函数方程的几种方法
x方程式的解算方法
x方程式的解算方法x方程式是数学中常见的一类方程，其中未知数x出现在方程的指数上。
解x 方程式的方法有多种，下面将介绍其中几种常见的解算方法。
一、对数法对数法是解决x方程式的一个常用的方法，特别适用于指数函数方程式。
对于形如a^x=b的方程式，可以将其转化为对数方程式来求解。
具体步骤如下：1. 将方程式取对数：loga(b)=x。
2. 计算对数：使用合适的对数底数计算loga(b)的值。
3. 得到解：将计算得到的对数值作为x的解。
举例说明：解方程式2^x=8。
1. 取对数：log2(8)=x。
2. 计算对数：log2(8)=3。
3. 得到解：方程式的解为x=3。
二、平方根法平方根法可以用来解决指数乘方后出现自变量的方程式。
对于形如(sqrt(x))^n=a的方程式，可以使用平方根法求解。
具体步骤如下：1. 求平方根：两边同时开n次平方根，得到(sqrt(x))^n=a的平方根形式。
2. 取正负值：由于开平方根会产生两个解，需要取正负值。
3. 解方程：对每一个取值解开平方根方程，得到x的解。
举例说明：解方程式(sqrt(x))^2=9。
1. 求平方根：(sqrt(x))^2=3^2。
2. 取正负值：得到两个方程式sqrt(x)=3和sqrt(x)=-3。
3. 解方程：对每一个方程式解开平方根，得到x的两个解x=9和x=0。
三、换元法换元法是用来解决一类尖锐倾斜的方程式，其中指数函数的底数和因变量之间存在依赖关系。
通过引入一个新的变量，将原方程式转化为一个简单的线性方程式，从而求解。
具体步骤如下：1. 选择一个合适的换元变量：引入一个新变量t，使得指数函数的底数和指数可以被表示为t的函数。
2. 变换方程：将原方程式中的指数函数用t表示。
3. 解线性方程：解变换后的线性方程，得到t的解。
4. 还原解：将t的解代入到换元变换中，得到x的解。
举例说明：解方程式3^x-2x=1。
1. 选择换元变量：引入新变量t，使得3^x=t。
解复杂函数方程的技巧与方法
解复杂函数方程的技巧与方法复杂函数方程是数学中的一类重要问题，研究解复杂函数方程的技巧与方法对于提高数学解题能力和理解复杂函数的性质具有重要意义。
本文将介绍几种常见的解复杂函数方程的技巧与方法。
一、代入法代入法是解复杂函数方程的常用方法，通过将复杂函数方程中的未知函数用已知函数代入，从而将复杂的函数方程变为已知的方程，进而求解出未知函数。
例如，对于如下的复杂函数方程：$$f(z) = f(z+1) + f(z-1)$$我们可以尝试将未知函数$f(z)$用指数函数$e^{2\pi i z}$代入，即$$e^{2\pi i z} = e^{2\pi i (z+1)} + e^{2\pi i (z-1)}$$通过化简可以得到$$e^{2\pi i z} = 2e^{2\pi i z}\cos(2\pi)$$解得$$2\cos(2\pi z) = 1$$因此，未知函数$f(z)$满足$f(z) = \cos(2\pi z)$。
二、特殊构造法特殊构造法是解复杂函数方程的另一种常用方法，通过构造特殊的函数形式，从而满足给定的复杂函数方程。
例如，对于如下的复杂函数方程：$$f(z+1) = f(z)e^z$$我们可以尝试构造指数函数的形式，即设$f(z) = e^{g(z)}$，其中$g(z)$是一个未知函数。
代入原方程可以得到$$e^{g(z+1)} = e^{g(z)e^z}$$两边取对数得到$$g(z+1) = g(z)e^z$$这是一个已知的函数方程，我们可以求解出$g(z)$的形式，再得到$f(z)$的形式。
三、级数展开法级数展开法是解复杂函数方程的一种有效方法，通过将未知函数展开成幂级数的形式，进而求解出未知函数。
例如，对于如下的复杂函数方程：$$f(z+1) - f(z) = z$$我们可以尝试将未知函数$f(z)$展开为幂级数的形式，即$f(z) =\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$，其中$a_n$是待定系数。
对数函数方程---解法练习(4个常见方法)及例题
对数函数方程---解法练习(4个常见方法)及例题1. 概述对数函数方程是数学中常见的一类方程，在解决实际问题时经常会遇到。
本文将介绍四种常见的解法方法，并结合例题进行练，帮助读者更好地掌握如何解决对数函数方程。
2. 解法方法2.1. 变底法变底法是解决对数函数方程的一种常见方法。
通过将底数变换成相同的底数，将方程转化成一个简单的等式，从而求解。
具体步骤如下：步骤 1: 确定底数，使得方程两边的底数一致。
步骤 2: 将方程转化成一个等式。
步骤 3: 解方程。
步骤 4: 检验解是否符合原方程。
2.2. 换元法换元法是另一种解决对数函数方程的常见方法。
通过引入一个新的变量，将方程转化成一个简单的等式，从而求解。
具体步骤如下：步骤 1: 选择适当的变量进行代换。
步骤 2: 转化方程为一个等式。
步骤 3: 解方程。
步骤 4: 还原变量，得出最终解。
步骤 5: 检验解是否符合原方程。
2.3. 消元法消元法是解决对数函数方程的一种常用方法。
通过对方程进行合并、整理、消去一些变量，将方程转化成一个简单的等式，从而求解。
具体步骤如下：步骤 1: 合并同类项。
步骤 2: 整理方程，将对数函数移到一边。
步骤 3: 消去变量。
步骤 4: 解方程。
步骤 5: 检验解是否符合原方程。
2.4. 图像法图像法是解决对数函数方程的一种直观方法。
通过绘制对数函数的图像，并分析函数图像与方程的交点，求解方程。
具体步骤如下：步骤 1: 绘制对数函数的图像。
步骤 2: 分析图像与方程的交点。
步骤 3: 求解方程。
步骤 4: 检验解是否符合原方程。
3. 例题练例题 1: 解方程 $3\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=2$。
> 解答:解答:> 使用变底法：> 步骤 1: 将底数变为2，得到 $2^{3\log_2(x-1)}\cdot2^{\log_2(x+1)}=2^2$。
> 步骤 2: 运用指数与对数的相互关系，得到 $(x-1)^3\cdot(x+1)=4$。
函数方程解题的关键技巧与方法
函数方程解题的关键技巧与方法函数方程是数学中常见的一类问题，它通过给定的条件和方程来寻找函数的解。
解决函数方程的关键技巧和方法有很多，本文将介绍其中几种常用的方法。
一、代入法代入法是解决函数方程的常用方法之一。
它的基本思路是将方程中的未知函数代入，然后通过简化方程，找到函数的解。
例如，考虑以下的函数方程：f(x) - 2f(2-x) = 1我们可以先令 x = 2，这样就可以得到：f(2) - 2f(0) = 1然后，代入其他的数值，比如 x = 0，我们得到：f(0) - 2f(2) = 1通过这样的代入和化简的过程，我们可以得到一个方程组，从中解出 f(x) 的值。
二、函数复合法函数复合法是解决函数方程的另一种常见方法。
它的基本思路是通过构造一个新函数，将原方程转化为一个更简单的形式，从而求得函数的解。
举个例子，考虑以下的函数方程：f(x + 2) + f(x - 2) = 2f(x)我们可以尝试定义一个新函数 g(x) = f(x + 2)，这样原方程就变成了：g(x) + g(x - 4) = 2g(x - 2)现在我们可以利用这个新方程来简化原方程，并通过求解 g(x) 来找到 f(x) 的解。
三、递推法递推法在解决函数方程中也是十分有用的方法。
它的基本思路是通过分析给定的条件和方程，构造递推式，从而找到函数的解。
例如，考虑以下的函数方程：f(x + 2) = 3f(x + 1) - 2f(x)我们可以通过给定的条件 f(0) = 1 和 f(1) = 2，构造递推式：f(2) = 3f(1) - 2f(0) = 4f(3) = 3f(2) - 2f(1) = 8f(4) = 3f(3) - 2f(2) = 16通过递推，我们可以得到 f(x) 的解为 2^x。
四、特殊点法特殊点法是解决函数方程的一种常见方法，它的基本思路是通过找到特殊点，从而对函数进行分析，进而求得函数的解。
例如，考虑以下的函数方程：f(x) = f(1-x)我们注意到当 x = 1/2 时，有 f(1/2) = f(1 - 1/2) = f(1/2)，也就是说函数在 x = 1/2 这个特殊点对称。
函数方程的几种解法
解函数方程的几种方法李素真摘要：本文通过给出求解函数方程的基本方法，来介绍函数方程，探索通过构造函数方程求解其它问题的方法,以获得新的解题思路。
关键词：函数方程；换元法；待定系数法；解方程组法；参数法含有未知函数的等式叫做函数方程，能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解，求函数方程的解或证明函数方程有无解的过程叫解函数方程。
函数方程的解法有换元法（或代换法）、待定系数法、解方程组法、参数法。
1.换元法换元法是将函数的“自变量”或某个关系式代之以一个新的变量(中间变量)，然后找出函数对中间变量的关系，从而求出函数的表达式。
例1 已知x x f x sin )2(+=，求)(x f 。
解：令u x =2 ）（0>u ，则u x log 2=，于是可得，)log sin()log ()(222u u u f +=）（0>u ，以x 代替u ，得)log sin(log 2)(22u x x f += )0(>x 。
例2 已知xxx x f 212ln )1(+=+ )0(>x ，求)(x f 。
解：令t x x =+1，则11-=t x )1(>t ，于是12ln 1121112ln )(+=-+-=t t t t f ， 即12ln )(+=x x f 。
例3 已知x x f 2cos )cos 1(=+，求)(x f 。
解：原式可以化为 1cos 22cos )cos 1(2+==+x x x f ，令t x =+cos 1，]2,0[∈t ，则换元后有1)1(2)(2--=x t f ]2,0[∈x 。
2.待定系数法待定系数法适用于所求函数是多项式的情形。
当我们知道了函数解析式的类型及函数的某些特征，用待定系数法来解函数方程较为简单。
一般首先确定多项式的次数，写出它的一般表达式，然后由已知条件，根据多项式相等的条件确定待定系数。
例4 已知)(x f 为多项式函数，且422)1()1(2+-=-++x x x f x f ，求)(x f 。
函数方程的几种方法
函数方程三、求解函数方程的几种方法：可能会遇到函数方程的问题，在这里我们介绍几种典型的求解函数的方法。
一．代换法 1．解函数方程：x xx f x f +=-+1)1()( (1) 解：令1,0,1≠-=y y y x ；则x y -=11，将此代入（1：yy y f y y f 12)11()1(-=-+-或 x x x f x x f 12)11()1(-=-+-。
(2) 此时(1)及(2)并无法解出)(x f ；所以我们再令1,0,11≠-=z z x ；则z =此代入（1）式则可得z z z f z f --=+-12)()11(， 即x f x f +-)()11(。
(3)将(1)，(2)及(3)联立，则可得到一个以)1(),11(),(x x f x f x f --一次方程组；我们利用消去法来解此问题． (1)+(3)－：x x x x x x f 1212)1()(2----++=)1(21)(23---=⇒x x x x x f 。
经检验是原函数方程的解． 2．（2007越南数学奥林匹克）设b 是一个正实数，试求所有函数R R f →:得)3(3)()(1)(1)(y y f bx y f b b b x f y x f yy-+⋅=+-+-+对任意实数x 、y 均成立。
解：将原方程变形为：1)(3))(()(-++⋅+=++y f bx y x yb x f b y x f ， (x , y ∈①令x b x f x g +=)()(，则①等价于1)(3)()(-⋅=+y g x g y x g ，(x , )R y ∈②在②中令0=y 得1)0(3)()(-⋅=g x g x g )(R x ∈这表明1)0(0)(==g x g 或。
1）若0)(=x g )(R x ∈，则x b x f -=)(；2）若1)0(=g ，在②式中令0=x 得：1)(1)(33)0()(--=⋅=y g y g g y g ，即0)(31)(=--y g y g 。
等函数方程的几种常见解法论文：初等函数方程的几种常见解法
等函数方程的几种常见解法论文：初等函数方程的几种常见解法方程的教学是数学教学的重要内容之一。
初等数学中从一元一次方程开始，由浅入深地讨论了一元二次方程，二元、三元方程组，并在此基础上进一步研究了简单的高次方程、分式方程、无理方程、指数方程、对数方程等。
在教学实践中，常遇到以未知函数为未知量的方程，我们把这种方程称作函数方程，本文以几种常见的初等代数函数方程为例，探讨其解法。
一、代换法对函数方程的未知函数或未知函数的自变量作代换，以达到求解函数的目的。
此法多用于单变量函数方程。
二、待定系数法当已知f（x）是多项式函数时，可利用待定系数的方法求解函数方程。
首先写出函数的一般表达式，然后由已知条件，根据多项式相等来确定待定的系数。
例：已知函数f（x+1）=x2-3x-2，求f（x）。
解：由于f（x+1）不改变f（x）的次数，所以f（x）为一元二次函数，可设f（x）=ax2+bx+c，则f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c=ax2+2ax+a+bx+b+c=ax2+（2a+b）x+c+b+a=x2-3x-2由已知条件得出a=1，b=-5，c=2故有f（x）=x2-5x+2。
此类函数方程的解法主要是根据题意先设出函数的解析式，利用已知函数等式括号中的多项式代换所设方程中的自变量解出一个表达式，利用同一种等式系数相等解系数。
注：此类函数方程还可以用配方法解，读者可以试试。
三、换元法（参数方程法）这种方法是将函数方程的变量进行适当的变量替换，求出方程的解的方法。
例：已知f（sinx-1）=cos2x+2，试求f（x）。
解：令t=sinx-1，所以-2≤t≤0。
所以sinx=t+1?圯sin2x=（t+1）2。
因为cos2x=1-sin2x，所以cos2x=1-（t+1）2=-t2-2t。
所以f（t）=-t2-2t+2，-2≤t≤0。
所以f（x）=-x2-2x+2，-2≤x≤0。
四、赋值法当所给出的函数方程含有两个不同的变量，一般可以设法对这两个变量交替用特殊值代之，然后再设法求出未知函数。
三角函数方程求解
三角函数方程求解三角函数方程是指含有三角函数的方程，通常形式为：f(x) = g(x)其中，f(x)和g(x)可以是三角函数，如sin(x)、cos(x)、tan(x)等。
求解三角函数方程的目标是找到方程的解集，即满足方程的所有x值。
三角函数方程的求解方法有很多种，下面将介绍其中几种常用的方法。
一、换元法当三角函数方程中某些角的函数关系较为复杂时，可以尝试通过换元的方法将其转化为简单的三角函数方程。
常见的换元方法有如下几种：1. 代换法：将复杂的角度用一个新的变量代替，使得原方程转化为一个简单的三角函数方程。
2. 半角公式：将复杂角度的函数关系转化为较简单的角度的函数关系，求解后再通过反函数进行还原。
3. 三角恒等变形：利用三角函数的恒等变形关系，将方程转化为简单的三角函数方程。
二、几何法几何法是通过利用三角函数的几何性质，将方程转化为几何问题，进而求解方程的方法。
1. 单位圆法：利用单位圆上角度的几何含义，将方程转化为单位圆上点的坐标关系，通过求解坐标方程得出解集。
2. 三角函数图像法：根据三角函数图像的性质，通过观察图像确定函数的周期、最值、零点等信息，从而找出方程的解。
三、化简等式法化简等式法是通过将复杂的三角函数方程逐步化简为简单的等式，通过等式的性质求解方程。
常用的化简方法有如下几种：1. 减角公式：将方程中的角度通过减角公式化简为较简单的角度，从而求解方程。
2. 消元法：利用三角函数的定义关系，将方程化简为只含有一个未知数的等式，然后利用代数的运算法则求解。
四、迭代法迭代法是通过逐步逼近解的方法求解三角函数方程。
常用的迭代方法有如下几种：1. 牛顿迭代法：通过设定初始值，并不断利用牛顿迭代公式进行迭代，最终逼近解。
2. 二分法：通过确定函数在一个区间内的正负性，不断缩小区间范围，通过二分法逼近解。
以上是几种常用的求解三角函数方程的方法，根据具体问题的特点和形式，可以灵活运用其中的方法来求解。
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函数方程三、求解函数方程的几种方法：一．代换法 1．解函数方程：x x x f x f +=-+1)1()( (1)解：令1,0,1≠-=y y y x ；则xy -=11，将此代入：yy y f y y f 12)11()1(-=-+-或x x x f x x f 12)11()1(-=-+-。
(2) 此时(1)及(2)并无法解出)(x f ；所以我们再令1,0,11≠-=z z x 此代入（1）式则可得z z z f z f --=+-12)()11(，即x f x f =+-)()11(将(1)，(2)及(3)联立，则可得到一个以)1(),11(),(xx f x f x f --一次方程组；我们利用消去法来解此问题． (1)+(3)：x x x x x x f 1212)1()(2----++=)1(21)(23---=⇒x x x x x f 。
经检验是原函数方程的解．2．（2007越南数学奥林匹克）设b 是一个正实数，试求所有函数R f :得 )3(3)()(1)(1)(y y f b x y f b b b x f y x f y y -+⋅=+-+-+对任意实数x 、y 均成立。
解：将原方程变形为：1)(3))(()(-++⋅+=++y f b x y x y b x f b y x f ， (x , 令x b x f x g +=)()(，则①等价于1)(3)()(-⋅=+y g x g y x g ，(x , )R y ∈② 在②中令0=y 得1)0(3)()(-⋅=g x g x g )(R x ∈这表明1)0(0)(==g x g 或。
1）若0)(=x g )(R x ∈，则x b x f -=)(；2）若1)0(=g ，在②式中令0=x 得：1)(1)(33)0()(--=⋅=y g y g g y g ，即0)(31)(=--y g y g 。
)(R y ∈③考虑函数t t h t -=-13)(，它的导函数13ln 3)('1-=-t t h ，则11)(log log 0)('33<+=⇔=e t t h ，于是可知0)(=t h 有两根11=t 和c t =2)10(<<c ，于是③式等价于1)(=y g 或c 。
R y ∈(, c 为满足10<<c 的常量）假设存在R y ∈0使c y g =)(0，则)(3)()()0(101)(0000y g c y g y y g g y g -⋅=⋅=-==--，∴c c y g ≠-=-1)(0 或1，∴c y g =)(0矛盾，因此1)(=y g )(R y ∈，∴xb x f -=1)( 综上知：x x b x f b x f -=-=1)()(和 说明：代换法是解函数方程最基本方法，很多函数方程中所特有的性质是通过代换法去发现的。
本题也是通过代换法打开了解题的思路。
二．柯西法1．设)(x f 为定义在实数集R 上的单调连续函数，试解函数方程)()()(y x f y f x f +=⋅。
解：由)()()(y x f y f x f +=⋅用归纳法得：)()()()(2121n n x x x f x f x f x f ++=。
当n x x x === 21时，有)()]([nx f x f n =。
①若1=x ，n x f n f )]([)(=，令a f =)1(，得n a n f =)(，在①式中令nx 1=得：)1()]1([f n f n = 因)(x f 定义在实数集R 上，n 是偶数时，必有0)1(≥f ，这样0≥a ，∴n a nf 1)1(= 若m 为正整数，利用上式得：n m mn m a a nf n n n f n m f n m f ===+++=⋅=)()]1([)111()1()(1 ， 在原方程中，令0=y 有：)()0()(x f f x f =⋅，因)(x f 单调)(x f 不恒为0，∴01)0(a f ==。
在原方程中，令x y -=有n m x y -=-=(n , )N m ∈，则有)0()()(f nmf n m f =⋅-，即n mn ma a nm f n m f --===-1)()(1)(，(又因为)(n mf -有意义，∴)0>a 。
这样，我们便在有理数集内求得了函数方程)0()(>=a a x f x 。
又因)(x f 单调，不能恒为1，则)10()(≠>=a a a x f x 且为指数函数。
当α=a 为无理数，设i i b a <<α且a i , b i 为无限接近于α的有理数，则由)(x f 单调知ααa f =)(，∴原方程的解为)10()(≠>=a a a x f x 且。
说明：柯西法是由解柯西方程)()()(y f x f y x f +=+而归纳出来的方法。
2．试求定义在有理数集并且在有理数集上取值的函数()f x ，设 （1）(1)2f =（2）()()()()1f xy f x f y f x y =-++。
求函数()f x 。
解：令1,y =由（2）得()()(1)(1)1f x f x f f x =-++。
① 将(1)2f =代入①，化简得(1)()1f x f x +=+。
②当n N +∈时，有()(1)1(2)2()f x n f x n f x n f x n +=+-+=+-+==+，③ 由②得()(1)1f x f x =+-[()]()(1)1(2)2()()f x n f x n f x n f x n f x n n N +-=-=-+-=-+-==-∈即[()]()()()f x n f x n n N +-=+-∈。
④由③、④有：()()()f x n f x n n Z +=+∈。
⑤在⑤中，令1x =，得(1)2()f n n n Z +=+∈。
⑥ 对于任意的有理数,(,)n m n Z m ∈在（2）中，令,,n x m y m ==得()()()()()1n n n f n f m f m f f m m m m ==-++。
由⑤、⑥有1(1)()()1n n n m f f m m m +=+--+ 由此得()1n n f m m =+，故所求的函数是()1().f x x x Q =+∈三．用函数迭代法解方程1．求解函数方程：x x xf x f x x f cos )11()1()11(=-++-++-)1,0(±≠x 。
解：设11)(+-=x x x g ，则x x g g g g x g ==))))(((()()4(并且x x g g x g 1))(()2(-==，xxx g g g x g -+==11)))((()3(，于是原方程变为：x x g f x g f x g f cos )]([][)]([)3()2(=++。
①令)(x g x =得：)(cos )()]([)]([)3()2(x g x f x g f x g f =++，② 令)()2(x g x =得：)(cos )]([)()]([)2()3(x g x g f x f x g f =++，③ 令)()3(x g x =得：)(cos )]([))(()()3()2(x g x g f x g f x f =++，④由①②③④得：x x g x g x g x f cos 2)(cos )(cos )(cos )(3)3()2(-++=，∴)cos 211cos 1cos 11(cos 31)(x xxx x x x f --++++-=说明：利用函数迭代解决函数方程问题有立竿见影的效果。
2．试求所有的函数:f R R →，使得对任意,x y R ∈，都有2(())()f x f y y xf x +=+ 解：令0x =，则有(2)()f y y =，从而(2)22(())(())()f y xf x f x f y x f y +=+=+。
在上式中用()f x 代替x ，则可知(2)2(()())(())()()f y f x f x f y xf x f x f y +=+=+，于是有 22()f x x =，从而有()f x x =或()f x x =-。
验证可知，这两个函数都是方程的解。
3．设11,022()12(1),12x x f x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，找出12345,,,,x x x x x 使：2132435415(),(),(),(),()x f x x f x x f x x f x x f x =====． 解：当1[0,]2x ∈时，211()[,1],2x f x =∈设32()x f x =也在1[,1]2中，4354(),()x f x x f x ==也在1[,1]2中，那么2112x x =+以后都用()2(1)f x x =-即32()x f x =(2)42()x f x =，(3)(4)5212(),().x f x x f x ==对于()22f x x =-+我们有()(2)1()(2)2.(2)1n n nf x x --=-+--4(4)4122211(2)11()(2)2161016()101632x fx x x x x --∴==-+=-=+-=--123452219191111814,1,2(1),2(1),2(1.1515303015151515x x x x x ∴==+==-==-==-=验证：11422(1),1515x =-=是对的．评注：在应用迭代法时，几个常用的迭代结果是有用的：2()2n f x f x =→=()1(1)1n n na f axb f a x b a a -=+→=+≠-，()(1)n f ax b f nb x a =+→=+=四．特值探索推导法1.（2008年IMO 第4题）求所有的函数),0(),0(:+∞→+∞f 满足对所有的正实数ωx , y , z ，yz x =ω都有：22222222)()())(())((z y x z f y f x f f ++=++ωω 解：令1====z y x ω得：1)1()1())1((2=⇒=f f f ，对任意0>t 令t =ω1=x ，t z y ==得：tt t f t f 21)(21))((22+=+，去分母整理：0))()(1)((=--t t f t tf 以对每个0>t 有t t f =)(或者tt f 1)(=。
①若存在b , ),0(+∞∈c ，使得b b f ≠)(，cc f 1)(=，则由①知，b , c 都不等于1且bb f 1)(=，c c f =)(，令b =ω，c x =，bc z y ==，则bc c b bc f c b 2)(212222+=+以)()(2232c b b c b c bc f ++=。