(完整word版)最新苏教版八年级下册数学第十二章二次根式知识点
第十二章二次根式
一、二次根式的概念
一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：
（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，
即“2
”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如
2
5 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数
时不能写成带分数，例如8
3
2 可写成
8 2
3
，但不能写成2
2
3
2 。
二、二次根式的性质：
★（ a ）2（a≥0）与a2的区别与联系：
三、代数式
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起
来的式子叫代数式。
例：3，x，x+y，3x （x≥0），-ab，s
t
（t≠0，x3都是代数式
注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=等）（1）将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式。
如2x+3＞3x-5是关系式。
列代数式的常用方法：
（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。
（2）公式法：根据公式列出代数式。
（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。
四、二次根式的乘除
1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单
项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被
除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
五、二次根式的乘法法则
a ．
b =ab （a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变（1）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。
（2）推广① a ． b ．
c =abc （a≥0，b≥0，c≥0）②a b ．c
d =ac bd
③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。
练习：（1）28 ．7 ；（2）1
4
．256 ；（3）4xy ．
1
y
(4)627 ．（-2 3 ）
六、二次根式乘法法则的逆用
ab = a ． b （a≥0，b≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积
利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。
注：（1）公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0，实际上，公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可，如（-4）×（-9）≠-4 ．-9 。
（2）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。
推广：abcd = a ． b ． c ． d （a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）
三、二次根式的除法法则
a b =
a
b
（a≥0，b＞0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
注：（1）a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。
若a，b都是负数，虽然a
b
＞0，
a
b
有意义，但 a ， b 在实数范围内无意义；若b=0，则a
b
无意义。
（2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如41
4
必须先化成
17
4
，以免出
现41
4
= 4 ×
1
4
这样的错误。
（3）在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次
根式。
推广：（m a ）÷（n b ）=（m÷n）×（ a ÷ b ），其中a≥0，b＞0，n≠0。
七、二次根式除法法则的逆用
a b =
a
b
（a≥0，b＞0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方
根。
注：公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b＞0。
公式中的a，b是
限制公式右边的，对公式的左边，只要a
b
≥0即可。
例如计算
-3
-4
，不能写为
-3
-4
=
-3
-4
，
而应写为-3
-4
=
3
4
=
3
4
=
3
2。
利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的
二次根式时，先将其化为a
b
（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分
母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可。
当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。
八、最简二次根式的概念
★满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
★对于最简二次根式的概念我们可作如下解释：
（1）被开方数中不含分母，因此被开方数是整数或整式；
（2）被开方数中每一个因数或因式的指数都是1。
拓展：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。
分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都
乘上分母的有理化因式
．．．．．
（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就
说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。
分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。
常用的有理化因式有：a 与a ；a+b 与a+b ；a-b 与a-b ；a+b 与a-b ；a b+c d 与a b-c d 等。
九、二次根式的加减
1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，例如3ab 与-4ab
2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数和，且字母部分不变。
3、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
4、平方差公式：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2完全平方公式（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2
5、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn 十、可以合并的二次根式
★将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。
合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如m a+n a=（m+n ） a
练习：化简下列二次根式，并指出哪些是可以合并的二次根式。
（1）27；（2）-15
27a
；（3）13
；（4）2a 3
b
（a ＞0，b ＞0）；（5）b 127a 3
； （6）2243； （7）32
9ab （a ＞0，b ＞0）； （8）332
ab
（a ＞0，b ＞0）； 十一、二次根式的加减
★二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
★二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下：
（1）将各个二次根式化成最简二次根式；（2）找出化简后被开方数相同的二次根式；（3）合并被开方数相同的二次根式—将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变，可简记为：化简→判断→合并。
★二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下：
注：（1）化成最简二次根式后被开方数不同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分；（2）整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用；（3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化成假分数的形式。
练习：计算：（1）2
3
9x+6
x
4
- 2x
1
x
；（2）（24-0.5+2
2
3
）-（
1
8
- 6）
十二、二次根式的混合运算
★二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。
★在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然适用。
注：在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大化简。
八年级数学下册12_2二次根式的乘除二次根式的乘除学习要点素材新版苏科版
二次根式的乘除学习重点二次根式的乘法和除法学习二次根式加减的基础. 那么怎样才能娴熟掌握二次根式乘除法的运算呢？笔者认为应注意掌握以下几个问题：一、正确理解二次根式乘法的意义因为 3 × 6 ＝36＝322＝32，2× 8＝ 2 8＝ 16＝4，因此，一般地， a × b ＝a b (a≥0，b≥0).察看这一式子的左侧和右侧，得出等号的左侧是两个二次根式相乘，等号右侧是获得的积还是二次根式. 由此二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数.利用二次根式乘法的这个法例应注意：（1）要注意a≥0、 b≥0的条件，因为只有a、b 都是非负数公式才能建立. （2）从运算次序看，等号左侧是先分别求a、 b 的两因数的算术平方根，而后再求两个算术平方根的积，等号右侧是将非负数a、 b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根.（ 3）公式 a ×b＝a b( a≥0，b≥ 0) 能够推行到三个二次根式、四个二次根式等相乘的状况.（ 4）依据这个性质能够对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适合改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内.例 1计算：（ 1）－12×6；（2）3x ×6y ；（ 3）x 2 y ×2x 4 y ；（4）2x3y×18xy3.剖析利用二次根式的乘法法例，关于第（3）小题，应视x+2y 为一个整体.解（1）－12×6＝－ 126＝622＝6 2 ；（ 2）3x ×6y＝3x 6 y ＝32 2xy ＝32xy ；（ 3）x 2 y ×2x 4 y ＝ 2 x 2 y 22 ；＝ ( x+2y)（ 4）2x3 y × 18xy3＝ 2x3 y18 xy3＝ 62x4 y4＝6x2y2.说明在进行二次根式乘法的过程中，应注意不可以随意扔掉负号，其结果必定要化简.例 2计算：（ 1）0.4 × 3.6 ；（2）5 45 ×32.2 23剖析第（ 1）小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第（ 2）小题的根号外都含有数字因数，能够模仿单项式的乘法.解（ 1）0.4× 3.6＝0.4 3.6 ＝0.40.4 9 ＝0.4×3＝1.2.（2）5 45×322＝5×3× 452＝15× 3 152＝1530 .2323232说明关于二次根式的被开方数或式中，若知足两个相同因数或因式即移到根号外面来，进而达到化简的目的 .二、掌握公式 a × b ＝ a b (a≥0，b≥0)的反向运用关于公式 a × b ＝a b (a≥0，b≥0)，我们能够反过来，即获得 a b ＝ a ×b (a≥0，b≥0).利用这个公式，相同能够达到化简二次根式的目的.例 3化简：（1）7252；（ 2）1681 ；（3） 2000 ；（4）532282.剖析利用公式 a b ＝ a × b ，我们能够直接化简，关于2000 能够经过分解因数，关于第（4）小题能够利用平方差公式使之转变成乘积的形式，再运用公式.解（ 1）7252＝72×52＝35；（2）16 81＝16 ×81 ＝4×9＝36；（ 3）2000＝10222 5 ＝102× 22× 5 ＝20 5 ；（ 4）228253285328 ＝8125 ＝81 × 25 ＝9×5＝45. 53＝说明经过求解能够看出，假如一个二次根式的被开方数中有的因式( 或因数 ) 能开得尽方，能够逆向运用二次根式乘法的法例，将这些因式(或因数)开出来，进而将二次根式化简 .三、娴熟掌握二次根式除法的意义因为16 ÷ 4 ＝16＝ 4÷ 2＝ 2，而16 ＝ 4 ＝2，因此16÷4＝16 ＝16 . 4444一般地， a ÷ b ＝aa(a≥0，b＞0).察看这一式子的左侧和右侧，从运算次序b b看，等号左侧是先分别求被除数、除数的算术平方根，而后再求两个算术平方根的商，等号右侧是将非负数a 除以正数b 求商，再开方求商的算术平方根. 利用二次根式这一除法法例能够进行简单的二次根式的化简与运算. 值得注意的是二次根式除法的法例中这是因为当 b ＝ 0 时，分母为 0，没存心义 .和二次根式乘法的法例相同，二次根式除法的法例也能够反过来运用，即( a ≥ 0， b ＞0) ，相同能够利用这一公式化简二次根式.例 4计算：（ 1） 72 ÷ 6；（2） 11÷1 .26剖析直接运用公式a ÷b ＝a ab化简 .b解 （1） 72÷ 6＝72 ＝ 72＝ 12＝23 ；66（2） 11 ÷1＝ 111 ＝ 3 6 ＝3.262 6 2说明 注意本例中第（ 2）小题的书写格式，以便降低求解的难度.例 5化简：（ 1） 1 15 ；（ 2）25x 4 ；（ 3） 0.09 121 .499 y 20.36 100剖析 利用公式a＝a直接化简 .bb解 （1） 115＝64＝64＝8；4949 497（ 2）25x 4 ＝ 25x 4 ＝ 5x 2 ；9 y 29y 23 y（ 3）0.09 121 ＝ 0.09 121 ＝ 0.3 11＝11 .0.36 1000.36 100 0.6 10 20a ≥ 0，b ＞ 0，a ＝ ab b说明假如被开方数是带分数，在运算时，一般先化成假分数. ，在进行第（ 3）小题的运算时，也能够先对被开方数的分子与分母同时扩大100 倍，进而化小数为整数 .经过上述两道例题的化简与运算，我们知道二次根式的除法，有两种基本方法：①把除法先写成分式的形式；②直接套用公式 a ＝ a (a ≥0，＞0).b b b四、正确理解最简二次根式的意义相关二次根式的化简与运算的结果一般化成最简单的式子，即结果要化成最简二次根式 .最简二次根式一定知足：一是被开方数不含有分母；二是被开方数不含有开得尽方的因数或因式，两者缺一不行 .例 6计算：（ 1）75÷（ 6 ×12）；（2） 2×5÷50 .剖析第（ 1）小题先做括号里的，第（2）小题先做乘法，再做除法 .解（ 1）75 ÷（6×12 ）＝75÷ 612＝675 ＝53＝5 32＝5 6；126262212（2）2× 5 ÷50＝ 10÷50＝10＝10＝ 1 ＝ 5 ＝ 5 .50505525说明经过此题的运算，我们能从中领会到怎样化去分母中含有根号的因数或因式.。
第十二章二次根式(小结与思考)(单元复习课件)八年级数学下册(苏科版)
乘除
加减 二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式.
混合运算
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的； 整式运算的法则、公式和运算率仍然适用.
考点分析
考点一 二次根式的识别
例1 下列各式中，哪些是二次根式
解：①、④、⑥、⑦、⑧是二次根式.
巩固练习
D m=0，n=-1 2
巩固练习
考点分析
考点五 同类二次根式
巩固练习 1
D 1 1
考点分析
考点六 二次根式的运算
例6 计算：
巩固练习 例6 计算：
方法总结 二次根式混合运算： (1)确定运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按从 左向右的顺序进行，有括号的先算括号内的．
第12章 二次根式
小结与思考
学习目标
1.整理、总结二次根式的相关知识，在巩固基本知 识的基础上学会灵活运用;
2.感受化归的数学思想，提高探究问题的能力.
知识框架
概念
第
12 章
二
次
性质
根
式
运算
二次根式 最简二次根式 同类二次根式
(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； (2)被开方数中不含分母； (3)分母中不含根号. 这样化简后得到的二次根式叫做最简二次根式.
方法总结
判断二次根式的方法:
(2)内容上： 被开方数必须是非负数，注意被开方数可以是数、字母或含有字母的式子.
巩固练习
C ②③④
考点分析
考点二 二次根式有意义的条件
例2 要使下列各式有意义，x应是怎样的实数？
考点分析 例2 要使下列各式有意义，x应是怎样的实数？
八年级数学下册 12.1 二次根式 二次根式的概念学习要点素材 (新版)苏科版
二次根式的概念学习要点二次根式是一种特殊的代数式，它在实际生活以及其它科学技术中都有着广泛的应用，为了帮助同学们学好这一知识点，现提醒同学们学习时应注意领会以下几个要点：一、正确理解二次根式的定义、0（a ≥0）等式子，这些式子是什么样的一个式子呢？我们把式子a （a ≥0）叫做二次根式.由此，对于a （a ≥0）的讨论应注意下面的问题：（1）式子a 只有在条件a ≥0时才叫二次根式..（2a ≥0）实际上就是非负数a 的算术平方根.（3）993，但3不是二次根式.因此二次根式指的是某种式子的“外部形态”.如，当a 为实数时， a 、2a 、12+a 、2)1(-a 都是二次根式，而10+a 、12-a 都不一定是二次根式.这是因为a 是实数时，并不能保证a +10、a 2－1是非负数，即a +10、a 2－1可以是负数，如当a ＜－10时，a +10＜0；又如当0＜a ＜1时，a 2－1＜0，因此，10+a 、12-a 不一定是二次根式.二、能运用二次根式的定义确定有关二次根式的字母取值范围 由于式子a （a ≥0）叫做二次根式，它实际上是一个非负的实数a 的算术平方根的表达式.所以式子a 中的被开方数或被开方式必须大于或等于零，即式子a 是一个非负数. 如，当x ≥3时，式子3-x 在实数范围内有意义.这是因为由二次根式的定义可知被开方式x －3≥0，即x ≥3，就是说当x ≥3时，式子3-x 在实数范围内有意义.这类问题实质上是当x 是什么数时，x －3是非负数，式子3-x 有意义.三、能运用二次根式的定义解题我们知道，二次根式的结果是一个非负数，在初中阶段，常见的非负数有三个：a 2≥0，a ≥0，a ≥0.利用“几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零”的性质解题，在各类考试中屡见不鲜.例1 已知y ，则y x＝ . 简析 根据二次根式的被开方数是一个非负数，可得3－x ≥0且x －3≥0，即x ≤3且x ≥3，所以x 只能等于3，所以y ＝6.故y x ＝63＝2.例2 已知3x -+y 2+4y ＝0，求x y z x y z -+++的值.简析 本题可变形为3x -+(y +2)20，因为是三个非负数的和为0，所以x －3＝0，y +2＝0，z －1＝0，即x ＝3，y ＝－2，z ＝1，故x y z x y z -+++＝3(2)1321--+-+＝3. 下面两道题目供同学们自己练习：1、已知实数a 满足2007a -a ，求a －20072的值.2在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不同的实数，求22223yxy x y xy x +--+的值.3、若实数x 、y 、a 问长度分别为x 、y 、a 的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由.参考答案1，由a －2008≥0，得a ≥2008.故已知式可化为a －2007+a ，所以2007，两边平方并整理，得a －20072＝2008.2，由a (x －a )≥0及x －a ≥0得a ≥0；由a (y －a )≥0及a －y ≥0得a ≤0，故a ＝0，，x ＝－y ≠0，故原式＝2222223yy y y y y ++--＝31. 3，由x +y －8≥0，8－x －y ≥0，得x +y ≥8，x +y ≤8.所以8≤x+y ≤8，x +y ＝8.这时，0.0≥0，00.从而3x－y－a＝0，x－2y+a+3＝0.这两个等式相加，得4x－3y＝－3.联立x+y＝8和4x－3y＝－3，得8,43 3.x yx y+=⎧⎨-=-⎩解得3,5.xy=⎧⎨=⎩这时a＝3x－y＝4.因为x、y、a中的任意两者的值大小第三者的值，所以长度分别为x、y、a的三条线段能组成一个三角形.因为x2+a2＝y2，所以长度分别为x、y、a的三条线段能组成一个直角三角形，且两条直角边的长度分别为3、4.所以该三角形的面积值＝3×4÷2＝6.。
苏科初中数学八下《12.0第12章 二次根式》word教案 (6)
12 二次根式班级 姓名 学号一、知识点梳理1. 一般地，式子 叫做二次根式.2. 二次根式的性质： ⑴a ．(a )； ⑵(a )2＝ (a )； ⑶a 2＝__ ___.3. 二次根式乘法法则： ⑴a ·b ＝ (a ≥0，b ≥0)；⑵ab ＝ (a ≥0，b ≥0).4. 二次根式除法法则： ⑴a b ＝ (a ≥0，b ＞0)； ⑵a b＝ (a ≥0，b ＞0). 5. 化简二次根式实际上就是使二次根式满足：⑴ ；⑵ ；⑶ . 6. 经过化简后， 的二次根式，称为同类二次根式.7. 一般地，二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后 .8. 实数中的运算律、乘法公式同样适用于二次根式的混合运算二、例题解析（一）二次根式相关概念的考查：1.字母a 的取值范围是（ ）． A ．a<1 B ．a≤1 C．a≥1 D．a>12.下列式子中二次根式的个数有（ ）⑴31；⑵3-；⑶12+-x ；⑷38；⑸2)31(-；⑹)1(1>-x x ；⑺322++x x . A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个3.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A ．23a B ．31 C ．5.2 D ．22b a -4.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）A 、12与21B 、18C 5.对于二次根式92+x ，以下说法不正确的是（ ）A ．它是一个正数B ．是一个无理数C ．是最简二次根式D ．它的最小值是36.当x_______时，x311--是二次根式；要使13－x 有意义，则x 的取值范围是 .7.已知4322+-+-=x x y ，则，=xy . 8.二次根式x 33-与ax 2的和是一个．．二次根式，则正整数a 的最小值为 ；其和为 . （二）二次根式性质的考查：1.下列等式成立的是（）55a b --+2.化去分母中的根号后得（ ）A ．b 4 B ．b 2 C ．b 21 D ． b b 23.若xx x x --=--3232成立，则x 满足______________.4.=<)0(82a b a .5.已知x ，y 是实数，且3x ＋4＋y 2－6y ＋9＝0，则xy ＝ .6. 若||4x －8＋x －y －m ＝0，当y ＞0时，则m 的取值范围 .7.若||x －1＝12，求代数式1x －x 2－2＋1x 2的值.9. 已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，试化简(a ＋c )2－||b －c .（三）二次根式运算的考查：1.下列计算正确的是（ ）①694)9)(4(=-⋅-=--；②694)9)(4(=⋅=--； ③145454522=-⋅+=-；④145452222=-=-；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.计算：ab ab b a 1⋅÷等于（ ）A ．ab ab 21 B ．ab ab 1C ．ab b 1D ．abb 3.下列计算中，正确的是（ ）A ．562432=+B ．3327=÷C ．632333=⨯D ．3)3(2-=-4.计算=⋅b aa b182__________； =⋅b a 10253________．（四）二次根式估算 1.写出一个3到4之间的无理数 。
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二次根式的概念学习要点二次根式是一种特殊的代数式，它在实际生活以及其它科学技术中都有着广泛的应用，为了帮助同学们学好这一知识点，现提醒同学们学习时应注意领会以下几个要点：一、正确理解二次根式的定义、0（a ≥0）等式子，这些式子是什么样的一个式子呢？我们把式子a （a ≥0）叫做二次根式.由此，对于a （a ≥0）的讨论应注意下面的问题：（1）式子a 只有在条件a ≥0时才叫二次根式..（2a ≥0）实际上就是非负数a 的算术平方根.（33，但3不是二次根式.因此二次根式指的是某种式子的“外部形态”.如，当a 为实数时， a 、2a 、12+a 、2)1(-a 都是二次根式，而10+a 、12-a 都不一定是二次根式.这是因为a 是实数时，并不能保证a +10、a 2－1是非负数，即a +10、a 2－1可以是负数，如当a ＜－10时，a +10＜0；又如当0＜a ＜1时，a 2－1＜0，因此，10+a 、12-a 不一定是二次根式.二、能运用二次根式的定义确定有关二次根式的字母取值范围 由于式子a （a ≥0）叫做二次根式，它实际上是一个非负的实数a 的算术平方根的表达式.所以式子a 中的被开方数或被开方式必须大于或等于零，即式子a 是一个非负数. 如，当x ≥3时，式子3-x 在实数范围内有意义.这是因为由二次根式的定义可知被开方式x －3≥0，即x ≥3，就是说当x ≥3时，式子3-x 在实数范围内有意义.这类问题实质上是当x 是什么数时，x －3是非负数，式子3-x 有意义.三、能运用二次根式的定义解题我们知道，二次根式的结果是一个非负数，在初中阶段，常见的非负数有三个：a 2≥0，a ≥0，a ≥0.利用“几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零”的性质解题，在各类考试中屡见不鲜.例1 已知y ，则y x＝ . 简析 根据二次根式的被开方数是一个非负数，可得3－x ≥0且x －3≥0，即x ≤3且x ≥3，所以x 只能等于3，所以y ＝6.故y x ＝63＝2.例2 已知3x -+y 2+4y ＝0，求x y z x y z -+++的值.简析 本题可变形为3x -+(y +2)20，因为是三个非负数的和为0，所以x －3＝0，y +2＝0，z －1＝0，即x ＝3，y ＝－2，z ＝1，故x y z x y z -+++＝3(2)1321--+-+＝3. 下面两道题目供同学们自己练习：1、已知实数a 满足2007a -a ，求a －20072的值.2在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不同的实数，求22223yxy x y xy x +--+的值.3、若实数x 、y 、a 问长度分别为x 、y 、a 的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由.参考答案1，由a －2008≥0，得a ≥2008.故已知式可化为a －2007+a ，所以2007，两边平方并整理，得a －20072＝2008.2，由a (x －a )≥0及x －a ≥0得a ≥0；由a (y －a )≥0及a －y ≥0得a ≤0，故a ＝0，，x ＝－y ≠0，故原式＝2222223yy y y y y ++--＝31. 3，由x +y －8≥0，8－x －y ≥0，得x +y ≥8，x +y ≤8.所以8≤x+y ≤8，x +y ＝8.这时，0.0≥0，00.从而3x－y－a＝0，x－2y+a+3＝0.这两个等式相加，得4x－3y＝－3.联立x+y＝8和4x－3y＝－3，得8,43 3.x yx y+=⎧⎨-=-⎩解得3,5.xy=⎧⎨=⎩这时a＝3x－y＝4.因为x、y、a中的任意两者的值大小第三者的值，所以长度分别为x、y、a的三条线段能组成一个三角形.因为x2+a2＝y2，所以长度分别为x、y、a的三条线段能组成一个直角三角形，且两条直角边的长度分别为3、4.所以该三角形的面积值＝3×4÷2＝6.。
苏科版八年级下册数学第12章章节知识点§12.1~12.3
§12.1二次根式 【知识点总结】1、二次根式的概念：一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式，a 叫做被开方数 例1：下列各式中，哪些是二次根式？329)5()4(1)3(4)2(4)1(xa +-2、二次根式的性质：性质一—当0≥a 时，0≥a （非负性） 例2：已知032=-+-b a ，ba =性质二——当0≥a 时，a a =2)( 因为)0(≥a a 是a 的算术平方根，所以根据算术平方根的定义可以得到a a =2)(例3：计算：（1）=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛243 （2）=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2331性质三——⎪⎩⎪⎨⎧-≥==)0()0(2＜a a a a a a 在2a 中，a 可以取任意实数，2a 是先计算平方，再计算开方，表示的是2a 的算术平方根，结果一定不是负数，所以要写成a的形式。
例4：化简下列各式：)2(44)4()0(36)3()52()2(3)1(2222＜m m m x x +-≥-【典例展示】题型一 确定字母的取值范围例1：要使二次根式2-x 有意义，则x 的取值范围是 例2：当x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义？02)4(31)4()5()3(32)2(31)1(-+-+---+x x x x x x题型二 二次根式非负性质的应用例3:已知ΔABC 的三边长为c b a 、、满足224210212--+=--++b a c b a ，则ΔABC 为（ ）题型三 a a =2的应用例4:如果a a 21)12(2-=-，那么（ ）A.21＜aB.21≤aC.21＞aD.21≥a例5：实数b a 、在数轴上的位置如图所示，且b a ＞，则化简b a a +-2的结果为（ ） A.b a +2 B.b a +-2 C.b D.b a -2 题型四 运用二次根式a 有意义的隐含条件例6：已知a 满足a a a =-+-20152014，求代数式22014-a 的值。
八年级数学苏科版下册课件：12.1二次根式
3 1 2x-1
2
2
2 1-x
3
4 x-5+x-60
1- x
解 ：1由 2x-1＞ 0得 x＞12当x＞
1 2
时， 2
3 有意义
2x-1
2由1-x＞0得 x＜1 当 x＜1 时， 有意义
3由题意可知：
1- x0
1-x
x0 解得x0且x1
当x0且x1，
∴ AB 2=AC 2+BC2
= 32+ 52
=3+5
C
A
=8
∴ 以AB为边长的正方形的面积为8.
16
拓展与应用
例3
1、已知 y x 7 7 x 9
求 (xy 64)2 的算术平方根。 x-70 解： 由题意可知： x-70 解得x=7,y=9 xy-642=7×9-642=1， 1的算术平方根是1 即xy-642的算术平方根是1
一般地,式子 a (a 0)叫做二次根式,
a称为是被开方数
8
凭着你已有的知识, 说说对二次根式 a 的认识,好吗?
?
9
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
10
说一说: 下列各式是二次根式吗?
17
2.已知 a b 6与 a b 8
互为相反数，求a、b的值。
解： 由题意可知： a-b+6 + a+b-8 =0 a-b+6=0
a+b-8=0
解得 : a=1,b=7
a和b的值分别为：a=1,b=7
新苏科版八年级数学下册《12章二次根式小结与思考》教案_1.doc
第十二章 二次根式复习教学案一、基础知识：1．三个概念（ 1）二次根式定义： （ 1）形如 ____ __（且 __ ___）的式子叫做二次根式。
（ 2）最简二次根式：三个条件： （ a ） __________________，（ b ） __ ，（ c ）__________。
二次根式。
2．四个性质（ 1） ( a )2，逆用： a= ；a 2，逆用： a=（ a ＞ 0）； a= （ a ＜ 0）；（ 2）二次根式的双非负数性：即二次根式 a0，而且被开方数（式） a0.（ 3）积的算术平方根： ab = a ? b （ a ≥0,b ≥0）；逆用：；（ 4）商的算术平方根：aa a 0,b 0 ；逆用：； b b3.四种运算：加，减，乘，除，混合运算（可与整式运算类比，也可以运用乘法公式）二、易错分析1. 概念不清下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？为什么？2 , , x , x 1, 1 m 2 ,3 8, 0.35, x 22 x 1 , 1 2x2. 忽视隐含条件化简： a 1错解：原式 =2(1 a)aaa正解：3. 忽视限制条件已知+ =-2,ab =1，求 a b的值．a bba错解：原式 = ab ab ab ab (a b)．b aab2ab正解： 4. 忽视题设条件化简： 4x212x 9 4x220x 25 （3≤ x ≤ 5）．22错解：原式 =(2x 3)2(2 x 5)2 2x3 2x 5 4x 2 ．正解：5.忽视分类讨论化简：( x 2)2 ( x 1)2 ．错解：( x 2) 2 ( x 1)2 x 2 x 1 2x 1．正解：三、典型例题例 1. （ 1）已知x y 1 +x 3 =0，求x y的值；（ 2）已知a、b为实数，且 a 5 2 5 a b 4 ，求a、b的值．变式：已知 a为实数，且满足2017 a a 2018a ，求 a 2017 2的值 .例 2.若最简二次根式23m2 2 与n214m210 是同类二次根式，求m、 n 的值 .3变式：已知√3??- 1与√11 是同类二次根式，则 a 的值可能是（写两个即可）. 例 3.计算（1）2+ 18-4 1 ；（2）-2 2 12-4 34-3；2 22（ 3）a b；（4）（53 2 ）（53 2 ）.学生板演：(1) 6 x2 x1 1x x 0 4 x 3(2) 5 2 5 2 32 1拓展延伸：已知：x 1 ，求x2114的值 . x 2 x 2四、当堂训练1．下列各式中，正确的是（）A ．( 3)2 3B ．32 3 C．( 3)2 3 D ．32 32．设x＞ 0，y＞ 0，化简x xy y x g y的结果为.y x3.一个三角形一边上的高为 3 ，另两边分别为 2 和2 3 ，那么这两边的夹角为______.4. 如图，已知矩形ABCD ， OA 与 x 轴正半轴夹角为60 ，点 A 的横坐标为2，点C 的横坐标为 3 ，则点 B 的坐标为________.25．化简x 2 6x 9 x 2 2x 1 （其中-1＜ x＜ 3） .6．计算：（1） 1 + 3 3- 6 + 8；（2）3 18+150-4 1 32 .2-1 5 27．先将x 2 ÷x3 x 化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值 .x 2 2 x2。
八年级下册第12章二次根式12、1二次根式教学新版苏科版
第12章 二次根式
12.1 二次根式
1 2 3
CONTENTS
1
想一想：
根据所学知识回答下列问题： 1.什么叫做一个数的平方根？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根. 2.什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 a (a 0) 表示. 3.什么数有算术平方根?
通过观察，你得到的结论是什么？试着说一说． 当a≥0时， a2 a；当a＜0时， a2 -a .
二次根式的简单性质
归 纳： 当a≥0时， a2 a；当a＜0时， a2 -a.
根据绝对值的意义：
a2
a
a a 0
a
a＜0
二次根式的简单性质
例3 计算：
（1） 32 ；
2
（2）
2 3
；
解：（1）
二次根式的概念
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由. (1) 32 ， (2)6， (3) 12 ， (4) -m ， (5) xy （x,y异号），
(6) a2 1 ，
(7) 3 5 .
解：(1)，(6)是二次根式；(2)不是二次根式，因为不含二次根 号；
(3)不是二次根式，因为被开方数是负数；
25
点？
130
1.这些式子分别表示3，S，2
,
h 5
的算术平方根．
2.这些式子的根指数都为2，且被开方数为非负数.
二次根式的概念
定 义： 一般地，我们把形如 a (a 0)的式子叫做二次根式. “ ” 称为二次根号. 注意：a可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数 a ≥ 0
苏科初中数学八下《12.0第12章 二次根式》word教案 (1)
第12章二次根式教学目标：1.理解有关二次根式的概念、有意义的条件、二次根式的性质，并能灵活运用.2.掌握二次根式的各种运算方法，并能熟练的解决问题.重点、难点：二次根式的相关概念及运算.教学过程一.【复习提纲】初步感知、激发兴趣1.二次根式的定义：式子叫做二次根式，其中ａ叫做被开方数．2. 二次根式有意义的条件：当a时，a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数即可．3. 二次根式的性质一：即一个非负数的算术平方根是一个．4.性质二：2)(a= （a≥0）可把任何一个非负数写成平方的形式，即可逆用，故因式分解可在实数范围内进行．5.性质三：2a= =(00(0)(0a aaa a⎧⎪=⎨⎪-⎩＞）＜），这一性质的主要应用：①正向应用于二次根式的化简与计算；②逆向应用：可将根号外的非负因式移到根号内．6. 最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式是最简二次根式：（１）被开方数的因数是整数，因式是；（２）被开方数中不含有开得尽方的．7. 二次根式的乘法：a·b＝（a≥0，b≥0）即两个二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘．8. 二次根式的除法：ab= （a≥0，）即两个二次根式相除，根指数不变，被开方数相除.9.同类二次根式：几个二次根式化成以后，如果，这几个二次根式叫做同类二次根式.10.二次根式的加减：先把二次根式化成最简二次根式再．11.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先 ，后 ，最后 ，有括号的先.算括号内的在运算过程中，有理数（式）中的运算 率及乘法公式在二次根式的运算中依旧适用．二.【基础练习】初步运用、生成问题1. 下列各式中，哪一个是二次根式 （ ）A ．aB ．21x -C ．πD ．15- 2. 使代数式122x x -+有意义的x 的取值范围是 （ ） A ．x ≠－2 B ．x ≤12且x ≠－2 C ．x ＜12且x ≠－2 D ．x ≥12且x ≠－2 3. 若a ＜1，化简1)1(2--a ＝ （ ） A ．a －2B ．2－aC ．aD ．－a 4.化简525结果正确的是 （ ） A ．1510B ．10C 10D ．2 5. 在下列各组根式中，是同类二次根式的是 （ ） A ．318 B ．313C ．2a b 2abD ．1a +和1a - 三.【例题探究】师生互动、揭示通法 问题1：已知3-a 与b -2互为相反数，求代数式b a 61+-的值．问题2：请你化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜欢的m 的值代入化 简后的式子中求值2111m m m m ---个人复备四.【变式拓展】能力提升、突破难点问题3：若===9.4,70,7则n m ( ) A .10n m + B .10m n - C .m n D .10mn五.【回扣目标】学有所成、悟出方法1.二次根式的的相关概念有哪些？2.二次根式的运算法则和顺序是什么？六．板书设计七．教学反思。