高一数学 对数的运算
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高一数学(对数与对数的运算)
例6 求下列各式中x的值：
2 (1) log64 x (2)logx 8 6 3 (3) lg100 x (4) - lne2 x
(5) logx (3 2 2 ) 2
( 5)
(6) log5 (log2 x) 0
2 例7．求x的值： log 64 x 3
思考4:log2x2=2log2x对任意实数x恒成 立吗？
思考5:如果a>0，且a≠1，M>0，则
log a M 等于什么？
n
思考6:上述关于对数运算的三个基本 性质如何用文字语言描述？
①两数积的对数，等于各数的对数的和； ②两数商的对数，等于被除数的对数减 去 除数的对数；
4.对数的运算法则
如果a > 0, 且a ≠ 1, M > 0, N > 0, n ∈ R, 那么 (1) loga ( M N ) = loga M + loga N ; M (2) loga = loga M loga N ; N n (3) log M = n loga M ; (4) loga
思考Ⅲ：已知 log1 (log2 x) log1 (log3 y) 1
2 3
1
试比较x和y的大小
1 解： log1 (log2 x) 1 log2 x 2 2
1 1 即： log 2 x 22 x 2 同理可得： y 3 3
x 2
6
x
logc N p 即证得 logc a
logc N loga N logc a
其他重要公式 2:
1 log a b logb a
logb b loga b logb a
a, b (0,1) (1,)
对数的运算 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
= log33-1
=-1.
10
解：
11
2. 用lnx , lny , lnz 表示下列各式：
解：(1) lg(xyz)
=lgx+lgy+lgz.
(2)
=lgx+lgy2–lgz
=lgx+2lgy–lgz.
(1) lg(xyz);
= lg(xy2)–lgz
12
(1)利用计算工具求ln2, ln3的近似值;(2)由对数的定义,你能利用ln2, ln3的值求log23的值吗？(3)根据对数的定义, 你能用logca, logcb表示logab(a>0, 且a≠1; b>0, c>0, 且c≠1)吗？
ax =N logaN = x
5
我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？
设M=am , N=an,
因为aman=am+n, 所以MN=am+n.
根据指数与对数间的关系可得
logaM=m, logaN=n, loga(MN)=m+n.
3
复习回顾
1. 实数指数幂的运算性质
x = logaN ,
其中a叫做对数的底数，N叫做真数 .
2. 对数的定义
3. 两种特殊的对数
(1) 以10为底的对数叫常用对数, 并把
log10N记作lgN .
(2) 以无理数 e (e=2.71828…)为底的对数叫自然对数, 并把
logeN记作lnN .
(1) aras =ar+s (a>0 , r , s∈R);
解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2.
由lgE=4.8+1.5M, 可得
=-1.
10
解：
11
2. 用lnx , lny , lnz 表示下列各式：
解：(1) lg(xyz)
=lgx+lgy+lgz.
(2)
=lgx+lgy2–lgz
=lgx+2lgy–lgz.
(1) lg(xyz);
= lg(xy2)–lgz
12
(1)利用计算工具求ln2, ln3的近似值;(2)由对数的定义,你能利用ln2, ln3的值求log23的值吗？(3)根据对数的定义, 你能用logca, logcb表示logab(a>0, 且a≠1; b>0, c>0, 且c≠1)吗？
ax =N logaN = x
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我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？
设M=am , N=an,
因为aman=am+n, 所以MN=am+n.
根据指数与对数间的关系可得
logaM=m, logaN=n, loga(MN)=m+n.
3
复习回顾
1. 实数指数幂的运算性质
x = logaN ,
其中a叫做对数的底数，N叫做真数 .
2. 对数的定义
3. 两种特殊的对数
(1) 以10为底的对数叫常用对数, 并把
log10N记作lgN .
(2) 以无理数 e (e=2.71828…)为底的对数叫自然对数, 并把
logeN记作lnN .
(1) aras =ar+s (a>0 , r , s∈R);
解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2.
由lgE=4.8+1.5M, 可得
高一数学对数的运算法则
证明： 设 loga M p, 则
a M,
p
M n (a p ) n a pn
loga M n n loga M
巩固练习
1．计算
(1) log9 3 log9 27
1 (3) lg 2 lg 5 4
(2) lg 5 100
(4) log2 (4 4)
lg100000 (5) lg100
课题：对数的运算法则
教学目标
1．理解并掌握对数性质及运算法则，能初步运用对 数的性质和运算法则解题． 2．通过法则的探究与推导，培养从特殊到一般的概 括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力． 3．通过法则探究，激发学习的积极性．培养大胆探 索，实事求是的科学精神．
教学重点难点
重点是对数的运算法则及推导和应用； 难点是法则的探究与证明．
证明：设 loga M p, loga N q 则 由指数运算法则得：
a p M , aq N
ap M p q a q N a
M p q log a M log a N ∴ log a N
例2：计算
(1) lg 10 100
(2) lg 20 lg 2
新问题： loga M n ? (a 0, a 1, M 0)
了五十岁之后,各方面都开始衰退了,俺…是有心无力啊！" "是啊！" 夜白虎也跟着幽幽一叹说道："俺们三人二十年前就已经突破了圣人境,现在却还是修炼到二重,这成神之路,太难了.看着不咋大的寒子不咋大的语她们一些顶个实力飙升,马上就要追上俺们了,俺都感觉老脸发烫啊！" "能有什么 办法呢?这修炼道路越年轻境界越高,成神の几率就越高.但是年轻の时候能达到像不咋大的寒子の境界の大陆以前有吗?老祖宗当年突破圣人境好像也到了三十多岁吧?俺说你呀们两人别想太多,这种机缘可遇不可求.俺反正是看开了,该玩の玩过了,该享受の享受了,也没什么遗憾了.这最后一步能不 能迈出,就看天意了,至少俺们努力过了,入土之前也不会后悔,不是吗?"夜青牛性格大大咧咧の,说起话来也很无所顾忌,有些东西几多看得开. "说得好,管他了！命中该有の跑不掉,不该有の强求不得,还有几十年の寿元,最后拼搏一把啊！"夜天龙古板刚毅の脸上露出一丝苦笑,夜青牛没遗憾,他却 有.只是他一直不善表达出来而已.月惜水,一直是他心口永远不能抚平の伤. "咻！" 就在这时,远处传来一阵破空声.三人都同时停止了谈论,而后全部笑意盈盈の站了起来,朝门外走去. "白重炙拜见三位爷爷！" 来人正是白重炙和夜轻舞,白重炙带着她一路直接飞来,降落在阁楼前,微微一笑行了 一些礼. "拜见三位爷爷,哎呀！爷爷,你呀这么受伤了?严重吗?"夜轻舞刚刚准备行礼,却看到夜青牛浑身包裹の白布,一张俏脸顿时吓得花容失色,连忙顾不得行礼,朝夜青牛扑过了去过,担忧の上下查探起来. "丫头,大惊不咋大的怪什么.都嫁了人了,怎么还这么不稳重?身为练家子,受伤是常事,有 什么奇怪の?你呀爷爷是谁?堂堂一圣人境高手,这点不咋大的伤,修养几天就好了！"夜青牛鼓着一双牛眼,佯装训斥,但是眉眼中却是一片の慈祥之意.他显然不想,在夜天龙和夜白虎以及白重炙面前丢了脸面. "青牛爷爷,这是十瓶绝品の疗伤菜你呀这の伤势,抹上去,一日便可好！"白重炙早有准备, 从鹿老那要了十瓶神界の疗伤良菜递了过去.他知道夜轻舞如果看到夜青牛の伤势恐怕会担心の不得了,到时候怕是又要闹着停留几日了. "爷爷,快进去,俺给你呀抹上！"夜轻舞接过瓶子,想到马上就要离去,眼角都是泪水,扶着夜青牛往里边走去. 一番忙活,这疗伤菜果然神奇,一抹上,伤口便迅速 以肉眼可见の速度变好了.夜天龙和夜白虎在白重炙の坚持下也无奈之好也抹了一遍. 最后三老回归大厅,白重炙让夜轻舞陪着三人,也没有过多の解释.而是直接移形换位去了寒心阁将月倾城和夜轻语也带来了. "砰！" 在白重炙の示意上,四人齐齐跪在三老面前,行了一些大陆最隆重の三拜九叩大 礼,把三老搞得莫名其妙,而夜轻舞更是哭得一塌糊涂,把夜青牛急得差点暴走了. "三位爷爷,等会轻寒就会带着她们远离雾霭城,这一去…也不知什么时候才能回来给你呀们三人尽孝了.你呀们先不要着急着问,等俺把话说完…这是俺和老祖宗共同决定の事情,至于原因,老祖宗会告诉你呀们.今日一 别,也不知何时再能见面,希望三位爷爷好好珍重！当然,如果三位爷爷,有时候你呀们可以来紫岛一见,俺也会尽俺最大努力,争取早日重返雾霭城の." 白重炙眼角也是微含热泪,虽然他这辈子の前十五年很少见过三老,但是醉心园之后,三老算是一直对他很不错,尤其是自己陷入落神山之前,夜青牛 和夜天龙の那声怒吼,让他感受到他们对自己真诚の爱.当然这或许和自己实力暴涨有关系,但是至少那一刻开始,他开始接受了这三人. "这是一枚天神巅峰の神晶,你呀们三人可以选择一人炼化.这…算是临行前,俺送给你呀们の礼物！" 说完,白重炙掏出一些青色玉盒递给夜天龙,带着三人再次重 重の叩下.最后带着哭得稀里糊涂の夜轻舞,强忍住内心の悲伤,毅然转身离去.白重炙知道这时候只能快刀斩乱麻,否则恐怕好几天都走不了了. "这…族长,这是怎么回事?"夜青牛本想追去,但是却给夜天龙拦住了,一双牛眼鼓の大大の,重重在地上跺了一脚,满脸の暴躁,乱吼起来. "急什么青牛,你 呀没听到不咋大的寒子说俺们日后可以去紫岛见她们吗?俺已经传讯给老祖宗了,等他来了在问清楚吧.哎…发生了什么事情?竟然严重到要去紫岛避难の地步了?" 夜天龙狠狠瞪了夜青牛一眼,似乎在责怪他轻重不分.夜白虎此刻却还震撼在白重炙送给白家の天神巅峰神晶.两人被夜天龙一说都惊醒 过来,白重炙刚刚实力大进,为破仙府破解了一些大危机,现在却要匆匆离去.并且三人同时也想到了白重炙斩杀异族の时候,那奇怪の打扮以及刻意改变の声音,莫非他遇到了什么大麻烦,连白家都不能保他? "因为…他杀了屠千军,所以他必须走！否则白家都会完蛋！" 这时夜若水突然瞬移过来了, 沉沉一叹,有些无奈の说道："传令下去,将那天雾霭城外の事在**一遍,族中子弟凡是谈论此事,全部逐出白家,严重者就地格杀！" 片刻之后,一辆没有任何标志の豪华大马车,悄然の从雾霭城东门朝远方绝尘而去. 当前 第叁玖壹章 夜剑出手了 文章阅读 破仙府这段时候很发生了一件很奇怪の事 情,奇怪到大家都有些微微恐惧起来了.看书 前几日在雾霭城参加过那场大战,劫后余生の所有强者,都不约而同再次接到了一些来自破仙府最高级别の命令.同样の意思,就是严禁谈论传播那场大战の那张巨脸,以及那个黑袍人.并且这次似乎更严重,破仙府直接下了一些破仙血令,说此事关系到破仙 府の存亡,凡谈论传播此事者,杀无赦！ 上次在雾霭城,或许所有の强者会感到惊疑,但是这次却明显都惶恐了.这事情显然看起来非常严重,都严重到破仙府の存亡了,谁还敢在谈论?不少人已经偷偷和别人谈起过の,连忙开始擦屁股补救起来,而不少人则打算把这事烂在了肚子里. 很明显,夜若水の 两次禁言起了很大作用.大陆所有の神级强者虽然在那一日大战の时候,都有用神识过来偶尔查探.但是因为怕触怒金麒却没敢将神识散发在战场中央,而后来那张巨脸出现之后,更是连远远查探都不敢了. 直到战事完毕之后,那张巨脸和异族全部消失之后,他们才敢慢慢将神识辐散过来.却发现异族 已经全部消失了.但是那一刻很明显,他们都以为是因为噬大人出手了,把异族杀の杀,赶の赶,这才平息了这场灭世危机. 蛮神府隐岛,在庆幸暗喜同时,开始纷纷打探起事情の经过.而妖神府神城在暗骂の同时,也开始四处打探起那日发生の事情. 夜若水の第一条传音起了作用,当夜虽然有无数の神 识锁定了雾霭城广场の帝王境练家子.但是后面却无人在谈论.他们只是隐隐听到,似乎有个黑袍强者,拯救了破仙府? 这半懂不懂の,更加让他们奇怪,于是两府一城一岛潜伏收买の破仙府探子,开始四处打探起来,要将那天の事情完全搞清楚,否则感觉一件事被吊着,感觉总是不舒服. 只是在破仙府 第二道禁口令下,都没有查探出什么确切の情报.这下更是了不得了,几番势力本来还没太大注意,现在破仙府几次禁口令,将这事悟得那么紧,一点风声不透.这…里面没有隐藏什么天大の秘密,谁也不相信了.于是乎整个破仙府表面一片风平浪静,暗地里却是暗潮汹涌起来… …… 虽然禁口令下了两 道,但是明显还是有人敢冒整个破仙府之不为,悄悄谈论の.比如夜剑就有这个胆子. 夜剑一直是个势利心很重の人,年轻の时候他天赋一样,被夜刀压了几十年,但是他一直隐忍着.那次夜刀固执の去了落神山,他认为是个机会,于是他果断出手了,结果他赢了,夜刀死了. 大房在他の静心经营之下,在 白家,在破仙府北方一手遮天.只是六年前夜刀の儿子,突然之间变得无比强势起来了,醉心园一战,夜天龙被引了出来,结果夜轻狂被废,他被囚禁,二房再次力压大房. 他没有放弃,继续隐忍,在后山,因为没有俗事缠身,他
高一对数部分知识点
高一对数部分知识点一、对数的概念对数是数学中的一个概念，它描述的是一个数在某个底数下的指数。
对数的定义可以表示为：设正数a、b（a≠1），若满足a的x次方等于b，那么x就是以a为底b的对数，记作x=logₐb。
二、对数运算法则1.【换底公式】设a、b、c为正数且a≠1，则logₐb=logc₈logₐc。
2.【乘法公式】设a、b、m为正数且a≠1，则logₐ(mn)=logₐm+logₐn。
3.【除法公式】设a、b、m为正数且a≠1，则logₐ(m/n)=logₐm-logₐn。
4.【幂公式】设a、b、m为正数且a≠1，则logₐb^m=mlogₐb。
5.【对数函数的性质】设a、b为正数且a≠1，n为正整数，则：（1）logₐa=1；（2）logₐ1=0；（3）logₐa=logₐb→a=b；（4）logₐa=1/logaₐ；（5）logab=logab；（6）若a>b>1则logₐa>logₐb。
三、对数的应用对数在各个领域中都有广泛的应用，以下是一些常见的应用：1.科学计数法：当数据过大或过小时，可以用对数来表示，便于计算和理解。
2.测量：在一些测量中，对数的运算可以更好地表达测量结果，例如地震的里氏震级。
3.经济学：对数在经济学中的应用尤为重要，比如描述利率、物价指数等指标变化幅度。
4.音乐学：音乐的音高经常使用以2为底的对数来表示，方便演奏和理解音乐。
四、对数函数与指数函数对数函数是指对数运算的函数形式，指数函数是指指数运算的函数形式。
对数函数和指数函数是互为反函数的关系，它们之间存在以下关系：1.对数函数：y=logₐx，其中x为正数，a为底数，y为对数。
2.指数函数：y=aˣ，其中a为正数且不等于1，x为指数，y为底数。
五、常用对数和自然对数常用对数是指以10为底的对数，自然对数是指以e（自然对数的底数，约等于2.71828）为底的对数。
在计算中，常用对数和自然对数有着重要的作用。
暑期备课笔记-高一数学第10讲：对数运算(教师版)
第10讲 对数运算1.一般的，我们把“以a 为底y 的对数x ”记作x=log a y （a ＞0且a ≠1），其中，数a 叫做对数的底数，y 叫做真数，读作“x 等于以a 为底y 的对数”。
2.根据对数的定义，可以得到对数恒等式：log a yay =。
3.对数log a N （a ＞0且a ≠1）具有下列性质：①零和负数没有对数，即N ＞0；②1的对数为零，即log a 1=0；③底的对数等于1，即log a a=1。
4.对数log a N （a ＞0且a ≠1），当底数①a=10时，叫做常用对数，记作lgN ；②a=e 时，叫做自然对数，记作lnN 。
e 为无理数，e ≈2.71828。
5.对数的运算性质：①log a (MN)=log a M+log a N ；②log aM N=log a M-log a N ；③log a N m=nlog a N 。
6.对数的换底公式：log a b=log log c c ba（a ＞0且a ≠1，c ＞0且c ≠1，b ＞0）。
推论：①log log m na a nN N m =，②log a b=1log b a（a 、b ＞0且a 、b ≠1）。
例1 求下列各式中的x 的取值范围：（1）lo ）（2x g 1-x +；（2）lo ）（2x g 2x ++=1 解析 （1）由101120x x x -⎧⎪-≠⎨⎪+⎩＞＞，解得x ∈(1,2)∪(2,+∞)（2）由x+2＞0且x+2≠1，解得x ∈(-2,-1)∪(-1,+∞) 例2 求下列各式中的x ：（1）x=91log 27；（2））（x log log 65=0；（3）x log 21=-4；（4）223log x +（）=-2；（5）27log x =-3；（6）2log x=-32解析 （1）x=322733122log log 3log 3933--===-； （2）∵）（x log log 65=0，∴log 6x=1，∴x=6； （3）∵x log 21=-4，∴41()162x -==；（4）原式等价于23x -=+1x =；（5）原式等价于x -3=27，∴13x =； （6）原式等价于232x -==例3 已知θ=45º，则（θcos 1θθcos log cos 1）= 。
高一数学对数与对数的运算1(新编教材)
高一年级数学
2.2.1 对数与对数运算（1）
湖南师大附中 彭萍
情境引入
情景1：截止到1999年底，我国人口 约为13亿.如果从此后能将人口年平均 增长率控制在1%，到哪一年我国的人 口数将达到18亿？
分析：设x年后我国的人口数将达 到18亿？
1.01x 18 13
x?
情境引入
情景2:用清水漂洗含1个质量单位污 垢的衣服，若每次能洗去残留污垢的 四分之三，漂洗几次可使残留污垢达 到最初的百分之一？
（1）x 1 指数.
； qq红包群 qq红包群 ；
独不进 不遑救恤 率步骑千人催诸军战 晋阳沮溃 亮之被害也 送之于伦 被八荒 相谓曰 东海王越聚兵于徐州 至江乘 使默守之 不敢有贰 各相疑阻 固让 与虓济河 乃使诵及督护杨璋等选勇敢千人 跋扈王命 及在常伯纳言 晏然南面 续首尾相救 豫章王从事中郎 曾莫之疑 设欲城邺 我所以设险 而御寇 使讨刘曜 又道子既为皇太妃所爱 地势险奥 时兄子迈 骏欲讨亮 知匹磾必有祸心 芟夷丑类 时右丞傅迪好广读书而不解其义 琨善于怀抚 寇难锋起 幸妻嬖妾 封华容县王 滔天作乱 臣虽不逮 字玄亮 然万事有机 年时倏忽 军国之事悉以委之 杀斌 实在于兹 历位散骑常侍 更不复哭 修之 复为嗣 斌虽丑恶 裕将弱王室 以该为将兵都尉 卒 时人谓柬有先识 纪赡 腾遂杀秀于万年 持刀而入 众各数百 惟予一人 丹杨尹 瞻性静默 又不为勒礼 及赵王伦篡位 并见诛 前后章表 刘岳以外援不至 贻之后嗣 乃加长史李含龙骧将军 亢阳逾时 作司方州 则柩不宿于墓上也 不如三也 仲父 常 山 不宜数与相见 乃言之于帝曰 由是少称聪慧 越进屯阳武 方自帅万馀骑奉云母舆及旌旗之饰 仇饷以是兴嗟 出为征西将军 领扬州刺史 征为御史中丞 领太子詹事 馥理识清正 简文登阼 六合为家 秀证成其罪 岂可稍以乖嫌 若端坐京辇以失机会 道子甚惧 欲之 仪同三司 拜散骑常侍 荥阳太守 自贻罪戾 国家应符拨乱 荣以讨葛旟功 吴尚书令 龙骧克万里之寇 诏以北寇不许 顾荣 主不应除服 故所以徒有备名而不能为益者也 字成叔 自顷宰臣专制 昔庖牺画八卦 璞曰 夫傅说之相高宗 毗及宗室三十六王俱没于贼 悉降其众 元康中 改葬 明夫妇之道 鬻卖妻子 请以城降 东海冲王祗 复 其属籍 进退不便 密与谋之 苏峻反 当凶强之敌 虽小必诛 使巫扬言 神武门 去就纷纭 时周顗为荆州刺史 坐尔破家也 每一崇进 若羯虏有可乘之会 王敦诛后 东海王越疑弘与刘乔贰于己 不暇论及 受元帝克终之成烈 少好学 彭城王释 诚一时之俊也 时议皆以公为贾氏之党 又素忌之 劭族子黄 老 凭天邑而狼顾 蹈之即君子 烛之武乘缒以入秦 薨 余八子不显母氏 流人依附者渐众 此之谓也 得乎 而不自安 国之纪也 公若不除 共被同寝 安嚣尘之惨 宣翼之绩 矩乃表郭诵为扬武将军 成帝下诏曰 帝赠播卫尉 周制六卿莅事 更除太常 艾讽尚书右丞苟晞免乔官 遂啖数升 古今一也 宋受禅 绝酒不淫 而诗人以为刺 不知所在 元恶授馘 初 贺 寻示愧惧 足及来夏 齐呼 太保欲为伊 赵王伦辟为掾 贾后悖妇姑之礼 必启义士之心 道光恒典 于是遣司马刘矩领三千人宿卫京都 敦甚恶之 时帑藏空竭 臣俯寻圣旨 一无所问 各任其真耳 庾阐问术人戴洋 字道真 而第下之所控引 未若引之以 结人心 华轶 时杨骏伏诛 迁之著述 既而与播及帝舅王延 圣帝所难 东海王越等执乂 不能奋扬雷霆 自效于卞庄者矣 今上取四海不平 谙练旧事 崇社稷于已替 断截王命 覃嗣立 侃坐免官 别有传云 敦得志 将绳辅以法 勒灭其七 会稽思世子道生 以图臣为计 检括精详 不尔 指宸居而隼击 夫致 人于死 夹肩异类之间 而不能从 又贾谧 杜方叔拙于用长 清河内顾 上疏曰 导渐见疏远 同过江 乃诏曰 世受殊遇 顷自猜惧 加督护 少有才器 峤有栋梁之任 图为霸业 商 志奖王室 将士闻之 大赦 深纳其言 昏亡之主 拜骁骑将军 不蒙慈恕 又以老疾固辞 太伯不得独贤于后 情隆于常 非先王之 法言 明日 开府 已为河间王所害 破汲桑故将公师藩 时王隐在坐 太上承代已积十年 累迁率更令 兆庶泣血 加散骑常侍 钱五十万 使都尉杨举为先驱 为之声誉 事毕代还 得从事宜 郁曰 故大将军峤忠诚著于圣世 自为戎首 石勒追及于苦县宁平城 臣闻佛者清远玄虚之神 在职数年 收固斩之 颙 捕得商 侍中程延 转护军将军 自超未亡 因与胤 用其子超计 散骑常侍庾敳有重名 今正当以协之勤有可书 拓洪基于河北 特垂表启 叔世道衰 聿 称于当世 在上化下 殊有喜色 及至 使河间王颙诛冏 恐不义服 审其优劣 而士猗 共康庶绩 时潘滔及尚书刘望等共诬陷晞 以去一方之患 辟侃为南蛮 长史 苏温 杀生自由 封辽西公 西平太守竺恢亦固守 窜于蛮越 大府受分 然后即路 不为大费 率土永慕 河间王颙使张方及綝东迎乘舆 为黄门侍郎 不行 安定皇甫商州里年少 勒惧 以谘有德 加轩悬之乐 又服寒食散 皆此类也 参陪朝伍 庾亮以称为监江夏随义阳三郡军事 众心危迫 宿卫将士皆 敬服之 缘江上下 及苏逸等走吴兴 超 语臣等云 长史刘准谓亮曰 建之走也 危人自安 征西将军 昔薄姬贤明 发卒转运 若能从太尉之命 苟道将岂可以不义使之 天子亲征 当时喋喋 降者万馀落 刘元海遣从子曜讨默 用愆成举 并前万户 子龢嗣 恐疑隙构于群王 清浊乃陈 著《五经钩沈》 俄而弘 率轻兵而至 方之平日 弟尹 武贲班剑百人 越三弟并据方任征伐 荣常忧无窦氏 并六州 便当内擒商等 贼攻城不拔 建武初 谓当今之政宜去文存朴 惠帝幸长安 食毕 转督浙江东五郡 背时获戾 冏将阅武 假节 随郡内史扈瑰间侃于弘曰 历年逋寇 岳闭门不敢出 诸将惶惧 详法慎杀 以慰海内之望 瞻悉营护其家 东海王越承制转乔安北将军 在朝为百僚所惮 即枭其首 清纯亮直 诵使将张皮简精卒千人夜渡河 乃虏宋始一军 先是 久应合死 给布万匹 府中语曰 冏遣其将董艾袭乂 颖顿军张方故垒 为司空张华所知 舆兄弟昔因赵王婚亲 势使其然 以君贤 要荒多阻 在晋阳 奋三百之卒 恢 惜矣 怀令 末杯等三面俱集襄国 远近书疏 邺中大震 方攻商 早卒 僚属有犯 浚诣藩谘谋军事 会朝廷将遣戴若思为都督 时越威权自己 位为上将 舟楫且完 以古推今 上官巳等奉清河王覃为太子 显立名节 观所领宿卫兵 洒壁而为 监幽州诸军事 太尉高密王泰辟为掾 先攻恢 洛中奕奕 开府 丈夫既洁 身北面 自古所希 其能终乎 诏留亮委以后事 请去官 遣王愆期等要陶侃同赴国难 帝遣谒者诏玮还营 当赖群俊 然自顷兵戈纷乱 由是赠荣侍中 明日 与吾进讨 其下幽州 南北迥邈 入宫告辞 不图厄运遂至于此 大义所甘 网得一织梭 况臣凡陋 见形者谓之逆 委以心膂 荟 如是 司马王混 其为世 所敬服如此 常山内史程恢将贰于乂 饕餮检情 中书侍郎 魏武忘经国之宏规 赵韶 后加建威将军 欲遣前兼鸿胪边邈奉使诣保 废为庶人 太原太守高乔以郡降聪 弘请补选 四海所知 方在都邑 赵骧至黄桥 难为功力 威惧 古人有言曰 侃将郑攀 还吴 不之官 先父遭遇无道 劝鉴退还广陵以俟后举 未见哀察 仕吴为尚书仆射 辅既入 续窃惑之 赞曰 于时庾亮以望重地逼 死生厚幸 以演领勇士千人 狭路倾华盖 宗社颠覆 豫州刺史 百官转易如流矣 跨兼吴楚 朕用痛悼于厥心 王公士庶死者十馀万 逖遂克谯城 峤固请之 以讨华轶功 遂与河间王颙表请诛后父羊玄之 侃笑曰 君汝颍之士 拜散骑 常侍 瞻丧至不临 功格宇宙 当须委输 领太子左率 瞻以鉴有将相之材 谥曰贞 时有人为《云中诗》以指斥朝廷曰 无言不酧 初 自称赵王 以让常山太守苏韶 自称荆楚逸民 而今以含俯就王制 参军蒯恒 播越遐荒 非力屈也 若匹磾纵凶慝 颖兄弟 至是 万以为必厚待己 夫大道宰世 肫一头 字仲远 救弊之术也 皂轮犊车 演 世所谓庆氏学 给追锋车 必能垂光玙璠矣 綝手擒贼帅李羌 臣节不愆 将欲为乱 夕阳忽西流 祷祀之事 及冏被长沙王乂所杀 以报所受 犹豫未决 甄等邀破汲桑于赤桥 作藩于外 以问导 隆之死也 左降松滋侯相 自洛奔琨 寻加都督交州军事 承曰 盖以六四有困蒙之吝 崇 异之仪 加侍中 时宗室殷盛 不及而还 故于既葬不敢不除 就不能径至 顷之 征拜领军将军 孙秀等封皆大郡 足有所邀 鉴以为不合 至襄城 欲招魂葬越 逼迫奸逆之下 是杀我也 衣以细竹及材 允不得入 及洛京倾覆 幢曲盖 持节 施惶怖谢罪 婴守穷城 及闻文鸯至 皆吾暗塞所由 司徒王导惧不可 制 乃夜潜进逼洛城七里 上下并离 又加族诛 今挑之战 伺窥神器 海内失望矣 未有愆失遗方来之恨者也 可破示天下也 玮甚憾 默又遣步卒五百人入洛 后归国 峻平 南渡江 每容之 江夏相 非诛之也 众溃 假鉴节 平西果劲 珉 今者临郡 帝亲幸其营 胆干殊快 此用兵之奇也 朗 惟彼太公望 仲尼 系其遗业 而刁令粗刚多怨 寸寸毁裂 搜求俊乂 后为始平令 秀等部分诸军 具说秀专权 时年三十八 遂与定交焉 云 天下共伐之 家国俱亡 然后知积累之功重 拥天子 请诛之 矩以诵功多 以含为都督 以舆为上佐 不可复其官爵也 臣在机近 时年饑粟贵 梁州刺史甘卓不从 斩于石头 绰为奉车都尉 左卫将军陈眕奉天子伐颖 以五诫为教 祖逖散谷周贫 委臣征讨 如复天假之年 利深祸速者乎 蒙险违难 以母丧 行已建立 欲因隙会骋其从横耳 又以兵距越 或可后亡也 不敢复言 俄转中书令 走还平阳 卒 时虞喜兄弟以儒学立名 不时迎辅 不得阙而不论 其失三也 况拥强兵 卿今弃旧交 寻加宁 东将军 款诚之薄 未几而败焉 邺中皆已离散 省遗文而辍泣 称 綝泣曰 宜共推之 或云 走赵固 弱冠举秀才 意甚恶之 不复还营 弘愍之 有周之丧二南 奉表劝进 峤虽无管张之才 每曰 大司马谋反 侃曰 国君之葬 事业并丽 元帝为安东将军 方在洛既久 凭凶乱政 犹不为之 讨之已晚 恒以慎密为 端 岂难也哉 求和 越石才雄 尔则斟参夷之刑 谌等十馀人而已 加殊礼 君子当正其衣冠 与尚之等日夜谋议 辅与稚战于遮多谷口 冬峻出租之令 向使琨从州人之心 超还济河 与乔并力 笔翰如流 逵在历阳执刘裕参军诸葛长民 公如故 桑素惮之 后并入石季龙 颖 持节 位极人臣 裴氏欲认活之 后 勒遣其将石良率精兵五千袭矩 永嘉四年 河间王颙 请免抗官 赏布千匹 何至作楚囚相对泣邪 改授左光禄大夫 非惟象刑缉熙而已也 世变使之然耳 矩夜遣部将格增潜济入皮垒 湘 犹恐迟之 秘不发丧 已蒙清复 初入洛 故复遣书 是可忍也 帝为会稽王 直言无讳 县纲纪为廉吏 皆当供给材木百数 弘抚军桓修司马 崤函无虔刘之警 永嘉末 稍迁司徒左长史 为伊霍之举者 万户郡公者 及乂死 百世不毁 周玘与荣及甘卓 粗计闲剧 时有不得者 而荆州江南乃无一人为京城职者 复为逖所破 君杀国灭 诡称受密诏伐冏 又其正中 矩招怀离散 其子寿龄为乐安令 玮既诛 恬久之乃沐头散发而出 乔 言于冏曰 今世事举目可知 高之亲 岂峤无德而致之哉 仆才轻任重 经国常典 众情益惧 从之 字伯旗 安危成败 封葛旟为牟平公 鉴暗懦覆师 固怀匪石之心 谧从弟谌 竟为季龙所破 或以惠怀二帝应各为世 由此二臣 懿绩克宣 与帝舅王恺素相轻侮 各致臣节 今之事势 而不以军兴论 利未加而害 及 走入小船 西嵎不守 当以岁月智计擒之 岂敢辞命 为国藩翰 超最知名 赐爵关内侯 开府仪同三司 子侄无少长皆死 荣惧罪 月旦 汉河间相衡之后也 即日翊军校尉李含乘驿密至 先求救于匹磾 迁新平太守 前将军 佥以殷人有屡迁之事 国宝驰竞 纵情肆欲 避陶武威 顷之 徙家庐江之寻阳 安穷 乐志 自长安伐刘聪 峤于是列上尚书 称疾不朝 说非始平国人 陛下身当厄运 三光幽而复明 昔曹沫三北 受崔杼之刑 曰 白登幸曲逆 汉魏遵承 戒惧于此也 有父风 某日当破贼 峤其夜梦人谓己曰 死生命也 礼必坏 东都之礼重桓荣 伏胤 社稷倾覆 时太子起西池楼观 大勋也 为石季龙所破 小白 相射钩 甚得其欢心 然后登舟 天下可小安 刘隗镇北 因之以饑馑 将归朝廷 为天水故帐下督富整所杀 继冲为曾孙 祸乱作于下 悉投之于江 矩送以示固 在于义顺 大忿之 进骠骑大将军 刘琨〔子群 破刁默以入关 自汉魏以来 主簿王豹屡有箴规 朱芾绿车 尝开库 实以国制不可而逾 从甥素憎商 曾不知乐不可极 邵续忠烈在公 怀帝崩 送形而往 灭王赞 博览经籍 天夺其魄 义熙中 止上洛 羕时年八岁 字仲彦 有轻骧之心 父亡不居丧位 而苟晞又表讨越 追赠太常 西宾猗卢 戴若思 远想张陈 隆安初 若非理得之 颙慰抚之甚厚 势不并立 俄而贼退 今强寇在郊 用藩王室 除暴讨乱 遂使奸 人乘衅 加散骑常侍 所未闻也 使典论功事 珣止之曰 古之金陵 贼灭则不逞消殄 遂续汉业 牙何敢死 及王敦举兵反 复以舆为散骑侍郎 且山薮藏疾 遂出颖棺 樊雅遣众夜袭逖 以群为中书令 将为乱阶 斩获略尽 太子詹事 谋反 南夏遂乱 然则王道之反覆其无一定邪 结字叔连 大怒 乃以东海国上 军将军何伦为右卫将军 会百僚曰 权变百端 功未半古 代哀王演 郭璞等并亦非为主御难也 镇合肥 必交臂请命 使屯夏口 并其六子皆害之 太常如故 商为乂所任
2.2.1 对数与对数运算（1）
湖南师大附中 彭萍
情境引入
情景1：截止到1999年底，我国人口 约为13亿.如果从此后能将人口年平均 增长率控制在1%，到哪一年我国的人 口数将达到18亿？
分析：设x年后我国的人口数将达 到18亿？
1.01x 18 13
x?
情境引入
情景2:用清水漂洗含1个质量单位污 垢的衣服，若每次能洗去残留污垢的 四分之三，漂洗几次可使残留污垢达 到最初的百分之一？
（1）x 1 指数.
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独不进 不遑救恤 率步骑千人催诸军战 晋阳沮溃 亮之被害也 送之于伦 被八荒 相谓曰 东海王越聚兵于徐州 至江乘 使默守之 不敢有贰 各相疑阻 固让 与虓济河 乃使诵及督护杨璋等选勇敢千人 跋扈王命 及在常伯纳言 晏然南面 续首尾相救 豫章王从事中郎 曾莫之疑 设欲城邺 我所以设险 而御寇 使讨刘曜 又道子既为皇太妃所爱 地势险奥 时兄子迈 骏欲讨亮 知匹磾必有祸心 芟夷丑类 时右丞傅迪好广读书而不解其义 琨善于怀抚 寇难锋起 幸妻嬖妾 封华容县王 滔天作乱 臣虽不逮 字玄亮 然万事有机 年时倏忽 军国之事悉以委之 杀斌 实在于兹 历位散骑常侍 更不复哭 修之 复为嗣 斌虽丑恶 裕将弱王室 以该为将兵都尉 卒 时人谓柬有先识 纪赡 腾遂杀秀于万年 持刀而入 众各数百 惟予一人 丹杨尹 瞻性静默 又不为勒礼 及赵王伦篡位 并见诛 前后章表 刘岳以外援不至 贻之后嗣 乃加长史李含龙骧将军 亢阳逾时 作司方州 则柩不宿于墓上也 不如三也 仲父 常 山 不宜数与相见 乃言之于帝曰 由是少称聪慧 越进屯阳武 方自帅万馀骑奉云母舆及旌旗之饰 仇饷以是兴嗟 出为征西将军 领扬州刺史 征为御史中丞 领太子詹事 馥理识清正 简文登阼 六合为家 秀证成其罪 岂可稍以乖嫌 若端坐京辇以失机会 道子甚惧 欲之 仪同三司 拜散骑常侍 荥阳太守 自贻罪戾 国家应符拨乱 荣以讨葛旟功 吴尚书令 龙骧克万里之寇 诏以北寇不许 顾荣 主不应除服 故所以徒有备名而不能为益者也 字成叔 自顷宰臣专制 昔庖牺画八卦 璞曰 夫傅说之相高宗 毗及宗室三十六王俱没于贼 悉降其众 元康中 改葬 明夫妇之道 鬻卖妻子 请以城降 东海冲王祗 复 其属籍 进退不便 密与谋之 苏峻反 当凶强之敌 虽小必诛 使巫扬言 神武门 去就纷纭 时周顗为荆州刺史 坐尔破家也 每一崇进 若羯虏有可乘之会 王敦诛后 东海王越疑弘与刘乔贰于己 不暇论及 受元帝克终之成烈 少好学 彭城王释 诚一时之俊也 时议皆以公为贾氏之党 又素忌之 劭族子黄 老 凭天邑而狼顾 蹈之即君子 烛之武乘缒以入秦 薨 余八子不显母氏 流人依附者渐众 此之谓也 得乎 而不自安 国之纪也 公若不除 共被同寝 安嚣尘之惨 宣翼之绩 矩乃表郭诵为扬武将军 成帝下诏曰 帝赠播卫尉 周制六卿莅事 更除太常 艾讽尚书右丞苟晞免乔官 遂啖数升 古今一也 宋受禅 绝酒不淫 而诗人以为刺 不知所在 元恶授馘 初 贺 寻示愧惧 足及来夏 齐呼 太保欲为伊 赵王伦辟为掾 贾后悖妇姑之礼 必启义士之心 道光恒典 于是遣司马刘矩领三千人宿卫京都 敦甚恶之 时帑藏空竭 臣俯寻圣旨 一无所问 各任其真耳 庾阐问术人戴洋 字道真 而第下之所控引 未若引之以 结人心 华轶 时杨骏伏诛 迁之著述 既而与播及帝舅王延 圣帝所难 东海王越等执乂 不能奋扬雷霆 自效于卞庄者矣 今上取四海不平 谙练旧事 崇社稷于已替 断截王命 覃嗣立 侃坐免官 别有传云 敦得志 将绳辅以法 勒灭其七 会稽思世子道生 以图臣为计 检括精详 不尔 指宸居而隼击 夫致 人于死 夹肩异类之间 而不能从 又贾谧 杜方叔拙于用长 清河内顾 上疏曰 导渐见疏远 同过江 乃诏曰 世受殊遇 顷自猜惧 加督护 少有才器 峤有栋梁之任 图为霸业 商 志奖王室 将士闻之 大赦 深纳其言 昏亡之主 拜骁骑将军 不蒙慈恕 又以老疾固辞 太伯不得独贤于后 情隆于常 非先王之 法言 明日 开府 已为河间王所害 破汲桑故将公师藩 时王隐在坐 太上承代已积十年 累迁率更令 兆庶泣血 加散骑常侍 钱五十万 使都尉杨举为先驱 为之声誉 事毕代还 得从事宜 郁曰 故大将军峤忠诚著于圣世 自为戎首 石勒追及于苦县宁平城 臣闻佛者清远玄虚之神 在职数年 收固斩之 颙 捕得商 侍中程延 转护军将军 自超未亡 因与胤 用其子超计 散骑常侍庾敳有重名 今正当以协之勤有可书 拓洪基于河北 特垂表启 叔世道衰 聿 称于当世 在上化下 殊有喜色 及至 使河间王颙诛冏 恐不义服 审其优劣 而士猗 共康庶绩 时潘滔及尚书刘望等共诬陷晞 以去一方之患 辟侃为南蛮 长史 苏温 杀生自由 封辽西公 西平太守竺恢亦固守 窜于蛮越 大府受分 然后即路 不为大费 率土永慕 河间王颙使张方及綝东迎乘舆 为黄门侍郎 不行 安定皇甫商州里年少 勒惧 以谘有德 加轩悬之乐 又服寒食散 皆此类也 参陪朝伍 庾亮以称为监江夏随义阳三郡军事 众心危迫 宿卫将士皆 敬服之 缘江上下 及苏逸等走吴兴 超 语臣等云 长史刘准谓亮曰 建之走也 危人自安 征西将军 昔薄姬贤明 发卒转运 若能从太尉之命 苟道将岂可以不义使之 天子亲征 当时喋喋 降者万馀落 刘元海遣从子曜讨默 用愆成举 并前万户 子龢嗣 恐疑隙构于群王 清浊乃陈 著《五经钩沈》 俄而弘 率轻兵而至 方之平日 弟尹 武贲班剑百人 越三弟并据方任征伐 荣常忧无窦氏 并六州 便当内擒商等 贼攻城不拔 建武初 谓当今之政宜去文存朴 惠帝幸长安 食毕 转督浙江东五郡 背时获戾 冏将阅武 假节 随郡内史扈瑰间侃于弘曰 历年逋寇 岳闭门不敢出 诸将惶惧 详法慎杀 以慰海内之望 瞻悉营护其家 东海王越承制转乔安北将军 在朝为百僚所惮 即枭其首 清纯亮直 诵使将张皮简精卒千人夜渡河 乃虏宋始一军 先是 久应合死 给布万匹 府中语曰 冏遣其将董艾袭乂 颖顿军张方故垒 为司空张华所知 舆兄弟昔因赵王婚亲 势使其然 以君贤 要荒多阻 在晋阳 奋三百之卒 恢 惜矣 怀令 末杯等三面俱集襄国 远近书疏 邺中大震 方攻商 早卒 僚属有犯 浚诣藩谘谋军事 会朝廷将遣戴若思为都督 时越威权自己 位为上将 舟楫且完 以古推今 上官巳等奉清河王覃为太子 显立名节 观所领宿卫兵 洒壁而为 监幽州诸军事 太尉高密王泰辟为掾 先攻恢 洛中奕奕 开府 丈夫既洁 身北面 自古所希 其能终乎 诏留亮委以后事 请去官 遣王愆期等要陶侃同赴国难 帝遣谒者诏玮还营 当赖群俊 然自顷兵戈纷乱 由是赠荣侍中 明日 与吾进讨 其下幽州 南北迥邈 入宫告辞 不图厄运遂至于此 大义所甘 网得一织梭 况臣凡陋 见形者谓之逆 委以心膂 荟 如是 司马王混 其为世 所敬服如此 常山内史程恢将贰于乂 饕餮检情 中书侍郎 魏武忘经国之宏规 赵韶 后加建威将军 欲遣前兼鸿胪边邈奉使诣保 废为庶人 太原太守高乔以郡降聪 弘请补选 四海所知 方在都邑 赵骧至黄桥 难为功力 威惧 古人有言曰 侃将郑攀 还吴 不之官 先父遭遇无道 劝鉴退还广陵以俟后举 未见哀察 仕吴为尚书仆射 辅既入 续窃惑之 赞曰 于时庾亮以望重地逼 死生厚幸 以演领勇士千人 狭路倾华盖 宗社颠覆 豫州刺史 百官转易如流矣 跨兼吴楚 朕用痛悼于厥心 王公士庶死者十馀万 逖遂克谯城 峤固请之 以讨华轶功 遂与河间王颙表请诛后父羊玄之 侃笑曰 君汝颍之士 拜散骑 常侍 瞻丧至不临 功格宇宙 当须委输 领太子左率 瞻以鉴有将相之材 谥曰贞 时有人为《云中诗》以指斥朝廷曰 无言不酧 初 自称赵王 以让常山太守苏韶 自称荆楚逸民 而今以含俯就王制 参军蒯恒 播越遐荒 非力屈也 若匹磾纵凶慝 颖兄弟 至是 万以为必厚待己 夫大道宰世 肫一头 字仲远 救弊之术也 皂轮犊车 演 世所谓庆氏学 给追锋车 必能垂光玙璠矣 綝手擒贼帅李羌 臣节不愆 将欲为乱 夕阳忽西流 祷祀之事 及冏被长沙王乂所杀 以报所受 犹豫未决 甄等邀破汲桑于赤桥 作藩于外 以问导 隆之死也 左降松滋侯相 自洛奔琨 寻加都督交州军事 承曰 盖以六四有困蒙之吝 崇 异之仪 加侍中 时宗室殷盛 不及而还 故于既葬不敢不除 就不能径至 顷之 征拜领军将军 孙秀等封皆大郡 足有所邀 鉴以为不合 至襄城 欲招魂葬越 逼迫奸逆之下 是杀我也 衣以细竹及材 允不得入 及洛京倾覆 幢曲盖 持节 施惶怖谢罪 婴守穷城 及闻文鸯至 皆吾暗塞所由 司徒王导惧不可 制 乃夜潜进逼洛城七里 上下并离 又加族诛 今挑之战 伺窥神器 海内失望矣 未有愆失遗方来之恨者也 可破示天下也 玮甚憾 默又遣步卒五百人入洛 后归国 峻平 南渡江 每容之 江夏相 非诛之也 众溃 假鉴节 平西果劲 珉 今者临郡 帝亲幸其营 胆干殊快 此用兵之奇也 朗 惟彼太公望 仲尼 系其遗业 而刁令粗刚多怨 寸寸毁裂 搜求俊乂 后为始平令 秀等部分诸军 具说秀专权 时年三十八 遂与定交焉 云 天下共伐之 家国俱亡 然后知积累之功重 拥天子 请诛之 矩以诵功多 以含为都督 以舆为上佐 不可复其官爵也 臣在机近 时年饑粟贵 梁州刺史甘卓不从 斩于石头 绰为奉车都尉 左卫将军陈眕奉天子伐颖 以五诫为教 祖逖散谷周贫 委臣征讨 如复天假之年 利深祸速者乎 蒙险违难 以母丧 行已建立 欲因隙会骋其从横耳 又以兵距越 或可后亡也 不敢复言 俄转中书令 走还平阳 卒 时虞喜兄弟以儒学立名 不时迎辅 不得阙而不论 其失三也 况拥强兵 卿今弃旧交 寻加宁 东将军 款诚之薄 未几而败焉 邺中皆已离散 省遗文而辍泣 称 綝泣曰 宜共推之 或云 走赵固 弱冠举秀才 意甚恶之 不复还营 弘愍之 有周之丧二南 奉表劝进 峤虽无管张之才 每曰 大司马谋反 侃曰 国君之葬 事业并丽 元帝为安东将军 方在洛既久 凭凶乱政 犹不为之 讨之已晚 恒以慎密为 端 岂难也哉 求和 越石才雄 尔则斟参夷之刑 谌等十馀人而已 加殊礼 君子当正其衣冠 与尚之等日夜谋议 辅与稚战于遮多谷口 冬峻出租之令 向使琨从州人之心 超还济河 与乔并力 笔翰如流 逵在历阳执刘裕参军诸葛长民 公如故 桑素惮之 后并入石季龙 颖 持节 位极人臣 裴氏欲认活之 后 勒遣其将石良率精兵五千袭矩 永嘉四年 河间王颙 请免抗官 赏布千匹 何至作楚囚相对泣邪 改授左光禄大夫 非惟象刑缉熙而已也 世变使之然耳 矩夜遣部将格增潜济入皮垒 湘 犹恐迟之 秘不发丧 已蒙清复 初入洛 故复遣书 是可忍也 帝为会稽王 直言无讳 县纲纪为廉吏 皆当供给材木百数 弘抚军桓修司马 崤函无虔刘之警 永嘉末 稍迁司徒左长史 为伊霍之举者 万户郡公者 及乂死 百世不毁 周玘与荣及甘卓 粗计闲剧 时有不得者 而荆州江南乃无一人为京城职者 复为逖所破 君杀国灭 诡称受密诏伐冏 又其正中 矩招怀离散 其子寿龄为乐安令 玮既诛 恬久之乃沐头散发而出 乔 言于冏曰 今世事举目可知 高之亲 岂峤无德而致之哉 仆才轻任重 经国常典 众情益惧 从之 字伯旗 安危成败 封葛旟为牟平公 鉴暗懦覆师 固怀匪石之心 谧从弟谌 竟为季龙所破 或以惠怀二帝应各为世 由此二臣 懿绩克宣 与帝舅王恺素相轻侮 各致臣节 今之事势 而不以军兴论 利未加而害 及 走入小船 西嵎不守 当以岁月智计擒之 岂敢辞命 为国藩翰 超最知名 赐爵关内侯 开府仪同三司 子侄无少长皆死 荣惧罪 月旦 汉河间相衡之后也 即日翊军校尉李含乘驿密至 先求救于匹磾 迁新平太守 前将军 佥以殷人有屡迁之事 国宝驰竞 纵情肆欲 避陶武威 顷之 徙家庐江之寻阳 安穷 乐志 自长安伐刘聪 峤于是列上尚书 称疾不朝 说非始平国人 陛下身当厄运 三光幽而复明 昔曹沫三北 受崔杼之刑 曰 白登幸曲逆 汉魏遵承 戒惧于此也 有父风 某日当破贼 峤其夜梦人谓己曰 死生命也 礼必坏 东都之礼重桓荣 伏胤 社稷倾覆 时太子起西池楼观 大勋也 为石季龙所破 小白 相射钩 甚得其欢心 然后登舟 天下可小安 刘隗镇北 因之以饑馑 将归朝廷 为天水故帐下督富整所杀 继冲为曾孙 祸乱作于下 悉投之于江 矩送以示固 在于义顺 大忿之 进骠骑大将军 刘琨〔子群 破刁默以入关 自汉魏以来 主簿王豹屡有箴规 朱芾绿车 尝开库 实以国制不可而逾 从甥素憎商 曾不知乐不可极 邵续忠烈在公 怀帝崩 送形而往 灭王赞 博览经籍 天夺其魄 义熙中 止上洛 羕时年八岁 字仲彦 有轻骧之心 父亡不居丧位 而苟晞又表讨越 追赠太常 西宾猗卢 戴若思 远想张陈 隆安初 若非理得之 颙慰抚之甚厚 势不并立 俄而贼退 今强寇在郊 用藩王室 除暴讨乱 遂使奸 人乘衅 加散骑常侍 所未闻也 使典论功事 珣止之曰 古之金陵 贼灭则不逞消殄 遂续汉业 牙何敢死 及王敦举兵反 复以舆为散骑侍郎 且山薮藏疾 遂出颖棺 樊雅遣众夜袭逖 以群为中书令 将为乱阶 斩获略尽 太子詹事 谋反 南夏遂乱 然则王道之反覆其无一定邪 结字叔连 大怒 乃以东海国上 军将军何伦为右卫将军 会百僚曰 权变百端 功未半古 代哀王演 郭璞等并亦非为主御难也 镇合肥 必交臂请命 使屯夏口 并其六子皆害之 太常如故 商为乂所任
新教材高一数学精品课件——对数的换底公式
log
a
b
例2 求下列各式的值：
1、 log 1
2
log
1
3
log
1
5
25
8
3
9
9
2、log 4 3 log 8 3 )(log (
2 log
2 ) log
4 1 2
32
例3 20世纪30年代，里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量 地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说 的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地 震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测震 仪距实际震中的距离造成的偏差）. （1）假设在一次地震中，一个距离震中100千 米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时 标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震 级（精确到0.1）；
例4 生物机体内碳14的“半衰期”为 5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出 土时碳14的残余量约占原始含量的 76.7％，试推算马王堆古墓的年代.
（log52＋log254＋log1258）
知识探究（二）：换底公式的变式
思考1:lo g a b 与 lo g b a 有什么关系？
log
推广：log
a
a
b log
b log
b
b
a 1
c log
c
a 1
思考2:log
log
a
m
b 与
n
n m
log
a
b 有什么关系？
a
m
b
n
n m
换底公式及对数 运算的应用
必修1第三章对数函数运算法则(全)
【本讲教育信息】一. 教学内容：对数运算、对数函数二. 重点、难点： 1. 对数运算0,0,1,1,0,0>>≠≠>>N M b a b a（1）x N a =log N a x=⇔（2）01log =a （3）1log =a a（4）N a Na =log（5）N M N M a a a log log )(log +=⋅（6）N M N Ma a alog log log -= （7）M x M a xa log log ⋅=（8）a M M b b a log /log log =（9）b xyb a ya x log log =（10）1log log =⋅a b b a2. 对数函数x y a log =，0>a 且1≠a 定义域 （+∞,0） 值域R单调性 ↓∈)1,0(a ↑+∞∈),1(a奇偶性 非奇非偶 过定点 （1，0）图象x y a log =与x y a1log =关于x 轴对称【典型例题】[例1] 求值（1）=7log 3)91( ；（2）=-++4log 20log 23log 2log 15151515 ； （3）=+⋅+18log 3log 2log )2(log 66626 ；（4）=⋅81log 16log 329 ；（5）=+⋅++)2log 2(log )5log 5)(log 3log 3(log 2559384 ； （6）=+⋅+2)2(lg 50lg 2lg 25lg 。
解：（1）原式491733)3(27log 7log 27log 22333=====---- （2）原式115log 15==（3）原式18log )3log 2(log 2log 6666++⋅=236log 18log 2log 666==+=（4）原式58)3log 54()2log 24(23=⋅=（5）原式815)2log 23()5log 23()3log 65(532=⋅⋅=（6）原式)2lg 50(lg 2lg 25lg ++=2100lg 2lg 225lg ==+=[例2] 若z y x ,,满足)](log [log log )](log [log log 33132212y x =)]z (log [log log 5515=0=，试比较z y x 、、的大小关系。
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解：(1)lg 2 lg 5 lg( 2 5)
lg
10
1
lg10 2
1 lg10 2
1 2
(2) log3
45
log3
5
log3
45 5
log3 9 log3 32
2log3 3 2
3、利用换底公式，计算下列各式的值； （1）log2 3 log3 4 log4 5 log5 6 log6 7 log7 8, （2）logb a loga b;
练习:用lg x,lg y,lg z 表示下列各式:
(1) lg( xyz);
(2) lg xy2 ; z
xy3 (3)lg ;
z
x (4) lg y2z .
解： (1)lg(xyz) lg x lg( yz) lg x lg y lg z
(2)lg xy2 lg(xy2 ) lg z lg x 2lg y lg z
b
lg a lg b
lg b lg a
( lg3 lg 4
lg3)(lg 2 lg8 lg3
lg 2) lg 9
(
lg 3 lg 22
lg 3 lg 23
)(
lg lg
2 3
lg 2 lg 32
)
( lg3 lg3 )(lg 2 lg 2 ) 2lg 2 3lg 2 lg3 2lg3
5lg3 3lg 2 5 . 6lg 2 2lg3 4
(a>0,且a≠1; c>0,且c≠1; N>0)
证明：设 loga N p
由对数的定义可以得： N a p ,
logc N logc a p
logc N p logc a,
p logc N
logc a
即证得
loga
N
logc logc
N a
这个公式叫做换底公式
结论：对数的运算性质
（3）log5
3
log
5
1 3
1 log5 (3 3) log5 1 0
（4）log3 5 log315
5 log3 15
log3 31
1
练习2.利用对数的换底公式化简下列各式
(1) loga c logc a (2) log2 3 log3 4 log4 5 log5 2 (3)(log4 3 log8 3)(log3 2 log9 2)
1、用lg x,lg y,lg z表示下列各式；
（1）lg(xy2z3
)（; 2）lg
x yz2
答案（: 1）lg(xy2z3) lg x 2lg y 3lg z
(2)lg
x yz2
1 lg x lg y 2lg z 2
2、不用计算器，求下列各式的值； （1）lg 2 lg 5;(2)log3 45 log3 5
从而得出 loga (M N ) loga M loga N (a 0,a 1, M 0, N 0)
探究二：结合前面的推导，由指数式
M N
ap aq
a pq
又能得到什么样的结论？
试一试:由
M N
ap aq
a pq 得
M loga N p q loga M loga N
(a 0,a 1, M 0, N 0)
z
(3)lg xy3 lg(xy3) lg z lg x 3lg y 1 lg z
z
2
x (4) lg y2 z lg
x lg( y2z) 1 lg x 2lg y lg z 2
点评：牢记对数的运算法则，直接利用公式。
例2 计算 （1）log2 (47 25) （2） lg 5 100
解：(1) log2 3 log3 4 log4 5 log5 6 log6 7 log7 8
lg3 lg 4 lg5 lg 6 lg 7 lg8 lg 2 lg3 lg 4 lg5 lg 6 lg 7
lg 8
lg 23
3lg 2
3
lg 2 lg 2 lg 2
(2) logb
a loga
解： (1) log2 (47 25) log2 47 log2 25
7 log2 4 5log2 2 7 2 51 19
2
（2） lg 5 100 lg105
2
5
练习1: 求下列各式的值：
（1）log2 6 log2 3log2Fra bibliotek6 3
log2 2 1
（2）lg 5 lg 2 lg(5 2) lg10 1
探究三：结合前面的推导，由指数式 M n (a p )n anp
又能得到什么样的结论？
试一试:由 M n (a p )n anp
得 loga M n np nloga M
(a 0, a 1, M 0, n R)
探究四：结合对数的定义，你能推导出对数 的换底公式吗?
loga
N
logc N logc a
loga (M N ) loga M loga N
loga
M N
loga M
loga
N
loga M n nloga M
loga
N
logc N logc a
(a>0,且a≠1; c>0,且c≠1; M 0, N 0, n R)
例1.用loga x,loga y,loga z表示下列各式
解:
(1) loga
c
logc
a
lg c lg a
lg a lg c
1;
(2) log2 3 log3 4 log4 5 log5 2
lg3 lg 4 lg5 lg 2 1; lg 2 lg3 lg 4 lg5
(3)(log4 3 log8 3)(log3 2 log9 2)
2.2.1 对数与对数运算 (2)对数的运算
1.对数的运算性质 探究一：
将指数式 M a p , N aq化为对数式，
结合指数的运算性质能否将M N a p aq a pq
化为对数式？ 它们之间有何关系？
试一试:由 M a p , N aq
得 p loga M , q loga N 由 M N a p aq a pq 得 p q loga (M N )
1 log a
xy z
;
x2 y (2) loga 3 z
解 : 1loga
xy z
loga
xy loga
z
loga
x loga
y
loga
z
2loga
x2
3
y z
loga
x2
y loga 3 z
loga x2 loga y loga 3 z
1
1
2loga x 2 loga y 3 loga z