第三章 函数极限练习题
函数与极限练习题
函数与极限练习题----题型⼀．求下列函数的极限⼆．求下列函数的定义域、值域判断函数的连续性，以及求它的间断点的类型三．内容⼀．函数1.函数的概念2.函数的性质——有界性、单调性、周期性、奇偶性3.复合函数4.基本初等函数与初等函数5.分段函数⼆．极限（⼀）数列的极限 1.数列极限的定义 2.收敛数列的基本性质 3.数列收敛的准则（⼆）函数的极限 1.函数在⽆穷⼤处的极限 2.函数在有限点处的极限3.函数极限的性质 4.极限的运算法则（三）⽆穷⼩量与⽆穷⼤量 1.⽆穷⼩量 2.⽆穷⼤量3.⽆穷⼩量的性质 4.⽆穷⼩量的⽐较 5.等价⽆穷⼩的替换原理三．函数的连续性x 处连续的定义函数在点1.0函数的间断点2. 间断点的分类 3. 连续函数的运算4. 闭区间上连续函数的性质 5.例题详解函数的概念与性质题型I II题型求函数的极限（重点讨论未定式的极限）III题型求数列的极限已知极限，求待定参数、函数、函数值IV 题型⽆穷⼩的⽐较题型V 判断函数的连续性与间断点类型VI 题型与闭区间上连续函数有关的命题证明VII 题型---------⾃测题⼀填空题⼀．选择题⼆．解答题三．3 ⽉18 ⽇函数与极限练习题⼀．填空题x，则1若函数lim f (x)______1f (x)1.x212，则lim f ( x)xf (x)2.若函数_______x1x 1u2 , v3 ,uv则复合函数为ytan x, 设=_________3.f ( x)ycos xx0设= __________4. f ( x)，则f (0) 0xx0(的值为，则 f (0) 已知函数)xaxb 5.f ( x)2 x01x(A)(B)(C)1(D) 2a bb a函数的定义域是(6.)y2x3x(A)(B)[2, ](2,)(D)(C),3)(3,)((3,)[2,3)1) f ( 已知，则7.__________1f (2)x1x1其定义域为__________，8.4x y1 x2x的定义域是______119.y arcsin2x12函数___________x 1) 为考虑奇偶性，函数10. ln( xysin xx7 2）_______；（111.计算极限：（）limlim______1 x x1x 1x---------2））（3；（3nlimlimx= _______= _______42xn5n2nxsin x1阶的⽆穷⼩量；计算：（）当时，______是⽐x cos x1112.0x 与时，）当（ 2 ______；若是等价⽆穷⼩量，则ax a sin 2 xx02,x1和，则已知函数 f ( x)13. )0(1xx1,lim limf ( x) f ( x),x0x11x 0x12(A)都存在(B)都不存在(C)第⼀个存在，第⼆个不存在(D)第⼀个不存在，第⼆个存在14. 设，则()limf (x)f ( x)3x2,x02x 02,0xx(B)(D)(C)(A)22011时，n sin是(15. 当)nn（A)⽆穷⼩量(B)(C)(D)有界变量⽆界变量⽆穷⼤量计算与应⽤题2x3x2, x2x2在点处连续，且f ( x)，求a设 f ( x) 2 x a,x23x2x 112xcos x1求极限：求极限：求极限：1 x limlimlim()42xxx 0x2x2x15111c o sxx x 2x求极限：求极限：lim (1 lim (1))求极限：lim22xx4x x 0x 0 x1211求极限：求极限：求极限：x2n lim( lim(1))lim() n2xnn1n222x2ex11 0 022xx求极限：求极限：求极限) lim liml i m ( 1 12x 1xx ln xx x x 0x求极限：( l i m1 ))求极限：lim求极限：x 313 lim(1 2 x3x21 xx1 x13 x8x 1x---------4 ⽉28 ⽇函数与极限练习题⼀．基础题1, f ( x)则 1.设函数x e1x 1的第⼀类间断点都是f(x) ）x=0,x=1 （A .的第⼆类间断点x=0,x=1 都是f(x) （B）的第⼆类间断点是f(x) 是f(x) 的第⼀类间断点，x=1 （C ）x=0 .的第⼀类间断点f(x) f(x) 的第⼆类间断点，x=1 是（D ）x=0是.）下列极限正确的（2．x sin x sin xlim ．B lim1不存在A．x xx sin x x1 lim x sin C．1lim arctan x．Dx x2x10)sin x(xx0)0(x a x lim f=存在，则且f x）（设3. 1x 0xsina(x 0)x2-1 B．0C．1 D．A．x lim ( a)4. 已知a9 (，则。
函数与极限练习题
题型一．求下列函数的极限二．求下列函数的定义域、值域三．判断函数的连续性，以及求它的间断点的类型内容一．函数1.函数的概念2.函数的性质——有界性、单调性、周期性、奇偶性3.复合函数4.基本初等函数与初等函数5.分段函数二．极限（一）数列的极限1.数列极限的定义2.收敛数列的基本性质3.数列收敛的准则（二）函数的极限1.函数在无穷大处的极限2.函数在有限点处的极限3.函数极限的性质4.极限的运算法则（三）无穷小量与无穷大量1.无穷小量2.无穷大量3.无穷小量的性质4.无穷小量的比较5.等价无穷小的替换原理三．函数的连续性x处连续的定义1.函数在点02.函数的间断点3.间断点的分类4.连续函数的运算5.闭区间上连续函数的性质例题详解题型I函数的概念与性质题型II求函数的极限（重点讨论未定式的极限）题型III求数列的极限题型IV已知极限，求待定参数、函数、函数值题型V无穷小的比较题型VI判断函数的连续性与间断点类型题型VII与闭区间上连续函数有关的命题证明自测题一一．填空题二．选择题三．解答题3月18日函数与极限练习题一．填空题1.若函数121)x (f x-⎪⎭⎫⎝⎛=，则______)x (f lim x =+∞→2.若函数1x 1x )x (f 2--=，则______)x (f lim _1x =→3. 设23,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________4. 设cos 0()0xx f x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ，则 (0)f = __________5.已知函数 20()1ax bx f x x x +<⎧=⎨+≥⎩，则(0)f 的值为 ( )(A) a b + (B) b a - (C) 1 (D) 2 6. 函数 3x 2x y --=的定义域是 ( ) (A) (2,)+∞ (B) [2,]+∞ (C) (,3)(3,)-∞+∞ (D) [2,3)(3,)+∞7. 已知 11()1f x x=- ，则 (2)f = __________8.y =+，其定义域为 __________ 9. 22x11x 1arcsin y -+-= 的定义域是 ______10. 考虑奇偶性，函数ln(y x = 为 ___________ 函数11.计算极限：（1） sin lim x xx →∞= _______；（2）711lim1x x x →-=- ______ （3）xx xx sin lim +∞→ = _______；（4）1253lim 22-+∞→n n n n = _______12.计算：（1）当 0x → 时，1cos x - 是比 x ______ 阶的无穷小量；（2）当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = ______；13.已知函数2,()1,f x x ⎧-⎪=-⎨11001x x x ≤--<<≤<，则1lim ()x f x →- 和 0lim ()x f x →( )(A) 都存在 (B) 都不存在(C) 第一个存在，第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在14. 设 232,0()2,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩ ，则 0lim ()x f x +→= ( ) (A) 2 (B) 0 (C) 1- (D) 2-15. 当 n →∞ 时，1sin n n是 ( )（A)无穷小量 (B) 无穷大量 (C) 无界变量 (D) 有界变量计算与应用题设 )(x f 在点 2x =处连续，且232,2(),x x x f x a ⎧-+⎪-⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩22=≠x x ，求 a求极限：20cos 1lim 2x x x →- 求极限： 121lim()21x x x x +→∞+- 求极限： 512lim43-+-∞→x x x x求极限：x x x 10)41(lim -→ 求极限：2x x )x 211(lim -∞→- 求极限：20cos 1lim xxx -→求极限： 2111lim()222n n →∞+++求极限：22lim(1)n n n →∞- 求极限：lim()1xx x x →∞+求极限 211lim ln x x x →- 求极限：201lim x x e x x →-- 求极限：21002lim(1)x xx +→∞+求极限： lim x →- 求极限：21lim()1x x x x →∞-+ 求极限： 3131lim()11x x x →---4月28日函数与极限练习题一．基础题 1.设函数,11)(1-=-x x ex f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 2． 下列极限正确的（ ）A ． sin lim1x x x →∞= B ． sin limsin x x xx x→∞-+不存在 C ． 1lim sin 1x x x →∞= D ． limarctan 2x x π→∞=3. 设()1sin (0)0(0)1sin (0)x x x x f x x a x x ⎧<⎪⎪=⎪=⎨⎪+>⎪⎪⎩且()0lim x f x →存在，则a = （ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2 4. 已知9)ax a x (lim xx =-+∞→，则=a ( )。
函数的极限练习题
函数的极限练习题1. 求下列函数的极限：a) 当 x 趋近于 2 时，求函数 f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) 的极限。
b) 当 x 趋近于 0 时，求函数 g(x) = (sin x) / x 的极限。
c) 当 x 趋近于 1 时，求函数 h(x) = (ln x) / (x - 1) 的极限。
2. 利用极限的性质求下列极限：a) 求函数f(x) = √(x + 1) - 1 的极限，其中 x 趋近于 0。
b) 求函数 g(x) = (e^x - 1) / x 的极限，其中 x 趋近于 0。
c) 求函数 h(x) = (1 - cos x) / x 的极限，其中 x 趋近于 0。
3. 求下列函数的极限：a) 当 x 趋近于 0 时，求函数 f(x) = (1 + x)^k - 1 的极限，其中 k 为常数。
b) 当 x 趋近于∞ 时，求函数 g(x) = (x^n) / (e^x) 的极限，其中 n 为常数。
c) 当 x 趋近于 0 时，求函数 h(x) = (e^(kx) - 1) / (x^2) 的极限，其中 k 为常数。
4. 求下列函数的极限：a) 当 x 趋近于 0 时，求函数 f(x) = (1 - cos x) / x^2 的极限。
b) 当 x 趋近于∞ 时，求函数 g(x) = (ln(x^2 + 1)) / (x + 1) 的极限。
c) 当 x 趋近于∞ 时，求函数 h(x) = (x - e^x) / (x + e^x) 的极限。
思路拓展：对于极限问题的解答，我们可以利用基本的极限公式、L'Hôpital 法则、夹逼定理等进行求解。
其中，基本的极限公式包括：- 当 x 趋近于 0 时，lim(x→0) sin x / x = 1- 当 x 趋近于∞ 时，lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e- 当 x 趋近于 0 时，lim(x→0) (e^x - 1) / x = 1- 当 x 趋近于 0 时，lim(x→0) ln(1 + x) / x = 1- 当 x 趋近于 0 时，lim(x→0) (a^x - 1) / x = ln a（a 为常数）使用这些基本公式和相应的极限性质，我们可以逐步解决给定的极限练习题。
函数、极限与连续测试卷带答案
函数、极限与连续测试卷带答案第一篇：函数、极限与连续测试卷带答案上海民航学院函数、极限与连续测试卷总分100分命题人:叶茂莹一、填空题（每空2分，共20分）1、函数y=3-2x|-4的定义域是；解：|3-2x|-4≥0,3-2x≥4,或3-2x≤-4 ∴-2x≥1,或-2x≤-717∴x≤-,或x≥ 2217∴x∈(-∞,-]⋃[,+∞)222、把复合函数y=earctan(1+x)分解成简单的函数________________________；解：y=eu,u=arctanv,v=1+x23、函数y=arcsin2x的反函数是_____________________；1⎡ππ⎤解：y=sinx,x∈⎢-,⎥ 2⎣22⎦⎛1+x⎫4、lim ⎪； x→∞⎝x⎭2x2⎛1+x⎫解：lim ⎪x→∞⎝x⎭2x⎡⎛1⎫x⎤=lim⎢1+⎪⎥=e2 x→∞⎝x⎭⎦⎢⎥⎣2(2x-1)15(3x+1)30=；5、limx→∞(3x-2)45(2x-1)15(3x+1)30215⨯330⎛2⎫==⎪解：lim4545x→∞(3x-2)3⎝3⎭x2-3x+26、lim2；x→2x+4x-12(x-1)(x-2)=lim(x-1)=1x2-3x+2lim解：lim2 x→2x+6x→2x+4x-12x→2x+6x-28157、x→1=；2解：lim=x→1x→x-12x→12=x→1 =x→13x-1==34x+2的连续区间为(x+1)(x-4)解：x+2≥0,且(x+1)(x-4)≠08、函数f(x)=∴x≥-2,x≠-1,x≠4,∴x∈[-2,-1)⋃(-1,4)⋃(4,+∞)ax2+bx-19、已知a，b为常数，lim=2，则a=，b=.x→∞2x+1ax2+bx-1解：因为x的最高次为2，lim=2 x→∞2x+1所以a=0，b=2，即b=42x≠0在点x=0处连续，则a=x=0x1-⎤⎡=lim⎢(1-x)x⎥x→0⎣⎦-22⎧x⎪10、已知f(x)=⎨(1-x)⎪a⎩解：limf(x)=lim(1-x)x→0x→0=e-2因为f(x)在点x=0处连续，f(0)=a=limf(x)=e-2，所以a=e-2。
数学分析3函数极限总练习题
第三章函数极限总练习题1、求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)，m,n为正整数.解：(1)=3-2=1；(2)=(1+1)-1=；(3)===1；(4)=== -1；(5)====a+b；(6)==3；(7)当m=n时，=0；当m>n时，设m-n=L，则===.=====.当m<n时，设n-m=L，则===.∴当m,n为正整数时，=.2、分别求出满足下述条件的常数a与b：(1)=0；(2)=0；(3)=0.解：(1)===.当1-a=0，a+b=0时，原式成立. 解得a=1,b= -1.(2)∵x→-∞，∴可设x<0，==.当1-a2=0，1+2ab=0，-1+a≠0时，原式成立. 解得或a= -1，b=. (3)∵x→+∞，∴可设x>0，==.当1-a2=0，1+2ab=0，1+a≠0时，原式成立. 解得或a= 1，b=.3、试分别举出符合下列要求的函数f.(1)≠f(2)；(2)不存在.解：(1)设f(x)=；则=0，f(2)=1，∴≠f(2).(2)设f(x)=；则=0，=1，∵，∴不存在.4、试给出函数f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一点x0处，有=0，这同极限的局部保号性有矛盾吗？解：(1)设f(x)=；则f(x)>0，且=0.这与局部保号性不矛盾. 在局部保号性定理中要求=A≠0.而这里的A=0. 所以不矛盾.5、=A. =B，能否推出=B.解：不一定.例如对于函数f(x)=当互质时当为无理数时及g(x)=，有=0. =1，而g(f(x))=D(x)为狄利克雷函数，不存在，即不存在.6、设f(x)=xcos x试作数列.(1){x n}使得x n→∞(n→∞)，f(x n)→0(n→∞).(2){y n}使得y n→∞(n→∞)，f(y n)→+∞(n→∞).(3){z n}使得z n→∞(n→∞)，f(z n)→-∞(n→∞).解：(1)令x n=，此时f(x n)=0，于是当n→∞时，便有x n→∞，且f(x n)→0.(2)令y n=2nπ，此时f(y n)= 2nπ，于是当n→∞时，便有y n→∞，且f(y n)→+∞.(3)令z n=(2n-1)π，此时f(z n)= -(2n-1)π，于是当n→∞时，便有z n→∞，且f(z n)→-∞.7、证明：若数列{a n}满足下列条件之一，则{a n}是无穷大数列.(1)=r>1；(2)=S>1 (a n≠0, n=1,2,…).证：(1)令0>1，则存在N1，使当n>N1时，有0，即|a n|> r0n. 又r0n=+∞，即任给G>0，存在N2，使当n>N2时，有r0n>G，取N=max{N1, N2}，则当n>N时，有|a n|>G，∴{a n}是无穷大数列.(2)令=S>S0>1，则存在N1，使当n>N1时，有>S0，从而有|a n|=||·…> ||·. 又||·=+∞，即任给G>0，存在N2，使当n>N2时，有||·>G，取N=max{N1, N2}，则当n>N时，有|a n|>G，∴{a n}是无穷大数列.8、利用7(1)的结论求极限.(1)；(2).解：(1)∵==e>1；∴=+∞.(2)∵==e>1；∴=+∞；∴=0.9、设=+∞，证明：(1)++…+)=+∞；(2)若a n>0(n=1,2,…)则=+∞.证：(1)∵=+∞，∴∀G>0，有N1，当n>N1时，a n>2G.即有>2G,>2G,…, a n>2G(共(n-N1)个).记S n=++…+，当n>N1时，=+>=>=又 1 (n→∞)，∴有N2，当n>N2时，>，N=max{N1, N2}，则当n>N时，有>G，∴++…+)=+∞.(2)∵a n>0(n=1,2,…)且=+∞，∴=+∞.由(1)知+ln+…+ln)=+∞.又+ln+…+ln)==+∞. ∴∞.10、利用上题结果求极限：(1)；(2).证：(1)=，这里a n=n，且a n=+∞；∴=+∞.(2)ln(n!)=ln(1·2·…·n)= ln1+ ln2+…+lnn，这里a n=lnn，且a n=+∞；∴=+∞.11、设f为U⁰-(x0)内的递增函数，证明：若存在数列{x n}⊂U⁰-(x0)且x n→x0(n→∞)，使得：f(x n)=A，则有f(x0-0)==A.证：若有x’∈U⁰-(x0,δ’)，使f(x’)>A，记ε0=>0，∵x n→x0(n→∞)，∴有N’，当n>N’时，有|x n-x0|<，于是x n>. 又f在U⁰-(x0,δ’)内递增，∴f(x n)≥f≥f(x’)>A，∴f(x n)-A≥f(x’)-A>0. 这与f(x n)=A矛盾.∴=A.另一方面，∵f(x n)=A，∴对∀ε>0，∃N，当n>N时有|f(x n)-A|<ε，∵N+1>N，∴|f(x N+1)-A|<ε，记δ=x0-x N+1>0，当0<x0-x<δ时，有x>x N+1，从而f(x)≥f(x N+1).对于任何x∈U⁰-(x0,δ)都有f(x)≤A，于是A-ε<f(x N+1)≤f(x)<A+ε，∴f(x n)=f(x0-0)==A.12、设函数f在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x)且f(x)=A，证明：f(x)≡A(x∈(0,+∞)). 证：设有x0∈(0,+∞)使f(x0)=B≠A，∵f(x0)=f(2x0)=f(4x0)=…=f(2n x0)=…则对数列{ x0,2x0,4x0,…,2n x0,…}，有f(2n x0)=f(x0)=B，又f(x)=A且2n x0→+∞(n→∞)，由归结原则有f(2n x0)=A.∴B=A，与B≠A矛盾，∴f(x)≡A(x∈(0,+∞)).13、设函数f在(0,+∞)上满足方程f(x2)=f(x)且f(x)=f(x)=f(1)证明：f(x)≡f(1)(x∈(0,+∞)).证：设有x0∈(0,+∞)使f(x0)≠f(1)，∵f(x0)= f(x02)= f(x04)= …=f(x02n)=…则对数列{x02,x04,…,x02n,…}，若x0∈(0,1)，则有x02n=0且f(x02n)=f(x0)，又f(x)=f(1)，由归结原则有f(x02n)=f(1)，∴f(x0)=f(1)，与f(x0)≠f(1)矛盾；若x0∈[1,+∞)，则x02n=+∞且f(x02n)=f(x0)，又f(x)=f(1)，由归结原则有f(x02n)=f(1)，∴f(x0)=f(1)，与f(x0)≠f(1)矛盾.∴f(x)≡f(1)(x∈(0,+∞))14、设函数f在(a+∞)上，f在每一个有限区间(a,b)内有界，并满足(f(x+1)-f(x))=A. 证明：=A.证：∵(f(x+1)-f(x))=A，∴∀ε>0，必∃x0>a，使当x≥x0时，有|f(x+1)-f(x)-A|<ε. 设x>x0+1，于是有n>0，满足n<x-x0<n+1，令L=x-x0-n，则0≤L<1，且x=x0+n+L. 于是有||=显然≤=≤<·ε=ε又f(x)在[x0,x0+1)上有界，∴∃x1>0，使当x>x1时，有<ε(0≤L<1)又∃x2>0，使当x>x2时，有<ε令X=max{x0+1,x1,x2}，于是当x>X时，便有||<ε+ε+ε=ε，∴=A.。
第四节 两个重要极限
e3
(2) lim(1 3 x) lim[1 ( 3x )]
x 0 x 0 x
1 x
1 ( 3 ) 3 x
lim{[1 (3x)] }3
e3
1 3 x
15
1 4 x 3 例7 求 lim(1 ) x 2x 1 4 x 3 ) 解：lim(1 x 2x 1 4x 1 3 lim(1 ) (1 ) x 2x 2x 1 2x 2 1 3 lim[(1 ) ] lim(1 ) x x 2x 2x
18
当 x 1时,
有 [ x ] x [ x ] 1,
1 [ x] 1 x 1 [ x ] 1 (1 ) (1 ) (1 ) , [ x] 1 x [ x] 1 [ x ] 1 1 [ x] 1 而 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x x [ x] [ x] [ x] 1 [ x] lim (1 ) x [ x] 1 1 [ x ] 1 1 1 lim (1 ) lim (1 ) e, x x [ x] 1 [ x] 1 1 x lim (1 ) e . x x
12
练习2.求下列极限:
[ A] 1、 (1 3 x ) lim
x 0
1 x
1 x
lim(1 3x) lim[(1 3x) ] e 3
x 0 x 0
1 3x 3
2 2、 (1 ) x lim x x
2 x 2 2 2 lim(1 ) lim{[(1 )] } e 2 x x x x
sin x tan x cos x lim sin x 2、 lim lim x0 x cos x x0 x0 x x sin x 1 1 1 1 lim lim x 0 x x0 cos x
函数极限计算练习题
函数极限计算练习题一、确定下列函数的极限：1. 当x趋近于0时，求函数f(x)=3x的极限；解：我们知道，在函数f(x)=3x中，当x趋近于0时，f(x)也应该趋近于0。
即可得出结论，f(x)的极限为0。
2. 当x趋近于正无穷时，求函数g(x)=2x+1的极限；解：根据函数g(x)=2x+1的表达式，我们可以发现随着x的增大，2x+1也会变得越来越大。
因此，当x趋近于正无穷时，g(x)也会趋近于正无穷。
综上，g(x)的极限为正无穷。
3. 当x趋近于负无穷时，求函数h(x)=x^2的极限；解：函数h(x)=x^2是一个二次函数，当x趋近于负无穷时，x^2也会趋近于正无穷。
因此，h(x)的极限为正无穷。
4. 当x趋近于1时，求函数k(x)=(x-1)/(x^2-1)的极限；解：我们可以先化简一下函数k(x)=(x-1)/(x^2-1)，得到k(x)=1/(x+1)。
当x趋近于1时，x+1也会趋近于2，因此k(x)的极限为1/2。
5. 当x趋近于π/4时，求函数m(x)=tanx的极限；解：函数m(x)=tanx是一个三角函数，当x趋近于π/4时，tanx会趋近于1。
所以m(x)的极限为1。
二、利用极限的性质求下列函数的极限：1. 已知函数p(x)=(2x+3)/(x-1)，求lim(x→1) p(x)的值；解：在计算这个极限的时候，我们可以直接将x的值代入函数p(x)中，得到p(1)=(2×1+3)/(1-1)=5/0。
由于分母为0，导致值无穷大，所以lim(x→1) p(x)不存在。
2. 已知函数q(x)=sinx/x，求lim(x→0) q(x)的值；解：函数q(x)=sinx/x是一个特殊的函数，在x趋近于0的时候，sinx/x也会趋近于1。
因此，lim(x→0) q(x)的值为1。
3. 已知函数r(x)=x^2，求lim(x→3) r(x)的值；解：函数r(x)=x^2是一个二次函数，当x趋近于3时，r(x)也会趋近于9。
高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023
高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023题目一：函数极限1. 计算以下极限：a) lim(x→2) (x^2 + 3x - 4)b) lim(h→0) [(4+h)^2 - 16]/hc) lim(x→∞) [(x+1)/(x-1)]^2d) lim(x→0) (1/x - 1)/(1 - sqrt(1 + x))解答：a) 将x代入函数，得到：lim(x→2) (2^2 + 3*2 - 4) = 8b) 将h代入函数，得到：lim(h→0) [(4+0)^2 - 16]/0 = 0c) 当x趋向于正无穷大时，[(x+1)/(x-1)]^2 = 1d) 将x代入函数，得到：lim(x→0) (1/0 - 1)/(1 - sqrt(1)) = undefined题目二：连续函数2. 判断以下函数在给定区间是否连续：a) f(x) = x^2 - 5x + 6, 在区间[1, 5]上b) g(x) = √(x + 2), 在区间[-2, 3]上c) h(x) = 1/(x-2), 在区间(-∞, 2)上解答：a) 函数f(x)是一个二次函数，对于任意实数x，f(x)都是连续的。
因此，f(x)在区间[1, 5]上连续。
b) 函数g(x)是一个开根号函数，对于非负实数x，g(x)都是连续的。
在区间[-2, 3]上，g(x)的定义域为[-2, ∞)，因此在该区间上连续。
c) 函数h(x)在x=2处的定义域为无穷，因此在该点不连续。
在区间(-∞, 2)上除x=2之外的点，h(x)为一个连续函数。
题目三：函数极限的性质3. 判断以下命题的真假，并简要说明理由：a) 若lim(x→a) f(x) = L，且L≠0，则lim(x→a) [f(x)]^2 = L^2。
b) 若lim(x→a) f(x) = L，且f(x) > 0，那么lim(x→a) 1/f(x) = 1/L。
c) 若lim(x→a) f(x) = L，且lim(x→a) g(x) = M，则lim(x→a) [f(x) +g(x)] = L + M。
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第三章 函数极限知识脉络1．函数极限的24个定义，会用定义证明简单函数极限问题； 2. 函数极限的性质，注意与收敛数列性质的区别；3. 函数极限存在的条件，会判断简单函数的极限是否存在；4. 总结求函数极限的方法，掌握每种方法适用的极限问题；5. 会比较无穷小的阶；6. 会求曲线的渐近线. 一、判断题1. 若要使0lim ()x x f x →存在，()f x 在0x 处必须有定义.（ ）2. 若lim ()x f x A →∞=，则lim ()x f x A →∞=，当且仅当0A =时反之也成立.（ ）3. 若A x f x x =→)(lim 0，则)(x f 可表为))(1()(0x x o A x f →+=. （ ）4. 若0lim ()x x f x A →=存在，则()f x 有界.（ ）5. 若在00()U x 内()()f x g x >，0lim ()x x f x →与0lim ()x x g x →都存在，则00lim ()lim ()x x x x f x g x →→>.（ ）6. 若0lim ()x x f x A →=，0lim ()x x g x B →=，A B >，则在某00()U x 内()()f x g x >.（ ）7. 若30lim ()x f x →存在，则3lim ()lim ()x x f x f x →→=.（ ）8. 若20lim ()x f x →存在，则2lim ()lim ()x x f x f x →→=（ ）9.设函数()f x 为定义在00()U x +上的单调有界函数，则0lim ()x x f x →存在.（ ）10.设函数()f x 为定义在00()U x 上的单调函数，则0lim ()x x f x +→存在.（ ） 11.若()f x 为周期函数，且lim ()0x f x →+∞=，则()0f x ≡.（ ）12.任意两个无穷小都可以进行阶的比较.（ ） 13.无穷小量就是很小很小的数.（ ）16.无穷小量都是有界量，有界量也都是无穷小量.（ ） 17.无限个无穷小的和、差仍然是无穷小.（ ）18.若()f x 和()g x 为当0x x →时的同阶无穷小量，则()(())f x O g x =.（ ） 19. 若()(())f x O g x =(0x x →)，则()f x 和()g x 为同阶无穷小量.（ ） 20. 当0→x 时，0)( )()()(>>=++n m x o x o x o nm nm. （ ）二、填空题1．20lim 1cos x x x →=- ；sin sin limx a x a x a →-=- ； 2．0tan 7lim3x x x →= ；2lim tan n n n π→∞= ；3．()220sin limsin x x x→= ；0sin 3limtan 4x xx→= ；4．04lim sin 5x xx →=；0limx +→= _ _________；5.x x x x sin lim+∞→ = ___ _；12sin lim 2+∞→x xx x = ；6.30tan sin limx x x x →-= ；2112lim 11x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝⎭ ； 7. lim arctan x x e x →-∞= ；=-+---→231lim22x x x x ； 8.lim 1xx x x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭；21lim(1)x x x →∞-=____ __； 9.=+→xx x sec 22)cos 1(lim π；=+-∞→xx xx )1(lim ；10．()()()3100213297lim 31x x x x →∞-+=+ ； 34132lim 43x xx x x →-+=-+ ；11.若30arctan lim sin n x x x x →=0，且0sin lim 01cos n x xx→=-，则正整数n = ； 12．若()1111xx x xe ef x e e ---=+，则()0lim x f x +→= ，()0lim x f x -→= ； 13．01lim sin 0k x x x→=成立k 满足的条件 ；14.若函数21()1x f x x -=-，则()1lim x f x →= ；15.当0x →时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = _ _____；16.当0x →时，2ax 与2tan 4x 是等价无穷小量，则 a = _ _____；17.若 22lim22x x ax bx →++=-，则a =___ ______；b =___ ______； 18.若 22lim(1)xx ax e →-=，则a =___ ______；19.当0x →1与2x 为等价无穷小，则a =___ ______；三、选择题1.符号(00)f +的含义是（ ）(A) (0)f (B) 0lim ()x f x → (C) 0lim ()x f x +→ (D) 0lim ()x f x -→ 2.已知极限22l i m ()0x x a x x→∞++=，则常数a 等于（ ）(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 23.当0→x 时，为无穷小量的是（ ）． (A)x 1sin(B)x x 1sin (C)x x sin(D)x2 4.设函数1()sin f x x x=，则当0x →时，()f x 为（ ） (A) 无界量 (B) 无穷大量 (C) 有界但非无穷小量 (D) 无穷小量 5. 若0lim ()x x f x A →=（A 为常数），则当0x x →时，函数()f x A -是（ ）(A) 无穷大量 (B) 无界，但非无穷大量 (C) 无穷小量 (D) 有界但未必为无穷小量 6. 若0lim ()x x f x →=∞，0lim ()x x g x →=∞，则下式中必定成立的是（ ）(A) 0lim(()())x x f x g x →+=∞ (B) 0lim(()())0x x f x g x →-=(C) 0()lim()x x f x c g x →=≠(D) 0lim ()(0)x x kf x k →=∞≠ 7.下列叙述不正确的是（ ）(A) 无穷大量的倒数是无穷小量 (B) 无穷大量与有界量的乘积是无穷大量 (C) 无穷小量与有界量的乘积是无穷小量 (D)无穷大量与无穷大量的乘积是无穷大量8.)()(lim 0)(lim )(lim,09x g x f x g x f x x x x x x ⋅=∞=→→→，则，若( ) (A) 必为无穷大量 (B) 必为无穷小量 (C) 必为非零常数 (D) 极限值不能确定9.关于下面两个命题结论正确的是（ ）0()""lim ()0lim ()()0 lim0()""lim ()lim ()lim(()())x x x x x x x x x x x x f x a f x g x g x g x b f x g x f x g x →→→→→→=≠=+命题：若，存在，且，则命题：若存在，不存在,则必不存在 ()"""" ()""""()"""" ()""""A a bB a bC a bD a b ，都正确正确，不正确不正确，正确，都不正确10.关于下面两个命题结论正确的是（ ）[]00lim ()lim ()lim ()()lim ()lim ()lim ()()x x x x x x x x x x x x f x g x f x g x f x g x f x g x →→→→→→+⋅命题甲：若、都不存在，则必不存在命题乙：若存在，而不存在，则必不存在() ()() ()A B C D 甲、乙都不成立甲成立，乙不成立甲不成立，乙成立甲、乙都成立11.当0x →时，sin (1cos )x x -是3x 的（ ）(A) 同阶无穷小，但不等价 (B) 等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小12.0()limkx f x x →=，10()lim 0k x g x c x +→=≠(0)k >，当0→x 时，无穷小(),()f x g x 的关系是（ ） (A) ()f x 为()g x 的高阶无穷小 (B) ()g x 为()f x 的高阶无穷小 (C) ()f x 为()g x 的同阶无穷小 (D) ()f x 与()g x 比较无肯定结论12.设tan 0()30kx x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，且0lim ()x f x →存在，则k 的值为（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 413.设11cos 0()101xx x x f x x x e -⎧>⎪⎪=⎨+<⎪⎪+⎩，则（ ）(A)0lim ()0x f x →= (B) 0lim ()lim ()x x f x f x +-→→≠ (C) 0lim ()x f x +→存在，0lim ()x f x -→不存在 (D) 0lim ()x f x +→不存在，0lim ()x f x -→存在 14. 设20()10cos 0x e x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪-<⎩，则0lim ()x f x →（ ）(A) -1 (B) 1 (C)0 (D) 不存在15.已知216lim 51x x ax x→++=-，则a 的值为（ ）(A) 7 (B) -7 (C)2 (D)-216.下列极限计算正确的是（ ）(A)22lim 11n n n x x →∞=+ (B) sin lim 1sin x x x x x →-∞+=- (C)221lim(1)x x e x+→∞+= (D) 311lim 2sin(1)x x x →-=-17设21lim()01x x ax b x →∞+--=+，则常数,a b 的值所组成的数组(,)a b 为（ ） (A) (1,0) (B) (0,1) (C) (1,1) (D) (1,1)-18.已知0cos 1limsin 2x a x x x →-=，则a 的值为（ ）(A) 0 (B) 1 (C)2 (D)-1 19.已知1lim(1)xx kx →+=k 的值为（ ）(A) 1 (B) -1 (C)12(D)2 20.当0x →时，与x 为等价无穷小的是（ ）(A) sin 2x (B)(C) (sin )x x x + (D)2arctan x21. 当1x →时，1211()1x x f x e x --=-的极限是（ ）(A) 2 (B) 0 (C) ∞ (D)不存在但不是无穷大22. 11()sin f x x x=（ 0x <<+∞），则（ ） (A) 当x →+∞时()f x 为无穷小 (B) 当0x →+时()f x 为无穷大 (C) ()f x 有界 (D) 当0x →+时()f x 不是无穷大，但无界 23.当0x →时，下列无穷小量中，最高阶的无穷小是（ ）(A) 2arcsin x (B)1 (C) tan x (D)sin 22sin x x -24.设221()11x x b x f x x a x ⎧++≠⎪=-⎨⎪=⎩， 1lim ()x f x A →=，则下列结论正确的是（ ）(A) 4,3,4a b A ==-= (B)4,4a A ==，b 可以任取 (C) 3,b =-4A =，a 可以任取 (D) ,,a b A 都可以任取25. 设11()sinsin f x x x x x=-， 0lim ()x f x a →=，lim ()x f x b →∞=，则有（ ）(A) 1,1a b =-= (B) 1,1a b =-=- (C) 1,1a b == (D) 1,1a b ==-26. 设()f x 是定义在[,]a b 上的单调增函数，0(,)x a b ∈，则（ ）(A) 0(0)f x -存在，但0(0)f x +不存在 (B) 0(0)f x +存在，但0(0)f x -不存在 (C) 0(0)f x -，0(0)f x +都存在，但0lim ()x x f x →不一定存在 (D) 0lim ()x x f x →存在27.当0x x →时，()f x A -是无穷小是0lim ()x x f x A →=的（ ）(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件 28. 当0x x →时，()x α是无穷小量是当0x x →时，()x α是无穷小量的（ ）(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件 29. 当0x x →时，(),()x x αβ都是无穷小，当0x x →时，下列各式哪个不一定是无穷小（ ） (A) ()()x x αβ+ (B) 22()()x x αβ+ (C)1 (D) 2()()x x αβ30.已知函数2,()1,f x x ⎧-⎪=-⎨11001x x x ≤--<<≤<，则1lim ()x f x →- 和 0lim ()x f x →( )(A) 都存在 (B) 都不存在(C) 第一个存在，第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在31．()11xx x-=+α，()1x =β1x →时有( )(A)α是比β的高阶无穷小 (B)α是比β的低阶无穷小 (C)α与β是同阶无穷小但不等价 (D)~αβ 32．下列极限正确的是（ ）(A) sin lim 1x x x→∞= (B) sin lim sin x x xx x →∞-+不存在(C) 1lim sin 1x x x →∞= (D) lim arctan 2x x π→∞=33. 已知lim()9xx x a x a→∞+=-，则=a ( ) (A)1 (B)∞ (C)3ln (D)3ln 234.曲线2211x x e y e--+=-（ ）(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 35.曲线1sin(0)y x x x=>（ ） (A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线36.曲线2121arctan (1)(2)x x x y e x x ++=--的渐近线有（ ）条(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4 四、叙述下列极限精确地分析定义1.lim ()x f x A →∞= 2. 0lim ()x x f x A +→= 3. 0lim ()x x f x +→=+∞ 4. 0lim ()x x f x A →≠ 五、求下列极限 1．1lim 2sin2n n n x -→∞2．xxx 3sin lim0→ 3.0cos 1lim sin x x x x →-4.0csc cot limx x xx →- 5.xx x 2)41(lim -∞→6．sin 32lim sin 23x x x x x →∞+-7．0x → 8．0x → 9.30ta n s in l im x x x x →- 10．321lim 21xx x x →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭ 11.3131lim()11x x x →--- 12.123lim ()21x x x x +→∞++ 13.512lim 43-+-∞→x x x x 14.xx x x x -+-→22112lim 15.xx x 10)41(lim -→ 六、利用函数极限的定义证明下列各式1.211)1(lim 21=--→x x x x 2．225lim 11x x x →-∞+=-． 七、（深圳大学06年）证明当0x →时，函数1()sinf x x=没有极限。