中南大学线性代数考试卷
线性代数单元测试卷(含答案)
线性代数单元测试卷(含答案)一、选择题(每题2分，共20分)1. 在线性代数中，什么是矩阵的秩？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵的非零行数D. 矩阵的最大线性无关行数正确答案：D2. 下列哪个不是矩阵的运算？A. 矩阵的加法B. 矩阵的减法C. 矩阵的除法D. 矩阵的乘法正确答案：C3. 矩阵的转置满足下列哪个性质？A. (A^T)^T = AB. (AB)^T = B^T * A^TC. (A + B)^T = A^T + B^TD. (AB)^T = A^T + B^T正确答案：B4. 什么是向量的线性组合？A. 向量相加B. 向量相减C. 向量乘以常数后相加D. 向量与常数相乘正确答案：C5. 下列哪组向量线性无关？A. (1, 0)B. (0, 1)C. (1, 1)D. (1, -1)正确答案：C二、填空题(每题3分，共30分)1. 给定矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求A的逆矩阵。
正确答案：[[-2, 1], [1.5, -0.5]]2. 给定矩阵B = [[2, 4], [1, 3]]，求B的特征值。
正确答案：[5, 0]3. 给定向量v = (1, 2, 3)，求v的范数。
正确答案：sqrt(14)4. 给定矩阵C = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求C的秩。
正确答案：25. 给定矩阵D = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]，求D的转置矩阵。
正确答案：[[1, 3, 5], [2, 4, 6]]三、解答题(每题10分，共40分)1. 什么是线性相关和线性无关？线性相关表示向量之间存在线性组合的系数不全为零的情况，即存在非零向量组合得到零向量。
线性无关表示向量之间不存在这样的关系，即只有全为零的线性组合才能得到零向量。
2. 什么是矩阵的行列式？矩阵的行列式是一个标量，它是一个方阵中各个元素按照一定规律相乘再求和的结果。
行列式可以用来判断方阵的逆是否存在，以及计算方阵的特征值等。
11级线性代数试卷A答案
中南大学考试试卷答案2011——2012学年第二学期（2012.4） 时间：100分钟《线性代数》 课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷专业年级：2011级 总分：100分一、填空题（本题15分，每题3分）1、0；2、8132（练习册P99）； 3、3-； 4、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--12333212312113311n n A ；5、12+⎪⎪⎭⎫⎝⎛λA （练习册P113）。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、D ；2、B （练习册P106）；3、C ；（教材P55）4、D ；5、A （练习册P120）。
三、（本题10分） （练习册P102）解：解： D n ====+++c c c c c c n 131121000120012201222=2n –1， 设D n 展开式中正、负项总数分别为x 1, x 2， 则x 1+x 2=n !，x 1–x 2=2n –1，于是正项总数为x 1=1221(!)n n -+。
四、（本题10分）（典型题解P121）解：由X A E AX +=+2，得：E A X E A -=-2)(，)(,010********E A E A -∴≠-==- 可逆，故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A X ；由于09≠=X ，()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===∴---*-201030102911)(1111X X X X X 。
五、（本题14分）解：将矩阵()4321,,,αααα化为最简形阶梯形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000011003101032001000011001030101121306014211035271，（1）()3,,,4321=ααααR ；（2）321,,ααα为所求的一个最大线性无关组，且32143132αααα++=。
六、（本题14分）解：()0311********--=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==λλλααA E A T，(1)A 的特征值为0,0,3；由0=AX 得对应0的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101011l k ，l k ,为不全为零的任意常数，由0)3(=-X A E 得对应3的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111c ，c 为任意非零常数。
线性代数试题及答案解析
线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
中南大学《线性代数》2021-2022学年第一学期期末试卷
中南大学期末考试试卷2021-2022-1《线性代数》课程32学时2学分考试形式：闭卷总分：100分一、填空题（每小题3分，共15分）⎛-10⎫⎪1、设f(x)=x-3，矩阵A=4⎪，则f(A)= .3⎝⎭22、设A,B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P，使成立，则称A与B相似．3、n元非齐次线性方程组Am⨯nx=b有唯一解的充分必要条件是.22 +3x3-2x1x2+6x1x3-6x2x3，4、已知二次型f(x1,x2,x3)=5x12+5x2则二次型f对应的矩阵A=.5、设4阶方阵A满足：A<0,3E+A=0,AA T=2E(其中E是单位矩阵)，则A 的伴随矩阵A*必有一个特征值为 .二、选择题（每小题3分，共15分）1、已知4阶方阵A的伴随矩阵为A*，且A的行列式A=3，则A*=（）.（A）81.（B）27.（C）12.（D）9.2、设A、B都是n阶方阵，且A与B有相同的特征值，并且A、B都有n个线性无关的特征向量，则（）。
（A）A与B相似.（B）A=B.（C）A≠B，但|A-B|=0.（D）A与B不一定相似，但|A|=|B|.3、设n阶方阵A为正定矩阵，下面结论不正确的是（（A）A可逆.（C）|A|>0.）.（B）A-1也是正定矩阵.（D）A的所有元素全为正.4、若n阶实方阵A=A2，E为n阶单位阵，则（）.（A）R(A)+R(A-E)>n.（B）R(A)+R(A-E)<n.（C）R(A)+R(A-E)=n.（D）无法比较R(A)+R(A-E)与n的大小.⎛0⎫⎛0⎫⎛1⎫⎛-1⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪5、设α1= 0⎪，α2= 1⎪，α3= -1⎪，α4= 1⎪，其中c 1,c 2,c 3,c 4为任意常数， c ⎪ c ⎪ c ⎪ c ⎪⎝1⎭⎝2⎭⎝3⎭⎝4⎭则下列向量组线性相关的为（（A ）α1，α2，α3.（C ）α1，α3，α4.三（本题满分10分））.（B ）α1，α2，α4.（D ）α2，α3，α4.x计算n （n ≥2）阶行列式D n =a x aa a x，D n的主对角线上的元素都为a ax ，其余位置元素都为a ，且x ≠a .四（本题满分10分）设3阶矩阵A ,B 满足关系：A -1BA =6A +BA ,⎛12 且A = 00⎝0140⎫0⎪⎪0⎪,求矩阵B .⎪⎪1⎪⎪7⎭五（本题满分10分）设方阵A 满足A 2-A -2E =0(其中E 是单位矩阵)，求A -1,(A +2E )-1.六（本题满分12分）⎛1⎫⎛2⎫⎛1⎫⎛3⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪4-1-5-6已知向量组A ：α1= ⎪，α2= ⎪，α3= ⎪，α4= ⎪，1⎪ -3⎪ -4⎪ -7⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪21-1⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝0⎭（1）求向量组A 的秩；（2）求向量组A 的一个最大线性无关组，并把不属于该最大无关组的其它向量用该最大无关组线性表示.七（本题满分14分）⎡1α设矩阵A =⎢⎢α1⎢⎣1β1⎤⎡000⎤⎢010⎥相似，β⎥B =与矩阵⎥⎢⎥⎢1⎥⎦⎣002⎥⎦（1）求α,β；（2）求正交矩阵P ,使P -1AP =B .八（本题满分14分）设有线性方程组为⎧x 1+a 1x 2+a 12x 3=a 13⎪23⎪x 1+a 2x 2+a 2x 3=a 2⎨23x +a x +a x =a 3⎪1323323⎪⎩x 1+a 4x 2+a 4x 3=a 4（1）证明：若a 1，a 2，a 3，a 4两两不等，则此方程组无解.（2）设a 1=a 3=k ，a 2=a 4=-k （k ≠0），且已知β1，β2是该方程组的两个解，其中β1=(-1, 1, 1)T ，β2=(1, 1,-1)T ，写出此方程组的通解.参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）⎛5-13⎫⎛-2 0⎫4 ⎪-1-15-31、 ；2、；3、；4、；5、P AP =B R (A )=R (A ,b )=n ⎪ ⎪38 6⎝⎭ 3-33⎪⎝⎭二、选择题（每小题3分，共15分） BADCC 三（本题满分10分，见教材P44习题第5题）x +(n -1)a 解：后面n -1列都加到第1列，得D n=a xa a xx +(n -1)ax +(n -1)a a1c 1÷[x +(n -1)a ]a x a 0a a x=(x -a )n -1[x +(n -1)a ].===[x +(n -1)a ]11 1[x +(n -1)a ]c ====+(-a )cc n +(-a )c n32c 2+(-a )c 11 1x -ax -a四、（本题满分10分，与典型题解P172例6类似）-1-1⎡⎛2⎫⎛1⎫⎤⎛1⎫⎛6⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪.解：B =6(A -1-E )-1=6⎢ 4-1=63=2⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢7⎭⎝1⎭⎥6⎭1⎪⎝⎝⎭⎣⎝⎦五、（本题满分10分，见练习册P118第五大题第1小题和典型题解P173例7）A -E A -E解：A 2-A -2E =0⇒A .=E ⇒A -1=22(A -E )23E -AA -A -2E =0⇒A +2E =A ⇒(A +2E )=(A )=(A ）=或4422-12-1-12六、（本题满分12分，见教材P89习题3第2题，或典型题解P178例6）3⎫⎛121⎪4-1-5-6⎪→解：1-3-4-7⎪ ⎪⎝21-10⎭⎛1 0→ 0 ⎝00-1-1⎫⎪112⎪，⎪000⎪000⎭R (A )=2,α1,α2为所求的一个最大线性无关组，且α3=-α1+α2,α4=-α1+2α2.七、（本题满分14分，见典型题解P190例14）解：（1）由A ,B 相似知，A ,B 有相同的特征值，而B 的特征值为0,1，2，⎧0⋅E -A =0⎪故得A 的特征值为λ1=0,λ2=1,λ3=2，从而有⎨，1⋅E -A =0⎪⎩由此解得α=0，β=0.⎛1⎫-⎪⎛-1⎫2⎪ ⎪（2）对于λ1=0，解(0⋅E -A )X =0，得特征向量 0⎪，单位化得：p 1= 0⎪；1⎪ 1⎪⎝⎭ ⎪2⎝⎭⎛0⎫⎪对于λ2=1，解(E -A )X =0，得特征向量为p 1= 1⎪；0⎪⎝⎭⎛ ⎛1⎫⎪0λ=2对于3，解(2E -A )X =0，得特征向量为 ⎪，单位化得：p 1=1⎪⎝⎭⎝⎛1 -2令P =(p 1,p 2,p 3)= 01 ⎝20101⎫⎪2⎪0⎪，则P 为正交阵，且使P -1AP =B .1⎪⎪2⎭1⎫⎪2⎪0⎪1⎪⎪2⎭八、（本题满分14分，见教材P87例3.13）解：（1）增广矩阵B 的行列式是4阶范德蒙行列式：11|B |=11a 1a 2a 3a4a 122a 22a 32a 4a 133a 2=∏(a j -a i )3a 31≤i <j ≤43a 4由于a 1，知|B |≠0，从而R (B )=4，但系数矩阵A 的秩R (A )≤3，a 2，a 3，a 4两两不等，故R (A )≠R (B )，因此方程组无解.（2）a 1=a 3=k ，a 2=a 4=-k （k ≠0）时，方程组变为⎧x 1+kx 2+k 2x 3=k 3⎪23⎧x 1+kx 2+k 2x 3=k 3⎪x 1-kx 2+k x 3=-k 即⎨⎨2323x +kx +k x =k x -kx +k x =-k 23⎩123⎪123⎪⎩x 1-kx 2+k x 3=-k 因为1k=-2k ≠0，故R (A )=R (B )=2，所以方程组有解，且对应的齐次方1-k程组的基础解系含3-2=1个解向量，又β1，β2是原非齐次方程组的两个解，故ξ=β2-β1=(2, 0,-2)T 是对应齐次方程组的解；由于ξ≠0，故ξ是它的基础解系。
完整版)线性代数试卷及答案
完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。
(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。
r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。
A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。
(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。
(C) BA=O。
(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。
11；(C) -1；(D)。
(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。
1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。
(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)答案：C2. 矩阵\(A\)的行列式为0，那么\(A\)的秩是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A3. 向量\(\vec{a} = (1, 2, 3)\)和向量\(\vec{b} = (4, 5, 6)\)的点积为：A. 14B. 32C. 8D. 22答案：A4. 矩阵\(A\)的转置矩阵记作\(A^T\)，那么\((A^T)^T\)等于：A. \(A^T\)B. \(A\)C. \(A^{-1}\)D. \(A^2\)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵\(A\)的行列式为-5，则\(A^{-1}\)的行列式为______。
答案：\(\frac{1}{5}\)2. 矩阵\(A\)的秩为2，那么\(A\)的零空间的维数为\(\_\_\_\_\)。
答案：\(n-2\)（其中n为\(A\)的列数）3. 向量\(\vec{a} = (1, 2)\)和向量\(\vec{b} = (3, 4)\)的叉积为______。
答案：\(-2\)4. 若\(\vec{a} = (1, 0, 0)\)，\(\vec{b} = (0, 1, 0)\)，\(\vec{c} = (0, 0, 1)\)，则\(\vec{a} \times \vec{b} =\_\_\_\_\_\)。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案**线性代数考试题及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）A. 可逆B. 不可逆C. 可交换D. 不可交换答案：B2. 若矩阵A和B均为n阶方阵，且AB=0，则（）A. A=0或B=0B. A和B至少有一个为0C. A和B都为0D. A和B可能都不为0答案：D3. 向量组α1，α2，…，αs线性无关，则（）A. s ≤ nB. s > nC. s ≥ nD. s < n答案：A4. 矩阵A的特征值是（）A. 矩阵A的行最简形式B. 矩阵A的列最简形式C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λE|=0的λ值答案：D5. 矩阵A和B相等的充要条件是（）A. A和B的对应元素相等B. A和B的行向量组相同C. A和B的列向量组相同D. A和B的秩相等答案：A6. 若矩阵A可逆，则下列说法正确的是（）A. |A|≠0B. A的秩为nC. A的行列式为1D. A的转置矩阵可逆答案：AA. r(A+B) = r(A) + r(B)B. r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}C. r(A) = r(A^T)D. r(A) = r(A^-1)答案：C8. 向量组α1，α2，…，αn线性相关，则（）A. 存在不全为0的k个向量，使得k个向量线性组合等于0B. 存在不全为0的n个向量，使得n个向量线性组合等于0C. 存在不全为0的n+1个向量，使得n+1个向量线性组合等于0D. 存在不全为0的m个向量，使得m个向量线性组合等于0，其中1≤m≤n答案：DA. r(A+B) = r(A) + r(B)B. r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}C. r(A) = r(A^T)D. r(A) = r(A^-1)答案：B10. 若矩阵A和B均为n阶方阵，且AB=0，则（）A. A=0或B=0B. A和B至少有一个为0C. A和B都为0D. A和B可能都不为0答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 若矩阵A的行列式|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵的行列式|adj(A)|= _ 。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 0; 0 0]B. [1 2; 3 4]C. [1 0; 0 1]D. [0 1; 1 0]2. 矩阵的秩是指什么？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行或列的最大数目D. 矩阵的对角线元素的个数3. 线性方程组有唯一解的条件是什么？A. 方程个数等于未知数个数B. 方程组是齐次的C. 方程组的系数矩阵是可逆的D. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩4. 向量空间的基具有什么性质？A. 基向量的数量必须为1B. 基向量必须是正交的C. 基向量必须是线性无关的D. 基向量必须是单位向量5. 特征值和特征向量的定义是什么？A. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得Av=λv，则λ是A的特征值，v是A的特征向量B. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得A^Tv=λv，则λ是A 的特征值，v是A的特征向量C. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得A^-1v=λv，则λ是A 的特征值，v是A的特征向量D. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得Av=v，则λ是A的特征值，v是A的特征向量6. 线性变换的矩阵表示是什么？A. 线性变换的逆矩阵B. 线性变换的转置矩阵C. 线性变换的雅可比矩阵D. 线性变换的对角矩阵7. 以下哪个不是线性代数中的基本概念？A. 向量B. 矩阵C. 行列式D. 微积分8. 什么是线性方程组的齐次解？A. 方程组的所有解B. 方程组的特解C. 方程组的零解D. 方程组的非平凡解9. 矩阵的迹是什么？A. 矩阵的对角线元素的和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的秩D. 矩阵的逆10. 什么是正交矩阵？A. 矩阵的转置等于其逆矩阵B. 矩阵的所有行向量都是单位向量C. 矩阵的所有列向量都是单位向量D. 矩阵的所有行向量都是正交的答案：1-5 C C C C A；6-10 D D C A A二、简答题（每题10分，共20分）11. 请简述线性代数中的向量空间（Vector Space）的定义。
线性代数大学试题及答案
线性代数大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设A是一个3阶方阵，且满足A^2 = A，则下列说法正确的是：A. A是可逆矩阵B. A是幂等矩阵C. A是正交矩阵D. A是单位矩阵答案：B2. 若矩阵A的特征值为1，则下列说法正确的是：A. 1是A的迹B. 1是A的行列式C. 1是A的一个特征值D. 1是A的秩答案：C3. 设向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则下列说法正确的是：A. 向量组中任意向量都可以用其他向量线性表示B. 向量组中任意向量都不可以被其他向量线性表示C. 向量组中任意向量都可以被其他向量线性表示D. 向量组中任意向量都不可以被其他向量线性表示，除非它们线性相关答案：B4. 若矩阵A的秩为2，则下列说法正确的是：A. A的行向量组线性无关B. A的列向量组线性无关C. A的行向量组线性相关D. A的列向量组线性相关答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 若矩阵A的行列式为0，则A的______。
答案：秩小于矩阵的阶数2. 设向量空间V的一组基为{v1, v2, ..., vn}，则任意向量v∈V可以唯一地表示为______。
答案：v = c1v1 + c2v2 + ... + cnn，其中ci为标量3. 设矩阵A和B可交换，即AB = BA，则A和B的______。
答案：特征值相同4. 若线性变换T: R^n → R^m，且T是可逆的，则T的______。
答案：行列式不为零5. 设A为n阶方阵，若A的特征多项式为f(λ) = (λ-1)^2(λ-2)，则A的特征值为______。
答案：1, 1, 26. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则向量组α1, α2, ..., αn, α1+α2也是______。
答案：线性相关三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述什么是矩阵的秩，并给出如何计算矩阵的秩的方法。
答案：矩阵的秩是指矩阵行向量或列向量组中线性无关向量的最大个数。
线代II
1---○---○------○---○---………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理…………评卷密封线………… 中南大学考试试卷2010 ~2011 学年 2 学期 线性代数Ⅱ 课程 时间100分钟24 学时,1.5学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70 %一、单项选择题(本题15分，每小题3分) 1. 设,,133312321131131211232221333231232221131211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a a a a a a a a a a B a a a a a a a a a A ,101010001,10000101021⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P P 则必有（ ）.A B P AP =21 B B A P P =21 C B P AP =12D B A P P =122. 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式E ABC =，其中E 是n 阶单位阵，则必有（ ）. A E BCA = B E CBA = C E BAC =D E ACB =3. 设n 阶矩阵A 非奇异()2≥n ，*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则()=**A （ ）.A A A n 1- B A A n 2- C A An 2+D A An 1+24. 设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（ ）. A 当()0≠=a a A 时，a B = B 当()0≠=a a A 时，a B -= C 当0≠A 时，0=BD 当0=A 时，0=B5. 设2=λ是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵1231-⎪⎭⎫⎝⎛A 有一特征值等于（ ）.A 34B 21C 43D 41二、填空题(本题15分，每小题3分)1．设行列式2235007022220403--=D ，则第四行各元素代数余子式之和的值为 . 2．设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0111110111110111110111110 A ，则=A .3. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，则()=-1*A .4. 设矩阵A 满足042=-+E A A ，其中E 为单位矩阵，则()=--1E A .5. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2112A ，E 为二阶单位矩阵，矩阵B 满足E B BA 2+=，则=B .3三、解答题(本题64分，每小题8分)1．设A 为1010⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00001010000001000001010A ，计算行列式E A λ-，其中E 为10阶单位矩阵，λ为常数.2. 设A 是n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B .⑴证明B 可逆；⑵求1-AB .43. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，矩阵X 满足X A E AX +=+2，其中E 为三阶单位矩阵，试求出矩阵X .4. 已知三阶矩阵A 的逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3111211111A ，试求伴随矩阵*A 的逆矩阵.55. 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----101410213的实特征值与对应的特征向量.6. 设有4阶方阵A 满足条件0,2,02<==+A E AA A E T ，其中E 是4阶单位阵. 求方阵A 的伴随矩阵*A 的一个特征值.67. 解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++-=-+-=-+-337713343424313214314321x x x x x x x x x x x x x .78. 设线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+++=+++243214312143214321121053153363132kx x x x x x k x x x x x x x x x x ,问1k 与2k 各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？有无穷多解时，求其一般解.8四、 (本题6分)已知n 阶方阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100000110000111000222200000011000024 A ，求A 中所有元素代数余子式之和∑∑==n i nj ij A 11.。
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考试试卷1闭卷考试时间：100分钟一、填空题（本题15分，每小题3分）1、设()4321,,,A A A A A =为四阶方阵，其中)4,3,2,1(=i A i 为A 的第i 个列向量, 令()14433221,,,A A A A A A A A B ----=，则=B 。
2、设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且3||=A ，则=-*|)(|1A 。
3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=2531312311112t t A ，且2)(=A R ，则=t 。
4、若n 阶方阵A 有特征值λ，则E a A a A a A A f k k k 0111)(++++=-- 必有特征值 。
5、若二次型yz xz axy z y x f 2223222+++++=经正交变换化为22214y y f +=，则=a 。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、设A 是n 阶方阵，则0||=A 的必要条件是（ ）。
（A ）A 中两行（列）元素对应成比例； （B ）A 中有一行元素全为零；（C ）任一行元素为其余行的线性组合； （D ）必有一行元素为其余行的线性组合。
2、设A 是n 阶对称阵，B 是n 阶反对称阵，则下列矩阵中反对称矩阵是（ ） （A ）BAB ； （B ）ABA ； （C ）ABAB ； （D ）BABA 。
3、设向量组()()()，，，，，，，，，TTTt 31321111321===ααα当=t （ ）时，向量组321ααα，，线性相关。
（A ）5（B ）4（C ）3（D ）24、设A 为34⨯矩阵，321,,ηηη是非齐次线性方程组b Ax =的3个线性无关的解向量，21,k k 为任意常数，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为（ ）。
（A ）)(212132ηηηη-++k ； （B ）)(212132ηηηη-+-k ； （C ）)()(213212132ηηηηηη-+-++k k ； （D ）)()(213212132ηηηηηη-+-+-k k 。
5、设方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=20001011k k A 是正定矩阵，则必有（ ）。
（A ）0>k ； （B ）1>k ； （C ）2>k ； （D ）1->k 。
三、（本题8分） 计算行列式xa x a x a a n n 0100010001121-----，其中1,,2,1,0,0-=≠n i a i 。
四、（本题12分） 设X A E AX +=+2，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A ，求矩阵X 及()*-1X ，其中()*-1X 为1-X 的伴随矩阵，E 为单位矩阵。
五、（本题14分） 设向量组()()()TTT531110101321，，，，，，，，===ααα不能由向量组 (),1111T ，，=β(),3,2,12T =β()Tk ,4,33=β线性表示。
（1）求向量组321ααα，，的一个极大无关组； （2）求k 的值； （3）将向量1β用321ααα，，线性表示。
六、（本题14分） 设齐次线性方程组（Ⅰ）为⎩⎨⎧=-=+004221x x x x ，已知齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为()()TTk k 1,2,2,10,1,1,021-+。
（1）求方程组（Ⅰ）的基础解系；（2）问方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，则求出所有非零公共解，若没有，则说明理由。
七、（本题14分） 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110010000010010x A ，（1）已知A 的一个特征值为，2 求x ； （2）求方阵P ，使()()AP AP T为对角阵。
八、（本题8分） 试证明：n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1112 b b b b b b b b b a A 的最大特征值为])1(1[2b n a -+，其中10<<b 。
参考答案一、填空题（本题15分，每题3分） 1、0； 2、91； 3、4； 4、)(λf ； 5、1。
二、选择题（本题15分，每题3分） 1、D ； 2、B ； 3、A ； 4、C ； 5、B. 三、（本题8分） 解：从第一行开始，每行乘x 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：原式=122110----++++n n n n a x a x a x a 。
四、（本题12分）解：由X A E AX +=+2，得：E A X E A -=-2)(，)(,010********E A E A -∴≠-==- 可逆，故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A X ；由于09≠=X ，()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===∴---*-201030102911)(1111X X XX X 。
五、（本题14分） 解：（1） 令),,(321ααα=A ，3)(,01=∴≠=A R A ，则321,,ααα线性无关， 故321,,ααα是向量组321ααα，，的一个极大无关组；（2）由于4个3维向量 )3,2,1(321=i i αβββ，，，线性相关，若321βββ，，线性无关，则i α可由321βββ，，线性表示，与题设矛盾；于是321βββ，，线性相关，从而5,0531421311||321=∴=-==k k kβββ，，。
（3）令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==110040102001151113101101),,,(1321 βαααB ，321142αααβ-+=∴。
六、（本题14分）解：（1） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1010100110100011A ，所以方程组（Ⅰ）的基础解系为：()()TT1,0,1,1,010021-==ηη，，，； （2）设()()2413211,2,2,10,1,1,0ηηk k k k TT+=-+，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00001100101010011010012110211010,010100121102110104321 k k k k ，故上述方程组的解为T k )1,1,1,1(-，于是方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）所有非零公共解为：)0()1,1,1,1(为任意常数≠-k k T 。
七、（本题14分）解：（1）()()0)1(1111111110000100122=---=----⋅--=------=-x xxA E λλλλλλλλλλλ，将2=λ代人上式，得1=x ；（2）由（1）得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1100110000010010A ，显然A 为实对称阵，而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2200220000100001A A T令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==212A OO A A A A T ，显然2A A A T 和也是实对称阵，1A 是单位阵， 由()0422222=-=----=-λλλλλA E ，得2A 的特征值4021==λλ，，2A 属于1λ对应的特征向量为T )11(1-=，α，单位化：T)2222(1-=，η， 2A 属于2λ对应的特征向量为T )11(2，=α， 单位化：T )2222(2，=η， 取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22220022220000100001P ，则有()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==4000000000100001)(P A A P AP AP TT T 。
八、（本题8分）证明：由()())1(22122222222222222=-+-+-=------------=--b a n aba a ab a ba ba b a b a a b a b a b a b a a A E n λλλλλλ得A 的特征值)1(],)1(1[23221b a b n a n -====-+=λλλλ ，n a b λλλλ===>∴><< 3212,0,10，故A 的最大特征值是])1(1[21b n a -+=λ。
考试试卷2闭卷考试时间：100分钟一、填空题（本题15分，每小题3分）1、若n 阶行列式零元素的个数超过n （n-1）个，则行列式为 。
2、若A 为4阶矩阵，且A =21，则*12)3(A A --= 。
3、设A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛k k k k111111111111，且R （A ）=3，则k= 。
4、已知向量,α=（1,2,3），β=（1，31,21，），设A=βαT ，则A n= 。
5、设A 为n 阶方阵，A *≠A ,0为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位阵，若A 有特征值E A +*2,）则（λ必有特征值 。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、设A ，B,C 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，且ABC=E ，则下列各式中（ ）不成立。
（A ） CAB=E (B) E C A B =---111(C) BCA=E (D)E BA C =---1112、设A,B 均为n 阶非零矩阵，且AB=O ，则它们的秩满足（ ）。
（A ）必有一个等于零 （B ）都小于n (C) 一个小于n ，一个等于n （D ）都等于n3、下列命题中正确的是（ ）（A ）在线性相关的向量组中，去掉若干个向量后所得向量组仍然线性相关 （B ）在线性无关的向量组中，去掉每个向量的最后若干分量后仍然线性无关 （C ）任何n+k 个n 维向量（k 1≥）必然线性相关（D ）若只有m k k k ,,21全为零时，等式01111=+++m m m m k k k k ββαα 才成立，且m ααα 21,线性无关，则m βββ 21,线性无关4、设T )1,2,1(1-=α，,)1,1,1(2T-=α则3α=（ ）时，有321,,ααα为3R 的基（A ）T )2,1,2( （B ）T )1,0,1( （C ）T )0,1,0( （D ）T)1,0,0(5、设二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k A 20211012，且此二次型的正惯性指数为3，则（ ）（A ） k>8 ( B) k>7 (C) k>6 (D) k>5三、（10分）计算n 阶行列式111111111111 ----=n D ,并求该行列式展开后的正项总数。
四、（10分） 设E AX +=X A +2,且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，求矩阵*-)(1X X 及，其中11)(-*-X X 为的伴随矩阵，E 为单位矩阵。
五、（本题14分） 设有向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02311α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=314072α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10123α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=26154α， (1)求该向量组的秩；(2)求该向量组的一个最大无关组，并把其余向量分别用求得的最大无关组线性表出。