2018-2019学年度第二学期期中六校联考高一数学试卷(含答案)
（Ⅱ）证明：易知： BD BC 2a
∵ BD2 BC 2 DC 2
∴DB⊥BC ∵面 CDEF⊥面 ABCD，面 CDEF∩面 ABCD CD，DE⊥CD，DE 面 CDEF ∴DE⊥面 ABCD ∵DE∥CF， DB 面 ABCD ∴DB⊥CF ∵BC∩CF C，BC，CF 面 BCF ∴DB⊥面 BCF ∵OM∥BD
2018～2019 学年度第二学期期中六校联考
高一数学
命题人：芦台一中 郑纪华
静海一中 刘纪茹
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）
1. 在 ABC 中， a 3 ， b 5 ， cos A 2 2 ，则 sin B （ ） 3
A. 1
B. 5
C. 5
D. 1
∵
B1F∥
1 2
BC
∴ DE∥B1F
∴四边形 DEFB1 为平行四边形
高一数学参考答案 第 1 页（共 6 页）
∴EF∥ DB1
∵ EF 面 CDB1 ， DB 1 面 CDB1
∴EF∥面 CDB1 .
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：EF∥ DB1
∴异面直线 EF 与 B1C 所成角为∠ DB1C 设棱长为 a，由勾股定理得
A. 15 米
B. 25 米
C. 35 米
D. 45 米
8. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，
俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面
积为（ ）
A. 16 3
8 3
C. 3
B. 8 3 16 3
D. 3
二、填空题（本题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分）
将 ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD⊥平面 BCD，构成三棱锥 A BCD ，则在三棱
锥 A BCD 中，下列判断正确的是
（写出所有正确的序号）.
①平面 ABD⊥平面 ABC
②直线 BC 与平面 ABD 所成角是 45°
③平面 ABD⊥平面 ABC
④二面角 C AB D 余弦值为 3 3
5 5
18. （本小题满分 12 分） （Ⅰ）证明：取 PD 中点为 G，连接 EG，GF
∵E，G 为 PC，PD 中点 ∴ EG∥1 CD
2 ∵菱形 ABCD，F 为 AB 中点 ∴ BF∥1 CD
2
∴ EG∥BF
∴四边形 EGFB 为平行四边形
∴BE∥FG
∵ BE 面 PDF， FG 面 PDF
9. 已知 ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ， a c 6 b ， 6
sin B 6 sin C ，则 cos A 的值为
.
10. 已知一矩形的长为 6，用斜二测画法画出其水平放置的直观图的面积为 3 2 ，则原
矩形的宽为
.
11. 直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB AC ，且 BA AC AA1 2 ，
三、解答题（本大题共 5 小题，共 60 分） 16. （本小题满分 10 分）已知在 ABC 中，且 b sin C 2c sin B cos A 0.
（Ⅰ）求 A 的大小； （Ⅱ）若 a 2 3 ， c 2 ，求 ABC 的面积 S 的大小.
17. （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC A1B1C1 中，所有棱长均相等，且 AA1 平 面 ABC ，点 D 、 E 、 F 分别为所在棱的中点 （Ⅰ）求证： EF ∥平面 CDB1 ； （Ⅱ）求异面直线 EF 与 B1C 所成角的余弦值； （Ⅲ）求二面角 B1 CD B 的余弦值.
5
9
3
2. ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ，若 B 2 A ， a 1 ， b 3 ， 则c （ ）
A. 2 3
B. 2
C. 2
D. 1
3. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 1，则图中侧视图的面积为（ ）
A. 1
B. 2 2
C. 6 3
2
∵ A 0,
∴ A 2 . 3
（Ⅱ）由余弦定理得： a2 b2 c2 2bc cos A
解得： b 2 （负值舍去）
∴ S 1 bc sin A 3. 2
17. （本小题满分 12 分）
（Ⅰ）证明：连接 EF
∵D，E 为 AC，AB 中点
∴ DE∥1 BC 2
∴BE∥面 PDF
（Ⅱ）证明：连接 BD
易证： BAD 为等边三角形
∴DF⊥AB
∵PA⊥面 ABCD， DF 面 ABCD
∴DF⊥PA
∵AB∩PA A
PA，AB 面 PAB
∴DF⊥面 PAB
∵ DF 面 PDF
∴面 PDF⊥面 PAB
（Ⅲ）解：设 AC∩BD H ，连接 EH
∵菱形 ABCD
∵ABC ∴ 2sin A sin C 即 sin C 2.
sin A （Ⅱ）解：∵ cos B 1 ， B (0, )
4
∴ sin B 15 4
∵ S 1 ac sin B 15
2
4
∴ ac 2 由（Ⅰ）知： 2 sin A sin C 由正弦定理得： 2a c 解得： a 1， c 2
高一数学 第 4 页 （共 4 页）
2018～2019 学年度第二学期期中六校联考
高一数学参考答案
一、选择题（每小题 4 分，共 32 分）
选择
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
A
B
C
B
A
二、填空题（每小题 4 分，共 28 分）
9. 6 4
10. 2
11. 4 3
12. 2 或 2 3
13. 2 10 3
DB， BB1 面DBB1
∴ CD 面DBB1
∵ B1D 面DBB1
∴ CD B1D
即∠ B1DB 为二面角 B1 CD B 的平面角
在 Rt B1BD 中
a
cos B1DB
BD B1D
2 5 5a 5
2
高一数学参考答案 第 2 页（共 6 页）
答：二面角 B1 CD B 的余弦值为
A. 1 3
B. 2
C. 2 2 3
D. 2 4
高一数学 第 1 页 （共 4 页）
7. 下图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆。现欲测量博物馆正门柱
楼顶部一点 P 离地面的高度 OP（点 O 在柱楼底部）。
在地面上的两点 A、B 测得点 P 的仰角分别为 30°、 45°，且 ABO 60 ，AB 50 米，则 OP 为（ ）
高一数学参考答案 第 4 页（共 6 页）
∴OM⊥面 BCF ∵ OM 面 EMC ∴面 BCF⊥面 EMC （Ⅲ）解：过点 F 作 FG⊥CM，连接 EG 由（Ⅱ）知：面 BCF⊥面 EMC ∵面 BCF∩面 EMC CM ∴FG⊥面 ECM ∵CD∥EF ∴CD 与平面 ECM 所成角即 EF 与平面 ECM 所成角 ∴EG 为 EF 在平面 ECM 上的射影 ∴∠FEG 为 EF 与平面 ECM 所成角 在 Rt BCF 中
4
4
20. （本小题满分 14 分）如图，四边形 CDEF 是正方形，四边形 ABCD 为直角梯形， ADC 90°， AB ∥ DC ，平面 CDEF ⊥平面 ABCD ， AB AD 1 CD a ， 2 M 在 FB 上，且 BD ∥平面 ECM . （Ⅰ）求证： M 为 BF 中点； （Ⅱ）求证：平面 BCF ⊥平面 EMC ； （Ⅲ）求直线 CD 与平面 ECM 所成角的正弦值.
D. 2
4. 下列四个说法中， ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 ②两条直线可以确定一个平面
③若 M ， M ， ∩ l ，则 M l
④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内
说法正确的个数为（ ）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
5. 设 a ，b 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列推理正确的是（ ）
则该三棱柱外接球的体积为
.
12. 如图，在空间四边形 ABCD 中， AB CD 4 且 AB 与 CD 所成
的角为 60°，E ，F 分别是 BC ，AD 的中点，则 EF
.
13. 在 ABC 中， A 3 ， AB 4 ， AC 2 2 ，点 D 在 BC 边上， AD BD ，则 4
由余弦定理得： b a2 c2 2ac cos B 2
∴周长为 a b c 5. 20. （本小题满分 14 分） 方法一：（Ⅰ）证明：连接 DF 交 EC 于点 O，连接 OM
∵BD∥面 ECM， BD 面 BDF，面 BDF∩面 EMC OM ∴BD∥OM ∵正方形 CDEF ∴O 为 DF 中点 ∴M 为 BF 中点
A. 若 a b ， a ，则 b ∥
B. 若 a ∥ ， a ，则
C. 若 a ， ，则 a ∥
D. 若 a ∥ ， a ∥ ，则 ∥
6. 某圆锥的侧面展开图是面积为 9 ，圆心角为 2 的扇形，则该圆锥的母线与底面所 3
成角的正弦值为（ ）
2
2
在 Rt EBH 中， tan BEH BH 1 HE
答：BE 与面 PAC 所成角为 45°.
高一数学参考答案 第 3 页（共 6 页）
19. （本小题满分 12 分）
2018-2019学年安徽省宣城市六校高一下学期期中联考数学答案
1 参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卷上.13. φ 14．3314 15．2 16. 22 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)解： (Ⅰ)法一：(几何法)如图所示，过点O 作OC ⊥AB ．由已知条件得直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，∴直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y －1＝0.∵圆心为(0，0)，∴|OC |＝|－1|2＝22. ∵r ＝22，∴|BC |＝8－（22）2＝302. ∴|AB |＝2|BC |＝30.法二：(代数法)当α＝135°时，直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8，得2x 2－2x －7＝0. ∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－72， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋1）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝30 ……………………5分(Ⅱ)如图，当弦AB 被点P 平分时，OP ⊥AB ，∵k OP ＝－2，∴k AB ＝12，∴直线AB 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0. ……………………10分18. (12分) 解:(Ⅰ) 由mn 与2sinb A =2sin sin A B A =， sin 0A ≠ ∴23sin =B ，由ABC △为锐角三角形得π3B =．……………………6分 (Ⅱ) 根据余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-222()3a c ac a c ac =+-=+-由1sin 2ABC S ac B ∆==8ac =，又6a c += 所以，b =……………………12分。
2018-2019学年湖北省武汉市武汉三中等六校高一下学期期中联考数学试题(解析版)
2018-2019学年湖北省武汉市武汉三中等六校高一下学期期中联考数学试题一、单选题1．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜【答案】B【解析】因为,所以又，所以,变形得,选D.2．设向量，，则下列结论中正确的是A．B．C．与垂直D．∥【答案】C【解析】试题分析：因为向量，，所以，选项A错误；，选项B错误；，所以与垂直，选项C正确；因为1×1-0×1≠0，所以向量与不平行，选项D错误。
【考点】向量的数量积；向量数量积的性质；向量垂直的条件；向量平行的条件。
点评：熟记向量平行和垂直的条件，设：非零向量垂直的充要条件：；向量共线的充要条件：。
3．若向量＝(1,1)，＝(1，－1)，＝(－1,2)，则等于()A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：设【考点】平面向量基本定理4．若一元二次不等式对一切实数都成立,则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由一元二次不等式，可知，所以，得到的范围.【详解】因为一元二次不等式，对一切实数都成立，所以，即，解得所以的取值范围为故选A项.【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，属于简单题.5．已知中，分别为的对边，，则等于（）A．B．或C．D．或【答案】D【解析】,因为.6．已知，则向量与向量的夹角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：根据已知可得：，所以，所以夹角为，故选择C【考点】向量的运算7．在中，分别为的对边，，这个三角形的面积为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，解得，由余弦定理得.【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用.题目所给已知条件包括一个角和一条边，还给了三角形的面积，由此建立方程可求出边的长，再用余弦定理即可求得边的长.利用正弦定理或者余弦定理解题时，主要根据题目所给的条件选择恰当的公式解列方程.8．如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为（）海里/小时．A．B．C．D．【答案】C【解析】先求出的值，再根据正弦定理求出的值，从而求得船的航行速度. 【详解】由题意，在中，由正弦定理得，得所以船的航行速度为（海里/小时）故选C项.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于简单题.9．已知，且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对使用基本不等式，再代入条件，得到最小值，然后研究等号成立条件，确定最终答案.【详解】由题意根据基本不等式，得当且仅当时，即时，等号成立.故选A项.【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于简单题.10．在菱形ABCD中，若，则等于()A．2 B．－2C．||cos A D．与菱形的边长有关【答案】B【解析】根据，得到，连接交于，将用表示，得到答案.【详解】连接交于，根据菱形，可知因为，所以，所以而，所以故选B项.【点睛】本题考查向量间的互相表示，向量的数量积，属于简单题.11．已知，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据，转化为求的最小值，然后根据基本不等式，得到答案.【详解】因为，所以当且仅当，即时，等号成立所以的最小值为故选A项.【点睛】本题考查对数的基本运算，基本不等式的运用，属于简单题.12．已知△ABC的面积为, ∠BAC=, AD是△ABC的角平分线, 则AD长度的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，，，而，从而得到与【详解】中，∠BAC=, AD是角平分线得，，而因此得而，所以故选D项.【点睛】本题考查正弦定理解三角形，基本不等式，属于中档题.二、填空题13．若关于的不等式的解集为，则__________【答案】1【解析】根据二次不等式和二次方程的关系，得到是方程的两根，由根与系数的关系得到的值.【详解】因为关于的不等式的解集为所以是方程的两根，，由根与系数的关系得，解得【点睛】本题考查一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，根与系数之间的关系，属于简单题. 14．已知中，，则=_________ 【答案】【解析】对条件中的式子，利用正弦定理化成边，然后利用余弦定理，得到的值，然后得到的值. 【详解】 在中，由正弦定理得所以，所以，得，由余弦定理得又因 所以【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，属于简单题.15．在△ABC 中，点M ，N 满足2,AM MC BN NC ==，若MN x AB y AC =+，则x ＝________，y ＝________. 【答案】12 16- 【解析】特殊化，不妨设,4,3AC AB AB AC ⊥==，利用坐标法，以A 为原点，AB 为x轴，AC为y 轴，建立直角坐标系，()()()()30,0,0,2,0,3,4,0,2,2A M C B N ⎛⎫⎪⎝⎭，()12,,4,0,2MN AB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()0,3AC =，则()()12,4,00,32x y ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭， 11142,3,,226x y x y ==-∴==-.【考点】本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.16．如图，已知点是平行四边形的中心，过点作直线与边及的延长线分别交于,若，，则的最小值为___________【答案】【解析】利用，转化到上，得到之间的关系，再利用基本不等式求得的最小值.【详解】，，共线，所以而，所以，即当且仅当，即，等号成立.【点睛】本题考查向量的基底代换，向量共线表示，基本不等式中“1的代换”，属于中档题.三、解答题17．已知，（1）若，且，求；（2）若向量与互相垂直，求的值．【答案】（1）或（2）【解析】（1）设向量，根据，得到方程，然后根据，得到的另一个方程，解出，得到.（2）根据向量互相垂直，得到，然后代入和，得到关于的方程，得到答案.【详解】（1）设因为，所以，因为，所以解得或，所以或（2）向量与互相垂直所以，即而所以因此，解得【点睛】本题考查向量的平行和垂直关系的转化，属于简单题.18．已知三个内角,,的对边分别为,,, 且.(1)求角，(2)若=,的面积为，求.【答案】（1）（2）3【解析】（1）把条件中的式子利用正弦定理进行边化角，然后得到的值，然后得到角的值.（2）由的面积为，结合（1）中的结论，得到的值，再利用余弦定理得到的值，从而求出的值.【详解】（1）在中，由正弦定理得所以，可转化为 因为为的内角，所以，所以得，因为，所以.（2）因为的面积为，所以，可得在中，由余弦定理得，即所以，又所以.【点睛】本题考查正弦定理边化角，余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题. 19．解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++>.【答案】当1a >时，),1()1,(+∞-∞∈ ax ，当1a =时，),1()1,(+∞-∞∈ x ，当1a 0<<时，),1()1,(+∞-∞∈a x ，当0a =时，)1,(-∞∈x ，当0a <时，)1,1(ax ∈.【解析】试题分析：（1）第一层先讨论0a >，0a <，0a =确定二次不等式对应二次函数的开口方向；（2）0a >时要讨论根a1和1的大小关系，结合三个二次的关系得不等式的解集.试题解析：当1a >时，),1()1,(+∞-∞∈ ax 当1a =时，),1()1,(+∞-∞∈ x ； 当1a 0<<时，),1()1,(+∞-∞∈ax ； 当0a =时，)1,(-∞∈x ； 当0a <时，)1,1(ax ∈.【考点】二次不等式的解法，分类讨论思想.20．四边形中，∠∠的面积为.（1）求;（2）若，求. 【答案】（1）4（2）3 【解析】（1）根据的面积为，求出，从而得到，再利用余弦定理得到的长；（2）根据（1）中求出的长，得到的值，再求得的值，利用正弦定理，求得的长.【详解】（1）在中，，的面积为，可得，所以因为，所以在中，由余弦定理得所以.（2）在中，而，所以在中，由正弦定理得，即，得.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式的运用，属于简单题. 21．已知中，角的对边分别为，且.（1）求证：；（2）若，试求.【答案】（1）见解析（2）4：5：6【解析】（1）由余弦定理写出，代入已知条件进行化简，利用基本不等式，得到的范围，然后得到的范围.（2）利用正弦定理进行边化角，然后代入，整理化简得到关于的方程，解出，再利用余弦定理，表示出之间的关系，然后得到.【详解】（1）在中，由余弦定理得而是内角，所以（2）在中，由正弦定理得由得因为，所以所以因为，所以整理得解得或因为，所以，所以由余弦定理得，代入得，整理得所以所以【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，两角和的正弦公式，二倍角公式等综合运用，属于难题.第 11 页共 11 页。
河南省南阳市六校2018-2019学年高一数学下学期第二次联考试题含解析
河南省南阳市六校2018-2019学年高一数学下学期第二次联考试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若θ与6π-的终边相同，则终边与θ相同的角所在的集合为（ ） A. |2,6k k Z πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭B. |2,6k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C. |,6k k Z πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭ D. |,6k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据终边相同的角的定义即可得到结果. 【详解】θ与6π-的终边相同 ∴终边与θ相同的角的集合为：2,6k k Z πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭本题正确选项：A【点睛】本题考查终边相同的角的概念，属于基础题.2.将一个总体分为,,A B C 三层后，其个体数之比为4:2:1，若用分层抽样的方法抽取容量为140的样本，则应从B 层中抽取的个数为（ ） A. 20 B. 30C. 40D. 60【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的原则可计算的抽样比，再利用样本容量乘以抽样比得到结果. 【详解】由题意可知B 层的抽样比为：224217=++∴应从B 层中抽取的个数为：2140407⨯=本题正确选项：C【点睛】本题考查分层抽样的基本原理的应用，属于基础题.3.若函数cos (0)12y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为2，则ω=（ ） A. 1 B. 2C. πD. 2π【答案】C 【解析】 【分析】 根据2T πω=可求得结果.【详解】由题意知：22T πω==，解得：ωπ=本题正确选项：C【点睛】本题考查余弦型函数最小正周期的求解问题，属于基础题.4.已知α为第三象限角，则（ ） A. sin α，cos α，tan α全为正数 B. sin α，cos α，tan α全为负数 C. sin cos tan 0ααα⋅⋅> D. sin cos tan 0ααα⋅⋅<【答案】C 【解析】 【分析】根据α的范围可求得正弦、余弦和正切的符号，从而得到结果. 【详解】α为第三象限角 sin 0α∴<，cos 0α<，tan 0α>，可知,A B 错误；则sin cos tan 0ααα⋅⋅>，C 正确，D 错误. 本题正确选项：C【点睛】本题考查各象限角三角函数值的符号问题，属于基础题.5.已知向量(),1a k =-，()3,4b =-，如果向量2a b +与3a b -平行，则实数k 的值为（ ）A.14B.34C. 14-D. 34-【答案】B 【解析】 【分析】根据坐标运算求出2a b +和3a b -，利用平行关系得到方程，解方程求得结果. 【详解】由题意得：()223,6a b k +=+-，()39,11a b k -=-()()2//3a b a b +- ()()112369k k ∴+=--，解得：34k =本题正确选项：B【点睛】本题考查向量平行的坐标表示问题，属于基础题.6.已知扇形AOB （O 为圆心）对应的圆心角为120，点P 在弧AB 上，且14AP AB =，则往扇形AOB 内投掷一点，该点落在POB ∆内的概率为（ ） A.32πC.3π【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形面积公式求得扇形面积；再根据弧长关系可得90POB ∠=，从而可求得POB ∆的面积，根据几何概型可求得结果. 【详解】设扇形的半径为1，则3OAB S π=扇形又14AP AB =90POB ∴∠= 12POB S ∆∴=则该点落在POB ∆内的概率为：32POB POB S S π∆=扇形本题正确选项：A【点睛】本题考查几何概型求解概率问题，涉及到扇形面积公式的应用.7.将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标缩短到原来的12，再向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位长度，得到函数()y g x =的图像关于y 轴对称，则ϕ的取值为（ ）A.8π B. 6π C.4π D.3π 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象伸缩和平移变换可得()sin 226g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；由函数图像关于关于y 轴对称可知函数为偶函数，从而得到262k ππϕπ-+=+，再结合ϕ的范围求得结果.【详解】由题意可知，横坐标缩短到原来的12得到：sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移ϕ个单位长度得到：()()sin 2sin 2266g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()y g x =的图像关于y 轴对称 ()y g x ∴=为偶函数262k ππϕπ∴-+=+，k Z ∈ 62k ππϕ∴=--，k Z ∈ 又02πϕ<<3πϕ∴=本题正确选项：D【点睛】本题考查根据三角函数的平移变换、伸缩变换以及函数的性质求解函数解析式的问题，属于常规题型.8.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A. 9B. 45C. 126D. 270【答案】C 【解析】 【分析】按照程序框图运行程序，直到不满足9k ≤输出结果即可.【详解】按照程序框图运行程序，输入0k =，0s =，满足9k ≤，循环；2000s =+=，033k =+=，满足9k ≤，循环； 2039s =+=，336k =+=，满足9k ≤，循环； 29645s =+=，639k =+=，满足9k ≤，循环；2459126s =+=，9312k =+=，不满足9k ≤，输出126s =本题正确选项：C【点睛】本题考查根据循环结构的框图计算输出结果的问题，属于基础题.9.已知()f x 是定义在(0,3)上的函数，()f x 的图像如图所示，那么不等式()cos 0f x x <的解集是（ ）A. (0,1)(2,3)B. (0,1),32π⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭C. 1,,322ππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. (0,1)(1,3)【答案】B 【解析】 【分析】将不等式变为()0cos 003f x x x >⎧⎪<⎨⎪<<⎩或()0cos 003f x x x <⎧⎪>⎨⎪<<⎩，解不等式组求得结果.【详解】由2()42()x y xy x y +-=+得：()0cos 003f x x x >⎧⎪<⎨⎪<<⎩或()0cos 003f x x x <⎧⎪>⎨⎪<<⎩∴13203x x x ππ<<⎧⎪⎪<<⎨⎪<<⎪⎩或010203x x x π<<⎧⎪⎪≤<⎨⎪<<⎪⎩∴01x <<或32x π<<，即()0,1,32x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭本题正确选项：B【点睛】本题考查不等式的求解问题，关键是能够根据明确余弦函数在区间内的符号.10.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图像如图所示，其中(2,1)A -，(8,1)B 分别是函数()f x 的图像的一个最低点和最高点，则Aωϕ+=（ ）A. 23π-B.6π C. 6π-D.23π 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可确定1A =和12T =，从而得到ω；代入()2,1A -，结合ϕπ<，求得ϕ的值；从而可得结果.【详解】依题意，1A =8262T =-=，即：12T = 2126ππω∴== 将()2,1A -代入可知：2262k ππϕπ⨯+=-+，解得：26k ϕ5π=-+π ϕπ< 56πϕ∴=- 526613A ππωϕπ-+∴==- 本题正确选项：A【点睛】本题考查根据三角函数的图象求解函数解析式的问题，属于常规题型.11.关于x 的方程sin 26x m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[0,]π内有相异两实根，则实数m 的取值范围为（ ）A. 1,42⎤⎥⎣⎦B. 142⎫⎪⎪⎣⎭C. 11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为2y m =与sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭有两个不同的交点；根据0x π≤≤可得7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，对照sin x 的图象可构造出不等式求得结果. 【详解】方程有两个相异实根等价于2y m =与sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭有两个不同交点 当0x π≤≤时，7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦由sin x 图象可知：1212m ≤<，解得：11,42m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭本题正确选项：C【点睛】本题考查正弦型函数的图象应用，主要是根据方程根的个数确定参数范围，关键是能够将问题转化为交点个数问题，利用数形结合来进行求解.12.如图，在ABC∆中，点O在BC边上，且2BO OC=，过点O的直线与直线AB，AC分别交于,M N两点（,M N不与点,B C重合），若AM mAB=，AN nAC=，则2mnm n=+（）A.32B.12C.13D.14【答案】C【解析】【分析】根据平面向量基本定理可得：1233AO AB AC=+；根据,,M O N三点共线可设MO ONλ=，利用平面向量基本定理得：11m nAO AB ACλλλ=+++，从而可建立方程组求得123m n+=，整理即可得到结果.【详解】由2BO OC=得：()2AO AB AC AO-=-，即：1233AO AB AC=+又,,M O N三点共线，设：MO ONλ=，则：()AO AM AN AOλ-=-整理可得：()1AO AM AN mAB nACλλλ+=+=+11m nAO AB ACλλλ∴=+++113213mnλλλ⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩12113311m nλλλ∴+=+=++则：123m n+=，即：23n mmn+=123mnm n∴=+本题正确选项：C【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用三点共线和平面向量基本定理构造出关于,,m nλ的方程组，从而得到,m n之间的关系，进而求得结果.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.扇形AOB 的面积是32π，弧长为π，则圆心角为_____． 【答案】3π 【解析】 【分析】根据扇形面积公式求得半径；再利用弧长公式求得结果. 【详解】由扇形面积：1322S r ππ==得：3r = 3r παα∴==，解得：3πα=本题正确结果：3π【点睛】本题考查扇形弧长和面积公式的应用，属于基础题.14.若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率，先由计算器给出0～9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3，4表示命中目标，5，6，7，8，9表示未命中目标，以5个随机数为1组，代表射击5次的结果，经随机模拟产生10组如下随机数：74253 02951 40722 98574 69471 46982 03714 26162 95674 42813 根据以上数据估计该运动员射击5次至少击中目标3次的概率为_______． 【答案】35【解析】 【分析】观察数据可知共有6组数据保证至少击中目标3次，根据古典概型求得结果. 【详解】观察可知：74253，02951，40722，03714，26162，42813满足题意 故所求概率：63105P == 本题正确结果：35【点睛】本题考查古典概型的概率问题求解，属于基础题.15.如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，2BC BD =，||2AD =，则AC AD ⋅=____．【答案】8 【解析】 【分析】根据2BC BD =可得1122AD AB AC =+，整理出2AC AD AB =-，代入AC AD ⋅，再结合2AD =，AD AB ⊥求得结果. 【详解】由2BC BD =得：1122AD AB AC =+，则：2AC AD AB =- ()222AC AD AD AB AD AD AB AD ∴⋅=-⋅=-⋅又2AD =，AD AB ⊥2408AC AD ∴⋅=⨯-=本题正确结果：8【点睛】本题考查向量数量积的求解，关键是利用平面向量基本定理将问题进行转化.16.已知函数1()(sin cos |sin cos |)(0)2f x x x x x ωωωωω=++->，点P 、Q 分别为函数()f x 图像上的最高点和最低点，若||PQ 的最小值为t ，且21524t =+，则ω的值为_____．【答案】2π 【解析】 【分析】将()f x 整理为：()sin ,sin cos cos ,sin cos x x xf x x x xωωωωωω≥⎧=⎨<⎩，在一个周期[]0,T 内得到函数的图象，根据图象和21524t =+构造出关于最小正周期T 的方程，解方程求得T ，进而得到ω. 详解】由题意得：()sin ,sin cos cos ,sin cos x x xf x x x x ωωωωωω≥⎧=⎨<⎩显然函数()f x 的最小正周期为：2T πω=，则在一个周期[]0,T 内函数()f x 的图象如下：故222225293151228426424T T t CD T ⎛⎫⎛⎫==-++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：4T =，即：2242T πππω=== 本题正确结果：2π【点睛】本题考查三角函数图象的综合应用问题，关键是能够根据函数的解析式得到函数图象，从而构造出关于最值的方程，从而求得周期.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，,A B 是单位圆O 上的点，且点A 在第一象限，点B 在第二象限，C 是圆与x 轴正半轴的交点，B 点的坐标为4,5y ⎛⎫-⎪⎝⎭，2AOB π∠=.（1）求y 的值；（2）设AOC θ∠=，求sin θ，cos θ，tan θ的值. 【答案】（1）35y =（2）4sin 5θ=；3cos 5θ=；4tan 3θ=【解析】 【分析】（1）利用两点间距离公式表示出1OB，解方程求得结果；（2）设COB ∠=α，根据三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数关系可求得结果.【详解】（1）由题意得：1OB ==且0y >，解得：35y = （2）设COB ∠=α，则有：3sin 5α=，4cos 5，3tan 4α=- 由2πθα=-得：4sin sin cos 25πθαα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭；3cos cos sin 25πθαα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭；sin 4tan cos 3θθθ 【点睛】本题考查三角函数的定义、同角三角函数求解、诱导公式应用，属于基础题.18.受到共享经济思潮的影响以及共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷，为生活添加了一丝新颖.某公司计划推出一款共享产品，先对该产品单位时间内的使用价格进行不同定价，并在A 、B 、C 、D 、E 、F 六个地区进行试销推广，得到数据如下：且日租借次数i y 的平均值为78 （1）求m 的值；（2）求日租借次数y 关于价格x 的回归直线方程. 【答案】（1）75m =（2）122345y x ∧=-+ 【解析】 【分析】（1）根据平均数y 构造方程求解得到结果；（2）根据数据求得x ，利用最小二乘法，代入公式求得回归直线.【详解】（1）由题意得：9184817067786m y +++++==，解得：75m =（2）依题意，606264666870656x+++++==()225133613133851112ˆ52531b-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯∴==-++，12ˆ78652345a=+⨯=∴回归直线方程为：12ˆ2345y x=-+【点睛】本题考查回归直线的求解问题，关键是能熟练掌握最小二乘法，属于基础题.19.已知sin()cos(2)()cos sin(2)cos()sin()2fπθπθθπθπθπθθ-+=⎛⎫--+-⎪⎝⎭（1）化简()fθ；（2）若()3fθ=-，求sinθ的值.【答案】（1）21()sinfθθ=-（2）3sinθ=±【解析】【分析】（1）根据诱导公式化简即可；（2）根据()3fθ=-可知21sin3θ=，从而求得结果. 【详解】（1）由诱导公式可得：()()()()2sin cos1sin sin cos sin sinfθθθθθθθθ==-⋅-⋅-⋅-（2）由()3fθ=-得：21sin3θ=3sinθ∴=±【点睛】本题考查诱导公式化简和求值的问题，属于基础题.20.以下茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学单位时间内引体向上的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.（1）如果8X=，求乙组同学单位时间内引体向上次数的平均数和方差；（2）如果9X=，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学单位时间内引体向上次数和为19的概率.（注：方差()()()2222121n s x x x x x x n⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦，其中x 为12,,,n x x x 的平均数）.【答案】（1）平均数354x =，方差21116s =（2）14【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差计算公式直接求得结果；（2）首先确定在甲、乙两组随机选取一名同学的所有情况，再找到次数和为19的情况，根据古典概型求得结果.【详解】（1）当8X =时，由茎叶图可知，乙组同学的引体向上次数是8，8，9，10∴平均数为：889103544x +++==方差为：222213535351182910444416s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）记甲组四名同学分别为1A ，2A ，3A ，4A ，引体向上的次数依次为9，9，11，11； 乙组四名同学分别为1B ，2B ，3B ，4B ，他们引体向上的次数依次为9，8，9，10 分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，即：()11,A B ，()12,AB ，()13,A B ，()14,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()24,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()33,A B ，()34,A B ，()41,A B ，()42,A B ，()43,A B ，()44,A B用C 表示“选出的两名同学的引体向上次数和为19”这一事件则C 中的结果有4个，它们是：()14,A B ，()24,A B ，()32,A B ，()42,A B 故所求概率：()41164P C == 【点睛】本题考查平均数、方差的求解，古典概型的概率问题求解，考查学生的基础运算能力，属于基础题.21.已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）写出函数()f x 图像的对称中心坐标和对称轴方程； （3）若,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的取值范围. 【答案】（1）0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）对称中心为(),0212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对称轴方程()23k x k Z ππ=+∈；（3）()2f x ⎡⎤∈⎣⎦【解析】 【分析】 （1）令222262k x k πππππ-+≤-≤+，解出x 的范围，结合0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可得到单调递增区间；（2）采用整体对应的方式，利用()26x k k Z ππ-=∈和()262x k k Z πππ-=+∈即可求得对称中心和对称轴；（3）利用x 的范围求得26x π-的范围，对应正弦函数的图象即可求得结果. 【详解】（1）令222262k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈解得：63k xk ππππ，k Z ∈0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ()f x ∴的单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）由()26x k k Z ππ-=∈得：212k x ππ=+ ()f x ∴的对称中心为：(),0212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ 由()262x k k Z πππ-=+∈得：23k x ππ=+ ()f x ∴的对称轴为直线：()23k x k Z ππ=+∈ （3）,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52,636x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦sin 262x π⎡⎤⎛⎫∴-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即：()2f x ⎡⎤∈⎣⎦ 【点睛】本题考查正弦型函数的单调区间、对称轴和对称中心、值域问题的求解，主要采用整体对应的方式来进行求解，属于常规题型.22.已知函数()()22cos 2cos 2f x x a x a x R =-+++∈.（1）若函数()f x 的最大值是最小值的4倍，求实数a 的值； （2）若函数()f x 存在零点，求函数的零点.【答案】（1）3a =-或3或2-+2.（2）当1a =-时，零点为()2x k k =π∈Z ；当1a =时，零点为()2x k k =π+π∈Z 【解析】 【分析】（1）将()f x 整理为()22cos 22x a a --++，换元可得()()2222g t t a a =--++，11t -≤≤；根据对称轴位置的不同，分别在1a ≤-，1a ≥，10a -<<和01a ≤<四种情况下构造最大值和最小值关系的方程，解方程求得结果；（2）根据（1）中最值的取值范围可知若存在零点，必有1a =-或1，从而可知cos x 的取值，进而得到零点.【详解】（1）()()()2222cos 2cos 2cos 22f x x a x a x R x a a =-+++∈=--++ 当x ∈R 时，1cos 1x -≤≤，令()cos 11x t t =-≤≤，()()2222g t t a a =--++①当1a ≤-时，()()2max 121f x g a a =-=-+，()()2min 121f x g a a ==++；有()2221421a a a a -+=++，解得：3a π=或13- 由1a ≤-得：3a π=②当1a ≥时，()()2max 121f x g a a ==++，()()2min 121f x g a a =-=-+；有()2221421a a a a ++=-+，解得：3a =或13由1a ≥得：3a =③当10a -<<时，()()2max 22f x g a a ==+，()()2min 121f x g a a ==++；有()2222421a a a +=++，解得：2a =-±由10a -<<得：2a =-+④当01a ≤<时，()()2max 22f x g a a ==+，()()2min 121f x g a a =-=-+有()2222421a a a +=-+，解得：2a =±由01a ≤<得：2a =综上所述：3a =-或3或2-2（2）由（1）知，()222110a a a -+=-≥，()222110a a a ++=≥+，2220a +> 若函数()f x 存在零点，则必有：1a =-或1①当1a =-时，cos 1x =，此时函数()f x 的零点为：()2x k k =π∈Z ； ②当1a =时，cos 1x =-，此时函数()f x 的零点为：()2x k k =π+π∈Z【点睛】本题考查余弦型函数的最值、零点的求解问题，关键是能够通过换元法将问题转变为二次函数图象的讨论问题，从而根据对称轴位置确定最值取得的点；同时求解零点时，根据最值的取值范围可确定余弦的取值.。
2018-2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)
2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（每题5分，共50分）1.若集合2{|52},{|90},A x x B x x A B =-<<=-<⋂=求（ ） A. {|32}x x -<<B. {|52}x x -<<C. {|33}x x -<<D.{|53}x x -<<【答案】A 【解析】 【分析】利用集合交集运算性质即可解得. 【详解】{|52},A x x =-<<2{|90}={|-33}B x x x x =-<<<所以{|32}A B x x ⋂=-<< 故选A【点睛】本题主要考查集合的运算性质,属于基础题.2.已知,m n R ∈，i 是虚数单位，若(1)(1)mi i n +-=，则m ni +的值为（ ） A. 1 【答案】D 【解析】【分析】根据复数的运算性质,分别求出m,n,然后求解复数的模. 【详解】()()11mi i n +-=()11m m i n ∴++-=11m n m +=⎧∴⎨=⎩ 21n m =⎧∴⎨=⎩12m ni i +=+=故选D【点睛】本题考查复数运算性质和复数模的计算,属于基础题,解题时要准确计算.3.若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ）A. 1)-B. (-C. (1)-D.(1,-【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量坐标运算求出向量2m n +,然后利用向量平行的条件判断即可. 【详解】()()0,2,3,1m n =-=()23,3m n ∴+=-()333-=--故选B【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.4.将函数24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π单位后，所得图象对应的函数解析式为（ ）A. 5212y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B. 5212y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. 212y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】先将函数24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中x 换为x-12π后化简即可.【详解】2()124y x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭化解为212y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭故选D【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x 按要求变换.5.设实数，y 满足的约束条件10200x y x y y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z x y =+的取值范围是（ ）A. [1,1]-B. [1,2]-C. [1,3]-D. [0,4]【答案】C 【解析】 【分析】先画出可行域的几何图形,再根据z x y =+中z 的几何意义(直线在y 轴上的截距)求出z 的范围.【详解】如图:做出满足不等式组的10200x y x y y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域,由图可知在A(1,2)处取得最大值3,在点B(-1,0)处取得最小值-1; 故选C【点睛】本题主要考查线性规划问题中的截距型问题,属于基础题型,解题中关键是准确画出可行域,再结合z 的几何意义求出z 的范围.6.若函数22,0()(),0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A. ()()()20f a f a f >> B. ()()()02f a f f a >> C. ()()()20f a f a f >> D. ()()()20f a f f a >>【答案】C 【解析】 【分析】函数()()22,0,0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数,则有f(-1)=f(1),可解得a=1,函数在区间(),0-∞ 单调递减,在区间()0,∞+单调递增,故自变量距离0越远函数值越大,即可求解.【详解】因为函数()()22,0,0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数 所以f(-1)=f(1),解得a=1又因为函数在(),0-∞ 单调递减,在()0,∞+单调递增 所以()()()20f a f a f >> 故选C【点睛】本题考查了分段函数的奇偶性和单调性的应用,属于中等难度题目,解题中关键是利用偶函数的性质求解a 的值,其次是利用偶函数的单调性比较大小(先减后增,离原点越远函数值越大,先增后减,离原点越远越小).7.已知圆()2229x y -+=的圆心为C ，过点()2,0M -且与x 轴不重合的直线l 交圆A 、B两点，点A 在点M 与点B 之间。
2018-2019高一下学期期中考试数学试题(解析版)
（1）由向量的平行关系可以得到 ,再由正弦定理可以解出答案。
（2）由（1）的答案，再根据余弦定理可以求得 ，根据面积公式算出答案。
【详解】(1)因为 ，所以asinB－ bcosA＝0，
由正弦定理，得sinAsinB－ sinBcosA＝0，
又sinB≠0，从而tanA＝ ，由于0＜A＜π，所以A＝ .
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosA，把BC，AB及求出的AC的值代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
试题解析：
（1）由正弦定理得
= = = AC= =5。
（2）由余弦定理得
cosA= = =- ，所以∠A=120°。
20.已知数列 的前 项和为 且 .
（1）求数列 的通项公式
【详解】记 点正下方为 ，
由题意可得 ， ， ，
在 中，由 ，
得到 ；
在 中，由 得到 ，
所以河流的宽度 等于 米.
故选B
【点睛】本题主要考查解三角形，熟记特殊角对应的三角函数值，已经两角和的正切公式即可，属于常考题型.
12.设 是 的重心， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，若 ，则角 ( )
A. B. C. D.
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦定理，结合题中数据求出 ，即可得出结果.
【详解】因为 ， ， ，
由正弦定理 ，可得 ，
所以 或 ；且都满足 .
故选C
【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于基础题型.
7.设 ， ，点 与 关于点 对称，点 与 关于点 对称，则向量 ( )
A. B. C. D.
辽宁省六校协作体2018-2019高一下学期期中考试数学试卷
2018---2019学年度下学期省六校协作体高一期中考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
单选题：（每题4分，计40分）1、计算4tan 2cos sin 2πππ++的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ． 42、命题“x ∀，1cos sin ≥+x x ”的否定为（ ） A ．x ∀，1cos sin <+x x B ．x ∀，1cos sin ≤+x x C ．x ∃，1cos sin ≥+x x D ．x ∃，1cos sin <+x x3、若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →等于( ) A ．(－2,－4) B ．(2,4) C ．(6,10) D ．(－6,－10) 4、角α的终边经过)4,3(-P ，那么角α可以是（ ）A ．54arcsinB ．)53arccos(-C ．53arccos 2+πD ． )34arctan(-5、某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( ) A ．280 B ．320 C ．400 D ．10006、样本数据1021,,x x x 的标准差为2，那么12,12,121021---x x x 标准差为（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．27、函数)sin()(ϕω+=x x f )0,0(πϕω<<>在某个周期内的递减区间为]3,6[ππ-那么ϕω,的值分别为（ ）A ．65,2πϕω==B ．6,2πϕω==C ．3,21πϕω==D ．32,21πϕω==8、1cos =a ，1sin =b ，1tan =c ，那么a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．a b c >> C ．a c b >> D ．b a c >>9、ABC ∆中090,2,3A AB AC ∠===，设P Q 、满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，R λ∈，若1BQ CP ⋅=，则λ=（ ）A ．31 B ．32 C ． 34D ．2 10、函数⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x f 2sin )(π)40()0(<≤<x x ，方程m x f =)(有三个根321,,x x x ，那么A 321x x x ++取值范围是（ ）A ．)1,0(B ．)2,1(C ．)3,1(D ．)4,3( 多选题：（每题有多个答案，选对一个得2分，多选或不选不得分，全部选对得4分，计12分）11、已知函数)321sin()(π-=x x f ，那么下列式子恒成立的是（ ）A ． )2()2(ππ-=+x f x fB ． )()310(x f x f =-πC ．)()65(x f x f =-πD ． )()35(x f x f -=-π12、C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2ab A =+，则下列结论正确的是（ ）A ． 1=B ． ⊥C ． 1-=⋅b aD ． ()4C a b +⊥B13、如图，矩形ABCD 中，AD AB 2=，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成DE A 1∆(∉1A 平面ABCD )，若O M ,分别为线段DE C A ,1的中点，则在ADE ∆翻转过程中，下列说法正确的是（ ） A ．与平面DE A 1垂直的直线必与直线MB 垂直 B ．BM E A //1 C ．存在某个位置，使MO DE ⊥D ．三棱锥ADE A -1外接球半径与棱AD 的长之比为定值填空题：（每题每空2分，计16分） 14、从三名男生和两名女生中选派三人参加数学竞赛，选派三人都是男生的概率为 ；选派三人既有男生又有女生的概率为 。
江苏省南京市六校联合体2018-2019学年高一下学期期中联考试题数学含答案
数学试题
一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1.若角 m 360 60 ， k 360 120 ，（ m ， k Z ），则角 与 的终边的位置关系是（
D
.
y
1 sin(
x
)
22
8.在 ABC 中，已知 2 cos B a ，则此三角形的形状为（
）.
c
A .直角三角形
B .等腰三角形
C .等腰直角三角形
9.若 sin(x ) 4 ，则 sin(2x ) 的值为（
）.
65
6
24 A.
25
B . 24 25
C. 7 25
▲.
D A
F
C
B
二、填空 填写在答
DD1 ，
14.如图，四棱锥 P ABCD 中，底面是边长为 2 的正方形，
P
， PA 2 ， E 是 PB 的中点，则三棱锥 P AEC 的体积为
15. 2 cos 40(1 3 tan10) 化简得 ▲ .
A D
PA 平面ABCD
▲. E
B C
（2） OEP
20
中，
sin(
)
EP
sin
, EP
10 sin(
3
)
3
3
3
OFP
中，
20 sin(
7
)
FP sin
, FP
10 3 sin( 7 )
………..8 分
2018-2019学年重庆市渝东六校联盟高一下学期期中联考数学试题(解析版)
2018-2019学年重庆市渝东六校联盟高一下学期期中联考数学试题一、单选题1．已知等差数列{}n a 中，482a a +=，则6a =（ ） A ．6 B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】根据等差数列的等差中项的性质可得. 【详解】因为{}n a 是等差数列， 所以4862122a a a +===. 故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的等差中项的应用，属于基础题。
2．若平面向量,a b r r 的夹角为30︒，且22a b ==r r ，则b r 在a r 方向上的投影为（ ）A B ．12C ．2D ．1【答案】C【解析】由b r 在a r方向上的投影为cos30b ︒r 求解即可.【详解】b r 在a r 方向上的投影为cos302b ︒=r . 故选：C 【点睛】本题主要考查了投影的求解方法,属于基础题型.3．在ABC ∆中，222a b ab c ++=，则角C 等于（ ） A ．120° B ．60°C ．30°D ．150°【答案】A【解析】对已知条件进行变形后，利用余弦定理即可得到.由222a b ab c ++=，得222122a b c ab +-=-，所以1cos 2C =-， 又0180C <<o o ，所以120C =o . 故选：A 【点睛】本题考查了余弦定理的应用，属于基础题,4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要走189里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了（ ） A ．24里 B ．192里C ．96里D ．48里【答案】D【解析】建立等比数列模型，记第n 天行走的路程为n a ，根据等比数列的前n 项和与通项公式即可得到. 【详解】记第n 天行走的路程为n a ，则数列{}n a 为等比数列，公比12q =， 依题意知，前6项的和6189S =，即61(1)1891a q q-=-， 所以161(1)2189112a -=-，解得196a =， 所以21196482a a q ==⨯=，所以第二天行走了48里. 故选：D 【点睛】本题考查了数学建模，考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题. 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91025a a =+，则15S 的值为（ ） A ．75B ．35C ．45D ．65【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由91025a a =+求出8a ，再由15815S a =即可得到. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则882()52a d a d +=++，化简得85a =， 所以115815815()152151557522a a a S a +⨯====⨯=.故选：A 【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的前n 项和公式，考查了等差数列的性质，属于基础题.6．已知设数列{}n a 是由正项组成的等比数列，且784a a ⋅=，则414243414log log log log a a a a +++⋯+=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】根据等比数列的性质可得11421331241151069784a a a a a a a a a a a a a a =======，再由对数的运算性质可得【详解】因为数列{}n a 是由正项组成的等比数列，所以11421331241151069784a a a a a a a a a a a a a a =======， 所以414243414log log log log a a a a +++⋯+=412314log ()a a a a ⋅⋅L74log 47==.故选：C 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了对数的运算性质，属于基础题.7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知1sin sin sin 4B C A -=，23b c =，则cos A 的值为（ ）A ．14-B ．14C ．13D ．13-【答案】A【解析】根据正弦定理角化边可得14b c a -=，然后用c 表示,a b 后代入余弦定理即可得到结果. 【详解】 由23b c =得32b c =， 因为1sin sin sin 4B C A -=由正弦定理得14b c a -=，将32b c =代入可得2a c =，由余弦定理可得2222229414cos 32422c c c b c a A bc c c +-+-===-⨯⨯. 故选：A 【点睛】本题考查了正弦定理角化边，考查了余弦定理，属于基础题.8．已知数列11a =，25a =，()*21n n n a a a n N ++=-∈，则2019a =（ ）A ．1B ．4C ．4-D ．5【答案】B【解析】根据()*21n n n a a a n N ++=-∈推出周期为6，再根据周期性可得20193aa =，由此不难得出结论. 【详解】因为()*21n n n a a a n N ++=-∈，所以321n n n a a a +++=-，将21n n n a a a ++=-代入可得3n n a a +=-，所以63n n a a ++=-，将3n n a a +=-代入可得6n n a a +=， 所以数列{}n a 是周期为6的数列，所以2019336633a a a ⨯+==21514a a =-=-=.【点睛】本题考查了数列的周期的推导，考查了利用周期求数列中项的值，属于基础题.9．在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，如果,,a b c 成等差数列，30B =︒，ABC∆的面积为32，那么b =（ ） A ．132+ B ．13+C ．223+ D ．23+【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得22222cos ()22cos b a c c B a c ac ac B =+-=+--，又面积1sin 2ABC S ac B ∆=13642ac ac ==⇒=，因为a b c ，，成等差数列，所以2a c b +=，代入上式可得2241263b b =--，整理得2423b =+，解得13b =+，故选B ．【考点】余弦定理；三角形的面积公式．10．若ABC V 内有一点O ,满足0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ,且OA OB OB OC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r,则ABC V 一定是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形【答案】D【解析】试题分析：因为OA OB OB OC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，所以,所以,所以O 在AC 的高线上，又0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，所以,设AC 的中点为D,所以,故O 在AC 的中线上,所以三角形一定是等腰三角形.选D. 【考点】平面向量数量积的运算点评：本题考查向量的运算在三角形中的应用，考查学生利用所学知识分析问题，解决问题的能力.11．已知ABC ∆，满足3219()||||||AB AC AB AC AB AC AB AC ++=+u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，若23AB AC ⋅=u u u r u u u r 则ABC ∆的面积S =（ ） A ．3B ．33C ．6D ．3【解析】令||AB c =u u u r ，||AC b =u u u r ，则||AB AC +u u u r u u ur=将32)||||||AB AC AB AC AB AC AB AC ++=+u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r变为32()AB AC c b=-u u u r u u u r ，根据AB u u u r ，AC u u u r 不共线，可得2b =，2c =，再根据AB AC ⋅=u u u r u u u rsin A =，最后由面积公式可得答案. 【详解】因为32)||||||AB AC AB AC AB AC AB AC ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，、 令||AB c =u u u r ，||AC b =u u u r，、则||AB AC +==u u u r u u u r=所以32()AB AC c b=u u u r u u u r ， 因为AB u u u r，AC u u u r不共线，所以3c=02b =0，化简得：22109c b =+22154b c =+所以2b =，2c =，又AB AC ⋅=u u u r u u u rcos cb A =222cos 12c b A =，所以212A =，所以21cos 4A =，所以213sin 144A =-=，所以sin A =， 所以ABC ∆的面积S=11sin 322bc A ==. 故选：A 【点睛】本题考查了平面向量的数量积，考查了平面向量基本定理的应用，考查了同角公式，考查了三角形的面积公式，属于中档题>12．已知数列{}n a 满足11a =，113nn n a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，231233333n n n s a a a a =⋅+⋅+⋅+⋯+⋅，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法可求得17161643s a -⋅=（ ） A ．15 B ．16 C ．17 D ．18【答案】D【解析】对231233333nn n s a a a a =⋅+⋅+⋅+⋯+⋅两边同时乘以3后与原等式相加，利用113nn n a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭化简可得4n S 123(2)n n n a n +=++≥，再令16n =即可得到结果.【详解】由231233333nn n s a a a a =⋅+⋅+⋅+⋯+⋅，①得231123333n n n S a a a +=⋅+⋅++⋅L ，②①+②得：23111223143()3()3()33n n n n n n S a a a a a a a a +-=++⋅++⋅+++⋅+⋅L2233111113()3()3()33333n n n n a a +=+⨯+⨯++⨯+⋅L13(1)4n n n a +=+-+ 123(2)n n n a n +=++≥，所以161161641623S a +=++，即1716164318S a -=.故选：D 【点睛】本题考查了解题方法的类比推理，两边同时乘以3，再利用已知进行化简是解题关键，属于中档题.二、填空题 13．已知中，，，，那么______.【答案】【解析】题中已知角、边和边，求角，知三求一可以直接利用正弦定理求出sinA ，然后利用边的关系，求出角大小。
2018-2019学年辽宁省六校协作体高一(下)期中数学试卷
2018-2019学年辽宁省六校协作体高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|2x2-5x-3≤0}，B={x∈Z|x≤2}，则A∩B=（）A. {1，2}B. {0，1，2}C. {1，2，3}D. {0，1，2，3}2.sin18°•sin78°-cos162°•cos78°等于（）A. B. C. D.3.已知向量=（1，m），=（3，-2），且（+）⊥，则m =( )A. B. C. 6 D. 84.已知函数，则=（）A. 3B. 4C. -3D. 385.若l1：x+（m+1）y+（m-2）=0，l2：mx+2y+8=0的图象是两条平行直线，则m的值是（）A. m=1或m=-2B. m=1C. m=-2D. m的值不存在6.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A.B.C. 2000 cm3D. 4000 cm37.若，则=（）A. B. C. D.8.若把函数f（x）=sinωx的图象向左平移个单位，恰好与函数y=cosωx的图象重合，则ω的值可能是（）A. B. C. D.9.已知tan2α=-2，且满足＜α＜，则的值为（）A. B. - C. -3+2 D. 3-210.已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A. B.C. D.11.若偶函数f（x）在区间[-1，0]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（）A. f（cosα）＞f（c osβ）B. f（sinα）＞f（cosβ）C. f（sinα）＞f（sinβ）D. f（cosα）＞f（sinβ）12.△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++=，||=||，则•等于（）A. B. C. 3 D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，则sin2α=______．14.已知向量=（cosθ，sinθ），=（，-1），则|2-|的取值范围为______．15.设f（x）=sin4x-sin x cosx+cos4x，则f（x）的值域是______．16.已知等边△ABC的边长为2，若，则=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知，（1）若，求sin2x-6cos2x的值；（2）若，求函数f（2x）的周期和单调减区间．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）若EF⊥PC，求证：平面PAB⊥平面PCD．19.已知函数的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）方程在上的两解分别为x1，x2，求sin（x1+x2），cos（x1-x2）的值．20.已知圆C的方程：x2+y2=4和直线l的方程：3x+4y+12=0，点P是圆C上动点，直线l与两坐标轴交于A、B两点．（1）求与圆C相切且垂直于直线l的直线方程；（2）求△PAB面积的取值范围．21.已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，9），B（6，-3），点P的横坐标为14，且=，点Q是边AB上一点，且=0．（1）求实数λ的值及点P、Q的坐标；（2）若R为线段OQ（含端点）上的一个动点，试求的取值范围．22.已知函数f(x)＝sin(－2x)－2sin(x－)cos(x＋)．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若x∈[，]，且F(x)＝－4λf(x)－cos(4x－)的最小值是－，求实数λ的值．-------- 答案及其解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查集合的交集的求法，基本知识的考查,属于基础题．求出两个集合，然后求解交集即可．【解答】解：集合A={x|2x2-5x-3≤0}={x|-≤x≤3}，B={x∈Z|x≤2}，则集合A∩B={0，1，2}．故选：B．2.答案：D解析：解：sin18°•sin78°-cos162°•cos78°=sin18°•cos12°+cos18°•sin12°=sin30°=，故选：D．利用两角和的正弦函数公式化简后即可得答案．本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基础题．3.答案：D解析：【分析】本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，属于基础题．求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，得到关于m的方程，求解即可．【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，-2），∴+=（4，m-2），又∵（+）⊥，∴（+）=12-2（m-2）=0，解得m=8.故选D．4.答案：C解析：解：∵函数，∴f（）=2+36=8，∴=f（8）==-3．故选：C．推导出f（）=2+36=8，从而=f（8）=，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．5.答案：B解析：解：∵l1：x+（m+1）y+（m-2）=0，l2：mx+2y+8=0的图象是两条平行直线，∴，解得m=1．故选：B．利用直线平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的合理运用．6.答案：B解析：【解答】解：如图，几何体是四棱锥，一个侧面PBC⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，．故选：B．【分析】由三视图可知，几何体是四棱锥，一个侧面垂直底面，底面是正方形，根据数据计算其体积．本题考查三视图、椎体的体积，考查简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．7.答案：D解析：解：∵=cos（α+），∴=cos[2（α+）]=2cos2（α+）-1=2×-1=-．故选：D．由已知利用诱导公式可求cos（α+）=，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8.答案：D解析：解：把函数f（x）=sinωx的图象向左平移个单位，得到函数y=sinω（x+）=sin （ωx+ω）的图象．而y=cosωx=cos（-ωx）=sin（+ωx），∴ω=+2kπ，k∈z．观察所给的选项，只有ω=满足条件，故选：D．把函数f（x）=sinωx的图象向左平移个单位，得到函数y=sin（ωx+ω）的图象，而y=cosωx=sin（+ωx），可得ω=+2kπ，k∈z，结合所给的选项得出结论．本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=A sin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．9.答案：C解析：【分析】本题考查的知识要点：倍角公式的应用，三角关系式的恒等变换，及特殊角的三角函数值.首先根据已知条件已知tan2α=-2，且满足＜α＜，求出tanα=，进一步对关系式进行变换=，最后求的结果．【解答】解：已知tan2α=-2，且满足＜α＜，则：=-2解得：tanα=====由tanα=所以上式得：==-3+2故选：C．10.答案：A解析：解：令，，，如图所示：则，又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为-1，所以的取值范围为[-1，+1]．故选：A．令，，，作出图象，根据图象可求出的最大值、最小值．本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具．11.答案：D解析：解：∵偶函数f（x）在区间[-1，0]上是增函数，∴f（x）在区间[0，1]上为减函数．又由α、β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞，＞α＞-β＞0，则cosα＜cos（-β），即0＜cosα＜sinβ＜1．∴f（cosα）＞f（sinβ）．故选：D．利用偶函数的对称性可得函数在[0，1]单调递增，由α、β为锐角三角形的内角可得，α+β＞⇒α＞-β，β＞-α，结合函数的单调性可得结论．本题主要考查三角函数值的大小比较，结合锐角三角函数判断角的大小关系以及利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．12.答案：C解析：解：∵，∴，∴．∴O，B，C共线，BC为圆的直径，如图∴AB⊥AC．∵，∴=1，|BC|=2，|AC|=，故∠ACB=．则，故选：C．利用向量的运算法则将已知等式化简得到，得到BC为直径，故△ABC为直角三角形，求出三边长可得∠ACB的值，利用两个向量的数量积的定义求出的值．本题主要考查向量在几何中的应用、向量的数量积，向量垂直的充要条件等基本知识．求出△ABC为直角三角形及三边长，是解题的关键．13.答案：解析：解：∵点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，∴=-2，即tanα=-2，∴sin2α===-，故答案为：-．由题意利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，求得sin2α的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．14.答案：[0，4]解析：解：=（cosθ，sinθ），=（，-1），则2-=（2cosθ-，2sinθ+1），∴|2-|2=（2cosθ-）2+（2sinθ+1）2=4cos2θ-4cosθ+3+4sin2θ+4sinθ+1=8sin（θ-）+8，∵-1≤sin（θ-）≤1，∴0≤8sin（θ-）+8≤16，∴|2-|的取值范围为[0，4]，故答案为：[0，4]根据向量的模可得：|2-|2=8sin（θ-）+8，再根据正弦函数的性质即可求出．本题考查了向量的数量积和向量的模，以及三角形函数的化简和性质，属于基础题．15.答案：[0，]解析：解：f（x）=sin4x-sin x cosx+cos4x=1-sin2x-sin22x．令t =sin2x，则f（x）=g（t）=1-t-t2 =-（t+）2 ，且-1≤t≤1．故当t=-时，f（x）取得最大值为，当t=1时，f（x）取得最小值为0，故，f（x）∈[0，]，即f（x）的值域是[0，]，故答案为[0，]．t=sin2x，-1≤t≤1，化简f（x）的解析式为-（t+）2 ，再利用二次函数的性质求出f（x）的值域．本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，二次函数的性质的应用，属于中档题．16.答案：-2解析：解：如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，∵等边△ABC的边长为2，且，则B（-1，0），D（，），A（0，），E（-，0），∴，∴．故答案为：-2．由题意画出图形，建立适当的平面直角坐标系，求出所用点的坐标，得到向量的坐标，然后利用向量数量积的坐标运算得答案．本题考查平面向量的数量积运算，建系利用坐标求解起到事半功倍的效果，是中档题．17.答案：解：（1）∵=（sin x，cos x），=（，-1），∥，∴-sin x=cos x，∴tan x=-，∴sin2x-6cos2x====-，（2）f（x）=•=sin x-cos x=2sin（x-），∴f（2x）=2sin（2x-），由+2kπ≤2x-≤π+2kπ，k∈Z，得：+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．∴函数f（2x）的单调减区间[+kπ，+kπ]，k∈Z解析：本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和正弦函数的性质，属于中档题．（1）根据向量的平行和角的三角函数的关系即可求出答案，（2）先求出f（x），再得到f（2x）的解析式，根据正弦函数的性质即可得到函数的单调减区间．18.答案：证明：（1）连结AC，则F是AC的中点，又E为PC的中点，故在△CPA中，EF∥PA，∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD．（2）由（1）可得，EF∥PA，又EF⊥PC，∴PA⊥PC，∵平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA，又CD∩PC=C，∴PA⊥平面PDC，又PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.解析：（1）连结AC，则F是AC的中点，又E为PC的中点，从而EF∥PA，由此能证明EF∥平面PAD．（2）由EF∥PA，又EF⊥PC，得PA⊥PC，从而CD⊥平面PAD，进而CD⊥PA，PA⊥平面PDC，由此能证明平面PAB⊥平面PCD．本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．19.答案：（本小题满分12分）解：（1）由图象可知A=2，，又∵，∴ω=2，又∵f（x）的图象过点，即，（k∈Z），即（k∈Z），又∵，∴，∴f（x）=；（2）∵f（x）的图象在y轴右侧的第一个波峰的横坐标为，图象在的两解x1，x2关于直线对称，可得：，sin（x1+x2）=sin=，方程在上的两解分别为x1，x2，x1-x2∈（-，）可得：sin（2x1+）=，sin（2x2+）=，由图象可知2x1+∈（，），2x2+∈（，），cos（2x1+）=，cos（2x2+）=-，cos2（x1-x2）=cos[（2x1+）-（2x2+）]=-+=，∴2cos2（x1-x2）-1=．∴cos（x1-x2）=．解析：（（1）由图象可知A，利用周期求解ω，通过f（x）的图象过点，求解φ，然后求解函数的解析式．（2）∵f（x）的图象在y轴右侧的第一个波峰的横坐标为，图象在的两解x1，x2关于直线对称，求出，利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式求解即可．本题考查三角函数的图象的应用，函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力．20.答案：解：（1）设所求直线方程为4x-3y+m=0，由于直线与圆C相切，∴圆心（0，0）到直线的距离d=r，即=2，解得：|m|=10，即m=±10，则所求直线方程为4x-3y+10=0或4x-3y-10=0；（2）由于直线l：3x+4y+12=0与两坐标轴交于A、B两点，∴A（-4，0）B（0，-3），∴|AB|=5，设圆心C到直线l的距离d==，点P到直线l的距离为d1，则d-2≤d1≤d+2，即，由于，∴△PAB面积的取值范围是[1，11]．解析：本题考查了直线与圆的方程的应用，涉及的知识有：点到直线的距离公式，以及直线与圆相切的性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键，是中档题．（1）设所求方程为4x-3y+m=0，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离d=r求出m 的值，即可确定出所求直线方程；（2）由于直线l：3x+4y+12=0与两坐标轴交于A、B两点，可求出|AB|，设圆心C到直线l的距离d=，点P到直线l的距离为d1，则d-2≤d1≤d+2，即，再由面积公式即可求出△PAB面积的最大值．21.答案：解：（1）设P（14，y），则=（14，y），=（-8，-3-y），∵=，∴，解得，即λ=-，P（14，-7），…………（3分）设点Q（a，b），则，又=（12，-16），∵=0，∴3a=4b，①又点Q在边AB上，∴=，即3a+b-15=0，②联立①②，解得a=4，b=3，∴点Q（4，3）．…………（6分）（2）∵R为线段OQ上的一个动点，∴设R（4t，3t），且0≤t≤1，则=（-4t，-3t），=（2-4t，9-3t），=（6-4t，-3-3t），=（8-8t，6-6t），…………（8分）则•（）=-4t（8-8t）-3t（6-6t）=50t2-50t=50（t-）2-，………（10分）∵0≤t≤1，故•（）的取值范围为[-]．…………………（12分）解析：（1）设P（14，y），则=（14，y），=（-8，-3-y），由=，求出λ=-和P（14，-7），设点Q（a，b），则，再由=（12，-16），由=0，点Q在边AB上，能求出点Q（4，3）．（2）设R（4t，3t），且0≤t≤1，推导出=（8-8t，6-6t），由此能求出•（）的取值范围．本题考查实数值及点的坐标的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，考查向量的坐标运算法则、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22.答案：解：(1)∵f(x)＝sin(－2x)－2sin(x－)cos(x＋)＝cos2x＋sin2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x)＝cos2x＋sin2x＋sin2x－cos2x＝cos2x＋sin2x－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)，∴T＝＝π.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2)F(x)＝－4λf(x)－cos(4x－)＝－4λsin(2x－)－[1－2sin2(2x－)]＝2sin2(2x－)－4λsin(2x－)－1＝2[sin(2x－)－λ]2－1－2λ2.∵x∈[，]，∴0≤2x－≤，∴0≤sin(2x－)≤1.①当λ<0时，当且仅当sin(2x－)＝0时，F(x)取得最小值－1，这与已知不相符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin(2x－)＝λ时，F(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝，λ＝－(舍去)；③当λ>1时，当且仅当sin(2x－)＝1时，F(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ>1相矛盾．综上所述，实数λ的值为.解析：本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题（1）先利用两角和余差和二倍角等基本公式将函数化为y=A sin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）x∈[，]时，化解F（x），求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最小值，可得实数λ的值．．。
2018-2019学年重庆市渝东六校联盟高一第二学期期中数学试卷 含解析
2018-2019学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知等差数列{a n}中，a4+a8＝2，则a6＝（）A．6B．3C．2D．12．若平面向量a→，b→的夹角为30°，且|a→|＝2|b→|＝2，则b→在a→方向上的投影为（）A．√3B．12C．√32D．13．在△ABC中，已知a2+b2+ab＝c2，则∠C＝（）A．30°B．60°C．120°D．150°4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要走189里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了（）A．24里B．192里C．96里D．48里5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a9＝5+a10，则S15的值为（）A．75B．35C．45D．656．设数列{a n}是由正项组成的等比数列，且a7•a8＝4，则log4a1+log4a2+…+log4a14等于（）A．5B．6C．7D．87．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin B﹣sin C=14sin A，2b＝3c，则cos A的值为（）A．−14B．14C．13D．−138．已知数列a1＝1，a2＝5，a n+2＝a n+1﹣a n（n∈N*），则a2019＝（）A．1B．4C．﹣4D．59．△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为32，那么b等于（）A．1+√32B．1+√3C．2+√32D．2+√310．△ABC内有一点O，满足OA→+OB→+OC→=0→，且OA→⋅OB→=OB→⋅OC→．则△ABC一定是（）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形11．已知△ABC ，满足3AB→|AB →|+2AC →|AC →|=√19(AB →+AC →)|AB →+AC →|，若AB →•AC →=2√3，则△ABC 的面积S＝（ ） A ．3B ．3√3C ．6D ．6√312．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +a n ﹣1＝（13）n ，s n ＝a 1•3+a 2•32+a 3•33+…+a n •3n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法可求得4s 16﹣a 16•317＝（ ） A ．.15B ．16C ．.17D ．.18二、填空题（共4小题，共20分）13．在△ABC 中，a =√2，b =√3，B ＝60°，则A ＝ ．14．已知向量a →=（﹣1，2），b →=（m ，1）．若向量a →−b →与a →垂直，则m ＝ ．15．数列{a n }中，已知a 1＝5，且a n +1＝a n +n ，则等a 10等于 ．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，a ＝5，b ＝4，又知cos （A ﹣B ）=3132，则△ABC 的面积为 ． 三、解答题（共6小题，共70分）17．平面内给定三个向量a →=（3，2），b →=（x ，2），c →=（4，1）． （Ⅰ）求3a →+c →的值；（Ⅱ）当实数x 为何值时，a →⊥b →垂直？18．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 向量m →=（a ，√3b ）与n →=（cos A ，sin B ）平行． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a ＝2√3，b ＝2，求△ABC 的面积19．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，若S 3＝a 4+2，且a 1，a 3，a 13成等比数列（1）求{a n }的通项公式；（2）设b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和为T n ．20．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3c sin A sin B ＝2a ． （1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．21．如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC＝60°，PC＝2，AP+AC＝4．（Ⅰ）求∠ACP；（Ⅱ）若△APB的面积是3√32，求sin∠BAP．22．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+n＝2a n（n∈N*）．（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式．（2）若b n＝na n+n，数列{b n}的前n项和为T n，求满足不等式T n−2n＞100的n的最小．参考答案一、选择题（共12小题，共60分）1．已知等差数列{a n}中，a4+a8＝2，则a6＝（）A．6B．3C．2D．1【分析】利用等差数列的性质可得：a4+a8＝2a6，即可得出．解：等差数列{a n}中，a4+a8＝2a6＝2．解得：a6＝1．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．若平面向量a→，b→的夹角为30°，且|a→|＝2|b→|＝2，则b→在a→方向上的投影为（）A．√3B．12C．√32D．1【分析】可知|b→|=1，＜a→，b→＞=30°，根据投影的计算公式即可得出b→在a→方向上的投影的值．解：∵|b→|=1，＜a→，b→＞=30°，∴b→在a→方向上的投影为|b→|cos30°=√32．故选：C．【点评】本题考查了投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．3．在△ABC中，已知a2+b2+ab＝c2，则∠C＝（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】利用余弦定理表示出cos C，将已知等式变形后代入计算求出cos C的值，由∠C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出∠C的度数．解：∵a2+b2+ab＝c2，即a2+b2﹣c2＝﹣ab，∴cos C=a2+b 2−c22ab=−12，∵∠C为三角形的内角，∴∠C＝120°．故选：C．【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要走189里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了（ ） A ．24里B ．192里C ．96里D ．48里【分析】设第n 天走a n 里路，则{a n }是以12为公比的等比数列，利用等比数列的性质能求出结果．解：有一个人要走189里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地， 设第n 天走a n 里路，则{a n }是以12为公比的等比数列，∴S 6=a 1(1−126)1−12=189，解得a 1＝384，∴第二天走了a 2=384×12=192里路．故选：B ．【点评】本题考查等比数列的第2项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 9＝5+a 10，则S 15的值为（ ） A ．75B ．35C ．45D ．65【分析】利用等差数列{a n }通项公式求出a 1+7d ＝5，再由S 15=152(a 1+a 15)=15（a 1+7d ），能求出结果．解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，2a 9＝5+a 10， ∴2（a 1+8d ）＝5+a 1+9d ， 解得a 1+7d ＝5， ∴S 15=152(a 1+a 15)=15（a 1+7d ）＝75． 故选：A ．【点评】本题考查等差数列的前15项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．设数列{a n}是由正项组成的等比数列，且a7•a8＝4，则log4a1+log4a2+…+log4a14等于（）A．5B．6C．7D．8【分析】由等比数列的性质可得：a1a14＝a2a13＝…＝a7a8，再利用对数运算性质即可得出．解：由等比数列的性质可得：a1a14＝a2a13＝…＝a7a8，∴log4a1+log4a2+…+log4a14＝log4（a1a2•…•a14）＝log4（a7•a8）7＝log447＝7．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin B﹣sin C=14sin A，2b＝3c，则cos A的值为（）A．−14B．14C．13D．−13【分析】由正弦定理转化sin B﹣sin C=14sin A，利用余弦定理求cos A的值．解：△ABC中，sin B﹣sin C=14sin A，即b﹣c=14a；又2b＝3c，所以b=32c，a＝2c；所以cos A=b 2+c2−a22bc=94c2+c2−4c22×32c×c=−14．故选：A．【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用问题，是基础题．8．已知数列a1＝1，a2＝5，a n+2＝a n+1﹣a n（n∈N*），则a2019＝（）A．1B．4C．﹣4D．5【分析】a1＝1，a2＝5，a n+2＝a n+1﹣a n（n∈N*），可得：a n+6＝a n，即可得出a2019＝a336×6+3＝a3．解：∵a1＝1，a2＝5，a n+2＝a n+1﹣a n（n∈N*），∴a3＝5﹣1＝4，a4＝4﹣5＝﹣1，a5＝﹣1﹣4＝﹣5，a6＝﹣5﹣（﹣1）＝﹣4，a7＝﹣4﹣（﹣5）＝1，a8＝5，……，∴a n+6＝a n，则a 2019＝a 336×6+3＝a 3＝4． 故选：B ．【点评】本题考查了数列的周期性、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于（ ）A ．1+√32B ．1+√3C ．2+√32D ．2+√3【分析】由题意可得2b ＝a +c ．平方后整理得a 2+c 2＝4b 2﹣2ac ．利用三角形面积可求得ac 的值，代入余弦定理可求得b 的值． 解：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a +c ． 平方得a 2+c 2＝4b 2﹣2ac ．①又△ABC 的面积为32，且∠B ＝30°，由S △ABC =12ac sin B =12ac •sin30°=14ac =32，解得ac ＝6，代入①式可得a 2+c 2＝4b 2﹣12，由余弦定理cos B =a 2+c 2−b 22ac =4b 2−12−b 22×6=3b 2−1212=√32．解得b 2＝4+2√3，又∵b 为边长，∴b ＝1+√3． 故选：B ．【点评】本题考查等差数列和三角形的面积，涉及余弦定理的应用，属基础题． 10．△ABC 内有一点O ，满足OA →+OB →+OC →=0→，且OA →⋅OB →=OB →⋅OC →．则△ABC 一定是（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形【分析】由OA →⋅OB →=OB →⋅OC →移向，利用数量积的运算法则，可得CA →⊥OB →； 由OA →+OB →+OC →=0→移向结合向量加法的平行四边形法则可以判断点O 为△ABC 的重心，两者结合即可判断出△ABC 的形状．解：由OA →⋅OB →=OB →⋅OC →可得(OA →−OC →)⋅OB →=0即CA →⋅OB →=0，所以CA →⊥OB →，即点O 在边AC 的高线上；由OA →+OB →+OC →=0→得OA →+OC →=−0B →，设AC 的中点为D ，则OA →+OC →=2OD →=−0B →，即点O 在边AC 的中线上， 所以△ABC 一定是等腰三角形 故选：D ．【点评】本题考查向量的运算在三角形中的应用，考查学生利用所学知识分析问题、解决问题的能力． 11．已知△ABC ，满足3AB→|AB →|+2AC →|AC →|=√19(AB →+AC →)|AB →+AC →|，若AB →•AC →=2√3，则△ABC 的面积S＝（ ） A ．3B ．3√3C ．6D ．6√3【分析】令|AB →|=c ，|AC →|=b ，结合平面向量的运算用b 、c 表示出|AB →+AC →|，然后对3AB →|AB →|+2AC →|AC →|=√19(AB →+AC →)|AB →+AC →|进行化简整理，由于AB →，AC →不共线，可以求出b 2=8√33，c 2=6√3，再结合平面向量的数量积可求得cos 2A =14，从而得到sin A 的值，进而求得△ABC 的面积．解：令|AB →|=c ，|AC →|=b ，则|AB →+AC →|=√(AB →+AC →)2=√c 2+b 2+2×2√3=√b 2+c 2+4√3， ∵3AB →|AB →|+2AC →|AC →|=√19(AB →+AC →)|AB →+AC →|，∴(3c √19√b +c 2+4√3→=(√19√b +c 2+4√32b )AC →， ∵AB →，AC →不共线，∴3c−√19√b 2+c 2+4√3=0，√19√b 2+c 2+4√3−2b=0，化简得，10c 2=9b 2+36√3，15b 2=4c 2+16√3， ∴b 2=8√33，c 2=6√3， 又AB →•AC →=2√3，∴cb cos A ＝2√3，即c 2b 2cos 2A ＝12，∴6√3×8√33cos 2A =12，解得cos 2A =14，∴sin2A=1−14=34，sin A=√32，∴△ABC的面积S=12bcsinA=12×√833×6√3×√32=3．故选：A．【点评】本题考查平面向量在解三角形中的应用，涉及平面向量的基本运算、三角形的正弦面积公式等，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+a n﹣1＝（13）n，s n＝a1•3+a2•32+a3•33+…+a n•3n，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法可求得4s16﹣a16•317＝（）A．.15B．16C．.17D．.18【分析】根据式子用错位相减，移项到和题目中相似的形式，化简，代入可得．解：因为s n＝a1•3+a2•32+a3•33+…+a n•3n，所以3s n＝a1•32+a2•33+a3•34+…+a n•3n+1，两式相加得4s n＝a1•3+（a1+a2）•32+（a2+a3）•33+…+（a n﹣1+a n）•3n+a n•3n+1，移项得4s n﹣a n•3n+1＝a1•3+（a1+a2）•32+（a2+a3）•33+…+（a n﹣1+a n）•3n＝3+1+1+…+1＝3+n﹣1＝n+2，则4s16﹣a16•317＝18，故选：D．【点评】本题考查归纳推理、并项求和，考查了计算能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，共20分）13．在△ABC中，a=√2，b=√3，B＝60°，则A＝30．【分析】由正弦定理，asinA =bsinB可求sin A，由a＜b，结合三角形的大边对大角可求A解：由正弦定理可得，asinA =bsinB∴sin A=asinBb =√2×√323=√22∵a＜b∴A＜B＝60°∴A＝30°故答案为：30【点评】本题主要考查了三角形的正弦定理的简单应用，属于基础试题14．已知向量a→=（﹣1，2），b→=（m，1）．若向量a→−b→与a→垂直，则m＝﹣3．【分析】利用平面向量坐标运算法则求出a→−b→，再由向量a→−b→与a→垂直，能求出m．解：∵向量a→=（﹣1，2），b→=（m，1）．∴a→−b→=（﹣1﹣m，1），∵向量a→−b→与a→垂直，∴（a→−b→）⋅a→=（﹣1﹣m）•（﹣1）+2＝0，解得m＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．数列{a n}中，已知a1＝5，且a n+1＝a n+n，则等a10等于50．【分析】利用数列的递推关系式，结合累加法，求解即可．解：数列{a n}中，已知a1＝5，且a n+1＝a n+n，可得a2＝a1+1，a3＝a2+2，a4＝a3+3，…a10＝a9+9，累加可得：a10＝a1+1+2+3+…+9＝5+9×102=50，故答案为：50．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16．在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，a＝5，b＝4，又知cos（A﹣B）=31 32，则△ABC的面积为√74．【分析】在边AB内取点A1，使CA1＝CA＝4，得出∠A1CB＝A﹣B，利用余弦定理求得A 1B 和cos A 、c 的值，再计算△ABC 的BC 边上的高和面积． 解：△ABC 中，a ＝5，b ＝4，cos （A ﹣B ）=3132， 在边AB 内取点A 1，使CA 1＝CA ＝4，则∠A 1CB ＝∠CA 1A ﹣∠ABC ＝A ﹣B ，如图所示； 由条件及余弦定理得，A 1B =√42+52−2⋅4⋅5⋅3132=32， 所以cosA =−cos∠CA 1B =−CA 12+A 1B 2−BC 22CA 1⋅A 1B =916， 所以c =AA 1+A 1B =2⋅916⋅4+32=6， h c =4√1−(916)2=5√74， 所以△ABC 的面积为S =12ch c =15√74． 故答案为：15√74．【点评】本题考查了余弦定理和三角形面积计算问题，是中档题．三、解答题（共6小题，共70分）17．平面内给定三个向量a →=（3，2），b →=（x ，2），c →=（4，1）．（Ⅰ）求3a →+c →的值；（Ⅱ）当实数x 为何值时，a →⊥b →垂直？【分析】（Ⅰ）由题意利用两个向量坐标形式的运算，求出3a →+c →的值．（Ⅱ）由题意利用两个向量垂直的性质，求出x 的值．解：（Ⅰ）由题意可得 3a →+c →=(9，6)+(4，1)=(13，7)，（Ⅱ）∵a →⊥b →，∴a →•b →=3x +4＝0，∴x =−43． 【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，属于基础题． 18．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 向量m →=（a ，√3b ）与n →=（cos A ，sin B ）平行．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a ＝2√3，b ＝2，求△ABC 的面积【分析】（1）由向量平行得asinB−√3bcosA=0，再利用正弦定理边化角可求tanA=√3．进而可解A．（2）由已知运用余弦定理求出边c，再由面积公式S=12bc sin A解出结果．解：（Ⅰ）因为向量m→=(a，√3b)与n→=(cosA，sinB)平行，所以asinB−√3bcosA=0，由正弦定理可知：sinAsinB−√3sinBcosA=0，因为sin B≠0，所以tanA=√3，0＜A＜π，可得A=π3；（Ⅱ）a=2√3，b＝2，由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得c2﹣2c﹣8＝0，解得C＝4△ABC的面积为：S=12bcsinA=2√3．【点评】本题联系向量考查解三角形，运用正弦定理，余弦定理，面积公式等解决问题，属于中档题．19．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n(n∈N∗)，若S3＝a4+2，且a1，a3，a13成等比数列（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和为T n．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的性质，解方程可得d＝2，a1＝1，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，再由裂项相消求和即可得到所求．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由S3＝a4+2得：3a1+3d＝a1+3d+2∴a1＝1，又∵a1，a3，a13成等比数列，∴a32=a1a13，即(a1+2d)2=a1(a1+12d)，解得：d＝2，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）b n=1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴T n=12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12[1−12n+1]=n2n+1．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3c sin A sin B＝2a．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【分析】（1）由已知结合正弦定理进行化简即可求解；（2）由已知结合和差角公式可求cos（B+C），进而可求A，然后结合正弦定理可求bc，最后结合余弦定理可求．解：∵3c sin A sin B＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sinBsinC=2 3；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cosBcosC=1 6，∴cosBcosC−sinBsinC=16−23=−12，∴cos(B+C)=1 2，∴cosA=1 2，∵0＜A＜π，∴A=π3，∵asinA =bsinB=csinC=2R=√32=2√3，∴sinBsinC=b2R⋅c2R=bc(2√3)2=bc12=23，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c=√33∴周长a+b+c=3+√33．【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题．21．如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC＝60°，PC＝2，AP+AC＝4．（Ⅰ）求∠ACP；（Ⅱ）若△APB的面积是3√32，求sin∠BAP．【分析】（Ⅰ）在△APC中，由余弦定理得AP2﹣4AP+4＝0，解得AP＝2，可得△APC 是等边三角形，即可得解．（Ⅱ）法1：由已知可求∠APB＝120°．利用三角形面积公式可求PB＝3．进而利用余弦定理可求AB，在△APB中，由正弦定理可求sin∠BAP=19的值．法2：作AD⊥BC，垂足为D，可求：PD=1，AD=√3，∠PAD=30°，利用三角形面积公式可求PB，进而可求BD，AB，利用三角函数的定义可求sin∠BAD=BDAB=19，cos∠BAD=ADAB =√319．利用两角差的正弦函数公式可求sin∠BAP＝sin（∠BAD﹣30°）的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△APC中，因为∠PAC＝60°，PC＝2，AP+AC＝4，由余弦定理得PC2＝AP2+AC2﹣2•AP•AC•cos∠PAC，…（1分）所以22＝AP2+（4﹣AP）2﹣2•AP•（4﹣AP）•cos60°，整理得AP2﹣4AP+4＝0，…解得AP＝2．…所以AC＝2．…所以△APC是等边三角形．…所以∠ACP ＝60°．…（Ⅱ） 法1：由于∠APB 是△APC 的外角，所以∠APB ＝120°．…因为△APB 的面积是3√32，所以12⋅AP ⋅PB ⋅sin∠APB =3√32．… 所以PB ＝3．…在△APB 中，AB 2＝AP 2+PB 2﹣2•AP •PB •cos ∠APB ＝22+32﹣2×2×3×cos120°＝19， 所以AB =√19．…在△APB 中，由正弦定理得AB sin∠APB =PB sin∠BAP ，… 所以sin ∠BAP =19=3√5738．… 法2：作AD ⊥BC ，垂足为D ，因为△APC 是边长为2的等边三角形，所以PD =1，AD =√3，∠PAD =30°．…因为△APB 的面积是3√32，所以12⋅AD ⋅PB =3√32．… 所以PB ＝3．…所以BD ＝4．在Rt △ADB 中，AB =√BD 2+AD 2=√19，…所以sin∠BAD =BD AB =4√19，cos∠BAD =AD AB =√319． 所以sin ∠BAP ＝sin （∠BAD ﹣30°）＝sin ∠BAD cos30°﹣cos ∠BAD sin30°… =19×√32−√31912=3√5738．…【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦定理，三角函数的定义，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想，考查了转化思想，属于中档题．22．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n +n ＝2a n （n ∈一、选择题*）．（1）证明：数列{a n +1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式．（2）若b n ＝na n +n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求满足不等式T n −2n ＞100的n 的最小．【分析】（1）当n ＝1时，a 1+1＝2a 1，解得a 1．根据S n +n ＝2a n ，n ∈N *，当n ≥2时，S n ﹣1+n ﹣1＝2a n ﹣1，两式相减得：a n ＝2a n ﹣1+1，变形为a n +1＝2（a n ﹣1+1），利用等比数列的通项公式即可得出．（2）利用错位相减法可得T n ，由T n −2n ＞100，利用单调性即可得出．【解答】（1）证明：当n ＝1时，a 1+1＝2a 1，∴a 1＝1．∵S n +n ＝2a n ，n ∈N *，∴当n ≥2时，S n ﹣1+n ﹣1＝2a n ﹣1，两式相减得：a n +1＝2a n ﹣2a n ﹣1，即a n ＝2a n ﹣1+1，∴a n +1＝2（a n ﹣1+1），∴数列{a n +1}为以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n +1=2n ，则a n =2n −1，n ∈N *；（2）解：∵b n =na n +n =n(2n −1)+n =n ⋅2n ，∴T n =1⋅21+2⋅22+3⋅23+⋯+n ⋅2n ，∴2T n =1⋅22+2⋅23+⋯+(n −1)⋅2n +n ⋅2n+1，两式相减得：−T n =21+22+23+⋯+2n −n ⋅2n+1，∴T n =(n −1)⋅2n+1+2，由T n −2n ＞100，得n−1n ⋅2n ＞50， 设c n =n−1n ⋅2n ， ∵c n+1−c n =n 2+1n 2+n⋅2n ＞0， ∴数列{c n }为递增数列，C 5=45⋅25＜50，C 5=56⋅26＞50， ∴满足不等式T n −2n ＞100的n 的最小值为6．【点评】本题考查了等比数列的通项公式求和公式、错位相减法、不等式的解法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。