中南大学线性代数试卷
中南大学研究生入学考试试题高等代数
中南大学2002年研究生入学考试试题考试科目：高等代数注：以下2R 表示n 维实列向量空间，n n R ⨯表示n 阶实矩阵的全体，T A 表示矩阵A 的转置，()Tr A 表示矩阵A 的迹。
一、（20分）设0x 是n 维欧氏空间V 中非零向量，,0k R k ∈≠，定义变换00(,),Tx x k x x x x V =+∈1．验证T 是线性变换； 2．设0x 在V 的标准正交基12,,,n e e e 下的坐标为()12,,,n ξξξ，求在该基下的矩阵；3．证明T 为对称变换，即(,)(,)Tx y x Ty =，,x y V ∀∈； 4．证明：T 为正交变换的充要条件是22k x =-。
二、（16分）设n n A R ⨯∈，记(){:,}.n n C A B AB BA B R ⨯==∈1．证明：()C A 是n n R ⨯的子空间； 2．当A I =时，求()C A ； 3．当100002000A n ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭时，求()C A 的维数和一组基。
三、（16分）设12(,,,)T n b b b b =为n 维非零列向量，求矩阵00H b A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值和特征向量，其中H b 表示列向量b 的共轭转置。
四、（14分）设,,n n n A R b x R ⨯∈∈，证明线性方程组T T A Ax A b =必有解。
五、（12分）设,A B 为n 阶实矩阵，证明0.A B BA≥-六、（12分）求证：A 为幂零阵（即存在正整数m ，使得0m A =）的充要条件是：对任一自然数r ，有()0.r Tr A =七、（10分）设,A B 是n 阶实对称矩阵，0A ≠，证明：A 为正定矩阵的充要条件是，对所有正定矩阵B ，恒有()0.Tr AB >中南大学2003年研究生入学考试试题考试科目：高等代数一、填空题：（每小题6分，共30分）1、设四阶方阵1234(,,,)A αααα=，1234(,,,)B βααα=，其中1234,,,,ααααβ为4维列向量，若||1,||2A B ==，则||()A B +=。
完整word版线性代数考试题及答案解析
WORD格式整理……_…_学年第一学期期末考试－20102009_…__…_试卷《线性代数》…__…__…_分钟完卷。
分，1201、本试卷共6页，五个大题，满分100答卷说明：_…_…__…号2、闭卷考试。
…学）线（_总分五三四一二_…__…题号_…__…_分数_…__…_…________________ :_____________ 总分人：评阅人…_名…姓…) 分分,共24一、单项选择题。
(每小题得分……）级封班（11?31_…__…111?3__?…行列式【】1._1?311…__…_3111?_…_业……专3021(B) (D)(A) (C) …__…__…???A?A32?3?A阶方阵，数2. 】设，为，则【_…__）_6?624?24 (D) (A) (C) (B) _密_系（n,BA,阶方阵，则下列式子一定正确的是【】3.已知为…__…__…_222B?2(A?B)AB?A?BAAB? (A) (B)_…_…__…_22B?A?B?B)(A?)(A BA?AB (D) (C)_…__…_…_?0??aA?A3A【】4.设，则为阶方阵, _…__……243aaaa (D) (A) （ B) (C)AB等价，则有 5.设矩阵与【】专业技术参考资料WORD格式整理R(A)?R(B)R(A)?R(B) (A) (B)R(A)?R(B)R(A)R(B)的大小不能确定 (C) 和 (D)n Ax?0Ax?0A r有非零解的系数矩阵【】6.设，则元齐次线性方程组的秩为的充分必要条件是r?nr?nr?n nr? (B) (C) (D) (A)a,a,,a(m?2) 向量组】【 7. 线性相关的充分必要条件是m21a,a,,a (A) 中至少有一个零向量m12a,a,,a (B) 中至少有两个向量成比例m12a,a,,a m?1(C) 个向量线性表示中每个向量都能由其余m21a,a,,a m?1(D) 个向量线性表示中至少有一个向量可由其余m21n A与对角阵相似的充分必要条件是阶方阵】8. 【nn)?R(A A个互不相同的特征值有(A) (B)n AA一定是对称阵个线性无关的特征向量 (D)(C)有) 分,共15二、填空题。
11级线性代数试卷A答案
中南大学考试试卷答案2011——2012学年第二学期（2012.4） 时间：100分钟《线性代数》 课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷专业年级：2011级 总分：100分一、填空题（本题15分，每题3分）1、0；2、8132（练习册P99）； 3、3-； 4、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--12333212312113311n n A ；5、12+⎪⎪⎭⎫⎝⎛λA （练习册P113）。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、D ；2、B （练习册P106）；3、C ；（教材P55）4、D ；5、A （练习册P120）。
三、（本题10分） （练习册P102）解：解： D n ====+++c c c c c c n 131121000120012201222=2n –1， 设D n 展开式中正、负项总数分别为x 1, x 2， 则x 1+x 2=n !，x 1–x 2=2n –1，于是正项总数为x 1=1221(!)n n -+。
四、（本题10分）（典型题解P121）解：由X A E AX +=+2，得：E A X E A -=-2)(，)(,010********E A E A -∴≠-==- 可逆，故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A X ；由于09≠=X ，()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===∴---*-201030102911)(1111X X X X X 。
五、（本题14分）解：将矩阵()4321,,,αααα化为最简形阶梯形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000011003101032001000011001030101121306014211035271，（1）()3,,,4321=ααααR ；（2）321,,ααα为所求的一个最大线性无关组，且32143132αααα++=。
六、（本题14分）解：()0311********--=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==λλλααA E A T，(1)A 的特征值为0,0,3；由0=AX 得对应0的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101011l k ，l k ,为不全为零的任意常数，由0)3(=-X A E 得对应3的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111c ，c 为任意非零常数。
线性代数试题及答案解析
线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
中南大学《线性代数》2021-2022学年第一学期期末试卷
中南大学期末考试试卷2021-2022-1《线性代数》课程32学时2学分考试形式：闭卷总分：100分一、填空题（每小题3分，共15分）⎛-10⎫⎪1、设f(x)=x-3，矩阵A=4⎪，则f(A)= .3⎝⎭22、设A,B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P，使成立，则称A与B相似．3、n元非齐次线性方程组Am⨯nx=b有唯一解的充分必要条件是.22 +3x3-2x1x2+6x1x3-6x2x3，4、已知二次型f(x1,x2,x3)=5x12+5x2则二次型f对应的矩阵A=.5、设4阶方阵A满足：A<0,3E+A=0,AA T=2E(其中E是单位矩阵)，则A 的伴随矩阵A*必有一个特征值为 .二、选择题（每小题3分，共15分）1、已知4阶方阵A的伴随矩阵为A*，且A的行列式A=3，则A*=（）.（A）81.（B）27.（C）12.（D）9.2、设A、B都是n阶方阵，且A与B有相同的特征值，并且A、B都有n个线性无关的特征向量，则（）。
（A）A与B相似.（B）A=B.（C）A≠B，但|A-B|=0.（D）A与B不一定相似，但|A|=|B|.3、设n阶方阵A为正定矩阵，下面结论不正确的是（（A）A可逆.（C）|A|>0.）.（B）A-1也是正定矩阵.（D）A的所有元素全为正.4、若n阶实方阵A=A2，E为n阶单位阵，则（）.（A）R(A)+R(A-E)>n.（B）R(A)+R(A-E)<n.（C）R(A)+R(A-E)=n.（D）无法比较R(A)+R(A-E)与n的大小.⎛0⎫⎛0⎫⎛1⎫⎛-1⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪5、设α1= 0⎪，α2= 1⎪，α3= -1⎪，α4= 1⎪，其中c 1,c 2,c 3,c 4为任意常数， c ⎪ c ⎪ c ⎪ c ⎪⎝1⎭⎝2⎭⎝3⎭⎝4⎭则下列向量组线性相关的为（（A ）α1，α2，α3.（C ）α1，α3，α4.三（本题满分10分））.（B ）α1，α2，α4.（D ）α2，α3，α4.x计算n （n ≥2）阶行列式D n =a x aa a x，D n的主对角线上的元素都为a ax ，其余位置元素都为a ，且x ≠a .四（本题满分10分）设3阶矩阵A ,B 满足关系：A -1BA =6A +BA ,⎛12 且A = 00⎝0140⎫0⎪⎪0⎪,求矩阵B .⎪⎪1⎪⎪7⎭五（本题满分10分）设方阵A 满足A 2-A -2E =0(其中E 是单位矩阵)，求A -1,(A +2E )-1.六（本题满分12分）⎛1⎫⎛2⎫⎛1⎫⎛3⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪4-1-5-6已知向量组A ：α1= ⎪，α2= ⎪，α3= ⎪，α4= ⎪，1⎪ -3⎪ -4⎪ -7⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪21-1⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝0⎭（1）求向量组A 的秩；（2）求向量组A 的一个最大线性无关组，并把不属于该最大无关组的其它向量用该最大无关组线性表示.七（本题满分14分）⎡1α设矩阵A =⎢⎢α1⎢⎣1β1⎤⎡000⎤⎢010⎥相似，β⎥B =与矩阵⎥⎢⎥⎢1⎥⎦⎣002⎥⎦（1）求α,β；（2）求正交矩阵P ,使P -1AP =B .八（本题满分14分）设有线性方程组为⎧x 1+a 1x 2+a 12x 3=a 13⎪23⎪x 1+a 2x 2+a 2x 3=a 2⎨23x +a x +a x =a 3⎪1323323⎪⎩x 1+a 4x 2+a 4x 3=a 4（1）证明：若a 1，a 2，a 3，a 4两两不等，则此方程组无解.（2）设a 1=a 3=k ，a 2=a 4=-k （k ≠0），且已知β1，β2是该方程组的两个解，其中β1=(-1, 1, 1)T ，β2=(1, 1,-1)T ，写出此方程组的通解.参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）⎛5-13⎫⎛-2 0⎫4 ⎪-1-15-31、 ；2、；3、；4、；5、P AP =B R (A )=R (A ,b )=n ⎪ ⎪38 6⎝⎭ 3-33⎪⎝⎭二、选择题（每小题3分，共15分） BADCC 三（本题满分10分，见教材P44习题第5题）x +(n -1)a 解：后面n -1列都加到第1列，得D n=a xa a xx +(n -1)ax +(n -1)a a1c 1÷[x +(n -1)a ]a x a 0a a x=(x -a )n -1[x +(n -1)a ].===[x +(n -1)a ]11 1[x +(n -1)a ]c ====+(-a )cc n +(-a )c n32c 2+(-a )c 11 1x -ax -a四、（本题满分10分，与典型题解P172例6类似）-1-1⎡⎛2⎫⎛1⎫⎤⎛1⎫⎛6⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪.解：B =6(A -1-E )-1=6⎢ 4-1=63=2⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢7⎭⎝1⎭⎥6⎭1⎪⎝⎝⎭⎣⎝⎦五、（本题满分10分，见练习册P118第五大题第1小题和典型题解P173例7）A -E A -E解：A 2-A -2E =0⇒A .=E ⇒A -1=22(A -E )23E -AA -A -2E =0⇒A +2E =A ⇒(A +2E )=(A )=(A ）=或4422-12-1-12六、（本题满分12分，见教材P89习题3第2题，或典型题解P178例6）3⎫⎛121⎪4-1-5-6⎪→解：1-3-4-7⎪ ⎪⎝21-10⎭⎛1 0→ 0 ⎝00-1-1⎫⎪112⎪，⎪000⎪000⎭R (A )=2,α1,α2为所求的一个最大线性无关组，且α3=-α1+α2,α4=-α1+2α2.七、（本题满分14分，见典型题解P190例14）解：（1）由A ,B 相似知，A ,B 有相同的特征值，而B 的特征值为0,1，2，⎧0⋅E -A =0⎪故得A 的特征值为λ1=0,λ2=1,λ3=2，从而有⎨，1⋅E -A =0⎪⎩由此解得α=0，β=0.⎛1⎫-⎪⎛-1⎫2⎪ ⎪（2）对于λ1=0，解(0⋅E -A )X =0，得特征向量 0⎪，单位化得：p 1= 0⎪；1⎪ 1⎪⎝⎭ ⎪2⎝⎭⎛0⎫⎪对于λ2=1，解(E -A )X =0，得特征向量为p 1= 1⎪；0⎪⎝⎭⎛ ⎛1⎫⎪0λ=2对于3，解(2E -A )X =0，得特征向量为 ⎪，单位化得：p 1=1⎪⎝⎭⎝⎛1 -2令P =(p 1,p 2,p 3)= 01 ⎝20101⎫⎪2⎪0⎪，则P 为正交阵，且使P -1AP =B .1⎪⎪2⎭1⎫⎪2⎪0⎪1⎪⎪2⎭八、（本题满分14分，见教材P87例3.13）解：（1）增广矩阵B 的行列式是4阶范德蒙行列式：11|B |=11a 1a 2a 3a4a 122a 22a 32a 4a 133a 2=∏(a j -a i )3a 31≤i <j ≤43a 4由于a 1，知|B |≠0，从而R (B )=4，但系数矩阵A 的秩R (A )≤3，a 2，a 3，a 4两两不等，故R (A )≠R (B )，因此方程组无解.（2）a 1=a 3=k ，a 2=a 4=-k （k ≠0）时，方程组变为⎧x 1+kx 2+k 2x 3=k 3⎪23⎧x 1+kx 2+k 2x 3=k 3⎪x 1-kx 2+k x 3=-k 即⎨⎨2323x +kx +k x =k x -kx +k x =-k 23⎩123⎪123⎪⎩x 1-kx 2+k x 3=-k 因为1k=-2k ≠0，故R (A )=R (B )=2，所以方程组有解，且对应的齐次方1-k程组的基础解系含3-2=1个解向量，又β1，β2是原非齐次方程组的两个解，故ξ=β2-β1=(2, 0,-2)T 是对应齐次方程组的解；由于ξ≠0，故ξ是它的基础解系。
中南大学考试卷
中南大学第二学期期末考试试卷考试科目高等数学考试时间：100分钟 试卷总分100分一、填空题（每小题10分，总计60分）1、螺旋线cos sin x a y a z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩在xoy 上的投影曲线方程为 ．222()x y a += 2、设,x y z f xy g y x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中,f g 均可微，则z x ∂=∂ ．1221()y yf f g y x '''+- 3、设()12sin cos x y e c x c x =+为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 ．(220)y y y '''-+= 4、二次积分10x y dx dy y =⎰ ．(1sin1)- 5、设L 为逆时针取向的圆周222x y R +=，则22L ydx xdy x y -=+⎰Ñ ．(2)π- 二、设平面π是过直线3220260x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩的平面, 且点()1,2,1M 到平面π的距离为 1，求平面π的方程． 解：(22100;43160)x y z y z ++-=+-=三、设函数()()222222221sin ,0,0,0x y x y x y x y f x y x y ⎧++++≠⎪+=⎨⎪+=⎩（1）问(),f x y 在原点()0,0处是否连续？（2）问(),f x y 在原点()0,0处的偏导数是否存在？（3）问(),f x y 在原点()0,0处是否可微？解：(1)连续；(2)存在；(3)可微.四、设Ω是由z =及1z =围成的立体， 求221zdv x y Ω++⎰⎰⎰．解：1(ln 2)2π-五、（1）求函数23u x y z =-+在222236x y z ++=条件下的最大值与最小值.（2）求圆锥面222z x y =+被柱面222x y x +=截下有限部分的面积.解：（1）6±；（2）.六、计算333x y z I dydz dzdx dxdy r r r ∑=++⎰⎰Ò，其中∑取曲面2222x y z a ++=的外侧. 解：4π七、（1）计算23ydx xzdy yz dz Γ--⎰Ñ，其中Γ为曲面222x y z +=与平面2z =的交线，从z 轴正向看是逆时针方向.(20)π-（2）求方程()3232(3)30x xy dx y x y dy -+-=的通解.解：44226x y x y c +-=八、设()),0u f r r r ==>，其中f 具有二阶连续导数，且函数u 满足方程2222220u u u x y z∂∂∂++=∂∂∂，求函数()f r 求的表达式.解：112c r c -=+。
中南大学2005年高等代数考研试题
（1）求 a ；
（2）求矩阵 P ，使 ( AP )T AP 为对角矩阵。
8． （12 分）设 A 与 B 是 n 阶矩阵，证明 AB 与 BA 有相同的特征值。 9． （20 分）设 A 是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的一个线性变换，满足： A2 = A 。
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中南大学 2005 年研究生入学考试试题
考试科目： 考试科目：高等代数 1． （10 分） 设 A 是 n 阶矩阵， 满足 AAT = E（ E 是 n 阶单位阵） ，A < 0 ， 求：A + E . 2． （ 12 分）求证：下列齐次线性方程组的可解性： x1 + x2 + L + xn = 0, 2 n 2 x1 + 2 x2 + L + 2 xn = 0, LLL nx + n 2 x + L + n n x = 0. 1 2 n
3． (12 分)设 f ( x) 和 g ( x) 是数域 p 上的多项式, n 为正整数.证明:如果 f n ( x) | g n ( x) ,
则 f ( x) | g ( x) .
4．(15 分)设 α1 = (1, 2,3) , α 2 = (3, −1, 2) , α 3 = (2, 3, t ) .求解: (1) t 为何值时， α1 , α 2 , α 3 线性无关？ (2) 选取 t ，将 α 3 表示成 α1 , α 2 的线性组合。 5．(15 分) 设二次型
线性代数考试练习题带答案大全(二)
线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。
(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。
9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。
线代II
1---○---○------○---○---………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理…………评卷密封线………… 中南大学考试试卷2010 ~2011 学年 2 学期 线性代数Ⅱ 课程 时间100分钟24 学时,1.5学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70 %一、单项选择题(本题15分，每小题3分) 1. 设,,133312321131131211232221333231232221131211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a a a a a a a a a a B a a a a a a a a a A ,101010001,10000101021⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P P 则必有（ ）.A B P AP =21 B B A P P =21 C B P AP =12D B A P P =122. 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式E ABC =，其中E 是n 阶单位阵，则必有（ ）. A E BCA = B E CBA = C E BAC =D E ACB =3. 设n 阶矩阵A 非奇异()2≥n ，*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则()=**A （ ）.A A A n 1- B A A n 2- C A An 2+D A An 1+24. 设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（ ）. A 当()0≠=a a A 时，a B = B 当()0≠=a a A 时，a B -= C 当0≠A 时，0=BD 当0=A 时，0=B5. 设2=λ是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵1231-⎪⎭⎫⎝⎛A 有一特征值等于（ ）.A 34B 21C 43D 41二、填空题(本题15分，每小题3分)1．设行列式2235007022220403--=D ，则第四行各元素代数余子式之和的值为 . 2．设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0111110111110111110111110 A ，则=A .3. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，则()=-1*A .4. 设矩阵A 满足042=-+E A A ，其中E 为单位矩阵，则()=--1E A .5. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2112A ，E 为二阶单位矩阵，矩阵B 满足E B BA 2+=，则=B .3三、解答题(本题64分，每小题8分)1．设A 为1010⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00001010000001000001010A ，计算行列式E A λ-，其中E 为10阶单位矩阵，λ为常数.2. 设A 是n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B .⑴证明B 可逆；⑵求1-AB .43. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，矩阵X 满足X A E AX +=+2，其中E 为三阶单位矩阵，试求出矩阵X .4. 已知三阶矩阵A 的逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3111211111A ，试求伴随矩阵*A 的逆矩阵.55. 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----101410213的实特征值与对应的特征向量.6. 设有4阶方阵A 满足条件0,2,02<==+A E AA A E T ，其中E 是4阶单位阵. 求方阵A 的伴随矩阵*A 的一个特征值.67. 解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++-=-+-=-+-337713343424313214314321x x x x x x x x x x x x x .78. 设线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+++=+++243214312143214321121053153363132kx x x x x x k x x x x x x x x x x ,问1k 与2k 各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？有无穷多解时，求其一般解.8四、 (本题6分)已知n 阶方阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100000110000111000222200000011000024 A ，求A 中所有元素代数余子式之和∑∑==n i nj ij A 11.。
中南大学2014级线代试卷A及答案
中南大学考试试卷20014——2015学年第二学期 时间：100分钟《线性代数》课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷 总分：100分一、填空题（每小题3分，共15分）1、设3阶矩阵A 的特征值互不相同，若行列式0A =，则秩()R A = ．2、设向量123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,)T T Ta ααα=-==，若由123,,ααα生成的向量空间的维数为2，则a = ．3、已知(1,1,1)T ξ=-是2125312A a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量，则=a ⎽⎽⎽， b =⎽⎽⎽.4、设,A B 为3阶矩阵，且3A =，2B =，12A B -+=,则1A B -+= .5、设实二次型()312123222132122,,x tx x x x x x x x x Q ++++=是正定的，则t 的取值范围是 .二、选择题（每小题3分，共15分）1、若矩阵A 、B 可逆，则矩阵00A B⎛⎫⎪⎝⎭也可逆，且10A B-⎛⎫⎪⎝⎭=（ ）. （A ）1100A B--⎛⎫⎪⎝⎭. （B ）1100B A--⎛⎫⎪⎝⎭. （C ）1100A B --⎛⎫ ⎪⎝⎭. （D ）1100B A --⎛⎫⎪⎝⎭. 2、设A 是n 阶方阵，则0||=A 的必要条件是（ ）.（A ）A 中两行（列）元素对应成比例. （B ）A 中有一行元素全为零. （C ）任一行元素为其余行的线性组合.（D ）必有一行元素为其余行的线性组合. 3、设向量组I ：12,,,r αααL 可由向量组II: 12,,,S βββL 线性表示.下列命题正确的是（）.（A ）若向量组I 线性无关，则r s ≤. （B ）若向量组I 线性相关，则r s >. （C ）若向量组II 线性无关，则r s ≤. （D ）若向量组II 线性相关，则r s >. 4、设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若AB E =,则（ ）.（A ）秩()R A m =，秩()R B m =. （B ）秩()R A m =，秩()R B n =.（C ）秩()R A n =，秩()R B m =. （D ）秩()R A n =，秩()R B n =.5、设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为（）.（A ）13αα，.（B ）12αα，. （C ）123ααα，，. （D ）234ααα，，.三（本题满分10分）设123221(, , )212122A ααα-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，1214(, )0342B ββ⎛⎫⎪== ⎪⎪-⎝⎭，证明123, , ααα是3维空间3R 的一个基，并把12, ββ用这个基线性表示.四（本题满分10分）设矩阵010101010A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,若矩阵X 满足 22X XA AX AXA E --+=,其中E 为3阶单位矩阵，求X .五（本题满分16分） 设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212n a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭O O O ，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ，100b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M . （1） 证明行列式(1)n A n a =+；（2） 当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ； （3） 当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.六（本题满分8分）已知4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，又123,,ααα是它的3个解向量，其中1223(1,1,0,2),(1,0,1,3)T T αααα+=+=，求该非齐次线性方程组的通解.七（本题满分14分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭与矩阵12000031B b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，（1）求,a b 的值； （2）求可逆矩阵P ,使1P AP -为对角阵.八（本题满分12分）已知1010111001A a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型123(,,)()T T f x x x x A A x =的秩为2，（1）求实数a 的值；（2）求正交变换x Qy =，将f 化为标准形.参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、2；2、6；3、-3，0；4、3；5、22t -<<. 二、选择题（每小题3分，共15分） BDAAD 三（本题满分10分）解 要证123, , ααα是3R 的一个基，即证123, , ααα线性无关，即证()3R A =或0A ≠或A ～E ，12321311()322211411113(,)21203030231224203355r r r r r r r A B ++-+--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-−−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭132332(3)31002411113330102101021330115500112333r rr r r r-÷-÷-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→−−−→-- ⎪ ⎪⎪⎪- ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因有A ～E ，故123, , ααα为3R 的一个基，且1212324332(, )(, , )13213ββααα⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 四、（本题满分10分）解 由 22X XA AX AXA E --+=，得2()()E A X E A E --=,因2110001111,010011102E A E A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭都可逆，故121211201312()()111010111110100211X E A E A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.五（本题满分16分）（1） 证法一（用数学归纳法）：记n D A =， 当1n =时，12D a =；2n =时，2222132a D a a a==，结论都成立， 假设结论对小于n 的情况成立，将n D 按第1行展开得222112221122110221222122(1)(1)n n n n n n n na a a a D aD aD a D a a a a ana a n a n a ------=-=-=--=+O OO故(1)n A n a =+. 证法二22132221213102211223212213102411(1).31011n n n a a a a r ar r ar Aa aa aa a a n r ar n a nn a n n a n-----=+-+O OO L LO O O（2）解 当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有唯一解，由克莱姆法则，将n D 第1列换成b ，得行列式为22112222111210212*********n n n na a a aa aD na a a aa a a a a ---===OO O O OO ，所以，11(1)n n D nx D n a-==+. （3）解 当0a =时，方程组为12110100100100n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭M M OO， 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为(0,1,0,,0)(1,0,0,,0)T T x k =+L L ，其中k 为任意常数. 六、（本题满分8分）解 因4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，故其导出组的基础解系只含 一个解向量，即可为312312()()(0,1,1,1)T αααααα-=+-+=-, 非齐次特解可为1211(,,0,1)222T αα+=,或23113(,0,,)2222T αα+=， 所以非齐次线性方程组的通解为(0,1,1,1)T k -11(,,0,1)22T +或(0,1,1,1)T k -113(,0,,)222T +，其中k 为任意常数.七、（本题满分14分）解（1）由,A B 相似知，,A B 有相同的特征值，故 迹()(),tr A tr B A B ==,于是 32,23,a b a b +=+-= 解得 4,5,a b == （2）由（1）知，023133124A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，120050031B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，因,A B 相似，所以2(1)(5)E A E B λλλλ-=-=--，故A 的特征值为1231,5λλλ===，当121λλ==时，解()0E A X -=，得线性无关的特征向量12231,001ξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当35λ=，解()50E A X -=，得特征向量为3111ξ-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，令()123231,,101011P ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，则P 为所求可逆矩阵，使1100010005P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.八、（本题满分12分）解 （1）1011010110111000101000A aa a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因秩()()T R A A R A ==2，所以1a =-.（2）因1a =-，所以202022224T A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则特征多项式为(2)(6)T E A A λλλλ-=--， 于是T A A 的特征值为1232,6,0λλλ===.当12λ=时，由(2)0T E A A x -=，可得属于2110⎛⎫⎪-⎪⎪⎭， 当26λ=时，由(6)0T E A A x -=，可得属于6112⎛⎫⎪⎪⎪⎭，当30λ=时，由0T A Ax =，可得属于0111⎛⎫⎪⎪⎪-⎭，令0Q ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎝，则f 在正交变换x Qy =下的标准形221226f y y =+.。
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考试试卷1闭卷考试时间：100分钟一、填空题（本题15分，每小题3分）1、设()4321,,,A A A A A =为四阶方阵，其中)4,3,2,1(=i A i 为A 的第i 个列向量, 令()14433221,,,A A A A A A A A B ----=，则=B 。
2、设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且3||=A ，则=-*|)(|1A 。
3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=2531312311112t t A ，且2)(=A R ，则=t 。
4、若n 阶方阵A 有特征值λ，则E a A a A a A A f k k k 0111)(++++=-- 必有特征值 。
5、若二次型yz xz axy z y x f 2223222+++++=经正交变换化为22214y y f +=，则=a 。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、设A 是n 阶方阵，则0||=A 的必要条件是（ ）。
（A ）A 中两行（列）元素对应成比例； （B ）A 中有一行元素全为零；（C ）任一行元素为其余行的线性组合； （D ）必有一行元素为其余行的线性组合。
2、设A 是n 阶对称阵，B 是n 阶反对称阵，则下列矩阵中反对称矩阵是（ ） （A ）BAB ； （B ）ABA ； （C ）ABAB ； （D ）BABA 。
3、设向量组()()()，，，，，，，，，TTTt 31321111321===ααα当=t （ ）时，向量组321ααα，，线性相关。
（A ）5（B ）4（C ）3（D ）24、设A 为34⨯矩阵，321,,ηηη是非齐次线性方程组b Ax =的3个线性无关的解向量，21,k k 为任意常数，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为（ ）。
（A ）)(212132ηηηη-++k ； （B ）)(212132ηηηη-+-k ； （C ）)()(213212132ηηηηηη-+-++k k ； （D ）)()(213212132ηηηηηη-+-+-k k 。
5、设方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=20001011k k A 是正定矩阵，则必有（ ）。
（A ）0>k ； （B ）1>k ； （C ）2>k ； （D ）1->k 。
三、（本题8分） 计算行列式xa x a x a a n n 0100010001121-----，其中1,,2,1,0,0-=≠n i a i 。
四、（本题12分） 设X A E AX +=+2，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A ，求矩阵X 及()*-1X ，其中()*-1X 为1-X 的伴随矩阵，E 为单位矩阵。
五、（本题14分） 设向量组()()()TTT531110101321，，，，，，，，===ααα不能由向量组 (),1111T ，，=β(),3,2,12T =β()Tk ,4,33=β线性表示。
（1）求向量组321ααα，，的一个极大无关组； （2）求k 的值； （3）将向量1β用321ααα，，线性表示。
六、（本题14分） 设齐次线性方程组（Ⅰ）为⎩⎨⎧=-=+004221x x x x ，已知齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为()()TTk k 1,2,2,10,1,1,021-+。
（1）求方程组（Ⅰ）的基础解系；（2）问方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，则求出所有非零公共解，若没有，则说明理由。
七、（本题14分） 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110010000010010x A ， （1）已知A 的一个特征值为，2 求x ； （2）求方阵P ，使()()AP AP T为对角阵。
八、（本题8分） 试证明：n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1112 b b b b b b b b b a A 的最大特征值为])1(1[2b n a -+，其中10<<b 。
参考答案一、填空题（本题15分，每题3分） 1、0； 2、91； 3、4； 4、)(λf ； 5、1。
二、选择题（本题15分，每题3分） 1、D ； 2、B ； 3、A ； 4、C ； 5、B. 三、（本题8分） 解：从第一行开始，每行乘x 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：原式=122110----++++n n n n a x a x a x a 。
四、（本题12分）解：由X A E AX +=+2，得：E A X E A -=-2)(，)(,010********E A E A -∴≠-==- 可逆，故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A X ；由于09≠=X ，()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===∴---*-201030102911)(1111X X XX X 。
五、（本题14分） 解：（1） 令),,(321ααα=A ，3)(,01=∴≠=A R A ，则321,,ααα线性无关， 故321,,ααα是向量组321ααα，，的一个极大无关组；（2）由于4个3维向量 )3,2,1(321=i i αβββ，，，线性相关，若321βββ，，线性无关，则i α可由321βββ，，线性表示，与题设矛盾；于是321βββ，，线性相关，从而5,0531421311||321=∴=-==k k kβββ，，。
（3）令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==110040102001151113101101),,,(1321 βαααB ，321142αααβ-+=∴。
六、（本题14分）解：（1） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1010100110100011A ，所以方程组（Ⅰ）的基础解系为：()()TT1,0,1,1,010021-==ηη，，，； （2）设()()2413211,2,2,10,1,1,0ηηk k k k TT+=-+，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00001100101010011010012110211010,010100121102110104321 k k k k ，故上述方程组的解为T k )1,1,1,1(-，于是方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）所有非零公共解为：)0()1,1,1,1(为任意常数≠-k k T 。
七、（本题14分）解：（1）()()0)1(1111111110000100122=---=----⋅--=------=-x xxA E λλλλλλλλλλλ，将2=λ代人上式，得1=x ；（2）由（1）得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1100110000010010A ，显然A 为实对称阵，而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2200220000100001A A T令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==212A OO A A A A T ，显然2A A A T 和也是实对称阵，1A 是单位阵， 由()0422222=-=----=-λλλλλA E ，得2A 的特征值4021==λλ，， 2A 属于1λ对应的特征向量为T )11(1-=，α，单位化：T )2222(1-=，η， 2A 属于2λ对应的特征向量为T )11(2，=α， 单位化：T )2222(2，=η， 取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22220022220000100001P ，则有()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==4000000000100001)(P A A P AP AP TT T 。
八、（本题8分）证明：由()())1(22122222222222222=-+-+-=------------=--b a n aba a ab a ba ba b a b a a b a b a b a b a a A E n λλλλλλ得A 的特征值)1(],)1(1[23221b a b n a n -====-+=λλλλ ，n a b λλλλ===>∴><< 3212,0,10，故A 的最大特征值是])1(1[21b n a -+=λ。
考试试卷2闭卷考试时间：100分钟一、填空题（本题15分，每小题3分）1、若n 阶行列式零元素的个数超过n （n-1）个，则行列式为 。
2、若A 为4阶矩阵，且A =21，则*12)3(A A --= 。
3、设A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛k k k k111111111111，且R （A ）=3，则k= 。
4、已知向量,α=（1,2,3），β=（1，31,21，），设A=βαT ，则A n= 。
5、设A 为n 阶方阵，A *≠A ,0为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位阵，若A 有特征值E A +*2,）则（λ必有特征值 。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、设A ，B,C 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，且ABC=E ，则下列各式中（ ）不成立。
（A ） CAB=E (B) E CA B =---111(C) BCA=E (D)E BA C =---1112、设A,B 均为n 阶非零矩阵，且AB=O ，则它们的秩满足（ ）。
（A ）必有一个等于零 （B ）都小于n (C) 一个小于n ，一个等于n （D ）都等于n3、下列命题中正确的是（ ）（A ）在线性相关的向量组中，去掉若干个向量后所得向量组仍然线性相关 （B ）在线性无关的向量组中，去掉每个向量的最后若干分量后仍然线性无关（C ）任何n+k 个n 维向量（k 1≥）必然线性相关（D ）若只有m k k k ,,21全为零时，等式01111=+++m m m m k k k k ββαα 才成立，且m ααα 21,线性无关，则m βββ 21,线性无关4、设T)1,2,1(1-=α，,)1,1,1(2T-=α则3α=（ ）时，有321,,ααα为3R 的基（A ）T )2,1,2( （B ）T )1,0,1( （C ）T )0,1,0( （D ）T)1,0,0(5、设二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k A 20211012，且此二次型的正惯性指数为3，则（ ）（A ） k>8 ( B) k>7 (C) k>6 (D) k>5三、（10分）计算n 阶行列式111111111111 ----=n D ,并求该行列式展开后的正项总数。
四、（10分） 设E AX +=X A +2,且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，求矩阵*-)(1X X 及，其中11)(-*-X X 为的伴随矩阵，E 为单位矩阵。
五、（本题14分） 设有向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02311α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=314072α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10123α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=26154α， (1)求该向量组的秩；(2)求该向量组的一个最大无关组，并把其余向量分别用求得的最大无关组线性表出。