高中数学必修四同步练习题库：两角和差的正弦、余弦和正切公式(选择题：较易)
两角和差的正弦、余弦和正切公式（选择题：较易）1、已知,,则A． B．1 C． D．2、若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于 ()A．－3 B．C．3 D．3、下列各式中，值为的是（）A． B．C． D．4、若角的终边经过点，则= （）A． B． C． D．5、已知是方程的两根,则等于（）A．-3 B． C． D．36、，则（）A． B．C． D．7、设为第四象限的角，cos=，则sin2=（）A． B．C． D．8、已知＜＜π，3sin2=2cos，则等于（）A． B．C． D．9、sin15°sin105°的值是（）A． B． C． D．10、已知，则的值是（）A． B． C． D．11、已知角均为锐角，且cos=，tan（−）=−，tan=（）A． B． C． D．312、tan +tan +tan ∙tan 的值是（）A． B．C．0 D．113、=（）A． B． C． D．14、计算的值为（）A． B． C．2+ D．2−15、下列式子恒成立的是（）A．sin（α+β）="sin" α+sin βB．cos（α−β）="cos" αcos β+sin αsin βC．sin（α−β）="cos" αcos β−sin αsin βD．cos（α+β）="cos" αsin β−sin αcos β16、下面利用两角差的余弦公式化简，其中错误的是（）A．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60°B．cos 75°＝cos 45°cos（－30°）＋sin 45°sin（－30°）C．sin（α＋45°）sin α＋cos（α＋45°）cos α＝cos 45°D．cos（α－）＝cos α＋sin α17、cos 17°等于（）A．cos 20°cos 3°－sin 20°sin 3°B．cos 20°cos 3°＋sin 20°sin 3°C．sin 20°sin 3°－cos 20°cos 3°D．cos 20°sin 20°＋sin 3°cos 3°18、sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是（）A． B． C． D．19、已知，则（）A． B． C． D．20、设，若，则的值为（）A． B． C． D．21、已知，且，则A． B． C． D．22、已知为锐角，且满足，则等于（）A．或 B． C． D．23、已知为第二象限角，，则（）A． B． C． D．24、已知，则的值为（）A． B． C． D．25、式子的值为（）A． B． C． D．126、计算A． B． C． D．27、已知，且，则的是（）A． B． C． D．28、已知且，则=( )A． B． C． D．29、已知，则等于( )A． B． C． D．30、（）A． B． C． D．31、若，则为A． B． C． D．32、( )A． B．1 C． D．33、 sin13o cos17o+cos13o sin17o化简得（）A． B． C．sin4o D．cos4o34、向量，，若∥，则（）A．3 B． C． D．35、已知，，那么的值为（）.A． B． C． D．36、A． B． C． D．37、函数的零点是和，则（）A． B． C． D．38、已知函数，且，则的值是（）．A． B． C． D．39、在△ABC中，，BC边上的高等于，则sin A＝A． B． C． D．40、已知是第四象限角，且，则（）A． B． C． D．41、若点在直线上，则（）A． B． C． D．42、设，且，则（）A． B． C． D．43、已知，，则=（）A． B． C． D．44、已知角的终边经过点，则的值为（）A． B． C． D．45、下列各式中，值为的是（）A． B． C． D．46、已知sin 2x＝，则= ()A．－ B． C． D．－47、公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为，这一数值也可以表示为，若，则（）A． B． C． D．48、已知（）A． B． C． D．49、已知，则（）A． B． C． D．50、cos275°＋cos215°＋cos75°·cos15°的值是 ()A． B．C． D．1＋51、已知的内角所对的边分别为，若，，则角的度数为（）A．120° B．135° C．60° D．45°52、已知，则的值是A． B． C． D．53、若A．-3 B．3 C． D．54、若，则（）A． B． C． D．55、若，则（）A． B． C． D．56、在中，角所对的边分别为，且满足，则一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形57、在中，角的对边分别为，已知，则的大小是（）A． B． C． D．58、函数的最小正周期是（）A． B． C． D．59、已知，那么的值为（）A． B． C． D．60、当cos 2α=时,sin4α+cos4α的值是()A．1 B． C． D．61、已知向量,，，则等于( )A． B． C． D．62、若＝，则cos(π-2α)＝()A． B． C． D．63、的值为()A． B． C． D．64、的值是()A．- B．0 C． D．65、已知角的终边经过点，则（）A． B． C． D．66、若，则的值为（）A． B． C． D．167、已知α为锐角，且A． B． C．－ D．±68、，则（）A． B． C． D．69、已知，则（）A． B． C． D．70、已知，，则角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角参考答案1、B2、D3、C．4、B5、C6、C7、D8、C9、A10、A11、D12、D13、A14、B15、B16、D17、B18、B19、D20、C21、C22、D23、C.24、D25、B26、B27、C28、C29、A30、B31、D32、B33、B34、B35、C36、D37、C38、D39、D40、D41、D42、B43、C44、A45、B46、C47、B48、D49、B50、A51、B52、D53、D54、C55、C56、A57、C58、B59、A60、C61、D62、C63、B64、D65、D66、C67、A68、A69、A70、A【解析】1、因为,,则，选B2、,故选D.3、试题分析：，，；故选C．考点：二倍角公式的应用．4、试题分析：由题意：，所以，，故选B.考点：1、任意见角的三角函数的定义；2、二倍角的正切人公式.5、∵是方程的两根，∴∴故选：C6、试题分析:因,故，,应选C. 考点：同角三角函数的关系及余弦二倍角公式的运用.7、∵为第四象限的角，cos=，∴sin= =，则sin2=2sin cos=，故选D．考点：二倍角的正弦.8、∵＜＜π，3sin2=2cos，∴sin=，cos=．∴，故选C．考点：二倍角的正弦.9、sin15°sin105°=sin15°cos15°=sin30°=，故选A．考点：二倍角的正弦.10、试题分析：，选A.考点：给值求值【方法点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异。
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的。
(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角。
11、∵角，均为锐角，且cos=，∴sin = =，tan=，又tan（−）===−，∴tan=3，故选D．考点：两角和与差的正切.12、因为tan=tan（+）= =，所以（tan +tan 19°）=1−tan 11°tan 19°.原式= （tan +tan ）+tan∙tan=1−tan 11°•tan 19°+tan 11°•tan 19°=1，故选D.考点：两角和与差的正切．13、，故选A．考点：两角和与差的正弦.14、==tan（45°+15°）="tan" 60°=，故选B.考点：两角和与差的正切．15、根据两角和与差的正弦公式、余弦公式可得cos（α−β）="cos" αcos β+sin αsin β，故选B．考点：两角和与差的余弦，两角和与差的正弦.16、cos（α－）＝cos α＋sin α.考点：两角差的余弦公式.17、cos 17°＝cos（20°－3°）＝cos 20°cos 3°＋sin 20°sin 3°.考点：两角差的余弦公式.18、sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos（76°－16°）＝cos 60°＝.考点：两角差的余弦公式.19、试题分析：因为，结合及，得，又，所以，所以，故选D．考点：1、同角三角函数关系式；2、两角差的正弦公式.20、试题分析：由可得考点：同角间的三角函数关系及两角和差的正弦公式21、试题分析：由得：解方程组：得：或因为，所以所以不合题意，舍去所以，所以，故选C.考点：同角三角函数的基本关系和两角差的三角函数公式.22、试题分析：由题可知：，故有，得出，即，即。
考点：二倍角公式23、试题分析：∵，∴，，∴，又∵是第二象限角，∴，，∴，∴. 考点：三角恒等变形.24、试题分析：由已知得，从而，故选D．考点：诱导公式及余弦倍角公式．25、试题分析：由两角和与差的余弦公式得考点：三角恒等变换26、试题分析：逆用两角差的余弦公式得：cos60°=.考点：（1）两角和与差的三角函数.27、试题分析：由得，，即，，可得，因为，故，所以，．考点：三角恒等变换．28、试题分析：，，因为，，，所以，，所以，所以，故C正确。
2017秋人教A版高中数学必修四练习：3-1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3-1-1 含解析 精品
第三章 3.1 3.1.1A 级 基础巩固一、选择题1．cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6的值是导学号 14434950( C )A ．0B ．12C ．22D ．32[解析] 原式＝cos 5π12cos π6＋sin 5π12·sin π6＝cos(5π12－π6)＝cos π4＝22.2．cos285°等于导学号 14434951( A ) A ．6－24 B ．6＋24 C ．2－64D ．－2＋64[解析] cos285°＝cos75°＝cos(45°＋30°)＝6－24. 3．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 是导学号 14434952( D ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形[解析] 由题意，得cos A cos B －sin A sin B >0. 即cos(A ＋B )>0，－cos C >0，cos C <0.又0<C <π，故π2<C <π，△ABC 为钝角三角形．4．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是导学号 14434953( B ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2xD ．－cos2y[解析] 原式＝cos(x ＋y )cos(x －y )＋sin(x ＋y )·sin(x －y )＝cos[(x ＋y )－(x －y )]＝cos2y . 5．已知sin(30°＋α)＝35，60°<α<150°，则cos α＝导学号 14434954( A )A ．3－4310B ．3＋4310C ．4－3310D ．4＋3310[解析] ∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°， ∴cos(30°＋α)＝－45，又cos α＝cos[(30°＋α)－30°]＝cos(30°＋α)cos30°＋sin(30°＋α)sin30°＝－45×32＋35×12＝3－4310.6．若sin α·sin β＝1，则cos(α－β)的值为导学号 14434955( B ) A ．0 B ．1 C ．±1D ．－1[解析] ∵sin αsin β＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝－1sin β＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝1sin β＝1， 由cos 2α＋sin 2α＝1得cos α＝0，∴cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β＝0＋1＝1. 二、填空题7．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则cos(α－π3)的值是 45 .导学号 14434956[解析] cos(α－π6)＋sin α＝32cos α＋32sin α＝453，12cos α＋32sin α＝45， ∴cos(α－π3)＝12cos α＋32sin α＝45.8．已知tan θ＝34，θ∈(π2，π)，则cos(θ－π3)的值为 10 .导学号 14434957[解析] ∵tan θ＝34，∴sin θ＝35，cos θ＝－45，∴cos(θ－π3)＝cos θcos π3＋sin θsin π3＝－45×12＋35×32＝33－410.三、解答题 9．已知α、β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，求cos(α＋π4)的值.导学号 14434958[解析] ∵α、β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，∴α＋β∈(3π2，2π)，β－π4∈(π2，3π4)，∴cos(α＋β)＝1－(－35)2＝45，cos(β－π4)＝－1－(1213)2＝－513，∴cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝cos(α＋β)·cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)＝45×(－513)＋(－35)×1213＝－5665. 10．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45，且π4<α<3π4，求cos α的值.导学号 14434959 [解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45，且π4<α<3π4， ∴π2<α＋π4<π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4 ＝－35×22＋45×22＝210.B 级 素养提升一、选择题1．若sin(π2＋θ)<0，且cos(π2－θ)>0，则θ是导学号 14434960( B )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 因为cos θ<0，sin θ>0，∴θ是第二象限角． 2．若32sin x ＋12cos x ＝4－m ，则实数m 的取值范围是导学号 14434961( A ) A ．3≤m ≤5 B ．－5≤m ≤5 C ．3<m <5 D ．－3≤m ≤3[解析] ∵32sin x ＋12cos x ＝32sin x ＋12cos x ＝cos x cos π3＋sin x sin π3＝cos(x －π3)＝4－m ，∴cos(x －π3)＝4－m ，∴|4－m |≤1，解得3≤m ≤5.3．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35，π3<α<5π6，则cos α的值是导学号 14434962( A ) A ．3－4310B ．4－3310C ．23－35D ．3－235[解析] ∵π3<α<5π6，∴π2<π6＋α<π.∴cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－45. ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π6＋α－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋αsin π6 ＝－45×32＋35×12＝3－4310.4．已知sin α＋sin β＝45，cos α＋cos β＝35，则cos(α－β)的值为导学号 14434963( D )A ．925B ．1625C ．12D ．－12[解析] 由已知，得(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝⎝⎛⎭⎫452＋⎝⎛⎭⎫352＝1， 所以2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1， 即2＋2cos(α－β)＝1. 所以cos(α－β)＝－12.二、填空题5．cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61°＋2α)sin(31°＋2α)＝ 2.导学号 14434964 [解析] 原式＝cos[(61°＋2α)－(31°＋2α)] ＝cos30°＝32.6．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos α，则tan α＝ 3.导学号 14434965 [解析] cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3 ＝12cos α＋32sin α＝cos α， ∴32sin α＝12cos α，∴sin αcos α＝33，即tan α＝33. 三、解答题7．已知：cos(2α－β)＝－22，sin(α－2β)＝22，且π4<α<π2，0<β<π4，求cos(α＋β).导学号 14434966[解析] 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以π4<2α－β<π.因为cos(2α－β)＝－22，所以π2<2α－β<π. 所以sin(2α－β)＝22. 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以－π4<α－2β<π2，因为sin(α－2β)＝22，所以0<α－2β<π2， 所以cos(α－2β)＝22. 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)·sin(α－2β) ＝－22×22＋22×22＝0. 8．已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0,0<φ<π，x ∈R )的最大值是1，其图象经过点M (π3，12).导学号 14434967 (1)求f (x )的解析式；(2)已知α、β∈(0，π2)，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (α－β)的值．[解析] (1)由题意，知A ＝1，则f (x )＝sin(x ＋φ)．将点M (π3，12)代入，得sin(π3＋φ)＝12.而0<φ<π，∴π3＋φ＝56π，∴φ＝π2，故f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x .(2)由题意，有cos α＝35，cos β＝1213.∵α、β∈(0，π2)，∴sin α＝1－(35)2＝45，sin β＝1－(1213)2＝513，∴f (α－β)＝cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×1213＋45×513＝5665.C 级 能力拔高若cos(α－β)＝55，cos2α＝1010，且α、β均为锐角，α<β，则α＋β的值为导学号 14434968( C )A ．π6B ．π4C ．3π4D ．5π6[解析] ∵0<α<π2，0<β<π2，α<β，∴－π2<α－β<0.又cos(α－β)＝55， ∴sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－255.又∵0<2α<π，cos2α＝1010， ∴sin2α＝1－cos 22α＝31010.∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝1010×55＋31010×(－255)＝－22.又0<α＋β<π，故α＋β＝3π4.。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)两角和差的正弦余弦正切公式练题一、选择题1.给出如下四个命题：①对于任意的实数α和β，等式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ恒成立；②存在实数α，β，使等式cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ能成立；③公式tan(α+β)=tanα+tanβ成立的条件是α≠kπ+π(k∈Z)且β≠kπ+π(k∈Z)；1-tanαtanβ/2④不存在无穷多个α和β，使sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。
其中假命题是（）A。
①②B。
②③C。
③④D。
②③④2.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是（）A。
1+2B。
2-1C。
2D。
2/33.当x∈[-π/2,π/2]时，函数f(x)=sinx+3cosx的（）A。
最大值为1，最小值为-1B。
最大值为1，最小值为-1/2C。
最大值为2，最小值为-2D。
最大值为2，最小值为-14.已知tan(α+β)=7，tanαtanβ=2/3，则cos(α-β)的值（）A。
1/2B。
2/2C。
-2D。
±25.已知π/2<β<α<3π/4，cos(α-β)=12/13，sin(α+β)=-3/5，则sin2α=（）A。
56/65B。
-56/65C。
6565/56D。
-5/66.sin15°sin30°sin75°的值等于（）A。
3/4B。
3/8C。
1/8D。
1/47.函数f(x)=tan(x+π/4)+1+tanx/4，g(x)=1-tanx，h(x)=cot(π/4-x)。
其中为相同函数的是（）A。
f(x)与g(x)B。
g(x)与h(x)C。
h(x)与f(x)D。
f(x)与g(x)及h(x)8.α、β、γ都是锐角，tanα=1/2，tanβ=1/5，tanγ=1/8，则α+β+γ等于（）A。
π/3B。
π/4C。
π/5D。
人教A版高中数学必修四两角和与差的正弦、余弦公式同步练习新
3.1.2两角和与差的正弦、余弦公式一、选择题1．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β的值为( )A ．0 B.45C ．0或45D ．0或±45[答案] A[解析] 由条件得，cos αcos β－sin αsin β＝45，cos αcos β＋sin αsin β＝－45，左右两边分别相加可得cos α·cos β＝0.2．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c D ．b <c <a [答案] B[解析] a ＝2sin(14°＋45°)＝2sin59°，b ＝2sin(16°＋45°)＝2sin61°，c ＝2·32＝2sin60°，由y ＝sin x 在(0°，90°)上单调增知：a <c <b . 3.2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋6sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的化简结果是( ) A ．22sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋x B ．22sin ⎝⎛⎭⎫x －5π12 C ．22sin ⎝⎛⎭⎫7π12＋x D ．22sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12[答案] A [解析]2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋6sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋6sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋6sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝22⎣⎡⎦⎤12cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋32sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x＝22⎣⎡⎦⎤sin π6cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋cos π6sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝22sin ⎣⎡⎦⎤π6＋⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋x . 4．若α、β均为锐角，sin α＝255，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( )A.255B.2525C.255或2525D ．－2525[答案] B[解析] ∵α与β均为锐角，且sin α＝255>sin(α＋β)＝35，∴α＋β为钝角，又由sin(α＋β)＝35得，cos(α＋β)＝－45，由sin α＝255得，cos α＝55，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525，故选B.5．若α、β为两个锐角，则( ) A ．cos(α＋β)>cos α＋cos β B ．cos(α＋β)<cos α＋cos β C ．cos(α＋β)>sin α＋sin β D ．cos(α＋β)<sin α＋sin β [答案] B[解析] cos(α＋β)－(cos α＋cos β)＝cos αcos β－sin αsin β－cos α－cos β＝cos α(cos β－1)－sin αsin β－cos β∵α、β是锐角，∴cos β－1<0，cos β>0，cos α>0，sin β>0，sin α>0 ∴cos(α＋β)－(cos α＋cos β)<0， ∴cos(α＋β)<cos α＋cos β.[点评] ∵α、β均为锐角，∴cos β>0,0<α<α＋β<π，∵y ＝cos x 在(0，π)上单调递减． ∴cos α>cos(α＋β)，∴cos α＋cos β>cos(α＋β)．故A 错，B 对；当α、β很接近于0时，sin α＋sin β接近于0，cos(α＋β)接近于1，故D 错，当α＝β＝π4时，C 错．6．若sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β的值为( ) A.1－m 2 B ．－1－m 2 C.m 2－1 D ．－m 2－1 [答案] B[解析] 由条件得，sin[(α－β)－α]＝sin(－β) ＝－sin β＝m ，∴sin β＝－m . 又∵β为第三象限角，∴cos β＝－1－sin 2β＝－1－m 2. 7．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝－12，则cos(α－β)的值是( ) A.12 B.32 C.34D ．1 [答案] B[解析] ∵sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝－12， ∴(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝(1－32)2＋(－12)2 ∴2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝2－ 3 ∴cos αcos β＋sin αsin β＝32， 即cos(α-β)＝32.8．若cos αcos β＝1，则sin(α＋β)等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．±1 [答案] B[解析] ∵cos αcos β＝1，∴cos α＝1，cos β＝1或cos α＝－1，cos β＝－1， ∴sin α＝0，sin β＝0，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝0.9．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x (x ∈R )的最小值等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5 [答案] C[解析] y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6(x ∈R )． ∵x ∈R ，∴x ＋π6∈R ，∴y min ＝－1.10．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x ，y 的大小关系是( ) A ．x ≤y B ．x ＜y C ．x ≥y D ．x ＞y [答案] D[解析] ∵π>A ＋B ＞π2，∴cos(A ＋B )＜0，即cos A cos B －sin A sin B ＜0，∴x ＞y ，故应选D. 二、填空题11．若cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝________.[答案] －3＋4310[解析] 由已知得cos[(α＋β)－α]＝cos β＝－45，∵450°<β<540°，∴sin β＝35，∴sin(60°－β)＝32·⎝⎛⎭⎫－45－12×35＝－3＋4310. 12．已知α、β为锐角，且tan α＝23，tan β＝34，则sin(α＋β)＝________.[答案]171365[解析] ∵α为锐角，tan α＝23，∴sin α＝213，cos α＝313， 同理可由tan β＝34得，sin β＝35，cos β＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝213×45＋313×35＝171365.13．化简(tan10°－3)·cos10°sin50°＝________.[答案] －2[解析] (tan10°－3)·cos10°sin50°＝(tan10°－tan60°)·cos10°sin50°＝⎝⎛⎭⎫sin10°cos10°－sin60°cos60°·cos10°sin50° ＝sin10°·cos60°－cos10°·sin60°cos10°·cos60°·cos10°sin50°＝sin(－50°)cos60°·1sin50°＝－sin50°12·1sin50°＝－2.14．函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最大值是________． [答案]3[解析] 法一：y ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3·cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3sin π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝32cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋32sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝3⎣⎡⎦⎤32cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫π6－x －π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤ 3. 法二：y ＝cos x ＋cos x cos π3－sin x sin π3＝32cos x －32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 当cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1时，y max ＝ 3. 三、解答题15．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值．[解析] ∵π2<β<α<3π4，∴π<α＋β<3π2，0<α－β<π4.∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513.∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β) ＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. 则sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β) ＝⎝⎛⎭⎫－35×1213＋⎝⎛⎭⎫－45×513＝－5665. 16．求证：sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.[解析] sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β.由待证式知sin α≠0，故两边同除以sin α得 sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.[点评] 在证明三角恒等式时，可先从两边的角入手——变角，将表达式中的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中的函数种类尽量减少，这是三角恒等变换的基本策略．17．在△ABC 中，若sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C .[解析] ∵0<cos B ＝513<22，且0<B <π.∴π4<B <π2，且sin B ＝1213. 又∵0<sin A <35<22，且0<A <π，∴0<A <π4或34π<A <π.若34π<A <π，则有π<A ＋B <32π，与已知条件矛盾，∴0<A <π4，且cos A ＝45. ∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B ) ＝sin A sin B －cos A cos B ＝35×1213－45×513＝1665. [点评] 本题易忽视对角范围的讨论，直接由sin A ＝35得出cos A ＝±45，导致错误结论cos C＝5665或1665. 18．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.(1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513，求sin α的值．[解析] (1)∵|a －b |＝255，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝45， 又a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝b 2＝1，a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)， ∴cos(α－β)＝35.(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π，由(1)得cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45，又sin β＝－513，∴cos β＝1213，∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝45×1213＋35×⎝⎛⎭⎪⎫－513＝3365.。
高中数学必修四同步练习题库：两角和差的正弦、余弦和正切公式(简答题：容易)
两角和差的正弦、余弦和正切公式（简答题：容易）1、.已知,求的值2、已知为锐角，，，求的值.3、中，若，且为锐角，求角．4、求证：－2cos(α＋β)＝.5、已知在中，为中点，，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.6、在中，角所对边分别为的面积为6.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值.7、函数的最大值为，它的最小正周期为. （1）求函数的解析式；（2）若，求在区间上的最大值和最小值.8、已知分别是的内角所对的边，.（1）证明：；（2）若,求.9、（2015秋•淮南期末）=（）A．1B．2C．3D．410、已知，求的值11、已知函数⑴求的最小正周期及对称中心；⑵若，求的最大值和最小值.12、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状. (提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)13、如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边，两个锐角,的终边分别与单位圆相交于A,B 两点．（Ⅰ）若，，求的值；（Ⅱ）若角的终边与单位圆交于点，设角的正弦线分别为，试问：以作为三边的长能否构成一个三角形？若能，请加以证明；若不能，请说明理由.14、已知15、已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.16、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(1) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(2)若的三个内角满足,直接利用阅读材料及(1)中的结论试判断的形状.17、已知为锐角，且求.18、（本小题满分12分）已知，写出用表示的关系等式，并证明这个关系等式．19、如图，有三个并排放在一起的正方形，.（1）求的度数；（2）求函数的最大值及取得最大值时候的x值。
20、（本小题12分）已知0<a<p，；(1)求的值；（2）求的值；21、求值： .22、（本题满分14分）在中，分别是所对的边，已知,，三角形的面积为，（1）求C的大小；（2）求的值．23、已知，（1）求的值；（2）求角.24、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状.(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)25、化简（1）（2）26、已知，求下列各式的值：（1）（2）27、已知均为锐角，求的值。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题之巴公井开创作知 识 梳 理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos _αsin_β. cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin _αsin_β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)． (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中tan φ＝ba一、选择题1．给出如下四个命题①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立；②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立；③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ；④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是（ ） A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是（ ） A ．21+B ．12-C ．2D ． 23．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的（ ）A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为21-C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－14．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值A ．21 B ．22 C ．22-D ．22±5．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则（ ） A ．6556 B ．－6556C ．5665 D ．－5665 6． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于（ ） A ．43 B ．83 C ．81D ．417．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是（ ）A ．)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与C ．)()(x f x h 与 D ．)()()(x h x g x f 及与8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于（ ）A ．3πB ．4πC ．π65D ．π459．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是A ．412--a aB ．－412--a a C ．214aa --±D ．412--±a a11．在△ABC 中，90C >，则B A tan tan ⋅与1的关系为（ ）A ．1tan tan >+B A B ．1tan tan <⋅B AC ．1tan tan =⋅B AD ．不克不及确定12． 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是（ ） A ．41B ．23C ．21D ．43 二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上） 13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为.14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.15．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ=. 16．若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是. 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.19．求证：yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++． 20．已知α，β∈（0，π）且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.21．证明：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ，BC A cos 2cos 1cos 1-=+求2cosC A -的值.两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B10．D 11．B 12．A二、13．m 14．3π15．32--16．]214,214[-三、17．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-．18．)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ，3275tan )2tan(+==- αβ．19．证：yx y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左 =-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． 20．13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21．左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右．22．由题设B=60°，A+C=120°，设2CA -=α知A=60°+α，C=60°－α，22cos ,223cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即CA 故222cos =-C A ．。
高中数学人教A必修4测试题(两角差的余弦公式,两角和与
数学必修4 测试题7(两角差的余弦公式,两角和与差的正弦、余弦、正切公式)A 组一、选择题:共6小题1、(易)tan 2tan 3αβ==,则tan()αβ-=( )A.7-B.15 C.15- D.17-2、(易)设(0,)2απ∈,若3sin 5α=,)4απ+=( )A.15B.75C.75- D.15- 3、(易)sin110sin 40cos 40cos70+oooo等于( )A.12-12D.4、(中)0(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++的值等于( ) A.16 B.8 C.4 D.25、(中)1sin10sin 80-o o的值是( )A.1B.2C.4D.146、(中)sin1212ππ的值是( )B. C.2 D.-12二、填空题:共3小题 7、(易)已知3sin 5α=-,α是第四象限角,则sin 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭=____________. 8、(中)若tan()24πα+=,则212sin cos cos ααα=+____________.9、(中)0tan 20tan 4020tan 40+=_____________. 三、解答题:共2小题10、(中)化简:()()1sin cos sin 2sin 2αβααββ+-+-⎡⎤⎣⎦.11、(中)已知44απ3π<<,0＜β＜4π,cos(4π+α)=－53,sin(43π+β)=135, 求sin(αβ+)的值.B 组一、选择题:共6小题1、(易)sin(27)cos(18)sin(18)cos(27)x x x x +-+-+oooo=( )A.12 B.12- C.2- D. 22、(中)tan 20tan(50)1tan 20tan 50--=-o o o o( )A. C.3-D.33、(中)2cos10sin 20cos 20-o oo的值是 ( )124、(中)已知11tan(),tan 34αββ+==则tan α的值为( ) A.112 B.113 C.713 D.12135、(难)如果sin()2009sin()2010αβαβ-=+,则=βαtan tan ( )A.14019 B.14019- C.4019 D.4019-6、(难)已知A.B 均为钝角,sin 5A =,sin 10B =,则A+B 的值为( ) A.74π B.54π C.34π D.4π二、填空题:共3小题 7、(中)︒+︒︒-︒15cos 15sin 15cos 15sin =_______8、(中)函数22sincos()336x x y π=++的图象中相邻两对称轴的距离是 .9、(中)若,22sin sin =+βα则βαcos cos +的取值范围. . 三、解答题:共2小题10、(中)化简:［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·︒80sin 22.11、(难)已知tan tan αβ，是一元二次方程22(42)230mx m x m +-+-=的两个不等实根,求函数2()53tan()4f m m m αβ=+++的值域.C 组解答题:共2小题1、(难)已知非零常数a 、b 满足5πsin 5πcos 5πcos 5πsinb a b a -+=tan 15π8,求a b . 2、(较难)已知sin sin sin 0,cos cos cos 0.αβγαβγ++=++=(1)求cos()αβ-的值; (2)若,,[0,3αβγ4π∈],求sin()αβγ++的值.参考答案 A 组1.D tan tan 23tan()1tan tan 123αβαβαβ---==++⨯=17-2.A ∵(0,)2απ∈,3sin 5α=,∴4cos 5α=, 原式cos sin sin )44ααππ-=431cos sin 555αα-=-=3.B 原式cos 40cos 70sin 40sin(18070)=+-ooooocos 40cos70sin 40sin 70=+o o o o=cos(4070)cos(30)-=-=o o o4.C 0000(1tan 21)(1tan 24)2,(1tan 22)(1tan 23)2++=++=,更一般的结论 045,(1tan )(1tan )2αβαβ+=++=,5.C 原式=cos10sin10cos10o o o o =()2sin 301041sin 202-=o oo6.B 原式=12sin 21212⎛⎫ππ- ⎪⎝⎭=2sin 2sin 1234πππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭由3sin 5α=-,α是第四象限角,得4cos 5α===,于是有sin sin cos cos sin 444ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πππ4355⎛⎫=- ⎪⎝⎭10=8.23由1tan tan()241tan αααπ++==-,得1tan 3α=∴212sin cos cos ααα=+2222sin cos tan 122sin cos cos 2tan 13ααααααα++==++∵0000tan 20tan 40tan 60tan(2040)1tan 20tan 40+=+==-000020tan 40tan 20tan 40=+,即原式10.解:()()1sin cos sin 2sin 2αβααββ+-+-⎡⎤⎣⎦ = ()()()1sin cos sin sin 2αβααβααβα+-++-+-⎡⎤⎣⎦=()()()()()1sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin 2αβααβααβααβααβα+-+++-+++⎡⎤⎣⎦ =()()sin cos cos sin αβααβα+-+=()sin αβα+-=sin β 11.解:∵4π＜α＜4π3, ∴2π＜4π+α＜π.又cos(4π+α)=－53, ∴sin(4π+α)=54.又∵0＜β＜4π, ∴4π3＜4π3+β＜π.又sin(4π3+β)=135, ∴cos(4π3+β)=－1312,∴sin(α+β)=－sin ［π+(α+β)］=－sin ［(4π+α)+(4π3+β)］=－［sin(4π+α)cos(4π3+β)+cos(4π+α)sin(4π3+β)］=－［54×(－1312)－53×135］=6563.B 组1.D 原式=sin(2718)sin 45x x ++-==ooo2.B 原式=tan 20tan 50111tan 50tan 20tan(5020)tan 30+===--o o o o o o o3.A 2cos10sin 20cos 20-o o o =2cos 3020sin 20cos 20--o o oo（）=20sin 20sin 20cos 20+-o o o o4.B []tan()tan tan tan ()1tan()tan αββααββαββ+-=+-=++⋅=1135.C 可得2010sin cos 2010cos sin 2009sin cos 2009cos sin αβαβαβαβ-=+, ∴sin cos 4019cos sin αβαβ=,得tan 4019tan αβ=,∴tan 4019tan αβ=.6.A,,cos 22A B A B ππ<<π<<π∴==cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-=(= 又724A B A B ππ<+<π∴+=Q 7.－33把原式分子、分母同除以cos15°,有 ︒+︒︒-︒15cos 15sin 15cos 15sin =115tan 115tan +︒-︒=145tan 15tan 45tan 15tan +︒︒︒-︒=tan(15°－45°)=tan(－30°)=－33. 8.32π 22222sincos cos sin sin cos cos sin sin 336363636x x x x x y ππππ=+-=+ 22cos(),3362/3x T ππ=-==π,相邻两对称轴的距离是周期的一半9.22t -≤≤ 令cos cos t αβ+=, 则2221(sin sin )(cos cos ),2t αβαβ+++=+221322cos(),2cos()22t t αβαβ+-=+-=-2231722,,222t t t -≤-≤-≤≤≤≤10.解:原式=［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·︒80sin 22=［2sin50°+sin10°(1+3︒︒10cos 10sin )］·︒10cos 22=［2sin50°+sin10°(︒︒+︒10cos 10sin 310cos )］·︒10cos 22=(2sin50°+2sin10°·︒︒10cos 50cos )·2cos10°=22(sin50°cos10°+sin10°·cos50°) =22sin60°=6. 11.解:由已知,有12tan tan m m αβ-+=,23tan tan 2m mαβ-=·, 24tan()3m αβ-∴+=. 又由0∆>,知10(0)2m ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭U ，，∞,2224()534(1)33mf m m m m -∴=++=++·. Q 当10(0)2m ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭U ，，∞时()f m 在两个区间上都为单调递增,故所求值域为134(4)4⎛⎫+ ⎪⎝⎭U ，，∞.C 组1.分析:这道题看起来复杂,但是只要能从式子中整理出a b ,用15π8、5π的三角函数表示出来,再利用两角和与差的正、余弦公式计算即可.解:由于5πsin 5πcos 5πcos 5πsin 5πsin 5πcos 5πcos 5πsina b a b b a b a -+=-+,则15π8tan 5πsin 5πcos 5πcos 5πsin =-+a b a b . 整理,有)5π15π8cos()5π15π8sin(5πsin 15π8sin 5πcos 15π8cos 5πsin 15π8cos 5πcos 15π8sin--=+-=a b =tan 3π=3. 2.解:(1)sin sin sin ,cos cos cos ,αβγαβγ+=-+=-22(sin sin )(cos cos )1,αβαβ+++=22cos()1,αβ+-=∴1cos()2αβ-=-.(2)由(1)同理得11cos(),cos()22βγαγ-=--=-,∵,,[0,3αβγ4π∈],由对称性,不防设03αβγ4π≥>>≥,则03αβ4π<-<,03βγ4π<-<,03αγ4π<-≤,又由(1)知3αβ2π-=,3βγ2π-=,3αγ4π-=,若0γ>,则33αγ4π4π=+>矛盾！ ∴0γ=,有3β2π=,3α4π=,∴sin()sin 2αβγ++=π=0.。
[精品]新人教A版必修四高中数学同步习题3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.3和答案
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课时目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．1．倍角公式(1)S 2α：sin2α＝2sin αcos α，sin α2cos α2＝12sin α；(2)C 2α：cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1 ＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan2α＝2tan α1－tan 2α.2．倍角公式常用变形(1)sin2α2sin α＝__________，sin2α2cos α＝__________； (2)(sin α±cos α)2＝__________；(3)sin 2α＝______________，cos 2α＝______________.一、选择题1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12B.22C.33D.322．函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( )A ．－13B ．－79C.13D.794．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos2θ1＋sin2θ的值为( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－125．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( )A ．－105 B.105C ．－155 D.1556．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2α－π4α＋π2等于( )A.25B.75C.145D ．－25二、填空题7.3－sin70°2－cos 210°的值是________． 8．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos2x ＋74的最大值是______．9．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______.10．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2)，则α＝________.三、解答题11．求证：3－4cos2A ＋cos4A3＋4cos2A ＋cos4A ＝tan 4A .12．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－45，5π4<x <7π4，求sin2x －2sin 2x1＋tan x 的值．能力提升13．求值：cos 20°cos 40°cos 80°.14．求值：tan 70°·cos 10°·(3tan 20°－1)．3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式答案知识梳理2．(1)cos α sin α (2)1±sin2α (3)1－cos2α2 1＋cos2α2作业设计 1．B 2.A3．B [cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)]＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79.] 4．A [∵1－tan θ2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－12.∴cos2θ1＋sin2θ＝cos 2θ－sin 2θθ＋cos θ2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3.] 5．C [∵5π2<θ<3π，|cos θ|＝15，∴cos θ<0，cos θ＝－15.∵5π4<θ2<32π，∴sin θ2<0.由sin2θ2＝1－cos θ2＝35， ∴sin θ2＝－155.]6．C [∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45.∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，原式＝1＋2cos 2αcos π4＋sin 2αsinπ4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145.]7．2解析 3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝23－cos 20°3－cos 20°＝2.8．2解析 f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x＋74＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122＋2.∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2.9．3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cosθ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝2sin θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22cosθ2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3.10.π6解析 ∵sin 22α＋sin2αcos α－(cos2α＋1)＝0. ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0. ∵α∈(0，π2)．∴2cos 2α>0.∴2sin 2α＋sin α－1＝0. ∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6.11．证明 ∵左边＝3－4cos2A ＋2cos 22A －13＋4cos2A ＋2cos 22A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos2A 1＋cos2A 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2 ＝tan 4A ＝右边．∴3－4cos2A ＋cos4A 3＋4cos2A ＋cos4A＝tan 4A . 12．解 sin2x －2sin 2x 1＋tan x ＝2sin x x －sin xxcos x ＋sin x＝sin2x x －sin x cos x ＋sin x ＝sin2x 1－tan x1＋tan x ＝sin2x tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， ∵5π4<x <7π4， ∴－3π2<π4－x <－π.又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－34.∴原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2×1625－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－21100.13．解 原式＝2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°＝2sin80°·cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18. 14．解 原式＝sin70°cos70°·cos10°⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin20°cos20°－1 ＝sin70°cos70°·cos10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin20°－cos20°cos20° ＝cos20°sin20°·cos10°·2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin20°－12cos20°cos20°＝－sin20°＝－sin20°sin20°＝－1.。
新人教版数学必修4练习：两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课后篇巩固探究基础巩固1.已知a =(2sin 35°,2cos 35°),b =(cos 5°,-sin 5°),则a ·b =( )A.12B.1C.2D.2sin 40°·b =2sin 35°cos 5°-2cos 35°sin 5°=2sin(35°-5°)=2sin 30°=1.2.若sin (π6-α)=cos (π6+α),则tan α=( ) A.-1B.0C.12D.1由已知得12cos α-√32sin α=√32cos α-12sin α,因此1-√32sin α=√3-12cos α,于是tan α=-1.3.若tan(α+β)=25,tan(α-β)=14,则tan 2α=( ) A.16B.2213C.322D.1318α=tan [(α+β)+(α-β)]=tan (α+β)+tan (α-β)1-tan (α+β)tan (α-β)=25+141-25×14=1318.4.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-√3cos(θ+15°)的值等于 ( )A.±1B.1C.-1D.0=sin [(θ+45°)+30°]+cos(θ+45°)-√3cos [(θ+45°)-30°]=√32sin(θ+45°)+12cos(θ+45°)+cos(θ+45°)-√3[√32cos (θ+45°)+12sin (θ+45°)] =√32sin(θ+45°)+32cos(θ+45°)-32cos(θ+45°)-√32sin(θ+45°)=0.5.设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sinβcosβ,则( ) A.3α-β=π2 B.3α+β=π2 C.2α-β=π2D.2α+β=π2tan α=1+sinβcosβ,得sinαcosα=1+sinβcosβ,得sin αcos β-cos αsin β=cos α,sin(α-β)=sin (π2-β).又α∈(0,π2),β∈(0,π2), 故α-β=π2-β,即2α-β=π2.6.化简:sin (α-150°)+cos (α-120°)cosα=.=sinαcos150°-cosαsin150°+cosαcos120°+sinαsin120°cosα=-√32sinα-12cosα-12cosα+√32sinαcosα=-1.17.已知锐角α,β满足(tan α-1)(tan β-1)=2,则α+β的值为 .(tan α-1)(tan β-1)=2,所以tan α+tan β=tan αtan β-1. 因此tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-1,因为α+β∈(0,π),所以α+β=3π4.8.已知α∈(0,π2),tan α=2,则cos (α-π4)= .tan α=2,得sin α=2cos α.又sin 2α+cos 2α=1,α∈(0,π2),∴cos α=√55,sin α=2√55.∴cos (α-π4)=cos αcos π4+sin αsin π4=√55×√22+2√55×√22=3√1010.9.tan 23°+tan 37°+√3tan 23°tan 37°的值是 .tan 60°=√3=tan23°+tan37°1-tan23°tan37°,∴tan 23°+tan 37°=√3−√3tan 23°tan 37°, ∴tan 23°+tan 37°+√3tan 23°tan 37°=√3.√3 10.化简求值:(1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β);(2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α); (3)cos 21°·cos 24°+sin 159°·sin 204°.原式=sin(α+β+α-β)=sin 2α.(2)原式=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α) =sin [(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-√32.(3)原式=cos 21°cos 24°+sin(180°-21°)sin(180°+24°)=cos 21°cos 24°-sin 21°sin 24° =cos(21°+24°)=cos 45°=√22.11.已知cos α=-√55,tan β=13,π<α<3π2,0<β<π2,求α-β的值.cos α=-√55,π<α<3π2,得sin α=-2√55,tan α=2,又tan β=13,于是tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=2-131+2×13=1.又由π<α<3π2,0<β<π2,可得-π2<-β<0,π2<α-β<3π2,因此α-β=5π4.cos α=-√55,π<α<3π2,得sin α=-2√55.由tan β=13,0<β<π2, 得sin β=√10,cos β=√10. 所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =(-2√55)×√10−(-√55)×(√10)=-√22. 又由π<α<3π2,0<β<π2,可得-π2<-β<0,π2<α-β<3π2,因此,α-β=5π4.能力提升1.已知α∈(-π2,3π2),tan (α-π4)=-3,则sin α=( )A.√55B.-√55C.2√55D.±√55α=tan [(α-π4)+π4]=tan (α-π4)+tan π41-tan (α-π4)tan π4=-12,因为α∈(π2,3π2), 所以α∈(π2,π),故sin α=√5=√55.2.设α,β都为锐角,且cos α=√55,sin(α+β)=35,则sin β等于( )A.2√525B.11√525C.√55D.-√55或11√525α为锐角,cos α=√55,∴sin α=2√55.∵α,β都为锐角,∴0<α+β<π. ∵sin(α+β)=35,∴cos(α+β)=±45.当cos(α+β)=-45时,sin β=sin[(α+β)-α] =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =35×√55+45×2√55=11√525;当cos(α+β)=45时,sin β=sin[(α+β)-α] =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =35×√55−45×2√55=-√55,与已知β为锐角矛盾.∴sin β=11√525.3.若将函数f (x )=sin 2x+cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度,所得图象关于y 轴对称,则φ的最小正值是 ( )A.π8 B.π4C.3π8D.3π4f (x )=sin 2x+cos 2x=√2sin (2x +π4),将其图象向右平移φ个单位长度,得函数y=√2sin [2(x -φ)+π4]=√2sin (2x -2φ+π4)的图象,要使图象关于y 轴对称,则π4-2φ=π2+k π,解得φ=-π8−kπ2,当k=-1时,φ取最小正值3π8.4.已知cos(α+β)=45,cos(α-β)=-45,则cos αcos β= .cos αcos β-sin αsin β=45,cos αcos β+sin αsin β=-45,两式相加得2cos αcos β=0,故cos αcos β=0.5.已知△ABC 中,√3tan A tan B-tan A-tan B=√3,则C 的大小为 .,tanA+tanB1-tanAtanB =-√3,即tan(A+B )=-√3,又0<A+B<π,所以A+B=2π3,故C=π-A-B=π3.6.已知α,β均为锐角,且tan β=cosα-sinαcosα+sinα,求tan(α+β)的值.β=cosα-sinαcosα+sinα=1-tanα1+tanα=tan (π4-α),因为α,β均为锐角,所以-π4<π4-α<π4,0<β<π2, 又y=tan x 在(-π2,π2)上是单调函数,所以β=π4-α,即α+β=π4,tan(α+β)=1. 7.已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),|a -b |=25√5.(1)求cos(α-β)的值;(2)若-π2<β<0<α<π2,且sin β=-513,求sin α的值.∵a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),∴|a |=|b |=1,∴|a -b |2=a 2-2a ·b +b 2=1+1-2(cos αcos β+sin αsin β)=2-2cos(α-β).又∵|a -b |=25√5, ∴|a -b |2=2-2cos(α-β)=45, ∴cos(α-β)=35.(2)∵-π2<β<0<α<π2,∴0<α-β<π,由cos(α-β)=35可得sin(α-β)=45,由sin β=-513,可得cos β=1213,∴sin α=sin [(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β =45×1213+35×(-513)=3365. 8.已知函数f (x )=√22(cos x-sin x )sin (π4+x)-2a sin x+b (a>0)有最大值1和最小值-4,求a ,b 的值.(x )=√22(cos x-sin x )sin (π4+x)-2a sin x+b=12(cos 2x-sin 2x )-2a sin x+b=12(1-2sin 2x )-2a sin x+b=-(sinx+a )2+12+a 2+b.当a ≥1时,f (x )的最小值等于f (π2),最大值等于f (-π2),依题意得{-2a +b -12=-4,2a +b -12=1,解得a=54,b=-1.当0<a<1时,依题意可得{-2a +b -12=-4,12+a 2+b =1, 解得a=√5-1(舍去)或a=-√5-1(舍去). 综上可得a=54,b=-1.。
3.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 练习-人教版高中数学必修四
两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、两角差的余弦公式：cos(α－β)＝类型一、给角求值问题[典例] (1)cos 50°cos 20°＋sin 50°sin 20°的值为( )A.12B.13C.32D.33(2)cos(－15°)的值为( ) A.2－64 B.6－24 C.6＋24 D ．－6＋24 (3)化简cos(α＋45°)cos α＋sin(α＋45°)sin α＝________.[活学活用]计算下列各式的值：(1)cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°；(2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)．类型二、给值求值问题[典例] (1)若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角， sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ2＝－255，φ是第三象限角，求cos(θ－φ)的值． (2)已知cos α＝45，cos(α＋β)＝35，且α，β均为锐角，求cos β的值．类型三、给值求角问题[典例] 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，，则β＝________. 二、两角和与差的正弦、余弦公式1．两角和的余弦公式cos(α＋β)＝ ，简记为C (α＋β)，其中α，β都是任意角．2．两角和与差的正弦公式(1)两角和的正弦：sin(α＋β)＝ ，简记为S (α＋β)，其中α，β都是任意角．(2)两角差的正弦： sin(α－β)＝ ，简记为S (α－β)，其中α，β都是任意角． 类型一、给角求值问题[典例] 求值：(1)cos 75°；(2)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°.类型二、给值求值问题[典例] (1)已知sin α＝35，cos β＝－513，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值；(2)已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α与cos 2β的值．类型三、给值求角问题[典例] 已知sin α＝55，sin β＝1010，且α和β均为钝角，求α＋β的值．[活学活用]已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值．三、两角和与差的正切公式 tan(α＋β)＝ ；tan(α-β)＝ 类型一、给角求值问题[典例] 求值：(1)tan75°；(2)tan 74°＋tan 76°1－tan 74°tan 76°； (3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.类型二、给值求值问题[典例] 已知cos α＝45，α∈(0，π)，tan (α－β)＝12，求tan β及tan (2α－β)．[活学活用]1．已知α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，2，sin α＝35，则tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－72．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan (α－β)＝2，则tan (β－2α)＝________. 类型三、给值求角问题[典例] 已知tan α＝2，tan β＝－13，其中0<α<π2，π2<β<π. (1)求tan (α－β)；(2)求α＋β的值．。
高中数学必修四同步练习题库：两角和差的正弦、余弦和正切公式(选择题：容易)
两角和差的正弦、余弦和正切公式（选择题：容易）1、设为钝角，且，则等于（）A． B． C． D．2、已知，则的值是（）A． B． C． D．3、 =（）A． B． C． D．4、的值为（）A． B． C． D．5、化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为A． B． C．－ D．－6、已知，则（）A． B． C． D．7、（）A． B． C． D．8、在△中，若，则△一定为（）.A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定9、计算：（）A． B． C． D．10、已知，，则（）A． B． C． D．11、已知，则的值为（）A． B． C． D．12、若，则的值为（）A． B． C． D．13、sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣ B． C． D．﹣14、若，则=（）A． B． C． D．15、的值为( )A． B．－ C． D．－16、已知为锐角，且cos=,cos=，则的值是（）A． B． C． D．17、已知则的值为A． B． C． D．18、已知，则等于（）A． B． C． D．19、计算的值等于（）A． B． C． D．20、在△ABC中，已知，，则的值为（）A． B． C．或 D．21、等于（）A． B． C． D．22、已知tan(α+β) =, tan(β－ )= ,那么tan(α + )为（）A． B． C． D．23、已知则等于( )A． B． C． D．24、已知，，则的值等于（）A．． B．． C．． D．．25、设是方程的两个根，则的值为A．-3 B．-1 C．1 D．326、若，则的值为（）A． B． C． D．27、化简的值为 ( )A．0 B．- C．2 D．28、（）A． B． C． D．29、计算的值（）30、已知为锐角，且＝,＝－,则＝A． B．C． D．以上答案都不对31、若，则的值为()A．1 B．3 C．6 D．432、已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为A． B． C． D．33、已知，则( )A． B． C． D．34、下列各式中的值为的是（）A． B．C． D．35、（）A． B． C． D．36、设，，，则的大小关系是（）A． B． C． D．37、的值为（）A．1 B．0 C． D．38、已知，则（）A． B． C． D．39、（）A． B． C． D．40、已知，则 ( )A． B． C． D．41、已知，则的值为（）A． B． C． D．42、若，则（）A． B． C． D．43、下列各式中，值为的是（）A． B． C． D．44、（）A． B． C． D．45、sin15°cos15°=（）A． B． C． D．46、若，则角的终边在第几象限（）A．1 B．2 C．3 D．447、函数是A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数48、已知则（）A． B． C． D．49、若|a|＝2sin15°，|b|＝4cos15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是（）A． B． C．2 D．50、在△ABC中，角C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan A tan B的值为()．A． B． C． D．51、计算的结果是（）A． B．1 C． D．52、“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件53、已知，则的值分别为A． B．C． D．54、的值是A． B． C． D．55、已知cos α＝，α∈()，则cos等于()A． B．－ C． D．－56、设α，β为锐角，且sin α＝，cos β＝，则α＋β的值为()A．π B．π C． D．57、已知则=（）A． B． C． D．58、的值是A． B． C． D．59、计算的结果是( )A． B． C． D．60、若，则（）A． B． C． D．61、设单位向量，则（）A．0 B． C． D．62、已知，则（）A． B． C． D．63、的值为（）A． B． C． D．64、若|a|＝2sin15°，|b|＝4cos15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是（）A． B． C．2 D．65、已知cos(＋α)＝，则cos2α的值为（）A． B．－ C． D．－66、中国古代数学家赵爽设计的弦图是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成如图所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，则图中菱形的一个锐角的正弦值为A． B． C． D．67、已知，则（）A． B． C． D．68、已知，则______．69、已知，且，则所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限70、若，，则等于（）A． B． C． D．参考答案1、B2、A3、D4、D5、A6、C7、A8、A9、D10、D11、A12、A13、A14、（C）15、C16、B17、D18、A19、A20、A21、D22、A23、A24、D25、A26、C27、B28、B29、 A30、A31、D32、D33、A34、C35、A36、B37、C38、C39、A40、A41、B42、D43、B44、C45、A46、D47、A48、A49、D50、A51、A52、A53、D54、B55、B56、C57、D58、C59、D60、A61、A62、D63、D64、D65、A66、A67、C68、69、B70、C【解析】1、由已知可得，故选B.2、由题意得，所以。