小信号分析法重点笔记讲解
§4-4 小信号分析法
小信号分析法
根据KVL：
Rs i (t ) + u(t ) = Us + us (t ) 当 us (t ) = 0 时：Rs i(t ) + u(t ) = Us i 非线性电阻的VCR为： = g(u)
us(t) + R
Rs
+ i + u(t) -
Us
Rs IQ + UQ = Us
-
IQ = g(UQ )
2
此时非线性电阻的动态电阻为：
du Rd = = ( i + 1) I = 1.285Ω Q di I Q
1 2 1 U Q = I Q + I Q = ×0.285 2 + 0.285 = 0.33 V 2 2
X
解（续）
(3)作出小信号等效电路如图(c)所示。则：
us ( t ) cos t i (t ) = = = 0.047costA Req + Rd 20 + 1.285 u' (t ) = Rd i ' (t ) = 1.285×0.047cost = 0.06costV
i
+
u
_
R2 U oc = Us R1 + R2 20 = ×12 = 6V 20 + 20
R1 + _
Us
R3 a 。
IQ
+ _
UQ
R2 。 b
20 ×20 Req = R3 + R1 // R2 = 10 + = 20Ω 20 + 20
(a)
X
解（续）
图(a)所示电路等效为图(b)。 (2)对图(b)所示电路，根据KVL有：
小信号模型分析法
其中对于低频小功率管 而
rb≈200
(T=300K)
VT (mV) 26(mV) re I EQ (mA) I EQ (mA)
则
26( mV ) rbe 200 (1 ) I EQ ( mA )
3.4.2 用H参数小信号模型分析共 射极基本放大电路
则电压增益为
( R // R ) V I c c L O A V r V I i b be ( R // R ) I ( Rc // RL ) b c L I r r
b be be
（可作为公式）
3.4.2 小 信号模型 分析
1. 利用直流通路求Q点
VCC VBE IB Rb IC β IB
VCE VCC I C Rc
共射极放大电路
一般硅管VBE=0.7V，锗管VBE=0.2V， 已知。
3.4.2 小 信号模型 分析
2. 画出小信号等效电路
ic + vce 交流通路 共射极放大电路
I b
v V ii Rb
可得小信号模型 ib hie
ic
vbe hrevce
hfeib
hoe
vce
BJT的H参数模型
3.4.1 BJT 的小信号 建模
3. 模型的简化 ib hie vbe hrevce hfeib ic hoe vce
i一般采用习惯符号 b 是受控源 ，且为电流 即 rbe= hie (CCCS) = hfe 控制电流源 。 uT = hre rce= 1/hoe 电流方向与ib的方向是关联
解：
小信号分析法重点笔记..
开关电源的反馈环路设计是开关电源设计的一个非常重要的部分，它关系到一个电源性能的好坏。
要设计一个好的环路，必须要知道主回路的数学模型，然后根据主回路的数学模型，设计反馈补偿环路。
开关电源是一个非线性系统，但可以对其静态工作点附近进行局部线性化，这种方法称为小信号分析法。
以一个CCM模式的BOOST电路为例其增益为：其增益曲线为：其中M和D之间的关系是非线性的。
但在其静态工作点M附近很小的一个区域范围内，占空比的很小的扰动和增益变化量之间的关系是线性的。
因此在这个很小的区域范围内，我们可以用线性分析的方法来对系统进行分析。
这就是小信号分析的基本思路。
因此要对一个电源进行小信号建模，其步骤也很简单，第一步就是求出其静态工作点，第二步就是叠加扰动，第三步就是分离扰动，进行线性化，第四步就是拉氏变换，得到其频域特性方程，也就是我们说的传递函数。
要对一个变换器进行小信号建模，必须满足三个条件,首先要保证得到的工作点是“静”态的。
因此有两个假设条件：1，一个开关周期内，不含有低频扰动。
因此叠加的交流扰动小信号的频率应该远远小于开关频率。
这个假设称为低频假设2，电路中的状态变量不含有高频开关纹波分量。
也就是系统的转折频率要远远小于开关频率。
这个假设称为小纹波假设。
其次为了保证这个扰动是在静态工作点附近，因此有第三个假设条件：3，交流小信号的幅值必须远远小于直流分量的幅值。
这个称为小信号假设。
对于PWM模式下的开关电源，通常都能满足以上三个假设条件，因此可以使用小信号分析法进行建模。
对于谐振变换器来说，由于谐振变换器含有一个谐振槽路。
在一个开关时区或多个开关时区内，谐振槽路中各电量为正弦量，或者其有效成分是正弦量。
正弦量的幅值是在大范围变化的，因此在研究PWM型变换器所使用的“小纹波假设”在谐振槽路的小信号建模中不再适用。
对于谐振变换器，通常采用数据采样法或者扩展描述函数法进行建模。
以一个CCM模式下的BUCK电路为例，应用上面的四个步骤，来建立一个小信号模型。
10-3 非线性电阻电路的小信号分析法
例题 电路如图，已知RS=1W ，US=3V，IS=1A ，非线性电 阻 R 的电流与电压关系为 RS 1 ，式中 i 的单 位为 A ，u的 i= 4 u 3 + 单位 为 V。时变小 信 号 电 压源 US + i -3 sinwt V。求流过非线 uS(t)=2×10 IS u R + 性电阻R 的电流i(t)。 i /A u (t)
US +uS(t)
如：在左图非线性电路中， -3 + 激励源 US+uS(t)=1+2×10 sinwt V u(t) R 1 则uS(t)称为小信号。此电路称为 小信号非线性电路。
2.动态电阻和动态电导 RS i(t) 实例
US +uS(t) + + u(t) R1
U US U0
O
R1
u(t)=f (i(t))
动态电阻：是指在小信号非线性电路中，非线 性电阻特性上工作点处的电压对电流的微分值。
du =Rd di i=I0
动态电阻
动态电阻：是指在小信号非线性电路中，非线 性电阻特性上工作点处的电压对电流的微分值。 利用对偶关系可有 动态电导：是指在小信号非线性电路中，非线 性电阻特性上工作点处的电流对电压的微分值。 di =Gd 动态电导 du u=U0 动态电阻和动态电导取决于：小信号非线性电路中的 非线性电阻特性和直流工作点。
P Du Di I0 US/RS I
直流分量US可决定工作点P(U0, I0)； 小信号uS(t)某时刻的电压响应为Du，电流响应为Di。 由叠加定理可知：电路中的u(t)和i(t)响应分别为 u(t)=U0+Du , i(t)=I0+Di 非线性电阻R1的伏-安特性u(t)=f(i(t)) 可为 U0+Du = f (I0+Di) 将函数f (I0+Di)在工作点P(U0 ,I0)处展成泰勒级数有 U0+Du = f (I0)+f ′ (I0)Di+ 1 f ′′ (I0)Di 2+ … 2
小信号模型分析法(微变等效电路法)
ic hoe vce
β = hfe
rce= 1/hoe
• ur很小，一般为10-3∼10-4 ， 很小，一般为10 • rce很大，约为100kΩ。故 很大，约为100kΩ 100k 一般可忽略它们的影响， 一般可忽略它们的影响， 得到简化电路 BJT的 BJT的H参数模型为
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模拟电子技术基础
2
β 一般用测试仪测出； 一般用测试仪测出；
H参数的确定 H参数的确定
rbe 与Q点有关，可用图示 点有关，
仪测出。 仪测出。 也用公式估算 rbe rbe= rb + (1+ β ) re
rb为基区电阻，约为200Ω 为基区电阻，约为200 200Ω
VT (m ) V 26(m ) V re = = IEQ(m ) IEQ(m ) A A
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二
建立小信号模型的思路
当放大电路的输入信号电压很小时，就可以把三极管 当放大电路的输入信号电压很小时， 小范围内的特性曲线近似地用直线来代替， 小范围内的特性曲线近似地用直线来代替，从而可以把三 极管这个非线性器件所组成的电路当作线性电路来处理。 极管这个非线性器件所组成的电路当作线性电路来处理。
dvBE = ∂vBE ∂iB
VCE ⋅ di + B
ic ib + vbe – b e c + vce –
∂iC d iC = ∂iB
∂iC VCE ⋅ diB + ∂vCE
∂vBE ∂vCE
IB
⋅ dvCE
IB
⋅ dvCE
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模拟电子技术基础
vbe = hieib + hrevce ic = hfe ib + hoevce
模电03(小信号模型分析法)
diB
iC vCE
IBQ dvCE
（Q点附近）
用小信号交流分量表示 vbe= hieib+ hrevce 从而，此公式仅对 ic= hfeib+ hoevce 交流小信号有效。
1. BJT的H参数及小信号模型
• H参数的引出
vbe= hieib+ hrevce
ic= hfeib+ hoevce
非线性器件做线性化处理，简化分 析和设计。
建立小信号模型的思路
如果输入信号：很小，频率较低， 就：可以把三极管小范围内的特 性曲线近似地用直线来代替， 从而：可以把三极管组成的电路 当作线性电路来处理。
1. BJT的H参数及小信号模型
• H参数的引出 对于BJT双口网络，已知输入
输出特性曲线如下：
2. 用H参数小信号模型分析基本共射极放大电路 （1）利用直流通路求Q点
IBQ
VB B
VBEQ Rb
ICQ β IBQ
VCEQ
(VCC
VCEQ Rc
ICQ )RL
共射极放大电路
一般硅管VBEQ=0.7V，锗管VBEQ=0.2V， 已知。
2. 用H参数小信号模型分析基本共射极放大电路 （2）画小信号等效电路
优点： 分析放大电路的动态性能指标(Av 、Ri和Ro等)非常方便，
且适用于频率较高时的分析。
缺点： 在BJT与放大电路的小信号等效电路中，电压、电流等
电量及BJT的H参数均是针对变化量(交流量)而言的，不能用 来分析计算静态工作点。
例题
1. 电路如图所示。试画出其小信号等效模型电路。
解：
Cb1 ++ vi -
4.3 放大电路的分析方法
小信号模型分析法1静态工作点的图...
ib rbe vbe µT vce
ic
β ib
rce vce
1. BJT的H参数及小信号模型
• H参数的确定
β 一般用测试仪测出；
rbe 与Q点有关，可用图示仪 测出。 一般也用公式估算 rbe
v be ib rb + (1 + β )ib re rbe = = = rb + (1+ β ) re ib ib
IB + VBE -
IC + VCE -
直流通路
华中科技大学电信系
张林
iB VCC Rb IBQ Q
iC VCC Rc Q 斜率 IBQ 1 Rc
ICQ
VBEQ
VCC
vBE
VCEQ
VCC
vCE
• 在输入特性曲线上，作出直线 vBE =VCC－iBRb，两线的交点即 是Q点，得到IBQ。 • 在输出特性曲线上，作出直流负载线 vCE=VCC－iCRc，与IBQ曲 线的交点即为Q点，从而得到VCEQ 和ICQ。
华中科技大学电信系 张林
4.3.1 图解分析法
1. 静态工作点的图解分析 采用该方法分析静态工作点，必须已知三极管的输入 输出特性曲线。
IB + VBE 共射极放大电路
IC + VCE -
直流通路
• 首先，画出直流通路
华中科技大学电信系 张林
4.3.1 图解分析法
1. 静态工作点的图解分析 • 列输入回路方程 vBE =VCC－iBRb • 列输出回路方程（直流负载线） vCE=VCC－iCRc
华中科技大学电信系
张林
2. 动态工作情况的图解分析
• 由交流通路得交流负载线： vce= -ic⋅ (Rc //RL) 因为交流信号过零时，电路中 电压、电流值就等于静态值，所以 交流负载线必过Q点，即 vce= vCE - VCEQ ic= iC - ICQ 同时，令R′L = Rc//RL 则交流负载线为 vCE - VCEQ= -(iC - ICQ )⋅ R′L 即 iC = (-1/R′L)⋅ vCE + (1/R′L) VCEQ+ ICQ
小信号分析法
u1 (t ), i1 (t )是由于小信号 uS (t ) 作用所引起的偏 式中， u1 (t ), i1 (t )相对 (UQ , IQ )都是很小 差。在任何时刻t， 的量。
小信号分析法
U0 R0
R0
i
i
A
i f (u )
IQ
Q
B
0
u
uS (t )
U0
i f (u )
UQ
U0
u
（a ）
（b）
首先按照KVL列出电路方程： U0 uS (t ) R0i(t ) u(t )
静态工作点满足： U0 R0 IQ UQ
IQ f (UQ )
小信号分析法
Rd
uS (t )
u1 (t )
uS (t ) i1 (t ) R0 Rd Rd uS (t ) u1 (t ) R0 Rd
在图(a)所示电路中，如果非线性电阻R是电流 控制型的，其伏安特性 u g (i ) ，用小信号分 析法分析上述电路可以得到类似的结果。其中 dg 动态电阻应为 Rd di I
Q
由于 i f (u )，而 u UQ u1 (t )，所以：
i(t ) f [U Q u1 (t )] I Q i1 (t ) f [U Q u1 (t )]
小信号分析法
定义:
df 1 i1 (t ) Gd du UQ Rd
为非线性电阻在工作点 (UQ , IQ ) 处的动态电导， 可得: i1 (t ) Gd u1 (t ) u1 (t ) Rd i1 (t )
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开关电源的反馈环路设计是开关电源设计的一个非常重要的部分，它关系到一个电源性能的好坏。
要设计一个好的环路，必须要知道主回路的数学模型，然后根据主回路的数学模型，设计反馈补偿环路。
开关电源是一个非线性系统，但可以对其静态工作点附近进行局部线性化，这种方法称为小信号分析法。
以一个CCM模式的BOOST电路为例其增益为：其增益曲线为：其中M和D之间的关系是非线性的。
但在其静态工作点M附近很小的一个区域范围内，占空比的很小的扰动和增益变化量之间的关系是线性的。
因此在这个很小的区域范围内，我们可以用线性分析的方法来对系统进行分析。
这就是小信号分析的基本思路。
因此要对一个电源进行小信号建模，其步骤也很简单，第一步就是求出其静态工作点，第二步就是叠加扰动，第三步就是分离扰动，进行线性化，第四步就是拉氏变换，得到其频域特性方程，也就是我们说的传递函数。
要对一个变换器进行小信号建模，必须满足三个条件,首先要保证得到的工作点是“静”态的。
因此有两个假设条件：1，一个开关周期内，不含有低频扰动。
因此叠加的交流扰动小信号的频率应该远远小于开关频率。
这个假设称为低频假设2，电路中的状态变量不含有高频开关纹波分量。
也就是系统的转折频率要远远小于开关频率。
这个假设称为小纹波假设。
其次为了保证这个扰动是在静态工作点附近，因此有第三个假设条件：3，交流小信号的幅值必须远远小于直流分量的幅值。
这个称为小信号假设。
对于PWM模式下的开关电源，通常都能满足以上三个假设条件，因此可以使用小信号分析法进行建模。
对于谐振变换器来说，由于谐振变换器含有一个谐振槽路。
在一个开关时区或多个开关时区内，谐振槽路中各电量为正弦量，或者其有效成分是正弦量。
正弦量的幅值是在大范围变化的，因此在研究PWM型变换器所使用的“小纹波假设”在谐振槽路的小信号建模中不再适用。
对于谐振变换器，通常采用数据采样法或者扩展描述函数法进行建模。
以一个CCM模式下的BUCK电路为例，应用上面的四个步骤，来建立一个小信号模型。
对于一个BUCK电路当开关管开通时，也就是在(0-DTs)区间。
其状态方程为当开关管S断开时，二极管D导通，忽略二极管D的压降，可得到等效电路其状态方程为：将状态变量在一个开关周期内求平均，简化后得到：这便是一个开关周期内的状态方程，基于上面的低频和小纹波假设，变换器在一个开关周期内是稳定的，因此这也是其静态工作点的方程。
对上面的稳态方程叠加扰动，可以得到以下方程：进行分解后为：将稳态方程代入分解后的扰动方程，便可将扰动方程进行分离：基于上面的第三个假设，即小信号假设，因此可以忽略掉 ,因此可以得到CCM模式下BUCK的小信号方程：对于一个开关电源，我们的控制目标是输出电压，控制变量是占空比D。
因此，我们可以忽略掉输入电压扰动，得到占空比扰动所对应的输出电压的扰动方程。
对上面的方程进行拉氏变换，得到其频域方程：将两个方程进行整合，可以得到占空比的扰动与输出电压扰动之间的关系：化简后就可以得到：从上面的方程已经很清晰的看到输出电压扰动与占空比扰动之间的关系，将其移项便可以得到CCM BUCK的传递函数：小信号分析法主要是状态空间平均法，由美国加里福尼亚理工学院的R.D.Middlebrook于1976年提出，可以说这是电力电子学领域建模分析的第一个真正意义的重大突破。
后来出现的如电流注入等效电路法、等效受控源法（该法由我国学者张兴柱于1986年提出）、三端开关器件法等，这些均属于电路平均法的范畴。
平均法的缺点是明显的，对信号进行了平均处理而不能有效地进行纹波分析；不能准确地进行稳定性分析；对谐振类变换器可能不大适合；关键的一点是，平均法所得出的模型与开关频率无关，且适用开关电源条件是电路中的电感电容等产生的自然频率必须要远低于开关频率，准确性才会较高。
大信号分析法有解析法、相平面法、大信号等效电路模型法、开关信号流法、n次谐波三端口模型法、KBM法及通用平均法。
还有一个是我国华南理工大学教授丘水生先生于1994年提出的等效小参量信号分析法，不仅适用于PWM变换器也适用于谐振类变换器，并且能够进行输出的纹波分析。
建模的目的是为了仿真，继而进行稳定性分析。
1978年，R.Keller首次运用R.D.Middlebrook的状态空间平均理论进行开关电源的SPICE仿真。
近30年来，在开关电源的平均SPICE模型的建模方面，许多学者都建立了开关电源各种各样的模型理论，从而形成了各种SPICE模型。
这些模型各有所长，比较有代表性的有：Dr.SamBenYaakov的开关电感模型；Dr.RayRidley的模型；基于Dr.VatcheV orperian的Orcad9.1的开关电源平均Pspice模型；基于Steven Sandler 的ICAP4的开关电源平均Isspice模型；基于Dr. VincentG.Bello的Cadence的开关电源平均模型等等。
在使用这些模型的基础上，结合变换器的主要参数进行宏模型的构建，并利用所建模型构成的DC-DC变换器在专业的开关电源仿真软件（如Matlab、Pspice等）平台上进行直流分析、小信号分析以及闭环大信号瞬态分析。
设计一个具有良好动态和静态性能的开关电源时，控制环路的设计是很重要的一个部分。
而环路的设计与主电路的拓扑和参数有极大关系。
为了进行稳定性分析，有必要建立开关电源完整的小信号数学模型。
在频域模型下，波特图提供了一种简单方便的工程分析方法，可用来进行环路增益的计算和稳定性分析。
由于开关电源本质上是一个非线性的控制对象，因此，用解析的办法建模只能近似建立其在稳态时的小信号扰动模型，而用该模型来解释大范围的扰动（例如启动过程和负载剧烈变化过程）并不完全准确。
好在开关电源一般工作在稳态，实践表明，依据小信号扰动模型设计出的控制电路，配合软启动电路、限流电路、钳位电路和其他辅助部分后，完全能使开关电源的性能满足要求。
开关电源一般采用Buck电路，工作在定频PWM控制方式。
Buck电路电感电流连续时的小信号模型图1为典型的Buck电路，为了简化分析，假定功率开关管S和D1为理想开关，滤波电感L为理想电感（电阻为0），电路工作在连续电流模式（CCM）下。
Re为滤波电容C的等效串联电阻，Ro为负载电阻。
各状态变量的正方向定义如图1中所示。
S导通时，对电感列状态方程有L(dil/dt)=Uin－Uo （1）S断开，D1续流导通时，状态方程变为L(dil/dt)=－Uo （2）占空比为D时，一个开关周期过程中，式（1）及式（2）分别持续了DTs和（1－D）Ts的时间（Ts为开关周期），因此，一个周期内电感的平均状态方程为L(dil/dt)=D(Uin－Uo)＋(1－D)(－Uo)=DUin－Uo （3）稳态时DUin=0，则DUin=Uo。
这说明稳态时输出电压是一个常数，其大小与占空比D和输入电压Uin成正比。
由于电路各状态变量总是围绕稳态值波动，因此，由式（3）得L[d(il+il')/dt]=(D＋d)(Uin＋Uin')－(Uo＋Uo') （4）式（4）由式（3）的稳态值加小信号波动值形成。
上标为波浪符的量为波动量，d为D的波动量。
式（4）减式（3）并略去了两个波动量的乘积项得L(dil'/dt)=DUin'＋dUin－Uo' （5）由图1，又有iL=C(duc/dt)＋Uo/R0 （6）Uo=Uc＋ReC(duc/dt) （7）式（6）及式（7）不论电路工作在哪种状态均成立。
由式（6）及式（7）可得iL＋ReC(dil/dt)=1/Ro(Uo＋CRo(duo/dt)) （8）式（8）的推导中假设Re<<Ro。
由于稳态时dil/dt=0，dUo/dt=0，由式（8）得稳态方程为iL=Uo/Ro。
这说明稳态时电感电流平均值全部流过负载。
对式（8）中各变量附加小信号波动量得式（9）减式（8）得iL+ReC(dil/dt)=1/Ro(Uo＋CRo(dUo/dt)) （10）将式（10）进行拉氏变换得iL(s)=(Uo(s)/Ro)·[(1+sCRo)/(1+sCRe)] (11)一般认为在开关频率的频带范围内输入电压是恒定的，即可假设=0并将其代入式（5），将式（5）进行拉氏变换得sLiL'(s)=d(s)Uin－Uo'(s) （12）由式（11），式（12）得Uo'(s)/d(s)=Uin[(1+sCRe)/(s2LC+s(ReC+L/Ro)+1] （13）iL'(s)/d(s)=[(1+sCRo)/s2LC+s(ReC+L/Ro)+1]·Uin/Ro （14）式(13)，式(14)便Buck电路在电感电流连续时的控制－输出小信号传递函数。
2 电压模式控制（VMC）电压模式控制方法仅采用单电压环进行校正，比较简单，容易实现，可以满足大多数情况下的性能要求，如图2所示。
图2中，当电压误差放大器（E/A）增益较低、带宽很窄时，Vc波形近似直流电平，并有D=Vc/Vs （15）d=Vc'/Vs （16）式（16）为式（15）的小信号波动方程。
整个电路的环路结构如图3所示。
图3没有考虑输入电压的变化，即假设Uin=0。
图3中，（一般为0）及分别为电压给定与电压输出的小信号波动；KFB=UREF/Uo，为反馈系数；误差e为输出采样值偏离稳态点的波动值，经电压误差放大器KEA放大后，得；KMOD为脉冲宽度调制器增益，KMOD=d/=1/Vs；KPWR为主电路增益，KPWR=/d=Uin；KLC为输出滤波器传递函数，KLC=(1+sCRe)/[S2LC+s(ReC+L/Ro)+1]。
在已知环路其他部分的传递函数表达式后，即可设计电压误差放大器了。
由于KLC提供了一个零点和两个谐振极点，因此，一般将E/A设计成PI调节器即可，KEA=KP(1＋ωz/s)。
其中ωz用于消除稳态误差，一般取为KLC零极点的1/10以下；KP用于使剪切频率处的开环增益以－20dB/十倍频穿越0dB线，相角裕量略小于90°。
VMC方法有以下缺点：1）没有可预测输入电压影响的电压前馈机制，对瞬变的输入电压响应较慢，需要很高的环路增益；2）对由L和C产生的二阶极点（产生180°的相移）没有构成补偿，动态响应较慢。
平均电流模式控制含有电压外环和电流内环两个环路，如图4所示。
电压环提供电感电流的给定，电流环采用误差放大器对送入的电感电流给定（Vcv）和反馈信号（iLRs）之差进行比较、放大，得到的误差放大器输出Vc再和三角波Vs进行比较，最后即得控制占空比的开关信号。
图4中Rs为采样电阻。