浅谈函数方程的解法
函数与方程解题技巧
函数与方程解题技巧引言：在学习数学的过程中，我们经常会遇到各种各样的数学问题，其中涉及到的一个重要内容就是函数与方程的解题技巧。
函数与方程是数学中的基本概念，掌握解题技巧可以帮助我们更好地理解和运用这些概念。
在本文中，我将介绍一些常见的函数与方程的解题技巧，希望能对大家的学习有所帮助。
一、一元一次方程的解题技巧1. 消元法：当方程中含有未知数的系数时，我们可以通过消元的方式将方程转化为更简单的形式。
例如，对于方程2x+3=7，我们可以通过减去3，得到2x=4，进而求得x=2。
2. 移项法：当方程中含有未知数的系数和常数项时，我们可以通过移项的方式将所有未知数项放到等号一侧，将常数项放到等号另一侧。
例如，对于方程2x+3=7，我们可以通过减去3，得到2x=4。
3. 代入法：当方程中含有两个未知数时，我们可以通过代入的方式将一个未知数用另一个未知数来表示，然后将其代入另一个方程中求解。
例如，对于方程2x+y=7和3x-y=11，我们可以将第一个方程中的y用第二个方程中的y替代，得到2x+3x=7+11，进而求得x=3，再代入第一个方程中求得y=1。
二、一元二次方程的解题技巧1. 求根公式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解。
其中，b^2-4ac称为判别式。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于0时，方程没有实数根。
2. 完全平方公式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，当其可以写成形如(a^2x^2+b^2+c^2-2abx)=0时，我们可以通过完全平方公式(x-a)^2=x^2-2ax+a^2来解题。
例如，对于方程x^2+6x+9=0，我们可以把x^2+6x+9写成(x+3)^2=0，从而得到x=-3。
三、函数的解题技巧1. 求定义域和值域：对于给定的函数，我们需要确定其定义域和值域。
函数方程解题的关键技巧与方法
函数方程解题的关键技巧与方法函数方程是数学中常见的一类问题，它通过给定的条件和方程来寻找函数的解。
解决函数方程的关键技巧和方法有很多，本文将介绍其中几种常用的方法。
一、代入法代入法是解决函数方程的常用方法之一。
它的基本思路是将方程中的未知函数代入，然后通过简化方程，找到函数的解。
例如，考虑以下的函数方程：f(x) - 2f(2-x) = 1我们可以先令 x = 2，这样就可以得到：f(2) - 2f(0) = 1然后，代入其他的数值，比如 x = 0，我们得到：f(0) - 2f(2) = 1通过这样的代入和化简的过程，我们可以得到一个方程组，从中解出 f(x) 的值。
二、函数复合法函数复合法是解决函数方程的另一种常见方法。
它的基本思路是通过构造一个新函数，将原方程转化为一个更简单的形式，从而求得函数的解。
举个例子，考虑以下的函数方程：f(x + 2) + f(x - 2) = 2f(x)我们可以尝试定义一个新函数 g(x) = f(x + 2)，这样原方程就变成了：g(x) + g(x - 4) = 2g(x - 2)现在我们可以利用这个新方程来简化原方程，并通过求解 g(x) 来找到 f(x) 的解。
三、递推法递推法在解决函数方程中也是十分有用的方法。
它的基本思路是通过分析给定的条件和方程，构造递推式，从而找到函数的解。
例如，考虑以下的函数方程：f(x + 2) = 3f(x + 1) - 2f(x)我们可以通过给定的条件 f(0) = 1 和 f(1) = 2，构造递推式：f(2) = 3f(1) - 2f(0) = 4f(3) = 3f(2) - 2f(1) = 8f(4) = 3f(3) - 2f(2) = 16通过递推，我们可以得到 f(x) 的解为 2^x。
四、特殊点法特殊点法是解决函数方程的一种常见方法，它的基本思路是通过找到特殊点，从而对函数进行分析，进而求得函数的解。
例如，考虑以下的函数方程：f(x) = f(1-x)我们注意到当 x = 1/2 时，有 f(1/2) = f(1 - 1/2) = f(1/2)，也就是说函数在 x = 1/2 这个特殊点对称。
高中数学函数方程的求解步骤与例题
高中数学函数方程的求解步骤与例题高中数学中，函数方程是一个重要的知识点，它是数学中的基础，也是后续学习的基础。
在解函数方程时，我们需要掌握一定的求解步骤和技巧。
本文将介绍高中数学函数方程的求解步骤，并通过具体的例题进行说明，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来看一类常见的函数方程：一次函数方程。
一次函数方程的一般形式为y=ax+b，其中a和b为常数。
要求解一次函数方程，我们可以按照以下步骤进行：步骤一：将方程化为标准形式。
一次函数方程的标准形式为y=kx+d，其中k 和d为常数。
我们可以通过移项和合并同类项的方式将方程化为标准形式。
例如，解方程2x+3y=6。
我们可以将方程改写为3y=-2x+6，再进一步化简为y=-2/3x+2。
这样，我们就将方程化为了标准形式。
步骤二：确定函数的斜率和截距。
在标准形式中，k表示函数的斜率，d表示函数的截距。
斜率决定了函数的增减趋势，截距则决定了函数与y轴的交点。
例如，在标准形式y=-2/3x+2中，斜率为-2/3，截距为2。
步骤三：根据斜率和截距绘制函数图像。
我们可以利用斜率和截距来绘制函数的图像，从而更直观地理解函数的性质。
例如，在标准形式y=-2/3x+2中，斜率为-2/3，表示函数下降的速度为2/3。
截距为2，表示函数与y轴的交点为(0,2)。
我们可以利用这些信息在坐标系中绘制出函数的图像。
通过以上步骤，我们可以求解一次函数方程，并对函数的性质有一个直观的认识。
下面我们通过一个例题来进一步说明：例题：求解方程3x+2y=8，并绘制函数的图像。
解答：首先，我们将方程化为标准形式。
将方程进行移项和合并同类项的操作，得到2y=-3x+8，进一步化简为y=-3/2x+4。
其次，我们确定函数的斜率和截距。
由标准形式可知，斜率为-3/2，截距为4。
最后，我们绘制函数的图像。
根据斜率和截距，在坐标系中找到截距为(0,4)的点，并根据斜率的大小确定函数的增减趋势。
函数方程的几种解法
解函数方程的几种方法李素真摘要：本文通过给出求解函数方程的基本方法，来介绍函数方程，探索通过构造函数方程求解其它问题的方法,以获得新的解题思路。
关键词：函数方程；换元法；待定系数法；解方程组法；参数法含有未知函数的等式叫做函数方程，能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解，求函数方程的解或证明函数方程有无解的过程叫解函数方程。
函数方程的解法有换元法（或代换法）、待定系数法、解方程组法、参数法。
1.换元法换元法是将函数的“自变量”或某个关系式代之以一个新的变量(中间变量)，然后找出函数对中间变量的关系，从而求出函数的表达式。
例1 已知x x f x sin )2(+=，求)(x f 。
解：令u x =2 ）（0>u ，则u x log 2=，于是可得，)log sin()log ()(222u u u f +=）（0>u ，以x 代替u ，得)log sin(log 2)(22u x x f += )0(>x 。
例2 已知xxx x f 212ln )1(+=+ )0(>x ，求)(x f 。
解：令t x x =+1，则11-=t x )1(>t ，于是12ln 1121112ln )(+=-+-=t t t t f ， 即12ln )(+=x x f 。
例3 已知x x f 2cos )cos 1(=+，求)(x f 。
解：原式可以化为 1cos 22cos )cos 1(2+==+x x x f ，令t x =+cos 1，]2,0[∈t ，则换元后有1)1(2)(2--=x t f ]2,0[∈x 。
2.待定系数法待定系数法适用于所求函数是多项式的情形。
当我们知道了函数解析式的类型及函数的某些特征，用待定系数法来解函数方程较为简单。
一般首先确定多项式的次数，写出它的一般表达式，然后由已知条件，根据多项式相等的条件确定待定系数。
例4 已知)(x f 为多项式函数，且422)1()1(2+-=-++x x x f x f ，求)(x f 。
二次函数的方程与不等式的解法与应用
二次函数的方程与不等式的解法与应用一、二次函数的方程的解法二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
对于二次函数的方程，我们可以采取以下几种解法：1. 因式分解法当二次函数的方程可以通过因式分解的方式得到解时，我们可以尝试利用因式分解来求解。
具体步骤如下：（1）将二次函数方程转化为标准形式：f(x) = ax^2 + bx + c = 0；（2）对二次函数进行因式分解，将方程写成（px + q）（rx + s）= 0；（3）令px + q = 0和rx + s = 0，解得x的值。
2. 完全平方公式法对于形如f(x) = ax^2 + bx + c = 0的二次函数方程，当其可以通过完全平方公式的方式求解时，我们可以利用下面的公式进行计算：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中，±表示两个解。
通过代入给定的a、b、c的值，我们可以得到方程的解。
3. 直接运用求根公式法对于任意二次函数方程f(x) = ax^2 + bx + c = 0，我们可以直接应用求根公式来求解。
求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a通过代入给定的a、b、c的值，我们可以得到方程的解。
二、二次函数的不等式的解法与方程不同，二次函数的不等式的解法需要考虑到其图像在坐标轴上的位置。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以采用下列方法解二次函数的不等式：1. 利用图像法首先，我们需要画出二次函数的图像。
通过观察图像，我们可以判断二次函数在哪些区间满足不等式。
比如，当a > 0时，图像开口向上，二次函数在顶点上方满足大于零的不等式；当a < 0时，图像开口向下，二次函数在顶点下方满足小于零的不等式。
2. 利用解方程法我们可以先将二次函数的不等式转化为方程，然后求出方程的解，最后确定不等式的解的区间。
简单函数方程的解法
简单函数方程的解法1.函数方程的定义含有未知函数的等式叫做函数方程。
如f(x+1)=x、f(-x)=f(x)、f(-x)= -f(x)、f(x+2)=f(x)等。
其中f(x)是未知函数2.函数方程的解能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。
如f(x)=x-1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解3.解函数方程求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程4.定理(柯西函数方程的解)若f(x)是单调(或连续)函数且满足f(x+y)=f(x)+f(y) (x,y∈R)、则f(x)=xf(1)证明：由题设不难得f(x1+x2+…+xn)=f(x1)+f(x2)+…+f(xn)取x1=x2=…=xn=x，得f(nx)=nf(x) (n∈N+)令x=0，则f(0)=nf(0)，解得f(0)=0 --------- (1)x=1，则f(n)=nf(1)x= ，则f(m)=nf( ) ，解得f( )= f(m)= f(1) --------- (2)x=- ，且令y=-x>0，则f(x)+f(y)=f(x+y)=f(0)=0∴f(x)=-f(y)=-yf(1)=xf(1) (m,n∈N+,且(m,n)=1) ---------(3)由上述(1)，(2)，(3)知：对任意有理数x均有f(x)=xf(1)另一方面，对于任意的无理数x，因f(x)连续，取以x为极限的有理数序列{xn}，则有：f(x)= f(xn)= xnf(1)=xf(1)综上所述，对于任意实数x，有f(x)=xf(1)函数方程的解法：1.代换法(或换元法)把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换(代换时应注意使函数的定义域不会发生变化)，得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数例1 (1)已知f(2x-1)=x2+x，那麽f(x)=______________。
略解：设t=2x-1，则x= (t+1)，那麽f(t)= (t+1)2+ (t+1)= t2+t+故f(x)= x2+x+(2) 已知f( +1)=x+2 ，那麽f(x)=____________。
函数方程的柯西解法
函数方程的柯西解法在函数方程的发展史上，许多函数方程的建立和解法都是由柯西首先提出的. 本节我们就来研究函数方程的柯西解法.在前几节讨论的函数方程中，所涉及的函数大多数是自然数的函数. 而本节中的函数，它的定义域都是在某一区间上的实数.柯西解法的步骤是：依次求出对于自变量的所有自然数值、整数值、有理数值，直至所有实数值的函数方程的解.如所周知，一个函数方程的解往往并不是唯一的. 也就是说，可能存在着不同的函数，满足同一个函数方程. 为了保证函数方程的解的唯一性，通常需要给所求的函数附加一些条件，例如要求所求的函数必须是连续的，或者必须是单调的. 在本节里，要求函数方程的解都必须是单调函数.什么是单调函数呢？如果对于较大的自变量的值，函数值也较大；即当12x x >时，有)()(12x f x f >，就是说函数)(x f 单调增加. 如果对于较大的自变量的值，函数值反而较小；即当12x x >时，有)()(12x f x f <，就说函数)(x f 单调减小. 单调增加和单调减小的函数，统称单调函数.在后面的讨论中，我们还要用到区间套原理. 这个原理是这样的： 设有一个区间序列：,],[,,],[,],[,],[332211•••••••••••••••••n n βαβαβαβα （78）其中每个区间都包含着后一个区间：),3,2,1(,],[],[11 ••••••i ••••••i i i i =βα⊃βα++ （其中⊃是集的包含符号）形成一个“区间套”，而且区间长度可以任意地小（就是说，不论我们事先给定一个多么小的正数ε，序列（78）中总存在这样一个区间，从此以后所有的区间的长度都小于ε）. 那末，必定存在着唯一的一个点ξ，被所有（无穷多）这些区间所包含.特别是当ξ是无理数时，如果把n α和n β取作ξ的精确到10-n 的不足近似值和过剩近似值. 那末以ξ的不足近似值和过剩近似值为端点，将构成一个区间套. 相应的区间的长度是10-n . 例如，我们知道，圆周率π是一个无理数：.897931415926535.3•• =π于是，可以构成区间套.]142.3,141.3[]15.3,14.3[]2.3,1.3[••••••• ⊃⊃⊃区间的长度依次是3.2-3.1=10-1，3.15-3.14=10-2，3.142-3.141=10-3，…. 我们注意到，每个区间的端点n n βα和都是有理数，而只有唯一的一个无理数α=π被包含在所有这些区间之内.有了这些准备之后，我们转入函数方程的柯西解法的讨论. [例19] 解函数方程.)()()(•y f x f y x f +=+ （79）解 由函数方程（79）容易推得（用数学归纳法）：.)()()()(2121•x f x f x f x x x f n n +++=+++ （80）在（80）中如果令x •x x x n ==== 21，就得到 .)()(•x nf nx f =再令nmx=（m 是正整数），又有 .)1()1()(•mf m f m f n m n f n m nf =∙==⎪⎭⎫⎝⎛∙=⎪⎭⎫ ⎝⎛所以.)1(•n m f n m f ∙=⎪⎭⎫⎝⎛记常数f (1)=c . 于是对于任何正有理数x >0，都有.)(cx •x f = （81）当自变量的值为零时，即令x=y =0，由函数方程（79），有,)0()0()0(•f f f +=∴.00)0(•c f ∙==这就是说，对于自变量的值为零的情形，函数方程（79）的解也是（81）. 对于自变量为负数的情形，如x 为负有理数，可设••x y.0>-=于是有.0)0()()()(•f y x f y f x f ==+=+所以.)()(cx •cy y f x f =-=-=总之，对于自变量的任何有理数值x =r ，函数方程（79）的解都是（81）：.)(cr •r f = （82）现在来讨论自变量是无理数的情形. x =ξ(ξ是无理数). 设ξ的精确到小数点后第i 位的不足近似值和过剩近似值是i i βα和. 根据f (x )的单调性（为确定起见，不妨设f (x )是单调增加的），推知),3,2,1(.)()()( ••••••i ••i f f i f =β<ξ<α （83）因为••f f c ,0)0()1(=>=由i i β<ξ<α又得.•c c c i i β<ξ<α由于i α，i β是有理数，由（83）得.)(•c f c i i β<ξ<α （84）比较（83）和（84），看出ξc 和)(ξf 处于同一个区间套之内. 根据区间套原理，只有一个点为所有区间套公有，得知)(ξf =ξc . （85）综合（82）和（85），即得：对于任何实数x ，函数方程（79）的解是正比例函数.)(cx •x f =[例20] 解例2中的函数方程,)()(22•y f x f y x f +=⎪⎭⎫⎝⎛+ （9） 并求出由摄氏温度换算为华氏温度的关系式.解 在函数方程（9）中，令y =0，就有,)0()(22•f x f x f +=⎪⎭⎫⎝⎛ 或者.)0()(2)2(•f x f x f -= （86）用数学归纳法可以证明，)87(.)0()2()()()(222121•••f n x f x f x f x x x f •n n --+++=⎪⎭⎫⎝⎛+++事实上，设n=k 时，方程（87）成立，即设••f k x f x f x f x x x f •k k .)0()2()()()(222121--+++=⎪⎭⎫⎝⎛+++ 于是有.)()]0()2()2()2()2([21)(2222)()(2)(222121121121121121•x f f k •x f x f x f x f x x x f x f x x x f x x x x f x x x x f •k k k k k k k k k k ++++++--+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎪⎭⎫⎝⎛++++根据（86），得.)0()1()()()()()()]0()2()0()(2)0()(2)0()(2[2122121121121•f k x f x f x f x f x f f k f •x f f x f f x f x x x f •k k k k k --++++=+---++-+-=⎪⎭⎫⎝⎛++++++就是说，对于n=k +1，方程（87）仍然成立. 又当n =2时，显然有.)0()22()()()()(22212121•f x f x f ••x f x f x x f --+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 这就证明了由函数方程（9）可以推出函数方程（87）.在（87）中，令x x x x n ==== 21，即得.)0()2()(22•f n x nf x n f --=⎪⎭⎫⎝⎛ （88）又令nmx=（m 是正整数），则有 ,)0()2(22•f n n m nf m f --⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 就是.)0()2(22•f n m f n m nf -+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 但由（88）知.)0()2(2222•f n m f m f -+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛代入上式即得.)0()]0()1([)0()0()1()0()2()0()2()1(•nf f m •nf mf mf •f n f m mf n m nf +-=+-=-+--=⎪⎭⎫⎝⎛因而.)0()]0()1([•f f f nmn m f +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 记.)0(,)0()1(21•c •f •c f f ==- 最后有,)(21•c x c x f += （89）当x =0时，显然有.)0(221•f c c x c ==+ （90）如果令0>-=x y，就有.)()()0(2•x f x f f -+=所以)91(.])([2)()0(2)(21212•••••c x c •c x c c x f f x f +=+--=--=总之，由（89），（90），（91）得，对于任何有理数x =r ，函数方程（9）的解是)92(.)(21••••c r c r f +=现在，讨论自变量是无理数的情形：x =ξ（ξ是无理数）. 设ξ的精确到小数点后第i位的不足近似值和过剩近似值是αi 和βi . 根据f (x )的单调性[不妨假定f (x )是单调增加的. 单调减小情形的论证类似]推知，),3,2,1.()()()( ••••••i •f f f i i =β<ξ<α （93）同样根据单调增加性，得知.0)0()1(1•f f c >-=所以由i i β<ξ<α可得,212121•c c c c c c i i +β>+ξ<+α而由于i α，i β是有理数，所以（93）又可写成.)(2121•c c f c c i i +β<ξ<+α （94）（93）和（94）表明21c c +ξ和)(ξf 处于同一个区间套之内. 根据区间套原理，就有)(ξf =21c c +ξ. （95）综合（92），（95），可知对于任何实数x ，函数方程（9）的解是一次函数.)(21•c x c x f += （96）现在来求由摄氏温度换算为华氏温度的关系式.由（10）知.32)0(2•f c ==此外，由（10）还知.21210021•c c =+所以.5910022121•c c =-=最后得.3259)(•x x f +=[例21] 解例4中的函数方程.)()()(•y x f y f x f += （10）解 由（16）容易推得（用数学归纳法）：.)()()()(2121•x x x f x f x f x f n n +++=如果令x x x x n ==== 21，对于任何实数x 和自然数n ，就有.)()]([•nx f x f n = （97）在（97）中，令mx1=（m 是自然数），便有 .)]1([11•fm f m f m n f mnmn m n=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛记f (1)=c . 就得.•c m n f m n=⎪⎭⎫⎝⎛ （98） 令y=0. 对于任何实数x ，由（16）各.)()0()(•x f f x f =因为f (x )是单调的，所以f (x )不恒等于零. 从而.1)0(0•c f == （99）如果令••mn x y.=-=那末由（16）又得 .1)0(==⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-f m n f m n f 所以.11•c c m n f m n f m nm n -==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛- （100） （98），（99），（100）表明，对于任何有理数r ，满足函数方程（16）的是指数函数.)(•c r f r =对于自变量为无理数的情形，推证方法和例19，20类似，这里从略. 总之，函数方程（16）的解是指数函数.)(•c x f x =由此可见，放射性物质的衰变规律服从指数函数. 进一步研究得知，1克的放射性物质经过时间x 年后，剩余的放射性物质为.)(•e x f x λ-=就是说，指数的底.e •c = 而λ是一个与具体放射性物质有关的常数.[例22] 解函数方程.)()()(•y f x f xy f += （101）函数的定义域是正实数.解 在（101）中，如果令y =1，就有.)1()()(•f x f x f +=∴ f (1)=0. （102）又由（101）容易推得.)()()()(2121•x f x f x f x x x f n n +++=令•x x x x n ,21==== 即得.)()(•x nf x f n = （103）在上式中，以nx 代x ，又得.)()(•x nf x f n =∴.)(1)(•x f nx f n =（104） 设qpr =是正有理数（p ，q 是正整数）. 由（103），（104）就有 .)()(1)()(•x f q px f q x f x f p qp qp === （105） 在函数方程（101）中，如果令xy1=，就得 .0)1(1)(•f x f x f ==⎪⎭⎫⎝⎛+∴,)(1•x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛ 或者.)()1()(1•x f x f -=- （106）仍设r 是正有理数. 于是由（106），（103）有.)()()(])[()(1•x f r x f x f x f r r r -=-==-- （107）此外.)(00)1()(0•x f f x f ∙=== （108）综合（105），（107），（108）所得结果，证明了对于任何有理数r ，都有.)()(•x rf x f r =当指数为无理数α时，仿照例19，20那样，可以证明.)()(•x f x f α=α （109）因而有.)()(•x yf x f y = （110）其中y 是任何实数.因为f (x )是单调的，所以不能恒等于零. 从而存在着值x=c ，使得0)(≠c f . 在（110）中，令••c f •y c •x .)(1,==可得 .1][)(1•cf c f =记)(1c f c=•a •.那末有.1)(•a f =于是.)()(y •a yf a f y ==令x •y •ax a y •log ,-==或，可得 x x f a log )(=.这就是说，函数方程（101）的解是对数函数. 值得指出的是，例19所讨论的函数方程（79）.)()()(•y f x f y x f +=+是一个很重要的方程. 这方程是由柯西最早加以研究的，后来就叫做柯西函数方程. 我们立即就会看到，柯西函数方程在解函数方程上的作用：有许多其它函数方程，都可以通过适当方法转化为柯西函数方程，从而获得解答. 试看以下例子.[例23] 用柯西方程解例20中的函数方程.)()(22•y f x f y x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 解 设f (0)=a . 由所给的函数方程得.])([21)]0()[(21202•a x f •f x x f x f +=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 由此又有.)([212)]()([21a •y x f y x f y f x f ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ ∴.)()()(a •y f x f y x f -+=+ （111）设a x f x g -=)()(，就有•a •y f y •g a •y x f y x g .)()(,)()(-=-+=+代入（111），即得.)()()(•y g x g y x g +=+ （112）这方程正是柯西函数方程. 所以有.)(cx •x g =∴.)(a •cx x f +=这和我们在例20中所获得的结果是一致的，但解答过程却简短多了.[例24] 用柯西方程解例21中的函数方程.)()()(•y x f y f x f +=解 我们首先证明••x f .0)(>由所给的函数方程得知.022222)(2•x f x f x f x x f x f ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛+= 这就是说，对于x 的任何实数值，f (x )的值是非负数. 我们进一步证明，对于x 的任何实数值，f (x )不能是零. 实际上，一旦存在某个x 0，能使f (x 0)=0. 那末f (x )将恒等于零. 这是因为.0)()(])[()(0000•x f x x f x x x f x f =-=+-=这样一来，就与我们在本节初对f (x )的单调性要求相矛盾了. 总之，对于任何实数x ，总有••x f .0)(>在所给的函数方程两边同时取对数，即得.)(log )(log )(log •y f x f y x f a a a +=+设)(log )(y x f x g a+=，就有.)()()(•y g x g y x g +=+这样就把原函数方程化成了柯西方程. 柯西方程的解是正比例函数.)(1x •c x g =∴.)(l o g 1x •c x f a = 即,)()(11•c a a x f x x c x c ===这里，1ca c =. 所得的结果和例21相同.练习与解答练习13 用柯西方程解函数方程)0(.)()()()()(≠+=+x ••y f x f y f x f y x f解 由原方程得.)(1)(1)()()()()(1•y f x f y f x f y f x f y x f +=+=+ 设•x f x .)(1)(=ϕ 就有.)()()(•y x y x ϕ+ϕ=+ϕ这是柯西方程.∴ .)(cx •x =ϕ.1)(•x acx x f == 这里，••c •a .1=所给函数方程的解是反比例函数.练习14 用柯西方程解例22中的方程.)()()(•y f x f xy f +=解 因函数)(x f 的定义域是正实数. 故可设•y ••v x •u b b ,log ,log ==或.,•b •y •b x v u == 代入原函数方程得.)()()(•b f b f b f v u v u +=+令.)()(•b f t t =ϕ就有.)()()(•v u v u +ϕ+ϕ=+ϕ这是柯西方程.∴ .)(cu •u =ϕ所以有.log )()()(x •c cu u b f x f b u ==ϕ==设••b a c .1=则.log loglog log 1x •x x x c a c b c b b === ∴.log )(x •x f a =所给函数方程的解是对数函数.练习15 利用函数方程 .)()()(•y f x f y x f =+的解是指数函数x c x f =)(这一结果（例21，24），解定义在正实数上的函数方程 .)()()(•y f x f xy f =解 设••b •y •b •x •y ••v x •u v u b b .,,log ,log ====或代入原函数方程，得.)()()(•b f b f b f v u v u +=+令.)()(•b f t t =ϕ就有.)()()(•v u v u ϕϕ=+ϕ∴ .)(•a u u =ϕ,.)()()(log log log •x •a ••a a u b f x f a x x u u b b b ===ϕ==令•a •c b ,log =就有 .)(•x x f c =所给函数方程的解是幂函数.。
求函数方程的六种常用方法
求函数方程的六种常用方法函数方程是数学中常见的问题类型，解决函数方程需要运用不同的方法和策略。
以下是六种常用的方法：1. 代入法代入法是最常见也是最简单的求解函数方程的方法。
通过将变量代入方程中，并解方程，即可得到函数的解。
这种方法适用于一些简单的函数方程，如一次函数或二次函数。
2. 类比法类比法是通过观察已知函数方程的形式和性质，找到与之类似的函数方程，并利用已知函数的性质来求解。
这种方法常用于解决一些特殊类型的函数方程，如指数函数方程或三角函数方程。
3. 分离变量法对于涉及到多个变量的函数方程，可以使用分离变量法将方程分离成两个单独的函数方程。
然后，对每个单独的函数方程进行求解，并将求解结果合并，得到原函数方程的解。
4. 微分法微分法在求解函数方程中起到重要的作用。
通过对函数方程进行微分，得到新的微分方程。
然后，通过求解微分方程来求解函数方程。
这种方法适用于一些复杂的函数方程，如高阶导数方程。
5. 极限法极限法是一种在数学分析中常用的求解函数方程的方法。
通过观察函数在某些特殊点的极限值，确定函数的性质和解的存在性。
然后，通过运用极限的性质来求解函数方程。
6. 变量替换法变量替换法是将函数方程中的变量进行替换，将复杂的函数方程转化为简单的函数方程。
然后，通过求解简化后的函数方程来求解原函数方程。
这种方法常用于处理一些复杂的函数方程，如三角函数方程或指数函数方程。
以上六种方法是求解函数方程常用的策略，具体应根据具体的函数方程类型来选择合适的方法。
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(一)、换元法
换元法又叫定义法，它是已知复合函数及复合函数的内函数，求外函数，从而求出函数的表达式的一种方法。是解函数方程的基本方法之一。也就是对函数方程进行适当的变量代换，得到一个新的函数方程，从而得到原方程的解。
例1.1设 且 ，求解 。
解：不妨设 ，则有
故
所以有
例1.2已知 ，求 ；
令 代入(1)我们有
………………………………(4)
(2)＋(3)－(4)得
即为所求，
常见赋特殊值有0,1，-1等；此方法的特点是当函数方程的自变量多于一个时，将其中的一个或几个自变量用一些特殊值代入，常常可以简化方程，或求得未知函数在某些特殊点的值。这样就能够得到以简取萦、化难为易的效果。
（五）、解方程组法
例3.1定义在正整数上的函数 ,且 求
解: 令 ,有 即
取 得
累加得
所以
例3.2已知 是定义在自然数集 上的函数，满足 ，且对任意 ，有： ，求 .
解由已知的函数方程，令 ，且 ，得
化简后，可得
令
……
累加得
将 代入，经过化简可得
故 即为所求。
若 是定义在自然数集 上的函数. (确定常数) , 如果存在一个递推(或递归) 关系 ,当知道了前面 项的值 由 可唯一确定 的值, 那么称 为 阶递归函数. 递推法(或递归)是解决这类函数方程的重要方法.
（1）+（2）-（3）解之，可得
例5.3求解函数方程 …（1）
解：令 ，我们可以得到
于是（1）即为 ………………（2）
将（2）中的 换为 可得
………………………（3）
将（3）中的 换为 可得
………………………（4）
同理可得到
……………………………（5代是特殊的函数复合形式，在现代数学中有一定的地位，通常我们使用数学归纳法来求解。
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关键词：函数方程；赋值法；数学归纳法；柯西法；解法
Discussion on the function equation
Abstract
As everyone knows, in mathematics has two kinds of different equations, one of a kind as our high school algebra equations, trigonometric equation and so on, his solution is just the individual value; and another class as we in the mathematical analysis in contact with the implicit function equation, her solution is a function, we collectively referred to as function equation. Function equation in our daily life has play a decisive role in the low, so the study of function equation solution value is very important and necessary. Function solution of the equation the myriads of changes, the early eighteenth Century, Euler, Lagrange, master of mathematics has been using function equation to solve the problem, the famous mathematician Cauchy had the following function equation to make an in-depth study,, and created a solution of function equation important method: Cauchy method. Function equation of inquiry can not only broaden our understanding of the function, it is involved in numerous mathematical science plays an important role, so it is necessary to function more thorough and wide-ranging discussion, in order to function equation has a comprehensive knowledge and understanding. This paper focuses on the function equation of some important and commonly used method, simple enumerate someof examples of a series of methods and tries to sum up.
例6.1 ，若
……………………………………………（1）
求 ；
；
，
猜想 ………………………………………（2）
设 时（2）成立，则当 ，我们可以得到
。
故 即为所求。
数学归纳法常用来求定义在自然数上函数方程的解。所以数学归纳法的原理通常被规定为自然数公理。由自然数集N的任何非空子集必有最大数。产生第二数学归纳法：（1）若F(1)成立（2）假设 时F(n)成立，若F(R+1)也成立，则F(n)成立；
∴由方程组（2）（3）（4）得
即：
例5.2设 ，且 ……………（1）
求 .
解： 从原方程的形式可以看出，作变量代换 是有作用的，代入（1）得 ，把这个式子中的 改写成 ，得
………………………………（2）
再令 ，代入（1）中可得
把 换成 ，可得 ……………………………（3）
把（1）、（2）、（3）联立，就可以看成是一个关于 的三元一次方程组。
例2.1对任意 R，函数满足 且 试求函数方程的解．
解：根据方程的结构，我们先求出形如 的解，其中 是待定
常数．将 代入方程得：
即
所以 ，解得
再设原方程的解为 其中A，B是常数
由 得A=-2，B=3
故原方程解为 ；
例2.2若 为多项式函数， ，求
解： 为多项式函数，而 、 不改变多项式的次数
故 为二次函数，不妨设
解：由题可知，令 ，则有
由此可得
化简之
故有
在使用换元法时，最好要要遵循有利于标准化有利于运算的基本原则，还需注意的是换元后勿忘还元，而且换元后要注意变量范围的确定，一定要使新变量的取值范围相对应于原变量的取值范围，不能扩大也不能缩小。
（二）、待定系数法
当我们知道函数的类型及函数的某些特征，我们可以用待定系数法来解更为方便简洁。其基本解题步骤为（1）确定所求问题含待定系数的解析式；（2）根据恒等条件，列出含待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数。
（三）递推法……………………………………………………3
（四）赋值法………………………………………………………5
（五）解方程组法………………………………………………5
（六）数学归纳法………………………………………………7
（七）不动点法…………………………………………………8
（八）参数法………………………………………………………9
（九）柯西法……………………………………………………………10
（十）解微分方程法……………………………………………………11
结束语……………………………………………………………………13
参考文献…………………………………………………………………13
前言
如果函数 在其定义域内的一切值均满足所给函数方程，那么称 是该函数方程的解。函数方程的解是一个或几个，甚至无限多个函数。有关函数方程方面的 题目大致可分为三类：确定函数的表达式；确定满足函数方程的函数的性质；确定函数的值。在中学的数学竞赛中也经常遇到与函数方程求解相关的问题,这类问题的分析,主要是直接求解某一给定的函数方程或根据数学实际问题写出函数方程后再求解其它拓展问题。求解这类题型是有一定难度的,这些困难同函数方程本身有关,因为暂时探索出解函数方程的方法还不全面,大量的函数方程至今仍未解出，本文重点介绍从函数方程中抽象、概括出来的几类常用的函数方程解法的分析。
Key words: Function equation, Assignment method, Mathematical induction, Cauchy method, Solution
前言
一．解函数方程的方法
（一）换元法……………………………………………………1
（二）待定系数法………………………………………………2
有
故
可有
故 即为所求，也可以验证它满足题目中的条件需求。
一般的，已知函数的类型（有理函数、指数函数、对数函数、幂指函数等等）或函数的某些特征（如已知函数在某一特殊点的值或周期性、对称性等），都可以考虑是否可以用待定系数法来求解。