湖北省随州市高一5月月考数学试题
湖北高一下学期5月联考数学试题
高一年级5月联考数学试卷时长：150分钟 满分：150分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号镇写在本试卷和答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，若，则（ ）{}016U A B x N x ==∈<+< {}1,2A =A B =∅ B =A. B.C.D.{}0,3,4{}0,1{}1,0-{}2,3,42.已知复数（其中i 是虚数单位）是实数，则实数a 的值是（ ） 2i12ia z +=+A.B.2C.3D.41-3.中内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，，ABC △()()3a b c a c b ac +++-=，那么是（ ）sin 2sin cos B A C =ABC △A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4.函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭π()f x 6π位长度后，得到一个偶函数的图象，则（ ） A.B.C.D.3πϕ=6πϕ=3πϕ=-6πϕ=-5.的斜二测画法的直观图为，，，，则ABC △A B C '''△4A B ''=3B C ''=6A B C π'''∠=ABC△的面积为（ ）A.3B.C. D.6.中内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若的面积为，则ABC △ABC △2224a b c +-（ ）tan C =C.17.在中，，，D 为BC 的中点，将绕AD 旋转至，ABC △2AB AC ==BC =ACD △APD使得的外接球表面积为（ ）BP =P ABD -C. D. 7π8π8.在中，AD 为BC 上的中线，G 为的重心，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动ABC △ABC △点，且M ，N ，G 三点共线，若，，则的最小值为（ ）AM AB λ= AN AC μ=4λμ+A.B.3C.2D. 3294二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.如下图，点A ，B ，C ，P ，Q 是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面的有PQ∥ABC （）A.B. C. D.10.下列各式中，值是的是（ ） 12A. B.cos cos sin sin 33x x x x ππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒C. D.2tan 22.51tan 22.5︒-︒22cos 203sin50-︒-︒11.已知，将绕坐标原点O 分别旋转，60°，120°到，，34,55OP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭OP60-︒1OP 2OP 3OP 的位置，则（）A.点的坐标为B.1P 12PP PP =C.D.123OP OP OP OP ⋅=⋅ 132OP OP OP OP ⋅<⋅12.欧拉公式（其中，i 为虚数单位）由瑞士著名数学家欧拉发现，i ecos isin θθθ=+e 2.718=⋅⋅⋅该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，下列结论中正确的是（ ）A.B.321i eπθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2i i ei e πθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅C. D.()i i i e e e θαθα--=()2cos sin x i i i e e eθαθθαα⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=+三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知（i 为虚数单位），则______.()20232i iz -=z =14.已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为3.则四棱台的高为______. 15.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b，c ，若，，，则角A ABC △23A π=7a =3b =的角平分线______. AD =16.已知，如果存在实数，使得对任意的实数x ，都()()2sin cos 0f x x x x ωωωω=+>0x 有成立，则的最小值为______.()()()002023f x f x f x π≤≤+ω四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知复数，且为纯虚数.()()212i z m m m m R =-++-∈i z ⋅（1）求实数m ；（2）若，，求复数. z ω=2i ωω-=ω18.（本小题满分12分）已知向量，满足，a b 1a = (b =（1）若，求的值；23a b += 23a b -（2）若，求在上的投影向量的坐标.()0a a b ⋅-=a b 19.（本小题满分12分）如图所示，BD 为平面四边形的对角线，设，，ABCD 2AB =sin ABD ADB ∠=∠为等边三角形，记.BCD △()0BAD θθπ∠=<<（1）当时，求的面积；BD =ABD △（2）设S 为四边形的面积，用含有的关系式表示S ，并求S 的最大值. ABCD θ20.（本小题满分12分）已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选()()cos 20,2f x x πωϕωϕ=+><⎛⎫⎪⎝⎭择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定；()f x 条件①：的最小正周期为；条件②：；条件③：图象的一条对称轴为()f x π()00f =()f x .3x π=（1）求的解析式； ()f x （2）存在使得不等式成立，求实数m 的取值范围.,33x ππ⎡∈-⎤⎢⎥⎣⎦cos 36x x m ππω⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+-<21.（本小题满分12分） 如图，在正四棱锥中，，，N 、E 、F 分别为PD 、BC 、P ABCD -2AB =4PA =2PM MB =CD 中点.（1）求证：平面PMN ； EF ∥（2）三棱锥的体积. N MCD -22.（本小题满分12分）已知中，，，，Q 是边AB （含端点）上的动点.ABC △2AB =3AC =13BP BC =（1）若，O 点为AP 与CQ 的交点，请用，表示；25AQ AB =AB AC AO （2）若点Q 使得，求的取值范围及的最大值.AP CO ⊥cos BAC ∠AQC S △2023年湖北云学新高考联盟学校高一年级5月联考数学试卷评分细则1-8ADAD BCCB9.AD10.ACD11.BCD12.ABD13.15. 16. 12i 55-1581404617.解：（1）∵为纯虚数()()2i 21i z m m m ⋅=-+-+-，∴ （5分） 22010m m m +-=-≠⎧⎨⎩2m =-（2）由（1）有，∴（6分）3z =-3ω=令，∴()i ,a b a b R ω=+∈2i 2ib ωω-==∴ ∴ （8分）22922a b b +==⎧⎨⎩1a b =±=⎧⎪⎨⎪⎩∴ （10分）i ω=±+18.解：（1） （1分）2b =，∴ （3分）2222444179a b a a b b a b +=+⋅+=⋅+= 2a b ⋅=-∴ （6分）238a b -=== （2） ∴ （8分）()210a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=1a b ⋅= ∴ （10分）1cos ,2a b a a b b⋅==∴，∴投影向量坐标为（12分） 1124b b ⎛= ⎝14⎛ ⎝19.解：（1）在中，（2分）ABD △sin sin AD ABDABADB∠==∠AD==∴（3分） cos θ==又∵ ∴ 0θπ<<1sin2θ=∴. （5分） 11222ABD S =⨯⨯=△（2）在中，ABD △cos θ=∵ （7分）216BD θ=-∴ 211222S BD θ=⨯⨯+⨯6cosθθ=-+（10分）3πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵，∴ 0θπ<<2,333πππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭∴当即时，（12分）32ππθ-=56πθ=max S =20.解：（1）选①③ （1分） ∵ ∴ （2分） 22T ππω==1ω=∴ ()()cos 2f x x ϕ=+又∵为对称轴，∴3x π=23k πϕπ+=而 ∴ ∴ （6分） 2πϕ<3πϕ=()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）令 cos 36y f x x ππω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（8分）22cos cos 166x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令 ∴在上单增 ()cos 016t x t π⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭221y t t =+-[]0,1∴当时， （11分）0t =min 1y =-∴ （12分） 1m >-21.解：（1）证明：连接BD∵四边形为正方形，E ，F 为BC ，CD 的中点 ABCD ∴ （1分）EF BD ∥又B ，D ，N ，P ，M 五点共面，平面，平面 （3分）EF ⊄PMN BD ⊂PMN ∴平面 （4分）EF ∥PMN （2）（6分） 1223N ABCDV -=⨯⨯=112111223336N MCD M CDN M PCD B PCD B PCD P BCD P ABCD V V V V V V -------===⨯⨯==== （12分） N MCD V -=22解：∵ ∴ （1分）13BP BC =2133AP AB AC =+ 又∵A 、O 、P 三点共线，令， 233AO AP AB AC λλλ==+∵ ∴， 52AB AQ = 533AO AQ AC λλ=+而C 、O 、Q 三点共线，∴∴ 5133λλ+=12λ=∴ （4分）1136AO AB AC =+（2）可得，又因为，1233AP AC AB =+ CQ AQ AC ==设，则， ()01AQ AB t =≤≤ CQ t AB AC =- 由，可得.即， （6分）AP CQ ⊥ 0AP CQ ⋅= ()12033AC AB AB AC t ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭所以，2212203333t AC AB AC t AB AC AB ⋅-+-⋅=即. 286cos 3033t BAC t -⨯∠-+=整理得 （8分）()()()()8873247333cos 2222362t t BAC t t t ----∠===-----因为，在上单调递增， []0,1t ∈()47362y t =---[]0,1故 （10分） ()4731cos ,36246BAC t ⎡⎤∠=--∈--⎢⎥-⎣⎦又因为1sin 332AQC ABCS tS tAB AC BAC ==⨯⨯==△△可知是关于t 的函数在上单调递增，所以当时，. （12AQC S △[]0,11t =AQC S △分）。
数学-湖北省随州市第二高级中学2017-2018学年高一5月月考试题(扫描版)
湖北省随州市第二高级中学2017-2018学年高一5月月考数学试题【参考答案】一、选择题1-5：ABDCD 6-10：ABBBD 11-12：A D 二、填空题 13.1614.15.7π16. 11，- 三、解答题 17.解：（1）1πcos =,0<<tan =72∴ααα且，4738tan 1tan 22tan 2-=-=ααα. （2）113πcos =,cos(-)=,0<<<7142ααββα且，1433)sin(,734sin=-=∴βαα， ()131sin =sin --=sin cos(-)-cos sin(-)=-714714⎡⎤⋅⎣⎦βααβααβααβ=2， ππ0<<,=23∴ββ. 18.解：(1)设是等差数列{}n a 的公差为d ，则31414=--=a a d ， 所以n n a n 33)1(3=⨯-+=， 数列{}n b 中，因为3321-=+n n s ， 当33221-=≥-n n s n 时，，得n n b 3=，当适合上式得时，3,233211121==-==b b s n 所以n n b 3=. （2）+199111=3+=3+=3+=3+-33(+1)(+1)+1⎛⎫⎪⋅⎝⎭nn n n n n n c a a n n n n n n ， 数列{}n c 的前n 项和为12+1+1111111=(3+3+...+3)+(-)+(-)+...+(-)1223+13-313-3=+1-=+1-3+12+1.⎡⎤⎢⎥⎣⎦n n n n T n n n n n （）19.解：（1）三视图：（2）设正方体棱长为a ，截面右下方的体积是322221247)21218181(311a a a a a a V V CDC MNB =⨯+⨯+==-棱台，截面左上方的体积是3122417a V V V =-=， 分正方体成两部分的几何体体积之比是17:7:21=V V .20. 解：（1）因为2ππ3cos 2sin()sin()2sin 33B A A A =+⋅-+22211333sin sin )2sin cos sin 22222A A A A A A A =+-+=+=， 所以1cos 2B =，因为B 是三角形的内角，所以π3B =． （2）正弦定理得4sin sin sin 3a c A C ===，所以24sin ,4sin(π)3a A c A ==-， 因此三角形ABC周长2π4sin 4sin(π))36l A A A =+-+++因为20π3A <<，所以当π3A =时，max l =．21.解：（1）当时，，，当时，，，x c >23P =1221033T x x ∴=⋅-⋅=1x c ≤≤16P x =-21192(1)2()1666x x T x x x x x-∴=-⋅⋅-⋅⋅=---综上，日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系为：.（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0，当时，， 当且仅当时取等号，所以当时，，此时；当时，令[][)+∞⊆-∈-=,35,66c x t ，由tt 9+在[)∞+，3单调递增， ，此时，综上，若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润； 若，则当日产量为万件时，可获得最大利润.22.解：(1)由已知n n a n A )1(2+=，当2≥n 时, 1,)1(211-=∴-+=--n na a na a n a n n n n n ，n a a a a a a a a n n n 3123121=⋅⋅⋅⋅=- . (2)12n n n n a a T +==nn n 2)1(9+， 1112)2(92)1(92)2)(1(9+++-=+-++=-n n n n n n n n n n T T ， 所以 >>=<4321T T T T ，∴{}n T 中的最大值为22732==T T ， T x 292,160,x x x c T x x c ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪>⎩x c >1x c ≤≤2926x x T x-=-9152[(6)]6x x =--+-15123≤-=3x =()i 36c ≤<max 3T =3x =()ii 13c ≤<2max926c c T c-∴=-x c =36c ≤<13c ≤<c要使m T n ≤对于一切的正整数n 恒成立,只需⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,227m . (3)2na nb =nn823==，7)18(881)81(8-=--=n n n S ，16111<--++n n nn tb S tb S ，即16187)18(887)18(811<⋅--⋅--++n n nn t t ，化为2118)78(88)78(<-⋅--⋅-nn t t ， 若1,1581=<=n t n 时，成立；若158)78(2>⋅-≥n t t 时，不成立.综上,存在正整数1,1==t n ，使16111<--++n n n n tb S tb S 成立.。
湖北省重点高中智学联盟2022-2023学年高一下学期5月联考数学试题
湖北省重点高中智学联盟2023年春季高一年级5月联考数学试题命题学校：新洲一中邾城校区 一、单项选择题：（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.复平面内复数z 所对应的点为()2,1−，则z i +=（ ）A.2C.D.2.已知点()1,3A ，()5,1B m −，()3,1C m +，若AB 与AC 共线，则AB 在AC上的投影向量的坐标为（ ） A.()2,2−B.()2,2−C.()2,2D.()2,2−−3.已知3a b ⋅= ，2a = ，22a b −=，则a ，b 的夹角为（ ）A.3πB.6πC.23πD.56π 4.某广场内供休闲人员休息的石凳是由一个正方体石块截去8个相同的四面体得到的，如下图所示，若被截正方体石块棱长为60cm ，则该石癹的体积为：（单位3cm ）（ ）A.180000B.160000C.140000D.1200005.在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin cos 2sin cos A C C A =，且222a c b −=，则b =（ ）A.9B.6C.3D.186.如右图，现有A ，B ，C 三点在同一水平面上的投影分别为1A ，1B ，1C ，且11130AC B ∠=°，11160A B C ∠=°，由C 点测得B 点的仰角为45°，1BB 与1CC 的差为10，由B 点测得A 点的仰角为45°，则A ，C 两点到水平面111A B C 的高度差11AA CC −为（ ）A.15B.16C.17D.187.在ABC △中，2BA =，4BC =，D 为AC 的中点，BE AC ⊥于E ，H 是线段BE 上的动点，则HD CA ⋅=（ ） A.8−B.8C.6−D.68.在ABC △中，已知30B =°，3AC =，点D 在边AB 上，且3BD =，DA DC =，则A ∠=（ ）A.3πB.6πC.3π或9πD.6π或18π二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
湖北省随州市汉东中学2023年高一数学文月考试卷含解析
湖北省随州市汉东中学2023年高一数学文月考试卷含解析专业课理论基础部分一、选择题（每题1分，共5分）1.下列哪个数是实数集的一个元素？D. {1, 2, 3}2.若函数f(x) = x² - 4x + 3，求f(2)的值。
3.已知a=3，b=4，判断a²+b²是否等于25？C. 无法判断D. 以上都不对4.若两个事件A和B相互独立，则P(A∩B)等于什么？A. P(A)B. P(B)C. P(A) + P(B)D. P(A) × P(B)5.若函数f(x) = 2x + 3是单调递增的，则下列哪个函数也是单调递增的？A. f(x) = 2x - 3B. f(x) = -2x + 3C. f(x) = 2/x + 3D. f(x) = -2/x + 3二、判断题（每题1分，共5分）1.实数集包括有理数和无理数。
2.函数f(x) = x³的导数是f’(x) = 3x²。
3.两个事件的并集是指至少包含其中一个事件的发生。
4.若函数f(x) = ax² + bx + c（a≠0），则该函数的图像是开口朝上或朝下的抛物线。
5.若矩阵A的行列式为0，则A是奇异矩阵。
三、填空题（每题1分，共5分）1.若函数f(x) = 2x + 3，则f’(x) = _______。
2.设A是一个n×n矩阵，则|A|表示A的______。
3.若事件A和B相互独立，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∩B) =_______。
4.实数集R包括______和______。
5.若a=3，b=4，则a²+b²的值为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1.简述实数集的概念及其分类。
2.求函数f(x) = x² - 4x + 3的极值点及其性质。
3.解释随机事件、必然事件和不可能事件的概念。
4.证明：(a+b)² = a² + 2ab + b²。
湖北省高一下学期5月月考数学试题8
高一下学期5月月考数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果a b > ，那么下列不等式中正确的是A. lg lg (0)a x b x x >>B. 22ax bx >C. 22a b >D. 22x x a b ⋅>⋅ 230y ++=的倾斜角是 A.6π B. 56π C. 3πD. 23π3．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为A.324RB. 38RC. 324RD. 38R 4．若空间中四条直线1l 、2l 、3l 、4l ，满足12l l ⊥ ，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是A. 14l l ⊥B. 14//l lC. 14,l l 既不平行也不垂直D. 14,l l 的位置关系不确定5．设定点()0,1A ，动点(),P x y 的坐标满足条件0,24,x y x y x ≥⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩则PA 的最小值为A. 1B.C.2D.6．已知直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们之间的距离是 A. 8 B. 2 C. 1710 D. 1757．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b c a +=，3sin 5sin A B =， 则角C = A.23π B. 34π C. 56π D. 3π8．等比数列{}n a 的各项均为正数,已知1234a a a =,45612a a a =，11324n n n a a a -+=，则n = A.16 B. 14 C. 12 D. 119．如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把ABD ∆和ACD∆折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论 ①BD AC ⊥ ； ②BAC ∆是等边三角形； ③三棱锥D ABC -是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面ABC 其中正确的是A.①②④B.①②③C.②③④D. ①③④ 10．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为A.21B. 18C. 21D. 1811．已知a ，b ，c 是ABC ∆的三边长，且方程()2c b x -+ ()2b a x -()0a b +-=有两个相等的实数根，则这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D. 等腰直角三角形12．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{}()*n a n N ∈的前12项（如下表所示），按如此规律下去，则201520162017a a a ++=A.1007B. 1008C. 1009D. 2017二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上） 13．经过直线1:50l x y +-=，2:10l x y --=的交点且垂直于直线230x y +-=的直线方程为 .14．已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c 且1a =，45B = ，2ABC S ∆=，则ABC ∆的外接圆的面积为 .15．若0ab > ，且(),0A a ，()0,B b ，()2,2C -- 三点共线，则ab 的最小值为 .16．已知数列{}n a 满足11a =，21n n n a a a +=+，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则122015111111a a a ⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥+++⎣⎦ .三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）设直线l 的方程为()()120a x y a a R +++-=∈.（1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； （2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）如图，已知在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，M 为线段PA 上一动点，E ，F 分别是线段BC ， CD 的中点，AC 与EF 交于点N .（1）求证：平面PAC ⊥底面MEF ； （2）若//PC 平面MEF ，试求:PM MA 的值.19．（本小题满分12分）如图，将长'AA =13AA =的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，如图所示：（1）求异面直线PQ 与AC 所成角的余弦值； （2）求三棱锥1A APQ -的体积.20．（本小题满分12分）在锐角三角形ABC ∆中， a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且()()(2a b c a c b ac +++-=.（1）求角B ；（2）求cos sin A C +的取值范围.21．（本小题满分12分）已知美国苹果公司生产某款iPhone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款iPhone 手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为()R x 万美元，且()24006,040740040000,40x x R x x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩. （1）写出年利润W (万美元)关于年产量x (万只)的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone 手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．22．（本小题满分14分）已知点()()*,n n n P a b n N ∈满足11n n n a a b ++=，1214nn nb b a +=-，且点1P 的坐标为()1,1-.（1）求经过点1P ，2P 的直线l 的方程；（2）已知点()()*,n n n P a b n N ∈在直线l 上，求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（3）在（2）的条件下，求对于所有*n N ∈，能使不等式()()()12111n a a a ++⋅⋅⋅+≥k k 的值.高一下学期五月月考 数学试题参考答案二．填空题13.210x y -+= 14.252π15.16 16.0 三．解答题17.（1）当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，2a ∴=，得l 的方程为30x y +=， (2)分当直线不经过原点时，由截距存在且均不为0，得221a a a --=+，即11a +=，0a ∴=，得l 的方程为20x y ++=. (5)分∴直线l 的方程为：30x y +=或20x y ++=. (6)分（2）直线l 的方程()120a x y a +++-=化为()12y a x a =-++-.直线l 不经过第二象限，∴()1020a a -+≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩，解得1a ≤-. ……………11分∴实数a的取值范围是1a ≤-. ……………12分18.（1）连结BD ，PA ⊥ 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥, ……………2分∴BD ⊥平面PAC (4)分又 E 、F 分别是线段BC 、CD 的中点，∴//EF BD ，∴EF ⊥平面PAC (6)分又EF ⊂ 平面MEF∴平面PAC ⊥平面MEF . ……………8分（2）连结MN ， //PC 平面MEF ，平面PAC 平面MEF MN =，∴//PC MN . (1)0分∴14PM NC PA AC == , ∴13PM MA =. ……………12分19.（1）由已知，三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，1PB =,2QC =，在1B B 上取一点D ，使得11B D =，连结1A D ， 1C D (3)分112A D C D ∴==,11AC =在11ACD ∆中，11cos AC D ∠=∴直线PQ 与AC ……………7分（2）111113111332222A APQ Q A AP A AP A AP V V S S --∆∆⎛==⨯==⨯⨯= ⎝……………12分20.（1）由条件可得，()(222a c b ac +-=，即222a c b +-=根据余弦定理得：222cos 22a c b B ac +-==B 是锐角，6B π∴=. (5)（2）6B π=，56A C π∴+=即56C A π=-5cos sin cos sin 6553cos sincos cos sin cos 6623A C A A A A A A A A ππππ⎛⎫∴+=+- ⎪⎝⎭=+-=+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ……………8分又ABC ∆是锐角三角形，0202A C ππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<<⎪⎩ ，即025062A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩32A ππ∴<<, 25336A πππ∴<+<3cos sin 2A C ⎫∴+∈⎪⎪⎝⎭. (12)分21.（1）当040x <≤，()()21640638440W xR x x x x =-+=-+-；当40x >，()()400001640167360W xR x x x x=-+=--+. 2638440,040,40000167360,40.x x x W x x x ⎧-+-<≤⎪∴=⎨--+>⎪⎩ ……………5分 （2）①当040x <≤，()26326104W x =--+，()max 326104W W ∴==； (8)分②当40x >，40000167360W x x=--+，由于40000161600x x +≥=，当且仅当4000016x x=，即()5040,x =∈+∞时，W 取最大值为5760. ……………11分综合①②知，当32x =时， W 取最大值为6104. (12)分∴过点1P 、2P 的直线l 的方程为210x y +-=． ……………3分（2）∵已知点()()*,n n n P a b n N ∈在1P 、2P 两点确定的直线l 上，21n n a b ∴+=即12n n b a =-,列. ……………7分依题意()()()12111n k a a a ≤++⋅⋅⋅+8分 设()()()()12111n F n a a a =++⋅⋅⋅+所以只需求满足()k F n ≤的()F n 的最小值．()()*∴∈为增函数． (12)F n n N分14分。
湖北省重点高中高一下学期5月联考数学试题(解析版)
高一年级5月联考数学试题一、单项选择题：（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 复平面内复数所对应的点为，则（）z ()2,1-i z +=A. 2B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的几何意义以及共轭复数的定义，根据模长公式即可求解.【详解】由题意可知，所以，进而2i z =-2i z =+i 22i z +=+==故选：C2. 已知点，，，若与共线，则在上的投影向量的坐标为()1,3A ()5,1B m -()3,1C m +ABACABAC（ ） A. B.C.D.()2,2-()2,2-()2,2()2,2--【答案】D 【解析】【分析】求向量的坐标，根据向量共线的坐标表示求，结合投影向量的定义求在上的,AB AC m AB AC投影向量的坐标.【详解】因为，，，()1,3A ()5,1B m -()3,1C m +所以，()()6,2,2,2AB m AC m =--=-因为与共线，AB AC所以，()()()62220m m -⨯---⨯=所以，，，4m =()2,2AB =-- ()2,2AC =所以在上的投影向量为， AB AC AB AC AC AB AC AB AC AC ⋅⋅⋅==-所以在上的投影向量的坐标为. ABAC()2,2--故选：D.3. 已知，，，则，的夹角为（ ）3a b ⋅=2a = 22a b -= a bA.B.C.D.π3π62π35π6【答案】B 【解析】【分析】由条件结合数量积的运算性质求，再由向量夹角公式求，的夹角.b a b【详解】因为，22a b -=所以，故，224a b -= 444a a a b b b ⋅-⋅+⋅=又，， 3a b ⋅=2a = 所以b =所以，又，cos ,a b a b a b⋅===⋅[],0,πa b ∈ 所以，即，的夹角为，π6,a b = ab π6故选：B.4. 某广场内供休闲人员休息的石凳是由一个正方体石块截去8个相同的四面体得到的，如图所示，若被截正方体石块棱长为，则该石凳的体积为（ ）（单位）60cm 3cmA. 180000B. 160000C. 140000D. 120000【答案】A 【解析】【分析】利用割补法，结合几何体的体积公式运算求解. 【详解】正方体的体积为， 3606060216000cm ⨯⨯=切去的每个四面体的体积为， 3113030304500cm 32⨯⨯⨯⨯=所以该石凳的体积为. 321600084500180000cm -⨯=故选：A.5. 在中，角、、的对边分别是，，，已知，且ABC A A B C a b c sin cos 2sin cos A C C A =222a c b -=，则（ ）b =A. 9B. 6C. 3D. 18【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理将条件转化为边的关系，解方程求即可. b 【详解】设的外接圆半径为， ABC A R 因为，sin cos 2sin cos A C C A =所以， 22222222222a a b c c c b a R ab R cb+-+-⨯=⨯⨯所以， 222222222a b c c b a +-=+-所以，又， 22233a c b -=222a c b -=所以，260b b -=所以或（舍去）， 6b =0b =故选：B .6. 如图，现有，，三点在同一水平面上的投影分别为，，，且，A B C 1A 1B 1C 11130AC B ∠=︒，由点测得点的仰角为，与的差为10，由点测得点的仰角为11160A B C ∠=︒C B 45︒1BB 1CC B A 45︒，则，两点到水平面的高度差为（ ）A C 111ABC 11AA CC -A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】A 【解析】【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，由条件解三角形求可得C 1CE BB ⊥E B 1BF AA ⊥F AF结论.【详解】过点作，垂足为，过点作，垂足为， C 1CE BB ⊥E B 1BF AA ⊥F 则，1111,CE C B BF B A ==设，11A B x =在中，由，，可得，111A B C △11130AC B ∠=︒11160A B C ∠=︒11190C A B ∠=所以，112B C x =因为与的差为10，所以，1BB 1CC 10BE =在中，，，， CEB A 90CEB ∠=o 10BE =45BCE ∠=o 所以，10CE =故，所以，210x =5x =在中，，，， AFB △90AFB ∠= 5BF =45ABF ∠=o 所以，5AF =所以，两点到水平面的高度差， A C 111A B C 1115AA CC BE AF -=+=故选：A.7. 在中，，，为的中点，于，是线段上的动点，则ABC A 2BA =4BC =D AC BE AC ⊥E H BE （ ）HD CA ⋅=A.B. 8C.D. 68-6-【答案】C 【解析】【分析】利用向量的线性运算,结合数量积的运算律,即可化简求解.【详解】法一： ()()()12HD CA HB BD CA HB CA BD CA BD CA BA BC BA BC ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=+⋅-. ()()2211416622BA BC ==-=-- 法二：将特殊到，则 H B ()()12HD CA BD CA BA BC BA BC ⋅=⋅=+⋅-. ()()2211416622BA BC ==-=--故选：C8. 在中，已知，，点在边上，且，，则ABC A 30B =︒3AC =D AB 3BD =DA DC =A ∠=（ ） A.B.C.或 D.或 π3π6π3π9π6π18【答案】C 【解析】【分析】由三角形的内角和以及正弦定理可得，进而结合三角函数的性335π2cos 2sin 26CD θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭质，由角的范围即可得关系式求解.【详解】设，∴，，， A θ∠=DCA θ∠=2BDC θ∠=5π26BCD ∠θ=-则，0520,512206πθπθπθ⎧<<⎪⎪⎛⎫⇒∈⎨ ⎪⎝⎭⎪->⎪⎩中，BDC A 33π5π5πsin sin 22sin 2666CD CD θθ=⇒=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中，ADC △()33sin 3sin sin π2sin22cos CD CD θθθθθ=⇒==-故， 335ππ5πcos sin 2sin sin 25π2cos 6262sin 26CD θθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒=-⇒-=- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭又，， πππ,2122θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭5π5π20,66θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴或，则或， π5π226θθ-=-π5π2π26θθ-+-=π3θ=π9故选：C二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 将向量替换为复数，以下是向量的性质类比到复数中，其中在复数中结论仍然成立的是（ ）az A. 由，类比为：a a -=z z -=B. 由，类比为：a b a b +≤+1212z z z z +≤+C. 由，类比为22a a = 22z z =D. 由，类比为：a b a b ⋅≤⋅1212z z z z ⋅≤⋅【答案】AB 【解析】【分析】根据复数的模的性质和运算性质判断各命题的对错即可. 【详解】设，，则， i z x y =+,R x y ∈i z x y -=--所以，A 正确；z -==z =，，C 错误；()2222i 2i z x y x y xy =+=-+2222z x y ==+设，12i,i z a b z c d =+=+所以，，()12i z z ac bd ad bc ⋅=-++12z z =因为复数与实数不能比较大小，故D 错误，，()()22222221222z z a c b d a b c d ac bd +=+++=+++++，()2222212zz a b c d +=++++因为，(()2222222224a c a d b c b d =+++，()()222222242ac bd a c b d abcd +=++由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 22222a d b c abcd +≥ad bc =所以，22ac bd ≥+故，又，()()221212z z zz +≤+12120,0z z z z +≥+≥所以，B 正确； 1212z z z z +≤+故选：AB.10. 在中，角、、的对边分别是，，，下列说法正确的是（ ） ABC A A B C a b c A. “”是“是等腰三角形”的充分不必要条件 sin2sin2A B =ABC A B. “”是“”的充要条件sin sin A B >A B >C. 若，，则60A =︒2a =ABC AD. 若，，则周长的最大值为6 60A =︒2a =ABC A 【答案】BCD 【解析】【分析】利用三角函数的性质即可判断A ，由正弦定理边角化即可判断B,由余弦定理,结合不等式即可求解CD.【详解】对于A,在中由可得或，所以或ABC A sin2sin2A B =22A B,=22πA B +=,A B =π2A B +=，所以为等腰三角形或者为直角三角形，故“”是“是等腰三角形”的既不充ABC A sin2sin2A B =ABC A 分也不必要条件，故A 错误，对于B,由正弦定理可得,故“”是“”的充要条件，故sin sin A B >⇔a b >⇔A B >sin sin A B >A B >B 正确，对于CD,，时,则由余弦定理得，则，当且仅60A =︒2a =224=c b bc +-224=24bc c b bc bc ++³Þ£当时取等号，故故C 正确， b c =11sin 422bc A £´=又，当且仅当()()()()2222224==34=34344b c c b bc b cbc b c bc b c b c ++-+-Þ+-Þ+-£Þ+£时取等号，故，故D 正确，b c =6a b c ++≤故选：BCD11. 矩形中，，，动点满足，，，则下ABCD 2AB =4=AD P AP AB AD λμ=+[]0,1λ∈[]0,1μ∈列说法正确的是（ ）A. 若，则的最小值为41λ=DPB. 若，则的面积为定值 1μ=ABP AC. 若，则满足的点不存在 12μ=PA PB ⊥ P D. 若，，则的面积为 13λ=23μ=ABP A 83【答案】BCD【解析】【分析】建立平面直角坐标系，由条件确定点的坐标，依次判断各选项即可.P 【详解】以点为原点，为轴的正方向，建立平面直角坐标系，A ,AB AD,x y 则，()()()0,0,2,0,0,4A B D 所以，()()2,0,0,4AB AD ==因为，AP AB AD λμ=+ 所以，故点的坐标为，()2,4AP λμ=P ()2,4λμ对于A ：因为，所以点的坐标为，，1λ=P ()2,4μ[]0,1μ∈所以，()2,44DP μ=-所以，当且仅当时取等号，2DP =≥1μ=所以当时，取最小值，最小值为2，A 错误；1μ=DP对于B ，因为，所以点的坐标为， 1μ=P ()2,4λ所以点到边的距离为， P AB 4所以的面积，B 正确； ABP A 12442S =⨯⨯=对于C ，因为，所以点的坐标为， 12μ=P ()2,2λ所以，， ()2,2PA λ=-- ()22,2PB λ=--若，则，化简得，PA PB ⊥24440λλ-++=210λλ-+=方程无实数根，即满足的点不存在，C 正确；210λλ-+=PA PB ⊥P 对于D ，因为，，所以点的坐标为， 13λ=23μ=P 28,33⎛⎫ ⎪⎝⎭所以的面积为，D 正确； ABP A 1882233⨯⨯=故选：BCD.12. 已知圆锥的母线长为6，侧面积为，则下列说法正确的是（ ） 18πA. 该圆锥的体积为B. 该圆锥的内切球的体积为C. 该圆锥的外接球的表面积为D. 该圆锥的内接正方体的棱长为48π18-【答案】AC 【解析】【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解底面圆半径，由体积公式即可判断A,由内切球以及外接球的几何性质,结合勾股定理,相似,即可判断BCD.【详解】对于A ：设圆锥底面半径为，母线为,则侧面积为， r l 12π618π32r r ⋅⋅=⇒=，故圆锥体积为，故A正确；=21π33V =⨯⨯=对于B ：由于,所以,62l r ==60ABO ∠= 如图，内切球和圆锥侧面和底面分别切于,,故内切球半径，,C O OO BCO B ¢¢@A A 3tan30r '=⋅︒=故内切球的体积为，故B 错误；34π3⨯=对于C ：外接球的球心为半径, ,MR 则满足：，∴，故C 正确；()2223R RR =+⇒=(24π48πS =⨯=对于D ：以圆锥的顶点以及正方体的一条面对角线作截面如下，设内接正方体的棱长为，a，故D 错. a =⇒=-故选：AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知复数为纯虚数，则复数的虚部为______. ()()221i z m m m m =-+-∈R 1iz+【答案】## 12-0.5-【解析】【分析】根据纯虚数的定义可得，进而利用复数的除法运算即可化简求解.0m =【详解】为纯虚数，则且，故，()()221i z m m m m =-+-∈R 2=0m m -210m -≠0m =则，所以，故的虚部为， i z =-()()()i 1i i 1i ===1i 1i 1i 1i 2z -----+++-1i z+12-故答案为： 12-14. 中，，，，则______. ABC A π6B ∠=AB =2AC =BC =【答案】2或4 【解析】【分析】利用余弦定理解三角形可得结论.【详解】由余弦定理可得， 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅又，，， π6B ∠=AB =2AC =所以，2680BC BC -+=所以或，满足构成三角形. 2BC =4BC =故答案为：2或415. 将边长为1的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，则纸片扫过的区域形成的几何体的3π表面积为______. 【答案】 2π23+【解析】【分析】确定几何体的结构特征，计算各面的面积相加即可. 【详解】由已知可得该几何体为底面半径为，高为的圆柱的，如下图： 1116所以该几何体的表面积， 2112π22π12π12663S =+⨯⨯⨯+⨯⨯=+故答案为：. 2π23+16. 如图所示，中，，以的中点为圆心，为直径在三角形的ABC A AB AC ==2BC =BC O BC 外部作半圆弧，点在半圆弧上运动，设，，则当取最大值时，BC P BOP θ∠=[]0,πθ∈PA PB ⋅______.cos θ=【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系，利用单位圆以及向量数量积的坐标运算，结合辅助角公式即可求解.或者利用向量的线性运算，由数量积的运算律以及定义即可求解. 【详解】法一：如图建立平面直角坐标系，得，，，()0,2A -()10B ,()cos ,sin P θθ()()cos ,2sin 1cos ,sin 12sin cos PA PB θθθθθθ⋅=---⋅--=+-∴为锐角且，()1sin cos 11PA PB θθθϕ⋅=+=+-≤ ϕ1tan 2ϕ=此时πcos sin 2θϕθϕ-=⇒=-==法二：()()11PA PB PO OA PO OB PO OB OA PO OP OB OA OP ⋅=+⋅+=+⋅+⋅⋅=--⋅，以下同上.π1cos 12cos 2θθ⎛⎫=++⋅⋅+ ⎪⎝⎭12sin cos θθ=+-故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，，，.(),2a m =- ()4,b m m =-)c = m ∈R （1）若，且方向相反，求实数的值；a b ∥m （2）若与的夹角为，求实数的值.a c120︒m 【答案】（1）2 （2）0【解析】【分析】（1）由向量共线的坐标运算即可求解，（2）由数量积的坐标运算以及定义，列方程即可化简求解. 【小问1详解】由与平行得：，a b ()224280m m m m m ⋅=-⋅-⇒+-=∴或，()()2402m m m -+=⇒=4m =-当时，，，与平行，且方向相反，满足要求；2m =()2,2a =- ()2,2b =- a b当时，，，方向相同，不满足要求；4m =-()4,2a =-- ()8,4b =--故. 2m =【小问2详解】，22cos120a c⋅=-=⨯︒，平方得：， 2-=2223440m m m -+=+⇒-=∴或，0m=m =,所以不符合要求,故舍去； 20-<m =∴0m =18. 某种建筑使用的钢筋混凝土预制件模型如下图所示，该模型是由一个正四棱台从正中间挖去一个圆柱孔而成，已知该正四棱台上底和下底的边长分别为和，棱台的高为，中间挖去的圆40cm 100cm 40cm 柱孔的底面半径为.计算时取3.14.10cm π（1）求浇制一个这样的预制件大约需要多少立方厘米混凝土；（2）为防止该预制件风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液，若每升保护液大约可以涂，27000cm 请计算涂一个这样的预制件大约需要购买保护液多少升？（结果取整数） 【答案】（1）3195440cm （2）4升 【解析】【分析】（1）由台体体积公式求正四棱台的体积，再求所挖去的圆柱的体积，相减可得几何体的体积； （2）计算该几何体的表面积，由此计算所需购买保护液的体积. 【小问1详解】由已知正四棱台的上底面积，下底面积，高，21401600S ==2210010000S ==40h =所以正四棱台的体积； (221140401002080003V =⋅⋅+=由已知圆柱的底面半径，高，10r =40h '=所以圆柱的体积；22π10404000π4000 3.1412560V =⋅⋅=≈⨯=故该预制件的体积 320800012560195440cm V =-=故浇制一个这样的预制件大约需要混凝土. 3195440cm 【小问2详解】作该几何体的截面，过点作，垂足为，如下：A AM CD ⊥M由已知，， 10040302DM -==40AM =， 50=故该预制件的表面积，()22240100504010042π102π104025600600π2S +⨯=++⨯-⋅+⨯⨯=+∴，225600600 3.1427484cm S ≈+⨯=，274847000 3.94÷≈≈所以涂一个这样的预制件大约需要购买保护液4升.19. 已知，是夹角为的两个单位向量.1e 2e60︒（1）若，求实数的值；()()1212423e ke ke e +⊥-k （2）若两向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.12e e λ- 122e e +λ【答案】（1）或；1k =6k =-（2） 115,,224⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据向量垂直的性质列方程，利用数量积运算化简方程求的值； k （2）结合向量夹角公式列不等式求的取值范围. λ【小问1详解】因为，()()1212423e ke ke e +⊥- 所以，又，是夹角为的两个单位向量.()()12124230e ke ke e +⋅-= 1e 2e 60︒所以，化简得 ()21832121102k k k -+-⨯⨯⨯=2560k k +-=所以， ()()160k k -+=所以或； 1k =6k =-【小问2详解】因为两向量与的夹角为钝角，12e e λ- 122e e +所以，且向量与不共线，()()121220e e e e λ-⋅+< 12e e λ- 122e e +由，可得，()()121220e e e e λ-⋅+< ()12211102λλ-+-⨯⨯⨯<所以， 54λ<当向量与平行时，， 12e e λ- 122e e + ()121212122t e e t e e tλλλ=⎧-=+⇒⇒=-⎨-=⎩ 实数的取值范围是. λ115,,224⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足ABC A A B C a b c ()20b c AB AC b BA BC +⋅⋅+⋅⋅=．（1）求角；A（2）若为的中点，且，的角平分线交于点，且，求边长． D BC AD =BAC A BC E 43AE =a 【答案】（1）2π3（2） 【解析】【分析】（1）利用向量的夹角公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取cos A A 值范围可得出角的值；A （2）根据为的中点，有，从而得到，再根据D BC ()12AD AB AC =+ ()2312b c bc +-=，从而得到，再结合余弦定理即可求得的值． ABE AEC ABC S S S =+A A A ()43bc b c =+a 【小问1详解】由，()20b c AB AC b BA BC +⋅⋅+⋅⋅=则，所以，()2cos cos 0b c bc A b ac B +⋅+⋅=()2cos cos 0b c A a B ++=则由正弦定理得，即， ()sin 2sin cos sin cos 0B C A A B ++=sin cos 2sin cos sin cos 0B A C A A B ++=所以，即， ()sin 2sin cos 0A B C A ++=sin 2sin cos 0C C A +=又，则，所以，得， ()0,πC ∈sin 0C ≠12cos 0A +=1cos 2A =-又，所以． ()0,πA ∈2π3A =【小问2详解】由为的中点，则，即，D BC ()12AD AB AC =+12AD AB AC =+ 所以，即，即，222242cos π3AD b c bc =++⋅ ()222123b c bc b c bc =+-=+-()2312b c bc +-=由是的角平分线，所以， AE BAC ∠π3BAE CAE ∠=∠=又，则， ABE AEC ABC S S S =+A A A 12π1π1πsin sin sin 232323bc c AE b AE ⋅=⋅⋅+⋅⋅所以，得， ()bc AE b c =⋅+()43bc b c =+所以，解得，()()2412b c b c +-+=6b c +=8bc =由余弦定理得， ()22222π2cos 368283a b c bc b c bc =+-⋅=+-=-=故a =21. 在正三棱柱中，，为线段上的动点，设，111ABC A B C -AB =12AA =F 11A B 111A F A B λ=.[]0,1λ∈（1）当时，求三棱锥的体积； 12λ=1F ACC -（2）求的最小值，并求取最小值时的值. 1AF FC +λ【答案】（1 （2）7， 213λ=【解析】【分析】（1）根据锥体体积公式求解即可；（2）将矩形沿展开，使之与共面，利用余弦定理求，即得的最小11A B BA 11A B 111A B C 1AC 1AF FC +值，利用正弦定理求，再求，由此的值. 11sin A AC ∠1A F λ【小问1详解】 当时，得出为的中点，则 12λ=F 11A B(1111111121112223F ACC F AC A A FC A A B C A V V V V ----====⨯⨯=【小问2详解】将矩形沿展开，与共面，11A B BA 11A B 111A B C如图所示，，11150C A A ∠=︒∴，17AC ==故的最小值为71AF FC +中，由正弦定理得：11C A A △11111117sin 1sin150sin 2C A C A A AC A AC ∠∠=⇒=⇒=︒因为， ()110,30A AC ∠∈∴， 1113cos 14A AC ∠==所以11tan A AC ∠=∴， 1112tan A F A AC ∠=⋅=则. 111213A F AB λ===22. 已知在中，为边上的点，且，.ABC A D AB 13AD DB =2BC =（1）若，，求边的长； 4AB =2sin 3CDB ∠=AC （2）若，设，，试将的面积表示为的函数，并求函数23CD DB =CDB θ∠=()0,πθ∈ABC A S θ最大值.()y S θ=【答案】（1（2），；16sin 1312cos y θθ=-()0,πθ∈165【解析】【分析】（1）由条件求，根据正弦定理求，由此可求，再由余弦定理求DB sin DCB ∠cos DBC ∠AC ；（2）设，根据余弦定理用表示，结合三角形面积公式用表示的面积， 3DB t =θ2t θABC A 方法一：利用正弦函数的范围求函数的最大值，()y S θ=方法二：利用二倍角公式和同角关系化简可得，结合基本不等式求其最大值.232tan225tan12y θθ=+【小问1详解】由，，则，13AD DB =4AB =3DB =在中，， BCD △23sin 12sin sin sin 3BC DB DCB CDB DCB DCB ∠∠∠∠=⇒=⇒=∵，∴， ()0,πDCB ∠∈π2DCB ∠=∴； 2cos sin 3DBC CDB ∠∠==在中，由余弦定理得：ABC A AC ==【小问2详解】由，设，则， 23CD DB =3DB t =2CD t =∵，∴，13AD DB =AD t =在中，由余弦定理得：，BCD △2224449223cos 1312cos t t t t t θθ=+-⋅⋅⋅⇒=-的面积， ABC A 244116sin 23sin 4sin 3321312cos BCD S S t t t θθθθ==⨯⨯⨯⨯==-A ∴，.16sin 1312cos y θθ=-()0,πθ∈法一：（※）16sin 16sin 12cos 131312cos y y y θθθθ=⇒+=-，其中，()13y θϕ⇒+=cos ϕ=sin ϕ=∴(222sin 16916144y y θ+⇒≤+∴，又，所以，当且仅当时等号成立， 222516y ≤0y >1605y <≤()sin 1θϕ+=所以当时， 512sin cos ,cos sin 1313θϕθϕ====函数取最大值，最大值为16sin 1312cos y θθ=-165故函数最大值为. ()y S θ=165法二：∴ 222232sin cos16sin 221312cos 13sin 13cos 12cos 12sin 2222y θθθθθθθθ==-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又，22232sin cos32tan22225sincos25tan1222θθθθθθ==++()0,πθ∈所以，32161525tan2tan2y θθ=≤=+当且仅当，即，即取最大值，125tan2tan2θθ=1tan25θ=5tan 12θ=故函数最大值为. ()y S θ=165【点睛】.。
湖北省随州市2024届高三下学期5月模拟数学试题含答案
湖北省随州市2024届高三下学期5月模拟数学试题（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},230A B x x x =-=--=∣，则()UA B ⋃=ð（）A.{1,3}-B.{2,0,1}- C.{1,2,3}- D.{2,0,1,2,3}-【答案】B 【解析】【分析】解一元二次方程得集合B ，然后利用并集运算和补集运算的概念求解即可.【详解】因为{}{}22301,3B xx x =--==-∣，又{1,2}A =-，所以{1,2,3}A B =- ，又{2,1,0,1,2,3}U =--，所以(){}2,0,1U A B ⋃=-ð.故选：B 2.设随机变量2(,)X N μσ ，且()3()P X a P X a <=≥，则()P X a ≥=（）A.0.75 B.0.5C.0.3D.0.25【答案】D 【解析】【分析】利用对立事件的意义，结合正态分布列式计算即得.【详解】随机变量2(,)XN μσ ，显然()()1P X a P X a <+≥=，而()3()P X a P X a <=≥，所以()0.25P X a ≥=.故选：D3.设函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，且满足2()()1,(2)e 1f x f x f '>+=+，则不等式e ()e 1x xf x --≥+的解集是（）A.(,1]-∞B.(,2]-∞C.[1,2]- D.[2,)+∞【答案】B 【解析】【分析】结合题意，构造函数()1(),exf xg x -=利用已知条件判断出()g x 在R 上单调递减，结合2(2)e 1f =+，构造出()(2),g x g ≥从而求得解集.【详解】设()1(),()()1exf xg x f x f x -'=>+ ，即()()10f x f x '-+<，()()1()0,()exf x f xg x g x '-+'∴=<∴在R 上单调递减，又2(2)e 1f =+，∴不等式2()1(2)1e ()e 11e ex xx f x f f x ----≥+⇔≥=,即()(2),2,g x g x ≥∴≤∴原不等式的解集为(,2]-∞．故选:B ．4.设5π6πθ<<，cos2a θ=，则sin 4θ等于（）A.12B.2C.2-D.【答案】D 【解析】【分析】借助5π6πθ<<，得出2θ与4θ所处区间及象限，结合三角恒等变换公式即可得.【详解】5π6πθ<< ，5π,3π22θ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，5π3π,442θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故sin04θ<，又cos 2a θ=，sin4θ∴==故选：D.5.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若αβ⊥，l α⊂，m β⊂，则l m ⊥B.若m β⊥，αβ⊥，则//m αC.若//l m ，l α⊥，m β⊥，则//αβD.若//αβ，且l 与α所成的角和m 与β所成的角相等，则//l m【答案】C 【解析】【分析】利用线面的位置关系，结合空间想象即可得解.【详解】若αβ⊥，l ⊂α，m β⊂，则l 与m 有可能平行，故A 错误；若m β⊥，αβ⊥，则m 可能在α内，故B 错误；若//l m ，l α⊥，则m α⊥，又m β⊥，则//αβ，故C 正确；若//αβ，且l 与α所成的角和m 与β所成的角相等，则l 与m 有可能相交，故D 错误.故选：C.6.在等腰ABC 中，2,30,AC CB CAB ABC ∠===︒ 的外接圆圆心为O ，点P 在优弧 AB 上运动，则2PA PB PO PC PA PB⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪-+⋅⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦的最小值为（）A.4B.2C.-D.6-【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由正弦定理可得圆O的外接圆直径，从而可得PA PB PA PB += ，代入计算，即可得到结果.【详解】由已知2,30AC CB CAB ∠===︒，所以圆O 的外接圆直径为24sin BCR A==，因为30APC ABC BPC BAC ∠∠∠∠====︒，所以PA PB PA PB += ，所以22112||2(2622PA PB PO PC PO PC PC PC PA PBPC ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪-+⋅=-⋅=-=--⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为2AC PC R <≤ ，即24PC <≤，所以PC = 时，取到最小值6-．故选：D ．7.已知双曲线22123x y a -=+的离心率为2，则=a （）A.1-B.1C.3-D.3【答案】A 【解析】【分析】利用双曲线的离心率公式可得出关于a 的等式，解之即可.【详解】由题意可知，双曲线22123x y a -=+的焦点在x 轴上，故该双曲线的离心率为2e ==，解得1a =-.故选：A.8.数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD 的棱长为4，则下列结论正确的是（）A.勒洛四面体最大的截面是正三角形B.若P 、Q 是勒洛四面体ABCD 表面上的任意两点，则PQ 的最大值为4C.勒洛四面体ABCD 的体积是D.勒洛四面体ABCD 内切球的半径是4-【答案】D 【解析】【分析】由勒洛四面体的定义可判断选项A ；由由勒洛四面体的定义并作图求解判断B ；根据对称性,由勒洛四面体内切球的球心O 是正四面体ABCD 外接球的球心求解判断C ；结合C 由棱长减去外接球的半径求得内切球的半径求解判断D .【详解】由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面即经过四面体ABCD 表面的截面，如图1所示，故A 错误；将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如下图所示：连接PQ ，交AB 于中点S ，交CD 于中点T ，连接AT ，易得AT ==则ST ==而TP SQ ===，所以PQ =+=，故B 错误；如图2，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心O 是正四面体ABCD 外接球的球心，连接BO 并延长交勒洛四面体的曲面于点E ，则OE 就是勒洛四面体内切球的半径.如图3,在正四面体ABCD 中，M 为BCD △的中心，O 是正四面体ABCD 外接球的球心，连接BM 、BO 、AM ，由正四面体的性质可知O 在AM 上.因为4AB =,所以233BM =，则3AM ==.因为()2222BO BM OM AM OM =+=-，即2222434633BO OM OM ⎛⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得BO =则正四面体ABCD 外接球的体积是3344ππ33R =⨯=，而勒洛四面体ABCD 的体积小于其外接球的体积，故C 错误；因为4BE AB ==，所以4OE =,所以，勒洛四面体ABCD 内切球的半径是4-，故D 正确.故选：D.【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设正实数a ，b 满足1a b +=，则下列结论正确的是（）A.11a b+有最小值4B.有最小值12C.D.22a b +有最小值12【答案】ACD 【解析】【分析】利用基本不等式逐一判断即可.【详解】A ：因为正实数a ，b 满足1a b +=，所以()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当b aa b =时取等号，即12a b ==时取等号，因此本选项正确；B ：因为正实数a ，b 满足1a b +=，所以112a b =+≥⇒≤，当且仅当12a b ==时，取等号，12，因此本选项不正确；C ：因为正实数a ，b 满足1a b +=，所以2+≤当且仅当12a b ==时取等号，因此本选项正确；D ：因为正实数a，b 满足1a b +=，2211222a b a b +≥=⇒+≥，当且仅当12a b ==时取等号，因此本选项正确，故选：ACD10.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，BC的中点，则（）A.异面直线1DD 与1B F 所成角的余弦值为5B.点P 为正方形1111D C B A 内一点，当//DP 平面1B EF 时，DP的最大值为2C.过点1D ，E ，F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为D.当三棱锥1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的表面积为6π【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：根据正方体的性质得出在1Rt BB F 中1∠BB F 即为异面直线1DD 与1B F 所成的角，即可判定；对于B ：取11A D 的中点11,M D C 的中点N ，连接MN ，DM ，DN ，得到1//DM B F ，1//DN B E ，即可证明面//DMN 面1B EF ，则根据已知得出P 轨迹为线段MN ，则过D 作DP MN ⊥，此时DP 取得最小值，即可判定；对于C ：过点1D E F 、、的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形为五边形1D MEFN ，得出1//D M NF ，1//D N ME ，设AM m =，CN n =，以D 为原点，分别以1DA DC DD 、、方向为x 轴､y 轴､z 轴正方向建立空间直角坐标系D xyz -，得出ME，1D N ，1D M，NF 的坐标，则可根据1//D M NF ，1//D N ME 列式得出AM ，CN ，即可得出1A M ，1C N ，在11Rt D A M 中得出1D M ，同理得出1D N ，在Rt MAE △中得出ME ，同理得出FN ，在Rt EBF △中得出EF ，即可得出五边形1D MEFN 的周长，即过点1D E F 、、的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长，即可判定；对于D ：取EF 的中点1O ，则111O E O F O B ==，过1O 作11//OO BB ，且使得11112OO BB ==，则O 为三棱锥1B BEF -的外接球的球心，则OE 为外接球的半径，计算得出半径即可求出球O 的表面积，即可判定.【详解】对于A 选项，11//DD BB ，∴在1Rt BB F 中1∠BB F 即为异面直线1DD 与1B F所成的角，111cos 5BB BB F B F ∴∠==，∴异面直线1DD 与1B F 所成的角的余弦值为5．故A 正确；对于B 选项，取11A D 的中点11,M D C 的中点N ，取AD 的中点S ，连接MN ，DM ，1,,DN A S SF ，1111//,,//SF AB A B SF AB A B ==∴四边形11A B FS 为平行四边形，11//SA B F ∴，1//A S DM ，1//MD B F ∴，同理可得1//DN B E ，又DM ⊄ 面1B EF ，1B F ⊂面1B EF ，DN ⊄面1B EF ，1B E ⊂面1B EF ，DM ∴//面1B EF ，DN //面1B EF ，又DM DN D ⋂= ，DM DN ⊂,面DMN ，∴面DMN //面1B EF ，又DP //面1B EF ，P ∈面1111D C B A ，P ∴轨迹为线段MN ，∴在DMN 中，过D 作DP MN ⊥，此时DP 取得最小值，在1Rt DD M △中，11D M =，12D D =，DM ∴=，在1Rt DD N 中，11D N =，12D D =，DN ∴=，在1Rt MD N 中，11D N =，11D M =，MN ∴=，∴如图，在Rt DPN 中，2DP ===，即DP 的最小值为2，而DP B 错误；对于C 选项，过点1D E F 、、的平面截正方体1111ABCD A B C D -，平面11AA D D//平面11BB C C ，则过点1D E F 、、的平面必与1AA 与1CC 交于两点，设过点1D E F 、、的平面必与1AA 与1CC 分别交于M 、N ，过点1D E F 、、的平面与平面11AA D D 和平面11BB C C 分别交于1D M 与FN ，1//D M NF ∴，同理可得1//D N ME ，如图过点1D E F 、、的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形为五边形1D MEFN ，如图以D 为原点，分别以1DA DC DD、、方向为x 轴､y 轴､z 轴正方向建立空间直角坐标系D xyz -，设AM m =，CN n =，则()2,0,M m ，()0,2,N n ，()2,1,0E ，()1,2,0F ，()10,0,2D ，()0,1,ME m ∴=- ，()10,2,2D N n =- ，()12,0,2D M m =- ，()1,0,NF n =-，1//D M NF ，1//D N ME ，2222m n n m -=-⎧∴⎨-=-⎩，解得2323m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，23AM ∴=，23CN =，143A M ∴=，143C N =，∴在11Rt D A M 中，112D A =，143A M =，13D M ∴=，同理：13D N =，在Rt MAE △中，23AM =，1AE =，3ME ∴=，同理：3FN =在Rt EBF △中，1BE BF ==，EF ∴=，112233D M D N ME FN EF ∴++++=⨯+⨯+=+即过点1D E F 、、的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为C 正确；对于D 选项，如图所示，取EF 的中点1O ，则111O E O F O B ==，过1O 作11//OO BB ，且使得11112OO BB ==，则O 为三棱锥1B BEF -的外接球的球心，所以OE为外接球的半径，在Rt EBF △中，EF =，2222221231222EF R OE OO ⎛⎫⎛⎫∴==+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，24π6πS R ∴==球．故D 项正确，故选：ACD ．【点睛】关键点睛：通过证明面面平行得到动点的轨迹，利用空间向量法确定点的位置是B 、C 的关键.11.已知函数()()23e ,R xf x x x =-∈，则（）A.函数()f x 有且只有2个零点B.函数()f x 的递减区间为()3,1-C.函数()f x 存在最大值和最小值D.若方程()f x a =有三个实数解，则()32e,6e a -∈-【答案】AB 【解析】【分析】求得()()()13e xf x x x '=-+，得到函数的()f x 的单调性与极值，画出函数()f x 的图象，结合图象，逐项判定，即可求解.【详解】由函数()()23e ,R xf x x x =-∈，则()()()13e xf x x x '=-+，令()0f x '<，解得31x -<<；令()0f x ¢>，解得3x <-或1x >，所以函数()f x 在()3,1-上单调递减，在(),3-∞-和()1,+∞上单调递增，且()336e f --=，()12e f =-，当x →-∞时，()0f x +→，作出函数()y f x =的图形，如图所示，可得A 、B 正确；所以()()min 12e f x f ==-，无最大值，所以C 错误；若方程()f x a =有三个实数解，即y a =与()y f x =的图象有三个不同的交点，可得()30,6e a -∈，所以D 错误.故选：AB.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知()()2,1,3,1,2,1a b =-=- ，若()a a b λ⊥-，则λ=________．【答案】2【解析】【分析】根据垂直得到()0a a b λ⋅-= ，得到方程，求出2λ=.【详解】()()()2,1,31,2,12,12,3a b λλλλλ-=---=---，因为()a a b λ⊥-，所以()0a a b λ⋅-= ，即()()2,12,3241293702,1,134λλλλλλλ----=-++-+-=+⋅-=，解得2λ=.故答案为：213.等差数列{}n a ，{}n b 前n 项和分别为n S 与n T ，且(32)(21)n n n T n S +=+，则537b b a +=___________．【答案】3041【解析】【分析】根据题意结合等差数列前n 项和的形式特征设2232,2,0n n n n T n n S λλλλλ=+=+≠，再根据前n 项和与通项公式之间的关系求,n n a b ，代入结合等差中项分析运算.【详解】∵数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，∴534772b b b a a +=，∵(32)(21)n n n T n S +=+，即3221n n S n T n +=+，根据等差数列{}n c 前n 项和为2n an A bn =+，可设2232,2,0n n n n T n n S λλλλλ=+=+≠，对于数列{}n a ，则有：当1n =时，则15a λ=；当2n ≥时，则()()()1223231216n n n n n a n n n S S λλλλλλ-⎡⎤+-+-=-⎣-⎦==-；显然当1n =时，也满足6n a n λλ=-，故()661n a n n λλλ-=-=，同理可得：()41n b n λ=-，故()()53477244123067141b b b a a λλ⨯-+===⨯-.故答案为：3041.14.已知圆221)68):((C x y -+-=和两点(0,)A m -，(0,)(0)B m m >．若圆C 上存在点P ，使得AP BP ⊥，则m 的最大值为__________．【答案】11【解析】【分析】根据垂直确定P 的轨迹为以()0,0O 为圆心，半径r m =的圆，计算圆心距，根据11m d m -≤≤+解得答案.【详解】设(),P x y ，AP BP ⊥，则()()222·,·,PA PA x y m x y m x y m =--+---=+-，即222x y m +=，则P 的轨迹为以()0,0O 为圆心，半径r m =的圆，根据题意知两圆有交点，圆心距10d ==，故11m d m -≤≤+，解得911m ≤≤，故m 的最大值为11.故答案为：11.四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的外接圆半径为R ，面积为S ，已知A 为锐角，且()2222tan =4b c R A S +-.（1）求A ；（2）若=1a ，求S 的最大值.【答案】（1）4π；（2）)114.【解析】【分析】（1）根据正、余弦定理和同角三角函数的基本关系可求出sinA 的值，再根据是锐角三角形可确定角A 的值；（2）将a ，A 的值代入余弦定理，得到关系b ，c 的关系式，再由面积公式及基本不等式可求最大值．【详解】（1）()2222tan 4b c RA S +-= ，()222sin 124sin cos 2A b c R bc A A ∴+-=⨯，即22222cos b c R bc A +-=，2222cos 2b c bc A R ∴+-=，由余弦定理得222a R =，由正弦定理得()222sin 2R A R =，得sin A =A 为锐角，4A π∴=.（2）由余弦定理，得22212b c bc +-⨯=，221b c ∴+=+.222b c bc +≥ ，取等号的条件是b c =，22bc ∴≤.)121sin 1244S bc A bc ∴==≤+.S ∴的最大值为)114+.【点睛】本题考查正、余弦定理的应用，涉及到的考点由同角三角函数关系、面积公式、基本不等式，属于综合题，考查综合分析能力及转化思想，属于中等题.16.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，112a b ==，234S S S +=，37646a a b +=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设22log log n nn n na b c b a =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =+；2nn b =；（2）1211n T n n =+-+.【解析】【分析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .根据234S S S +=，得124a a a +=.再由12a =，可求得d ，得通项公式n a ，由63746b a a =+和12b =，求得公比q ，得通项公式n b ；（2）由（1）得2222log log 211log log 211n n n n n n n a b n n n c b a n n n ++=+=+=+++，转化为1121n C n n ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭，利用裂项相消法求和.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .234S S S += ，即121231234a a a a a a a a a ++++=+++，124a a a ∴+=.12a = ，1d ∴=，1(1)1n a a n d n ∴=+-=+.3764664a a b ∴+==，12b = ，，2q ∴=，2nn b ∴=.（2）2222log log 211log log 211n n n nn n n a b n n n c b a n n n ++=+=+=+++1(1)111111112111n n n n n n n +-⎛⎫=++=++-=+- ⎪+++⎝⎭1111111121212233411n T n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-+-+-++-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查等差、等比数列通项公式和裂项相消法求和，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.17.某大学为了调查该校学生性别与身高的关系，对该校1000名学生按照10:1的比例进行抽样调查，得到身高频数分布表如下：男生身高频率分布表男生身高（单位：厘米）[)160165,[)165170,[)170175,[)175,180[)180185,[]185,190频数710191842女生身高频数分布表女生身高（单位：厘米）[)150,155[)155160,[)160165,[)165170,[)170175,[]175,180频数31015633（1）估计这1000名学生中女生的人数；（2）估计这1000名学生中身高在[]170,190的概率；（3）在样本中，从身高在[]170,180的女生中任取3名女生进行调查，设X 表示所选3名学生中身高在[)170175,的人数，求X 的分布列和数学期望.（身高单位：厘米）【答案】（1）400（名）（2）0.49（3）详见解析【解析】【分析】（1）根据统计表，可知样本中男生人数和女生人数，再按比例求解.（2）由表知样本中身高在[]170,190的人数和样本容量，再代入公式求解.（3）根据题意，明确X 的可能取值为0，1，2，3，然后分别求得其概率，列出分布列求期望.【详解】（1）样本中男生为60名，女生为40名.估计这1000名学生中女生的人数大约是4010004004060⨯=+（名）.（2）由表知样本中身高在[]170,190的人数为19184233=49+++++，样本容量是100，∴样本中身高在[]170,190的概率为49100.∴估计这1000名学生中身高在[]170,190的概率为0.49.（3）依题意，X 的可能取值为0，1，2，3.()0333361020C C P X C ===，()1233369120C C P X C ===，()2133369220C C P X C ===，()3033361320C C P X C ===.X ∴的分布列为X0123P120920920120()199130123202020202E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查样本估计总体和离散型随机变量的分布列，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.18.如图1，在ABC 中，D ，E 分别为,AB AC 的中点；O 为DE 的中点，AB AC ==4BC =，将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2，点F 是线段1A B 上的一点（不包含端点）．（1）求证：1AO BD ⊥；（2）若直线EC 和平面DEF 所成角的正弦值为45，求三棱锥1A F DE -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）49．【解析】【分析】（1）利用面面垂直判定线面垂直，再得线线垂直即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量由线面角计算F 的位置，再根据三棱锥的体积公式计算即可.【小问1详解】由题意可知：//DE BC ，AD AE =，所以11A D A E =，又O 为DE 的中点，所以1AO DE ⊥．因为平面1A DE ⊥平面BCED ，平面1A DE 平面BCED DE =，1A O ⊂平面1A DE ，所以1A O ⊥平面BCED ，又BD ⊂平面BCED ，所以1AO BD ⊥．【小问2详解】取BC 的中点G ，连接OG ，所以OE OG ⊥，以O 为坐标原点，OG ，OE ，1OA 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()10,0,2A ，()0,1,0D -，()0,1,0E ，()2,2,0B -，()2,2,0C ，所以()12,2,2BA =-．设()()()12,2,22,2,201BF BA λλλλλλ==-=-<<，所以()()()2,1,02,2,222,21,2DF DB BF λλλλλλ=+=-+-=--，又()0,2,0DE = ，设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z =，所以()()20222120n DE y n DF x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩ ，令x λ=，解得0y =，1z λ=-，所以平面DEF 的一个法向量为(),0,1n λλ=-，又()2,1,0EC =，设直线EC 和平面DEF 所成角的大小为θ，所以4sin cos ,5n EC n BC n ECθ⋅===⋅，解得23λ=或2λ=（舍），所以123BF BA = ．所以1111111114222333329A DEF F A DEB A DE A BDE V V V V ----====⨯⨯⨯⨯⨯=，即三棱锥1A F DE -的体积为49．19.已知O 是坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为左、右焦点分别为1F ，2F ，点M在椭圆上，若12MF F △的面积最大时12120F MF ∠=︒.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线:2l x =与椭圆C 在第一象限交于点N ，点A 是第四象限的点且在椭圆C 上，线段AB 被直线l 垂直平分，直线NB 与椭圆交于另一点D ，求证：//ON AD .【答案】（1）22182x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）确定M 是椭圆的上顶点或下顶点时12MF F △的面积最大，则有1cos 602b a ︒==，即2a b =，再根据2c =求解.（2）依题意，点N 的坐标为()2,1N ，直线ND 不与x 轴垂直，设直线():12ND y k x -=-，即12y kx k =+-，设(),y D D D x ，(),A A A x y .由2218212x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+-⎩，得()()22214812161640k xk k x k k ++-+--=.由韦达定理，用k 表示D x ，再根据0NA ND k k +=，得到A x ，进而求得AD k ，ON k 证明.【详解】（1）当M 是椭圆的上顶点或下顶点时12MF F △的面积最大，设M 是椭圆的上顶点，则1cos 602b a ︒==，即2a b =.又2c =222a b c =+，28a ∴=，22b =，26c =.∴椭圆C 的标准方程为22182x y +=.（2）证明：依题意，点N 的坐标为()2,1N ，直线ND 不与x 轴垂直，设直线():12ND y k x -=-，即12y kx k =+-，直线():12NA y k x -=--，即21y kx k =-++.设(),y D D D x ，(),A A A x y .由2218212x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+-⎩，得()()22214812161640kxk k x k k ++-+--=.2216164214D k k x k --∴=+，2288214D k k x k --∴=+.则2288214A k k x k+-=+.又12D D y kx k =+-，12A A y kx k =-++，()2221644411416214D A D A AD D A D A k k k k x x k y y k k k x x x x k-⨯-+--+∴====---+.又12ON k =，AD ON k k =.//ON AD ∴.【点睛】本题主要考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
湖北省2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷(含答案)
2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题考试时间：2024年5月29日下午15：00-17：00试卷满分：150分注意事项:1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合,则A. B. C. D.2.在复平面内,复数满足,则复数的虚部为A.-1B. C.-2D.3.已知,则A. B. C. D.4.对于两条不同直线m ,n 和两个不同平面,以下结论中正确的是A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则5.一个圆台的上、下底面的半径为1和4,母线为5,则该圆台的体积为A. B. C. D.6.若,则A. B. C. D.7.已知向量满足,且,则A. B.C.D.8.已知函数对都有,若的图象关于直线对称,{}2A 230,B {ln(25)}xx x x y x =--≤==-∣∣A B ⋂=215x x ⎧-≤≤⎫⎨⎬⎩⎭215x x ⎧-≤<⎫⎨⎬⎩⎭235xx ⎧<≤⎫⎨⎬⎩⎭235xx ⎧≤≤⎫⎨⎬⎩⎭z (12i)34i z +=-z i-2i-3242,log 3,log 6a b c -===a b c<<a c b<<c b a<<c a b<<,αβ//,m n αα⊥m n ⊥//,//m αβα//m β,//m αβα⊥m β⊥,m n n α⊥⊥//m α14π21π28π35π1sin cos ,(0,)5αααπ+=∈tan 2α=247-724-724247,,a b c ||||2,||a b c === 0a b c ++= cos ,a c b c 〈--〉=45-34-3445()f x x R ∀∈()(6)(3)f x f x f =++(2)y f x =+2x=-且对,当时,都有,则下列结论正确的是A.B.是奇函数 C.是周期为4的周期函数D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。
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湖北省随州市高一5月月考数学试题
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共4题；共8分)
1. （2分）(2017·厦门模拟) 函数f（x）= •cosx的图象大致是（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）下列函数中，在[，π]上的增函数是（）
A . y=sinx
B . y=tanx
C . y=sin2x
D . y=cos2x
3. （2分） (2019高三上·佛山月考) 已知函数满足，且是偶函数，当
时，，若在区间内，函数有 4 个零点，则实数的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2020高二下·天津期末) 是的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分又不必要条件
二、填空题 (共12题；共12分)
5. （1分）函数y=2cos（﹣ x﹣）周期为________．
6. （1分）设等比数列{an}满足a1+a3=20，a2+a4=10，则a1a2a3..an的最大值为________．
7. （1分） (2020高一下·上海期末) 若1弧度的圆心角所对的弧长为2 ，则这个圆心角所在的扇形面积等于________
8. （1分） (2019高一上·攀枝花月考) ________.
9. （1分） (2018高一下·四川月考) 在等比数列中，，则 ________．
10. （1分）(2020·淄博模拟) 如图，，分别是双曲线的左、右顶点，以实轴为直径的半圆交其中一条渐近线于点m，直线交另一条渐近线于点n，若∥ ，则 ________，若为双曲线右焦点，则的周长为________.
11. （1分） (2019高一上·绍兴期末) 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，
为角终边上一点，角的终边与单位圆的交点为，则 ________．
12. （1分） (2017高一上·景县期中) 已知f（）=x+2 ，则f（x）________．
13. （1分） (2019高一上·赣榆期中) 已知是上的奇函数，当时， .若
在区间上的值域为，则实数的取值范围是________．
14. （1分） (2018高三上·北京月考) 已知函数
（1）当a＝1时，函数的值域是________.
（2）若存在实数b，使函数有两个零点，则实数a的取值范围是________.
15. （1分） (2016高三下·娄底期中) 在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=________．
16. （1分）(2018·吕梁模拟) 将函数的图象向右平移个单位后，再向下平移1
个单位得到函数，若，且，则的最小值为________．
三、解答题 (共4题；共45分)
17. （10分） (2017高二下·瓦房店期末) 已知数列满足，
是数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和 .
18. （10分） (2019高二下·濮阳月考) 已知的内角的对边分别为，且
.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
19. （10分） (2017高一下·新乡期中) 如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．
（1）求船的航行速度是每小时多少千米？
（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？
20. （15分）已知f（x）=8+2x﹣x2 ， g（x）=f（2﹣x2），试求g（x）的单调区间．
参考答案一、单选题 (共4题；共8分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、
考点：
解析：
二、填空题 (共12题；共12分)答案：5-1、
考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、
考点：
解析：
答案：13-1、考点：
解析：
答案：14-1、答案：14-2、
考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、
考点：
解析：
三、解答题 (共4题；共45分)答案：17-1、
答案：17-2、考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、考点：
解析：
答案：20-1、考点：
解析：。