【精准解析】山东省泰安市新泰一中2019-2020学年高二上学期第二次质量检测考试数学试题

山东省泰安市新泰一中2019-2020学年高二上第二次质量检

测考试 数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1.准线方程为2x =的抛物线的标准方程为（ ） A. 24y x =-

B. 28y x =-

C. 24y x =

D.

28y x =

【答案】B 【解析】

【详解】试题分析：由题意得，抛物线2

8y x =-，可得4p =，

且开口向左，其准线方程为2x =. 故选B ．

考点：抛物线的几何性质．

2.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若

,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM 相等的向量是（ ）

A

11

22a b c ++ B. 11

22

a b c -

-+ C.

11

22

a b c -+ D.

11

22

-++a b c 【答案】D 【解析】 【分析】

根据空间向量的线性运算，用,,a b c 作基底表示BM 即可得解.

【详解】根据空间向量的线性运算可知

11BM BB B M =+ 1111

2AA B D =+

()111111

2AA B A A D =++

()11

2

AA AB AD =+-+

因为,AB a AD b ==,1AA c

=， 则(

)

11

2AA AB AD +

-+ 11

22

a b c =-++

即11

22

BM a b c =-++，

故选：D.

【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题. 3.在R 上定义运算a c

ad bc b d

=-，若

320

12

x x x <-成立，则x 的取值范围是 ( ) A. (4,1)- B. (1,4)-

C. (,4)(1,)-∞-+∞

D. (,1)(4,)-∞-+∞

【答案】A 【解析】

23

2034,12

x x x x x

<

?+<-解得4 1.x -<<故选A

4.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若105

5S S =，则

15

10S S =（ ） A.

7

3

B.

215

C. 17

D. 5

【答案】B 【解析】 【分析】

由等比数列的性质可得：S 5，S 10﹣S 5，S 15﹣S 10（各项不为0）成等比数列，即可得出．

【详解】由等比数列的性质可得：S 5，S 10-S 5，S 15-S 10（各项不为0）成等比数列， 不妨设S 5=1，由105

5S S =，可得S 10=5．∴（5-1）2=1×（S 15-5），解得S 15=21，则1510S S =21

5．

故选B ．

【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

5.设向量(1,2)OA =-，(,1)OB a =-，(,0)OC b =-，其中O 为坐标原点，0,0a b >>，若,,A B C 三点共线，则12

a b

+的最小值为（ ）. A. 4 B. 6

C. 8

D. 9

【答案】C 【解析】

向量()1,2OA =-，(),1OB a =-，(),0OC b =-，其中O 为坐标原点，0,0a b >>，

∴() 11AB OB OA a =-=-，，()

12AC OC OA b =-=--，， ∵,,A B C 三点共线， ∴ AB AC λ=，

∴()

11

{12a b λλ

---＝＝，解得21a b +=，

∴

(

)12124 22248b a a b a b a b a b ??+=++=+++≥+= ???， 当且仅当14a =

，12

b =取等号，故12

a b +的最小值为8，故选C.

点睛：本题主要考查了向量平行的坐标运算以及基本不等式的应用，三点共线等价于两个向量共线，由其可得21a b +=，然后运用基本不等式；基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 6.如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）

A.

12

B.

30 C.

30 D.

15 【答案】B 【解析】 【分析】

先取BC 的中点D ，连接D 1F 1，F 1D ，将BD 1平移到F 1D ，则∠DF 1A 或其补角就是异面直线BD 1与AF 1所成角，在△DF 1A 中利用余弦定理求出此角即可． 【详解】取BC 的中点D ，连接D 1F 1，F 1D, ∴D 1B∥DF 1,

∴∠DF 1A 或其补角就是BD 1与AF 1所成角, 设BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AD 5=

，AF 15=，DF 16=,

在△DF 1A 中，由余弦定理得cos∠DF 1A 30=， 故选B ．

【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

7.已知点M 是抛物线24y x =上的一点，F 为抛物线的焦点，点A 在圆

22:(4)(1)1C x y -+-=上，则MA MF +的最小值为（ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

【答案】C 【解析】 【分析】

过M 作准线的垂线，垂足为N ，由MF MN =，因此先求MN MC +的最小值，由此可知当,,C M N 共线时取得最小值．

【详解】如图，l 是抛物线的准线，过M 作MN l ⊥，垂足为N ，则MF MN =，

MC MF MC MN +=+，

易知当,,C M N 共线，即CM l ⊥时，MC MF +取得最小值，由已知(4,1)C ，圆半径为

1r =，准线为1x =-，

所以MC MF +的最小值是415+=，所以当A 是线段0CM 与圆的交点时，MA MF +取得最小值5514r -=-=． 故选：C ．

【点睛】本题考查抛物线上点到焦点与到圆上点距离和的最小值问题，解题关键是利用抛物线的定义把抛物线上的点到焦点的距离转化到到准线的距离，到圆上点的距离转化为到圆心的距离，从而利用三点共线得最小值．再确定圆上动点位置求得最小值．考查了转化与化归思想．

8.已知1F 、2F 分别是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆交渐

近b

y x a

=

于点P （P 在第一象限），1PF 交双曲线左支于Q ，若Q 是线段1PF 的中点，则该双曲线的离心率为( ) A. 51+ B. 51-

C. 3

D. 3+1

【答案】A 【解析】 【分析】

画图分析,先算得Q 的坐标,再代入双曲线方程化简即可得离心率. 【详解】画出图像,连接2PF ,则12PF PF ⊥,故1212F O c F P =

=,又直线OP 的斜率为b a

,故(,)P a b ,又1(,0)F c -,所以(,)22a c b Q -,又(,)22

a c

b Q -在双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>上,

故22

2

222()44

a c

b b a a b -?

-?=,化简得222222()5420b a c a b a ac c ?-=?--+=, 故2240e e --=.因为0e >,故解得15e =+

故选A

【点睛】本题主要考查表达点的坐标代入双曲线方程进行化简求离心率的方法,属于中等题型.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.如果0a b <<，那么下列不等式正确的是（ ）

A.

11a b

< B. 22ac bc <

C. 11a b b a

+

<+ D.

22a ab b >>

【答案】CD 【解析】 【分析】

利用作差法逐一判断即可. 【详解】解：0,0,0,0a b b a a b ab <<∴->-<>

A.

110b a

a b ab

--=>，故错误； B. ()2

2

2

ac bc c a b -=-，当0c

时，220ac bc -=，故错误；

C. ()11110a b a b a b a b b a ab ab -???

?+

-+=-+=-+< ? ?????

，故正确； D. 2()0a ab a a b -=->，2()0=->-b a b ab b ，故正确. 故选CD.

【点睛】本题考查作差法判断不等式是否成立，作差法是判断不等式成立与否的重要方法，要牢记.

10.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A. 100a =

B. 10S 最小

C. 712S S =

D.

190S =

【答案】ACD 【解析】 【分析】

化简13623a a S +=得到100a =，0d <时，n S 没有最小值，再计算1270S S -=，

191019S a =，得到答案.

【详解】13611112323661590a a S a a d a d a d +=∴++=+∴+=即100a =，A 正确； 当0d <时，n S 没有最小值，B 错误；

127891011121012750S S a a a a a a S S -=++++==∴=，C 正确；

1191910()19

1902

a a S a +?=

==，D 正确.

故选ACD

【点睛】本题考查了数列的通项公式，前n 项和，意在考查学生对数列公式方法的灵活运用. 11.下列说法正确的有（ ） A. 不等式

21131x x ->+的解集是1

(2,)3

-- B. “1a >，1b >”是“1ab >”成立的充分条件 C. 命题:p x ?∈R ，20x >，则:p x ??∈R ，20x < D. “5a <”是“3a <”的必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】

解分式不等式判断A ，根据充分条件、必要条件的定义判断B 、D ，根据命题的否定判断C ． 【详解】由

21131x x ->+得2031

x x -->+，(2)(31)0x x ++<，1

23x -<<-，A 正确； 1,1a b >>时一定有1ab >，但1ab >时不一定有1,1a b >>成立，如1

6,2

a b ==，满足

1ab >，但1b <，因此“1a >，1b >”是“1ab >”成立的充分条件，B 正确；

命题:p x ?∈R ，20x >，则:p x ??∈R ，20x ≤，C 错误；

5a <不能推出3a <，但3a <时一定有5a <成立，“5a <”是“3a <”的必要条件，D 正确． 故选：ABD ．

【点睛】本题考查命题的真假判断，解题时需根据选项涉及的知识点对选项进行判断，如本题需要掌握解分式不等式，充分条件与必要条件的概念，命题的否定等知识，本题属于中档题．

12.已知双曲线C 过点(且渐近线为y x =，则下列结论正确的是（ ）

A. C 的方程为2

213

x y -=

B. C

C. 曲线2

1x y e

-=-经过C 的一个焦点

D. 直线10x -=与C 有两个

公共点 【答案】AC 【解析】 【分析】

根据题意得到双曲线C 的方程，结合双曲线的性质逐一判断即可. 【详解】对于选项A

：由已知3

y x =±

，可得2

213y x =，从而设所求双曲线方程为

2213x y λ-=，又由双曲线C

过点(

，从而221

33

λ?-=，即1λ=，从而选项A 正确；

对于选项B ：

由双曲线方程可知a =1b =，2c =，

从而离心率为3c e a ===

，所以B 选项错误；

对于选项C ：双曲线的右焦点坐标为()2,0，满足2

1x y e

-=-，从而选项C 正确；

对于选项D ：

联立22

10

13

x x y ?-=?

?-=??，整理，

得220y +=，

由2420?=-?=，

知直线与双曲线C 只有一个交点，选项D 错误. 故选AC

【点睛】本题考查双曲线的标准方程及简单的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查推理能力与运算能力.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.过点()3,4P -的等轴双曲线的标准方程为__________．

【答案】22

177

y x -=

【解析】 【分析】

设双曲线方程为22

x y k -=，代入已知点的坐标可得结论．

【详解】设双曲线方程为2

2

x y k -=，因为双曲线过点()3,4P -，所以2

2

3(4)k --=，

所以双曲线方程为2

2

7x y -=-，即22

177

y x -=．

故答案

：22

177

y x -=．

【点睛】本题考查求双曲线的标准方程，对于已知渐近线方程为0mx ny ±=的双曲线方程可直接设为2

2

2

2

m x n y k -=，结合其他条件求得k 即可． 14.数列{}n a 满足12a =，111n

n n

a a a ++=-，则2019a =______. 【答案】12

- 【解析】 【分析】

由首项，利用递推公式求出第二、三、四、五项，可得{}n a 是周期为4的数列，从而可得结论.

【详解】由12a =，111n

n n

a a a ++=-， 得23a =-，312

a =-

，41

3a =，52a =，

∴{}n a 是周期为4的数列， 因为201950443=?+， 所以201931

2

a a ==-. 故答案为：12

-

. 【点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于简单题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.

15.若ABC 中，90C ∠=?，()1,2,3A k -，()2,1,0B -，()4,0,2C k -，则k 的值=_____． 【答案】10

【解析】

利用向量的垂直与数量积的关系计算．

【详解】由已知得(3,1,3)AB k =--，(6,1,2)BC k =--，(3,2,)CA k =--，

因为90C ∠=?，所以218220CA BC k ?=--+=，解得k =， 故答案为：

10．

【点睛】本题考查向量的数量积，掌握数量积的性质是解题关键：两个非零向量,a b ，

0a b a b ⊥??=

16.在一直角坐标系中，已知()1,6A -，()3,8B -，现沿x 轴将坐标平面折成60?的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为__________．

【答案】【解析】 【分析】

通过用向量的数量积转化求解距离即可

【详解】解：在直角坐标系中，已知()1,6A -，()3,8B -，现沿x 轴将坐标平面折成60?的二面角后，()1,6A -在平面xOy 上的射影为C ，作BD x ⊥轴，交x 轴于点D ， 所以AB AC CD DB =++,

所以2

2

2

2

222AB AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++?+?+?

2221

648268682

=++-???

=，

所以AB =,

故答案为：

【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查了数形结合的思想，属于中档题.

四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18，19，20题每小题12分，第21，22题每小题14分，共74分．

17.已知命题:p 关于x 的不等式2(1)10x a x ++≤-的解集是? ；命题:q 双曲线

22

21(0)4

x y a a -=>3p 和q 都是真命题，求实数a 的取值范围．

【答案】2] 【解析】 【分析】

由关于x 的不等式2

(1)10x a x ++≤-的解集是?，得?<0，从而可求出a 的取值范围，

再由q 24

a +≥3a 的取值范围，再求交集可得结果.

【详解】2]

【点睛】此题考查了一元二次不等式的解与判别式的关系，双曲线的标准方程和离心率，考查了命题的真假判断，属于基础题.

18.已知数列{}n a 的前n 项和2()n S n n N +

=∈，数列{}n b 为等比数列，且满足11b a =，

342b b =.

（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；

（2）求数列{}n n a b 的前n 项和.

【答案】（1）121,2n n n a n b -=-=；（2）3(23)2n

n T n =+-

【解析】 【分析】

（1）先根据和项与通项公式求数列{}n a 通项公式，再根据等比数列定义求{}n b 的通项公式；（2）根据错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和. 【详解】（1）因为数列{}n a 的前n 项和()2

n S n

n N +

=∈，

所以当1n =时，1

1a =；当2

n ≥时，121n n n a S S n -=-=-；所以21,n a n =-

因为11341,2b a b b ===，所以公比2q =,1

2n n b -= (2) 设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，

则0121=1232(23)2(21)2n n n T n n --?+?+

+-?+-?， 1212=1232(23)2(21)2n n n T n n -?+?+

+-?+-?

相减得：01

1=122222(21)2n n n T n --?+?+

+?--?

1122(12)=1(21)212

n n n T n -?--+--?-，即()3232n

n T n =+-

【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

19.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交地物线于点A ．B （其中点A 在第一象限），交其准线l 于点C ，同时点F 是AC 的中点 （1）求直线AB 的倾斜角； （2）求线段AB 的长． 【答案】（1）3π

，（2）163

【解析】

【分析】

（1）由点F 是AC 的中点，结合抛物线的定义可得点A 的坐标，由此可得直线的AB 斜率，从而可求出直线AB 的倾斜角；

（2）将直线方程和抛物线方程联立成方程组求出点B 的坐标，再抛物线的焦点弦公式可求得AB 的长.

【详解】解：（1）由题可知(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-，

设A ，B 在准线上的投影分别为,M N ，准线与x 轴交于点H ，则2FH =， 因为F 是AC 的中点，所以24AM FH ==, 所以点A 的横坐标为3， 当3x =时，2

12y

=，由于点A 在第一象限，

所以点A 的坐标为(3,23)， 设直线AB 的倾斜角为α，则230

tan 331

α-==-，

因为[0,)απ∈，所以3

π

α=

，

（2）直线AB 的方程为3(1)y x =-，

由23(1)4y x y x

?=-??=??，得231030x x -+=， 解得1

3,3

x x ==

， 所以点B 的横坐标为

13， 所以116

3233

AB =++=

【点睛】此题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，考查数学转化思想，属于中档题.

20.如图，四面体ABCD 中，平面DAC ⊥底面ABC ，4AB BC AC ===，AD ＝CD ＝22，O 是AC 的中点，E 是BD 的中点．

（1）证明：DO ⊥底面ABC ； （2）求二面角D -AE -C 的余弦值． 【答案】（1）见解析； （2）

7

7

【解析】 【分析】

（1）根据等腰三角形的性质得到DO AC ⊥，在根据面面垂直的性质定理，证得DO ⊥平面ABC .

（2）以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面DAE 和平面CAE 的法向量，计算出二面角D AE C --的余弦值.

【详解】（1）证明：∵ AD ＝CD ＝2，O 是AC 的中点， ∴ DO ⊥AC ．

∵ 平面DAC ⊥底面ABC ，平面DAC ∩底面ABC ＝AC ， ∴ DO ⊥底面ABC ．

（2）解：由条件易知DO ⊥BO ，BO ⊥AC ． OA ＝OC ＝OD ＝2， OB ＝3

如图，以点O 为坐标原点，OA 为x 轴， OB 为y 轴，OC 为z 轴建立空间直角坐标系．

则(2,0,0)A ，(0,3,0)B ，(2,0,0)C -，

(0,0,2)D ，3,1)E ，

(3,1)AE =-，(2,0,2)AD =-，(4,0,0)AC =-．

设平面ADE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，

则·0,·0,n AD n AE ?=?

=? 即11111220,230,

x z x z -+=???-+=?? 令11z =，则1131,x y ==

3

(1,,1)n =． 同理可得平面AEC 的一个法向量(0,3)m =-．

3

10(1)13

73cos ,71

110133

m n m n m n

?-+?<>=

=

=?++?++． 因为二面角D-AE-C 的平面角为锐角,所以二面角D-AE-C 7． 【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

21.为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，该公司第n 年需要付出的超市维护和工人工资等费用为n a 万元，已知{}n a 为等差数列，相关信息如图所示.

（Ⅰ）求n a ；

（Ⅱ）该超市第几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值） （Ⅲ）该超市经营多少年，其年平均获利最大？最大值是

多少？（年平均获利n n

=

前年总获利

）

【答案】（Ⅰ）48n a n =+（Ⅱ）第3年（Ⅲ）经过6年经营后年平均盈利最大，最大值为96万元． 【解析】 【分析】

（Ⅰ）由题意知，每年需付出的费用是以12为首项，4为公差的等差数列. （Ⅱ）把y 表示成n 的二次函数，令0y >解x 即可得出答案. （Ⅲ）年平均盈利为72

240y n n n

=--+,利用基本不等式求出该超市经营6年，其年平均获利最大.

【详解】解：（Ⅰ）由题意知，每年需付出的费用是以12为首项，4为公差的等差数列， 求得14(1)48n a a n n =+-=+

（Ⅱ）设超市第n 年后开始盈利，盈利为y 万元， 则2(1)

50[124]72240722

n n y n n n n -=-+

?-=-+- 由0y >，得220360n n -+<，解得218,n n <<∈N ， 故3n =．

即第3年开始盈利． （Ⅲ）年平均盈利为72

240y n n n

=--+ 3636

2()40224016n n n n

=-+

+≤-??=

当且仅当36

n n

=

，即6n =时，年平均盈利最大． 故经过6年经营后年平均盈利最大，最大值为96万元．

【点睛】本题考查数列在实际生活中的利用，考查了等差数列的通项公式、基本不等式，确定函数关系是解题的关键.

22.已知12,F F 是椭圆()22

2210x y a b a b +=>>的两个焦点，O 为坐标原点，点21,2P ??- ???

在

椭圆上，且112?0

PF F F =，O 是以12F F 为直径的圆，直线:l y kx m =+与O 相切，并

且与椭圆交于不同的两点,A B . （1） 求椭圆的标准方程； （2） 当?OA OB λ=，且满足

23

34

λ≤≤时，求弦长AB 的取值范围．

【答案】（1）2212x y +=（264

3

AB ≤≤

【解析】 【分析】

（1）根据点21,2P ?- ??

在椭圆上，且112?0PF F F =，可建立方程，从而可求椭圆M 的方

程；

（2）利用直线l ：y=kx+m 与⊙O：x 2+y 2=1相切，可得m 2=k 2+1，进而将直线与椭圆方程联立，可表示弦长，利?OA OB λ=，

23

34

λ≤≤，可确定其范围． 【详解】（1）由1120PF F F ?=得112PF F F ⊥，可得1c =，将点21,2P ??- ? ???

代入椭圆方程

得2

21

121a b

+=，又因为2221a b c -==，联立解得22

2,1a b ==，故椭圆方程为

2

212

x y +=． （2）直线:l y kx m =+与⊙O

2211m k =?=+．

由2

212x y y kx m ?+=???=+?

得()222124220k x kmx m +++-= 因为直线l 与椭圆交于不同的两点,A B ．设()()1122,,,A x y B x y

∴2

000k k ?>?>?≠，2121222

422

,1212km m x x x x k k

--+==++ ()()()22

2

2

121212122

212m k y y kx m kx m k x x km x x m k

-=++=+++=+ ∴222

121222

1213111231242

k k OA OB x x y y k k k λ++?=+==?≤≤?≤≤++ ∴

2

1AB k

=+=

设42

2112u k k k ??

=+≤≤

???

，则324u ≤

≤，

3,24AB u ??==∈????在3,24??

????

上单调递增 ，∴

423

AB ≤≤． 【点睛】本题以椭圆为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与圆，与椭圆的位置关系，考查弦长的求解，有较强的综合性．