对数概念及其运算(课堂PPT)
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4.3.2对数的运算PPT课件(人教版)
请看课本P126：练习3
小结：1.积、商、幂的对数运算性质
如果 a > 0，a 1，M > 0，N > 0，那么：
(1)loga (MN ) loga M loga N
(2) loga
M N
loga M
loga N
(3)loga M n nloga M (n R)
思考：性质(1)是否可以推广到n个数的情形?
(1) log3 (27 92 ) log3[33 (32 )2 ]
log3[33 34 ] log3 37 7
（2）lg 5 lg 2 lg(5 2) lg10 1
（3）log 5
3 log5
1 3
log
5
(3
1) 3
log5 1
0
（4）log
3
5
log
3
15
log
3
5 15
log3 31 1
积、商、幂的对数运算性质： 如果a>0，a1，M>0，N>0，那么：
(1)loga (MN ) loga M loga N
M (2) loga N loga M loga N
(3)loga M n nloga M (n R)
请看课本P126：练习2
2.用lg x, lg y, lg z表示下列各式：
logc a x logc a
x logc a logc a
x
loga b
即证得
log
ab
logc logc
b a
－－－这就是对数里很重要的一个公式：换底公式
换底公式:
loga
b
logc logc
b a
高中数学 对数与对数运算课件(精品课件)
3
log9 92
3 2
（2） log 4 3 81
解法一：设 x
log4 3 81
则
x
43
x
81, 34
34 ,
解法二： log4 3 81 log4 3 ( 4 3)16 16
x3 2
x 16
对数运算性质
理论证明：
1 loga(MN)= logaM +logaN
理论证明：
1 loga(MN)= logaM +logaN
例如： log e 3 简记作ln3 ; log e 10 简记作ln10
(6)底数a的取值范围： (0,1) (1, )
真数N的取值范围： (0, )
讲解范例
例2 将下列对数式写成指数式：
（1） log1 27 3
（2）
3
log5
1 125
3
13 27
3 53 1
125
（3） ln10 2.303
对数的概念及运算性质
定义： 一般地，如果 a a 0, a 1
的b次幂等于N, 就是 ab N ，那么数 b叫做
以a为底 N为真数的对数，记作 loga N b a叫做对数的底数，N叫做真数。
例如：
42 16
102 100
1
42 2
10 2 0.01
log4 16 2
log10 100 2
log4 2
3 31 log3 2
1 lg9
1002
解: 2 log2 3 log3 7 log7 8
lg 3 lg 7 lg 8 lg 23 3
lg 2 lg 3 lg 7 lg 2
例1:计算:
对数的概念和运算性质课件
常见的对数方程解法
方法包括转换法、换底法、 指数幂等式法、配方法及 直接化幂为幂、幂等式、 差倍角公式。
真实场景中的对数方 程应用
生物学、化学、物理学和 金融学等领域中使用对数 方程来解决实际问题。
对数在实际问题中的应用
对数在生物学中的应用
对数函数可以用于描述生物学 中导数增长，基因表达和代谢 过程等。
• 《高中数学教师操作 指南第8册》
• 《高中数学课件：对 数公式集锦》
网络资源推荐
学术期刊推荐
• Khan Academy 对数 公式视频
• Wolfram Alpha 对数计算器
• Nature 数学部分论文
• Journal of Mathematical Analysis and Applicationgab 表示以 a 为底，b 的对数。
特殊情况：自然对数和常用对数
自然对数以 e（欧拉数）为底，常用对数以 10 为底。
对数的运算性质
1
对数的除法法则
2
loga(b/c) = logab - logac
3
对数的乘法法则
loga(bc) = logab + logac
对数的幂运算法则
logabc = c logab
对数的换底公式
定义
换底公式将一个对数重新表示 为以不同底数的对数。
推导过程
我们可以使用对数乘法法则和 对数的无穷级数来推导换底公 式。
举例说明
应用换底公式简化对数运算可 以减少常见错误。
对数方程的解法
对数方程的基本概念
解对数方程涉及用对数函 数来消去指数，得到一个 关于变量的代数方程。
对数在物理学中的应用
对数可以用于描述物理刺激强 度和感官响应之间的关系，以 及放射性退化中元素浓度的变 化。
对数的概念及运算法则-PPT
你发现了什 么?
对数恒等式： loga an n 作为公式用
18
探 求下列各式的值：
究
活
动 (1) 2log2 3 3
感 悟
(2) 7log7 0.6 0.6
数
学 (3) 0.4log0.4 89 89
你发现了什 么?
对数恒等式： aloga N N
19
练习 3.求下列各式的值
（1） log5 25 2 （2） log25 25 1 （3） lg10 1 （4） lg 0.01 2 （5） lg1000 3 （6） lg 0.001 3
log a
M N
log a M
log a N
(2)
logaMn nlogaM(n R) (3)
例题讲解 例1 求下列各式的值：
（1） log2 6 1
（2） lg 5 lg 2 lg(5 2) lg10 1
（3）
log5
3
log5
1 3
（4） log3 5 log3 15
26
102 100
log10 100 2
1
42 2
log 4
2
1 2
102 0.01
log10 0.01 2
练习： a x N loga N x
把下列指数式改写成对数式
（1）54 625 log5 625 4
（2） 26 1 64
（3） 3a 27
log2
1 64
6
log3 27 a
对数的概念及运算法则
知识探究（一）：对数的概念
思考1:若24＝M，则M＝？16 思考2:若若22x－＝2＝16N，，则则xN＝＝？？414
若2x＝ 1 4
对数概念及其运算(课堂PPT)
13
斯在他的著作《自然辩证法》中曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积 (Pierre Simon
Laplace,1749—1827)曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延
4.4 对数的概念及 其运算
2 对数运算法则
14
任取两组M、N完成下表
从中请找出同底的对数有哪些运算性质？并证明其中其中一个性质。 并注意每个性质要满足什么条件才能成立
那么 数b就叫作以a为底N的对数
记作
log aN = b
叫作底数
a>0,a≠1
叫作以a为底N的对数 b∈R
叫作真数
N>0
常用对数：lg x
3
自然对数：ln x
例1：求下列各式中x的取值范围
1 lo g 2 (1 2 x ) 2 lo g x x
2
3 lo g ( x 2 x ) x 1
12
对数的发明
对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢?在数学史上， 一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔 (J·Napier,1550～1617) 在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门
纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于
解1.08x=2 23
思考题
❖ 21000是几位数
l o g 2 x p ; l o g a y q ; l o g a z r , 把 a 2 p q 3 r 用 x , y , z 表 示
2log2 54
log2 2 2
2 3 log4( 32)2 log9( 32)2
斯在他的著作《自然辩证法》中曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积 (Pierre Simon
Laplace,1749—1827)曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延
4.4 对数的概念及 其运算
2 对数运算法则
14
任取两组M、N完成下表
从中请找出同底的对数有哪些运算性质？并证明其中其中一个性质。 并注意每个性质要满足什么条件才能成立
那么 数b就叫作以a为底N的对数
记作
log aN = b
叫作底数
a>0,a≠1
叫作以a为底N的对数 b∈R
叫作真数
N>0
常用对数：lg x
3
自然对数：ln x
例1：求下列各式中x的取值范围
1 lo g 2 (1 2 x ) 2 lo g x x
2
3 lo g ( x 2 x ) x 1
12
对数的发明
对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢?在数学史上， 一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔 (J·Napier,1550～1617) 在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门
纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于
解1.08x=2 23
思考题
❖ 21000是几位数
l o g 2 x p ; l o g a y q ; l o g a z r , 把 a 2 p q 3 r 用 x , y , z 表 示
2log2 54
log2 2 2
2 3 log4( 32)2 log9( 32)2
对数的运算性质公开课课件
对数的运算性质公开课PPT课 件
汇报人:
2023-12-20
目ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CONTENCT
录
• 对数的基本概念与性质 • 对数的运算法则 • 对数在数学中的应用 • 对数在生活中的实际应用 • 对数的运算技巧与注意事项 • 总结与回顾
01
对数的基本概念与性质
对数的定义及表示方法
定义
如果$a^x=N（a>0，且a≠1）$，那么数$x$叫做以$a$为底$N$ 的对数，记作$x=\log_aN$，读作以$a$为底$N$的对数，其中 $a$叫做对数的底数，$N$叫做真数。
分离常数项
将对数表达式中的常数项分离出来，以便进行后续的运算 。
对数的换底公式应用
换底公式的引入
介绍换底公式的基本原理和推导过程，说明其在解决对数运 算问题中的重要性。
换底公式的应用举例
通过具体实例，展示如何利用换底公式将对数表达式转换为 以其他数为底的对数形式，从而简化运算过程。
避免运算错误的方法
03
对数在连续复利计算中的应用
通过对连续复利公式中的指数部分进行对数运算，简化计算过程并求得
最终收益。
05
对数的运算技巧与注意事项
对数的化简技巧
利用对数的性质进行化简
使用对数的乘法、除法、指数和换底等性质，将复杂的对 数表达式化简为简单的形式。
合并同类项
将对数表达式中的同类项进行合并，减少运算的复杂性。
等式证明
通过对数运算性质，可以将等式两边的表达式进行化简和整理，从而证明等式成 立。
04
对数在生活中的实际应用
地震震级与里氏震级的关系
地震震级定义
对数在震级计算中的应用
衡量地震释放能量的大小，常用里氏 震级表示。
汇报人:
2023-12-20
目ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CONTENCT
录
• 对数的基本概念与性质 • 对数的运算法则 • 对数在数学中的应用 • 对数在生活中的实际应用 • 对数的运算技巧与注意事项 • 总结与回顾
01
对数的基本概念与性质
对数的定义及表示方法
定义
如果$a^x=N（a>0，且a≠1）$，那么数$x$叫做以$a$为底$N$ 的对数，记作$x=\log_aN$，读作以$a$为底$N$的对数，其中 $a$叫做对数的底数，$N$叫做真数。
分离常数项
将对数表达式中的常数项分离出来，以便进行后续的运算 。
对数的换底公式应用
换底公式的引入
介绍换底公式的基本原理和推导过程，说明其在解决对数运 算问题中的重要性。
换底公式的应用举例
通过具体实例，展示如何利用换底公式将对数表达式转换为 以其他数为底的对数形式，从而简化运算过程。
避免运算错误的方法
03
对数在连续复利计算中的应用
通过对连续复利公式中的指数部分进行对数运算，简化计算过程并求得
最终收益。
05
对数的运算技巧与注意事项
对数的化简技巧
利用对数的性质进行化简
使用对数的乘法、除法、指数和换底等性质，将复杂的对 数表达式化简为简单的形式。
合并同类项
将对数表达式中的同类项进行合并，减少运算的复杂性。
等式证明
通过对数运算性质，可以将等式两边的表达式进行化简和整理，从而证明等式成 立。
04
对数在生活中的实际应用
地震震级与里氏震级的关系
地震震级定义
对数在震级计算中的应用
衡量地震释放能量的大小，常用里氏 震级表示。
4.3.2对数的运算 课件(共24张PPT)
∴log ( ) = log
− log
练习
练习
练习
对数的运算法则-数乘公式
n个M相乘
log = log ( × × ⋯ … × ）
n个log 相加
= log + log + ⋯ … + log
= log
练习
常用对数与自然对数
对数的基本运算
a＞0且 ≠ 1，log 1 = 0
a＞0且≠1，log = 1
a＞0且≠1，log = x
ln = 1
lg 10 = 1
ln 1 = 0
lg 1 = 0
对数恒等式
log
=
令 =
log
则
=
∴log = log
∵log =
lg
lg Leabharlann lg log b =
lg b
lg lg
∴log × log = × =1
lg
lg b
=
=
= log
练习
练习
练习
即=+
∴log () = +
∴log () = log + log
对数的运算法则-减法公式
令log = , log =
则 = , =
∴ = ÷ = −
即 =−
∴log ( ) = −
∴t=N
log
∴
=
练习
3log3 2 = 2
对数的概念与运算PPT课件
则 a>b>c .
-
12
三、解不等式 (1) 33-x<6
(2) lg(x-1)<1
四、图象的变换
y
已知f(x)=lgx的图象,画出下列 函数的图象,并指出与y=f(x)之 间的关系.
(1) y=f(-x)
(2) y=-f(x)
O1
x
(3) y=f(x+1) (4)y=f(x)-2
(5) y=f(∣x∣) (6) y=∣f(x)∣
对数
对数的概念 1. 对数的概念
与运算
2. 对数恒等式
3. 对数的运算性质
4. 换底公式
如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,即 ab=N,那么就称b是以a为底N的对数, 记作logaN=b.其中,a叫做对数的底 数,N叫做真数,N>0.
lgN叫常用对数, lnN叫自然对数
对数函数
-
1
对数
对数的概念 1. 对数的概念
M
② loga N =logaM-logaN
③ loga M n =nlogaM
其中a>0,a≠1,M>0,N>0,n∈R
对数函数
-
3
对数
对数的概念 1. 对数的概念
与运算
2. 对数恒等式
3. 对数的运算性质
4. 换底公式
lo
ga
N
logc logc
N a
其中a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0
log31= 0 , lg1000= 3 ,
1
log2 2 = 2 ,
log256-log27=
1
log2 2 =
-1 , log327=
-
12
三、解不等式 (1) 33-x<6
(2) lg(x-1)<1
四、图象的变换
y
已知f(x)=lgx的图象,画出下列 函数的图象,并指出与y=f(x)之 间的关系.
(1) y=f(-x)
(2) y=-f(x)
O1
x
(3) y=f(x+1) (4)y=f(x)-2
(5) y=f(∣x∣) (6) y=∣f(x)∣
对数
对数的概念 1. 对数的概念
与运算
2. 对数恒等式
3. 对数的运算性质
4. 换底公式
如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,即 ab=N,那么就称b是以a为底N的对数, 记作logaN=b.其中,a叫做对数的底 数,N叫做真数,N>0.
lgN叫常用对数, lnN叫自然对数
对数函数
-
1
对数
对数的概念 1. 对数的概念
M
② loga N =logaM-logaN
③ loga M n =nlogaM
其中a>0,a≠1,M>0,N>0,n∈R
对数函数
-
3
对数
对数的概念 1. 对数的概念
与运算
2. 对数恒等式
3. 对数的运算性质
4. 换底公式
lo
ga
N
logc logc
N a
其中a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0
log31= 0 , lg1000= 3 ,
1
log2 2 = 2 ,
log256-log27=
1
log2 2 =
-1 , log327=
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logaMn(logaM )n
17
例1、用 logax,logay,logaz表示下列各式
xy
(1)loga
; z
x2 y (2)loga 3z
18
2、计算 lg 0 .0 1 4
lo g 2 (2 4 3 4 ) lg 2 lg 5;
lo g 3
27 5
lo g 3
2 3
lo g 3
6 5
那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢?在那个时代，计算多位数之间的乘积， 看看下面这个例子： (1)0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11， 12， 13， 14，… (2)1，2，4，8，16，32，64，126，256，512，1024，2048，4096，8192，16384，… 这两行数字之间的关系是极为明确的：第(1)行表示2的指数，第(2)行表示2
19
例3、科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设I为 地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级量度r 可定义为r=(2/3)lgI+2,试比较6.9级和7.8级地震 的相对能量的比值．（精确到个位）
练习：书本P10
20
21
22
小结
a>0,a≠1,M,N>0 (1)logaM+logaN=loga(M×N) (2)loga(M÷N)=logaM-logaN (3)logaMn=nlogaM
5
例3、用计算器计算下列各数的值：（结果精确到0.01） (1)lg5.24 ,lg0.02 ,lg348, lg82 (2)猜想真数为何值时，对数为正或为负； （3）用指数函数的性质解释你的结论。
6
小结
❖ 对数的概念（由指数而来） ❖ 底数、真数、对数的限制条件 ❖ 指数形式、对数形式互化（底数不变）
13
斯在他的著作《自然辩证法》中曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积 (Pierre Simon
Laplace,1749—1827)曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延
4.4 对数的概念及 其运算
2 对数运算法则
14
任取两组M、N完成下表
从中请找出同底的对数有哪些运算性质？并证明其中其中一个性质。 并注意每个性质要满足什么条件才能成立
M N M+N M-N M×N M÷N
lgM lgN lg(M+N) lg(M-N) lg(M×N) lg(M÷N)
lgM+ lgN lgM-lgN lgM×lgN lgM÷lgN
15
同底的积、商、幂对数性质
a>0,a≠1
M,N>0
logaM+logaN=loga(M×N)
loga(M÷N)=logaM-logaN
4
例2：指数式、对数式互化
指数化成对数
54625, 2 51, 32
3a81 , 1 3 m5.73
对数化成指数
1
2
lo g 1 2 1 6 4 , lo g 2 1 2 8 7 , lg 0 .0 1 2 , lo g 8 4 3 ,
lo g a 1 0 ,lo g a a 1 ,lo g a a b b ,a lo g a N N
12
对数的发明
对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢?在数学史上， 一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔 (J·Napier,1550～1617) 在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门
纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计，4
回家作业
习题4.4A组4,5,6
那么 数b就叫作以a为底N的对数
记作
log aN = b
叫作底数
a>0,a≠1
叫作以a为底N的对数 b∈R
叫作真数
N>0
常用对数：lg x
3
自然对数：ln x
例1：求下列各式中x的取值范围
1 lo g 2 (1 2 x ) 2 lo g x x
2
3 lo g ( x 2 x ) x 1
64×256 的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6，256对应8；然后再把第一行中的对应数字 加起来：6＋8=14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256=16384
简化计算”的时候，采用的正是这种思路：计算两个复杂的乘积，先查《常用对数表》，找到 这两个复杂数的常用对数，把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出和 思路，不正是对数运算的明显特征吗? 经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙对数定律说明书》，向世人公
解1.08x=2 7
练习：P7练习4.4（1）
8
9
❖ 练习部分 B组1，2
回家作业
习题4.4A组1，2，3
10
homework
11
知识：一个整数的常用对数，都可以写成一个整数加上 一个正的纯小数（或零）的形式，其中整数部分叫做常 用对数的首数，小数（或零）部分叫做常用对数的尾数。
思考：
计算：lg2;lg200;lg0.002的值，讨论 它们的首数与尾数有什么规律？
logaMn=nlogaM
16
练习：判别下列结论是否正确：
lo g a (M N ) lo g aM lo g aN 注意成立条件
alogaM NMN
注意括号的重要性
lo g aM lo g aN lo g a (M N )
lo g a (M N ) lo g aM lo g aN 典型的常见错误
4.4 对数的概念及 其运算
（1）对数的概念
1
引入
1、2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平 均增长率为8%，那么经过多少年国民生产总值是 2002时的2倍？
2、解以下方程 10x=100
10x=400
已知底数和幂的值，求指数问题。 ab=N
2
一、对数的概念
如果
ab=N (a>0,a≠1)，
解1.08x=2 23
思考题
❖ 21000是几位数
l o g 2 x p ; l o g a y q ; l o g a z r , 把 a 2 p q 3 r 用 x , y , z 表 示
2log2 54
log2 2 2
2 3 log4( 32)2 log9( 32)2
log ( 21