数理方程第四章 格林函数法 ppt课件

域，Px,y,z， Qx,y,z，Rx,y,z在闭域 上连
续,在 内有一阶连续偏导数，则
P x Q y R z d V P c o s n ,x Q c o s n ,y R c o s n ,z d S 其中n为 的外法向量。
高斯公式可简记为
a d V a n d S
对于狄利克雷问题，v 满足
2v 0, v v | 0
对于牛曼问题, v 满足
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2v 0, v
v
n | 0
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4.2 格 林 公 式
在第一格林公式中取 uvu1u2 , 由 v 是调和
函数，可得
在两种0 边 界 条v件 n v 下d ，S 都有 g ra vd v nvg drSad v 0, dV 所以
4.2 格 林 公 式
令 0, 则 lim 0uuM 0
边界条件:
1） 第一边值问题
u0 ( )
u | f .
狄利克雷(Direchlet)问题 2)第二边值问题
u0 ( )
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u f n
纽曼(Neumann)问题
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4.2 格 林 公 式
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4.2 格 林 公 式
高斯公式：设 是以光滑曲面为边界的有界区
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4.2 格 林 公 式
设 uux,y,z,vvx,y,z满足
u ,v C 1 C 2
令 Px,y,zuv Qx, y,zuv Rx,y,zuv
x
y
z
则 P ,Q ,R C C 1
将 P,Q, R 代入高斯公式，等式右端
2
gradv dV0.
v v v
故在 内必有
gradv0 , 即
0 x y z
可得 vC ，其中 C为常数. 2020/12/17
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4.2 格 林 公 式
对于狄利克雷问题, 由于 v | 0, 故 C0
从而 v0 .
结论
狄利克雷问题在 C1C2
内的解是唯一确定的, 牛曼问题的解在相差一个常数下也
u x vco n ,x s y vco n ,y s v zco n ,zs dS
u
v n
dS
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u,v 交换4.2 格 林 的公 式位置, 有
P xv2Q yudVR zdV
v u dS
gradvgradudV
两式相减, 得 n
是唯一确定的.
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4.2 格 林 公 式
3) 调和函数的积分表达式
所谓调和函数的积分表达式, 是指用调和函数及其在 区域边界 上的法向导数沿 的积分来表达调和函数 在 内任一点的值.
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4.2 格 林 公 式
“太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
设 uux,y,z满足拉普拉斯方程
2u2u2u 0, x2 y2 z2 描述稳恒状态下的物理过程。 通常表示成
2u 0
不存在初始条件.
拉普拉斯方程的解称为调和函数
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4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
v
f
)有1,解则的有必要 条un件dS为函0.数
f
满足
n
fdS 0
事实上, 这也是牛曼内问题有解的充分条件.
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4.2 格 林 公 式
2) 拉普拉斯方程解的唯一性问题
设 u 1 , u 2 是拉普拉斯方程定解问题的两个解，则
它们的差 vu1u2必是原问题满足零边界条件的解.
uxxvux2v2 d
V
uy yvuy2v2 dV
u z
v z
uz2v2 d
V
u x( ux v 2 vu y y vv 2u u z) dv zV dV (uux2nvv2 vy2v2un )z2vd2SdV
gradugradvdV u2vdV 第二格林公式
所以
u2vdV
内挖去
M
的球形邻
0
域 K , 是其球面. 在区域 K内及其边界
上， v 1 是任意可导的。
r
在第二格林公式中, 取u为调和函数, 假定它在
上有一阶连续偏导数, 而取v 1 , 在区域 K 上应
用公式得
r
K
u2
1r 1r2udV
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u
1 r
n
1 r
u n
dS
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4.2 格 林 公 式
在球面 上
1n /r 1r/rr1212
因此
u 1 r /rd S1 2 u d S1 2u4 24 u
同理可得
因此
1 r u ndS1 u ndS4 u n
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u n 1 r 1 r u n pp t课d 件 S4u4 u n 0 18
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u v dS n
gradugradvdV
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第一格林公式10
4.2 格 林 公 式
1) 牛曼内问题有解的必要条件
设 u 是在以 为边界的区域 内的调和函数,
在 上有一阶连续偏导数, 则在第二格林公式
中取 u 为上述调和函数, 所以牛曼内问题( u
设 M 0x0,y0,z0是 内一固定点, 下面求调和
函数在这一点的值.
为此构造一个辅助函数
1
1
v
r xx02yy02zz02
可以证明Biblioteka Baidu数 1
r
除点 M 0 外处处满足拉普拉斯
方程, 它称为三维拉普拉斯方程的基本解.
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4.2 格 林 公 式
为了利用格林公式，我们在
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
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4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
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“不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨， 没有学问无颜见爹娘 ……”