选修4-5基本不等式(人教A版高中数学)4

例3 求证: 1在所有周长相同的矩形中,正方形
的面积最大;
2 在所有面相同的矩形中,正方形的周长最短.
分析： 设矩形的长为x,宽为y,那么该矩形的周长
为2x y,面积为xy.这样,问题就转化为:
1如果 2x y 从而x y为定值,那么正数x,
y 有什么关系时xy最大?
2如果 xy 为定值,那么正数 x, y 有什么关系时
探究 你能从几何的角度解释定理1吗?
AI
如果所实数a,b作为线段长度， 那么可以这样来解释定理
H
K
D GF
BJ C
E
以a b为例,如图1.1 2,
图1.1 2
那么 S正方形ABCD S正方形CEFG a2 b2.
S矩形BCGΒιβλιοθήκη S矩形JCDI 2ab.又有S阴影 2ab 所以 a 2 b2 2ab
1. 两个不等式
（1） a,b R, 那么a2 b2 2ab
(当且仅当a b时取""号)
（2） ab a b (a>当0,且b>仅0)当a=b时，等号成立 2
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数； 后者要求a,b为正数。公式使用的条件以及 “=”的成立条件。
2.不等式的简单应用：主要在于求最值 把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”
图1.1 3
OC
1 2
AB
1 2
a
b
.
因为DCA A
900 ,
B A 900 ,所以 DCA B.
于是, RtDCA ~ RtDBC,从而 AD CD , CD BD
即 a CD .所以CD ab. CD b
即 a CD .所以CD ab.
C
CD b
当a b时,在RtOCD中,
积
xy
取得最大值 l2 16
.
2设矩形面积为定值S,即xy S 为定值.
根据基本不等式 x
2
y
xy ,
矩形的周长2x y 4 xy 4 S ,
当且仅当x y时,等号成立,即当且仅当
矩形是正方形时,周长 2x y 取得最小
值4 S.
再次强调：
一般地 ,从基本不等式可以得到下面结论: 对两个正实数 x, y,如果它们的和S 是定值, 则当且仅当x y时,它们的积P取得最大值;
有最大值 1 S 2 4
证：∵ x, y R ∴ x y xy 2
1当 xy P（定值）时，x y P
2
∴ xy2 P
∵上式当 x y时取“=” ∴当 x y时，x y 有最小值2 P
2当x y S (定值)时， xy S ∴ xy 1 S 2
2
4
∵上式当
x
y时取“=”
∴当
练习：
1．求下列函数的最值：
(1)已知 x＜0，求 2x＋1的最大值； x
(2)已知 0＜x≤1，求 x＋1最小值．
4
x
解析：(1)由 x＜0 得－x＞0，
得－2x＋－1x≥2 －2x－1x＝2 2， 所以 2x＋1x≤－2 2， 当且仅当－2x＝－1x，
即 x＝－ 22时，2x＋1x取最大值－2 2. (2)由函数的单调性，可以证明，y＝x＋1x在0，41上是减 函数，所以 f(x)＝x＋1x≥f41＝147， 即 x＋1x的最小值是147.
定理2 基本不等式 如果 a,b 0 , 那么
a
2
b
ab.当且仅当a b时,等号成立.
证明 因为a b
2
a
2
b 2 a b
2
ab
,
所以
a
2
b
ab .
当且仅当 a b ,即 a b 时,等号成立.
基本不等式
定理２（基本不等式）如果 a, b 是正数，那么
a b ab 2
x y 时，xy有最大值 1 S 2 4
应用基本不等式求最值的条件：
一正
二定
三相等
x、y都必须 是正数
1.在x+y为定值S 时,x·y的最大 值 1S2 ；
2.在x·y4为定值P 时,x+y的最小值
2√P
在x和y相等 时，等号成 立，即在x＝ y时，x+y＝
2√xy
强调：求最值时要考虑不等式是否能取到“＝”
文字语言：两个数的平方和不小于它们积的2倍
当且仅当a b时,
AI HK
D GF
两个矩形成为
BJ C
E
图1.1 2
两个正方形,阴影部分面 积 等于
正方形ABCD与正方形 CEFG 面
积和,即 a2 b2 2ab.
思考1：
当a 0,b 0,在a2 b2 2ab中 以 a, b分别代替a,b能得到什么结果?
2x y 从而x y最小?
由于基本不等式恰好涉及两个正数的和与积之 间的数量关系, 所以可以利用基本不等式证明.
解 设矩形的长为x ,宽为y.
1设矩形周长为定值l,即2x 2y l为定值.
根据基本不等式
x
2
y
xy ,
可得
l 4
xy .
于是,矩形的面积 xy
l2 16 ,
当且仅当x
y时,
等号成立,即当且仅当矩形是正方形时 ,面
而 (1) (5) (1) (5)不成立。 2
a2 b2 2ab 成立的条件_a_，__b__R_
a b ab 成立的条件_a_，_b___R 2
变形: 已知 x, y 都是正数，求证：
1 如果积 xy 是定值 P, 那么当 x y时,和 x y
有最小值 2 P
2 如果和 x y 是定值 S ,那么当 x y时,积 xy
(当且仅当 a b时取“ = ”号）．
算术 平均
几何平均
均值不等式用文字语言可以描述为：
两个正数的算术平均不小于（即大于或等于）它们 的几何平均
基本不等式的几何意义：
在图1.1 3中,CD是
C
RtABC中斜边 AB
上的高,OC 是斜边
AB上的中线, AD A
OD B
a, BD b. 于是,
（补充）例2、 求函数 y 1 x(x 3)的最小值 x3
（补充）例3、求函数 y x2 5 的最小
值
x2 4
（补充）例3、求函数 y x2 5 的最小
值
x2 4
（补充）例4、 求函数 y 1 2x 3 的值域。 x
（补充）例4、 求函数 y 1 2x 3 的值域。 x
3.基本不等式求最值是双勾函数
f
(x)
ax
b x
(a
0,
b
0)
的特例，图象如下图所示．
另外，在证明或应用基本不等式解决一些较为复杂的 问题时，若“三相等”所得的值不在题目所给的范围，结合 双勾函数的单调性求解．
谢谢大家！
和定，积最大
如 果 它 们 的 积P是 定 值,则 当 且 仅 当x y时, 它 们 的 和S取 得 最 小 值.
积定，和最小
利用基本不等式可以解决一些最大小值
问题 .
（补充）例 1、已知，x，y∈R＋，
且 x＋4y＝1，求1＋1的最小值． xy
解析：∵1x＋1y＝(x＋4y)(1x＋1y)＝
5＋4xy＋xy≥5＋2 4xy·xy＝9， 当且仅当4xy＝xy且 x＋4y＝1， 即 x＝13，y＝16时等号成立． ∴1x＋1y的最小值为 9.
选修4-5 不等式选讲
基本不等式
昆明十中 杨厌聊
重 要 不等式 a2 b2 2aba,b R
定理1 如果a,b R, 那么a2 b2 2ab,当 且仅当a b时,等号成立.
证明 因为a2 b2 2ab a b2 0,当且仅
a b时等号成立,所以,当且仅当a b时,等号 成立.
斜边OC大于直角边CD,
A
所以
a
2
b
ab .
OD B
图1.1 3
当a b时, RtABC斜边AB上的中线OC和高CD
重合, 所以
a
2
b
ab .
基本不等式的几何意义： 直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高.
思考 2：
a2 b2 2ab 和 a b ab
2
成立的条件相同吗？
如：(1)2 (5)2 2 (1) (5)成立，