材料力学-扭转截面几何性质 42页PPT文档

第7章 平面图形的几何性质
概述
• 构件的横截面积都是具有一定几何形状 的平面图形，构件的承载能力（强度， 刚度，稳定性等）都与平面图形的一些 几何性质（横截面积，极惯性矩等）有 关。因此需要
第7章 平面图形的几何性质
§7.1 静矩和形心
1 静矩
y
Sz
ydA
A
dA c
Sy
zdA
A
y yc
5 静矩是截面对于一定的坐标轴而言的，同一截面对 于不同的坐标轴，其静矩 不同。
已知：矩形截面b×h
求： sz和 sy
解：
Sz

yc
A
bh2 2
Sy

zcA
hb2 2
y
c
h
b
z
已知：图示图形 求： zc和yc
解：
zc

A1z1 A2z2 A1 A2
120105701045 120107010
0
zc
z
z
• 同一图形：坐标轴不同-静矩不同，数值可正，可负， 可为零！
• 量纲：m 3
• 2. 形心
yc
A
ydA
Sz
AA
sz ycA
zc
zdA A
Sy
AA
sy zc A
3 组合图形的静矩和形心
sz yciAi sy zciAi
yc
yci Ai Ai
2 惯性半径
iz
Iz A
iy
Iy A
y
dA A
y
ρ
0
z
z
3 极惯性矩
y
dA A
y
ρ
Ip
2dA
A
0
z
z
1圆
IP
2dA
A

D 2
2 2d

D4
0
32
2 空心圆
IP
2dA
A

D
2 d
2
22
d

D4
32
(14)
d D
dA
D ρ dρ 0
Iz
D4(14)
64
§4.3 惯性积
Iyz
yzdA
A
1 y、z之一为图形对称轴则Iyz=0；
2 惯性积为零的一对座标轴称为
惯性主轴；
y -z z dA dA
3 通过形心的主轴称为形心主轴 或形心惯性主轴；
0
z
§4.4 平行移轴公式 图形对形心轴的惯性矩 和惯性积为：
Izc A yc2dA
19.7mm
120 10
y 10
C1(5 60) C2(45 5)
80
z
yc

A1y1 A2y2 A1 A2
12 10 0 6 07 0 1 0 53.7 9 mm 12 10 07 0 10
§4.2 惯性矩和惯性半径 1 惯性矩
Iz

y2dA
A
Iy
z2dA
A
yc1 yc
Ⅰ
140
c1
Ⅱ c zc
c2
100
z
20
0.1 40.20.80 0.04m 67 0.1 40.0 20.10.02
Iz c 0 .0 1 0 .2 1 2 3 ( 4 0 .0 0 .8 0) 4 2 0 .0 6 0 .2 1 7 7 4 .6 1 9 6 m 0 4
h
2
Iz

bh 3 12
b
Iy

z2dA
A
2 b
z2hd
z
2
Iy

hb 3 12
y
dy
y
c
z
b
已知：实心圆截面直径D,空心圆截面直径D、d.
求：Iy和Iz。
y
解： 1 实心圆
d
Dc
z
IpA2 d A Iy Iz 2 Iy 2 Iz
Iy
Iz
D4
64
2 空心圆
Iy
m 9549N n
N——功率，单位为千瓦（KW） n——转速，单位为rod/min
m 7024N n
N——功率 ，单位为马力 n——转速，单位为rod/min
二、扭转时的内力——扭矩
Me
扭矩 左:
ΣMx = 0, Mx – Me = 0 Mx = Me
右: ΣMx = 0, Me –Mx´= 0 Mx´ = Me
外力特点：在杆件上作用着大小相等、转向相反、作 用平面垂直于杆件轴线的两组平行力偶系。
变形的特点：当杆件发生扭转变形时，任意两 个横截面将绕杆轴线作相对转动而产生相对角位移。 这种相对角位移称为扭转角，用表示。
轴：以扭转变形为主的杆件。
§3–2 外力偶矩的计算，扭矩和扭转图
一、外力偶矩的计算
已知轴所传递的功率和轴的转速，则外力偶矩（N•m）
Mx、 Mx´ 为扭矩
Me
Mx
x
M
' x
扭矩的符号规定：按右手螺旋法则，扭矩矢 量方向与截面外法线相同为正，反之为负。
Me
Me
x
三、扭矩图
例题： 1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。主动轮2输 入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的功率为18kW、12kW、 22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。
zc
zci Ai Ai
组合图形
y y yc
dA c
0
zc
z
z
注:
1 静矩有符号.
2当Sz=0yc=0，即平面图形对某一轴的静矩为零，则
该轴必然过形心
3当yc=0Sz=0，即若某一轴通过形心，则图形对该轴
的静矩为零。
4由平面图形的形心必在对称轴上，故平面图形对于对 称轴的静矩总是等于零。
Ayc2d A2a aycd Aa2
dA
A
y
yc
Iz Izc a2A
dA
yc
A
Iy Iyc b2A
y
c
zc
a
IyzIycZc abA
0
b zc
z
z
已知：T形截面。
y
20
求： Izc
解：形心 c(0 yc) ycA1A y1 1 A A2 2y2A1yA 11 A A 220
Iyc Azc2dA Iyczc AyczcdA
图形对平行于形心轴y、 z轴的惯性矩和惯性积为：
y
yc
dA
yc
A
y
c
zc
a
0 b zc
z
z
Iz

y2dA
A
zzc b
Iyz
yzdA
A
yyc a
Iy

z2dA
A
Iz

y2dA
A
A(yc
a)2dA

dA
dρ ρ 0
d D
4 惯性矩与极惯性积的关系
Ip

2dA
A
(y2
A
z2)dA

y2dA
A
Az2dAIz
Iy
5 组合图形的惯性矩
Iz Izi
Iy Iyi
y
dA A源自文库
y
ρ
0
z
z
已知：矩形 bh
求：Iy和Iz
解：
h
Iz

y2dA
A
2 h
y2bdy
Iz c 0 .1 1 0 .0 2 3 2 0 .04 2 0 .6 1 0 .7 0 2 4 .4 1 3 6 m 0 4
IzcIzcIzIcI1.1 2 1 2 60 m 4
• 作业 • 4.2 • 4.7 • 4.9
第三章 扭 转
§3–1 扭转的概念