2012年上海市春季高考数学试题及答案解析
参 考答案
一、选择题 1． 3 2． [1, ) 3． (2, 0) 4． 1 i 5． 6． x 1 7． 1 8 ． 2 9． 5 10． 2 11．
14 15
12． ( , 2] 二、填空题 13． 1006 14． 8 15．D 16．B 三、解 答题 17．D 18．C 19 ．解（ 1 ） SABC 1 ，又 CC1 为三棱锥 C1 MBC 的高，
[答］ （
）
(D) m 与 n 异面、相交、平行均有可能.
18.设 O 为 ABC 所在平面上一点.若实数 x、y、z 满足 xOA yOB zOC 0 （ ( x 2 y 2 z 2 0) ，则“ xyz 0 ”是“点 O 在 ABC 的边所在直线上”的[答］ (A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充分必要条件. ）
1 2
1 1 2 4
1 1 1 1 VC1 MBC SABC CC1 2 3 3 4 6
（2） CD / / AB ，所以 C1MB 或其补角为导面直线 CD 与 MC1 所 成的角。 连 接 BC1 , AB 平 面 BCC1 B, AB BC1 ， 在 Rt MBC1 中 ，
＿＿＿＿＿＿个. 二．选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确 的，考生必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 5 分，否则一律得零分.
15.已知椭圆 C1 :
x2 y2 x2 y2 1, C 2 : 1, 则 12 4 16 8
D1 A1 B1 C1
M 为线段 AB 的中点.求：
（1）三 棱锥 C1 MBC 的体积； （2）异面直线 CD 与 MC1 所成角的大小（结果用反三角函数值 表示）
D A M B
C
20. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分 . 某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为 30 千米（忽略内、外环线长度差异）. （1）当 9 列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为 10 分钟，求内环线列车的最小 平均速度； 外环线列车平均速度为 30 千米/小时.现内、 （2） 新调整的方案要求内环线列车平均速度为 25 千米/小时， 外环线共有 18 列列车全部 投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过 1 分钟，问：内 、 外环线应名投入几列列车运行？
2
13.已知等差数列 {an } 的首项及公差均为正数， 令 bn
an a2012 n ( n N * , n 2012). 当 bk 是数列
{bn } 的最大项时， k ＿＿＿＿.
14.若矩阵
a11 a12 a11 a12 则这样的互不相等的矩阵共有 ＝0 ， 满足：a11 , a12 , a21 , a22 {1,1}, 且 a a a a 21 22 21 22
0 的解为＿＿＿＿＿＿＿.
2 3 4 5
7.若 (2 x 1) a0 a1 x a2 x a3 x a4 x a5 x , 则 a0 a1 a2 a3 a4 a5 ＿＿＿.
5
8.若 f ( x )
( x 2)( x m ) 为奇函数，则实数 m ＿＿＿＿＿＿. x
9.函数 y log 2 x
4 ( x [2, 4]) 的 最大值是＿＿＿＿＿＿. log 2 x
10.若复数 z 满足 | z i |
2( i 为虚数单位 ) ，则 z 在复平面内所对应的图形的面积为＿＿＿＿.
11.某校要从 2 名男生和 4 名女生中选出 4 人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、 女都有的概率为＿＿＿＿＿＿(结果用数值表示). 12.若不等式 x kx k 1 0 对 x (1, 2) 恒成立，则实数 k 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
BC1 4 1 5, MB
tan C1MB
1 2
5 2 5 ，故C1MB arctan 2 5 ，即异面直线 1 2
CD 与 MC1 所成的角为 arctan 2 5
20．解： （1）设内环线列车运行的平均速度为 v 千米/小时，由题意可知，
30 60 10 v 20 9v
b2 b1 21 1, b3 b2 (1)(22 2),, bn1 bn2 (1)n1 (2n2 n 2), bn bn1 (1)n (2n1 n 1)
（2）已知 h( x ) cos( x ) 2cos x , 且 h( x ) S , 求其“相伴向量”的模； （3）已知 M (a , b )(b 0) 为圆 C : ( x 2)2 y 2 1 上一点，向量 OM 的“相伴函数” f ( x ) 在 x x0 处取得最大值.当点 M 在圆 C 上运动时，求 tan 2 x0 的取值范围。
（2）双曲线 C1 的渐近线方程为 y 2 x ，设 A( x1 , 2 x1 ), B( x2 , 2 x2 )
2 y2 x 4 0 由 3x 2 2mx m 2 0 ，由 16m 2 0 m 0 y x m
又因为 x1 x2
*
车时间之差不超过 1 分钟。 21．解（1）双曲线 C1 的焦点坐标为 ( 5, 0), ( 5, 0) ，设双曲线 C2 的标准方程为
x2 y2 1(a 0, b 0) ， a2 b2
a 2 b 2 5 a 2 4 x2 则 ，所以双曲线 的标准方程为 C2 y2 1。 16 3 2 4 2 2 1 b 1 a b
n3 ， 2n 7
由 bn 1 bn 0 n 4 ，即 b4 b5 b6 ；由 bn 1 bn 0 n 4 ，即 b1 b2 b3 b4
k 4 。
（3）由 an 1 an ( 1)
n 1
bn 1 bn (1) n 1 (2n n) ，故 bn bn1 (1)n (2n1 n 1)(n 2, n N * ) ，
21. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题 ，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 已知双曲线 C1 : x
2
y2 1. 4
（1）求与双曲线 C1 有相同的焦点，且过点 P (4, 3) 的双曲线 C 2 的标准方程； （2）直线 l : y x m 分别交双曲线 C1 的两条渐近线 于 A、B 两点.当 OAOB 3 时，求实数 m 的值。
2012 年上海市普通高等学校春季招生考试数学卷
（本试卷共 23 道试题，满分 150 分，考试时间１２０分钟） 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．每个 空格填对得４分，否则一律得零分． 1.已知集合 A [1, 2, k }, B {2, 5}. 若 A B {1, 2, 3, 5}, 则 k ＿＿＿＿＿＿. 2.函数 y
f ( x ) a sin x b cos x 的“相伴向量”为 OM (a , b ) （其中 O 为坐标原点）.记平面内所有向量的“相
伴函数”构成的集合为 S . （1）设 g ( x ) 3sin( x
2
) 4sin x , 求证： g( x ) S ;
2
x 1 的定义域为＿＿＿＿＿＿＿.
3.抛物线 y 8 x 的焦点坐标为＿＿＿＿＿＿＿. 4.若复数 z 满足 iz 1 i ( i 为虚数单位 ) ，则 z ＿＿＿＿＿＿＿. 5.函数 f ( x ) sin(2 x 6.方程 4 2
x x 1ຫໍສະໝຸດ 4) 的最小正周期为＿＿＿＿＿＿＿.
n
1 ( 1)n . 当 b1 1 时，求数列 {bn } 的通项公式. 2
23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9 分. 定义向量 OM ( a , b ) 的“相伴函数”为 f ( x ) a sin x b cos x; 函数
22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题 满 分 6 分. 已知数列 {an }、 {bn }、{cn } 满足 (an 1 an )(bn1 bn ) cn ( n N ).
*
（1）设 cn 3n 6,{an } 是公差为 3 的等差数列.当 b1 1 时，求 b2、b3 的值； （2）设 cn n 3 , an n 2 8n. 求正整数 k , 使得一切 n N * , 均有 bn bk ; （3）设 cn 2 n, an
2
m2 ，而 OA OB x1 x2 2 x1 ( 2 x2 ) 3 x1 x2 3
所以 m 3 m 3 。 22．解： （1） an 1 an 3, bn 1 bn n 2 ， b1 1, b2 4, b3 8 （2）由 an 1 an 2n 7 bn 1 bn
（B） C1 与 C 2 长轴长相同. （D） C1 与 C 2 焦距相等.
1
[答］ （
）
(A) C1 与 C 2 顶点相同. (C) C1 与 C 2 短轴长相同. 16.记函数 y f ( x ) 的反函数为 y f
( x ). 如果函数 y f ( x ) 的图像过点 (1, 0) ，那么函数
[答］ （ ）
y f 1 ( x ) 1 的图像过点
2012年普通高等学校招生全国统一考试理数上海卷pdf版含答案
f (θ ) =
1
sin(
π 6
−θ
)
.
O
M
x
11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有
两人选择的项目完全相同的概率是
2 3
（结果用最简分数表示）.
12．在平行四边形
ABCD
中，∠A=
π 3
,
边 AB、AD 的长分别为 2、1.
若 M、N 分别
是边 BC、CD 上的点，且满足 | BM | = | CN | ，则 AM ⋅ AN 的取值范围是 [2, 5] . | BC | | CD |
3．函数 f (x) = sin x
−1
的值域是 [−
5 2
,
−
3 2
]
.
4．若 n = (−2, 1) 是直线 l 的一个法向量，则 l 的倾斜角的大小为 arctan2 （结果用反
三角
函数值表示）.
5．在 (x − 2 )6 的二项展开式中，常数项等于 -160 . x
6．有一列正方体，棱长组成以
A
设 AE 与 BC 的夹角为，则
cosθ = AE⋅BC = 4 = | AE||BC| 2×2 2
2 2
，=
π 4
.
B x
由此可知，异面直线
BC
与
AE
所成的角的大小是
π 4
[解法二]取 PB 中点 F，连接 EF、AF，则
P
EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线
E Dy
C ……12 分
BC 与 AE 所成的角
ξ 概率均为 0.2，随机变量
2 取值
x1 + x2 2
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(上海卷,含答案)
2
2
2
2
2
为 1、 2 的方差，则（
）
A． D 1 D 2
B
．D 1 D 2
C． D 1 D 2
D
． D 1 与 D 2的大小关系与 x1、 x2、 x 3、 x4 的取值有关
【答案】 A
18．设 an
1n sin ， Sn
n 25
a1 a 2
a n ，在 S1 , S2 , , S100 中，正数的个数是（
.
【答案】 1
10．如图，在极坐标系中，过点 M ( 2,0) 的直线 l 与极轴的夹角
若将 l 的极坐标方程写成
f ( ) 的形式，则 f ( )
.
，
6
1
【答案】
sin( ) 6
11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项
目完全相同的概率是
（结果用最简分数表示） .
2012 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（上海卷，含答案）
一．填空题
1．计算：
3-i =
1+i
【答案】 1-2i
（ i 为虚数单位） .
2．若集合 A { x | 2x 1 0} ， B { x || x 1| 2} ，则 A B
.
【答案】
1 ,3
2
2 cos x
3．函数 f (x)
的值域是
c2
1
3
二、选择题（ 20 分）
15．若 1 2i 是关于 x 的实系数方程 x2 bx c 0 的一个复数根，则（
）
A． b 2,c 3 B ． b 2,c 3 C ． b 2,c 1 D ． b 2, c 1
2012年高考文科数学上海卷-答案
4
4
【考点】直线与直线，直线与平面的位置关系，空间中两条异面直线所成的角的求解，空间几何体的体积公
式的运用。
20【. 答案】（1）解：由
轴上截距的最小值，当该直线过点 A(2,0) 时， z 有最小值，此时 zmin 2 。
6
4
2
B y=x+z
10
5
C
A
5
10
D
2
4
6
【提示】准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点 A(2,0) 时， z 有最小值，此时 zmin 2 ， 结合图形可求。 【考点】简单线性规划。 11.【答案】 2
方程组
1
b
c
0
，解方程得出 a，b 的值即可选出正确选项。
2 2 2b 0
【考点】复数代数形式的混合运算，复数相等的充要条件。
16.【答案】B
m 0 【解析】方程 mx2 ny2 1 的曲线表示椭圆，常数 m, n 的取值为 n 0 ，所以，由 mn 0 得不到程
【考点】复数代数形式的乘除运算。
2.【答案】
1 2
,1
【解析】由题意得，
A
{x
|
2x
1＞0}=
x
|
x
1 2
，
A
{x
|
2x
1
0}=
x
|
x
1 2
，
∴A
B
1 2
,1
，故答案为：
1 2
,1
【提示】由题意，可先化简两个集合 A，B，再求两个集合的交集得到答案。
2012年理数高考试题答案及解析-上海-(5444)
2012上海高考数学试题（理科）答案与解析一．填空题1．计算：3-i =1+i（i 为虚数单位）.【答案】1-2i【解析】3-i (3-i)(1-i)2-4i ===1-2i 1+i(1+i)(1-i)2.【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可.2．若集合}012|{x x A ，}2|1||{x x B，则BA.【答案】3,21【解析】根据集合 A 210x ，解得12x，由12,,13x x 得到，所以3,21BA .【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决.3．函数1sin cos 2)( x x x f 的值域是.【答案】23,25【解析】根据题目22sin 212cos sin )(x x x x f ，因为12sin 1x ，所以23)(25x f .【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质.4．若)1,2(n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】2arctan 【解析】设直线的倾斜角为，则2arctan ,2tan.【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.5．在6)2(xx的二项展开式中，常数项等于.【答案】160【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333462C ()160T x x.【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，n V V V 21，则)(lim 21n nV V V .【答案】78【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21n nV V V .【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.7．已知函数||)(a x ex f （a 为常数）.若)(x f 在区间),1[上是增函数，则a 的取值范围是.【答案】1,【解析】根据函数,(),x ax ax ae x af x eexa看出当a x 时函数增函数，而已知函数)(x f 在区间,1上为增函数，所以a 的取值范围为：1,.【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为.【答案】33【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l ，根据条件得到2212l ，解得母线长2l ，1,22r l r 所以该圆锥的体积为：331231S 3122h V 圆锥.【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题.9．已知2)(x x f y是奇函数，且1)1(f ，若2)()(x f x g ，则)1(g .【答案】1【解析】因为函数2)(xx f y为奇函数，所以,3)1(,1)1(,2)1()1(g f f g 所以，又1232)1()1(,3)1(f g f .(1)(1).f f 【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y为奇函数，所以有)()(x f x f 这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6，若将l 的极坐标方程写成)(f 的形式，则)(f .【答案】)6sin(1【解析】根据该直线过点)0,2(M ，可以直接写出代数形式的方程为：)2(21xy，将此化成极坐标系下的参数方程即可，化简得)6sin(1)(f .【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题，难度适中.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.【答案】32【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32.【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.12．在平行四边形ABCD 中，3A，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||||||CD CN BC BM ，则AN AM 的取值范围是.【答案】5,2【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2AD AB ，所以51(0,0),(2,0),(,1)(,1).22A B C D 设1515515151(,1)(), ,- ,- ,(2,()sin ).22224284423N x xBMCN CNx BMx M x x 则根据题意，有)83235,4821(),1,(xx AMx AN . 所以83235)4821(x x x AN AM 2521x，所以2 5.AM AN 642246105510ADCBMN 【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13．已知函数)(x f y 的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y （10x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为.【答案】45【解析】根据题意得到，110,02()11010,12x x f x x x从而得到22110,02()11010,12x x yxf x xx x 所以围成的面积为45)1010(10121221dxx xxdxS，所以围成的图形的面积为45.【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2BC ，若c AD 2，且a CDACBD AB 2，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是.【答案】13222cac 【解析】据题a CDACBDAB 2，也就是说，线段CD ACBD AB与线段的长度是定值，因为棱AD 与棱BC 互相垂直，当ABD BC平面时，此时有最大值，此时最大值为：13222cac .【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题.二、选择题（20分）15．若i 21是关于x 的实系数方程02c bx x的一个复数根，则（）A ．3,2cb B ．3,2c b C ．1,2c bD ．1,2c b【答案】B【解析】根据实系数方程的根的特点12i 也是该方程的另一个根，所以b i i 22121，即2b ，c i i 3)21)(21(，故答案选择 B.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16．在ABC 中，若C BA222sin sin sin ，则ABC 的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定【答案】C【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A Ra 代入得到222abc ，由余弦定理的推理得222cos 02abcCab，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择 A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.17．设443211010x x x x ，5510x ，随机变量1取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2取值222221554433221x x x x x x x x x x 、、、、的概率也均为2.0，若记21DD 、分别为21、的方差，则（）A ．21D D B ．21D D C ．21DDD ．1D与2D的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关【答案】 A【解析】由随机变量21,的取值情况，它们的平均数分别为：1123451(),5x x x x x x ，2334455112211,522222x x x x x x x x x x x x 且随机变量21,的概率都为2.0，所以有1D＞2D.故选择 A.【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题.18．设25sin1n na n，n n a a a S 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（）A ．25B ．50C ．75D ．100【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（74分）：19．（6+6=12分）如图，在四棱锥ABCD P 中，底面ABCD 是矩形，PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2AB，22AD ，2PA，求：（1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小. 【答案及解析】所以三角形PCD 的面积为3232221................6分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20．（6+8=14分）已知函数)1lg()(x x f ．（1）若1)()21(0x f x f ，求x 的取值范围；（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10x时，有)()(x f x g ，求函数)(x g y（]2,1[x）的反函数.【答案及解析】，3132x【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题．21．（6+8=14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7．（1）当5.0t时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（4+6+6=16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：1222yx．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122yx相切，求证：OQ OP；（3）设椭圆2C ：1422yx，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且ON OM，求证：O 到直线MN 的距离是定值. 【答案及解析】过点A 与渐近线x y 2平行的直线方程为22,2 1.2y xyx 即1ON ，22OM,则O 到直线MN 的距离为33.设O 到直线MN 的距离为d .【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题．23．（4+6+8=18分）对于数集}1{21n x x x X，，，，，其中n x x x 210，2n ，定义向量集},),,(|{X tX s t s a a Y ，若对任意Y a 1，存在Y a 2，使得021a a ，则称X 具有性质P ．例如}2,1,1{具有性质P ．（1）若2x，且},2,1,1{x 具有性质P ，求x 的值；（2）若X 具有性质P ，求证：X 1，且当1n x 时，11x ；（3）若X 具有性质P ，且11x 、q x 2（q 为常数），求有穷数列n x x x ，，，21的通项公式.【答案及解析】必有形式),1(b 显然有2a 满足021a a【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“X具有性质P”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。
2012年高考文科数学上海卷有答案
数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)考生注意：1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚,并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题,满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.计算：3i1i－＋= （i 为虚数单位）. 2.若集合{|21A x x =-＞0},{|||B x x =＜1},则A B = .3.函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是 .4.若=(2,1)d 是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.5.一个高为2的圆柱,底面周长为2π.该圆柱的表面积为 .6.方程14230xx +--=的解是 .7.有一列正方体,棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列,体积分别记为12,,,,n V V V 则12lim()n x V V V →∞+++= .8.在61()x x-的二项展开式中,常数项等于 .9.已知()y f x =是奇函数.若()()2g x f x =+且(1)1g =,则(1)g -= . 10.满足约束条件||2||2x y ＋≤的目标函数z y x =-的最小值是 .11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目,则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）.12.在矩形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||BM CN BC CD =,则AM AN 的取值范围是 . 13.已知函数()y f x =的图象是折线段ABC ,其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C .函数()(01)y xf x x =≤≤的图象与x 轴围成的图形的面积为 . 14.已知1()1f x x=+.各项均为正数的数列{}n a 满足11a =,2()n n a f a +=.若20102012a a =,则2021a a +的值是 .二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根,则 （ ）A .2,3b c ==B .2,1b c ==-C .2,1b c =-=-D .2,3b c =-=16.对于常数m 、n ,“0mn ＞”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的 （ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件17.在ABC △中,若222sin +sin sin A B C ＜,则ABC △的形状是（ ）A .钝角三角形B .直角三角形C .锐角三角形D .不能确定18.若*π2ππ=sin sin sin()777n n S n +++∈N ,则在12100,,,S S S 中,正数的个数是（ ）A .16B .72C .86D .100--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）三、解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC ,D 是PC 的中点.已知π2BAC ∠=,2AB =,AC =2PA =.求： （Ⅰ）三棱锥P ABC -的体积；（Ⅱ）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知()lg(1)f x x =+.（Ⅰ）若(12)()1f x f x --0＜＜,求x 的取值范围；（Ⅱ）若()g x 是以2为周期的偶函数,且当01x ≤≤时,有()()g x f x =,求函数()([1,2])y g x x =∈的反函数.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）,则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处,如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为7t .（Ⅰ）当0.5t =时,写出失事船所在位置P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向；（Ⅱ）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线22:2=1C x y －.（Ⅰ）设F 是C 的左焦点,M 是C 右支上一点.若||MF =求过M 点的坐标； （Ⅱ）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（Ⅲ）设斜率为(||k k 的直线l 交C 于P 、Q 两点.若l 与圆221x y +=相切,求证：OP OQ ⊥.23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于项数为m 的有穷数列数集{}n a ,记12max{,,,}(1,2,,)k k b a a a k m ==,即k b 为12,,,k a a a 中的最大值,并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的{}n a ； （Ⅱ）设{}n b 是{}n a 的控制数列,满足1k m k a b C -++=（C 为常数,(1,2,,)k m =）.求证：k k a b =(1,2,,)k m =；（Ⅲ）设m =100,常数1(,1)2a ∈.若(122(1)n n n a an n +=--）,{}n b 是{}n a 的控制数列,求1122100100()()()b a b a b a -+-++-.数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）A B =1,12⎛ ⎝【提示】由题意，可先化简两个集合【考点】交集及其运算。
2012年普通高等学校招生全国统一考试文数上海卷word版含答案
2012年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（文史类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1、计算：31i i-=+ （i 为虚数单位） 2、若集合{}210A x x =->，{}1B x x =<，则A B ⋂＝3、函数sin 2()1cos xf x x =-的最小正周期是4、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）5、一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为6、方程14230x x +--=的解是7、有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++= 8、在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于 9、已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -=10、满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）12、在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BC CD =，则AM AN ⋅的取值范围是13、已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为14、已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15、若12+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A 、2,3b c ==B 、2,1b c ==-C 、2,1b c =-=-D 、2,3b c =-=16、对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件17、在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ）A 、钝角三角形B 、直角三角形C 、锐角三角形D 、不能确定18、若2sinsin ...sin 777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A 、16B 、72C 、86D 、100三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝2π，2AB =，23AC =，2PA =，求：（1）三棱锥P ABC -的体积（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）PAB C D。
上海市高考数学试卷文科答案与解析
2012 年上海市高考数学试卷（文科）参照答案与试题分析一、填空题（本大题共有14 题，满分56 分）1．（ 4 分）（ 2012?上海）计算：= 1﹣ 2i（i为虚数单位）．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣ i ，再由进行计算即可获取答案解答：解：故答案为1﹣ 2i评论：本题观察复数代数形式的乘除运算，解题的要点是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数观察的重要内容，要熟练掌握2．（ 4 分）（ 2012?上海）若会合 A={x|2x ﹣ 1＞ 0} ，B={x||x| ＜ 1} ，则 A ∩B=（，1）．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由题意，可先化简两个会合 A ，B ，再求两个会合的交集获取答案解答：解：由题意 A={x|2x﹣ 1＞ 0}={x|x ＞ } ， B={x| ﹣ 1＜ x＜ 1} ，∴A∩B= （， 1）故答案为（， 1）评论：本题观察交的运算，是会合中的基本题型，解题的要点是熟练掌握交集的定义3．（ 4 分）（ 2012?上海）函数的最小正周期是π ．考点：二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：先依据二阶行列式的公式求出函数的分析式，尔后利用二倍角公式进行化简，最后依据正弦函数的周期公式进行求解即可．解答：解：=sinxcosx+2= sin2x+2∴ T==π∴ 函数的最小正周期是π故答案为： π评论：本题主要观察了二阶行列式，以及三角函数的化简和周期的求解，同时观察了运算求解能力，属于基础题．4．（ 4 分）（ 2012?上海）若 是直线 l 的一个方向向量，则 l 的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）考点 ：平面向量坐标表示的应用． 专题 ：计算题．分析：依据直线的方向向量的坐标一般为（ 1，k ）可得直线的斜率，依据 tan α=k ，最后利用反三角可求出倾斜角．解答：解： ∵ 是直线 l 的一个方向向量∴ 直线 l 的斜率为即 tan α=则 l 的倾斜角的大小为arctan故答案为： arctan评论：本题主要观察了直线的方向向量， 解题的要点是直线的方向向量的坐标一般为 （ 1，k ），同时考了反三角的应用，属于基础题．5．（ 4 分）（ 2012?上海）一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2π，该圆柱的表面积为6π ．考点 ：旋转体（圆柱、圆锥、圆台） ． 专题 ：计算题．分析：求出圆柱的底面半径，尔后直接求出圆柱的表面积即可． 解答：解：由于一个高为2 的圆柱，底面周长为2π，所以它的底面半径为： 1，所以圆柱的表面积为 S=2S 底 +S 侧 =2×12×π+2π×2=6 π．故答案为： 6π．评论：本题观察旋转体的表面积的求法，观察计算能力．6．（ 4 分）（ 2012?上海）方程 4x ﹣ 2x+1﹣ 3=0 的解是 x=log 23 ．考点 ：有理数指数幂的运算性质． 专题 ：计算题．分析：依据指数幂的运算性质可将方程4x ﹣2x+1﹣ 3=0 变形为（ 2x ） 2﹣ 2×2x ﹣ 3=0 尔后将 2xx看做整体解关于 2 的一元二次方程即可．x2x∴ （2 ） ﹣ 2×2 ﹣3=0∵2x＞ 0∴ 2x3=0∴x=log 2 3故答案x=log 23点：本主要考差了利用指数的运算性解有关指数型的方程．解的关是要将方程 4x2x+13=0 等价形（ 2x）22×2x3=0 尔后将 2x看做整体再利用因式分解解关于 2x的一元二次方程．7．（ 4 分）（ 2012?上海）有一列正方体，棱成以 1 首、公比的等比数列，体分V 1， V2，⋯，V n，⋯，（ V 1+V 2+⋯+V n）═．考点：数列的极限；棱柱、棱、棱台的体．：算．分析：由意可得，正方体的体=是以1首，以公比的等比数，由等不数列的乞降公式可求解答：解：由意可得，正方体的棱足的通a n∴=是以1首，以公比的等比数列（ V1+V 2+⋯+v n） ==故答案：点：本主要考了等比数列的乞降公式及数列极限的求解，属于基8．（ 4 分）（ 2012?上海）在的二式张开式中，常数等于20．考点：二式定理的用．：算．分析：研究常数只需研究二式的张开式的通，使得x 的指数0，获取相的 r，从而可求出常数．解答：解：张开式的通T r+16﹣ r（）rr6﹣2r令 6 2r=0 可得 r=3=x=（ 1）x常数（ 1）3= 20故答案：20点：本主要考了二式定理的用，解的关是写出张开式的通公式，同考了计算能力，属于基础题．9．（ 4 分）（ 2012?上海）已知 y=f （ x）是奇函数，若 g（ x）=f （ x） +2 且 g（ 1） =1，则 g （﹣1）= 3 ．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：计算题．分析：由题意 y=f （ x）是奇函数， g（ x）=f （ x） +2 获取 g（ x）+g（﹣ x）=f （ x） +2+f （﹣x） +2=4 ，再令 x=1 即可获取 1+g （﹣ 1） =4，从而解出答案解答：解：由题意 y=f （ x）是奇函数， g（ x） =f （ x） +2∴g（ x） +g（﹣ x） =f （ x） +2+f （﹣ x） +2=4又 g（ 1） =1∴1+g（﹣ 1） =4，解得 g（﹣ 1） =3故答案为： 3评论：本题观察函数奇偶性的性质，解题的要点是利用性质获取恒建立的等式，再利用所得的恒等式经过赋值求函数值10．（ 4 分）（ 2012?上海）满足拘束条件|x|+2|y|≤2 的目标函数z=y﹣ x 的最小值是﹣2．考点：简单线性规划．分析：作出拘束条件对应的平面地域，由z=y﹣ x 可得 y=x+z ，则 z 为直线在 y 轴上的截距，解决越小， z 越小，结合图形可求解答：解：作出拘束条件对应的平面地域，以下列图由于 z=y﹣ x 可得 y=x+z ，则 z 为直线在y 轴上的截距，截距越小，z 越小结合图形可知，当直线y=x+z 过 C 时 z 最小，由可得C（2，0），此时Z=﹣2最小故答案为：﹣2评论：借助于平面地域特点，用几何方法办理代数问题，表现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，平时是利用平移直线法确立．11．（4 分）（ 2012?上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的竞赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目同样的概率是（结果用最简分数表示）考点：古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本领件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：先求出三个同学选择的所求种数，尔后求出有且仅有两人选择的项目完整同样的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．解答：解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有 3×3×3=27 种有且仅有两人选择的项目完整同样有××=18种此中表示 3 个同学中选 2 个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有 2 种选择故有且仅有两人选择的项目完整同样的概率是=故答案为：评论：本题主要观察了古典概型及其概率计算公式，解题的要点求出有且仅有两人选择的项目完整同样的个数，属于基础题．12．（ 4 分）（ 2012?上海）在矩形ABCD 中，边 AB 、AD 的长分别为2、 1，若 M 、 N 分别是边 BC、 CD 上的点，且满足，则的取值范围是[1，4]．考点：平面向量数目积的运算．专题：计算题．分析：先以所在的直线为x 轴，以所在的直线为x 轴，建立坐标系，写出要用的点的坐标，依据两个点的地址获取坐标之间的关系，表示出两个向量的数目积，依据动点的地址获取自变量的取值范围，做出函数的范围，即要求得数目积的范围．解答：解：以所在的直线为x 轴，以所在的直线为x 轴，建立坐标系如图，∵AB=2 ， AD=1 ，∴A（ 0， 0）， B（ 2， 0）， C（ 2， 1）， D（ 0，1），设 M （ 2，b）， N（ x， 1），∵，∴b=∴，=（ 2，），∴=，∴ 1，即 1≤≤4故答案为： [1， 4]评论：本题主要观察平面向量的基本运算，看法，平面向量的数目积的运算，本题解题的关键是表示出两个向量的坐标形式，利用函数的最值求出数目积的范围，本题是一此中档题目．13．（4 分）（ 2012?上海）已知函数y=f（ x）的图象是折线段ABC ，此中A（ 0，0）、、C（ 1， 0），函数 y=xf （ x）（ 0≤x≤1）的图象与x 轴围成的图形的面积为．考点：分段函数的分析式求法及其图象的作法．专题：计算题；压轴题．分析：先利用一次函数的分析式的求法，求得分段函数f（ x）的函数分析式，从而求得函数 y=xf （ x）（ 0≤x≤1）的函数分析式，最后利用定积分的几何意义和微积分基本定理计算所求面积即可解答：解：依题意，当0≤x≤时， f （ x）=2x ，当＜ x≤1 时， f（ x） =﹣ 2x+2∴f（ x） =∴y=xf （x） =y=xf（ x）（ 0≤x≤1）的象与x 成的形的面S=+= x 3+（+x2）= + =故答案：点：本主要考了分段函数分析式的求法，定分的几何意，利用微分基本定理和运算性算定分的方法，属基14．（ 4 分）（ 2012?上海）已知，各均正数的数列{a n} 足a1=1，a n+2=f（ a n），若 a2010=a2012， a20+a11的是．考点：数列与函数的合．：合；．分析：依据，各均正数的数列{a n1n+2n1，} 足 a =1， a =f （a），可确立 a =1，=，，，利用 a=a，可得 a =（，a7201020122010舍去），挨次往前推获取a20=，由此可得．解答：解：∵，各均正数的数列{a n1n+2n} 足 a =1， a=f （ a ），∴ a =1，，， a = ，，17∵a2010=a2012，∴∴ a2010=（舍去），由a2010=得a2008=⋯挨次往前推获取a20=∴a20+a11=故答案：点：本主要考数列的看法、成和性、同考函数的看法．理解条件a n+2=f（a n），是解决的关，本合性，运算量大，属于中高档．二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分）15．（ 5 分）（ 2012?上海）若 i 是关于 A ．b=2， c=3 B ． b=2， c=﹣1 x 的实系数方程 x 2+bx+c=0 C ． b=﹣2， c=﹣1的一个复数根， 则（D ． b=﹣2， c=3）考点 ：复数代数形式的混杂运算；复数相等的充要条件．专题 ：计算题． 2分析：由题意，将根代入实系数方程x +bx+c=0 整理后依据得数相等的充要条件获取关于实数 a ， b 的方程组，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项解答：解：由题意1+i 是关于x 的实系数方程 x 2+bx+c=0∴ 1+2i ﹣ 2+b+ bi+c=0 ，即∴，解得 b=﹣ 2，c=3应选 D评论：本题观察复数相等的充要条件，解题的要点是熟练掌握复数相等的充要条件，能依据它获取关于实数的方程，本题观察了转变的思想，属于基本计算题16．（ 5 分）（ 2012?上海）关于常数 m 、n ，“mn ＞ 0”是“方程 mx 2+ny 2=1 的曲线是椭圆 ”的（ ） A ．充 分不用要条件 B ． 必需不充分条件C ． 充分必需条件D ．既 不充分也不用要条件考点 ：必需条件、充分条件与充要条件的判断．专题 ：老例题型．分析：先依据 mn ＞ 0 看能否得出方程 mx 22+ny =1 的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来考据， 再看方程 mx 2+ny 2=1 的曲线是椭圆， 依据椭圆的方程的定义， 可以得出mn ＞ 0，即可获取结论．22的曲线不必定是椭圆，解答：解：当 mn ＞ 0 时，方程 mx +ny =1比方：当 m=n=1 时，方程 mx 2+ny 2=1 的曲线不是椭圆而是圆；也许是 m ， n 都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程 mx 2+ny 2=1 的曲线是椭圆时， 应有 m ，n 都大于 0，且两个量不相等， 获取 mn ＞ 0；由上可得： “mn ＞0”是 “方程 mx 2+ny 2=1 的曲线是椭圆 ”的必需不充分条件． 应选 B ．评论：本题主要观察充分必需条件，观察椭圆的方程，注意关于椭圆的方程中，系数要满足大于 0 且不相等，本题是一个基础题．17．（ 5 分）（ 2012?上海）在 △ ABC 中，若 sin 2A+sin 2 B ＜ sin 2C ，则 △ ABC 的形状是（ A ．钝 角三角形 B ． 直角三角形 C ． 锐角三角形 D ． 不可以确立）考点 ：三角形的形状判断．：三角函数的 像与性 ． 分析：利用正弦定理将sin 2A+sin 2B ＜ sin 2C ， 化 a 2+b 2＜ c 2，再 合余弦定理作出判断即可．解答：解： ∵在 △ ABC 中， sin 2A+sin 2B ＜ sin 2C ，由正弦定理===2R 得，222a +b ＜c ，又由余弦定理得： cosC=＜ 0， 0＜C ＜π，∴＜ C ＜π．故 △ ABC 角三角形． 故 A ．点 ：本 考 三角形的形状判断，侧重考 正弦定理与余弦定理的 用，属于基 ．18．（ 5 分）（ 2012?上海）若（ n ∈N *）， 在 S1， S 2， ⋯，S 中，正数的个数是（）100A ．16B ． 72C ． 86D ． 100考点 ：数列与三角函数的 合．： 算 ； 合 ； ．分析：由于 sin ＞ 0， sin＞ 0， ⋯sin＞ 0， sin=0， sin ＜ 0， ⋯sin ＜ 0，sin=0，可获取 11314，从而可获取周期性的 律，从而得S ＞0， ⋯S ＞0，而 S=0到答案．解答：解： ∵ sin ＞ 0， sin ＞ 0， ⋯sin ＞ 0， sin =0， sin ＜ 0， ⋯sin ＜0，sin=0，∴ S 1=sin ＞ 0，S 2=sin+sin ＞ 0，⋯， S 8=sin +sin+⋯sin+sin+sin=sin+⋯+sin+sin＞ 0，⋯，S 12＞ 0，而 S 13=sin +sin+⋯+sin+sin+sin+sin+⋯+sin=0，S14=S13+sin=0+0=0 ，又 S15=S14+sin=0+sin=S1＞ 0， S16=S2＞0，⋯S27=S13=0， S28=S14=0，∴S14n﹣1=0， S14n=0（ n∈N* ），在 1，2，⋯100 中，能被 14 整除的共 7 ，∴在 S1， S2，⋯，S100中， 0 的共有 14 ，其他都正数．故在 S1， S2，⋯，S100中，正数的个数是86．故 C．点：本考数列与三角函数的合，通分析 sin的符号，找出 S1，S2，⋯，S100中，S14n﹣1=0，S14n=0 是关，也是点，考学生分析运算能力与沉稳持的度，属于．三、解答（本大共有 5 ，分74 分）19．（ 12 分）（ 2012?上海）如，在三棱P ABC中， PA⊥底面ABC ，D是 PC的中点，已知∠ BAC=， AB=2 ，， PA=2 ，求：（1）三棱 P ABC 的体；（2）异面直 BC 与 AD 所成的角的大小（果用反三角函数表示）考点：异面直及其所成的角；棱柱、棱、棱台的体．：常型；合．分析：（ 1）第一依据三角形面公式，算出直角三角形ABC 的面： S△ABC =，尔后依据 PA⊥底面 ABC ，合体体公式，获取三棱P ABC 的体；（ 2）取 BP 中点 E，接 AE 、DE，在△ PBC 中，依据中位定理获取DE ∥ BC，所以∠ ADE （或其角）是异面直BC 、 AD 所成的角．尔后在△ADE 中，利用余弦定理获取 cos∠ ADE=，所以∠ADE=arccos是角，所以，异面直BC与AD 所成的角的大小 arccos．解答：解：（ 1）∵ ∠ BAC=， AB=2 ，，∴S△ABC= ×2×=又∵ PA⊥底面 ABC ， PA=2∴三棱锥 P﹣ ABC 的体积为： V=×S△ABC×PA=；（2）取 BP 中点 E，连接 AE 、DE ，∵△ PBC 中， D、 E 分别为 PC、 PB 中点∴ DE∥ BC ，所以∠ ADE （或其补角）是异面直线BC、 AD所成的角．∵在△ADE 中， DE=2 ， AE=，AD=2∴ cos∠ ADE==，可得∠ ADE=arccos（锐角）所以，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos．评论：本题给出一个特别的三棱锥，以求体积和异面直线所成角为载体，观察了棱柱、棱锥、棱台的体积和异面直线及其所成的角等知识点，属于基础题．20．（ 14 分）（ 2012?上海）已知 f （ x） =lg （ x+1）（1）若 0＜ f （1﹣ 2x）﹣ f（ x）＜ 1，求 x 的取值范围；（2）若 g（ x）是以 2 为周期的偶函数，且当 0≤x≤1 时，g（ x）=f（ x），求函数 y=g（ x）（ x∈[1，2] ）的反函数．考点：函数的周期性；反函数；对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：（ 1）应用对数函数结合对数的运算法规进行求解即可；（ 2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．解答：解：（ 1） f（ 1﹣ 2x）﹣ f（ x） =lg （ 1﹣2x+1 ）﹣ lg （x+1 ） =lg （ 2﹣2x ）﹣ lg （ x+1），要使函数有意义，则由解得：﹣ 1＜ x＜ 1．由 0＜ lg（ 2﹣ 2x ）﹣ lg（x+1 ） =lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞ 0，∴x+1＜ 2﹣ 2x＜ 10x+10，∴．由，得： ．（ 2）当 x ∈[1， 2]时， 2﹣x ∈[0， 1]，∴ y=g （ x ） =g （x ﹣ 2） =g （ 2﹣ x ）=f （2﹣ x ） =lg （3﹣ x ），由单调性可知 y ∈[0， lg2] ，y又 ∵ x=3﹣ 10 ，∴ 所求反函数是 y=3 ﹣ 10x，x ∈[0， lg2] ．评论：本题观察对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题．21．（14 分）（ 2012?上海）海事营救船对一艘出事船进行定位： 以出事船的当前地址为原点，以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度） ，则营救船恰幸好失事船正南方向 12 海里 A 处，如图，现假设：① 出事船的挪动路径可视为抛物线；② 定位后营救船立刻沿直线匀速前去营救；③ 营救船出发 t 小时后，出事船所在地址的横坐标为 7t（ 1）当 t=0.5 时，写出出事船所在地址 P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求营救船速度的大小和方向．（ 2）问营救船的时速最少是多少海里才能追上出事船？考点 ：圆锥曲线的综合．专题 ：应用题．分析：（ 1） 时，确立 P 的横坐标，代入抛物线方程中，可得 P 的纵坐标，利用 |AP|=，即可确立营救船速度的大小和方向；（ 2）设营救船的时速为 v 海里，经过 t 小时追上出事船，此时地址为（7t ， 12t 2），从而可得 vt=，整理得，利用基本不等式，即可获取结论．解答：解：（ 1） ， P 的横坐 x P =7t= ，代入抛物 方程 中，得 P 的 坐y P=3 ． ⋯2 分由 |AP|=，获营救船速度的大小海里 / ． ⋯4 分由 tan ∠ OAP= ，得 ∠ OAP=arctan，故营救船速度的方向 北偏arctan 弧度． ⋯6分7t ， 12t 2）．（ 2） 营救船的 速 v 海里， t 小 追上出事船，此 地址 （由 vt=，整理得．⋯10 分因，当且 当 t=1 等号建立，所以v 2 ≥144×2+337=252，即 v ≥25．所以，营救船的 速最少是 25 海里才能追上出事船．⋯14 分点 ：本 主要考 函数模型的 与运用． 合适的函数模型是解决此 的关 ，属于中档 ．22．（ 16 分）（ 2012?上海）在平面直角坐 系 xOy 中，已知双曲 22C ： 2x y =1 ． （1） F 是 C 的左焦点， M 是 C 右支上一点，若 ，求点 M 的坐 ；（ 2） C 的左焦点作 C 的两条 近 的平行 ， 求 两 平行 成的平行四 形的面 ；（ 3） 斜率 k （）的直 l 交 C 于 P 、 Q 两点，若 l 与 x 2+y 2=1 相切，求 ： OP ⊥ OQ ．考点 ：直 与 曲 的 合 ；直 与 的地址关系；双曲 的 性 ． ： 算 ； 合 ； ； 化思想．分析：F 的坐 ， M （x ， y ），利用 |MF| 2=（ x+） 2+y 2，求（ 1）求出双曲 的左焦点 出 x 的范 ，推出M 的坐 ．（ 2）求出双曲 的 近 方程，求出直 与另一条 近 的交点，尔后求出平行四 形的面 ．（ 3） 直 PQ 的方程 y=kx+b ，通 直 PQ 与已知 相切，获取 22b =k +1，通求解=0． 明 PO ⊥OQ ．解答：解：（ 1）双曲C 1：的左焦点 F （），M （ x ，y ）， |MF|2=（ x+） 2+y 2，由 M 点是右支上的一点，可知x ≥，所以 |MF|==2，得 x=，所以 M （）．（ 2）左焦点F（），近方程：y=±x．F 与近y=x 平行的直方程y=（ x+），即y=，所以，解得．所以所求平行四形的面S=．（3）直 PQ 的方程 y=kx+b ，因直 PQ 与已知相切，故，即 b 2=k2+1⋯①，由，得（2k2） x22bkx b21=0 ，P（x1， y1）， Q（ x2，y2），，又 y1 y2=（ kx 1+b ）（kx 2+b）．所以=x 1x2+y 1y2=（ 1+k 2） x1x2+kb（ x1+x 2）+b2==．由① 式可知，故 PO⊥ OQ．点：本考直与曲的合，曲的合，向量的数目的用，而不求的解方法，点到直的距离的用，考分析解决的能力，考算能力．23．（ 18 分）（ 2012?上海）于数m 的有数列 {a n} ， b k=max{a 1，a2，⋯，a k}（k=1 ，2，⋯，m），即 b k a1，a2，⋯， a k中的最大，并称数列{b n} 是 {a n} 的控制数列，如1， 3，2， 5， 5 的控制数列是1， 3，3， 5， 5．（1）若各均正整数的数列{a n} 的控制数列2，3， 4， 5，5，写出全部的{a n} ．（2） {b n} 是 {a n} 的控制数列，足 a k+b m﹣k+1 =C（ C 常数， k=1，2，⋯，m），求： b k=a k （k=1 ， 2，⋯， m）．（3） m=100，常数 a∈（，1），a n=a n 2n， {b n} 是 {a n} 的控制数列，求（ b1a1） +（ b2a2） +⋯+（ b100a100）．考点：数列的用．：合；；点列、数列与数学法．分析：（ 1）依据意，可得数列{a n} ： 2， 3，4，5，1；2， 3， 4，5，2；2，3， 4，5， 3；2， 3，4， 5， 4，； 2， 3，4， 5， 5；（2）依意可得 b k+1≥b k，又 a k+b m﹣k+1=C， a k+1+b m﹣k=C，从而可得 a k+1 a k=b m﹣k+1b m﹣k≥0，整理即得；（ 3）依据，可，a4k﹣3=a（4k3）2+（ 4k 3），a4k﹣2=a（ 4k 2）2+（ 4k 2），a4k﹣1=a（ 4k 1）2（ 4k 1），a4k=a（ 4k）24k，通比大小，可得 a4k﹣2＞a4k﹣1，a4k＞ a4k﹣2，而 a4k+1＞ a4k，a4k﹣1a4k﹣2=（ a 1）（ 8k 3），从而可求得（ b1a1）+（ b2a2）+⋯+（ b100a100）=（ a2a3）+（ a6a7）+⋯+（a 98a99）=（a4k﹣2a4k﹣1）=2525（1 a）．解答：解：（ 1）数列 {a n} ： 2，3，4， 5，1；2，3，4，5， 2；2，3， 4，5，3； 2，3，4， 5，4，； 2，3， 4， 5， 5；⋯4 分（2）∵b k=max{a 1， a2，⋯， a k} ， b k+1=max{a 1， a2，⋯， a k+1} ，∴ b k+1≥b k⋯6 分∵a k+b m﹣k+1 =C， a k+1+b m﹣k=C，∴a k+1 a k=b m﹣k+1 b m﹣k≥0，即 a k+1≥a k，⋯8 分∴b k=a k⋯10 分（3） k=1 ， 2，⋯25，a4k﹣3=a（ 4k 3）2+（ 4k 3）， a4k﹣2=a（4k 2）2+（ 4k 2），a4k﹣1=a（ 4k 1）2（ 4k 1）， a4k=a（ 4k）24k，⋯12 分比大小，可得a4k﹣2＞ a4k﹣1，∵＜a＜1，∴a4k﹣1 a4k﹣2=（a 1）（ 8k 3）＜ 0，即 a4k﹣2＞ a4k﹣1；a4k a4k﹣2=2 （2a 1）（ 4k 1）＞ 0，即 a4k＞ a4k﹣2，又 a4k+1＞a4k，从而 b4k﹣3=a4k﹣3， b4k﹣2=a4k﹣2， b4k﹣1=a4k﹣2， b4k=a4k，⋯15 分∴（ b1a1） +（ b2a2） +⋯+（ b100a100）=（ a2a3）+（ a6a7）+⋯+（ a98a99）=（ a4k﹣2 a4k﹣1）=（ 1 a）（ 8k 3）=2525 （ 1 a）⋯18 分点：本考数列的用，侧重考分析，抽象看法的理解与合用的能力，（3）察，分析找律是点，是．。
2012年普通高等学校招生全国统一考试 理数(上海卷)解析版
2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理）【试卷总评】2012年上海高考数学试卷的考题，着重考查高中数学的基本知识与基本内容。
试题本着有利于推进素质教育、有利于高校选拔新生、有利于培养学生创新和实践能力的原则来设计的。
考题紧紧围绕教材，一道两人同一天生日的客观题是教材的例题改编，也是概率论的经典问题，用以说明有些直观想法可能与实际结果相差很远，间接告诉人们要理性分析科学问题。
另一个随机变量的数学期望问题也来自教材，但改编成一个马老师和牛同学的小故事，题目只要知道概率和为1和数学期望的求法，比较容易得分。
考题中有个别小题具有一定难度。
例如，理科14题考查二分法，但与通常求函数零点的问题有所不同，它要找一个线段上到原点距离为2的点，通常二分法的结论很明显，而考题把这点隐含在设问之中；又如理科23题的第3小题，有3个分层评分的情形，理解了问题的定义后，考生可以依据自己的剩余时间和平时对数学问题的钻研程度决定选做的情形。
理科的22题的第3小题关键是如何根据不同的情况理出正确的思路。
少量有一定难度试题的设计，是为了进一步考察那些能力较强的考生。
考题弱化了对计算器的依赖，试题的设计尽可能避免利用计算器直接给出答案，从而提醒考生，不能用计算器代替数学学习和分析。
今年的主观题中没有应用题，也没有难度较大的圆锥曲线内容的考题。
并不是命题组对这两类问题的忽视，而是表明命题没有严格的套路，试卷的结构和形式不能走入“八股”的模式。
本次试卷一个明显特点是考查考生对数学概念的领悟能力。
多个题目本身不难，大多数考生可以解答。
若不加分析就计算，可能就会失分。
要是先进行分析和探索，综合自己掌握的数学知识，对问题找到合适的切入点，问题就迎刃而解。
较难的几个小题，估计不少同学可以部分得分，但满分恐怕只有那些平时想问题较深入的考生可以获得。
整卷的试题计算量较小，总体难度中等偏易，鼓励考生理解数学概念的本质，提高分析问题的能力。
2012年高考理数真题试卷(上海卷)及解析
2012年高考理数真题试卷（上海卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.若1+ √2 i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A.b=2，c=3B.b=﹣2，c=3C.b=﹣2，c=﹣1D.b=2，c=﹣12.在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定3.设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104， x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x1+x22、x2+x32、x3+x42、x4+x52、x5+x12的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）A.Dξ1＞Dξ2B.Dξ1=Dξ2C.Dξ1＜Dξ2D.Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（题型注释）4.计算：3−i1+i= （i为虚数单位）．5.若n→=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）．6.在(x−2x)6的二项展开式中，常数项等于．7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，Vn，…，则limn→∞（V1+V2+…+Vn）═．8.已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．答案第2页，总14页…外…………○…………装………○…………订………线………※※请※※不※※※※在※※装※※订※※线※※内…内…………○…………装………○…………订………线………9.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 ．10.已知y=f （x ）+x 2是奇函数，且f （1）=1，若g （x ）=f （x ）+2，则g （﹣1）= ． 11.如图，在极坐标系中，过点M （2，0）的直线l 与极轴的夹角a= π6 ，若将l 的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f （θ）= ．12.在平行四边形ABCD 中，∠A= π3 ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM|→|BC|→ =|CN|→|CD|→，则 AM →⋅AN →的取值范围是 ．13.已知函数y=f （x ）的图象是折线段ABC ，其中A （0，0）、B （ 12 ，5）、C （1，0），函数y=xf （x ）（0≤x≤1）的图象与x 轴围成的图形的面积为 ．14.如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 ．三、解答题（题型注释）15.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知AB=2，AD=2 √2 ，PA=2，求：（1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小． 16.已知f （x ）=lg （x+1）（1）若0＜f （1﹣2x ）﹣f （x ）＜1，求x 的取值范围；（2）若g （x ）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g （x ）=f （x ），求函数y=g （x ）（x∈[1，2]）的反函数．…………订…………○…………线…………○…级：___________考号：___________…………订…………○…………线…………○…17.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 y =1249x 2 ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？ 18.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2﹣y 2=1．（1）过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点，若l 与圆x 2+y 2=1相切，求证：OP⊥OQ； （3）设椭圆C 2：4x 2+y 2=1，若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM⊥ON，求证：O 到直线MN 的距离是定值．19.对于数集X={﹣1，x 1 ， x 2 ， …，x n }，其中0＜x 1＜x 2＜…＜x n ， n≥2，定义向量集Y={ a →|a →=（s ，t ），s∈X，t∈X}，若对任意 a 1→∈Y ，存在 a 2→∈Y ，使得 a 1→⋅a 2→=0 ，则称X 具有性质P ．例如{﹣1，1，2}具有性质P ．（1）若x ＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P ，求x 的值； （2）若X 具有性质P ，求证：1∈X，且当x n ＞1时，x 1=1；（3）若X 具有性质P ，且x 1=1、x 2=q （q 为常数），求有穷数列x 1 ， x 2 ， …，x n 的通项公式．答案第4页，总14页○…………外……○…………内……参数答案1.B【解析】1.解：由题意1+ √2 i 是关于x 的实系数方程x 2+bx+c=0 ∴1+2 √2 i ﹣2+b+ √2 bi+c=0 ∴ {−1+b +c =02√2+√2b =0，解得b=﹣2，c=3故选B【考点精析】通过灵活运用复数相等，掌握如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等即可以解答此题． 2.C【解析】2.解：∵sin 2A+sin 2B ＜sin 2C ， 由正弦定理可得，a 2+b 2＜c 2由余弦定理可得cosC= a 2+b 2−c 22ab<0∴ π2<C <π∴△ABC 是钝角三角形 故选C 3.A【解析】3.解：由随机变量ξ1、ξ2的取值情况，它们的平均数分别为：x ¯= 15 （x 1+x 2+x 3+x 4+x 5）， x′¯ = 15 （ x 1+x 22 + x 2+x 32 + x 3+x 42 + x 4+x 52 + x 5+x12 ）= x ¯ 且随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，所以有Dξ1＞Dξ2 ， 故选择A ．【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x1,x2,.....,xi ,......,xn ，X 取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列． 4.1﹣2i【解析】4.解： 3−i1+i =(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−4i 2=1−2i所以答案是1﹣2i【考点精析】掌握复数的乘法与除法是解答本题的根本，需要知道设则；．5.arctan2【解析】5.解：∵ n →=（﹣2，1）是直线l 的一个法向量∴可知直线l 的一个方向向量为（1，2），直线l 的倾斜角为α得，tanα=2 ∴α=arctan2所以答案是：arctan2 6.﹣160【解析】6.解：展开式的通项为T r+1= c 6r x 6﹣r （﹣ 2x ）r =（﹣2）r c 6rx6﹣2r 令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3c 63 =﹣160所以答案是：﹣160 7.87【解析】7.解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为a n 则 a n =(12)n−1∴ V n =a n3 = (18)n−1是以1为首项，以 18 为公比的等比数列则 lim n→∞（V 1+V 2+…+v n ）= lim n→∞1−(18)n1−18= 87所以答案是： 878.（﹣∞，1]【解析】8.解：因为函数f （x ）=e |x ﹣a|（a 为常数）．若f （x ）在区间[1，+∞）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t=|x ﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数 又t=|x ﹣a|在区间[a ，+∞）上是增函数 所以[1，+∞）⊆[a ，+∞），故有a≤1 所以答案是（﹣∞，1] 9.√33π【解析】9.解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面， 因为4π=πl 2 ， 所以l=2， 半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆锥的体积为： 13×π12×√22−1 = √33π ．答案第6页，总14页……装…………○………※※不※※要※※在※※装※※订※※线……装…………○………所以答案是： √33π ．【考点精析】本题主要考查了旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的相关知识点，需要掌握常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球才能正确解答此题． 10.﹣1【解析】10.解：由题意，y=f （x ）+x 2是奇函数，且f （1）=1， 所以f （1）+1+f （﹣1）+（﹣1）2=0解得f （﹣1）=﹣3 所以g （﹣1）=f （﹣1）+2=﹣3+2=﹣1 所以答案是：﹣1．【考点精析】认真审题，首先需要了解函数奇偶性的性质(在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇)，还要掌握函数的值(函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法)的相关知识才是答题的关键． 11.1sin(π6−θ)【解析】11.解：取直线l 上任意一点P （ρ，θ），连接OP ，则OP=ρ，∠POM=θ 在三角形POM 中，利用正弦定理可知： ρsin 5π6=2sin(π6−θ)解得ρ=f（θ）= 1sin(π6−θ)所以答案是：1sin(π6−θ)12.[2，5]【解析】12.解：建立如图所示的直角坐标系，则B （2，0），A （0，0）， D （ 12,√32 ），设 |BM|→|BC|→ = |CN|→|CD|→ =λ，λ∈[0，1]， M （2+ λ2,√3λ2 ），N （ 52−2λ,√32）， 所以 AM →⋅AN →=（2+ λ2,√3λ2 ）•（ 52−2λ,√32 ）=﹣λ2﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．…线…………○……线…………○…所以答案是：[2，5]．13.54【解析】13.解：由题意可得，f （x ）= {10x,(0≤x ≤12)10−10x,(12≤x ≤1)，∴y=xf（x ）= {10x 2,(0≤x ≤12)10x 2−10x,(12≤x ≤1)，设函数y=xf （x ）（0≤x≤1）的图象与x 轴围成的图形的面积为S ， 则S= ∫1210x 2dx+ ∫121（﹣10x 2+10x ）dx =10× x 33|012 +（﹣10）× x 33|121 +10× x 22|121= 512 ﹣ 3512 +5﹣ 54 = 1512 = 54 ．所以答案是： 54 ． 14.23c √a 2−c 2−1【解析】14.解：作BE⊥AD 于E ，连接CE ，则AD⊥平面BEC ，所以CE⊥AD， 由题设，B 与C 都是在以AD 为焦点的椭球上，且BE 、CE 都垂直于焦距AD ， AB+BD=AC+CD=2a ，显然△ABD≌△ACD，所以BE=CE ．取BC 中点F ，∴EF⊥BC，EF⊥AD，要求四面体ABCD 的体积的最大值，因为AD 是定值，只需三角形EBC 的面积最大，因为BC 是定值，所以只需EF 最大即可， 当△ABD 是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a， ∴AB=a，所以EB= √a 2−c 2 ，EF= √a 2−c 2−1 ，所以几何体的体积为： 13×2×√a 2−c 2−1×2c × 12 = 23c √a 2−c 2−1 ．答案第8页，总14页……外…………○………线…………○※……内…………○………线…………○所以答案是： 23c √a 2−c 2−1 ．15.（1）解：∵PA⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ， ∴CD⊥PA．∵矩形ABCD 中，CD⊥AD，而PA 、AD 是平面PAD 的交线． ∴CD⊥平面PDA ，∵PD ⊂平面PDA ，∴CD⊥PD，三角形PCD 是以D 为直角顶点的直角三角形． ∵Rt△PAD 中，AD=2 √2 ，PA=2， ∴PD= √PA 2+AD 2 =2 √3 ．∴三角形PCD 的面积S= 12 ×PD×DC=2 √3 ．（2）解：[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，可得B （2，0，0），C （2，2 √2 ，0），E （1， √2 ，1）．∴ AE → =（1， √2 ，1）， BC →=（0，2 √2 ，0）， 设 AE →与 BC →夹角为θ，则cosθ=AE →⋅BC→|AE →||BC →|= 2×2√2 = √22 ，∴θ= π4 ，由此可得异面直线BC 与AE 所成的角的大小为 π4 ．[解法二]取PB 的中点F ，连接AF 、EF 、AC ，∵△PBC 中，E 、F 分别是PC 、PB 的中点，∴EF∥BC，∠AEF 或其补角就是异面直线BC 与AE 所成的角．…………○………：___________…………○………∵Rt△PAC 中，PC= √PA 2+AC 2=4． ∴AE= 12 PC=2，∵在△AEF 中，EF= 12 BC= √2 ，AF= 12 PB= √2∴AF 2+EF 2=AE 2，△AEF 是以F 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴∠AEF= π4 ，可得异面直线BC 与AE 所成的角的大小为 π4 ．【解析】15.（1）可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形PCD 是以D 为直角顶点的直角三角形，然后在Rt△PAD 中，利用勾股定理得到PD=2 √3 ，最后得到三角形PCD 的面积S ；（2）[解法一]建立如图空间直角坐标系，可得B 、C 、E 各点的坐标，从而 AE →=（1， √2 ，1）， BC → =（0，2 √2 ，0），利用空间向量数量积的公式，得到 AE → 与 BC →夹角θ满足：cosθ= √22 ，由此可得异面直线BC 与AE 所成的角的大小为 π4 ；[解法二]取PB 的中点F ，连接AF 、EF ，△PBC 中，利用中位线定理，得到EF∥BC，从而∠AEF 或其补角就是异面直线BC 与AE 所成的角，然后可以通过计算证明出：△AEF 是以F 为直角顶点的等腰直角三角形，所以∠AEF= π4 ，可得异面直线BC 与AE 所成的角的大小为 π4 ． 【考点精析】本题主要考查了异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的性质的相关知识点，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；垂直于同一个平面的两条直线平行才能正确解答此题． 16.（1）解：f （1﹣2x ）﹣f （x ）=lg （1﹣2x+1）﹣lg （x+1）=lg （2﹣2x ）﹣lg （x+1）， 要使函数有意义，则 由 {2−2x >0x +1>0解得：﹣1＜x ＜1．由0＜lg （2﹣2x ）﹣lg （x+1）=lg 2−2xx+1 ＜1得：1＜ 2−2xx+1 ＜10， ∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x ＜10x+10，答案第10页，总14页∴ −23<x <13．由 {−1<x <1−23<x <13，得： −23<x <13．（2）解：当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，∴y=g （x ）=g （x ﹣2）=g （2﹣x ）=f （2﹣x ）=lg （3﹣x ）， 由单调性可知y∈[0，lg2]， 又∵x=3﹣10y ，∴所求反函数是y=3﹣10x ，x∈[0，lg2]．【解析】16.（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解． 17.（1）解：t=0.5时，P 的横坐标x P =7t= 72 ，代入抛物线方程 y =1249x 2 中，得P 的纵坐标y P =3． 由|AP|=√9492，得救援船速度的大小为 √949 海里/时．由tan∠OAP= 730 ，得∠OAP=arctan 730 ，故救援船速度的方向为北偏东arctan 730 弧度．（2）解：设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为（7t ，12t 2）．由vt= √(7t)2+(12t 2+12)2，整理得 v 2=144(t 2+1t2)+337 ． 因为 t 2+1t 2≥2 ，当且仅当t=1时等号成立，所以v 2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．【解析】17.（1）t=0.5时，确定P 的横坐标，代入抛物线方程 y =1249x 2 中，可得P 的纵坐标，利用|AP|=√9492，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为（7t ，12t 2），从而可得vt=√(7t)2+(12t 2+12)2 ，整理得 v 2=144(t 2+1t2)+337 ，利用基本不等式，即可得到结论． 18.（1）解：双曲线C 1：x 212−y 21=1 左顶点A （﹣ √22,0 ），渐近线方程为：y=± √2 x ．过A 与渐近线y= √2 x 平行的直线方程为y= √2 （x+ √22），即y= √2x +1 ，所以 {y =−√2x y =√2x +1 ，解得 {x =−√24y =12． 所以所求三角形的面积为S= 12|OA||y|=√28．（2）解：设直线PQ 的方程为y=kx+b ， 因直线PQ 与已知圆相切，故√2=1 ，即b 2=2，由 {y =kx +b2x 2−y 2=1，得x 2﹣2bx ﹣b 2﹣1=0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则 {x 1+x 2=2bx 1x 2=−1−b 2，又y 1y 2=（x 1+b ）（x 2+b ）．所以 OP →⋅OQ →=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2+b （x 1+x 2）+b 2 =2（﹣1﹣b 2）+2b 2+b 2 =b 2﹣2=0． 故PO⊥OQ．（3）解：当直线ON 垂直x 轴时，|ON|=1，|OM|= √22 ，则O 到直线MN 的距离为 √33 ． 当直线ON 不垂直x 轴时，设直线ON 的方程为：y=kx ，（显然|k|＞ √22 ）， 则直线OM 的方程为y= −1k x ，由{y =kx 4x 2+y 2=1 得 {x 2=14+k 2y 2=k 24+k2， 所以 |ON|2=1+k 24+k 2． 同理 |OM|2=1+k 22k 2−1，设O 到直线MN 的距离为d ，因为（|OM|2+|ON|2）d 2=|OM|2|ON|2， 所以1d 2=1|OM|2+1|ON|2=3+3k 2k 2+1=3，即d= √33 ．综上，O 到直线MN 的距离是定值．答案第12页，总14页【解析】18.（1）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出三角形的面积．（2）设直线PQ 的方程为y=kx+b ，通过直线PQ 与已知圆相切，得到b 2=2，通过求解 OP →⋅OQ →=0．证明PO⊥OQ．（3）当直线ON 垂直x 轴时，直接求出O 到直线MN 的距离为 √33 ．当直线ON 不垂直x 轴时，设直线ON 的方程为：y=kx ，（显然|k|＞ √22 ），推出直线OM 的方程为y= −1k x ，利用 {y =kx 4x 2+y 2=1，求出 |ON|2=1+k 24+k 2 ， |OM|2=1+k 22k 2−1，设O 到直线MN 的距离为d ，通过（|OM|2+|ON|2）d 2=|OM|2|ON|2 ， 求出d= √33 ．推出O 到直线MN 的距离是定值． 19.（1）解：选取 a 1→=（x ，2），则Y中与 a 1→垂直的元素必有形式（﹣1，b ），所以x=2b ，又∵x＞2，∴只有b=2，从而x=4．（2）解：取 a 1→=（x 1，x 1）∈Y，设 a 2→=（s ，t ）∈Y，满足 a 1→⋅a 2→=0 ，可得（s+t ）x 1=0，s+t=0，所以s 、t 异号．因为﹣1是数集X 中唯一的负数，所以s 、t 中的负数必为﹣1，另一个数是1，所以1∈X， 假设x k =1，其中1＜k ＜n ，则0＜x 1＜1＜x n ．再取 a 1→=（x 1，x n ）∈Y，设 a 2→=（s ，t ）∈Y，满足 a 1→⋅a 2→=0 ，可得sx 1+tx n =0， 所以s 、t 异号，其中一个为﹣1①若s=﹣1，则x 1=tx n ＞t≥x 1，矛盾； ②若t=﹣1，则x n =sx 1＜s≤x n ，矛盾；说明假设不成立，由此可得当x n ＞1时，x 1=1．（3）解：[解法一]猜想：x i =q i ﹣1，i=1，2，3，…，n 记A k ═{﹣1，x 1，x 2，…，x k }，k=2，3，…，n 先证明若A k+1具有性质P ，则A k 也具有性质P ．任取 a 1→=（s ，t ），s 、t∈A k ，当s 、t 中出现﹣1时，显然有 a 2→ 满足 a 1→⋅a 2→=0当s 、t 中都不是﹣1时，满足s≥1且t≥1．因为A k+1具有性质P ，所以有 a 2→=（s 1，t 1），s 1、t 1∈A k+1，使得 a 1→⋅a 2→=0 ，从而s 1、t 1其中有一个为﹣1 不妨设s 1=﹣1，假设t 1∈A k+1，且t 1∉A k ，则t 1=x k+1．由（s ，t ）（﹣1，x k+1）=0，得s=tx k+1≥x k+1，与s∈A k 矛盾．所以t 1∈A k ，从而A k 也具有性质P ．再用数学归纳法，证明x i =q i ﹣1，i=1，2，3，…，n 当n=2时，结论显然成立；假设当n=k 时，A k ═{﹣1，x 1，x 2，…，x k }具有性质P ，则x i =q i ﹣1，i=1，2，…，k当n=k+1时，若A k+1═{﹣1，x 1，x 2，…，x k+1}具有性质P ，则A k ═{﹣1，x 1，x 2，…，x k }具有性质P ，所以A k+1═{﹣1，q ，q 2，…，q k ﹣1，x k+1}．取 a 1→=（x k+1，q ），并设 a 2→=（s ，t ）∈Y，满足 a 1→⋅a 2→=0 ，由此可得s=﹣1或t=﹣1若t=﹣1，则x k+1= qs <q ，不可能所以s=﹣1，x k+1=qt=q j ≤q k 且x k+1＞q k ﹣1，因此x k+1=q k 综上所述，x i =q i ﹣1，i=1，2，3，…，n[解法二]设 a 1→ =（s 1，t 1）， a 2→ =（s 2，t 2），则 a 1→⋅a 2→=0 等价于 s 1t 1=−t2s 2记B={ st |s∈X，t∈X 且|s|＞|t|}，则数集X 具有性质P ，当且仅当数集B 关于原点对称 注意到﹣1是集合X 中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x 2，﹣x 3，﹣x 4，…，﹣x n }，共有n ﹣1个数．所以B∩（0，+∞）也有n ﹣1个数． 由于 x nxn−1＜ x nxn−2＜ x nxn−3＜…＜ x n x 2<xn x 1，已经有n ﹣1个数对以下三角形数阵： x nxn−1＜ x nxn−2＜ x nxn−3＜…＜ x n x 2<xn x 1，x n x n−2＜ xn−1x n−3＜ xn−1x n−4＜…＜x n−1x 1x 2x 1注意到 xn x 1＞x n−1x 1 ＞ x n−2x 1 ＞…＞ x 2x 1 ，所以 x n x n−1 = x n−1x n−2 =…= x 2x 1从而数列的通项公式是x k =x 1•（ x2x 1）k ﹣1=q k ﹣1，k=1，2，3，…，n ．【解析】19.（1）在Y 中取 a 1→=（x ，2），根据数量积的坐标公式，可得Y 中与 a 1→垂直的元素必有形式（﹣1，b ），所以x=2b ，结合x ＞2，可得x 的值．（2）取 a 1→=（x 1 ， x 1），a 2→ =（s ，t ）根据 a 1→⋅a 2→=0 ，化简可得s+t=0，所以s 、t 异号．而﹣1是数集X 中唯一的负数，所以s 、t 中的负数必为﹣1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当x n ＞1时，x 1=1．（3）[解法一]先猜想结论：x i =q i ﹣1 ， i=1，2，3，…，n ．记A k ═{﹣1，x 1 ， x 2 ， …，x k }，k=2，3，…，n ，通过反证法证明出引理：若A k+1具有性质P ，则A k 也具有性质P ．最后用数学归纳法，可证明出x i =q i ﹣1 ， i=1，2，3，…，n ； [解法二]设 a 1→ =（s 1 ， t 1）， a 2→ =（s 2 ， t 2），则 a 1→⋅a 2→=0 等价于 s 1t 1=−t2s 2，得到一正一负的特征，再记B={ st |s∈X，t∈X 且|s|＞|t|}，则可得结论：数集X 具有性质答案第14页，总14页……线…………○……线…………○={﹣x 2 ， ﹣x 3 ， ﹣x 4 ， …，﹣x n }，共有n ﹣1个数，所以B∩（0．+∞）也有n ﹣1个数．最后结合不等式的性质，结合三角形数阵加以说明，可得 x nxn−1= x n−1x n−2=…= x2x 1，最终得到数列的通项公式是x k =x 1•（ x2x 1）k ﹣1=q k ﹣1 ， k=1，2，3，…，n ．【考点精析】利用元素与集合关系的判断对题目进行判断即可得到答案，需要熟知对象与集合的关系是，或者，两者必居其一．。
【专家解析】2012年高考数学(理)真题精校精析(上海卷)(纯word书稿)
2012·上海卷(数学理科)1．[2012·上海卷] 计算：3－i1＋i＝________(i 为虚数单位)．1．1－2i [解析] 考查复数的除法运算，是基础题，复数的除法运算实质就是分母实数化运算．原式＝(3－i )(1－i )1－i 2＝1－2i.2．[2012·上海卷] 若集合A ＝{x |2x ＋1＞0}，B ＝{x ||x －1|＜2}，则A ∩B ＝________. 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3 [解析] 考查集合的交集运算和解绝对值不等式，解此题的关键是解绝对值不等式，再利用数轴求解．解得集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >－12，集合B ＝{x |－1<x <3}，求得A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3.3．[2012·上海卷] 函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 cos x sin x －1的值域是________． 3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32 [解析] 考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数的值域，易错点是三角函数的化简．f (x )＝－2－sin x cos x ＝－2－12sin2x ，又－1≤sin2x ≤1，所以f (x )＝－2－12sin2x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32.4．[2012·上海卷] 若＝(－2,1)是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．4．arctan2 [解析] 考查直线的法向量和倾斜角，关键是求出直线的斜率． 由已知可得直线的斜率k ×1－2＝－1，∴k ＝2，k ＝tan α，所以直线的倾斜角α＝arctan2.5．[2012·上海卷] 在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的二项展开式中，常数项等于________．5．－160 [解析] 考查二项式定理，主要是二项式的通项公式的运用．由通项公式得T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 6x 6－2r，令6－2r ＝0，解得r ＝3，所以是第4项为常数项，T 4＝(－2)3C 36＝－160.6．[2012·上海卷] 有一列正方体，棱长组成以1为首项12为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2，…，V n ，…，则lim n →∞(V 1＋V 2＋…＋V n )＝________.6.87 [解析] 考查等比数列和无穷递缩等比数列的极限，此题只要掌握极限公式即可解决，是简单题型．由已知可知V 1，V 2，V 3，…构成新的等比数列，首项V 1＝1，公比q ＝18，由极限公式得lim n →∞(V 1＋V 2＋…＋V n )＝11－18＝87.7．[2012·上海卷] 已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．7．(－∞，1] [解析] 考查复合函数的单调性，实为求参数a 的取值范围． 令t ＝||x －a ，又e>1，函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，只需函数t ＝||x －a 在[1，＋∞)上是增函数，所以参数a ≤1.8．[2012·上海卷] 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．8.33π [解析] 考查扇形的弧长和面积公式，以及圆锥的体积公式，关键是求出圆锥的半径和高．由已知可得圆锥的母线长l ＝2，底面圆的周长2πr ＝πl ＝2π，所以底面半径r ＝1，由此得圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3，由圆锥的体积公式得V ＝13πr 2h ＝33π.9．[2012·上海卷] 已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.9．－1 [解析] 考查函数的奇偶性和转化思想，此题的关键是利用y ＝f (x )＋x 2为奇函数．已知函数y ＝f (x )＋x 2为奇函数，则f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋1]＝－2，解得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1.10．[2012·上海卷] 如图1－1所示，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6，若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝________.图1－110.1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ [解析] 考查极坐标方程，关键是写出直线的极坐标方程，再按要求化简．由已知得直线方程为y ＝(x －2)tan π6，化简得x －3y －2＝0，转化为极坐标方程为： ρcos θ－3ρsin θ－2＝0，解得ρ＝2cos θ－3sin θ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ，所以 f (θ)＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.11．[2012·上海卷] 三位同学参加跳高跳远铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．11.23 [解析] 考查古典概率和排列问题，关键是把情况分析清楚，不要漏掉或者重复情况．所有的可能情况有C 23C 23C 23，满足条件有且仅有两人选择的项目完全相同的情况有 C 23C 23C 12，由古典概率公式得P ＝C 23C 23C 12C 23C 23C 23＝23.12．[2012·上海卷] 在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边ABAD 的长分别为21.若MN 分别是边BCCD 上的点，且满足|BM →||BC→|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN→的取值范围是________．12．[2,5] [解析] 令BM →＝nBC →(0≤n ≤1)，则DN →＝(1－n )DC →，在平行四边形ABCD中，AM→＝AB →＋nAD →， AN →＝AD →＋(1－n )AB →，所以AM →·AN →＝(AB →＋nAD →)·[AD→＋(1－n )AB →] ＝－n 2－2n ＋5，而函数f (n )＝－n 2－2n ＋5在[0,1]上是单调递减的，其值域为[2,5]， 所以AM →·AN →的取值范围是[2,5]．13．[2012·上海卷] 已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________．13.54 [解析] 考查分段函数和用定积分求曲边形的面积，考查学生分类讨论思想和转化思想．由已知可得函数的解析式y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，10x －10x 2，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1， 曲线与x 轴围成区域的面积，可用定积分表示S ＝∫120(10x 2 )d x ＋⎠⎛112(10x －10x 2)d x ＝ 54.图1－214．[2012·上海卷] 如图1－2所示，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC＝2，若AD＝2c，且AB＋BD＝AC＋CD＝2a，其中ac为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是________．14.23c a2－c2－1[解析] 以空间四面体为载体，考查几何体的体积和代数式的最值问题，以及转化思想，解此题的关键是求出侧面三角形ABD的高的最大值．作BE垂直AD于E，连接CE，则CE也垂直AD，且BE＝CE，所以四面体ABCD 的体积V＝13S△BCE·AD＝23c BE2－1，在三角形ABD中，AB＋BD＝2a，AD＝2c，所以AD边上的高BE等于以AD为焦点，长轴为2a的椭圆上的点到x轴的距离，其最大值刚好在点在短轴端点的时候得到，即BE≤a2－c2，所以V＝23c BE2－1≤23c a2－c2－1.15．[2012·上海卷] 若1＋2i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则()A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－115．B[解析] 考查复数的概念和一元二次方程，可利用方程的两根是共轭复数解题．由韦达定理可知：－b＝(1＋2i)＋(1－2i)＝2，∴b＝－2，c＝(1＋2i)(1－2i)＝1＋2＝3，∴c＝3，所以选B.此题还可以直接把复数根1＋2i代入方程中，利用复数相等求解．16．[2012·上海卷] 在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定16．C[解析] 考查正弦定理和判断三角形的形状，考查考生的转化思想，关键是利用正弦定理，把角转化边，再利用边之间的关系，判断三角形的形状．由正弦定理可把不等式转化为a 2＋b 2<c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以三角形为钝角三角形．故选C.17．[2012·上海卷] 设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104，x 5＝105.随机变量ξ1取值x 1x 2x 3x 4x 5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x 1＋x 22x 2＋x 32x 3＋x 42x 4＋x 52x 5＋x 12的概率也均为0.2.若记Dξ1Dξ2分别为ξ1ξ2的方差，则( )A ．Dξ1＞Dξ2B ．Dξ1＝Dξ2C ．Dξ1＜Dξ2D ．Dξ1与Dξ2的大小关系与x 1x 2x 3x 4的取值有关17．A [解析] 考查样本估计总体的平均数和方差，主要是对方差概念的理解，利用基本不等式求解．由已知可知两个变量的平均数相等，Dξ1＝15[(x －x 1)2＋…＋(x －x 5)2]＝15(x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 25)－x 2， Dξ2＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 1＋x 222＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 5＋x 122＝ 15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5＋x 122－x 2 <15(x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 25)－x 2，所以Dξ1>Dξ2.18．[2012·上海卷] 设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．25B ．50C ．75D ．10018．D [解析] 考查数列求和和转化思想，关键是发现数列为振幅越来越小的摆动数列．令b n ＝sin n π25，周期为50，前n 项和记作：T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，根据三角函数图象的对称性，可知T 1，T 2，…，T 49均大于0，只有两个T 50＝0，T 100＝0，数列a n ＝1n sin n π25为振幅越来越小的摆动数列，||a n ≤||b n ，只有当n ＝1,50,100时相等，故S 1，S 2，…，S 100中正数个数为100.图1－319．[2012·上海卷] 如图1－3所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD .E 是PC 的中点，已知AB ＝2，AD ＝22，P A ＝2，求：(1)三角形PCD 的面积；(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小．19．解：(1)因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD . 又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD . 从而CD ⊥PD .因为PD ＝22＋(22)2＝23，CD ＝2. 所以三角形PCD 的面积为12×2×23＝2 3.(2)解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则B (2,0,0)，C (2,22，0)，E (1，2，1)．AE→＝(1，2，1)，BC →＝(0,22，0)， 设AE→与BC →的夹角为θ，则cos θ＝AE →·BC →|AE →||BC →|＝42×22＝22，∴θ＝π4.由此知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.解法二：取PB 中点F ，连接EF AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角．在△AEF 中，由EF ＝2AF ＝2AE ＝2知△AEF 是等腰直角三角形， 所以∠AEF ＝π4.因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.20．[2012·上海卷] 已知函数f (x )＝lg(x ＋1)． (1)若0＜f (1－2x )－f (x )＜1，求x 的取值范围；(2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1,2])的反函数．20．解：(1)由⎩⎨⎧2－2x ＞0，x ＋1＞0，得－1＜x ＜1.由0＜lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2x x ＋1＜1得1＜2－2xx ＋1＜10.因为x ＋1＞0，所以x ＋1＜2－2x ＜10x ＋10， －23＜x ＜13， 由⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜1，－23＜x ＜13得－23＜x ＜13.(2)g (x )是以2为周期的偶函数， 当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )． 由单调性可得y ∈[0，lg2]．因为x ＝3－10y ，所以所求反函数是y ＝3－10x ，x ∈[0，lg2]．图1－421．[2012·上海卷] 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图1－4.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y ＝1249x 2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .(1)当t ＝0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？21．解：(1)t ＝0.5时，P 的横坐标x P ＝7t ＝72，代入抛物线方程y ＝1249x 2，得P 的纵坐标y P ＝3.由|AP |＝9492，得救援船速度的大小为949海里/时．由tan ∠OAP ＝730，得∠OAP ＝arctan 730，故救援船速度的方向为北偏东arctan 730弧度．(2)设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为(7t,12t 2)． 由v t ＝(7t )2＋(12t 2＋12)2， 整理得v 2＝144⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋1t 2＋337.因为t 2＋1t 2≥2，当且仅当t ＝1时等号成立．所以v 2≥144×2＋337＝252，即v ≥25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．22．[2012·上海卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1. (1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l 交C 1于PQ 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ； (3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1，若MN 分别是C 1C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．22．解：(1)双曲线C 1：x 212－y 2＝1，左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所以所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.(2)设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b ，因直线PQ 与已知圆相切， 故|b |2＝1，即b 2＝2. 由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，2x 2－y 2＝1，得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)Q (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2.又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2 ＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝⎛⎭⎪⎫显然|k |＞22， 则直线OM 的方程为y ＝－1k x .由⎩⎨⎧ y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝14＋k 2，y 2＝k 24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k 24＋k 2. 同理|OM |2＝1＋k 22k 2－1， 设O 到直线MN 的距离为d ，因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2.所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33. 综上，O 到直线MN 的距离是定值．23．[2012·上海卷] 对于数集X ＝{－1，x 1，x 2，…，x n }，其中0＜x 1＜x 2＜…＜x n ，n ≥2，定义向量集Y ＝{|＝(s ，t )，s ∈X ，t ∈X }，若对任意1∈Y ，存在2∈Y ，使得1·2＝0，则称X 具有性质，例如{－1,1,2}具有性质.(1)若x ＞2，且{－1,1,2，x }具有性质，求x 的值；(2)若X 具有性质，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1＝1；(3)若X 具有性质，且x 1＝1x 2＝q (q 为常数)，求有穷数列x 1，x 2，…，x n 的通项公式．23．解：(1)选取1＝(x,2)，Y 中与1垂直的元素必有形式(－1，b )，所以x ＝2b ，从而x ＝4.(2)证明：取1＝(x 1，x 1)∈Y ，设2＝(s ，t )∈Y ，满足1·2＝0.由(s ＋t )x 1＝0得s ＋t ＝0，所以s ，t 异号．因为－1是X 中唯一的负数，所以s ，t 之中一个为－1，另一个为1，故1∈X . 假设x k ＝1，其中1＜k ＜n ，则0＜x 1＜1＜x n .选取1＝(x 1，x n )∈Y ，并设2＝(s ，t )∈Y 满足1·2＝0，即sx 1＋tx n ＝0， 则s ，t 异号，从而s ，t 之中恰有一个为－1.若s ＝－1，则x 1＝tx n ＞t ＞x 1，矛盾；若t ＝－1，则x n ＝sx 1＜s ≤x n ，矛盾．所以x 1＝1.(3)设1＝(s 1，t 1)，2＝(s 2，t 2)，则1·2＝0等价于s 1t 1＝－t 2s 2， 记B ＝⎩⎨⎧ s t |}s ∈X ，t ∈X ，|s |＞|t |，则数集X 具有性质当且仅当数集B 关于原点对称． 注意到－1是X 中的唯一负数，B ∩(－∞，0)＝{－x 2，－x 3，…，－x n }共有n －1个数，所以B ∩(0，＋∞)也只有n －1个数．由于x n x n －1＜x n x n －2＜…＜x n x 2＜x n x 1，已有n －1个数，对以下三角数阵 x n x n －1＜x n x n －2＜…＜x n x 2＜x n x 1， x n －1x n －2＜x n －1x n －3＜…＜x n －1x 1， …x 2x 1.注意到x n x 1＞x n －1x 1＞…＞x 2x 1，所以x n x n －1＝x n －1x n －2＝…＝x 2x 1，从而数列的通项为x k ＝x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1k －1＝q k －1，k ＝1,2，…，n .。