对数概念及其运算(课堂PPT)
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M N M+N M-N M×N M÷N
lgM lgN lg(M+N) lg(M-N) lg(M×N) lg(M÷N)
lgM+ lgN lgM-lgN lgM×lgN lgM÷lgN
15
同底的积、商、幂对数性质
a>0,a≠1
M,N>0
logaM+logaN=loga(M×N)
loga(M÷N)=logaM-logaN
解1.08x=2 7
练习：P7练习4.4（1）
8
9
❖ 练习部分 B组1，2
回家作业
习题4.4A组1，2，3
10
homework
11
知识：一个整数的常用对数，都可以写成一个整数加上 一个正的纯小数（或零）的形式，其中整数部分叫做常 用对数的首数，小数（或零）部分叫做常用对数的尾数。
思考：
计算：lg2;lg200;lg0.002的值，讨论 它们的首数与尾数有什么规律？
12
对数的发明
对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢?在数学史上， 一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔 (J·Napier,1550～1617) 在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门
纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于
logaMn(logaM )n
17
例1、用 logax,logay,logaz表示下列各式
xy
(1)loga
; z
x2 y (2)loga 3z
18
2、计算 lg 0 .0 1 4
lo g 2 (2 4 3 4 ) lg 2 lg 5;
lo g 3
27 5
lo g 3
2 3
lo g 3
6 5
64×256 的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6，256对应8；然后再把第一行中的对应数字 加起来：6＋8=14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256=16384
简化计算”的时候，采用的正是这种思路：计算两个复杂的乘积，先查《常用对数表》，找到 这两个复杂数的常用对数，把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出和 思路，不正是对数运算的明显特征吗? 经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙对数定律说明书》，向世人公
19
例3、科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设I为 地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级量度r 可定义为r=(2/3)lgI+2,试比较6.9级和7.8级地震 的相对能量的比值．（精确到个位）
练习：书本P10
20
21
22
小结
a>0,a≠1,M,N>0 (1)logaM+logaN=loga(M×N) (2)loga(M÷N)=logaM-logaN (3)logaMn=nlogaM
4
例2：指数式、对数式互化
指数化成对数
54625, 2 51, 32
3a81 , 1 3 m5.73
对数化成指数
1
2
lo g 1 2 1 6 4 , lo g 2 1 2 8 7 , lg 0 .0 1 2 , lo g 8 4 3 ,
lo g a 1 0 ,lo g a a 1 ,lo g a a b b ,a lo g a N N
4.4 对数的概念及 其运算
（1）对数的概念
1
引入
1、2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平 均增长率为8%，那么经过多少年国民生产总值是 2002时的2倍？
2、解以下方程 10x=100
10x=400
已知底数和幂的值，求指数问题。 ab=N
2
一、对数的概念
如果
ab=N (a>0,a≠1)，
13
斯在他的著作《自然辩证法》中曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积 (Pierre Simon
Laplace,1749—1827)曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延
4.4 对数的概念及 其运算
2 对数运算法则
14
任取两组M、N完成下表
从中请找出同底的对数有哪些运算性质？并证明其中其中一个性质。 并注意每个性质要满足什么条件才能成立
那么 数b就叫作以a为底N的对数
记作
log aN = b
叫作底数
a>0,a≠1
叫作以a为底N的对数 b∈R
叫作真数
N>0
常用对数：lg x
3
自然对数：ln x
例1：求下列各式中x的取值范围
1 lo g 2 (1 2 x ) 2 lo g x x
2
3 lo g ( x 2 x ) x 1
5
例3、用计算器计算下列各数的值：（结果精确到0.01） (1)lg5.24 ,lg0.02 ,lg348, lg82 (2)猜想真数为何值时，对数为正或为负； （3）用指数函数的性质解释你的结论。
6
小结
❖ 对数的概念（由指数而来） ❖ 底数、真数、对数的限制条件 ❖ 指数形式、对数形式互化（底数不变）
解1.08x=2 23
思考题
❖ 21000是几位数
l o g 2 x p ; l o g a y q ; l o g a z r , 把 a 2 p q 3 r 用 x , y , z 表 示
2log2 54
log2 2 2
2 3 log4( 32)2 log9( 32)2
log ( 21
2 1)
24百度文库
❖ 练习部分 B组3，4
回家作业
习题4.4A组4,5,6
logaMn=nlogaM
16
练习：判别下列结论是否正确：
lo g a (M N ) lo g aM lo g aN 注意成立条件
alogaM NMN
注意括号的重要性
lo g aM lo g aN lo g a (M N )
lo g a (M N ) lo g aM lo g aN 典型的常见错误
那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢?在那个时代，计算多位数之间的乘积， 看看下面这个例子： (1)0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11， 12， 13， 14，… (2)1，2，4，8，16，32，64，126，256，512，1024，2048，4096，8192，16384，… 这两行数字之间的关系是极为明确的：第(1)行表示2的指数，第(2)行表示2
lgM lgN lg(M+N) lg(M-N) lg(M×N) lg(M÷N)
lgM+ lgN lgM-lgN lgM×lgN lgM÷lgN
15
同底的积、商、幂对数性质
a>0,a≠1
M,N>0
logaM+logaN=loga(M×N)
loga(M÷N)=logaM-logaN
解1.08x=2 7
练习：P7练习4.4（1）
8
9
❖ 练习部分 B组1，2
回家作业
习题4.4A组1，2，3
10
homework
11
知识：一个整数的常用对数，都可以写成一个整数加上 一个正的纯小数（或零）的形式，其中整数部分叫做常 用对数的首数，小数（或零）部分叫做常用对数的尾数。
思考：
计算：lg2;lg200;lg0.002的值，讨论 它们的首数与尾数有什么规律？
12
对数的发明
对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢?在数学史上， 一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔 (J·Napier,1550～1617) 在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门
纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于
logaMn(logaM )n
17
例1、用 logax,logay,logaz表示下列各式
xy
(1)loga
; z
x2 y (2)loga 3z
18
2、计算 lg 0 .0 1 4
lo g 2 (2 4 3 4 ) lg 2 lg 5;
lo g 3
27 5
lo g 3
2 3
lo g 3
6 5
64×256 的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6，256对应8；然后再把第一行中的对应数字 加起来：6＋8=14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256=16384
简化计算”的时候，采用的正是这种思路：计算两个复杂的乘积，先查《常用对数表》，找到 这两个复杂数的常用对数，把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出和 思路，不正是对数运算的明显特征吗? 经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙对数定律说明书》，向世人公
19
例3、科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设I为 地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级量度r 可定义为r=(2/3)lgI+2,试比较6.9级和7.8级地震 的相对能量的比值．（精确到个位）
练习：书本P10
20
21
22
小结
a>0,a≠1,M,N>0 (1)logaM+logaN=loga(M×N) (2)loga(M÷N)=logaM-logaN (3)logaMn=nlogaM
4
例2：指数式、对数式互化
指数化成对数
54625, 2 51, 32
3a81 , 1 3 m5.73
对数化成指数
1
2
lo g 1 2 1 6 4 , lo g 2 1 2 8 7 , lg 0 .0 1 2 , lo g 8 4 3 ,
lo g a 1 0 ,lo g a a 1 ,lo g a a b b ,a lo g a N N
4.4 对数的概念及 其运算
（1）对数的概念
1
引入
1、2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平 均增长率为8%，那么经过多少年国民生产总值是 2002时的2倍？
2、解以下方程 10x=100
10x=400
已知底数和幂的值，求指数问题。 ab=N
2
一、对数的概念
如果
ab=N (a>0,a≠1)，
13
斯在他的著作《自然辩证法》中曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积 (Pierre Simon
Laplace,1749—1827)曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延
4.4 对数的概念及 其运算
2 对数运算法则
14
任取两组M、N完成下表
从中请找出同底的对数有哪些运算性质？并证明其中其中一个性质。 并注意每个性质要满足什么条件才能成立
那么 数b就叫作以a为底N的对数
记作
log aN = b
叫作底数
a>0,a≠1
叫作以a为底N的对数 b∈R
叫作真数
N>0
常用对数：lg x
3
自然对数：ln x
例1：求下列各式中x的取值范围
1 lo g 2 (1 2 x ) 2 lo g x x
2
3 lo g ( x 2 x ) x 1
5
例3、用计算器计算下列各数的值：（结果精确到0.01） (1)lg5.24 ,lg0.02 ,lg348, lg82 (2)猜想真数为何值时，对数为正或为负； （3）用指数函数的性质解释你的结论。
6
小结
❖ 对数的概念（由指数而来） ❖ 底数、真数、对数的限制条件 ❖ 指数形式、对数形式互化（底数不变）
解1.08x=2 23
思考题
❖ 21000是几位数
l o g 2 x p ; l o g a y q ; l o g a z r , 把 a 2 p q 3 r 用 x , y , z 表 示
2log2 54
log2 2 2
2 3 log4( 32)2 log9( 32)2
log ( 21
2 1)
24百度文库
❖ 练习部分 B组3，4
回家作业
习题4.4A组4,5,6
logaMn=nlogaM
16
练习：判别下列结论是否正确：
lo g a (M N ) lo g aM lo g aN 注意成立条件
alogaM NMN
注意括号的重要性
lo g aM lo g aN lo g a (M N )
lo g a (M N ) lo g aM lo g aN 典型的常见错误
那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢?在那个时代，计算多位数之间的乘积， 看看下面这个例子： (1)0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11， 12， 13， 14，… (2)1，2，4，8，16，32，64，126，256，512，1024，2048，4096，8192，16384，… 这两行数字之间的关系是极为明确的：第(1)行表示2的指数，第(2)行表示2