描述液体运动的两种方法及液体运动的基本概念
液体运动的流束理论
液体运动的流束理论本章先建立液体运动的基本概念,然后依据流束理论,从质量守恒定律出发建立水流的连续性方程、从能量方程出发建立水流的能量方程，以及从动量定理出发建立水流的动量方程。
1、描述液体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法。
拉格朗日法，以研究个别液体质点的运动为基础，通过对每个液体质点运动规律的研究来获得整个液体运动的规律性，所以这种方法又称为“质点系法”。
欧拉法，以考察不同液体质点通过固定的空间点的运动情况来了解整个流动空间的流动情况，即着眼于研究各种运动要素的分布场，所以这种方法又叫做“流场法”。
2、恒定流与非恒定流恒定流：在流场中，任何空间点上所有的运动要素都不随时间而改变，即“运动要素仅仅是空间坐标的连续函数，而与时间无关”。
非恒定流：流场中任何点上有任何一个运动要素是随时间而变化的。
3、迹线与流线迹线，拉格朗日法研究个别液体质点在不同时刻的运动情况而引出的，是指某一液体质点在运动过程中不同时刻所流经的空间点所连成的线，即液体质点运动时所走过的轨迹线。
流线，欧拉法考察同一时刻液体质点在不同空间位置的运动情况引出的，是指某一瞬时在流场中绘出的一条曲线，在该曲线上所有各点的速度向量都与该曲线相切。
流线具有瞬时性（对于非恒定流来说，其图形会随时间变化），迹线没有瞬时性；流线与迹线都具有族线。
流线的基本特性：1恒定流时，流线的形状和位置不随时间而改变；2恒定流时液体质点运动的流线与迹线相重合；3流线不能相交。
4、流管、微小流束、总流，过水断面、流量与断面平均流速流管：在水流中任意一微分面积dA ，通过该面积的周界上的每一个点均可作一根流线，这样就构成一个封闭的管状曲面，称为流管。
微小流束：充满以流管为边界的一束液流，称为微小流束。
微小流束性质：1微小流束内外液体不会发生交换；2恒定流微小流束的形状和位置不会随时间而改变，非恒定流时将会随时间而改变；3横断面上各点的流速和压强可看作是相等的。
总流：任何一个实际水流都具有一定规模的边界，这种有一定大小尺寸的实际水流称为总流。
3.1 液体流动的基本概念——学习材料
学习单元一、液体流动的基本概念液体运动的两种方法要研究液体运动的规律，就要建立描述液体运动的方法。
在流体力学中，表达流体的运动形态和方式有两种不同的基本方法：拉格朗日法和欧拉法。
1.拉格朗日法拉格朗日法是由法国科学家J. L.拉格朗日作了独立的、完整的表述和具体运用, 又称随体法。
该方法着眼于流体内部各质点的运动情况，描述流体的运动形态。
按照这个方法，在连续的流体运动中，任意流体质点的空间位置，将是质点的起始坐标(a,b,c) (即当时间t等于起始值t0时的坐标)以及时间t的单值连续函数。
若以r代表任意选择的质点在任意时间t的矢径，则：矢径与质点坐标可以表示为:r = r(a,b, c, t)X=x (a，b，c，t)y=y (a，b，c，t)z=z (a，b，c，t)式中，r在x、y 、z 轴上的投影为x、y 、z ；a、b、c 称为拉格朗日变量。
当研究对象为某一确定的流体质点时，起始坐标a、b、c 将为常数，r 以及x、y 、z 将只是时间t的函数；此时上式所表达的将是这个流体质点运动的轨迹。
当研究的对象不是某一确定的流体质点，而是在某一确定时间中，各流体质点的分布情况，即时间t为一常数，r及x、y 、z 将只是起始坐标a、b、c的函数；在这种情况下，式子所表达的将不是某流体质点的历史情况，而是同一瞬间，由各质点所组成的整体状况.将式上述拉格朗日表达式对时间求一阶和二阶导数，可得任意流体质点的速度和加速度为：),,,(t c b a u t x u =∂∂= ),,,(t c b a v t y v =∂∂=),,,(t c b a w t z w =∂∂=),,,(22t c b a a t x t u a x x =∂∂=∂∂=),,,(22t c b a a t y t v a y y =∂∂=∂∂=),,,(22t c b a a t z t w a z z =∂∂=∂∂=描述了整个流场中所有质点的规律,就可以描述整个流动。
02-流线 迹线
> z) uy = uy (旳 y，
Z) u = u
(x, y, z)
运动要素对时间P的=偏p(导X数, y为, z零)（不存在当地加速度）
=性= = = dux duy
0, dp 0
dt dt dt 9 dt
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3.3.2 一元流，二元流，三元流
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把它们在流动过程中的流动 状态记录下来，从而得出整 个液体的运动情况。
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则在任一时刻流匕质点的迹线方程可表示 为:
、 x = x (a, b, c, t) y = y(a, b, c, t) > z
= z (a, b, c, t) 将迹线方程对时间求一阶偏导数可得出该质点速度
m
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d，时刻通过过水断面財的液体体积
总流的流量。=f dQ = f udA
■■
JA JA
质量流量Qm = pQV
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2断面平均流速
断面平均流速扉一假想的流速，假想总流同一过水
断面上各点的流速均等于断面平均流速匕而通过的流量
与以实际流速分布所通过的流量相等。
显示当地加速度
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显示迁移加速度
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3.3液体运动的几个基本概念 3.3. 1恒定流与非恒定流
各点运动要素都不随时间变化的流动称为恒定流; 反之称为非恒定流。
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恒定流的流速场和压强场:
= ux
ux (x, y,
标系是固定不变的空间，它的封闭的界面称为控制面
描述液体运动的两种方法及液体运动的基本概念
3.1 描述液体运动的两种方法 3.2 流体运动的基本概念 3.3 恒定总流的连续性方程 3.4 恒定总流的能量方程 3.5 恒定总流的动量方程
3.1 描述液体运动的两种方法
3.1.1 拉格朗日法 3.1.2 欧拉法
3.1 描述液体运动的两种方法
3.1.1 拉格朗日法
液体运动有两个特征。一个是“多”， 即液体是由众多质点组成的连续介质；另一 个是“不同”，即不同液体质点的运动规律 各不相同。
迁移加速度（位变加速度） 当地加速度（时变加速度）
迁移加速度（位变加速度）
同一时刻，不同空间点上流速不 同，而产生的加速度。
当地加速度（时变加速度）
同一空间点，不同时刻，流速不同， 而产生的加速度
t0
水面不断下降！
t
t
ux ( x, y, z, t) 0
ut
t
u0
图 当地加速度（时变加速度）说明
不同液体质点通过给定空间点的流速变化，流场随 时间的变化。
液体质点通过任意空间坐标时的加流速
a x
du ( x, y, z, t) x dt
a y
du ( x, y, z, t) y dt
du ( x, y, z, t)
az
z
dt
式中， (ax , ay , az) 为通过空间点的加速度分量
z z(a, b, c, t )
(a, b, c) limitedfluid points
1. 每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点 2. 数学上存在难以克服的困难 3. 实用上不需要知道每个质点的运动情况
问题
x x(a, b, c, t)
y
y(a, b, c, t)
水动力学及习题经典讲解
流线的性质：
a.同一时刻的不同流线，不能相交。因为根据
流线定义， 在交点的液体质点的流速向量 应同时与这两条流线相切，即一个质点有两个 速度向量，这显然矛盾的、不成立的。
b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲 线。因为流体是连续介质，各运动要素 是空间的连续函数。
c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流 线密集的地方流速大，稀疏的地方流速 小）。因为对不可压缩流体，元流的流 速与其过水断面面积成反比。
2、恒定流和非恒定流 （1）恒定流（steady flow）：又称定常流，是指流场中的空 间点上各水力运动要素均不随时间而变化。
➢ 对于恒定流来说：
三者都等于0。
注意: 严格的恒定流只可能发生在层流，在紊流中，由于流 动的无序，其流速或压强总有脉动，但若取时间平均流速 （时均流速）U(或V)，若其不随时间变化，则认为该紊流 为恒定流。
• 若水箱中的水位就逐渐下降，水箱和管道同一点流体质点的压强和速 度都逐渐减小，流股的形状（虚线）也逐渐向下弯曲。因此，在非恒 定流动中，运动流体中任一点流体质点的流动参数(压强和速度等)随
时间而变化，当地加速度和迁移加速度都不为零。
在水位恒定的情况下：
（1）由于AA′段是等径管，流体流经AA′段不存在
• 流场运动要素是时空（x,y,z,t）的连续函数
p p(x, y, z,t)
u u(x, y, z,t)
v v(x, y, z,t)
w w(x, y, z,t)
x，y，z，t 称为欧拉变数 （量）
z
t 时刻
M （x，y，z） O
x
➢在工程流体力学中多采用欧拉法。
y
u u(x, y, z,t) v v(x, y, z,t) w w(x, y, z,t)
工程流体力学 第4章 流体运动学
qV
vdA
A
断面平均流速:过流断面各点速度的断面平均值,以V标记,有
V
vdA
A
qV
AA
对任一点有
v V v
§4-2 描述流体运动的基本概念
四、一、二、三元流动
一、二、三元流动又称为一、二、三维流动。 一元流动（One-dimensional Flow）：流体的运动
v v (x, y, z) p p(x, y, z)
§4-2 描述流体运动的基本概念
三、流管、流束、流量与平均速度 流管：流场中过封闭曲线上各点作流线所围成的管状
曲面，见图。
流束：流管内所有流线的集合为流束。 微小流束：断面积无限小的流束。 总流：无数流束的总和。 注：（1）流束表面没有流体穿越；
间曲线，该瞬时位于曲线上各点的流体质点的速度与曲线在 该点相切,（如图示）。
§4-2 描述流体运动的基本概念
（2）流线的作法：欲作流场中某瞬时过A点的流线，可
在该瞬时作A点速度 v1 ；在 v1 上靠近A点找点 2，并在同 一时刻作 2点速度 v2；再在 v2上靠近2点找点3，也在同一 时刻作速度 v3 ；依次作到 N点，得到折线A-2-3-…-N，当
工程流体力学 第四章 流体运动学
§4-1 描述流体运动的两种方法
流体运动学研究流体运动的规律，不追究导致运动的力 学因素。
研究流体运动的方法
一、拉格朗日法（Lagrange Method) 拉格朗日法又称随体法。它追踪研究每一个流体质点的
运动规律，综合所有的流体质点，从而得到整个流场的运动 规律，参见图。
a y
水力学 吴持恭
du du ds du 0 u dt ds dt ds
du ds
0
pdA ( p dp)dA gdAds cos dAds u
p u2 d (Z )0 g 2g
p u2 沿流线积分得： Z c g 2g
2 p1 u12 p2 u2 Z1 Z2 g 2g g 2g
•实际液体恒定流微小流束的能量方程式
•实际液体恒定总流的能量方程式
返回
理想液体恒定流微小流束的能量方程式
设在理想液体恒定流中，取一微小流束 依牛顿第二定律： Fs ma s
dA 2 p+dp
1
p
Z
α
Z dZ
du 其中： a s dt
一元流时 u u ( s)
dG=ρgdAds
流管——由流线构成的 一个封闭的管状曲面
dA
微小流束——充满以流 管为边界的一束液流
过水断面——与微 小流束或总流的流 线成正交的横断面
总流——在一定边界内 具有一定大小尺寸的实 际流动的水流，它是由 无数多个微小流束组成
过水断面的形状可以 是平面也可以是曲面。
返回
流量和断面平均流速
流量——单位时间内通过某一过水断面的液体体积， 常用单位m3/s，以符号Q表示。
前进
本章主要介绍与液体运动有关的基本概念及液体运
动所遵循的普遍规律并建立相应的方程式。
主要内容：
描述液体运动的两种方法
欧拉法的若干基本概念
恒定一元流的连续性方程式 实际液体恒定总流的能量方程式 能量方程式的应用举例 实际液体恒定总流的动量方程式
恒定总流动量方程式的应用举例
结束
描述液体运动的两种方法
水流运动的基本原理
第三章水流运动的基本原理上一章已阐述了有关水静力学的基本概念、基本理论及其应用。
但在自然界或许多工程实际问题中，液体多处于运动状态。
只有对运动状态的液体进行深入地分析研究才能得出液体运动规律的一般原理。
因此，从本章开始将转入有关水流运动问题的讨论。
实际工程中的水流尽管千差万别，变化万千，但理论和实践都证明，它们必须遵循物质机械运动的普遍规律，如在物理学或理论力学中已学习过的质量守恒定律、动能定理和动量定理等。
本章作为水流运动问题的开端，重点介绍描述液体运动的方法和有关水流运动的基本概念，讨论并建立一元恒定流的连续性方程、能量方程、动量方程和动量矩方程。
至于如何应用这些规律解决具体边界条件特定形式的水流运动，如管流、明渠水流、堰闸水流等将在以后各章中分别讨论。
本章是水力学的理论核心内容，它将为以后各章的学习打下良好的基础。
第一节描述水流运动的两种方法一、描述水流运动的两种方法水流运动时，表征液体运动的各种物理量称为运动要素，常遇到的运动要素有流速、压强、加速度、切应力、液体的密度和容重等。
这些运动要素随着时间和空间位置不断发生变化。
水力学中研究水流运动通常采用两种方法，即迹线法和流线法。
（一）迹线法迹线法又叫拉格朗日（Lagrange）法，就是像物理学中研究固体运动那样，把液体中单个质点作为研究对象，通过对每个水流质点运动轨迹的研究来获得整个液体运动的规律。
运用迹线法研究液体运动实质上与研究一般固体力学方法相同，所以也称为质点系法。
（二）流线法流线法又叫欧拉（Euler）法，就是把充满液体质点的固定空间作为研究对象，不再跟踪每个质点，而是把注意力集中在考察分析水流中的水质点在通过固定空间点时的运动要素的变化情况，来获得整个液体运动的规律。
水流运动时在同一时刻每个质点都占据一个空间点，只要搞清楚每个空间点上运动要素随时间的变化规律，就可以了解整个水流的运动规律了。
由于流线法是以流动的空间作为研究对象，而且通常把液体流动所占据的空间称为流场。
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uz
dz(a, b, c, t) dt
d 2z(a, b, c, t)
az
dt 2
x
y
z
x(a,b,c, t) y(a,b,c, t) z(a,b,c, t)
ux
u
y
uz
dx(a,b,c, t) dt
dy(a, b, c, t) dt
不同液体质点通过给定空间点的流速变化，流场随 时间的变化。
液体质点通过任意空间坐标时的加流速
a x
du ( x, y, z, t) x dt
a y
du ( x, y, z, t) y dt
du ( x, y, z, t)
az
z
dt
式中， (ax , ay , az) 为通过空间点的加速度分量
3 流体动力学理论基础
3.1 描述液体运动的两种方法 3.2 流体运动的基本概念 3.3 恒定总流的连续性方程 3.4 恒定总流的能量方程 3.5 恒定总流的动量方程
3.1 描述液体运动的两种方法
3.1.1 拉格朗日法 3.1.2 欧拉法
3.1 描述液体运动的两种方法
3.1.1 拉格朗日法
液体运动有两个特征。一个是“多”， 即液体是由众多质点组成的连续介质；另一 个是“不同”，即不同液体质点的运动规律 各不相同。
t0
c
z
O
y
a
b
x
x x(a,b,c, t)
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
y
y(a,b,c, t)
z z(a, b, c, t )
z
M t0
c O
a b
t
z y
x
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
改变液体质点的初始坐标（a，b，c)，并跟踪这 个液体质点，就可得到另一个液体质点的运动规律。
z
M t0
1. 每个液体质点的运动规律都不
同，很难跟踪足够多质点。
2. 数学上存在难以克服的困难。 3. 实用上不需要知道每个质点运
动情况，只需要知道关键之处。
质点太多 → 作不到 ！ 数学上困难 → 作不到 ！ 实用上 → 不必要！
一般不用这个方法描述液体的 运动，但对于一些特殊问题，要用 这个方法，如波浪运动、PIV测速 等。
z y
x
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
设某一液体质点 在 t = t0 占据起始坐标（a，b，c）
z
M t0
c O
a b
t
（x，y，z，t）
（a，b，c，t0）
z
y
x
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
t0 ：质点占据起始坐标： （a，b，c） t ： 质点运动到空间坐标： （x，y，z）
z M
跟踪这个液体质点， t 得到其运动规律为
y
y(a, b, c, t)
z z(a, b, c, t )
(a, b, c) limitedfluid points
1. 每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点 数学上存在难以克服的困难 实用上不需要知道每个质点的运动情况
问题
x x(a, b, c, t)
y
y(a, b, c, t)
y
y(a,b,c, t)
z z(a, b, c, t ) x
z
M
t0
c
O b
a
t
z y
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
（a，b，c，t）= 拉格朗日变数
x x(a,b,c, t)
y
y(a,b,c, t)
z z(a, b, c, t ) x
z
M
t0
c
O b
a
t
z y
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
空间固定点（不动） 任意时刻 欧拉变数
拉格朗日法
欧拉法
(a, b, c) t (x, y, z)
: 质点起始坐标
: 任意时刻
任意时刻
: 质点运动轨迹坐标 空间固定点（不动）
欧拉法
t = t0 ＝ 给定时刻，（x，y，z）＝ 变数
同一时刻，不同空间点上液体质点的流速分 布，即流场。
欧拉法
（x，y，z）＝ 给定点，t ＝ 变数
3.1 描述液体运动的两种方法
3.1.1 拉格朗日法 3.1.2 欧拉法 3.1.3 用欧拉法表达加速度
欧拉法： 流场法 核心是研究运动要素的空间分布场
z 空间固定点
O
x
设一些固定空间点，其坐标为（x, y, z)。
z 空间固定点
O
x
考察不同固定点上、不同液体质点通过时的运动情 况，以此了解整个流动在空间的分布。
应用欧拉法研究液体运动的例子
地面卫星观测站 河流上的水文站
任一物理量, 如压强、密度，用欧拉法表示为
一维流动， 则
p p( x, y, z, t)
(x, y, z,t)
从欧拉法来看，同一时刻不同空间位置上的流 速可以不同；同一空间点上，因时间先后不同，流 速也可不同。因此，加速度分为
通过（1）和（2）综合，可得液体运动的信息。
欧拉法把任何一个运动要素表示为 空间坐标（x，y，z）和时间t 的函数。
液体质点在t 时刻，通过任意空间固定点 (x, y, z) 时的流速为
u
x
dx( x, y, z, t) dt
u
y
dy( x, y, z, t) dt
dz( x, y, z, t)
u
y
d y(a, b, c, t) dt
d z(a, b, c, t)
uz
dt
x x(a, b, c, t )
ux
d x(a,b,c, t) dt
速ddt度z对y t y求z((a导a,,bb，,,cc,得,tt)到) 液体质点u的y 加 dd速zy(度(aa,d,bbt,,cc,,tt))
(a, b, c) limitedfluid points
1. 每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点 2. 数学上存在难以克服的困难 3. 实用上不需要知道每个质点的运动情况
问题
x x(a, b, c, t)
y
y(a, b, c, t)
z z(a, b, c, t )
(a, b, c) limitedfluid points
迁移加速度（位变加速度） 当地加速度（时变加速度）
迁移加速度（位变加速度）
同一时刻，不同空间点上流速不 同，而产生的加速度。
当地加速度（时变加速度）
同一空间点，不同时刻，流速不同， 而产生的加速度
t0
水面不断下降！
t
t
ux ( x, y, z, t) 0
ut
t
u0
图 当地加速度（时变加速度）说明
z z(a, b, c, t )
(a, b, c) limitedfluid points
1. 每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点 2. 数学上存在难以克服的困难 3. 实用上不需要知道每个质点的运动情况
问题
x x(a, b, c, t)
y
y(a, b, c, t)
z z(a, b, c, t )
uz
dt
d dt
ux
u
y
d d
x(a,b,c, t) dt
y(a,b,c, t) dt
ax
ay
d2 d2
x(a,b,c, t) dt2
y(a,b,c, t) dt2
d z(a,b,c, t)
uz
dt
d2 z(a,b,c, t)
az
dt2
x x(a, b, c, t)
d dt
uy
ux y
uz
ux z
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
a x
dux (x, y, z,t) dt
a y
duy (x, y, z, t) dt
a
z
duz (x, y, z,t) dt
ux t
＝ u y t
uz t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
0
u2
利用复合函数求导法，将（x,y,z） 看成是时间 t 的函数，则
a x
dux (
x, y,z,t dt
)
a y
duy (
x, y,z,t dt
)
a
z
duz (
x, y,z,t dt
)
ux t
uy t
uz t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
y
z
y(a, b, c, t) z(a, b, c, t)
ux
dx(a, b, c, t) dt
uy
dy(a, b, c, t) dt
uz
dz(a, b, c, t) dt
d dt
ux uy
dx(a, b, c, t) dt
dy(a, b, c, t) dt
a x a y
d 2 x(a, b, c, t) dt 2
（a，b，c） 对应液体微团 或液体质点起始坐标
z
M
t0
c
O b