格林函数方法
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格林函数方法
，S上
给定，
（1）V内有电荷分布
求V内
相应格林函数问题
在S上）
常数（
（2）
只要知道
和
，即可马上得到
（1） 的求解本身也不是一件很容易的事情。一般只有区域几何形状规则、简单才容易求解。电象法是求解格林函数的有效方法之一。
3．格林函数方法求解讨论
（2）格林函数方法也可用来解拉普拉斯方程的边值问题。由
本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。 它与点电荷解的边值相关，但可以解静电学的许多边值问题。 设V内电荷分布 已知，
—— 第一边值问题
① 给定V边界
求V内各点电势值。
本节内容不作考试要求。格林函数方法在求解静电场的某些问题中非常有用，而且在理论物理的研究中是很重要的工具。
—— 第一类边值问题
—— 第二类边值问题
（1）无界空间中的格林函数
的距离
到
球坐标中
（偶函数）
显然满足点电荷泊松方程。
（2）上半空间的格林函数
（3）球外空间的格林函数
设点电荷Q = 1 坐标为
观察点为
（
相当于题中的 a ）
设假想点电荷在
，它的坐标为
（它在
连线上，题中b对应这里的
）
∵
三、用格林函数求解一般的边值问题
一、点电荷密度的
函数表示
处于
点上的单位点电荷的密度
[一般
]
2．常用公式
点电荷的泊松方程：设电势为
单位点电荷产生的电势
空间区域V上的边界条件
或
常数
格林函数的对称性
（偶函数）
对于静电场的点电荷问题
称为静电场的格林函数
（
给定，
（1）V内有电荷分布
求V内
相应格林函数问题
在S上）
常数（
（2）
只要知道
和
，即可马上得到
（1） 的求解本身也不是一件很容易的事情。一般只有区域几何形状规则、简单才容易求解。电象法是求解格林函数的有效方法之一。
3．格林函数方法求解讨论
（2）格林函数方法也可用来解拉普拉斯方程的边值问题。由
本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。 它与点电荷解的边值相关，但可以解静电学的许多边值问题。 设V内电荷分布 已知，
—— 第一边值问题
① 给定V边界
求V内各点电势值。
本节内容不作考试要求。格林函数方法在求解静电场的某些问题中非常有用，而且在理论物理的研究中是很重要的工具。
—— 第一类边值问题
—— 第二类边值问题
（1）无界空间中的格林函数
的距离
到
球坐标中
（偶函数）
显然满足点电荷泊松方程。
（2）上半空间的格林函数
（3）球外空间的格林函数
设点电荷Q = 1 坐标为
观察点为
（
相当于题中的 a ）
设假想点电荷在
，它的坐标为
（它在
连线上，题中b对应这里的
）
∵
三、用格林函数求解一般的边值问题
一、点电荷密度的
函数表示
处于
点上的单位点电荷的密度
[一般
]
2．常用公式
点电荷的泊松方程：设电势为
单位点电荷产生的电势
空间区域V上的边界条件
或
常数
格林函数的对称性
（偶函数）
对于静电场的点电荷问题
称为静电场的格林函数
（
格林函数方法
格林函数方法
1、格林函数
格林函数（Green's function）是指由著名数学家.格林（Green）提出的数学方法，它是一种可以求解各种微分方程的技术。
格林函数的定义是对于任意给定的初值问题，在区间上的解的和等于给定的数值13。
其用法主要有两种：一种是用于求解某些有定型的初值问题；另一种是求解某些微分方程的积分解。
格林函数的结果可以用来解决复杂的初值问题和理解复杂的微分方程以及系统的时间变化。
2、格林函数的原理
格林函数可以用来解决一类有特定初值条件的常微分方程组。
它的原理是基于一种叫做拉普拉斯变换（Laplacetransform）的数学变换理论，它是一种将微分方程组变换成求积分方程组的方法，从而可以使原本困难的初值问题变得容易解决，其在解决物理学中不变解中特别有用。
3、格林函数的计算
对于特定的初值条件，可以使用格林函数计算出拉普拉斯变换得到的积分方程的结果，从而计算得到解析解。
计算过程比较复杂，需要用到积分变换和methods。
总之，格林函数是一种可以求解复杂常微分方程的有效数学方法，它基于拉普拉斯变换的原理，对于特定的初值问题，运用格林函数，可以计算出相应的解析解。
格林函数方法)
例如对许多准粒子问题只需知道相互作用过程中少数粒子的初态与末态间的跃迁振幅相应的格林函数就能得到体系的一些特征而对于固体物理中的很多问题只有对应于费米能量附近的系统格林函数与我们要研究的性质有关
第七章 格林函数方法
第一节 前言
从五十年代开始，量子场论中的格林函数方法被用于研究统计物理学中的 问题。到六十年代后期，格林函数理论在固体物理等多个领域得到了进一步的拓 展，被认为是一种强有力的数学工具[1]。例如，对许多准粒子问题，只需知道相 互作用过程中少数粒子的初态与末态间的跃迁振幅（相应的格林函数），就能得 到体系的一些特征，而对于固体物理中的很多问题，只有对应于费米能量附近的 系统格林函数与我们要研究的性质有关。这样，格林函数方法就成为研究系统性 质的直接有效的方法。 但是在很多的实际问题中，如一些较复杂的有限尺寸量子系统，要得出其格 林函数的解析表达式是很困难的，因此必须要通过数值计算来解决。格点格林函 数方法[2-17]是通过把系统分离成一些格点，然后通过计算这些格点及格点间的格 林函数，进而得出整个体系的格林函数的一种有效数值计算方法。它与其他的一 些数值方法如有限元法[18]、转移矩阵法[19,20]、散射矩阵法[21]、模式匹配法[22]等相 比较，格点格林函数方法能够很方便的处理磁场和无序（掺杂）等问题。在系统 的某个区域加入磁场时，只需要考虑一个 Peierls 相位因子。当系统的自由度很 大时， 用一般的格点格林函数方法求解系统的格林函数就对应一个很大维数的矩 阵计算。虽然计算机技术飞速发展，但是计算机的容量仍然制约着我们所能直接 处理的矩阵的维数。在这种情况下，迭代技术已经被越来越广泛地应用于处理这 一类问题。 递归格林函数方法也在这种要求下得到了很大的发展。 Lee、 Fisher[2,3] 和 MacKinnon[7]等作了开创性的工作，然后人们又发展了各种递归格林函数方法 来处理一些具体的结构或边界条件下的尺寸效应和多终端效应。 如 Soles[5,6]等用 递归格林函数方法计算了有 T-型突起的量子线的电子输运性质， Ando[9]则考虑了 在磁场调制下的量子点接触的电导。 在量子物理中，格林函数常常被定义为 v v v v v [ E − H (r )]G (r , r ' ; E ) = δ (r − r ' ) 其中 E 是复变量，H 是一个厄米的含时算符。 如果 E − H 的本征值是非零的，我们可以写出格林函数的等价定义式： 1 G= (2-2) E−H 如果 H 的本征函数ψ n 是正交完备的，且 λ n 是其相应的本征值，则
第七章 格林函数方法
第一节 前言
从五十年代开始，量子场论中的格林函数方法被用于研究统计物理学中的 问题。到六十年代后期，格林函数理论在固体物理等多个领域得到了进一步的拓 展，被认为是一种强有力的数学工具[1]。例如，对许多准粒子问题，只需知道相 互作用过程中少数粒子的初态与末态间的跃迁振幅（相应的格林函数），就能得 到体系的一些特征，而对于固体物理中的很多问题，只有对应于费米能量附近的 系统格林函数与我们要研究的性质有关。这样，格林函数方法就成为研究系统性 质的直接有效的方法。 但是在很多的实际问题中，如一些较复杂的有限尺寸量子系统，要得出其格 林函数的解析表达式是很困难的，因此必须要通过数值计算来解决。格点格林函 数方法[2-17]是通过把系统分离成一些格点，然后通过计算这些格点及格点间的格 林函数，进而得出整个体系的格林函数的一种有效数值计算方法。它与其他的一 些数值方法如有限元法[18]、转移矩阵法[19,20]、散射矩阵法[21]、模式匹配法[22]等相 比较，格点格林函数方法能够很方便的处理磁场和无序（掺杂）等问题。在系统 的某个区域加入磁场时，只需要考虑一个 Peierls 相位因子。当系统的自由度很 大时， 用一般的格点格林函数方法求解系统的格林函数就对应一个很大维数的矩 阵计算。虽然计算机技术飞速发展，但是计算机的容量仍然制约着我们所能直接 处理的矩阵的维数。在这种情况下，迭代技术已经被越来越广泛地应用于处理这 一类问题。 递归格林函数方法也在这种要求下得到了很大的发展。 Lee、 Fisher[2,3] 和 MacKinnon[7]等作了开创性的工作，然后人们又发展了各种递归格林函数方法 来处理一些具体的结构或边界条件下的尺寸效应和多终端效应。 如 Soles[5,6]等用 递归格林函数方法计算了有 T-型突起的量子线的电子输运性质， Ando[9]则考虑了 在磁场调制下的量子点接触的电导。 在量子物理中，格林函数常常被定义为 v v v v v [ E − H (r )]G (r , r ' ; E ) = δ (r − r ' ) 其中 E 是复变量，H 是一个厄米的含时算符。 如果 E − H 的本征值是非零的，我们可以写出格林函数的等价定义式： 1 G= (2-2) E−H 如果 H 的本征函数ψ n 是正交完备的，且 λ n 是其相应的本征值，则
格林函数法
为第三边值问题的积分表示式
物理意义：右边第一个积分表示区域T中分布的源在r 点产生的场的总和；第二个积分代表边界上的状况对 r点场的影响的总和；两项积分中的格林函数相同。 说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下 所产生的场。
对于拉普拉斯方程，f(r0)=0，因此可得拉普拉斯 方程第一边值问题的解
因此，我们可设想一个等效的点电荷，它位 于球外M1处，且在球面产生的电势与球内点电荷 在球面产生的电势相反。由物理学知识可知，该 设想的点电荷必位于OM0处的延长线上，如图所 示，并记：
OM r, OM0 r0
在∑ε 上的解，该解表示位于球心r=r0处的电量为ε0的 点电荷在半径为ε的球面上产生的电势，根据电磁学 知识，该电势为：
1
G(r, r0 ) 4
因此我们可得∑ε面上的积分
Ò
u(r)
G n
G
u(r) n
dS
Ò
u(r
)
n
(1
4
)
1
4
u(r) n
dS
Ò
u(
r
)
n
(1
4
)
1
4
u(r n
)
2d
(r r0 ) (x x0) ( y y0) (z z0)
格林函数的物理意义：在物体内部（T内）处放置 一个单位点电荷（或热源），而该物体的界面保持 电位为零（或温度为零）, 那么该点电荷（或该点 热源）在物体内产生的电势分布（或稳定温度分 布），就是上述定解问题的解――格林函数。
格林函数互易定理： 格林函数代表r0处的点源在r处 所产生的影响，系统不变，则该影响等同于将移至r 处的该点源在r0处产生影响。故格林函数遵守如下 的互易定理：
多体量子力学中的格林函数方法
多体量子力学中的格林函数方法多体量子力学是研究多粒子体系中粒子之间相互作用的力学理论。
在这个理论框架下，我们需要处理多个粒子的波函数，同时考虑它们之间的相互作用。
为了解决这个问题，物理学家们提出了多种方法，其中一种重要的方法就是格林函数方法。
格林函数方法最早由德国物理学家赫尔曼·哈库斯（Hermann Hankel）于1859年提出，后来由多位物理学家进一步发展和推广。
格林函数可以用来描述量子态的演化和性质，是求解多体问题的有力工具。
在多体量子力学中，格林函数是描述粒子行为的函数。
它可以用来计算不同时间和位置下粒子的性质，比如粒子的动量、位置和电荷等。
格林函数的形式由一般的波函数演化方程决定。
它可以被分为两个部分：单粒子格林函数和相互作用格林函数。
单粒子格林函数描述了一个单粒子在外势场下的行为。
它可以被定义为粒子在某个时刻从一个位置传播到另一个位置的概率幅。
通过计算单粒子格林函数，可以得到粒子的一些重要性质，比如能谱和态密度等。
相互作用格林函数描述了多个粒子之间的相互作用。
在多体问题中，粒子之间的相互作用是一个非常重要的因素。
通过计算相互作用格林函数，可以探究粒子之间的相互作用强度和方式。
相互作用格林函数的求解可以通过一系列的近似方法，比如平均场理论、扰动方法和重整化群等。
格林函数方法在各个领域都有广泛的应用。
在凝聚态物理中，格林函数方法可以用来研究电子系统和其他凝聚态物理体系的性质。
通过计算格林函数，可以得到电子的输运性质、激发态和自能等重要信息。
格林函数方法在量子化学、固体物理、统计物理和粒子物理等领域也都有着重要的应用。
虽然求解格林函数的问题是一个复杂的任务，但是近年来，在计算机科学和数值方法的发展下，越来越多的精确和高效的方法被提出。
比如，基于数值求解的格林函数方法、基于图像处理的格林函数方法、基于机器学习的格林函数方法等。
这些方法为求解多体问题提供了新的思路和工具。
总结起来，格林函数方法是解决多体量子力学问题的一种重要方法。
第三章格林函数法
r
r0
0
1
ln
R
1
2 r0 r2 r12 2rr1 cos 0
1 ln
1
2 r2 r02 2rr0 cos 0
1
ln
R
2 r2r02 R4 2R2rr0 cos 0
G
= G
1
ln
R
n r0 R r0 r0 R 2 r0 r 2r02 R4 2R2rr0 cos 0
2
r0
注意：这只是二维空间中圆形区域的格林函数表达式
例4 求解圆内拉普拉斯方程狄利克雷问题 2u 0 r R
u
rR
解：由例3，圆内泊松方程狄利克雷问题的格林函数为：
G= 1
2
ln
1 r r0
1
2
ln
R r0
1 r r1
= -1 ln
1
2 r2 r02 2rr0 cos 0
G
r;r0
f
r0
dS0
G0
4
1 r r0
G0
1
2
ln
1 r r0
c0
G1 0 G1 G0
例2 试求解球内的泊松方程的狄利克雷问题
P
3u 0 r R
u rR f ,
R
O r0
r
M0
M1
M
解：设 M0 r0 , M r 的球坐标为 r0,0,0 ,r,, r1 OM1
积分得到
任意源在相同初 始和边界条件下 产生的场
格林函数 ：代表一个点源在一定的边界条件和初 始条件下所产生的场
§5.1 泊松方程的格林函数法
1. 边值问题的提法
① 第一边值问题（狄里希利问题） 求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，
数学物理方法--格林函数法
G(r , r0)r(r )dV T
1
4
f
G(r , r0 ) dS. n
第二边值问题(诺依曼问题)
u(r , r ')
u n
f
第二边值问 题格林函数
G(r , r ')ห้องสมุดไป่ตู้n
0
u(r0 )
1
4
G(r , r0)(r )dV T
(u
v n
v
u )dS n
T
(uv
vu)dV
法向导数
5
3. 边值问题 边界条件
泊松方程
u
[
u n
u]
()
() 定义在
0, 0 0, 0
第一类边界条件 第二类边界条件
0, 0 第三类边界条件
3
感应电荷 是边界问题
2. 格林公式
第一格林公式：
区域 T，边界
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
定解＝积分＋边界条件 （格林函数法）
T
设 u(r ) 和 v(r ) 在 T 中具有连续二阶导数，
在 上有连续一阶导数。由高斯定理
uv dS (uv)dV
p
M (r)
o
M0 (r0 )
如右图，当导体外 M1 处有电荷 40q 时，镜像电荷
将在球内M0 处。
M1(r1)
像电荷的大小以及位置：
4 0 q
a r1
数学物理方法12格林函数
泊 第一类边界条件：第一边值问题(狄里希利问题)
松 方
第二类边界条件：第二边值问题(诺依曼问题)
程
第三类边界条件：第三边值问题
2、格林函数的引入及其物理意义
引入：为了求解泊松方程的定解问题，我们必须定 义一个与此定解问题相应的格林函数 G(r, r0)
它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类 条件：
这就是第三边值问题解的积分表示式．
右边第一个积分表示区域 T 中分布的源 f (r0 ) 在 r
点产生的场的总和. 第二个积分则代表边界上的状况对 r
点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明 泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的 场．
对于拉普拉斯方程
f (r0 ) 0
第一边值问题的解为
构建格林函数为
G(x,
y
|
x0 ,
y0 )
1 4π
(x ln[
(x
x0 )2 x0 )2
(y (y
y0 )2 y0 )2
]
边界外法线方向为负 y 轴，故有
G n
|
G y
|y0
=
1 2π
(x
y0 x0 )2
y02
1 π
y0 (x x0 )2
y02
1 π
(x
y0 x0 )2
y02
代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式（14.2. 13），拉普拉斯 方程的自由项 f 0 ,则由
G(r,
r0
)
1 2π
ln
|
r
1
r0
|
1 2π
ln
|
r
1
r1
|
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Gr,
r'r n
dS
1
如果 0 ，对（1）式进一步化简得：
r '
V
r G r, r
'
dV
S
hrGr, n
r' dS
2
存在矛盾：
我们引入中格林函数Gr,r' 表示的是点 r' 的源在 r
产生的场，（2）式中格林函数Gr,r' 表示的是r 点的源
在 r' 产生的场。
4.3.2 静态电磁场的格林函数方法
第四章 格林函数方法
自强●弘毅●求是●拓新
4.3.1 格林函数方法的基本思想
【例4-4】设在线性、各向同性、均匀无界空间有一密度为r
的点电荷分布，电荷体的体积为V，求电荷体的电位分布。
解：区域V上体电荷在无界空间
产生的电位：
r
2
r
r
lrim r 0
r r
r' dV
源点
r'
4.3.1 格林函数方法的基本思想
2G
r, r '
1 r r'
| G r, r'
n
0
s
物理意义和物理模型：
绝热边界条件的封闭系统内单位
热源产生的温度场分布 电位：
r r' Gr,r' dV Gr,r' (r')ds
V
s
r' r
Green函数物理模型
4.3.3 格林函数的对称性
格林函数的对称性：
G(r, r' ) G(r' ,r) 1
1 r r'
| G
r,r '
0
s
物理意义和物理模型：
接地导体壳内单位点电荷产生的电位
电位：
r
r '
V
G r, r
'
dV
r' G(r,r' )
s
n'
ds
r r
Green函数的物理模型
4.3.2 静态电磁场的格林函数方法
第二类边界条件的格林函数
0 时，引入格林函数后的Poisson定解问题
静态电磁场满足Poisson方程，其形式为：
2r
r
M
M
n
S
hM
其中M表示边界S上的变量，α，β是不同时为零的常数
0：第一类边界条件
0 ：第二类边界条件
4.3.2 静态电磁场的格林函数方法
引入格林函数 G r,r' ，将其代入Poisson方
程，得：
2G
r, r '
1 r r'
把（2）式中的 r 和 r' 互换，得：
r r 'G r,r
V
'dV
' h r' G r,r ' dS '
S
n'
V
r' G r
', r
Gr,r ' dV
'
h
S
r
' G r',r
n'
Gr,r
n'
' dS
'
利用格林函数的对称性 Gr',r Gr,r' ，得：
S
h
r
'
G r',
n'
r
G r, r' n'
dS
'
h r 'G r ,'r
S
G r, r' n'
dS
'
0
最终的解为：
r
V
r '
G r, r
' dV
h r ' G(r,r' )
s
n'
ds
1
4.3.2 静态电磁场的格林函数方法
将 h r' 还原，得:
(r)
G(r, r')(r')dV
V
'
S
G(r,
r')
(r')
n
(r')
G(r,r') n
dS
'
区域内体电荷 的贡献
区域边界面上 电荷对电位的 贡献
区域边界上电 偶极矩对电位 的贡献
4.3.2 静态电磁场的格林函数方法
Green函数的类型
第一类边界条件的格林函数
0时，引入格林函数后的Poisson定解问题
2G
r, r '
G
r, r '
G r,r' n
S
0
进一步处理，得：
2rGr, r' 2G r,r'rdV
V
1
V
rGr,
r'
dV1V来自r r'rdV
4.3.2 静态电磁场的格林函数方法
对方程左边应用格林公式：( 2)dV dS ，
右边求体积分得：
V
S
r
V
r G r, r
'
dV
S
r
Gr,
n
r'
2G r, r ''
1
r r''
G
r,r '
G r,r' n
0
G r,r ''
G r,r''
n
0
2
经处理，得：
G r,r'' 2G r, r' G r, r' 2G r, r'' dV
V
1
r
r'
G r,r''
dV
1
r
r''
Gr,r'
dV
V
V
物理意义： 点的源在 点产生的场等于 点的源在 点
产生的场，具有互易性
数学意义：
G(r,r' ) G( r' , r )
也即具有对称性
4.3.3 格林函数的对称性
设G r,r' 和G r,r'' 是Poisson方程的解，均满足如下的方程
和边界条件：
2
G
r, r'
1
r r'
1 ,
在 ri ' 处电荷量为 r' dV 的点电荷在空间产生的电位
为：
dr r' dV
4π r r'
引入格林函数：G
r,ri '
1
4π r r'
根据叠加原理，电位函数表示为：
r
由体积分定义，得：i
r'dV
4π r r'
G r,ri ' r' dV
i
r
V
r'dV
4π r r'
1 G r', r'' G r'' ,r'
4.3.3 格林函数的对称性
应用格林公示将体积分化为面积分得：
G
r,r ''
S
G r,r' n
G r, r'
G r,r '' n
dS
1
G r ', r ''
G r '', r '
应用边界条件得：
G r',r'' G r'',r' 0
G r,ri ' r'dV
V
4.3.1 格林函数方法的基本思想
格林函数方法的基本思想： 将任意激励表示为许多单位激励的叠加组成，任意激
励通过线性系统的响应表示为许多单位激励响应的叠加。 通过求解单位激励的响应达到求解任意激励源的响应，从 而使问题的求解得到简化。
4.3.2 静态电磁场的格林函数方法