于威布尔分布并联模型的发动机可靠性分析方法
Ｆ（） （ ｔ＝尸
ｆ＝１ ）
各 分 布 参 数 之 后 ，对 失 效 数 据 进 行 可 靠 性 评 估 和 预 测 。威 布 尔 分 布 对 于 各 种 类 型 的 可 靠 性 数
据 拟 合 能 力 很 强 ， 是 可 靠 性 分 析 技 术 中 使 用 最 为 广 泛 的 一 种 数 学 模 型 。 文 献 ｆ ，】 结 了 多 种 １２ 总 威 布 尔 模 型 及 其 特 征 ， 如 混 合 分 布 模 型 、分 段 模 型 和 竞 争 风 险 模 型 等 。 文 献 【］ 出 了 一种 混 ３提 合 威 布 尔 分 布 参 数 估 计 的 Ｌ Ｍ 算 法 。文 献 ［ ，】 — ４ ５ 总 结 了 多种 改 进 威 布 尔 模 型 及 其 概 率 图 特 征 ， 并 且 提 出 了 对 于 给 定 失 效 数 据 选 取 相 应 模 型 的 方 法 。 文 献 【 】 细 讨 论 了 两 重 混 合 威 布 尔 模 ６详 型 、 两 重 分 段 模 型 和 两 重 竞 争 风 险 模 型 的 概 率
１２ 第 ３卷 ７１ ３ 第６ 期 ２１— （ ） ０ １ ６上
铷Ｉ
１２ 威布 尔分 布并 联模 型 ．
由 两 个 两 参数 威 布 尔 分 布 形 成 的 并 联 模 型 的 累积 失效 分布 函数Ｆ ｔ ： （为 ）
訇 出
程 。为 检 验 回 归分 析 的 准确 程 度 ，可 以 进 行线 性 相关性 检验 。线性 相关 性 检验 用于检 验变量Ｘ 之 与Ｙ 间是否 真正存 在线性 相 关性 。线性 相关 系数 为 ：
据 进 行 分 析 ， 并 采 用 作 图 法 估 计 分 布 参 数 ， 更
述为早 期失 效 ；１ １ ，失效 率为 常数 ，适用 于描 ３ 时 ＝
Vectran长丝断裂强力的Weibull分布统计分析
Vectran长丝断裂强力的Weibull分布统计分析李敏洁;汪泽幸;陈南梁【摘要】通过假设检验，验证了2种Weibull分布对Vectran长丝断裂强力统计分析的适用性，并用2种Weibull分布对4种不同长度的长丝断裂强力进行统计分析.借助Minitab分析平台计算出Vectran长丝的平均断裂强力、Weibull模数、尺度参数和位置参数，并模拟了断裂强力的概率图和概率密度曲线.结果表明：Weibull分布适用于分析Vectran长丝的断裂强力，且三参数Weibull分布比两参数Weibull分布拟合程度更好；随着Vectran长丝试样长度的增大，其断裂强力的Weibull 模数逐渐减小，同时平均断裂强力逐渐变小，且由两参数Weibull分布得出的平均断裂强力略小于三参数Weibull.【期刊名称】《丝绸》【年(卷),期】2012(000)010【总页数】5页(P11-15)【关键词】Vectran长丝;断裂强力;Weibull分布【作者】李敏洁;汪泽幸;陈南梁【作者单位】东华大学纺织学院,上海 201620; 产业用纺织品教育部工程研究中心,上海 201620;产业用纺织品教育部工程研究中心,上海 201620; 湖南工程学院纺织服装学院,湖南湘潭 411104;东华大学研究院,上海 201620; 产业用纺织品教育部工程研究中心,上海 201620【正文语种】中文【中图分类】TS102.5;TS101.921.4Vectran聚合物是一种类似于芳族聚酰胺的聚酯。
其中用萘代替乙烯，然而萘是一种双环结构，因此重复建立了平面型分子(图1)。
在进行熔融纺丝时，通过高剪切纺丝过程中的结晶区域的校正，改善了Vectran聚合物的物理性能[1]，因此与标准的PET相比，其强力、模量和热稳定性有所增强。
Vectran聚合物广泛用作工业材料、电气材料、防护用品、渔网、缆索、传送带、体育运动用品等，以及橡胶、水泥、塑料的高强度增强材料[2]。
可靠性分析威布尔三参数估计方法比较分析
可靠性分析威布尔三参数估计方法比较分析郭必柱;邓建【摘要】对可靠性分析中疲劳寿命Weibull分布的参数估计方法进行研究.在研究相关系数优化法的基础上,提出一种新的参数估计方法--割线优化法.在MATLAB的基础上改进了概率权重矩法,使此参数估计方法精度提高并使之更方便于工程计算.给出了计算Weibull三参数的MATLAB语言程序,并对这三种参数估计方法进行了分析比较.运用这些方法进行工程实例计算,计算结果表明割线优化法有较高的精度.通过实例计算确定了各方法工程应用上的差异及其适用范围,对工程人员选用合适参数估计方法起一定指导作用.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2010(010)025【总页数】6页(P6117-6122)【关键词】可靠性;威布尔分布;相关系数;割线优化法;超过概率权重矩【作者】郭必柱;邓建【作者单位】中南大学资源与安全工程学院,长沙,410083;中南大学资源与安全工程学院,长沙,410083【正文语种】中文【中图分类】O213.2;TB114.3自从 W.Weibull1951年在二参数威布尔分布的基础上建立了三参数模型[1,2],并用之建模处理大量的失效数据以来,三参数的威布尔分布模型在结构疲劳可靠性理论乃至整个可靠性学科中都成为了十分常用和重要的概率分布[3—6]。
在可靠性领域常见的几种概率分布,如指数分布、瑞利分布等,可看作是威布尔分布的特例。
而常见系统中元件的可靠性参数(如失效概率);工程材料的疲劳寿命和强度分布都可用威布尔分布很好地描述,因此,研究威布尔分布就有十分广泛的实际意义[7]。
然而,三参数威布尔分布模型的参数估计正因为含有 3个参数而变得复杂,所以能根据样本失效数据对三个参数进行准确估计,在结构疲劳可靠性研究方面具有十分重要的意义。
因此,国内外一直有人在致力于相关研究。
早期的做法通常是先由作图法得到位置参数,然后线性回归分析得形状参数和尺度参数[8,9],然而小样本作图法误差大,相关研究人员找到了新的参数估计方法。
基于三参数威布尔可靠性模型的航空装备故障预测研究
基于三参数威布尔可靠性模型的航空装备故障预测研究作者：孙扩赵波杨航来源：《航空维修与工程》2020年第10期摘要：针对目前我军装备保障任务维修中存在的设备故障率高和过度检修等问题，以三参数威布尔为基础，基于某飞机历年的故障记录数据，针对该型飞机的几个重要设备开展可靠度建模，并在故障預测中加以验证，与历年同时段同架次飞机故障数据进行对比，验证了该模型和预测方法具有可行性。
关键词：三参数威布尔；可靠度建模；航空设备；故障预测Keywords：three parameters Weibull；reliability modeling；aviation equipment；failure prediction0 引言航空装备维修保障主要有三类：事后维修、定期维修和视情维修[1]。
目前，我军装备保障任务维修基本采用的是事后维修与定期维修相结合的方式，该方式虽然有着简单、可操作性强的特点，但是存在设备故障率高和过度检修的风险和挑战。
随着设备状态监控技术的兴起，视情维修方式必定成为今后很长一段时间内装备维修保障的发展方向。
为此，针对某型飞机的重要电子设备，利用三参数威布尔构建可靠性模型，对设备进行故障预测和实验验证，为该设备的视情维修提供分析依据。
1威布尔分布威布尔分布[2]因瑞典教授Wallodi Weibull在进行材料强度统计时首次使用而得名，目前已广泛应用于电子元器件寿命试验和机械产品的疲劳寿命试验中。
两参数威布尔分布的参数估计简单、适应能力较强，但是某些机电设备特别是航空机电设备，其威布尔概率并非均匀分布，这种情况下三参数威布尔模型更能够描述复杂机电类产品磨损累计失效的分布形式。
因此，本文将三参数威布尔模型作为飞机设备可靠性建模的核心模型。
三参数威布尔分布的概率分布函数为：三参数威布尔分布的失效率函数为：2 威布尔模型可靠度建模与故障预测针对航空设备故障开展可靠度建模和故障预测[3]的基本流程如图1所示。
基于BP网络的机器人大臂可靠度预测
杂、解析式难以获取等问题。为此,提出一种基于BP神经网络的可靠度预测评估模型。首先利用传统数学模型分析
工业机器人大臂中部分机械元件的可靠度，然后在所建立的BP神经网络模型的基础上，用这些机械元件的可靠度
预测大臂部分的整体可靠度。将用传统数学模型分析出的大臂部分整体可靠度与BP神经网络预测的可靠度进行对
我们在威布尔分布模型的基础上，构建可充分体 现各变量之间内在联系、能够实现任意非线性映射的 BP神经网络可靠度预测评估模型，并以GR630机器 人大臂部分的可靠度数据为研究对象，用采集到的部 分机械元件的可靠度对整个机械系统的可靠度进行网 络训练和预测，研究训练参数等因素对可靠度预测精 度的影响，验证所建模型的有效性。
可靠度
-
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输
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输出
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1 000 0.999 948 256 478 253 0.999 948 256 478 253 0.999 948 256 478 253
0.999 948 256 478 253 0.999 948 256 478 253 0.996 935 740 989 253
国内外学者从不同角度研究了使用威布尔分布模 型的可靠度预测。代卫卫等⑷采用威布尔分布模型对 刮板输送机的寿命模型进行了验证，分析了该模型的 故障规律，并利用优化后的分布模型计算了可靠度寿 命指标。穆艳等冈提出了用最小二乘法确定威布尔分 布模型的具体参数，并对真空断路器平均寿命的可靠 度进行了预测。曹克强等间提出了采用最小二乘法和 相关系数法相结合的方法估计三参数威布尔分布的参 数，对航空产品的可靠度进行预测。YANG等⑺指出航 空发动机的故障模式多样，单一的威布尔分布模型误 差大，故采用三参数相关系数优化方法增强了威布尔 分布模型，大大提高了混合分布可靠性模型的精度。 DUFFY等冈描述了三参数威布尔分布的非线性回归估