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浙江省杭州市--八年级(上)期中数学试卷(含答案)

八年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图案中，是轴对称图形的有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 42.下列语句是命题的是（）A. 作直线AB的垂线B. 在线段AB上取点CC. 同旁内角互补D. 垂线段最短吗？3.已知等腰△两条边的长分别是3和6，则它的周长是（）A. 12B. 15C. 12或15D. 15或184.如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD=OP，则△AOD与△AOP全等的理由是（）A.SSSB. ASAC. SSAD. HL5.若a＜b，则下列各式中一定成立的是（）A. a−1<b−1B. a3>b3C. −a<−bD. ac<bc6.下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（）A. 5B. 2C. 4D. 87.如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB、下列确定P点的方法正确的是（）A. P为∠A、∠B两角平分线的交点B. P为AC、AB两边上的高的交点C. P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点D. P为AC、AB两边的垂直平分线的交点8.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，下列结论：①∠ACD=∠B；②CH=CE=EF；③AC=AF；④CH=HD．其中正确的结论为（）A. ①②④B. ①②③C. ②③D. ①③9.△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC 于点E，则PD+PE的长是（）A.4.8B. 4.8或3.8C. 3.8D. 510.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（）A.2√3B. √10C. 2√2D. √6二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.等腰三角形的一个外角等于130°，则顶角是______ ．12.写出“对顶角相等”的逆命题______ ．13.在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为______．14.不等式组{x＞−1x＜m有3个整数解，则m的取值范围是______ ．15.如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=______．16.如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.解不等式1−7x−18＞3x−24，并把它的解集在数轴上表示出来．四、解答题（本大题共6小题，共60.0分）18.如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC＜BC．D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．19.如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．①求证：△ABE≌△CBD；②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．20.某商店购买60件A 商品和30件B 商品共用了1080元，购买50件A 商品和20件B 商品共用了880元．（1）A 、B 两种商品的单价分别是多少元？（2）已知该商店购买B 商品的件数比购买A 商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A 、B 两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A 、B 两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？21.如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA ，PB ，PC ，以BP 为边作∠PBQ =60°，且BP =BQ ，连结CQ ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并说明理由． （2）若PA =3，PB =4，PC =5，连结PQ ，判断△PQC 的形状并说明理由．22.阅读下列材料：解答“已知x -y =2，且x ＞1，y ＜0，试确定x +y 的取值范围”有如下解法： 解：∵x -y =2，x ＞1，∴y +2＞1，即y ＞-1， 又y ＜0，∴-1＜y ＜0．…① 同理得：1＜x ＜2．…②由①+②得-1+1＜y +x ＜0+2，∴x +y 的取值范围是0＜x +y ＜2． 请按照上述方法，完成下列问题：已知关于x 、y 的方程组{x +2y =5a −82x−y=−1的解都为非负数．（1）求a 的取值范围；（2）已知2a -b =1，求a +b 的取值范围；（3）已知a -b =m （m 是大于1的常数），且b ≤1，求2a +b 最大值．（用含m 的代数式表示）23.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t满足什么条件时，△BCP为直角三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据轴对称图形的定义，可知第2个，第4个是轴对称图形，而第1个、第3个、第5个都不是轴对称图形．故选B．判断一个图形是否是轴对称图形，就是看是否可以存在一条直线，使得这个图形的一部分沿着这条直线折叠，能够和另一部分互相重合．本题考查轴对称图形的识别，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．2.【答案】C【解析】解：A、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；B、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；C、符合命题的定义，是命题；D、是一个问句，不符合命题的定义，不是命题．故选C．根据命题的定义作答．一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．一般说来，对于任何一个命题，都可以加上“是”或“不是”，如C，可以说同旁内角是互补的．注意，作图语言与问句都不是命题．3.【答案】B【解析】解：①当腰为6时，三角形的周长为：6+6+3=15；②当腰为3时，3+3=6，三角形不成立；∴此等腰三角形的周长是15．故选B．由于等腰三角形的两边长分别是3和6，没有直接告诉哪一条是腰，哪一条是底边，所以有两种情况，分别利用三角形的三边关系与三角形周长的定义求解即可．本题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系，利用分类讨论思想求解是解答本题的关键．4.【答案】D【解析】解：∵OD⊥AB，OP⊥AC，∴△ADO和△APO是直角三角形，又∵OD=OP，AO=AO，∴Rt△AOD≌△Rt△AOP（HL）.故选D．根据直角三角形全等的判别方法HL可证△AOD≌△AOP．本题考查直角三角形全等的判定方法HL．5.【答案】A【解析】解：根据不等式的性质可得：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．A、a-1＜b-1，故A选项是正确的；B、a＞b，不成立，故B选项是错误的；C、a＞-b，不一定成立，故C选项是错误的；D、c的值不确定，故D选项是错误的．故选A．根据不等式的性质分析判断．主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．6.【答案】B【解析】解：A.5，∵5不是偶数，且也不是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案A错误；B.2，∵2不是4的倍数，∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是2，故答案B正确；C.4，∵4是偶数，且是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案C错误；D.8，∵8是偶数，且也是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案D错误；故选：B．反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．此题主要考查了反证法的意义，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．7.【答案】C【解析】解：∵P到∠A的两边的距离相等，∴P为∠A的角平分线；∵PA=PB，∴P为AB的垂直平分线，∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．故选：C．首先根据P到∠A的两边的距离相等，应用角平分线的性质，可得P为∠A的角平分线；然后根据PA=PB，应用线段垂直平分线的性质，可得P为AB的垂直平分线，所以P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点，据此判断即可．此题主要考查了角平分线的性质的应用，以及线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握．8.【答案】B【解析】解：∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，∴∠ACD=∠B，故①正确；∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD，∴∠AEF=∠CHE，∴∠CEH=∠CHE，∴CH=CE=EF，故②正确；∵角平分线AE交CD于H，∴∠CAE=∠BAE，在△ACE和△AEF中，，∴△ACE≌△AFE（AAS），∴AC=AF，故③正确；CH=CE=EF＞HD，故④错误．故正确的结论为①②③．故选B．根据等角的余角相等可判断①；先判断CD∥EF，根据平行线的性质得出∠CEH=∠CHE，再由角平分线的性质可判断②；用AAS判定△ACE≌△AFE，可判断③；根据②，结合图形可判断④．本题考查了全等三角形的判定与性质及角平分线的性质，是一道综合性较强的题目，需要同学们把直角三角形的性质和三角形全等的判定等知识结合起来解答．9.【答案】A【解析】解：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴BF=4，∴△ABF中，AF==3，∴×8×3=×5×PD+×5×PE，12=×5×（PD+PE）PD+PE=4.8．故选：A．过A点作AF⊥BC于F，连结AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得S ABC=S ABP+S ACP，代入数值，解答出即可．本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．10.【答案】C【解析】解：∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB，∠ADE=∠BED=90°，又∵点G为AF的中点，∴DG=AG，∴∠GAD=∠GDA，∴∠CGD=2∠CAD，∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD，∴∠ACD=∠CGD，∴CD=DG=3，在Rt△CED中，DE==2．故选：C．根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解．综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=3．11.【答案】80°或50°【解析】解：当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，当50°为底角时，其他两角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角可以是50°，也可以是80°．故填50°或80°等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．12.【答案】相等的角是对顶角【解析】解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角．将原命题的条件及结论进行交换即可得到其逆命题．此题主要考查学生对命题及逆命题的理解及运用能力．13.【答案】4【解析】解：如右图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），∵CD=4，∴DE=4．故答案为：4．根据角平分线的性质定理，解答出即可；本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等．14.【答案】2＜m≤3【解析】解：不等式的整数解是0，1，2．则m的取值范围是2＜m≤3．故答案是：2＜m≤3．首先确定不等式组的整数解，然后根据只有这三个整数解即可确定．本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．15.【答案】9【解析】解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，…，∵∠BOC=9°，∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45°，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．由于n为整数，故n=9．故答案为：9．根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．16.【答案】√2【解析】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=2，∠BAC=45°，∴BH=AB•sin45°=2×=，∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=．故答案为：．作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．17.【答案】解：去分母得，8-（7x-1）＞2（3x-2），去括号得，8-7x+1＞6x-4，移项得，-7x-6x＞-4-8-1，合并同类项得，-13x＞-13，系数化为1得，x＜1．在数轴上表示如下：【解析】根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错，去分母时没有分母的项也要乘以分母的最小公倍数．18.【答案】解：（1）如图所示：点D即为所求；（2）在Rt△ABC中，∠B=37°，∴∠CAB=53°，又∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=37°，∴∠CAD=53°-37°=16°．【解析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出D 点坐标即可；（2）利用线段垂直平分线的性质得出，∠BAD=∠B=37°，进而求出即可．此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的性质，正确利用线段垂直平分线的性质得出∠BAD=∠B=37°是解题关键．19.【答案】①证明：在△ABE 和△CBD 中，{AB =CB ∠ABC =∠CBD =90°BE =BD，∴△ABE ≌△CBD （SAS ）；②解：∵在△ABC 中，AB =CB ，∠ABC =90°，∴∠BAC =∠ACB =45°，由①得：△ABE ≌△CBD ，∴∠AEB =∠BDC ，∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB =∠ACB +∠CAE =30°+45°=75°，则∠BDC =75°．【解析】①利用SAS 即可得证；②由全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CDB ，利用外角的性质求出∠AEB 的度数，即可确定出∠BDC 的度数．此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．20.【答案】解：（1）设A 种商品的单价为x 元、B 种商品的单价为y 元，由题意得： {50x +20y =88060x+30y=1080，解得{y =4x=16．答：A 种商品的单价为16元、B 种商品的单价为4元．（2）设购买A 商品的件数为m 件，则购买B 商品的件数为（2m -4）件，由题意得： {16m +4(2m −4)≤296m+2m−4≥32，解得：12≤m ≤13，∵m 是整数，∴m =12或13，故有如下两种方案：方案（1）：m =12，2m -4=20 即购买A 商品的件数为12件，则购买B 商品的件数为20件；方案（2）：m=13，2m-4=22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．【解析】（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，根据等量关系：①购买60件A商品的钱数+30件B商品的钱数=1080元，②购买50件A商品的钱数+20件B商品的钱数=880元分别列出方程，联立求解即可．（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m-4）件，根据不等关系：①购买A、B两种商品的总件数不少于32件，②购买的A、B两种商品的总费用不超过296元可分别列出不等式，联立求解可得出m的取值范围，进而讨论各方案即可．此题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答此类应用类题目的关键是仔细审题，得出等量关系，从而转化为方程或不等式解题，难度一般，第二问需要分类讨论，注意不要遗漏．21.【答案】解：（1）AP=CQ．理由如下：∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，∴△BPQ为等边三角形，∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，∴∠CBQ=∠ABP，在△ABP和△CBQ中，{AB=CB∠ABP=∠CBQ BP=BQ，∴△ABP≌△CBQ（SAS），∴AP=CQ；（2）∵等边△ABC和等边△BPQ中，PB=PQ=4，PA=QC=3，∵PQ2+CQ2=PC2，∴△PQC为直角三角形（勾股定理逆定理）．【解析】（1）易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；（2）根据PA=CQ，PB=BQ，即可判定△PQC为直角三角形．本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了勾股定理逆定理的运用，本题中求证△ABP ≌△CBQ 是解题的关键． 22.【答案】解：（1）解方程组{x +2y =5a −82x−y=−1得：{y =2a −3x=a−2，∴{2a −3≥0a−2≥0，解得：a ≥2；（2）由2a -b =1，a ≥2，可得：1+b 2≥2，解得：b ≥3，∴a +b ≥5；（3）由a -b =m ，a ≥2，可得m +b ≥2，∴b ≥2-m ，∴2-m ≤b ≤1，同理可得：2≤a ≤1+m ，∴6-m ≤2a +b ≤3+2m ，∴最大值为3+2m ．【解析】（1）先把a 当作已知求出x 、y 的值，再根据x 、y 的取值范围得到关于a 的一元一次不等式组，求出a 的取值范围即可；（2）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a 、b 的取值范围，然后再来求a+b 的取值范围；（3）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a 、b 的取值范围，然后再来求2a+b 的取值范围，即可得到最大值．本题考查了一元一次不等式（组）的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．23.【答案】解：（1）∵∠C =90°，AB =5cm ，BC =3cm ， ∴AC =4cm ，动点P 从点C 开始，按C →B →A →C 的路径运动，速度为每秒1cm ， ∴出发2秒后，则CP =2cm ，∵∠C =90°，∴PB =√22+32=√13cm ，∴△ABP 的周长为：AP +PB +AB =2+5+√13=7+√13（cm ）；（2）∵AC =4，动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒1cm ， ∴P 在AC 上运动时△BCP 为直角三角形，∴0＜t ≤4，当P 在AB 上时，CP ⊥AB 时，△BCP 为直角三角形，∵12×AB ×CP =12×AC ×BC ，∴12×5×CP =12×3×4， 解得：CP =125cm ，∴AP =√AC 2−CP 2=165cm ，∴AC +AP =365cm ，∵速度为每秒1cm ，∴t =365，综上所述：当0＜t ≤4或t =365，△BCP 为直角三角形；（3）当P 点在AC 上，Q 在AB 上，则PC =t ，BQ =2t -3，∵直线PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分，∴t +2t -3=3，∴t =2；当P 点在AB 上，Q 在AC 上，则AC =t -4，AQ =2t -8，∵直线PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分，∴t -4+2t -8=6，∴t =6，∴当t =2或6秒时，直线PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分．【解析】 （1）首先利用勾股定理计算出AC 长，根据题意可得CP=2cm ，再利用勾股定理计算出PB 的长，进而可得△ABP 的周长；（2）当P 在AC 上运动时△BCP 为直角三角形，由此可得0＜t≤4；当P 在AB 上时，CP ⊥AB 时，△BCP 为直角三角形，首先计算出CP 的长，然后再利用勾股定理计算出AP 长，进而可得答案．（3）分类讨论：当P 点在AC 上，Q 在AB 上，则PC=t ，BQ=2t-3，t+2t-3=3；当P 点在AB 上，Q 在AC 上，则AC=t-4，AQ=2t-8，t-4+2t-8=6．此题主要考查了勾股定理以及其逆定理等知识，利用分类讨论的思想求出是解题关键．。

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2020-2021学年浙江省杭州市余杭区八年级上学期期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年浙江省杭州市余杭区八年级上学期期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年浙江省杭州市余杭区八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列图形为轴对称图形的为（）A．B．C．D．2．（3分）已知，在△ABC中，∠B是∠A的3倍，∠C比∠A大30°，则∠A的度数是（）A．30°B．50°C．70°D．90°3．（3分）为说明命题“若a＞b，则a2＞b2．”是假命题，所列举反例正确的是（）A．a＝5，b＝3B．a＝﹣2，b＝﹣6C．a＝0.2，b＝0.1D．a＝﹣，b＝﹣4．（3分）已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和5，则斜边的长为（）A．3B．4C．5D．5．（3分）以下四种作△ABC边AC上的高，其中正确的作法是（）A．B．C．D．6．（3分）等腰三角形其中两条边的长度为5和11，则该等腰三角形的周长为（）A．21B．27C．21或32D．21或277．（3分）如图，以Rt△ABC的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为S1、S2、S3，若S1＝13，S2＝12，则S3的值为（）A．1B．5C．25D．1448．（3分）如图，关于△ABC，给出下列四组条件：①△ABC中，AB＝AC；②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组9．（3分）老师让4个学生猜一猜这次考试中4个人的成绩谁最好．甲说：“乙最好”：乙说：“丁最好”；丙说：“反正我不是最好”；丁说：“乙说我最好，肯定错了”．老师告诉他们，只有一个人猜对了，于是，聪明的孩子们马上知道是谁的成绩最好了，你知道吗？（）A．甲B．乙C．丙D．丁10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．A．①②③④B．①②③C．②④D．①③二、填空题（共6小题）.11．（4分）命题“如果ab＝0，则a＝0”的逆命题是．12．（4分）已知△ABC的三条边长分别为4，5和x，则x的取值范围是．13．（4分）如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠ACD＝40°，则∠EBC ＝度．14．（4分）已知直角三角形的两条边长分别为6和8，那么该直角三角形斜边上的中线长是．15．（4分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积等于36，则△BEF的面积为．16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝，∠A＝30°，作△ABC关于直线l的轴对称图形△EBD，点F是BE的中点，若点A，C，F在同一直线上，则CD的长为．三、解答题：本题有7小题，共66分。

浙江省杭州市西湖区八年级(上)期中数学试卷 含解析

浙江省杭州市西湖区八年级(上)期中数学试卷 含解析

2018-2019学年八年级（上）期中数学试卷一．选择题（共10小题）1．下列各组线段中，首尾相接能组成三角形的是（）A．a＝2cm，b＝3cm，c＝5cmB．a＝1cm，b＝2cm，c＝3.5cmC．a＝6.3cm，b＝6.3cm，c＝12.6cmD．a＝6cm，b＝8cm，c＝13cm2．根据“y减去1不大于3”列式正确的是（）A．y﹣1＜3 B．y﹣1≤3 C．y﹣1＞3 D．y﹣1≥33．下列句子中，是命题的是（）A．负数小于一切正数吗？B．作一条直线与已知直线垂直C．两点之间线段最短D．将8开立方4．下列图案中，轴对称图形是（）A．B．C．D．5．如图，将三角形纸板直角顶点放在直尺上，∠1＝35°，∠2＝69°，则∠3的度数为（）A．34°B．35°C．69°D．104°6．在正三角形ABC中，AD⊥BC交BC于D，则∠BAD的度数（）A．60°B．50°C．40°D．30°7．如图，已知∠ACB＝∠DBC，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝CD C．∠ABC＝∠DCB D．AC＝BD8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，AE∥BD交CB延长线于点E，若∠AEB＝25°，则∠ADB的度数为（）A．50°B．70°C．75°D．80°9．下列说法中，错误的一项是（）A．由a（m2+1）＜b（m2+1）成立可推a＜b成立B．由a（m2﹣1）＜b（m2﹣1）成立可推a＜b成立C．由a（m+1）2＜b（m+1）2成立可推a＜b成立D．由a（m+b）＜b（m+a）成立可推am＜bm成立10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接BE，CD，若BD＝1，则△BCE的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）11．如图，在△ABC中，∠A＝58°，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于点D，则∠BDC的度数为．12．将命题“在同一个三角形中，等角对等边”改写成“如果…那么…”形式为．13．若等腰三角形的边长分别为3和6，则它的周长为．14．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则斜边上的高线长度为．15．有9张卡片，分别写有1到9共9个数字，将他们背面朝上，洗匀后任意抽出一张，将卡片上的数字记为a，若关于x不等式（15﹣2a）x＜（2a﹣15）的解是x＞﹣1，则a 的值为．16．如图，∠AOB＝60°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，OP＝8，当△PMN周长取最小值时，△OMN的面积为．三．解答题（共7小题）17．（1）请你在数轴上表示出不等式：﹣2＜x≤3；（2）根据不等式的性质，把不等式6x＜﹣1+4x化为x＞a或x＜a的形式．18．如图，BC⊥AC于点C，CD⊥AB于点D，BE∥CD．求证：∠EBC＝∠A．19．如图，已知∠α，∠β，线段a，完成下面的尺规作图：（1）∠α+∠β；（2）△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a．20．如图，OC平分∠AOB，CD⊥OA，交OA于点D，CE⊥OB，交OB于点E，M，N分别在OA，OB上，且OM＝ON．求证：△CDM≌△CEN．21．如图1，在线段BE上取一点C，分别以CB，CE为腰作等腰直角△BCA和等腰直角△DCE，连接BD和AE．（1）请判断线段BD和线段AE的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若B，C，E三点不共线，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．22．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（1）写出这个定理的逆命题；（2）判断逆命题的真假并说明你的理由．23．如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，∠ABC的平分线BD交过点C且平行AB的直线于D点；AE⊥BD交BD于E点，连接CE并延长，交过A点且平行BC的直线于F点，AD与CF交于O点．现得到如下两个结论：①∠DAE＝22.5°；②DE＝（2）BE；请帮助判断结论的真假，并说明你的理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列各组线段中，首尾相接能组成三角形的是（）A．a＝2cm，b＝3cm，c＝5cmB．a＝1cm，b＝2cm，c＝3.5cmC．a＝6.3cm，b＝6.3cm，c＝12.6cmD．a＝6cm，b＝8cm，c＝13cm【分析】根据三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只要把三边代入，看是否满足即可．【解答】解：A、2+3＝5，不能构成三角形，故本选项不符合题意；B、1+2＜3.5，不能构成三角形，故本选项不符合题意；C、6.3+6.3＝12.6，不能构成三角形，故本选项不符合题意；D、8﹣6＜13＜6+8，能构成三角形，故本选项符合题意．故选：D．2．根据“y减去1不大于3”列式正确的是（）A．y﹣1＜3 B．y﹣1≤3 C．y﹣1＞3 D．y﹣1≥3【分析】根据不大于3，即是小于或等于3列不等式即可．【解答】解：根据题意，得y﹣1≤3．故选：B．3．下列句子中，是命题的是（）A．负数小于一切正数吗？B．作一条直线与已知直线垂直C．两点之间线段最短D．将8开立方【分析】根据命题的定义可以判断出各个选项中的语句是否为命题，本题得以解决．【解答】解：负数小于一切正数么？是疑问语句，不是命题，故选项A错误；作一条直线与已知直线垂直不是判断语句，故不是命题，故选项B错误；两点之间线段最短是命题，故选项C正确；将8开立方不是判断语句，不是命题，故选项D错误；故选：C．4．下列图案中，轴对称图形是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项正确；故选：D．5．如图，将三角形纸板直角顶点放在直尺上，∠1＝35°，∠2＝69°，则∠3的度数为（）A．34°B．35°C．69°D．104°【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和，可以求得∠3的度数，本题得以解决．【解答】解：∵∠2＝∠1+∠3，∠1＝35°，∠2＝69°，∴69°＝35°+∠3，∴∠3＝34°，故选：A．6．在正三角形ABC中，AD⊥BC交BC于D，则∠BAD的度数（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】根据正三角形ABC得到∠BAC＝60°，因为AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD的度数．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°．故选：D．7．如图，已知∠ACB＝∠DBC，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝CD C．∠ABC＝∠DCB D．AC＝BD【分析】要使△ABC≌△DCB，已知BC＝BC，∠ACB＝∠DBC，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行判断即可．【解答】解：A、由BC＝BC，∠ACB＝∠DBC，∠A＝∠D，根据AAS可判定△ABC≌△DCB；B、由BC＝BC，∠ACB＝∠DBC，AB＝CD，不能判定△ABC≌△DCB；C、由BC＝BC，∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，根据ASA可判定△ABC≌△DCB；D、由BC＝BC，∠ACB＝∠DBC，AC＝BD，根据SAS可判定△ABC≌△DCB．故选：B．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，AE∥BD交CB延长线于点E，若∠AEB＝25°，则∠ADB的度数为（）A．50°B．70°C．75°D．80°【分析】由平行线的性质和角平分线的性质可得∠ABD＝∠DBC＝25°，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝50°，即可求解．【解答】解：∵AE∥BD，∴∠E＝∠DBC＝25°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝25°，∴∠ABC＝∠ACB＝50°，∴∠ADB＝∠ACB+∠DBC＝75°，故选：C．9．下列说法中，错误的一项是（）A．由a（m2+1）＜b（m2+1）成立可推a＜b成立B．由a（m2﹣1）＜b（m2﹣1）成立可推a＜b成立C．由a（m+1）2＜b（m+1）2成立可推a＜b成立D．由a（m+b）＜b（m+a）成立可推am＜bm成立【分析】根据不等式的基本性质，只需判断m2+1＞0，（m+1）2＞0，即可求解．【解答】解：∵m2+1＞0，则不等式的两边同时除以m2+1，则不等式不变号，∴A正确；∵（m+1）2＞0，则不等式的两边同时除以（m+1）2，则不等式不变号，∴C正确；a（m+b）＜b（m+a）可以化为am+ab＜bm+ab，则不等式的两边同时减去ab，则不等式不变号，∴D正确；∵m2﹣1可以是正数也可以是负数，∴B不正确；故选：B．10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接BE，CD，若BD＝1，则△BCE的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据DE垂直平分斜边AC，得到AD＝CD，AE＝CE，解直角三角形得到BC＝，AD＝CD＝2，求得AB＝3，于是得到结论．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴∠ACB＝60°，∵DE垂直平分斜边AC，∴AD＝CD，AE＝CE，∴∠ACD＝∠A＝30°，∴∠BCD＝30°，∵BD＝1，∴BC＝，AD＝CD＝2，∴AB＝3，∴△BCE的面积＝S△ABC＝×＝，故选：A．二．填空题（共6小题）11．如图，在△ABC中，∠A＝58°，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于点D，则∠BDC的度数为119°．【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝122°，根据角平分线的定义，三角形内角和定理计算．【解答】解：解：∵∠A＝58°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣58°＝122°，∵BE、CF是△ABC的角平分线，∴∠EBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，∴∠EBC+∠FCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝61°，∴∠BDC＝180°﹣61°＝119°，故答案为119°．12．将命题“在同一个三角形中，等角对等边”改写成“如果…那么…”形式为如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【分析】分析原命题，找出其条件与结论，然后写成“如果…那么…”形式即可．【解答】解：因为条件是：在同一个三角形中有两个角相等，结论为：这两个角所对的边也相等．所以改写后为：如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．故答案为：如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．13．若等腰三角形的边长分别为3和6，则它的周长为15 ．【分析】因为3和6不知道那个是底那个是腰，所以要分不同的情况讨论，当3是腰时，当6是腰时等．【解答】解：当3是腰时，边长为3，3，6，但3+3＝6，故不能构成三角形，这种情况不可以．当6是腰时，边长为6，6，3，且3+6＞6，能构成三角形故周长为6+6+3＝15．故答案为：15．14．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则斜边上的高线长度为．【分析】首先根据勾股定理求得AC的长，再根据面积公式求得斜边上的高线的长．【解答】解：∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，∴根据勾股定理，得：AC＝＝12，∴三角形的面积是×5×12＝30，∴AB边上的高＝＝，故答案为：．15．有9张卡片，分别写有1到9共9个数字，将他们背面朝上，洗匀后任意抽出一张，将卡片上的数字记为a，若关于x不等式（15﹣2a）x＜（2a﹣15）的解是x＞﹣1，则a 的值为8，9 ．【分析】根据题中不等式的解集确定出a的值即可．【解答】解：∵关于x不等式（15﹣2a）x＜（2a﹣15）的解是x＞﹣1，∴15﹣2a＜0，解得：a＞，则a＝8，9，故答案为：8，916．如图，∠AOB＝60°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，OP＝8，当△PMN周长取最小值时，△OMN的面积为．【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小，然后根据菱形的面积公式即可得到结论．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PC、PD．∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA＝30°；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，∴OC＝OD＝OP＝8，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝120°，∴△COP于△POD是等边三角形，∴四边形OCPD是菱形，∴CD垂直平分OP，∴∠PCD＝∠PDC＝30°，OM＝PM，PN＝ON，∵∠PCM＝∠MPC＝30°，∴∠PMN＝60°，同理∠PNM＝60°，∴PM＝PN，∴四边形PMON是菱形，∵OP＝8，∴MN＝，∴△OMN的面积＝S菱形PMON＝×8×＝．三．解答题（共7小题）17．（1）请你在数轴上表示出不等式：﹣2＜x≤3；（2）根据不等式的性质，把不等式6x＜﹣1+4x化为x＞a或x＜a的形式．【分析】（1）根据大小小大取中间的原则，在数轴上表示出不等式即可；（2）解不等式化为x＞a或x＜a的形式即可．【解答】解：（1）如图：数轴上表示出不等式：﹣2＜x≤3；（2）不等式6x＜﹣1+4x，解得x．18．如图，BC⊥AC于点C，CD⊥AB于点D，BE∥CD．求证：∠EBC＝∠A．【分析】根据平行线的性质得到∠EBC＝∠BCD，根据垂直的定义得到∠BCD+∠DCA＝∠A+∠DCA，等量代换即可得到结论．【解答】解：∵BE‖CD，∴∠EBC＝∠BCD，∵BC⊥AC，CD⊥AB，∴∠BCD+∠DCA＝∠A+∠DCA，∴∠BCD＝∠A，∴∠EBC＝∠A．19．如图，已知∠α，∠β，线段a，完成下面的尺规作图：（1）∠α+∠β；（2）△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a．【分析】（1）根据尺规作图过程即可作出∠α+∠β；（2）先根据尺规作图作出∠C＝180°﹣∠α﹣∠β，再进行其它作图即可作出三角形．【解答】解：（1）如图∠AOC即为所求作的图形．（2）如图即为所求作的△ABC．作BC＝a，作∠B＝∠β，∠C＝180°﹣∠α﹣∠β，∠B、∠C的两条边相交于点A，则∠A＝∠α．答：△ABC即为所求作的图形．20．如图，OC平分∠AOB，CD⊥OA，交OA于点D，CE⊥OB，交OB于点E，M，N分别在OA，OB上，且OM＝ON．求证：△CDM≌△CEN．【分析】根据SAS证明△OMC≌△ONC，可得MC＝NC，根据角平分线的性质，得CD＝CE，则△DMC≌△ENC．【解答】证明：∵OC平分∠AOC，∴∠DOC＝∠EOC，在△OMC和△ONC中，∵OM＝ON，∠DOC＝∠EOC，OC＝OC∴△OMC≌△ONC（SAS），∴MC＝NC，∵OC平分∠AOC，CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD＝CE，在Rt△DMC和Rt△ENC中∵DC＝CE，CM＝CN，∴Rt△DMC≌Rt△ENC（HL）．21．如图1，在线段BE上取一点C，分别以CB，CE为腰作等腰直角△BCA和等腰直角△DCE，连接BD和AE．（1）请判断线段BD和线段AE的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若B，C，E三点不共线，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．【分析】（1）依据等腰直角三角形的性质可得到BC＝AC，DC＝CE，∠BCD＝∠ACE＝90°，然后依据SAS证明△BCD≌△ACE，接下来，依据全等三角形的性质可得到BD＝AE；（2）依据等腰直角三角形的性质可得到BC＝AC，DC＝CE，∠BCD＝∠ACE＝90°，然后利用等式的性质证明∠BCD＝∠ACE，然后依据SAS证明△BCD≌△ACE，接下来，依据全等三角形的性质可得到BD＝AE．【解答】解：（1）∵△BCA和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCD＝∠ACE＝90°．在△BCD和△ACE中，∴△BCD≌△ACE．∴BD＝AE．（2）成立．∵△BCA和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCD＝∠ACE＝90°．∴∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE．在△BCD和△ACE中，∴△BCD≌△ACE．∴BD＝AE．22．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（1）写出这个定理的逆命题；（2）判断逆命题的真假并说明你的理由．【分析】（1）写出逆命题即可；（2）根据直角三角形的判定解答即可．【解答】解：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题为：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（2）已知：如图，在△ABC中，点D是AB的中点，连接CD，且CD＝AB．求证：△ABC是直角三角形．证明：∵点D是AB的中点∴AD＝BD∵CD＝AB，∴AD＝BD＝CD，∴∠DAC＝∠ACD，∠DCB＝∠DBC∵∠DAC+∠ACD+∠DCB+∠DBC＝180°∴∠ACD+∠DCB＝90°，即∠ACB＝90°∴△ABC是直角三角形．23．如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，∠ABC的平分线BD交过点C且平行AB的直线于D点；AE⊥BD交BD于E点，连接CE并延长，交过A点且平行BC的直线于F点，AD与CF交于O点．现得到如下两个结论：①∠DAE＝22.5°；②DE＝（2）BE；请帮助判断结论的真假，并说明你的理由．【分析】①正确．证明△DCB和△ABE是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．②错误．利用等腰直角三角形的性质即可判断．【解答】解：①正确．理由：∵AB‖CD，∠ABC＝90°，∴∠DCB＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABE＝45°，∴△DCB和△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝BC，∴AB＝BD＝BC＝CD＝BE＝AE∴∠BDA＝∠DAB＝67.5°，∴∠DAE＝22.5°．②错误．理由：∵AB＝BD＝BC＝CD＝BE＝AE ∴DE＝（﹣1）BC＝（﹣1）BE．。

2022-2023学年浙江省杭州市萧山区城区六校八年级(上)期中数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年浙江省杭州市萧山区城区六校八年级(上)期中数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年浙江省杭州市萧山区城区六校八年级（上）期中数学试卷1.下面是科学防控新冠知识的图案，其中的图案是轴对称图形的是( )A. 勤洗手勤通风B. 喷嚏后慎揉眼C. 戴口罩讲卫生D. 打喷嚏捂口鼻2.a，b都是实数，且a<b，则下列不等式的变形正确的是( )A. a+x>b+xB. −a+1<−b+1C. 3a>3bD. −a2>−b23.下列各组数不可能是一个三角形的三边长的是( )A. 5，12，13B. 1，2，2C. 5，7，12D. 10，11，124.等腰三角形的一个底角是80∘，则顶角的度数是( )A. 20∘B. 50∘C. 20∘或50∘D. 50∘或80∘5.下面语句是命题的是( )A. π是有理数B. 已知a=3求a2C. 作∠ABC的角平分线D. 正数大于一切负数吗？6.如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是( )A. SSSB. SASC. AASD. ASA7.如图，在△ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若BC=15cm，则△DBC的周长为( )A. 25cmB. 35cmC. 30cmD. 27.5cm8.如图，∠BAD=90∘，AC平分∠BAD，CB=CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为( )A. ∠B=∠ADCB. 2∠B=∠ADCC. ∠B+∠ADC=180∘D. ∠B+∠ADC=90∘9.已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于( )A. 15∘或75∘B. 15∘C. 75∘D. 150∘或30∘10.如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE=2，BC=3，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，延长EG交CD于点F处，则线段FG的长为( )A. 54B. 43C. √2D. 111.命题“等腰三角形的两腰相等”的逆命题是______.12.若等腰三角形的两边长分别是4和8，则它的周长是______.13.若x>y，且(a+3)x<(a+3)y，求a的取值范围______.14.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AB=6，BC=4，若△ABC的面积为12，则△BDC的面积为______.15.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，点D，E分别在AB，BC上，连结CD，DE，若BC=BD，AC=1，∠CDE=45∘，则BE的长为______.16.如图，在边长为4的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为______.17.在△ABC中，利用直尺和圆规作图．(1)作出AB边上的中线CD；(2)作出△ABC的角平分线AE.18.学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米(如图1)；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米(如图2).根据以上信息，求旗杆AB的高度．19.如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A=∠BEC，AD//BC，且AD=BE.(1)证明：△ABD≌△ECB；(2)若BC=15，AD=6，请求出DE的长度．20.已知：如图，△ABC中∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC的延长线于点F.(1)求证：BE=CF；(2)若AB=16，CF=2，求AC的长．21.阅读理解应用：想要比较a与b的大小关系，可以进行作差法，结果如下：若a−b≥0则a≥b；若a−b≤0.则a≤b若a−b=0则a=b.(1)比较a2+b2与2ab的大小；+3的最小值；(2)直接利用(1)的结论求a2+1a2(3)已知A=6(m2−m)+4，B=5m2−2(2m−1)请你运用前面介绍的方法比较代数式A与B的大小．22.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD=AE.(1)求证：CG=EG.(2)已知BC=13，CD=5，连接ED，求△BEC的面积．23.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．(1)出发2秒后，求△ABP的周长．(2)问t为何值时，△BCP为等腰三角形？(3)另有一点Q，从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q 两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ 把△ABC的周长分成相等的两部分？答案和解析1.【答案】C【解析】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形，选项C能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形，故选：C.根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2.【答案】D【解析】解：A、∵a<b，∴a+x<b+x，故此选项不符合题意；B、∵a<b，∴−a>−b，∴−a+1>−b+1，故此选项不符合题意；C、∵a<b，∴3a<3b，故此选项不符合题意；D、∵a<b，∴−a2>−b2，故此选项符合题意；故选：D.根据不等式的性质，进行计算即可解答．本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，可知A、5+12>13，能组成三角形，不符合题意；B、1+2>2，能组成三角形，不符合题意；C、5+7=12，不能够组成三角形，符合题意；D、10+11>12，能组成三角形，不符合题意．故选：C.根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．4.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．由已知底角为80∘，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出它的顶角的值．【解答】解：∵等腰三角形的底角为80∘，∴它的一个顶角为180∘−80∘−80∘=20∘.5.【答案】A【解析】解：A、对事情作出了判断，是命题，符合题意；B、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；C、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；D、为疑问句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意．故选：A.根据命题的定义逐一判断后即可确定正确的选项．考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题是判断一件事情的句子，难度不大．6.【答案】D【解析】解：由图可知，三角形上面两角及夹边没被遮住，所以可以根据三角形两角及夹边作出图形，依据是ASA.故选：D.图中三角形没被遮住的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．7.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查等腰三角形的性质和线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由于DE垂直平分线段AB，根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，由此得到△DBC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，又AB=AC= 20cm，BC=15cm，由此即可求出△DBC的周长．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴△DBC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，又∵AB=AC=20cm，BC=15cm，∴△DBC的周长=20+15=35(cm).故△DBC的周长为35cm.故选：B.8.【答案】C【解析】解：在射线AD上截取AE=AB，连接CE，如图所示：∵∠BAD=90∘，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠EAC，在△ABC与△AEC中，{AC=AC∠BAC=∠EAC AB=AE，∴△ABC≌△AEC(SAS)，∴BC=EC，∠B=∠AEC，∵CB=CD，∴CD=CE，∴∠CDE=∠CED，∴∠B=∠CDE，∵∠ADC+∠CDE=180∘，∴∠ADC+∠B=180∘.故选：C.在射线AD上截取AE=AB，连接CE，根据SAS不难证得△ABC≌△AEC，从而得BC=EC，∠B=∠AEC，可求得CD=CE，得∠CDE=∠CED，证得∠B=∠CDE，即可得出结果．本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是作出适当的辅助线AE，CE.9.【答案】A【解析】解：(1)当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，AB，BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD=12根据直角三角形中30∘角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角为30∘，此时底角为75∘；(2)当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图，AB，BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD=12根据直角三角形中30∘角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角的邻补角为30∘，此时顶角是150∘，底角为15∘.故其底角为15∘或75∘.故选：A.因为三角形的高有三种情况，而直角三角形不合题意，故舍去，所以应该分两种情况进行分析，从而得到答案．本题主要考查等腰三角形的性质；正确的分类讨论是解答本题的关键．10.【答案】A【解析】解：∵将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，∴∠BEC=∠GEC，GE=BE=2，CG=BC=3，∵四边形ABCD是矩形，∴CD//AB，∴∠BEC=∠FCE，∴∠GEC=∠FCE，∴CF=EF，设FG=x，则CF=EF=x+2，在Rt△CFG中，FG2+CG2=CF2，∴x2+32=(x+2)2，，解得x=54∴FG=5，4故选：A.由将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，可得∠BEC=∠GEC，GE=BE=2，CG=BC=3，CF=EF，设FG=x，则CF=EF=x+2，根据勾股定理可得x2+32=(x+2)2，即可解得答案．本题考查长方形中的翻折问题，解题的关键是掌握折叠的性质，得出CF=EF及勾股定理的应用．11.【答案】两边相等的三角形是等腰三角形【解析】【分析】本题主要考查了命题与定理，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．【解答】解：命题“等腰三角形的两腰相等”的逆命题是：两边相等的三角形是等腰三角形，故答案为：两边相等的三角形是等腰三角形．12.【答案】20【解析】解：∵等腰三角形有两边分别分别是4和8，∴此题有两种情况：①4为底边，那么8就是腰，三角形的三边为4，8，8能构成三角形，则等腰三角形的周长为4+ 8+8=20，②8底边，那么4是腰，4+4=8，所以不能围成三角形应舍去．∴该等腰三角形的周长为20，故答案为：20.解决本题要注意分为两种情况4为底或8为底，还要考虑到各种情况是否满足三角形的三边关系来进行解答．本题考查了等腰三角形性质；解题时涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．13.【答案】a<−3【解析】解：∵x>y，且(a+3)x<(a+3)y，∴a+3<0，则a<−3.故答案为：a<−3.根据题意，在不等式x>y的两边同时乘以(a+3)后不等号改变方向，根据不等式的性质3，得出a+3<0，解此不等式即可求解．本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．14.【答案】4.8【解析】解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF，由题意得：12AB⋅DE+12BC⋅DF=12，则12×6×DF+12×4×DF=12，解得：DF=2.4，∴S△BDC=12BC⋅DF=12×4×2.4=4.8.故答案为：4.8.过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到DE=DF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．15.【答案】√2−1【解析】解：∵∠ACB=90∘，AC=BC，∴∠A=∠B=45∘，∵∠BDC=∠CDE+∠BDE=∠A+∠ACD，∠CDE=45∘，∴∠BDE=∠ACD，∵BC=BD，∴BD=AC，在△BDE和△ACD中，{∠B=∠ABD=AC∠BDE=∠ACD，∴△BDE和△ACD(ASA)，∴BE=AD，∵BC=AC=1，∠ACB=90∘，∴AB=√AC2+BC2=√12+12=√2，∵BD=BC=1，∴AD=AB−BD=√2−1，∴BE=√2−1，故答案为：√2−1.先证△BDE和△ACD(ASA)，得BE=AD，再由勾股定理得AB=√2，则AD=AB−BD=√2−1，即可得出答案．本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明△BDE和△ACD是解题的关键．16.【答案】2√7【解析】【分析】作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，故E即为所求的点．本题考查的是最短路线问题，涉及的知识点有：轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理等，有一定的综合性，但难易适中．【解答】解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC是边长为4，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD=2√3，BD=CD=2，BB′=2AD=4√3，作B′G⊥BC交BC的延长线于G，∴B′G=AD=2√3，在Rt△B′BG中，BG=√BB′2−B′G2=6，∴DG=BG−BD=6−2=4，在Rt△B′DG中，B′D=√DG2+B′G2=2√7.故BE+ED的最小值为2√7.故答案为：2√7.17.【答案】解：(1)如图，CD为所作；(2)如图，AE为所作．【解析】(1)作AB的垂直平分线得到AB的中点D，然后连接CD即可；(2)作∠BAC的平分线即可．本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．18.【答案】解：设AB=x，根据题意得：在Rt△ACE中，AC2=AE2+CE2，即：(x+1)2=(x−1)2+62，解得：x=9.答：旗杆AB的高度为9米．【解析】设AB=x，在Rt△ACE中根据勾股定理列方程求解即可．本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．19.【答案】(1)证明：∵AD//BC，∴∠ADB=∠EBC，在△ABD和△ECB中，{∠A=∠BECAD=EB∠ADB=∠EBC，∴△ABD≌△ECB(ASA).(2)解：△ABD≌△ECB，∴DB=BC=15，AD=EB=6，∴DE=DB−EB=15−6=9，∴DE的长度是9.【解析】(1)由AD//BC，得∠ADB=∠EBC，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABD≌△ECB；(2)由△ABD≌△ECB，得DB=BC=15，AD=EB=6，即可由DE=DB−EB求得DE的长度为9.此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明∠ADB=∠EBC是解题的关键．20.【答案】(1)证明：连接DB，∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB=DC；在Rt△DCF与Rt△DBE中，{DE=DFDB=DC，∴Rt△DCF≌Rt△DBE(HL)，∴CF=BE；(2)解：∵CF=BE=2，∴AE=AB−BE=16−2=14，在Rt△ADF与Rt△ADE中，{DE=DFAD=AD，∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL)，∴AF=AE=14，∴AC=AF−CF=14−2=12.【解析】(1)连接BD，根据垂直平分线性质可得BD=CD，可证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得BE= CF；(2)求出AE=14，证明Rt△ADF≌Rt△ADE(HL)，得出AF=AE=14，则可得出答案．本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质．证明Rt△DCF≌Rt△DBE是解题的关键．21.【答案】解：(1)∵a2+b2−2ab=(a−b)2≥0，∴a2+b2≥2ab；(2)由(1)的结论可知，a2+1a2≥2a⋅1a，即a2+1a2≥2，∴a2+1a2+3≥2+3=5，故a2+1a2+3的最小值是5；(3)∵A−B=6(m2−m)+4−[5m2−2(2m−1)]=6m2−6m+4−(5m2−4m+2)=6m2−6m+4−5m2+4m−2=m2−2m+2=(m−1)2+1≥1>0，∴A>B.【解析】(1)直接利用作差法，再配方，然后利用非负数的性质得出结论即可；(2)利用(1)的结论得出答案即可；(3)直接利用作差法，再配方，然后利用非负数的性质得出结论即可．此题考查了配方法的运用，非负数的性质，作差法是比较两个式子大小常用的方法，掌握完全平方公式是解决问题的关键．22.【答案】(1)证明：连接DE，在Rt△ADB中，点E是AB的中点，∴DE=12AB=AE，∵CD=AE，∴DE=DC，又DG⊥CE，∴CG=EG.(2)解：作EF⊥BC于F，∵BC=13，CD=5，∴BD=13−5=8，∵DE=BE，EF⊥BC，∴DF=BF=4，∴EF=√DE2−DF2=√52−42=3，∴△BEC的面积=12×CB×EF=12×13×3=392.【解析】(1)连接DE，根据直角三角形的性质得到DE=12AB=AE，根据等腰三角形的性质证明结论；(2)作EF⊥BC于F，根据题意求出BD，根据等腰三角形的性质求出DF，根据勾股定理求出EF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．23.【答案】解：(1)如图1，∵∠C=90∘，AB=5cm，BC=3cm，∴AC=4cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，∴出发2秒后，则CP=2，∴AP=4−2=2cm，由勾股定理得：PB=√22+32=√13，∴△ABP的周长为：AP+AB+PB=2+5+√13=7+√13；(2)①如图2，若P在边AC上时，BC=CP=3cm，此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；②若P在AB边上时，有三种情况：i)如图3，若使BP=CB=3cm，此时AP=2cm，P运动的路程为2+4=6cm，所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；ii)如图4，若CP=BC=3cm，作CD⊥AB于点D，∵S△ACB=12AC⋅BC=12AB⋅CD，∴12×3×4=5CD，∴CD=2.4cm，在Rt△PCD中，PD=√PC2−CD2=√32−2.42=1.8，所以BP=2PD=3.6cm，所以P运动的路程为9−3.6=5.4cm，则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；iii)如图5，若BP=PC，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5=6.5cm，则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；综上所述，当t为3或5.4或6或6.5时，△BCP为等腰三角形；(3)分两种情况：①当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=4+5−2t=9−2t，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t+9−2t+3=6，∴t=6(不符合题意，舍)；②当P点在AB上，Q在BC上，则AC+AP=t，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴2t−t=6，∴t=6(此时Q在C处)，∴当t为6时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．【解析】(1)求出AC的长，再根据t=2时，可得PC=2cm，则AP=2cm，根据勾股定理计算PB的长，最后将△ABP三边相加可得其周长；(2)分四种情形：如图2，当CP=CB时，△BCP为等腰三角，如图3，当BP=BC=3cm时，△BCP 为等腰三角形，如图4，若点P在AB上，CP=CB=3cm，如图5，当PC=PB时，分别求解即可；(3)分两种情况讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=9−2t，t+2t−3+3=6；当P点在AB上，Q在AC上，则AC+AP=t，2t−t=6，分别求得t的值即可．本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．解题时注意，需要作辅助线构造直角三角形．。

浙江省杭州市观成教育集团2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含解析)

浙江省杭州市观成教育集团2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含解析)

2022-2023学年浙江省杭州市观成教育集团八年级（上）期中数学试卷一.选择题：本大题有10个小题，每小四3分共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．以下数学表达式：①4x+3y＞0；②x＝3；③x2+xy+y2；④x≠5．其中不等式有（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．若a＜b，则下列结论不正确的是（）A．a+4＜b+4B．a﹣3＜b﹣3C．﹣2a＞﹣2b D．4．若三角形三个角的度数比为3：3：4，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，AB＝5，BD＝1，则CF 的长度为（）A．2B．2.5C．4D．56．点P（m+3，m+1）在y轴上，则P点坐标为（）A．（0，﹣2）B．（0，﹣4）C．（4，0）D．（2，0）7．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F，若DE＝2，AC＝4，则△ADC的面积是（）A．4B．6C．8D．108．如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝2，BC＝3，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，延长EG交CD于点F处，则线段FG的长为（）A．B．C．D．19．如图所示，已知△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（）A．9B．35C．45D．无法计算10．已知等边ABC中，在射线BA上有一点D，连接CD，以CD为边向上作等边△CDE，连接BE和AE，下列结论：①∠BAE＝120°；②当D在线段AB或BA延长线上时，总有∠BED﹣∠AED＝∠BDC．下列说法正确的是（）A．①②都对B．①②都错C．①错，②对D．①对，②错二.填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分11．已知命题：等边三角形的各个内角都等于60．这个命题的逆命题是．12．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）在第象限；点P到x轴的距离是．13．满足不等式2（2x﹣4）＞﹣3x+6的最小整数是．14．①若ab＞0，则a＞0，b＞0；②一个角的补角大于这个角；③两直线平行，同位角相等；④有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；⑤点P坐标为（﹣2，6），将其先向右平移6个单位，再向下平移8个单位，得到点P1，坐标为（4，﹣2）．其中是真命题的有．15．已知△ABC中有一个内角是30°，AB＝AC，AB边上的中垂线交直线BC于点D，连结AD，则∠DAC＝．三.解答题：本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分）如图，已知∠a，∠β，线段a．用尺规求作（保留作图痕迹）：（1）△ABC，使∠A＝∠a，∠B＝∠B，AB＝a．（2）作△ABC中线段AB的垂直平分线．18．（8分）解不等式（组）：（1）解不等式：5x﹣5＜2（2+x）．（2）解不等式组，并在数轴上表示该不等式组的解集．19．（8分）如图，A，B，D依次在同一条直线上，∠A＝∠D＝∠CBE＝Rt∠，AC＝BD．（1）求证：CB＝BE．（2）若AC＝2，AD＝6，求CE的长．20．（10分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标：A1（，）；（2）求△ABC的面积；（3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使P A+PB的值最小，请直接写出点P的坐标：P（，）．21．（10分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，E是AC上一点，D是BC 延长线上一点，连结AD．（1）若AD＝BE．求证：∠CBE＝∠CAD．（2）若BC＝2，△ABD是等腰三角形，求CD的长．22．（12分）随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表：甲乙成本12元/只4元/只售价18元/只6元/只（1）若该公司三月份的利润为100万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？（利润＝售价﹣成本）（2）如果该公司四月份投入成本不超过216万元，该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩多少万只？（3）某学校到该公司购买乙型口罩有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打9折：方案二：购买168元会员卡后，乙型口罩一律8折，请帮学校设计出合适的购买方案．23．（12分）已知△ABC中，∠B＝60°，点D是AB边上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点B，将△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点．（1）如图1，当点F恰好落在BC边上，求证：△BDF是等边三角形；（2）如图2，当点F恰好落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF＝EF，求∠A的大小：（3）如图3，当点F恰好落在△ABC外，DF交BC于点G，连接BF，若BF⊥AB，AB ＝9，求BG的长．2022-2023学年浙江省杭州市观成教育集团八年级（上）期中数学试卷（参考答案与详解）一.选择题：本大题有10个小题，每小四3分共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，B、C、D选项中的图形都不是轴对称图形．故选：A．2．以下数学表达式：①4x+3y＞0；②x＝3；③x2+xy+y2；④x≠5．其中不等式有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据不等式的定义逐个判断即可．【解答】解：4x+3y＞0和x≠5是不等式，x＝3和x2+xy+y2不是不等式，即不等式有2个，故选：C．3．若a＜b，则下列结论不正确的是（）A．a+4＜b+4B．a﹣3＜b﹣3C．﹣2a＞﹣2b D．【分析】由不等式的性质解答即可．【解答】解：A、∵a＜b，∴a+4＜b+4，故本选项不符合题意；B、∵a＜b，∴a﹣3＜b﹣3，故本选项不符合题意；C、∵a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，故本选项不符合题意；D、∵a＜b，∴a＜b，故本选项符合题意；故选：D．4．若三角形三个角的度数比为3：3：4，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定【分析】设其三个内角分别是3k°、3k°、4k°，根据三角形的内角和是180°，列方程即可求得三个内角的度数，然后根据角的度数判断三角形的形状．【解答】解：设其三个内角分别是3k°、3k°、4k°（k≠0），根据三角形的内角和定理得：3k+3k+4k＝180，解得k＝18．则3k°＝54°，3k°＝54°，4k°＝72°．则该三角形是锐角三角形．故选：A．5．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，AB＝5，BD＝1，则CF 的长度为（）A．2B．2.5C．4D．5【分析】由FC∥AB，得∠F＝∠ADE，∠FCE＝∠A，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△CFE≌△ADE，则CF＝AD＝AB﹣BD＝4．【解答】解：∵FC∥AB，∴∠F＝∠ADE，∠FCE＝∠A，在△CFE和△ADE中，，∴△CFE≌△ADE（AAS），∴CF＝AD，∵AB＝5，BD＝1，∴AD＝AB﹣BD＝5﹣1＝4，∴CF＝4，∴CF的长度为4，故选：C．6．点P（m+3，m+1）在y轴上，则P点坐标为（）A．（0，﹣2）B．（0，﹣4）C．（4，0）D．（2，0）【分析】根据y轴上的点横坐标为0可得m+3＝0，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵点P（m+3，m+1）在y轴上，∴m+3＝0，∴m＝﹣3，当m＝﹣3时，m+1＝﹣2，∴P点坐标为（0，﹣2），故选：A．7．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F，若DE＝2，AC＝4，则△ADC的面积是（）A．4B．6C．8D．10【分析】先根据角平分线的性质得到DF＝DE＝2，再利用三角形面积公式即可求解．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE，∵DE＝2，∴DF＝2，∴S△ADC＝AC×DF＝×4×2＝4，故选：A．8．如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝2，BC＝3，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，延长EG交CD于点F处，则线段FG的长为（）A．B．C．D．1【分析】由将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，可得∠BEC＝∠GEC，GE＝BE ＝2，CG＝BC＝3，CF＝EF，设FG＝x，则CF＝EF＝x+2，根据勾股定理可得x2+32＝（x+2）2，即可解得答案．【解答】解：∵将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，∴∠BEC＝∠GEC，GE＝BE＝2，CG＝BC＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠BEC＝∠FCE，∴∠GEC＝∠FCE，∴CF＝EF，设FG＝x，则CF＝EF＝x+2，在Rt△CFG中，FG2+CG2＝CF2，∴x2+32＝（x+2）2，解得x＝，∴FG＝，故选：A．9．如图所示，已知△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（）A．9B．35C．45D．无法计算【分析】在RT△ABD及ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．【解答】解：在RT△ABD和RT△ADC中，BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2+MD2＝AB2﹣AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2﹣AD2+MD2，∴MC2﹣MB2＝（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2）＝AC2﹣AB2＝45．故选：C．10．已知等边ABC中，在射线BA上有一点D，连接CD，以CD为边向上作等边△CDE，连接BE和AE，下列结论：①∠BAE＝120°；②当D在线段AB或BA延长线上时，总有∠BED﹣∠AED＝∠BDC．下列说法正确的是（）A．①②都对B．①②都错C．①错，②对D．①对，②错【分析】利用△BCD≌△ACE（SAS），可以证明①②错误．【解答】解：如图，设CD交AE于O．∵△ABC，△CED都是等边三角形，∴CB＝CA，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE，∠BDC＝∠AEC，∵∠EOC＝∠DOA，∴∠OAD＝∠OCE＝60°，∴AE与AB的夹角为60°，∵∠ABE＜60°，∴∠BAE＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＞120°，故①错误，∵∠BED﹣∠AED＝∠AEB＜∠AEC，∠AEC＝∠BDC，∴∠BED﹣∠AED＜∠BDC，故②错误，故选：B．二.填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分11．已知命题：等边三角形的各个内角都等于60．这个命题的逆命题是三个角都是60°的三角形是等边三角形．【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据等边三角形的判定定理判断即可．【解答】解：命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是“三个角都是60°的三角形是等边三角形”，故答案为：三个角都是60°的三角形是等边三角形．12．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）在第二象限；点P到x轴的距离是2．【分析】直接利用点的坐标特点、横纵坐标的意义得出答案．【解答】解：∵点P（﹣3，2），横坐标为负数，纵坐标为正数，∴点P（﹣3，2）在第二象限；点P到x轴的距离是2．故答案为：二，2．13．满足不等式2（2x﹣4）＞﹣3x+6的最小整数是3．【分析】首先解不等式2（2x﹣4）＞﹣3x+6，求得解集，即可确定不等式的最小整数解．【解答】解：2（2x﹣4）＞﹣3x+6，去括号得：4x﹣8＞﹣3x+6，移项得：4x+3x＞6+8，合并得；7x＞14，解得：x＞2，则最小的整数是3．故答案为：3．14．①若ab＞0，则a＞0，b＞0；②一个角的补角大于这个角；③两直线平行，同位角相等；④有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；⑤点P坐标为（﹣2，6），将其先向右平移6个单位，再向下平移8个单位，得到点P1，坐标为（4，﹣2）．其中是真命题的有③⑤．【分析】利用实数的性质、补角的定义、平行线的性质、全等三角形的判定方法及点的坐标平移规律等知识分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①若ab＞0，则a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，故原命题错误，是假命题，不符合题意；②一个角的补角不一定大于这个角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；③两直线平行，同位角相等，正确，是真命题，符合题意；④有两边及其夹对角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；⑤点P坐标为（﹣2，6），将其先向右平移6个单位，再向下平移8个单位，得到点P1，坐标为（4，﹣2），正确，是真命题，符合题意．真命题有③⑤，故答案为：③⑤．15．已知△ABC中有一个内角是30°，AB＝AC，AB边上的中垂线交直线BC于点D，连结AD，则∠DAC＝90°或45°．【分析】分30°是底角和30°的角是顶角两种情况讨论，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可求解．【解答】解：∠B＝30°是底角，如图1：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝30°，∵AB边上的中垂线交直线BC于点D，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝30°+30°＝60°，∴∠DAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°；∠BAC＝30°的角是顶角，如图2：∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∵AB边上的中垂线交直线BC于点D，∴∠BED＝∠AED＝90°﹣75°＝15°，∴∠ADC＝15°+15°＝30°，∴∠DAC＝75°﹣30°＝45°．故∠DAC＝90°或45°．故答案为：90°或45°．三.解答题：本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（6分）如图，已知∠a，∠β，线段a．用尺规求作（保留作图痕迹）：（1）△ABC，使∠A＝∠a，∠B＝∠B，AB＝a．（2）作△ABC中线段AB的垂直平分线．【分析】（1）先作线段AB＝a，再以点A为顶点作一个角等于∠α，以点B为顶点作一个角等于∠β，两角的交于点C，从而得出答案；（2）根据线段中垂线的尺规作图求解即可．【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求．（2）如图所示，直线m即为所求．18．（8分）解不等式（组）：（1）解不等式：5x﹣5＜2（2+x）．（2）解不等式组，并在数轴上表示该不等式组的解集．【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：（1）∵5x﹣5＜2（2+x），∴5x﹣5＜4+2x，5x﹣2x＜4+5，3x＜9，∴x＜3；（2）解不等式①，得：x＜3，解不等式②，得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜3，将解集表示在数轴上如下：19．（8分）如图，A，B，D依次在同一条直线上，∠A＝∠D＝∠CBE＝Rt∠，AC＝BD．（1）求证：CB＝BE．（2）若AC＝2，AD＝6，求CE的长．【分析】（1）由∠A＝∠D＝∠CBE＝90°，得∠ACB＝∠DBE＝90°﹣∠ABC，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ACB≌△DBE，得CB＝BE；（2）AC＝BD＝2，AD＝6，得AB＝4，即可根据勾股定理求得CB2＝BE2＝20，则CE＝＝2．【解答】（1）证明：∵∠A＝∠D＝∠CBE＝90°，∴∠ACB＝∠DBE＝90°﹣∠ABC，在△ACB和△DBE中，，∴△ACB≌△DBE（ASA），∴CB＝BE．（2）∵AC＝BD＝2，AD＝6，∴AB＝AD﹣BD＝6﹣2＝4，∴CB2＝AC2+AB2＝22+42＝20，∴CB2＝BE2＝20，∴CE＝＝＝2，∴CE的长为2．20．（10分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标：A1（2，﹣4）；（2）求△ABC的面积；（3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使P A+PB的值最小，请直接写出点P的坐标：P（0，2）．【分析】（1）根据轴对称的性质，即可画出△A1B1C1；（2）利用△ABC所在的矩形面积减去周围三个三角形面积即可；（3）作点A关于y轴的对称点A'，连接A'B交y轴于P，从而解决问题．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（2，﹣4），故答案为：2，﹣4；（2）△ABC的面积＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝；（3）如图所示，点P即为所求，P（0，2），故答案为：0，2．21．（10分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，E是AC上一点，D是BC 延长线上一点，连结AD．（1）若AD＝BE．求证：∠CBE＝∠CAD．（2）若BC＝2，△ABD是等腰三角形，求CD的长．【分析】（1）根据HL证明△BCE≌△ACD，可得结论；（2）分两种情形：①AB＝AD，②BD＝AB，分别求解即可．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝CB，∠ACB＝90°，在Rt△BCE和△ACD中，，∴Rt△BCE≌Rt△ACD（HL），∴∠CBE＝∠CAD．（2）解：①当AB＝AD时，∵AC⊥BD，∴CD＝BC＝2．②当BD＝BA时，设CD＝x，∵AB＝BC，∴2+x＝2，∴x＝2﹣2，综上所述，CD的长为2或2﹣2．22．（12分）随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表：甲乙成本12元/只4元/只售价18元/只6元/只（1）若该公司三月份的利润为100万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？（利润＝售价﹣成本）（2）如果该公司四月份投入成本不超过216万元，该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩多少万只？（3）某学校到该公司购买乙型口罩有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打9折：方案二：购买168元会员卡后，乙型口罩一律8折，请帮学校设计出合适的购买方案．【分析】（1）设生产甲型口罩x万只，乙型口罩y万只，结合该公司三月份生产两种口罩20万只，且该公司三月份的利润为100万元，列出二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设生产甲型口罩m万只，则生产乙型口罩（20﹣m）万只，根据该公司四月份投入成本不超过216万元，列出一元一次不等式，解之即可解决问题；（3）设购买乙型口罩a只，则选择方案一所需费用为5.4a元，选项方案二所需费用为（168+4.8a）元，分5.4a＜168+4.8a，5.4a＝168+4.8a及5.4a＞168+4.8a三种情况，可求出a的取值范围（或a的值），进而可得出：当购买数量少于280只时，选项方案一购买更实惠；当购买数量等于280只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于280只时，选择方案二购买更实惠．【解答】解：（1）设生产甲型口罩x万只，乙型口罩y万只，依题意得：，解得：，答：生产甲型口罩15万只，乙型口罩5万只．（2）设生产甲型口罩m万只，则生产乙型口罩（20﹣m）万只，依题意得：12m+4（20﹣m）≤216，解得：m≤17．答：该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩17万只；（3）设购买乙型口罩a只，则选择方案一所需费用为6×0.9a＝5.4a（元），选项方案二所需费用为168+6×0.8a＝（168+4.8a）（元）．当5.4a＜168+4.8a时，a＜280；当5.4a＝168+4.8a时，a＝280；当5.4a＞168+4.8a时，a＞280．答：当购买数量少于280只时，选项方案一购买更实惠；当购买数量等于280只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于280只时，选择方案二购买更实惠．23．（12分）已知△ABC中，∠B＝60°，点D是AB边上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点B，将△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点．（1）如图1，当点F恰好落在BC边上，求证：△BDF是等边三角形；（2）如图2，当点F恰好落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF＝EF，求∠A的大小：（3）如图3，当点F恰好落在△ABC外，DF交BC于点G，连接BF，若BF⊥AB，AB ＝9，求BG的长．【分析】（1）利用平行线的性质得出∠ADE＝60°，再利用翻折变换的性质得出∠ADE ＝∠EDF＝60°，进而得出∠BDF＝60°，即可得出结论；（2）由折叠的性质得出∠ADE＝∠FDE＝60°，∠A＝∠DFE，得出∠ADC＝120°，由等腰三角形的性质得出∠FEC＝∠FCE，设∠FEC＝∠FCE＝x，由三角形的外角性质得出∠A＝∠DFE＝∠FEC+∠FCE＝2x，在△ADC中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可；（3）同（1）得出△BDG是等边三角形，∠ADE＝∠B＝60°，得出BG＝BD，由折叠的性质得出AD＝FD，由直角三角形的性质得出FD＝2BD，得出AD＝2BD，由已知得出2BD+BD＝9，求出BD＝3，即可得出BG＝BD＝3．【解答】（1）证明：如图1，∵∠B＝60°，DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∵△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点，∴∠ADE＝∠FDE＝60°，∴∠BDF＝60°，∴∠DFB＝60°＝∠B＝∠BDF，∴△BDF是等边三角形；（2）解：∵∠B＝60°，DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∵△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点，∴∠ADE＝∠FDE＝60°，∠A＝∠DFE，∴∠ADC＝120°，∵CF＝EF，∴∠FEC＝∠FCE，设∠FEC＝∠FCE＝x，则∠A＝∠DFE＝∠FEC+∠FCE＝2x，在△ADC中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即2x+x+120°＝180°，解得：x＝20°，∴∠A＝2x＝40°；（3）解：同（1）得：∠BDF＝60°，△BDG是等边三角形，∠ADE＝∠B＝60°，∴BG＝BD，由折叠的性质得：AD＝FD，∵BF⊥AB，∴∠BFD＝90°﹣60°＝30°，∴FD＝2BD，∴AD＝2BD，∵AD+BD＝AB，∴2BD+BD＝9，∴BD＝3，∴BG＝BD＝3．。

浙江省杭州市西湖区保俶塔教育集团2023-2024学年上学期八年级期中数学试卷(解析版)

浙江省杭州市西湖区保俶塔教育集团2023-2024学年上学期八年级期中数学试卷(解析版)

杭州市保椒塔教育集团2023学年第一学期期中质量检数学试题卷满分120分，考试时间120分钟一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是正确，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1.下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：A ．是轴对称图形，故本选项符合题意；B ．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C ．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D ．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念是基础，找到对称轴是关键．2.如果三角形两边长分别是6厘米、8厘米，那么第三边长可能是（）A.16厘米B.14厘米C.10厘米D.2厘米【答案】C【解析】【分析】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．设此三角形第三边的长为x ，根据三角形的三边关系求出x 的取值范围，找出符合条件的x 的值即可．【详解】解：设此三角形第三边的长为x ，则8686x -<<+，即214x <<，四个选项中只有10符合条件．故选：C ．3.一元一次不等式x +1＞2的解在数轴上表示为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【详解】解：x +1＞2，得：x ＞1，在数轴上表示为：故选A ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式的解集是解此题的关键．4.下列语句中，是真命题的是（）A.已知24a =，求a 的值B.面积相等的两个三角形全等C.对顶角相等D.若a b >，则22a b >【答案】C【解析】A 不是命题；证明假命题的方法是举反例，对B ，D 假命题须举反例说明．【详解】A ．已知24a =，求a 的值，不是判断语句，不是命题；B ．面积相等的两个三角形全等，例如Rt ABC △和Rt DEF △，90BAC EDF ∠=∠=︒，4AB AC ==，8DE =，2DF =，∵1144822ABC S AB AC =⋅=⨯⨯= ，1182822DEF S DE DF =⋅=⨯⨯= ，∴ABC DEF S S = ，∵AB DE ≠，AC DF ≠，∴ABC 与DEF 不全等，∴原命题是假命题；C ．对顶角相等，是真命题；D ．若a b >，则22a b >，设1a =-，2b =-，∴a b >，∵()2211a =-=，()2224b =-=，∴14<，∴22a b <，∴原命题是假命题．故选：C ．【点睛】本题主要考查了命题的判断，解决问题的关键是熟练掌握用举反例的方法说明假命题．此方法注意所举例子的题设符合原命题题设，例子的结论不符合原命题．5.如图，CD AB ⊥于点D ，EF AB ⊥于点F ，CD EF =．要根据“HL ”证明Rt Rt ACD BEF ≌ ，则还需要添加的条件是（）A.A B∠=∠ B.AC BE = C.AD BE = D.AD BF=【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断即可．【详解】解：∵CD AB ⊥于点D ，EF AB ⊥于点F ，∴90ADC BFE ∠=∠=︒，∵CD EF =，∴当添加AC BE =时，根据“HL ”即可判断Rt Rt ACD BEF ≌ ．故选：B ．【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解答本题的关键．6.已知图中的两个三角形全等，则α∠的度数是（）A.72︒B.60︒C.58︒D.50︒【答案】A【解析】【分析】根据全等三角形对应角相等，即可解答．【详解】解：∵图中的两个三角形全等，∴72α∠=︒，故选：A ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形对应角相等．7.若实数m 、n 满足等式02m +=-，且m 、n 恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长是（）A.6B.6或8C.8或10D.10【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形三边关系，绝对值的非负性以及平方的非负性．据此求得m 、n 的值，再根据m 或n 作为腰，进行分类求解．【详解】解：∵02m =-∴20m -=，40n -=，解得2m =，4n =，当2m =作腰时，三边为2，2，4，此时224+=，不符合三边关系定理；当4n =作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为∶24410++=．故选：D8.把一些书分给同学，设每个同学分x 本．若____；若分给11个同学，则书有剩余．可列不等式8（x +6）＞11x ，则横线的信息可以是（）A.分给8个同学，则剩余6本B.分给6个同学，则剩余8本C.如果分给8个同学，则每人可多分6本D.如果分给6个同学，则每人可多分8本【答案】C【解析】【分析】根据代数式8（x +6）的意义，结合题意，根据不等式表示的意义解答即可．【详解】解：设每个同学分x 本，8（x +6）的意义为如果分给8个同学，则每人可多分6本，由不等式8（x +6）＞11x ,可得：把一些书分给几名同学，如果分给8个同学，则每人可多分6本；若每人分11本，则有剩余．故选C ．【点睛】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的不等关系．9.如图，过边长为3的等边ABC 的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，且CQ PA =，连接PQ 交AC 于点D ，则DE 的长为（）A.1B.32C.2D.52【答案】B【解析】【分析】作PF BC 交AC 于点F ，利用等边三角形的性质和三线合一可得APF 是等边三角形、PE 是APF 的中线，则有12AE EF AF ==、PA PF AF CQ ===，根据60AFP ACB ∠=∠=︒可得120PFD QCD ∠=∠=︒，又FDP CDQ ∠=∠可判定PFD QCD ≌△△，则322AC AF AF DF DC --===，代入DE DF EF =+即可求解．【详解】作PF BC 交AC 于点F ，ABC 是等边三角形，60A ABC ACB ∴∠=∠=∠=︒，PF BC ∥，60APF ABC ACB AFP ∴∠=∠=︒=∠=∠，APF ∴△是等边三角形，PA PF AF ∴==，又PE AC ⊥ ，PE ∴是APF 的中线，12AE EF AF ∴==，CQ PA = ，PF PA CQ ∴==，60AFP ACB ∠=∠=︒ ，120PFD QCD ∴∠=∠=︒，在PFD 和QCD 中，FDP CDQ PFD QCD PF QC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PFD QCD AAS ∴ ≌，322AC AF AF DF DC --∴===，33222AF AF DE DF EF -∴=+=+=．故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的性质与判定、三线合一、全等三角形的性质与判定，解题关键是利用辅助线构造等边三角形，利用等边三角形的性质判定全等后求DE 的长．10.如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥于点E ，180ADC ABC ∠+∠=︒，有下列结论：①CD CB =；③2AD AB AE +=；③ACD BCE ∠=∠；④2ABC ADC BEC S S S -= ．其中正确的是（）A.②B.①②③C.①②④D.①②③④【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一，需要熟练掌握全等三角形的判定与性质，此外找出线段之间的和差关系是解决本题的关键．在EA 上截取EF BE =，连接CF ，根据“AC 平分BAD ∠”和“180ADC ABC ∠+∠=︒”证明出ACD ACF ≌ ，故选项①正确；由①可知，AD AF =，再根据线段间的和差关系可得：2AD AB AE +=，由三角形面积公式及等量代换可得2ABC ADC BEC S S S -= ，故选项②④正确．【详解】在EA 上截取EF BE =，连接CF，∵CE AB ⊥，∴CF CB =，BEC FEC S S = ，∴CFB B ∠=∠，∵180AFC CFB ∠+∠=︒，180ADC ABC ∠+∠=︒，∴D AFC ∠=∠，∵AC 平分BAD ∠，即DAC FAC ∠=∠，在ACD 和ACF △中，D AFC DAC FAC AC AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴()AAS ACD ACF ≌，∴CD CF =，∴CD CB =，故①正确；∵ACD ACF ≌，∴AD AF =，∴2AD AB AF AE BE AF EF AE AE AE AE +=++=++=+=，故②正确；根据已知条件无法证明ACD BCE ∠=∠，故③错误；∵ACD ACF ≌ ，∴ACD ACF S S =△△，∴2ABC ADC ABC ACF CFB BEC S S S S S S -=-== ，即2ABC ADC BEC S S S -= ，故④正确．其中正确的是①②④．故选：C ．二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和需要填写的内容，尽量完整地填写答案．11.“x 与7的和大于2”用不等式表示为________．【答案】72x +>【解析】【分析】本题主要考查了列不等式，x 与7的和即为7x +，则x 与7的和大于2即为72x +>．【详解】解：由题意得，“x 与7的和大于2”用不等式表示为72x +>，故答案为：72x +>．12.命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是___________．【答案】“两个角相等的三角形是等腰三角形”【解析】【分析】逆命题就是原命题的题设和结论互换，找到原命题的题设为等腰三角形，结论为两个角相等，互换即可．【详解】解：命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形”，故答案为：“两个角相等的三角形是等腰三角形”．【点睛】本题考查逆命题的概念，解决本题的关键是熟练掌握逆命题的概念，知道题设和结论互换．13.如图，在ABC 中，65B ∠=︒，30C ∠=︒，分别以点A 和点C 为圆心，大于12画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，连接AD ，则BAD ∠的度数为_________．【答案】55︒##55度【解析】【分析】本题考查的是作图-基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理求出BAC ∠的度数，再由线段垂直平分线的性质得出C CAD ∠=∠，进而可得出结论．【详解】解：∵在ABC 中，65B ∠=︒，30C ∠=︒，∴180653085BAC ∠=︒-︒-︒=︒，∵直线MN 是线段AC 的垂直平分线，∴30C CAD ∠=∠=︒，∴853055BAD BAC CAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：55︒．14.如图，已知ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，4AB =，将ABC 沿直线AB 平移到DEF 的位置，当D 恰好是AB =_________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查的是平移的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定和性质，熟练运用以上知识是解题的关键．先求解4,2,AB DF AD BD BF BF ======再证明,EB DF ⊥再利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，连接,BE 由平移的性质可得：4AB DF ==，90ACB DEF ∠=∠=︒，AC BC DE FE ===，D 为AB 的中点，122AD BD BF AB ∴====，EB DF ⊥，又∵DE FE =，90DEF ∠=︒，∴45EDF EFD ∠=∠=︒，∴9045BED EDF ∠=-∠=︒2,EB BD ∴==AE ∴==故答案为：15.已知关于x 、y 的二元一次方程组2326x y k x y +=⎧⎨+=⎩（k 为常数）．（1）若该方程组的解x ，y 满足3x y +<，则k 的取值范围为________．（2）若该方程组的解x ，y 均为正整数，且3k <，则该方程组的解为_________．【答案】①.1k <②.22x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组，解题的关键是得出关于k 的不等式．（1）将方程组中的两个方程相加，即可得到用含k 的代数式表示出x y +，然后根据3x y +<，即可求得k 的取值范围(2)先用含k 的式子表示出方程组的解，再根据x ，y 均为正整数，且3k <，即可得到该方程组的解．【详解】解：（1）2326x y k x y +=⎧⎨+=⎩①②①+②，得3336x y k +=+，∴2x y k +=+，∵3x y +<，∴23k +<，∴1k <；故答案为：1k <；（2）由2326x y k x y +=⎧⎨+=⎩解得224x k y k =-⎧⎨=-+⎩，∵,x y 均为正整数，且3k <，∴当2k =时，2,2x y ==；当1k =时，0,3x y ==，不合题意，舍去；当1k <-时，220x k =-<，不符合题意，都舍去，由上可得，该方程组的解为22x y =⎧⎨=⎩．故答案为：22x y =⎧⎨=⎩．16.如图，折叠等腰三角形纸片ABC ，使点C 落在边AB 上的点F 处，折痕为DE ．（1）已知AB AC FD BC =⊥，，则AFE ∠=________度；（2）如果46AF BF ==，，则AE =________．【答案】①.90②.295【解析】【分析】本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及勾股定理、三角形内角和等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题．（1）由AB AC =，折叠等腰三角形纸片ABC ，使点C 落在边AB 上的点F 处，可得B E ∠=∠FD ，即得BDF AFE Ð=Ð，而FD BC ⊥，故90AFE ∠=︒；（2）根据4,6AF BF ==，得10AB AF BF =+==AC ，设AE x =，则10CE x =-，在Rt AFE 中，可列方程2224(10)x x +-=，即可解得AE ．【详解】（1）∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵折叠等腰三角形纸片ABC ，使点C 落在边AB 上的点F 处，,EFD C ∴∠=∠,B EFD ∴∠=∠180180,B EFD ∴︒-∠=︒-∠即,BDF BFD AFE BFD ∠+∠=∠+∠,BDF AFE ∴∠=∠,FD BC ⊥Q 90,BDF ∴∠=︒90,AFE ∴∠=︒故答案为:90;︒（2）4,6,AF BF ==Q 10,AB AF BF AC ∴=+==设,AE x =则10,CE x =-∵折叠等腰三角形纸片ABC ，使点C 落在边AB 上的点F 处，10,EF CE x ∴==-在Rt AFE 中，222AF EF AE +=，2224(10),x x ∴+-=解得295x =，29.5AE ∴=故答案为：295．三、全面答一答（本题有8个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤，如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17.解不等式（组）：（1）()75223x x -<+；（2）25462113x x x x -<-⎧⎪+⎨≥-⎪⎩．【答案】（1）9x <（2）142x <≤【解析】【分析】本题主要考查了一元一次不等式组，解一元一次不等式，按照步骤解题即可．（1）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答；（2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．【小问1详解】解：()75223x x -<+7546x x-<+7645x x -<+9x <【小问2详解】25462113x x x x -<-⎧⎪+⎨≥-⎪⎩解不等式2546x x -<-，得：12x >，解不等式2113x x +≥-，得4x ≤，∴原不等式组的解集为：142x <≤．18.已知：如图，AD 、BC 相交于点O ，OA OD =，AB CD ∥，求证：AB CD =．【答案】见解析【解析】【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质和平行线的性质，根据题意得A D B C ∠=∠∠=∠，，即可证明AOB DOC △△≌，即有结论成立．【详解】证明：∵AB CD ∥，∴A D B C ∠=∠∠=∠，，又∵OA OD =，∴()AOB DOC AAS ≌△△，∴AB CD =．19.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为3个平方单位的等腰三角形．（画一个即可）（2）请你在图2中画一条以格点为端点，长度为的线段．（画一条即可）（3）请你在图3为直角边的直角三角形．（画一个即可）【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．（1）以2为底，3为高构造等腰三角形即可；（2）根据勾股定理，构造直角边长度分别为1和3的直角三角形，斜边即为所求；（3）根据勾股定理以及勾股定理逆定理，即可解答．【小问1详解】解：如图所示：1,2332ABC AB AC S ==⨯⨯= ，即ABC 即为所求．【小问2详解】解：如图所示：DE ==，即DE 即为所求；【小问3详解】解：如图：FH FG ===GH ==，∵22220FH FG GH +==，∴FGH 为等腰直角三角形，即FGH 即为所求．20.如图，已知在ABC 中，高线AD ，BE 相交于点H ，点F 是BH 的中点，=45ABC ∠︒．（1）求证：BHD ADC ≌；（2）若5DF =，则求AC 的长度．【答案】（1）见解析；（2）10．【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，以及斜边上的中线等于斜边的一半的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．（1）由,AD BE 分别是BC 和AC 边上的高，证明ACD AHE ∠=∠，再证明ACD BHD ∠=∠，由90,45ADB ABC ∠=︒∠=︒，证明BD AD =，则可证明BHD ADC ≌；（2）由90ADB ∠=︒，点F 是BH 的中点，5DF =，则210BH FD ==，再由全等10AC BH ==．【小问1详解】证明：∵,AD BE 分别是BC 和AC 边上的高，∴AD BC ⊥，BE AC ⊥，∴90ADC AEH ∠=∠=︒，∴90CAD ACD AHE CAD ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACD AHE ∠=∠，∵AHE BHD ∠=∠，∴ACD BHD ∠=∠，∵90,45ADB ABC ∠=︒∠=︒，∴45ABD BAD ∠=∠=︒，∴BD AD =，在BDH △与ADC △中，90BDH ADC ∠=∠=︒，BHD ACD ∠=∠，BD AD =，∴()AAS BDH ADC ≌．【小问2详解】∵90ADB ∠=︒，点F 是BH 的中点，5DF =，∴210BH FD ==，∵BDH ADC△≌△∴10AC BH ==．21.如图，在ABC 中，AB AC D E =，，分别是AB BC ，的中点，连结AE ，在AE 上取点F ，使得EF AD =，延长DF 交AC 于点G ．（1）当60BAC ∠=︒时，求AGD ∠的度数．（2）设BAC a AGD β∠=∠=，，探究a β，之间的关系．【答案】（1）75︒；（2）1904βα=︒-．【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理是解题的关键．（1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得30,90BAE CAE AEB ∠=∠=︒∠=︒，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得ED AD =，从而可得30BAE AED ∠=∠=︒，然后利用等量代换可得EF ED =，从而利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得75DFE FDE ∠=∠=︒，再利用对顶角相等可得75AFG DFE ∠=∠=︒，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答；（2）先利用等腰三角形的三线合一性质可得1,902BAE CAE AEB α∠=∠=∠=︒，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得ED AD =，从而可得12BAE AED α∠=∠=，然后利用等量代换可得EF ED =，从而利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得1904DFE FDE α=︒-∠=∠，再利用对顶角相等可得1904AFG DFE α∠=∠=︒-，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答；．【小问1详解】如图，连接ED ，∵,60AB AC BAC =∠=︒，点E 是BC 的中点，∴130,902BAE CAE BAC AEB ∠=∠=∠=︒∠=︒，∵点D 是AB 的中点，1,2ED AD AB ∴==∴30BAE AED ∠=∠=︒，∵EF AD =，∴EF ED =，∴180752AED DFE FDE ︒-∠∠=∠==︒，∴75AFG DFE ∠=∠=︒，∴18075AGD CAE AFG ∠=︒-∠-∠=︒，∴AGD ∠的度数为75︒；【小问2详解】1904βα=︒-，理由：∵,AB AC BAC α=∠=，点E 是BC 的中点，∴11,9022BAE CAE BAC AEB α∠=∠=∠=∠=︒，∵点D 是AB 的中点，∴12ED AD AB ==，∴12BAE AED α∠=∠=，∵EF AD =，∴EF ED =，∴18019024AED DFE FDE α︒-∠∠=∠==︒-，∴1904AFG DFE α∠=∠=︒-，∴1180180(92AGD CAE AFG α∠=︒-∠-∠=︒--104α⎫︒-⎪⎭，∴11118090244βααα⎛⎫=︒--︒-=︒- ⎪⎝⎭，即1904βα=︒-，22.为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B 处测得河北岸的树A 恰好在B 的正北方向，测量方案如下表：课题测量河流宽度工具测量角度的仪器，标杆，皮尺等小组第一小组第二小组第三小组测观测者从B 点向东走到C 点，此时观测者从B 点向东走到O 点，在观测者从B 点出发，沿着南偏量方案恰好测得45ACB ∠=︒.O 点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达C 点后，一直向南走到点D ，使得树、标杆、人在同一直线上.西80︒的方向走到点C ，此时恰好测得40ACB ∠=︒.测量示意图（1）第一小组认为要知道河宽AB ，只需要知道线段________的长度．（2）第二小组认为只要测得CD 就能得到河宽AB ，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由（3）第三小组测得35BC =米，请你帮他们求出河宽AB ．【答案】（1）BC（2）可行，证明见解析（3）35米【解析】【分析】（1）根据题意可得ABC 是等腰直角三角形，即可求解；（2）根据角边角，证明AOB DOC △≌△，根据全等三角形的性质即可得出结论；（3）根据方位角可得80DBC ∠=︒，根据三角形外角的性质，可得40A ∠=︒，继而根据等角对等边即可求解．【小问1详解】解：依题意，ABC 是等腰直角三角形，∴AB BC =,故答案为：BC ；【小问2详解】可行，理由如下，证明：在AOB 与DOC △中，ABO DCO BO CO AOB DOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AOB DOC △≌△，∴CD AB =，∴只要测得CD 就能得到河宽AB ；【小问3详解】解：∵80DBC ∠=︒，40ACB ∠=︒，∴40A ∠=︒，∴A ACB ∠=∠，∴BC AB =，∵35BC =米，∴35AB =米．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，方位角，综合运用以上知识是解题的关键．23.如图，已知在ABC 中，90B Ð=°，10AC =，6BC =，若动点P 从点B 开始，按B A C B →→→的路径运动，且速度为每秒2t秒．（1）出发2秒后，求CP 的长．（2）出发几秒钟后，BCP 的面积等于18？（3）当t 为何值时，BCP 为等腰三角形？（直接写出答案）【答案】（1）（2）3t =或214（3）3t =或5.4或6或6.5【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AC ，根据题意求出BP ，再根据勾股定理计算，得到答案；（2）①当P 在AB 上时，设t 秒后，BCP 的面积等于18，可得1182BC BP ⨯= ，②当P 在AC 时，如图，由BCP ABC S CP S AC = ，可得：18=110682CP ⨯⨯，可得：7.5CP =，再求解时间t 即可；（3）①当P 在AB 上、6BP BC ==时，②当P 在AC 上、6CP CB ==时，4AP =，③当P 在AC 上，PC PB =时，如图，④当P 在AC 上，6BP BC ==时，如图，过点B 作BE AC ⊥于E ，则CE PE =，根据等腰三角形的性质、建立方程求解即可．【小问1详解】解：在ABC 中，90B Ð=°，10AC =，6BC =，∴8AB ==，∵P 从点B 开始，按B A C B →→→，且速度为2，∴出发2秒后，4BP =，由勾股定理得：PC ===【小问2详解】①当P 在AB 上时，设t 秒后，BCP 的面积等于18，∴1182BC BP ⨯= ，∴162182t ⨯⨯=，解得：3t =，②当P 在AC时，如图，由BCP ABC S CP S AC = ，可得：18=110682CP ⨯⨯，解得：7.5CP =，∴107.5 2.5AP =-=，∴8 2.510.5BA AP +=+=，∴10.52124t ==，综上：出发3秒钟或214秒钟后，BCP 的面积等于18；【小问3详解】①当P 在AB 上、6BP BC ==时，26t =，解得：3t =；②当P 在AC 上、6CP CB ==时，4AP =，则28412t =+=，解得：6t =；③当P 在AC 上，PC PB =时，如图，∴C PBC ∠=∠，∵90C A PBC PBA ∠+∠=︒=∠+∠，∴A PBA ∠=∠，∴PB PA =，∴5PB PA PC ===，∴8513BA AP +=+=，∴213t =，解得： 6.5t =；④当P 在AC 上，6BP BC ==时，如图，过点B 作BE AC ⊥于E ，则CE PE =，∵11681022ABC S BE =⨯⨯=⨯ ，∴解得： 4.8BE =，∴ 3.6CE ==，∴28107.2t =+-，解得： 5.4t =，综上可得：t =3或6或6.5或5.4时，BCP 为等腰三角形．【点睛】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的概念和性质，掌握等腰三角形的概念、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．24.如图，在等腰ABC 中，CAB CBA ∠=∠，作射线BC ，AD 是腰BC 的高线，E 是ABC 外射线BC 上一动点，连结AE ．（1）当4=AD ，5BC =时，求CD 的长；（2）当BC CE =时；求证：AE AB ⊥；（3）设ACD 的面积为1S ，ACE △的面积为2S ，且121825S S =，在点E 的运动过程中，是否存在ACE △为等腰三角形，若存在，求出相应的BE BC 的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）3；（2）见解析；（3）2或116．【解析】【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）证明CA CE CB ==，推出CEA CAE ∠=∠，CAB B ∠=∠，利用三角形内角和定理，可得结论；（3）由ACD S ：18ACE S = ：25，推出CD ：18CE =：25，设18CD k =，25CE k =，则7DE k =，接下来分情况讨论求解即可．【小问1详解】解：CAB B ∠=∠ ，5AC BC ∴==，AD BE ⊥ ，90ADC ∴∠=︒，3CD ∴===；【小问2详解】BC CE = ，AC CB =，AC CE CB ∴==，CEA CAE ∴∠=∠，CAB B ∠=∠，180AEC B EAB ∠+∠+∠=︒ ，22180AEB B ∴∠+∠=︒，90AEB B ∴∠+∠=︒，90EAB ∴∠=︒，AE AB ∴⊥；【小问3详解】ACD S ：18ACE S = ：25，CD ∴：18CE =：25，设18CD k =，25CE k =，则7DE k =，AD EC ⊥，DE CD ≠，AC AE ∴≠，当25CE CA k ==时，25BC CA k ==，50BE BC CE k ∴=+=，2BE BC=．当25AE EC k ==时，24AD k ===，30AC k ∴===，30BC AC k ∴==，55BE BC CE k ∴=+=，5511306BE k BC k ∴==，综上所述，满足条件的BE BC 的值为2或116．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积计算、等腰三角形的性质和判定，勾股定理,三角形的内角和定理的应用等知识，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．。

浙江省杭州市 八年级(上)期中数学试卷(含答案)

浙江省杭州市 八年级(上)期中数学试卷(含答案)

八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图案中，是轴对称图形的有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 42.下列语句是命题的是（）A. 作直线AB的垂线B. 在线段AB上取点CC. 同旁内角互补D. 垂线段最短吗？3.已知等腰△两条边的长分别是3和6，则它的周长是（）A. 12B. 15C. 12或15D. 15或184.如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD=OP，则△AOD与△AOP全等的理由是（）A. SSSB. ASAC. SSAD. HL5.若a＜b，则下列各式中一定成立的是（）A. a−1<b−1B. a3>b3C. −a<−bD. ac<bc6.下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（）A. 5B. 2C. 4D. 87.如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB、下列确定P点的方法正确的是（）A. P为∠A、∠B两角平分线的交点B. P为AC、AB两边上的高的交点C. P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点D. P为AC、AB两边的垂直平分线的交点8.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，下列结论：①∠ACD=∠B；②CH=CE=EF；③AC=AF；④CH=HD．其中正确的结论为（）A. ①②④B. ①②③C. ②③D. ①③9.△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A. 4.8B. 4.8或3.8C. 3.8D. 510.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（）A. 23B. 10C. 22D. 6二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.等腰三角形的一个外角等于130°，则顶角是______ ．12.写出“对顶角相等”的逆命题______ ．13.在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为______．14.不等式组x＞−1x＜m有3个整数解，则m的取值范围是______ ．15.如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=______．16.如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.解不等式1−7x−18＞3x−24，并把它的解集在数轴上表示出来．四、解答题（本大题共6小题，共60.0分）18.如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC＜BC．D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．19.如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．①求证：△ABE≌△CBD；②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．20.某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A、B两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？21.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．（2）若PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ，判断△PQC的形状并说明理由．22. 阅读下列材料：解答“已知x -y =2，且x ＞1，y ＜0，试确定x +y 的取值范围”有如下解法：解：∵x -y =2，x ＞1，∴y +2＞1，即y ＞-1，又y ＜0，∴-1＜y ＜0．…①同理得：1＜x ＜2．…②由①+②得-1+1＜y +x ＜0+2，∴x +y 的取值范围是0＜x +y ＜2．请按照上述方法，完成下列问题：已知关于x 、y 的方程组 x +2y =5a −82x−y =−1的解都为非负数．（1）求a 的取值范围；（2）已知2a -b =1，求a +b 的取值范围；（3）已知a -b =m （m 是大于1的常数），且b ≤1，求2a +b 最大值．（用含m 的代数式表示）23. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB =5cm ，BC =3cm ，若动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒1cm ，设出发的时间为t 秒．（1）出发2秒后，求△ABP 的周长．（2）问t 满足什么条件时，△BCP 为直角三角形？（3）另有一点Q ，从点C 开始，按C →B →A →C 的路径运动，且速度为每秒2cm ，若P 、Q 两点同时出发，当P 、Q 中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t 为何值时，直线PQ把△ABC 的周长分成相等的两部分？答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据轴对称图形的定义，可知第2个，第4个是轴对称图形，而第1个、第3个、第5个都不是轴对称图形．故选B．判断一个图形是否是轴对称图形，就是看是否可以存在一条直线，使得这个图形的一部分沿着这条直线折叠，能够和另一部分互相重合．本题考查轴对称图形的识别，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．2.【答案】C【解析】解：A、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；B、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；C、符合命题的定义，是命题；D、是一个问句，不符合命题的定义，不是命题．故选C．根据命题的定义作答．一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．一般说来，对于仸何一个命题，都可以加上“是”或“不是”，如C，可以说同旁内角是互补的．注意，作图语言与问句都不是命题．3.【答案】B【解析】解：①当腰为6时，三角形的周长为：6+6+3=15；②当腰为3时，3+3=6，三角形不成立；∴此等腰三角形的周长是15．故选B．由于等腰三角形的两边长分别是3和6，没有直接告诉哪一条是腰，哪一条是底边，所以有两种情况，分别利用三角形的三边关系与三角形周长的定义求解即可．本题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系，利用分类讨论思想求解是解答本题的关键．4.【答案】D【解析】解：∵OD⊥AB，OP⊥AC，∴△ADO和△APO是直角三角形，又∵OD=OP，AO=AO，∴Rt△AOD≌△Rt△AOP（HL）.故选D．根据直角三角形全等的判别方法HL可证△AOD≌△AOP．本题考查直角三角形全等的判定方法HL．5.【答案】A【解析】解：根据不等式的性质可得：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．A、a-1＜b-1，故A选项是正确的；B、a＞b，不成立，故B选项是错误的；C、a＞-b，不一定成立，故C选项是错误的；D、c的值不确定，故D选项是错误的．故选A．根据不等式的性质分析判断．主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．6.【答案】B【解析】解：A.5，∵5不是偶数，且也不是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案A错误；B.2，∵2不是4的倍数，∴可以用来说明命题“仸何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是2，故答案B正确；C.4，∵4是偶数，且是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案C错误；D.8，∵8是偶数，且也是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案D错误；故选：B．反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．此题主要考查了反证法的意义，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．7.【答案】C【解析】解：∵P到∠A的两边的距离相等，∴P为∠A的角平分线；∵PA=PB，∴P为AB的垂直平分线，∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．故选：C．首先根据P到∠A的两边的距离相等，应用角平分线的性质，可得P为∠A的角平分线；然后根据PA=PB，应用线段垂直平分线的性质，可得P为AB的垂直平分线，所以P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点，据此判断即可．此题主要考查了角平分线的性质的应用，以及线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握．8.【答案】B【解析】解：∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，∴∠ACD=∠B，故①正确；∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD，∴∠AEF=∠CHE，∴∠CEH=∠CHE，∴CH=CE=EF，故②正确；∵角平分线AE交CD于H，∴∠CAE=∠BAE，在△ACE和△AEF中，，∴△ACE≌△AFE（AAS），∴AC=AF，故③正确；CH=CE=EF＞HD，故④错误．故正确的结论为①②③．故选B．根据等角的余角相等可判断①；先判断CD∥EF，根据平行线的性质得出∠CEH=∠CHE，再由角平分线的性质可判断②；用AAS判定△ACE≌△AFE，可判断③；根据②，结合图形可判断④．本题考查了全等三角形的判定与性质及角平分线的性质，是一道综合性较强的题目，需要同学们把直角三角形的性质和三角形全等的判定等知识结合起来解答．9.【答案】A【解析】解：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴BF=4，∴△ABF中，AF==3，∴×8×3=×5×PD+×5×PE，12=×5×（PD+PE）PD+PE=4.8．故选：A．过A点作AF⊥BC于F，连结AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得S ABC=S ABP+S ACP，代入数值，解答出即可．本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．10.【答案】C【解析】解：∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB，∠ADE=∠BED=90°，又∵点G为AF的中点，∴DG=AG，∴∠GAD=∠GDA，∴∠CGD=2∠CAD，∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD，∴∠ACD=∠CGD，∴CD=DG=3，在Rt△CED中，DE==2．故选：C．根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解．综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=3．11.【答案】80°或50°【解析】解：当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，当50°为底角时，其他两角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角可以是50°，也可以是80°．故填50°或80°等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．12.【答案】相等的角是对顶角【解析】解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角．将原命题的条件及结论进行交换即可得到其逆命题．此题主要考查学生对命题及逆命题的理解及运用能力．13.【答案】4【解析】解：如右图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），∵CD=4，∴DE=4．故答案为：4．根据角平分线的性质定理，解答出即可；本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等．14.【答案】2＜m≤3【解析】解：不等式的整数解是0，1，2．则m的取值范围是2＜m≤3．故答案是：2＜m≤3．首先确定不等式组的整数解，然后根据只有这三个整数解即可确定．本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．15.【答案】9【解析】解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，…，∵∠BOC=9°，∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45°，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．由于n为整数，故n=9．故答案为：9．根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．16.【答案】2【解析】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=2，∠BAC=45°，∴BH=AB•sin45°=2×=，∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=．故答案为：．作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．17.【答案】解：去分母得，8-（7x-1）＞2（3x-2），去括号得，8-7x+1＞6x-4，移项得，-7x-6x＞-4-8-1，合并同类项得，-13x＞-13，系数化为1得，x＜1．在数轴上表示如下：【解析】根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错，去分母时没有分母的项也要乘以分母的最小公倍数．18.【答案】解：（1）如图所示：点D即为所求；（2）在Rt△ABC中，∠B=37°，∴∠CAB=53°，又∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=37°，∴∠CAD=53°-37°=16°．【解析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出D 点坐标即可；（2）利用线段垂直平分线的性质得出，∠BAD=∠B=37°，进而求出即可．此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的性质，正确利用线段垂直平分线的性质得出∠BAD=∠B=37°是解题关键．19.【答案】①证明：在△ABE 和△CBD 中，AB =CB∠ABC =∠CBD =90°BE =BD，∴△ABE ≌△CBD （SAS ）；②解：∵在△ABC 中，AB =CB ，∠ABC =90°，∴∠BAC =∠ACB =45°，由①得：△ABE ≌△CBD ，∴∠AEB =∠BDC ，∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB =∠ACB +∠CAE =30°+45°=75°，则∠BDC =75°．【解析】①利用SAS 即可得证；②由全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CDB ，利用外角的性质求出∠AEB 的度数，即可确定出∠BDC 的度数．此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．20.【答案】解：（1）设A 种商品的单价为x 元、B 种商品的单价为y 元，由题意得： 50x +20y =88060x +30y =1080，解得 y =4x =16．答：A 种商品的单价为16元、B 种商品的单价为4元．（2）设购买A 商品的件数为m 件，则购买B 商品的件数为（2m -4）件，由题意得：16m +4(2m −4)≤296m +2m−4≥32，解得：12≤m ≤13，∵m 是整数，∴m =12或13，故有如下两种方案：方案（1）：m =12，2m -4=20 即购买A 商品的件数为12件，则购买B 商品的件数为20件；方案（2）：m=13，2m-4=22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．【解析】（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，根据等量关系：①购买60件A商品的钱数+30件B商品的钱数=1080元，②购买50件A商品的钱数+20件B商品的钱数=880元分别列出方程，联立求解即可．（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m-4）件，根据不等关系：①购买A、B两种商品的总件数不少于32件，②购买的A、B两种商品的总费用不超过296元可分别列出不等式，联立求解可得出m的取值范围，进而讨论各方案即可．此题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答此类应用类题目的关键是仔细审题，得出等量关系，从而转化为方程或不等式解题，难度一般，第二问需要分类讨论，注意不要遗漏．21.【答案】解：（1）AP=CQ．理由如下：∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，∴△BPQ为等边三角形，∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，∴∠CBQ=∠ABP，在△ABP和△CBQ中，AB=CB∠ABP=∠CBQ，BP=BQ∴△ABP≌△CBQ（SAS），∴AP=CQ；（2）∵等边△ABC和等边△BPQ中，PB=PQ=4，PA=QC=3，∵PQ2+CQ2=PC2，∴△PQC为直角三角形（勾股定理逆定理）．【解析】（1）易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；（2）根据PA=CQ，PB=BQ，即可判定△PQC为直角三角形．本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了勾股定理逆定理的运用，本题中求证△ABP ≌△CBQ 是解题的关键．22.【答案】解：（1）解方程组 x +2y =5a −82x−y =−1得：y =2a −3x =a−2， ∴ 2a −3≥0a−2≥0，解得：a ≥2； （2）由2a -b =1，a ≥2，可得：1+b 2≥2，解得：b ≥3，∴a +b ≥5；（3）由a -b =m ，a ≥2，可得m +b ≥2，∴b ≥2-m ，∴2-m ≤b ≤1，同理可得：2≤a ≤1+m ，∴6-m ≤2a +b ≤3+2m ，∴最大值为3+2m ．【解析】（1）先把a 当作已知求出x 、y 的值，再根据x 、y 的取值范围得到关于a 的一元一次不等式组，求出a 的取值范围即可；（2）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a 、b 的取值范围，然后再来求a+b 的取值范围；（3）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a 、b 的取值范围，然后再来求2a+b 的取值范围，即可得到最大值．本题考查了一元一次不等式（组）的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．23.【答案】解：（1）∵∠C =90°，AB =5cm ，BC =3cm ， ∴AC =4cm ，动点P 从点C 开始，按C →B →A →C 的路径运动，速度为每秒1cm ， ∴出发2秒后，则CP =2cm ，∵∠C =90°，∴PB = 22+32= 13cm ，∴△ABP 的周长为：AP +PB +AB =2+5+ 13=7+ 13（cm ）；（2）∵AC =4，动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒1cm ， ∴P 在AC 上运动时△BCP 为直角三角形，∴0＜t ≤4，当P 在AB 上时，CP ⊥AB 时，△BCP 为直角三角形，∵12×AB ×CP =12×AC ×BC ，∴1 2×5×CP=12×3×4，解得：CP=125cm，∴AP= AC2−CP2=165cm，∴AC+AP=365cm，∵速度为每秒1cm，∴t=365，综上所述：当0＜t≤4或t=365，△BCP为直角三角形；（3）当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t-3，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t+2t-3=3，∴t=2；当P点在AB上，Q在AC上，则AC=t-4，AQ=2t-8，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t-4+2t-8=6，∴t=6，∴当t=2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．【解析】（1）首先利用勾股定理计算出AC长，根据题意可得CP=2cm，再利用勾股定理计算出PB的长，进而可得△ABP的周长；（2）当P在AC上运动时△BCP为直角三角形，由此可得0＜t≤4；当P在AB上时，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形，首先计算出CP的长，然后再利用勾股定理计算出AP长，进而可得答案．（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t-3，t+2t-3=3；当P 点在AB上，Q在AC上，则AC=t-4，AQ=2t-8，t-4+2t-8=6．此题主要考查了勾股定理以及其逆定理等知识，利用分类讨论的思想求出是解题关键．。

2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区五校联考八年级(上)期中数学试卷(含解析)

2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区五校联考八年级（上）期中数学试卷一：选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每个小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）下列数学符号中，是轴对称图形的是（ ）A．∥B．⊥C．≌D．≠2．（3分）对于命题“若a＞b，则|a|＞|b|”，能说明它是假命题的反例是（ ）A．a＝3，b＝2B．a＝3，b＝4C．a＝﹣3，b＝﹣2D．a＝2，b＝﹣2 3．（3分）如图，∠CAB＝∠DAB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD 的是（ ）A．∠ABC＝∠ABD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．AC＝AD4．（3分）若x＜3，则（ ）A．x﹣2＞0B．2x＞﹣1C．2x＜3D．18﹣3x＞0 5．（3分）已知等腰三角形的两边长为x、y，且满足|x﹣4|+（x﹣y+4）2＝0，则三角形的周长为（ ）A．12B．16C．20D．16或206．（3分）在△ABC中，它的三边分别为a，b，c，下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1：；其中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（3分）若不等式组的解集为1＜x＜2，则（m+n）2022的值为（ ）A．﹣1B．0C．1D．28．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为（ ）度．A．29B．32C．45D．649．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A、B为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝4，则△AFH的周长为（ ）A．8B．6C．4D．10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D，E分别为线段AB，AC上一点，且AD＝AE，连接BE、CD交于点G，延长AG交BC于点F．以下四个结论正确的是（ ）①BF＝CF；②若BE⊥AC，则CF＝DF；③若BE平分∠ABC，则FG＝；④连结EF，若BE⊥AC，则∠DFE＝2∠ABE．A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④二：填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）若m与7的和是正数，则可列出不等式 ．12．（4分）已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 ．13．（4分）不等式组的解集为x＞2，则a的取值范围是 ．14．（4分）在同一平面内，有相互平行的三条直线a，b，c，且a，b之间的距离为1，b，c之间的距离是2，若等腰Rt△ABC的三个顶点恰好各在这三条平行直线上，如图所示，∠BAC＝90°，在△ABC的面积是 ．15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B﹣∠A＝10°，D是AB上一点，将△ACD 沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中有两个角相等，则∠ACD ＝ ．16．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D处，折痕交另一直角边于点E，交斜边于点F，则DE的长为 ．ж三：解答题（共7小题，共66分）17．（6分）解下列一元一次不等式（组）：（1）5x≥3x+1；（2）并把它的解集表示在数轴上．18．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；（2）求△ABC的面积．19．（8分）如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE＝BF．20．（10分）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．（1）求证：CF∥AB；（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．21．（10分）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD 与EC交于点G．（1）若BE＝10，CD＝3，G为CE中点，求AG的长；（2）求证：△AEG是等腰三角形．22．（12分）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价）甲乙进价（元/件）1535售价（元/件）2045（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？（2）若商店计划投入资金少于4290元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问共有几种购货方案？23．（12分）如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AH⊥BC于点H，交BO于点P．（1）求线段OP的长度；（2）连接OH，求证：∠OHP＝45°；（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D 作DN⊥DM交线段OA延长线于N点，则S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区五校联考八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一：选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每个小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）下列数学符号中，是轴对称图形的是（ ）A．∥B．⊥C．≌D．≠【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．【解答】解：A、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、图形是轴对称图形，故本选项符合题意；C、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的定义，掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是关键．2．（3分）对于命题“若a＞b，则|a|＞|b|”，能说明它是假命题的反例是（ ）A．a＝3，b＝2B．a＝3，b＝4C．a＝﹣3，b＝﹣2D．a＝2，b＝﹣2【分析】找到满足a＞b，但不满足|a|＞|b|的一对a、b的值即可．【解答】解：当a＝2，b＝﹣2时，满足a＞b，但a2＝4，b2＝4，此时|a|＝|b|，故选：D．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解判断一个命题是假命题的时候可以举出反例，难度不大．3．（3分）如图，∠CAB＝∠DAB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD 的是（ ）A．∠ABC＝∠ABD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．AC＝AD【分析】根据全等三角形的判定逐一进行分析．【解答】解：当添加选项A时，利用ASA可说明△ABC≌△ABD；当添加选项B时，满足条件SSA，无法证明△ABC≌△ABD，故B符合题意；当添加选项C时，利用AAS可说明△ABC≌△ABD；当添加选项D时，利用SAS证明△ABC≌△ABD．故选：B．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，注意SSA不能证明三角形全等．4．（3分）若x＜3，则（ ）A．x﹣2＞0B．2x＞﹣1C．2x＜3D．18﹣3x＞0【分析】利用不等式的基本性质分别判断得出即可．【解答】解：A、若x＜3，则x﹣2＜1，故此选项不合题意；B、若x＜3，则2x＜6，故此选项不合题意；C、若x＜3，则2x＜6，故此选项不合题意；D、若x＜3，则9﹣3x＞0，所以18﹣3x＞0，此选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了不等式的性质，能够正确运用不等式的基本性质是解题关键．5．（3分）已知等腰三角形的两边长为x、y，且满足|x﹣4|+（x﹣y+4）2＝0，则三角形的周长为（ ）A．12B．16C．20D．16或20【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得x﹣4＝0，x﹣y+4＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4＝8，∴不能组成三角形；②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长＝4+8+8＝20．所以三角形的周长为20．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，平方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．6．（3分）在△ABC中，它的三边分别为a，b，c，下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1：；其中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据勾股定理的逆定理和直角三角形的判定判断即可．【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，是直角三角形；②∠A＝∠B＝2∠C＝72°，不是直角三角形；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠C＝75°，不是直角三角形；④a：b：c＝1：；，不是直角三角形；故选：A．【点评】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理和直角三角形的判定解答．7．（3分）若不等式组的解集为1＜x＜2，则（m+n）2022的值为（ ）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算可得2﹣m＜x＜n+4，从而可得2﹣m ＝1，n+4＝2，然后求出m，n的值，再代入式子中，进行计算即可解答．【解答】解：，解不等式①得：x＞2﹣m，解不等式②得：x＜n+4，∴原不等式组的解集为：2﹣m＜x＜n+4，∵不等式组的解集为1＜x＜2，∴2﹣m＝1，n+4＝2，∴m＝1，n＝﹣2，∴（m+n）2022＝[1+（﹣2）]2022＝（﹣1）2022＝1，故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．8．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为（ ）度．A．29B．32C．45D．64【分析】根据已知条件得到点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，根据圆周角定理得到∠DEB＝116°，根据直角三角形的性质得到DE＝BE＝AC，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，∵∠BAD＝58°，∴∠DEB＝116°，∵DE＝BE＝AC，∴∠EBD＝∠EDB＝32°，故选：B．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，圆周角定理，推出A，B，C，D 四点共圆是解题的关键．9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A、B为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝4，则△AFH的周长为（ ）A．8B．6C．4D．【分析】由题意可得DE是线段AB的垂直平分线，AF＝AH，可得AF＝BF＝AH，由∠ACB＝90°，可得CF＝CH，则△AFH的周长为AF+AH+FH＝2BF+2FC＝2（BF+FC）＝2BC＝8．【解答】解：由题意可得DE是线段AB的垂直平分线，AF＝AH，则AF＝BF，∴AF＝BF＝AH，∵∠ACB＝90°，∴CF＝CH，∴△AFH的周长为AF+AH+FH＝2BF+2FC＝2（BF+FC）＝2BC＝8．故选：A．【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D，E分别为线段AB，AC上一点，且AD＝AE，连接BE、CD交于点G，延长AG交BC于点F．以下四个结论正确的是（ ）①BF＝CF；②若BE⊥AC，则CF＝DF；③若BE平分∠ABC，则FG＝；④连结EF，若BE⊥AC，则∠DFE＝2∠ABE．A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④【分析】由“SAS”可证△BAE≌△CAD，可得∠ABE＝∠ACD，可证∠GBC＝∠GCB，可得BG＝CG，则点G是BC的中垂线上，由线段垂直平分线的性质可得BF＝CF，故①正确；由全等三角形的性质可得∠ADC＝∠AEB＝90°，由直角三角形的性质可得CF＝DF，故②正确；由角平分线的性质可证点G是角平分线的交点，可得点G到三边距离相等，由面积法可求FG＝，故③正确；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得2∠DBF+2∠ECF﹣∠DFE＝180°，由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，可得∠DFE＝2∠ABE，故④正确，即可求解．【解答】解：在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠ABE＝∠ACD，∵AB＝AC＝5，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠GBC＝∠GCB，∴BG＝CG，∴点G是BC的中垂线上，∵AB＝AC，∴点A在BC的中垂线上，∴AG垂直平分BC，∴BF＝CF，故①正确；若BE⊥AC，则∠AEB＝90°，∵△BAE≌△CAD，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠BDC＝90°，又∵BF＝CF，∴CF＝DF，故②正确；若BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∵∠ABE＝∠ACD，∠GBC＝∠GCB，∴∠ACD＝∠BCD，∴点G是角平分线的交点，∴点G到三边的距离为GF的长，∵AB＝AC＝5，BC＝6，BF＝CF，∴BF＝CF＝3，∴AF＝＝＝4，∵S△ABC＝×BC×AF＝×AB×GF+×AC×GF+×CB×GF，∴FG＝，故③正确；如图，连接EF，若BE⊥AC，则∠AEB＝90°，∵△BAE≌△CAD，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠BDC＝90°＝∠BEC，又∵BF＝CF，∴CF＝DF＝EF＝BF，∴∠DBF＝∠BDF，∠FEC＝∠FCE，∴2∠DBF+∠DFB＝180°，2∠ECF+∠EFC＝180°，又∵∠DFB+∠EFC+∠DFE＝180°，∴2∠DBF+2∠ECF﹣∠DFE＝180°，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴2∠BAC+2∠ABC+2∠ACB＝360°，∴2∠BAC+180°+∠DFE＝360°，∴2∠BAC+∠DFE＝180°，∵∠BAC+∠ABE＝90°，∴∠DFE＝2∠ABE，故④正确，故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等三角形是解题的关键．二：填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）若m与7的和是正数，则可列出不等式　m+7＞0　．【分析】根据“m与7的和是正数”，即可得出关于m的一元一次不等式，此题得解．【解答】解：根据题意得m+7＞0．故答案为：m+7＞0．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．12．（4分）已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为　5或　．【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：＝；②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：＝5；综上，第三边的长为：5或．故答案为：5或．【点评】此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．13．（4分）不等式组的解集为x＞2，则a的取值范围是　a≤2　．【分析】根据不等式组的公共解集即可确定a的取值范围．【解答】解：由不等式组的解集为x＞2，可得a≤2．故答案为：a≤2【点评】此题主要考查了不等式组的解法，关键是熟练掌握不等式组解集的确定：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．14．（4分）在同一平面内，有相互平行的三条直线a，b，c，且a，b之间的距离为1，b，c之间的距离是2，若等腰Rt△ABC的三个顶点恰好各在这三条平行直线上，如图所示，∠BAC＝90°，在△ABC的面积是　5　．【分析】过点B作BE⊥a于点E，过点C作CF⊥a于点F，由余角的性质可得∠CAF＝∠BAE，由“AAS”可证△ABE≌△CAF，可得AE＝CF＝1，由勾股定理可求AB的长即可解决问题．【解答】解：如图，过点B作BE⊥a于点E，过点C作CF⊥a于点F，∵a，b之间的距离是1，b，c之间的距离是2，∴BE＝3，CF＝1，∵∠BAC＝90°，BE⊥AF∴∠BAE+∠CAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°∴∠CAF＝∠BAE，且AB＝AC，∠AEB＝∠AFC＝90°∴△ABE≌△CAF（AAS）∴AE＝CF＝1，∴在Rt△ABE中，AB＝＝，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝∴S△ABC＝•AB•AC＝5故答案为：5．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B﹣∠A＝10°，D是AB上一点，将△ACD 沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中有两个角相等，则∠ACD＝　15°或30°　．【分析】由三角形的内角和定理可求解∠A＝40°，设∠ACD＝x°，则∠CDF＝（40+x）°，∠ADC＝（140﹣x）°，由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，可分三种情况：当∠DFE＝∠E＝40°时；当∠FDE＝∠E＝40°时；当∠DFE＝∠FDE时，根据∠ADC＝∠CDE列方程，解方程可求解x值，即可求解．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∵∠B﹣∠A＝10°，∴∠A＝40°，∠B＝50°，设∠ACD＝x°，则∠CDF＝（40+x）°，∠ADC＝180°﹣40°﹣x°＝（140﹣x）°，由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，当∠DFE＝∠E＝40°时，∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°，∴∠FDE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴140﹣x＝100+40+x，解得x＝0（不存在）；当∠FDE＝∠E＝40°时，∴140﹣x＝40+40+x，解得x＝30，即∠ACD＝30°；当∠DFE＝∠FDE时，∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°，∴∠FDE＝＝70°，∴140﹣x＝70+40+x，解得x＝15，即∠ACD＝15°，综上，∠ACD＝15°或30°，故答案为：15°或30°．【点评】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据∠ADC＝∠CDE分三种情况列方程是解题的关键．16．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D处，折痕交另一直角边于点E，交斜边于点F，则DE的长为　或　．【分析】根据题意设DE＝x求出CE的长，然后在Rt△ECD中利用勾股定理列方程求解即可．【解答】解：分两种情况：①如图1所示：∵D是BC的中点，∴CD＝BC＝4，由折叠的性质得：DE＝AE，设DE＝x，则CE＝6﹣x，在Rt△ECD中，DE2＝EC2+CD2，即x2＝（6﹣x）2+16，解得x＝，即DE＝．②如图1所示：∵D是BC的中点，∴CD＝AC＝3，由折叠的性质得：DE＝BE，设DE＝x，则CE＝8﹣x，在Rt△ECD中，DE2＝EC2+CD2，即x2＝（8﹣x）2+9，解得x＝，即DE＝；故答案为：或．【点评】本题考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和勾股定理是解题的关键．ж三：解答题（共7小题，共66分）17．（6分）解下列一元一次不等式（组）：（1）5x≥3x+1；（2）并把它的解集表示在数轴上．【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：（1）∵5x≥3x+1，∴5x﹣3x≥1，则2x≥1，∴x≥；（2）由2x﹣1＜﹣x+2，得：x＜1，由＜，得：x＞﹣5，则不等式组的解集为﹣5＜x＜1，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）利用割补法求△ABC的面积．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．（2）△ABC的面积为3×4﹣﹣﹣＝．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．19．（8分）如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE＝BF．【分析】先根据直角三角形全等的判定方法证得Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），则BC＝EF，即CE＝BF．【解答】证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，∴∠ABC＝∠DEF＝90°．在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．∴BC＝EF．∴BC﹣BE＝EF﹣BE．即：CE＝BF．【点评】本题考查三角形全等的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL（直角三角形）．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．20．（10分）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．（1）求证：CF∥AB；（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．【分析】（1）求出△AED≌△CEF，根据全等三角形的性质得出∠A＝∠ACF，根据平行线的判定得出即可；（2）根据（1）求出∠A＝∠ACB，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】（1）证明：∵E为AC中点，∴AE＝CE，在△AED和△CEF中，，∴△AED≌△CEF（SAS），∴∠A＝∠ACF，∴CF∥AB；（2）解：∵AC平分∠BCF，∴∠ACB＝∠ACF，∵∠A＝∠ACF，∴∠A＝∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝50°，∴2∠A＝130°，∴∠A＝65°．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．21．（10分）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD 与EC交于点G．（1）若BE＝10，CD＝3，G为CE中点，求AG的长；（2）求证：△AEG是等腰三角形．【分析】（1）过点E作EF⊥AG，垂足为F，利用等腰三角形的三线合一性质可得AG＝2FG，再根据线段中点的定义可得EG＝GC＝EC＝5，然后利用AAS证明△EFG≌△CDG，从而利用全等三角形的性质可得FG＝DG，最后在Rt△CDG中，利用勾股定理求出DG 的长，从而求出FG的长，即可解答；（2）根据垂直定义可得∠ADB＝∠ADC＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B+∠BAD＝90°，∠DCG+∠DGC＝90°，再利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠DCG，然后利用等角的余角相等可得∠BAD＝∠DGC，再根据对顶角相等可得∠AGE＝∠DGC，从而可得∠BAD＝∠AGE，最后利用等角对等边即可解答；【解答】解：（1）过点E作EF⊥AG，垂足为F，∴∠EFG＝90°，∵EA＝EG，EF⊥AG，∴AG＝2FG，∵G为CE中点，∴EG＝GC＝EC，∵EB＝EC＝10，∴GC＝EC＝5，∵∠EFG＝∠CDG＝90°，∠EGF＝∠CGD，∴△EFG≌△CDG（AAS），∴FG＝DG，在Rt△CDG中，CD＝3，∴DG＝＝4，∴FG＝DG＝4，∴AG＝2FG＝8，∴AG的长为8．（2）∵BE＝CE，EF⊥BC，∴∠BEF＝∠CEF∵EF∥AD，∴∠BEF＝∠BAD，即∠BEF＝∠EAG，∴∠AGE＝∠EAG，∴EA＝EG，∴△AEG是等腰三角形．【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，关键是对这些性质的掌握和运用．22．（12分）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进价）甲乙进价（元/件）1535售价（元/件）2045（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？（2）若商店计划投入资金少于4290元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问共有几种购货方案？【分析】（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件，根据购进甲、乙两种商品共160件且销售完这批商品后能获利1100元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进（160﹣a）件，根据购货资金少于4290元且销售完这批商品后获利多于1260元，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，取其内的整数即可得出各购货方案．【解答】解：（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件．根据题意得：，解得：．答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件．（2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进（160﹣a）件．根据题意得：，解得：65.5＜a＜68．∵a为非负整数，∴a取66，67，∴160﹣a相应取94，93．答：有两种购货方案：方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件；方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列出一元一次不等式组．23．（12分）如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AH⊥BC于点H，交BO于点P．（1）求线段OP的长度；（2）连接OH，求证：∠OHP＝45°；（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D 作DN⊥DM交线段OA延长线于N点，则S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．【分析】（1）证△OAP≌△OBC（ASA），即可得出OP＝OC＝1；（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，证△COM≌△PON（AAS），得出OM＝ON．得出HO平分∠CHA，即可得出结论；（3）连接OD，由等腰直角三角形的性质得出OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD，则∠OAD＝45°，证出∠DAN＝∠MOD．证△ODM≌△ADN（ASA），得S△ODM ＝S△ADN，进而得出答案．【解答】（1）解：∵BO⊥AC，AH⊥BC，∴∠AOP＝∠BOC＝∠AHC＝90°，∴∠OAP+∠C＝∠OBC+∠C＝90°，∴∠OAP＝∠OBC，在△OAP和△OBC中，，∴△OAP≌△OBC（ASA），∴OP＝OC＝1；（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图1所示：在四边形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°，∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP．在△COM与△PON中，，∴△COM≌△PON（AAS），∴OM＝ON．∵OM⊥CB，ON⊥HA，∴HO平分∠CHA，∴∠OHP＝∠AHC＝45°；（3）S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变，等于．理由如下：连接OD，如图2所示：∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点，∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°+45°＝135°，∴∠DAN＝135°＝∠DOM．∵MD⊥ND，即∠MDN＝90°，∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA．在△ODM和△ADN中，，∴△ODM≌△ADN（ASA），∴S△ODM＝S△ADN，∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BOD＝S△AOB＝×AO•BO＝××3×3＝．【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．。

浙江省杭州市拱墅区杭州育才中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题

浙江省杭州市拱墅区杭州育才中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在下列冬奥会体育图标中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的横坐标保持不变，纵坐标都减去5，则所得图形可看成是将原图形（）A ．向左平移5个单位B ．向右平移5个单位C ．向上平移5个单位D ．向下平移5个单位3．已知x y >，则下列不等式不一定成立的是（）A ．22x y ->-B ．22x y >C ．22xz yz >D ．22x y-<-4．ABC 与三边长分别为3，4，5的三角形全等，满足条件的ABC 的边角可以是（）A ．90A ∠=︒，3AB =，5BC =B ．90B Ð=°，5AB =，3BC =C ．90C ∠=︒，3AC =，4AB =D ．90C ∠=︒，4AB =，3BC =5．在下列命题中，是假命题的是（）A ．全等三角形的对应边相等，对应角相等B ．三角形的三条高必交于一点C ．三角形任意一边的两个端点到这边上的中线的距离相等D ．三角形的三条角平分线相交于一点，这点到三边的距离一定相等6．如图，已知点F 在BC 上，且ABC AEF ≅ ，有同学在推出AB AE =，B E ∠=∠后，还分别推出下列结论，其中错误的是（）A ．AC AF =B ．AFC AFE ∠=∠C ．EF BC =D ．FAB B∠=∠7．如图，在ABC 中，AB AC =，50A ∠=︒，AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，DBC ∠的度数为（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．10°8．如图，在ABC 中，运用尺规作图的方法在BC 边上取一点P ，使PA PB BC +=，下列作法正确的是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，在△ABC 中，点P 在边BC 上（不与点B ，点C 重合），下列说法正确说法正确的是（）A ．若∠BAC ＝90°，∠BAP ＝∠B ，则AC ＝PCB ．若∠BAC ＝90°，∠BAP ＝∠C ，则AP ⊥BCC ．若AP ⊥BC ，PB ＝PC ，则∠BAC ＝90°D ．若PB ＝PC ，∠BAP ＝∠CAP ，则∠BAC ＝90°A．32B．22二、填空题11．写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题______．12．不等式组132xx<≤⎧⎨>⎩的解是______．13．已知等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为6cm，则腰长为______．14．如图，直线l上有三个边长分别为a，b，c的正方形，则有22a c+______2b（填“＞”或“＜”或“=”）15．如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=6，BC=4，则BD的长为________.16．如图，以AB为斜边的Rt ABC△和Rt△ABD位于直线AB的同侧，连接CD，若135BAC ABD∠+∠=︒，8AB=，则CD的长为______．三、解答题18．如图，在正方形网格上有一个DEF ．(1)证明：AB CD =；(2)若30D ∠=︒，65E ∠=︒，求∠21．成都市某超市从生产基地购进损失5%，假设不计超市其他费用（1）如果超市在进价的基础上提高（2）如果该水果的利润率不得低于22．如图，在ABC 中，90C ∠=AC 上，连接DF ．(1)求证：=AC AE ；(2)若DF DB =，试说明B ∠与AFD ∠的数量关系；(3)在（2）的条件下，若AB m AF n ==，，则BE 的长______（用含m ，n 的代数式表示）．23．如图1，等边△ABC 边长为6，AD 是△ABC 的中线，P 为线段AD （不包括端点AD ）上一动点，以CP 为一边且在CP 左下方作如图所示的等边△CPE ，连结BE .（1）点P 在运动过程中，线段BE 与AP 始终相等吗？说说你的理由；（2）若延长BE 至F ，使得CF =CE =5，如图2，求出此时AP 的长；（3）当点P 在线段AD 的延长线上时，F 为线段BE 上一点，使得CF =CE =a .请画出图形并探究EF 与a 的关系.。

2015-2016年浙江省杭州市江干区文海实验学校八年级(上)数学期中试卷及参考答案

2015-2016学年浙江省杭州市江干区文海实验学校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）若x＜y成立，则下列不等式成立的是（）A．4x＜3y B．﹣x＜﹣y C．＞D．x+6＜y+63．（3分）下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（）A．5 B．2 C．4 D．84．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF5．（3分）不等式2x﹣7＜5﹣2x正整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=10，AC=6，则△ACD的周长为（）A．16 B．14 C．20 D．187．（3分）一个三角形的两个内角分别为55°和65°，这个三角形的外角不可能是（）A．115°B．120°C．125° D．130°8．（3分）若在△ABC所在平面上求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，那么下列确定P点的方法正确的是（）A．P是∠A与∠B两角平分线的交点B．P为AC、AB两边上的高的交点C．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点D．P为∠A的角平分线与AB边上的中线的交点9．（3分）已知不等式组的解为x≥﹣b，则下列各式正确的是（）A．a＞b B．a＜b C．b≤a D．a≤b10．（3分）如图，在△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB，AD为BC边上的中线，CG ⊥AD于G，交AB于F，过点B作BC的垂线交CG于E．现有下列结论：①△ADC ≌△CEB；②DF=CD；③∠ADC=∠BDF；④F为EG中点．其中结论正确的为（）A．①②B．①②③C．①③D．①③④二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为cm．12．（4分）爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8m/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要．13．（4分）已知关于x的不等式组的整数解有5个，则a的取值范围是．14．（4分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC 的延长线于点E，已知∠B=50°，则∠CAF的度数为．15．（4分）若不等式组无解（a≠b），则不等式组的解是．16．（4分）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F．（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=；（2）如图3，若∠ACD=β，则∠AFB=（用含β的式子表示）三、解答题（共66分）17．（10分）（1）解不等式4（x﹣1）+3≥3x，并把解集在数轴上表示出来．（2）解不等式组，并求不等式组的所有整数解．18．（8分）如图，在△ABC中，AE是BC边上的高，AD是角平分线，∠B=42°，∠C=68°，分别求∠BAC、∠DAE的度数．19．（10分）“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．（1）用记号（a，b，c）（a≤b≤c）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．（2）用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）．20．（8分）如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F．求证：CE=CF．21．（10分）如图，点D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，请探究在点D的运动过程中，∠DAE的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出这个度数．22．（10分）“污水共治，人人有责”为了更好的治理江山母亲河，江山市污水处理厂决定购买A、B两型污水处理设备，共10台，其信息如下表：（1）设购买A型设备x台，则购买B型设备台，所需资金共为万元，每月处理污水总量为吨（用含x的代数式表示）．（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过112万元，月处理污水量不低于2080吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案最省钱，需要多少资金？23．（10分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC 绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？2015-2016学年浙江省杭州市江干区文海实验学校八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A不属于轴对称图形，故错误；B不属于轴对称图形，故错误；C不属于轴对称图形，故错误；D属于轴对称图形，故正确；故选：D．2．（3分）若x＜y成立，则下列不等式成立的是（）A．4x＜3y B．﹣x＜﹣y C．＞D．x+6＜y+6【解答】解：A、由x＜y，无法比较4x＜3y，故此选项错误；B、∵x＜y，∴﹣x＞﹣y，故此选项错误；C、∵x＜y，∴＜，故此选项错误；D、∵x＜y，∴x+6＜y+6，故此选项正确．故选：D．3．（3分）下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（）A．5 B．2 C．4 D．8【解答】解：A.5，∵5不是偶数，且也不是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案A错误；B.2，∵2不是4的倍数，∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是2，故答案B正确；C.4，∵4是偶数，且是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案C错误；D.8，∵8是偶数，且也是4的倍数，∴不能作为假命题的反例；故答案D错误；故选：B．4．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF【解答】解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；B、∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；C、∵BC∥EF，∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．故选：B．5．（3分）不等式2x﹣7＜5﹣2x正整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：不等式2x﹣7＜5﹣2x的解集为x＜3，正整数解为1，2，共两个．故选：B．6．（3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=10，AC=6，则△ACD的周长为（）A．16 B．14 C．20 D．18【解答】解：∵△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，∴BC===8，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD，即AD+CD=BC，∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BC=6+8=14．故选：B．7．（3分）一个三角形的两个内角分别为55°和65°，这个三角形的外角不可能是（）A．115°B．120°C．125° D．130°【解答】解：∵三角形的内角和为180°，已知三角形的两个内角分别为55°和65°，所∴第三个内角为180°﹣55°﹣65°=60°．那么55°角相邻的外角为125°，65°相邻的外角为115°，60°相邻的外角为120°；所以这个三角形的外角不可能是130°．故选：D．8．（3分）若在△ABC所在平面上求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，那么下列确定P点的方法正确的是（）A．P是∠A与∠B两角平分线的交点B．P为AC、AB两边上的高的交点C．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点D．P为∠A的角平分线与AB边上的中线的交点【解答】解：∵P到∠A的两边的距离相等，∴点P在∠A的平分线上，∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．故选：C．9．（3分）已知不等式组的解为x≥﹣b，则下列各式正确的是（）A．a＞b B．a＜b C．b≤a D．a≤b【解答】解：∵不等式组的解为x≥﹣b，∴﹣a＜﹣b，∴a＞b，故选：A．10．（3分）如图，在△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB，AD为BC边上的中线，CG ⊥AD于G，交AB于F，过点B作BC的垂线交CG于E．现有下列结论：①△ADC ≌△CEB；②DF=CD；③∠ADC=∠BDF；④F为EG中点．其中结论正确的为（）A．①②B．①②③C．①③D．①③④【解答】解：∵∠BCA=90°，CG⊥AD，∴∠ECD+∠ADC=∠E+∠ECD=90°，∴∠E=∠ADC，∵BE⊥BC，∴∠EBC=∠ACD，在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS），∴①正确；∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD，∵AG⊥CE，∴∠AFB≠90°，∴DF≠CB，∴DF≠CD，∴②不正确；∵△ADC≌△CEB，且D为BC中点，∴BE=CD=BD，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠DBF=∠EBF=45°，在△BEF和△BDF中∴△BEF≌△BDF（SAS），∴∠E=∠BDF，又∠E=∠ADC，∴∠ADC=∠BDF，∴③正确；∵△BEF≌△BDF，∴EF=DF，在R△DFG中，DF＞FG，∴EF＞FG，∴F不是EG的中点，∴④不正确；综上可知正确的有①③共两个，故选：C．二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为35cm．【解答】解：①14cm为腰，7cm为底，此时周长为14+14+7=35cm；②14cm为底，7cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．故其周长是35cm．故答案为：35．12．（4分）爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8m/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要16m以上．【解答】解：设导火索的长为x米，根据题意得：5×＞100．解得：x＞16，答：导火索的长至少要16米以上．故答案为：16m以上．13．（4分）已知关于x的不等式组的整数解有5个，则a的取值范围是﹣4＜a≤﹣3．【解答】解：解不等式①得x≥a，解不等式②得x＜2，因为不等式组有5个整数解，则这5个整数是1，0，﹣1，﹣2，﹣3，所以a的取值范围是﹣4＜a≤﹣3．14．（4分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC 的延长线于点E，已知∠B=50°，则∠CAF的度数为50°．【解答】解：∵AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠FAC=∠B=50°．故答案为：50°．15．（4分）若不等式组无解（a≠b），则不等式组的解是2﹣a ＜x＜2﹣b．【解答】解：∵不等式组无解，∴a≥b，∴不等式组的解是2﹣a＜x＜2﹣b，故答案为：2﹣a＜x＜2﹣b．16．（4分）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F．（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=120°；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=90°；（2）如图3，若∠ACD=β，则∠AFB=180°﹣β（用含β的式子表示）【解答】解：（1）∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠DCB，在△ACE和△DCB中∵，∴△ACE≌△DCB，∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，∵∠ACD=60°，∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=60°，∴∠CAE+∠DBC=60°，∴∠AFB=180°﹣60°=120°；当∠ACD=90°时，∵∠ACD=90°，∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=90°，∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，∴∠CAE+∠DBC=90°，∴∠AFB=180°﹣90°=90°；故答案为：120°，90°；（2）解：当∠ACD=β时，∠AFB=180°﹣β，理由是：∵∠ACD=β，∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=β，∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，∴∠CAE+∠DBC=β，∴∠AFB=180°﹣（∠CAE+∠DBC）=180°﹣β；故答案为：180°﹣β．三、解答题（共66分）17．（10分）（1）解不等式4（x﹣1）+3≥3x，并把解集在数轴上表示出来．（2）解不等式组，并求不等式组的所有整数解．【解答】解：（1）4（x﹣1）+3≥3x，4x﹣4+3≥3x，4x﹣3x≥4﹣3，x≥1，在数轴上表示为；（2），∵解不等式①得：x≥1，解不等式②得：x＜4，∴不等式组的解集为1≤x＜4，∴不等式组的所有整数解为1，2，3．18．（8分）如图，在△ABC中，AE是BC边上的高，AD是角平分线，∠B=42°，∠C=68°，分别求∠BAC、∠DAE的度数．【解答】解：∵∠B=42°，∠C=68°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=70°，∵AD是角平分线，∴∠EAC=∠BAC=35°．∵AE是高，∠C=68°，∴∠DAC=90°﹣∠C=22°，∴∠EAD=∠DAC﹣∠EAC=35°﹣22°=13°．19．（10分）“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．（1）用记号（a，b，c）（a≤b≤c）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．（2）用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）．【解答】解：（1）共9种：（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）．（2）由（1）可知，只有（2，3，4），即a=2，b=3，c=4时满足a＜b＜c．如答图的△ABC即为满足条件的三角形．20．（8分）如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F．求证：CE=CF．【解答】证明：连接AC，∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）．∴∠DAC=∠BAC．又∵CE⊥AD，CF⊥AB，∴CE=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．21．（10分）如图，点D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，请探究在点D的运动过程中，∠DAE的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出这个度数．【解答】解：不发生变化，∠DAE=120°；理由如下：∵△ABC和△EDC中，∴BC=AC，∠B=∠ACB=∠BAC=∠DCE=60°，CD=CE，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴∠DBC=∠EAC=60°，∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°．22．（10分）“污水共治，人人有责”为了更好的治理江山母亲河，江山市污水处理厂决定购买A、B两型污水处理设备，共10台，其信息如下表：（1）设购买A型设备x台，则购买B型设备10﹣x台，所需资金共为2x+100万元，每月处理污水总量为20x+2000吨（用含x的代数式表示）．（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过112万元，月处理污水量不低于2080吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案最省钱，需要多少资金？【解答】解：（1）设购买A型设备x台，则购买B型设备（10﹣x）台，根据题意得：所需资金为12x+10（10﹣x）=2x+100；每月处理污水总量为220x+200（10﹣x）=20x+2000．故答案为：10﹣x；2x+100；20x+2000．（2）根据题意得：，解得：4≤x≤6，∴符合题意的购买方案有：方案一：购买A型设备4台，购买B型设备6台；方案二：购买A型设备5台，购买B型设备5台；方案三：购买A型设备6台，购买B型设备4台．当x=4时，所需资金为2×4+100=108（万元）；当x=5时，所需资金为2×5+100=110（万元）；当x=6时，所需资金为2×6+100=112（万元）．∵108＜110＜112，∴购买A型设备4台，购买B型设备6台时，所需资金最低，最低资金为108万元．23．（10分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC 绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？【解答】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形．（2）解：当α=150°时，△AOD是直角三角形．理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°，∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，∴∠AOD=360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD=360°﹣150°﹣110°﹣60°=40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠OAD==120°﹣，∴190°﹣α=120°﹣，解得α=140°．综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．。

2021-2022学年浙江省杭州十三中教育集团八年级(上)期中数学试卷(附详解)

2021-2022学年浙江省杭州十三中教育集团八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 下列四个图形中，不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D.2. a ，b 都是实数，且a <b ，则下列不等式的变形正确的是( )A. a +x >b +xB. −a +1<−b +1C. 3a <3bD. a 2>b 2 3. 若一个三角形三个内角的度数之比是2：3：7，则这个三角形一定是( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定4. 下列命题是真命题的是( )A. 等腰三角形的顶角一定是锐角B. 三个角对应相等的两个三角形全等C. 每个定理都有逆定理D. 等腰三角形的底角小于90°5. 以下列数组作为三角形的三条边长，其中能构成直角三角形的是( )A. 1，√2，3B. √2，√3，5C. 1.5，2，2.5D. 13，14，15 6. 如图，已知∠ABC =∠DCB ，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB 的是( )A. ∠A =∠DB. AB =DCC. ∠ACB =∠DBCD. AC =BD7. 已知等腰三角形ABC 的底边BC =8cm ，且|AC −BC|=5cm ，那么腰AC 的长为( )A. 3cm 或13cmB. 13cmC. 3cmD. 8cm 或13cm8. 为鼓励居民使用天然气，某市天然气公司采用一种收费办法．若整个小区每户都安装，收整体初装费10000元，再对每户收费500元，某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付不足1000元，则这个小区的住户数( )A. 至少20户B. 至多20户C. 至少21户D. 至多21户9. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ，已知∠BAC =2∠B ，∠B =4∠DAE ，那么∠C 的度数为( )A. 45°B. 60°C. 70°D. 72°10. 如图，已知长方形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，且BE =2，BC =3，将△CBE 沿直线CE 翻折，使点B 落在点G ，延长EG 交CD 于点F 处，则线段FG 的长为( ) A. 54 B. 43 C. √2 D. 1二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11. 写出命题“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题：______．12. 如图，分别以Rt △ABC 三边构造三个正方形，面积分别为S 1，S 2，S 3，若S 1=15，S 3=39，则S 2=______．13. 用9根长度相等的火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形(火柴不折断)，能摆成不同的等腰三角形的个数为______个．14. 已知关于x 、y 的方程组{x −y =32x +y =6a的解满足不等式x +y <3，则实数a 的取值范围是______．15. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D ，E 分别在AB ，BC 上，连结CD ，DE ，若BC =BD ，AC =1，∠CDE =45°，则BE 的长为______．16. 已知△ABC 中有一个内角是30°，AB =AC ，AB 边上的中垂线交直线BC 于点D ，连结AD ，则∠DAC =______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）17. 解下列不等式(组)(1)4x −1≥2x +4．(2){9−5x2≥3x −13x −3≤5x +3．18. 已知，如图，点A 、D 、B 、E 在同一直线上，AC =EF ，AD =BE ，∠A =∠E(1)求证：△ABC≌△EDF ；(2)当∠CHD =120°，求∠HBD 的度数．19.如图，已知△ABC．(1)尺规作图：①作出△ABC的角平分线CD；②作出BC的中垂线交AB于点E．(2)连结CE，若∠ABC=60°，∠A=40°，则∠DCE=______．20.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD=AE．(1)求证：CG=EG．(2)已知BC=13，CD=5，连接ED，求△BEC的面积．21.如图，在下列网格中，每个小正方形的边长均为一个单位，小正方形的顶点称为网格的格点．(1)图1为8×6网格，点A，点B在格点上，在网格中画出一个以AB为一边，点C在格点上，面积为9的等腰△ACB，此时∠ABC=______．(2)图2为5×3网格，点A，点B在格点上，在网格中找出所有的点C，使得△ABC为等腰三角形，点C在格点上．(在找到的点上标上点C1，C2，C3…)．22.某厨具店购进A型和B型两种电饭煲进行销售，其进价与售价如表：进价(元/台)售价(元/台)A型200300B型180260(1)一季度，厨具店购进这两种电饭煲共30台，用去了5600元，问该厨具店购进A，B型电饭煲各多少台？(2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过9560元的资金采购两种电饭煲共50台，且A型电饭煲的数量不少于B型电饭煲数量，问厨具店有哪几种进货方案？(3)在(2)的条件下，全部售完，请你通过计算判断，哪种进货方案厨具店利润最大，并求出最大利润．23.如图，在Rt△ABC中，AB=10，BC⊥AC，P为线段AC上一点，点Q，P关于直线BC对称，QD⊥AB于点D，DQ与BC交于点E，连结DP，设AP=m．(1)若BC=8，求AC的长，并用含m的代数式表示PQ的长；(2)在(1)的条件下，若AP=PD，求CP的长；(3)连结PE，若∠A=60°，△PCE与△PDE的面积之比为1：2，求m的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、是轴对称图形，本选项错误；B、是轴对称图形，本选项错误；C、不是轴对称图形，本选项正确；D、是轴对称图形，本选项错误．故选：C．结合轴对称图形的概念进行求解即可．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】C【解析】解：A、不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，故A错误；B、不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，故B错误；C、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故C正确；D、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故D错误；故选：C．根据不等式的性质1，可判断A，根据不等式的性质3、1可判断B，根据不等式的性质2，可判断C、D．本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．3.【答案】C【解析】解：∵三个内角的度数之比是2：3：7，内角和为180°，∴三个角的大小分别为：180°×212=30°，180°×312=45°，180°×712=105°，∴这个三角形是钝角三角形．故选：C．由三个内角的比例关系，结合内角和为180°求出三个角的度数，即可判断三角形的形状．本题考查了三角形的内角求解和比例关系，将比例关系转化为占内角和的比是解决本题的关键．4.【答案】D【解析】解：A 、等腰三角形的顶角可以是锐角，也可以是钝角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B 、三角对应相等的两个三角形相似但不一定全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C 、每个命题都有逆命题，但并不是每个定理都有逆定理，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D 、等腰三角形的底角小于90°，正确，是真命题，符合题意，故选：D ．利用等腰三角形的性质、全等三角形的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项． 考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等腰三角形的性质、全等三角形的判定等知识，难度不大．5.【答案】C【解析】解：A 、12+(√2)2≠32，不能构成直角三角形，故选项错误；B 、(√2)2+(√3)2≠52，不能构成直角三角形，故选项错误；C 、1.52+22=2.52，能构成直角三角形，故选项正确；D 、(15)2+(14)2≠(13)2，不能构成直角三角形，故选项错误． 故选：C ．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．6.【答案】D【解析】解：A、添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B、添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C、添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D、添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选：D．根据题目所给条件∠ABC=∠DCB，再加上公共边BC=BC，然后再结合判定定理分别进行分析即可．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7.【答案】B【解析】解：∵|AC−BC|=5cm，∴AC−BC=±5，而BC=8cm，∴AC=3cm(不符合三边关系舍去)或13cm．故选：B．已知等腰△ABC的底边BC=8cm，|AC−BC|=5cm，根据三边关系定理可得，腰AC的长为13cm．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，理解绝对值的含义，得出两种情况并熟悉等腰三角形的性质是正确解答本题的关键．注意本题还要通过三边关系验证是否能组成三角形．8.【答案】C【解析】解：设这个小区共有x户住户，依题意得：1000x>10000+500x，解得：x>20．又∵x为正整数，∴这个小区至少有21户住户．故选：C．设这个小区共有x户住户，根据每户平均支付不足1000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出这个小区至少有21户住户．本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：设∠DAE=a°，则∠B=4a°，∠BAC=8a°，即∠C=180°−12a°，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴∠EAC=90°−∠C=12a°−90°，∵AD是角平分线，∠BAC=8a°，∴∠DAC=4a°，∵∠DAC−∠EAC=∠DAE，∴4a−(12a−90)=a，解得：a=10，∴∠C=180°−12a°=60°，故选：B．设∠DAE=a°，则∠B=4a°，∠BAC=8a°，求出∠C=180°−12a°，求出∠DAC=4a°，根据∠DAC−∠EAC=∠DAE得出方程4a−(12a−90)=a，求出a即可．此题主要考查三角形的内角和定理，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．10.【答案】A【解析】解：∵将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，∴∠BEC=∠GEC，GE=BE=2，CG=BC=3，∵四边形ABCD是矩形，∴CD//AB，∴∠BEC=∠FCE，∴∠GEC=∠FCE，∴CF=EF，设FG=x，则CF=EF=x+2，在Rt△CFG中，FG2+CG2=CF2，∴x2+32=(x+2)2，，解得x=54∴FG=5，4故选：A．由将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，可得∠BEC=∠GEC，GE=BE=2，CG= BC=3，CF=EF，设FG=x，则CF=EF=x+2，根据勾股定理可得x2+32=(x+ 2)2，即可解得答案．本题考查长方形中的翻折问题，解题的关键是掌握折叠的性质，得出CF=EF及勾股定理的应用．11.【答案】两边上的高线相等的三角形是等腰三角形【解析】解：命题“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题是两边上的高线相等的三角形是等腰三角形，故答案为：两边上的高线相等的三角形是等腰三角形．交换命题的题设和结论即可写出该命题的逆命题．考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．12.【答案】24【解析】解：由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，∵S3=S2+S1，∴S2=S3−S1=39−15=24．故答案为：24．根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．本题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．13.【答案】2【解析】解：根据三角形三边关系，能摆成两种不同的等腰三角形，分别为：①腰和底边都由3根火柴棒组成；②腰由4根火柴棒组成，底边有1根火柴棒，故答案为：2．根据三角形三边关系以及等腰三角形的判定即可得出结论．本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定以及三角形的三边关系是解题的关键．14.【答案】a<1【解析】解：{x−y=3①2x+y=6a②，①+②得，3x=6a+3，解得x=2a+1；把x=2a+1代入①得，2a+1−y=3，解得y=2a−2，∵x+y<3，∴2a+1+2a−2<3，解得a<1．故答案为：a<1．先用a表示出x、y的值，再代入不等式x+y<3即可得出关于a的不等式，进而得出a的取值范围．本题考查的是解二元一次方程组及一元一次不等式，先根据题意用a表示出x、y的值是解答此题的关键．15.【答案】√2−1【解析】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=∠B=45°，∵∠BDC=∠CDE+∠BDE=∠A+∠ACD，∠CDE=45°，∴∠BDE=∠ACD，∵BC=BD，∴BD=AC，在△BDE和△ACD中，{∠B=∠ABD=AC∠BDE=∠ACD，∴△BDE和△ACD(ASA)，∴BE=AD，∵BC=AC=1，∠ACB=90°，∴AB=√AC2+BC2=√12+12=√2，∵BD=BC=1，∴AD=AB−BD=√2−1，∴BE=√2−1，故答案为：√2−1．先证△BDE和△ACD(ASA)，得BE=AD，再由勾股定理得AB=√2，则AD=AB−BD=√2−1，即可得出答案．本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明△BDE和△ACD是解题的关键．16.【答案】90°或45°【解析】解：∠B=30°是底角，如图1：∵AB=AC，∠B=30°，∴∠C=30°，∵AB边上的中垂线交直线BC于点D，∴∠BAD=∠B=30°，∴∠ADC=30°+30°=60°，∴∠DAC=180°−30°−60°=90°；∠BAC=30°的角是顶角，如图2：∵AB=AC，∠BAC=30°，∴∠B=∠ACB=(180°−30°)÷2=75°，∵AB边上的中垂线交直线BC于点D，∴∠BED=∠AED=90°−75°=15°，∴∠ADC=15°+15°=30°，∴∠DAC=75°−30°=45°．故∠DAC=90°或45°．故答案为：90°或45°．分30°是底角和30°的角是顶角两种情况讨论，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可求解．考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，注意分类思想的应用，难度不大．17.【答案】解：(1)移项，得：4x −2x ≥4+1，合并同类项，得：2x ≥5，系数化为1，得：x ≥52；(2){9−5x 2≥3x −1①3x −3≤5x +3②， 解不等式①得：x ≤1，解不等式②得：x ≥−3，则不等式组的解集为−3≤x ≤1．【解析】(1)移项，合并同类项，系数化成1即可；(2)先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解即可．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18.【答案】(1)证明：∵AD =BE ，∴AB =ED ，在△ABC 和△EDF 中，{AC =EF ∠A =∠E AB =ED，∴△ABC≌△EDF(SAS)；(2)∵△ABC≌△EDF ，∴∠HDB =∠HBD ，∵∠CHD =∠HDB +∠HBD =120°，∴∠HBD =60°．【解析】(1)根据SAS即可证明：△ABC≌△EDF；(2)由(1)可知∠HDB=∠HBD，再利用三角形的外角关系即可求出∠HBD的度数．本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的外角关系，属于基础性题目．19.【答案】20°【解析】解：(1)如图，①CD即为所求；②点E即为所求；(2)∵∠ABC=60°，∠A=40°，∴∠ACB=180°−60°−40°=80°，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD=1∠ACB=40°，2∵BC的中垂线交AB于点E．∴EB=EC，∴∠ECB=∠B=60°，∴∠DCE=∠ECB−∠BCD=60°−40°=20°．故答案为：20°．(1)①作∠ACB的角平分线交AB于点D即可；②作BC的垂直平分线交AB于点E即可；(2)结合(1)根据三角形内角和定理即可求出∠DCE的度数．本题考查了作图--基本作图，三角形的面积，熟悉基本作图方法是解题的关键．20.【答案】(1)证明：连接DE，在Rt△ADB中，点E是AB的中点，∴DE=1AB=AE，2∵CD=AE，∴DE=DC，又DG⊥CE，∴CG=EG．(2)解：作EF⊥BC于F，∵BC=13，CD=5，∴BD=13−5=8，∵DE=BE，EF⊥BC，∴DF=BF=4，∴EF=√DE2−DF2=√52−42=3，∴△BEC的面积=12×CB×EF=12×13×3=392．【解析】(1)连接DE，根据直角三角形的性质得到DE=12AB=AE，根据等腰三角形的性质证明结论；(2)作EF⊥BC于F，根据题意求出BD，根据等腰三角形的性质求出DF，根据勾股定理求出EF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．21.【答案】45°【解析】解：(1)如图，△ABC即为所求，∠ABC=45°．故答案为：45°．(2)如图，点C1，C2，C3，C4，C5，C6即为所求．(1)根据等腰三角形的定义，以及面积为9，作出图形即可；(2)根据等腰三角形的定义作出图形即可．本题考查作图−应用与设计作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．22.【答案】解：(1)设该厨具店购进A 型电饭煲x 台，B 型电饭煲y 台，依题意得：{x +y =30200x +180y =5600， 解得：{x =10y =20． 答：该厨具店购进A 型电饭煲10台，B 型电饭煲20台．(2)设购进A 型电饭煲m 台，则购进B 型电饭煲(50−m)台，依题意得：{m ≥50−m 200m +180(50−m)≤9560， 解得：25≤m ≤28，又∵m 为正整数，∴m 可以为25，26，27，28，∴厨具店共有4种进货方案，方案1：购进A 型电饭煲25台，B 型电饭煲25台；方案2：购进A 型电饭煲26台，B 型电饭煲24台；方案3：购进A 型电饭煲27台，B 型电饭煲23台；方案4：购进A 型电饭煲28台，B 型电饭煲22台．(3)进货方案1可获得的利润为(300−200)×25+(260−180)×25=4500(元)， 进货方案2可获得的利润为(300−200)×26+(260−180)×24=4520(元)， 进货方案3可获得的利润为(300−200)×27+(260−180)×23=4540(元)， 进货方案4可获得的利润为(300−200)×28+(260−180)×22=4560(元)． ∵4500<4520<4540<4560，∴选择进货方案4厨具店利润最大，最大利润为4560元．【解析】(1)设该厨具店购进A 型电饭煲x 台，B 型电饭煲y 台，根据“厨具店购进这两种电饭煲共30台，用去了5600元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出该厨具店购进A ，B 型电饭煲的数量；(2)设购进A 型电饭煲m 台，则购进B 型电饭煲(50−m)台，根据“总价不超过9560元，且购进A 型电饭煲的数量不少于B 型电饭煲数量”，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，再结合m 为正整数，即可得出各进货方案；(3)利用总利润=每台的利润×销售数量(进货数量)，即可求出分别选择各方案可获得的利润，比较后即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；(3)根据各数量之间的关系，列式计算．23.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，∴AC=√AB2−BC2=√102−82=6，∵P，Q关于BC对称，∴PC=CQ=6−m，∴PQ=2PC=12−2m；(2)当AP=PD时，∠A=∠PDA，∵QD⊥AB，∴∠ADQ=90°，∴∠PDQ+∠ADP=90°，∠Q+∠A=90°，∴∠Q=∠PDQ，∴PD=PQ，∴PA=PQ，∴m=12−2m，∴m=4，∴CP=AC−AP=6−4=2；(3)∴CP=CQ，∴S△PEC=S△ECQ，∵S△PDE=2S△PEC，∴S△PDE=S△PEQ，∴DE=QE，设DE=EQ=x，∵∠A=60°，∠ACB=90°，∴∠B=90°−60°=30°，∴BE=2x，∵∠ADQ=90°，∴∠Q=90°−60°=30°，∴EC=12EQ=12x，∵BC=AB⋅cos30°=5√3，∴2x+12x=5√3，∴x=2√3，∴DQ=2x=4√3，CQ=PC=EQ⋅cos30°=3，∵AQ=DQxos30∘=8，∴m=AP=AQ−PQ=8−3=5．【解析】(1)利用勾股定理求出AC，再根据对称性PQ=2PC，可得结论；(2)证明PA=PQ，构建方程求出m即可．(3)证明DE=EQ，设DE=EQ=x，根据BC=5√3，构建方程求出x，再求出AQ，PQ，可得结论．本题考查轴对称的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．。

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