高中数学北师大版选修2-2教案-2.2复数的乘法与除法_教学设计_教案
教学准备
1. 教学目标
1、掌握复数的加、减、乘、除四则运算及其运算律；理解复数加、减法的几何意义。
2、培养类比思想和逆向思维。
3、培养学生探索精神和良好的学习习惯。
2. 教学重点/难点
教学重点：复数的加、减、乘、除四则运算及其运算律。
教学难点：运用类比思想由实数运算法则探究复数运算法则。
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
教学过程：
一、复习引入
复数的加法：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，则它们
和为z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i
复数的和仍然为一个复数，其实部为z1、z2的实部和，虚部为z1、z2的虚部和。
复数加法满足(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
复数的减法：(加法的逆运算)复数a＋bi减去复数c＋di的差是指满足(c＋di)＋(x＋yi)＝a＋bi的复数x＋yi，记作(a＋bi)－(c＋di)
根据复数相等的定义：(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i
复数的差仍然是一个复数，其实部为两个复数实部的差，虚部为两个复数虚部
的差。
显然，减法不满足交换律和结合律。
复数加法的几何意义：
复数可以用向量表示，复数加法的几何意义即为平行四边形法则。
课堂练习：课本107练习1、2、3、4
课堂小结：1.复数乘法 2.共轭复数 3.复数除法作业布置：习题5-2A组2、3、4。
北师大版高中数学选修2-2 复数的乘法与除法 课件(45张)
3．证明 z 为纯虚数的方法 (1)设 z＝a＋bi，证明 a＝0 且 b≠0； (2)z2<0⇔z 为纯虚数； (3)若 z≠0，则 z＋ z ＝0⇔z 为纯虚数． 4．证明 z∈R 的方法 (1)设 z＝a＋bi(a、b∈R)，证明 b＝0； (2)z∈R⇔z＝ z ； (3)z∈R⇔z2≥0； (4)z∈R⇔|z|2＝z2．
2 2
1＋i 1－i a＋bi ＝i， ＝－i， ＝i， 1－i 1＋i b－ai in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．
2．重要等式 z· z ＝|z|2＝| z |2 的应用 z· z ＝|z|2＝| z |2，即两个互为共轭复数的乘积等于这个复数 (或其共轭复数)模的平方． 此等式虽然结构很简单，但它将 z、 z 、|z|、| z |紧密地联系 在一起，并且等式左→右具有实数化功能，右→左具有分解因 式功能．
－1 合并 __________ ，并且把实部与虚部分别__________ ．
设z1＝a＋bi、z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a
(ac－bd)＋(ad＋bc)i (a 、 ＋ bi)(c ＋ di) ＝ ac ＋ bci ＋ adi ＋ bdi2 ＝ __________________
5．乘法、乘方的一些运算在实数集、复数集内的差异 (1)实数集 R 中正整指数幂的运算律，在复数集 C 中仍然 1 成立．若规定 z ＝1，z ＝zm(z∈C，z≠0，m∈N＋)，则对于复
0
－m
数的指数幂运算，可以把 m、n 推广到整数集(注意只推广到整 1 1 数集)，复数集中未定义分数指数幂，如[(1＋i) ]4≠(1＋i)4×4．
1．虚数单位i的乘方的几个注意点： 对任意n∈N＋，都有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n ＝1．
高中数学北师大版选修2-2《复数代数形式的乘除运算》word导学案
第3课时复数代数形式的乘除运算1.理解复数的代数形式的四则运算,并能用运算律进行复数的四则运算.2.能根据所给运算的形式选择恰当的方法进行复数的四则运算.两个多项式可以进行乘除法运算,例如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd;对于两个复数a+b i,c+d i(a,b,c,d∈R),能像多项式一样进行乘除法运算吗?问题1:结合多项式乘法运算的特点,说明复数乘法运算有哪些特点?(1)复数的乘法与多项式的乘法类似,只是在运算过程中把i2换成,然后实部、虚部分别合并;(2)两个复数的积仍是一个复数;(3)复数的乘法与实数的乘法一样,满足交换律、结合律及分配律;(4)在复数范围内,实数范围内正整数指数幂的运算律仍然成立.问题2:什么是共轭复数?一般地,当两个复数的时,这两个复数叫作互为共轭复数.问题3:怎样进行复数除法运算?复数的除法首先是写成分数的形式,再利用两个互为共轭复数的积是一个实数,将分母化为实数,从而化成一个具体的复数.问题4:复数的四种基本运算法则(1)加法:(a+b i)+(c+d i)=;(2)减法:(a+b i)-(c+d i)=;(3)乘法:(a+b i)(c+d i)=;(4)除法:(a+b i)÷(c+d i)==(c+d i≠0).1.i是虚数单位,复数z=的虚部是().A.0B.-1 C.1D.22.复数z1=3+i,z2=1-i,则z=z1·z2在复平面内的对应点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知复数z与(z+2)2-8i均是纯虚数,则z=.4.设复数z满足i(z+1)=-3+2i(i为虚数单位),试求z的实部.复数代数形式的乘法运算计算:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i);(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i;(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)(4)(1-i)3.复数代数形式的除法运算计算:(1)(1+2i)÷(3-4i);(2);(3)(+i)4+.复数四则运算的综合应用已知|z|2+(z+)i=(i为虚数单位),试求满足条件的z.计算:(1)(1-i)2;(2)(-+i)(+i)(1+i).计算:(1);(2)+.若关于x的方程x2+(t2+3t+tx)i=0有纯虚数根,求实数t的值和该方程的根.1.复数z=(i为虚数单位),则|z|等于().A.25B.C.5D.2.i是虚数单位,则复数+(1+2i)2等于().A.-2-5iB.5-2iC.5+2iD.-2+5i3.若复数z满足z(1+i)=2,则复数z=.4.计算:+()2014.(2014年·山东卷)已知a,b∈R,i是虚数单位.若a-i与2+b i互为共轭复数,则(a+b i)2=().A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i考题变式(我来改编):答案第3课时复数代数形式的乘除运算知识体系梳理问题1:(1)-1问题2:实部相等,虚部互为相反数问题4:(1)(a+c)+(b+d)i(2)(a-c)+(b-d)i(3)(ac-bd)+(ad+bc)i(4)+i基础学习交流1.B∵z===-i,∴虚部为-1,故选B.2.D z=z1·z2=(3+i)(1-i)=4-2i.3.-2i设z=b i(b∈R),则(z+2)2-8i=(b i+2)2-8i=4-b2+(4b-8)i,依题意得解得b=-2.所以z=-2i.4.解:(法一)∵i(z+1)=-3+2i,∴z=-1=-(-3i-2)-1=1+3i,故z的实部是1.(法二)令z=a+b i(a、b∈R),由i(z+1)=-3+2i,得i[(a+1)+b i]=-3+2i,-b+(a+1)i=-3+2i,∴a+1=2,∴a=1.故z的实部是1.重点难点探究探究一:【解析】(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i.(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i=(-2+11i+5)(3-4i)+2i=(3+11i)(3-4i)+2i=(9-12i+33i-44i2)+2i=53+21i+2i=53+23i.(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=(24-8i-6i+2i2)+(28-21i-4i+3i2)=47-39i.(4)(1-i)3=13-3×12×i+3×1×i2-i3=1-3i-3-(-i)=-2-2i.【小结】三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算,混合运算与实数的运算顺序一样,对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法,用乘法公式更简捷,如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等.探究二:【解析】(1)(1+2i)÷(3-4i)====-+i.(2)(法一)原式===1.(法二)原式===1.(3)原式=[(+i)2]2+=(-+i)2-=--i+i-=(--)+(-)i.【小结】进行复数的运算,除了应用四则运算法则之外,对于一些简单算式要知道其结果,这样可方便计算,简化运算过程,比如=-i,(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=i,=-i,a+b i=i(b-a i),=i,等等.运算方法要灵活,有时要巧妙运用相应实数系中的乘法公式,比如第(2)题中的解法一.探究三:【解析】原方程化简为|z|2+(z+)i=1-i,设z=x+y i(x,y∈R),代入上述方程得x2+y2+2x i=1-i,∴∴∴原方程的解为z=-±i.【小结】对于此类复数方程我们一般是设出复数的代数形式z=x+y i(x,y∈R),然后将其代入给定方程,利用复数四则运算将其整理,然后利用复数相等的充要条件来求解.思维拓展应用应用一:(1)(1-i)2=1-2i+i2=-2i.(2)(-+i)(+i)(1+i)=[(--)+(-)i](1+i)=(-+i)(1+i)=(--)+(-)i=-+i.应用二:(1)======1-i.(2)+=+=i-i=0.应用三:设x=a i(a∈R且a≠0)是方程x2+(t2+3t+tx)i=0的一个纯虚根,将其代入方程可得(a i)2+(t2+3t+ta i)i=0,∴-a2-at+(t2+3t)i=0,由复数相等的充要条件可得∴故t=-3,方程的两个根为0或3i.基础智能检测1.C z==-4-3i,所以|z|=5.2.D+(1+2i)2=+4i-3=5i-2.3.1-i z===1-i.4.解:原式=+(-i)2014=-i-1.全新视角拓展D先由共轭复数的条件求出a,b的值,再求(a+b i)2的值.由题意知a-i=2-b i,∴a=2,b=1,∴(a+b i)2=(2+i)2=3+4i.。
《复数的乘法与除法》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】
第五章复数5.2.2复数的乘法与除法◆教学目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算，能够运用法则求两个复数的积与商．2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．◆教学重难点◆教学重点：复数代数形式的乘、除运算法则及其运算律．教学难点：复数除法的运算法则．◆教学过程一、新课导入情境：我们知道，两个一次式相乘，有(ax+b)(cx+d)=acx2+(bc+ad)x+bd，复数的加减法也可以看作多项式相加减，那么复数的乘除法又该如何定义呢？设计意图：类比多项式的乘法运算，以及复数的加减法运算与多项式加法运算的关系，引导学生思考复数乘除法运算法则．二、新知探究问题1：类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？答案：我们规定，复数的乘法法则为：设z1=a+b i，z2=c+d i(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+b i)(c+d i)=ac+bc i+ad i+bdi2=ac+bc i+ad i−bd=(ac−bd)+(bc+ad)i．追问1：两个复数的积是个什么数？它的的值唯一确定吗？答案：通过观察，我们发现，两个复数的积仍是复数，它的值唯一确定．追问2：当z1z2都是实数时，复数乘法的运算法则与实数乘法法则一致吗？答案：根据法则，我们发现，当b=d=0时，z1z2都是实数，复数的乘法与实数乘法法则一致．追问3：复数的乘法类似于实数的哪种运算方法？答案：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成−1，并且把实部与虚部分别合并即可．结论：两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定，运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘．设计意图：与实数多项式的乘法进行类比，有利于学生理解复数的乘法法则．同时培养学生类比的核心素养．问题2：类比实数的运算律，你认为复数乘法满足哪些运算律？请证明你的猜想．答案：猜想：对于任意对于任意z1，z2，z3∈C，有：交换律：z1∙z2=z2∙z1；结合律：(z1∙z2)∙z3=z1∙(z2∙z3)；分配律：z1(z2+z3)=z1∙z2+z1∙z3．证明：设z1＝a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i．(1)∵z1∙z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2−b1b2)+(b1a2+a1b2)iz2∙z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1−b2b1)+(b2a1+a2b1)i又a1a2−b1b2=a2a1−b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1，∴z1∙z2=z2∙z1．(2)(z1∙z2)∙z3=[(a1+b1i)(a2+b2i)](a3+b3i)．=[(a1a2−b1b2)+(b1a2+a1b2)i](a3+b3i)=[(a1a2−b1b2)a3+(b1a2+a1b2)b3]+[(b1a2+a1b2)a3+(a1a2−b1b2)b3]i=(a1a2a3−b1b2a3−b1a2b3−a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3−b1b2b3)i，同理可得：z1∙(z2∙z3)=(a1a2a3−b1b2a3−b1a2b3−a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3−b1b2b3)i，∴(z1∙z2)∙z3=z1∙(z2∙z3)．(3) z1(z2+z3)=(a1+b1i)[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+b1i)[(a2+a3)+(b2+b3)i]=[a1(a2+a3)−b1(b2+b3)]+[b1(a2+a3)−a1(b2+b3)]i=(a1a2+a1a3−b1b2−b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)iz1∙z2+z1∙z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2−b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3−b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2−b1b2+a1a3−b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a 1a 2+a 1a 3−b 1b 2−b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i∴z 1(z 2+z 3)=z 1∙z 2+z 1∙z 3．设计意图：引导学生根据复数的加法满足实数加法的运算律，大胆尝试推导复数乘法的运算律．培养学生的学习兴趣和勇于探索的精深．想一想：计算：(1)(−2−i )(3+i )； (2)(1−2i )(3+4i )(−2+i )． 分析：本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算． 解：(1) (−2−i )(3+i )=−6−2i −3i −i 2=−5−5i ； (2)(1−2i )(3+4i )(−2+i )=(11−2i )(−2+i )=−20+15i ．总结：按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．问题3：如何定义复数的乘方运算呢？答案：对于复数z ，定义它的乘方z n =z ∙z ∙ … ∙z ．根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立，即对复数z ，z 1，z 2和正整数m ，n ，有：z m ∙z n =z m+n ，(z m )n =z mn ，(z 1∙z 2)n =z 1n ∙z 2n ．追问：i 0=1，i 1=i ，i 2=−1，i 3=−i ，…以此类推，你发现了什么规律？ 答案：i 4n =1，i 4n+1=i ，i 4n+2=−1，i 4n+3=−i (n ∈N )．思考：计算下列各式，你发现其中有什么规律吗？请将你概括出的规律与同学交流，并证明. (1)(3+2i )(3−2i )；(2)(2+i )(2−i )；(3)(−2√2−i)(−2√2+i)；(4)(√3+√2i)(√3−√2i)．答案：(1)(3+2i )(3−2i )=32−6i +6i −(2i )2=9−(−4)=13； (2)(2+i )(2−i )=22−2i +2i −i 2=4−(−1)=5；(3)(−2√2−i)(−2√2+i)=(−2√2)2−2√2i +2√2i −i 2=8−(−1)=9； (4)(√3+√2i)(√3−√2i)=(√3)2−√6i +√6i −(√2i)2=3−(−2)=5．规律：互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数（或其共轭复数）模的平方．即若z =a +b i (a ，b ∈R)，则z ∙z̅=|z |2=|z̅|2=a 2+b 2．问题4：我们利用复数的减法是复数加法的逆运算，由复数的加法法则，推导出了复数的减法法则．同样，复数的除法是乘法的逆运算，尝试利用复数的乘法法则，去推导复数的除法法则．答案：我们通过引入倒数来定义复数的除法．给定复数z2，若存在复数z，使得z2∙z=1，则称z是z2的倒数，记作z=1z2．设z2=c+di≠0和z= x+yi(c，d，x，y∈R)，则z2∙z=(c+di)( x+yi)=cx−dy+ (cy+dx)i=1，所以{cx−dy=1，cy+dx=0，解得{x=cc2+d2，y=−dc2+d2．所以z2=c+di的倒数1z2=cc2+d2−dc2+d2i．（这里要求c，d不能同时为0，即z2≠0．）对任意的复数z1=a+b i(a，b∈R)和非零复数z2=c+di(c，d∈R)，规定复数的除法：z1z2=z1∙1z2，即除以一个复数，等于乘这个复数的倒数．因此z1 z2=a+bic+di=(a+bi)(cc2+d2−dc2+d2i)=ac+bdc2+d2−ad−bcc2+d2i．说明：在实际计算a+bic+di时，通常把分子和分母同乘分母c+di的共轭复数c−di，化简后就得到上面的结果：a+bi c+di =(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bdc2+d2−ad−bcc2+d2i．由此可见，在进行复数除法运算是，实际上是将分母“实数化”．设计意图：通过引入复数的倒数，将复数的除法转化成乘法，再类比实数中的分母有理化，对分母进行实数化，通过该化简的过程，帮助学生理解复数的除法法则．渗透类比和转化的数学思想方法，体会数学知识的紧密联系．解：原式=[(−2−3i)(−1+3i)](√6+i)=(2−6i+3i−9i2)(√6+i)=(11−3i)(√6+i)=11√6+11i−3√6i−3i2=(11√6+3)+(11−3√6)i．例2 计算：(1)(1+i)4；(2)(2−i)2(2+i)2．解：(1)(1+i)4=[(1+i)2]2=(1+2i+i2)2=(2i)2=−4；(2)(2−i)2(2+i)2=[(2−i)(2+i)]2=(4+1)2=25．例3 求一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c，d∈R，且a≠0)在复数范围内的根x1，x2，并验证x1+x2=−ba ，x1x2=ca．解：使用配方法容易得到：(x +b2a )2=b 2−4ac 4a 2．(1)若b 2−4ac ≥0，则x 1=−b+√b 2−4ac2a ，x 2=−b−√b 2−4ac2a．因此x 1+x 2=−b+√b 2−4ac2a+−b−√b 2−4ac2a=−b a，x 1x 2=−b+√b 2−4ac2a ·−b−√b 2−4ac2a=b 2−(b 2−4ac )4a 2=ca．(2)若b 2−4ac<0，则x +b 2a=±√4ac−b 24a 2i ，即x 1=−b+√4ac−b 2i2a，x 2=−b−√4ac−b 2i2a．因此x 1+x 2=−b+√4ac−b 2i2a+−b−√4ac−b 2i2a=−ba ，x 1x 2=−b+√4ac−b 2i 2a·−b−√4ac−b 2i2a=b 2+(4ac−b 2)4a 2=ca ．综上所述，一元二次方程x 2+bx +c =0(a ≠0)在复数范围内的根x 1，x 2都满足x 1+x 2=−ba，x 1x 2=ca．例4 证明：对任意的两个复数z 1，z 2，若z 1·z 2=0，则z 1，z 2至少有一个为0． 解：设z 1≠0，则|z 1|≠0，z 1的共轭复数z̅1≠0．将z 1·z 2=0的左右两边同时乘z̅1，得z 1·z 2·z̅1=0·z̅1，即|z̅1|2·z 2=0． 因为|z̅1|2≠0，所以z 2=0． 例5 计算：(1)−12i；(2)1+2i 2−3i ；(3)(1+i1−i )6． 解：(1)−12i=−1×(−i )2i×(−i )=i2；(2)1+2i2−3i=(1+2i )×(2+3i )(2−3i )×(2+3i )=−4+7i 13=−413+713i ； (3)(1+i 1−i)6=[(1+i )2(1−i )(1+i )]6=(2i 2)6=i 6=−1． 设计意图：在熟练应用复数的乘法除法运算法则之余，进行提升练习。
北师大版数学高二-江苏省高中数学 复数的四则运算2教案 选修2-2
江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学 复数的四则运算2教案 选修2-2教学目标 理解并掌握复数的的除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算重点难点重点：复数的除法运算。
难点：复数的除法运算教学过程 1、实数集R 中正整数指数的运算律,在复数集C 中仍然成立.即对*12,,,z z z C m n N ∈∈及有: 1212()()m n m nm n mn n n nz z z z z z z z z +===在计算复数的乘方时，要用到虚数单位i 的乘方，对于i 的正整数指数幂，易知 1234,1,,1i i i i i i ==-=-=一般地，如果*n N ∈，那么我们有 44142431,,1,n n n n i i i i i i +++===-=-例2:设1322i ω=-+,求证: (1)2310,(2)1ωωω++==2. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数c+di 的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者dic bi a ++ 3. 复数除法运算规则：①设复数a +bi (a ，b ∈R )，除以c +di (c ，d ∈R )，其商为x +yi (x ，y ∈R )，即(a +bi )÷(c +di )=x +yi ∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+(dx +cy )i .∴(cx －dy )+(dx +cy )i =a +bi .由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x于是有:(a +bi )÷(c +di )=2222dc ad bc d c bd ac +-+++ i . ②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将dic bi a ++的分母有理化得： 原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i d c ad bc d c bd ac 2222+-+++. 点评：①待定系数法②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c +di 与复数c －di ，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而(c +di )·(c －di )=c 2+d 2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法例3计算(12)(34)i i +÷-解：例4 计算ii i i 4342)1)(41(++++-课外作业课本66页3。
高中数学选修2-2 北师大版 §2复数的四则运算(第2课时)学案
§2复数的四则运算（第2课时）2.2复数的乘法与除法【学习目标】1.掌握复数的乘法和除法运算法则；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律；3.掌握共轭复数的概念.【重点难点】重点：复数代数形式的乘法和除法法则运算法则及运算律难点：共轭复数的概念及复数运算的运算律【导学流程】一、知识链接1.复数的加法与减法：(a+bi)±(c+di)=(a ±c)+(b ±d)i.2.复数相等的充要条件：a+bi=c+di(a ，b ，c ，d ∈R)⇔a=c ，且b=d.二、课前预习阅读课本第104-106页内容，完成：1.复数的乘法法则：（1）(a+bi)(c+di)=________+(ad+bc)i.（2）请用多项式乘法的运算方法证明上述法则.（3）计算(1+3i)(3+2i)=_____________；(－1－2i)(2i+4)=______________.2.共轭复数的概念：（1）什么是共轭复数？如何表示？一个复数与其共轭复数满足什么性质？______________________________________________________________________________.（2）2+3i 的共轭复数是_____________；－2i 的共轭复数是______________；3的共轭复数是_______________.（3）在复数范围内分解下列因式（其中a ，b ∈R ）：a 2+b 2=__________________；a 4－b 4=____________________________________.3.复数乘法的运算律：（1）交换律：21z z ⋅=______；结合律：()321z z z ⋅⋅=_______；分配律：z 1(z 2+z 3)=_________.（2）复数的正整数幂运算律：z m z n =_________；(z m )n =_________；(z 1z 2)n =__________.（3）请任意选择一个运算律给出其证明过程.（4）22321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-i =_____________；(3+2i)(－3+2i)=______________.4.复数的除法法则：（1）请写出复数除法法则运算法则的证明过程.（2）计算i i 32-=____________；ii i i -++-+2112=_______________.三、课堂探究【课堂小结】收获新知_______________________________________________________； 我的困惑_______________________________________________________.【达标检测】（限时20分钟）1.设a ，b ，c ，d ∈R ，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是（ ）A.ad －bc=0B.ac －bd=0C.ac+bd=0D.ad+bc=02.已知i m+1=1－ni ，其中m ，n ∈R ，i 是虚数单位，则m+ni=（） A.1+2i B.1－2i C.2+i D.2－i3.设x ，y 为实数，且i i yi x315211-=-+-，求x+y 的值.4.已知z=－2+ai 且|z|=5，又知z 对应点在第二象限，求a 值.。
复数的乘除运算教案
复数的乘除运算教案复数乘除运算教案一、教学目标1. 理解复数的乘除运算的概念和规律；2. 能够进行复数的乘除运算；3. 通过实际问题的解决，培养学生的应用能力。
二、教学重点1. 复数的乘法规则；2. 复数的除法规则。
三、教学难点1. 对复数的乘除运算规则的理解和灵活运用。
四、教学准备1. 复数的定义和性质；2. 复数的乘法和除法运算规则。
五、教学过程Step 1 知识导入复习复数的概念和性质，并引导学生回顾复数的加减运算规则。
Step 2 复数的乘法规则1. 引导学生思考：如何计算两个复数的乘积？2. 让学生观察一些简单的乘法例子，并总结乘法的规律，例如：(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2。
3. 根据上述规律，引导学生完成一些乘法运算练习。
Step 3 复数的除法规则1. 引导学生思考：如何计算一个复数除以另一个复数？2. 让学生观察一些简单的除法例子，并总结除法的规律，例如：(a + bi)/(c + di) = (a + bi)(c - di)/(c^2 + d^2)。
3. 根据上述规律，引导学生完成一些除法运算练习。
Step 4 综合运用通过实际问题的解决，让学生灵活应用复数的乘除运算规则。
例如：问题：如果有一个复数z，满足z乘以4等于(-8 + 16i)，求z的值。
解决思路：设z = a + bi，将已知条件代入乘法规则，得到方程(a + bi) * 4 = (-8 + 16i)，然后解方程，求得z的值。
六、教学拓展引导学生思考复数的乘法和除法规则在实际生活中的应用，例如在电路分析、信号处理等领域。
七、作业布置完成教师布置的练习题，巩固所学的乘除运算规则。
八、课堂小结复习复数的乘除运算规则，并提醒学生练习和巩固所学知识。
以上是关于复数的乘除运算教案的参考内容，通过引导学生总结计算规律和应用实例，帮助学生理解复数的乘除运算规则，并通过实际问题的解决来培养学生的应用能力。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第5章 复数复数的乘法与除法 参考教案1
Z 2 Z 1 Z O xy 复数的乘法与除法教学目的：1、掌握复数的加、减、乘、除四则运算及其运算律；理解复数加、减法的几何意义。
2、培养类比思想和逆向思维。
3、培养学生探索精神和良好的学习习惯。
教学重点：复数的加、减、乘、除四则运算及其运算律。
教学难点：运用类比思想由实数运算法则探究复数运算法则。
教学方法：类比法。
教学过程：一、复习引入复数的加法：设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a,b,c,d ∈R)是任意两个复数，则它们和为z 1＋z 2＝(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i复数的和仍然为一个复数，其实部为z 1、z 2的实部和，虚部为z 1、z 2的虚部和。
复数加法满足(1)交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；(2)结合律(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3) 复数的减法：(加法的逆运算)复数a ＋bi 减去复数c ＋di 的差是指满足(c ＋di)＋(x ＋yi)＝a ＋bi 的复数x ＋yi ，记作(a ＋bi)－(c ＋di)根据复数相等的定义：(a ＋bi)－(c ＋di)＝(a －c)＋(b －d)i复数的差仍然是一个复数，其实部为两个复数实部的差，虚部为两个复数虚部的差。
显然，减法不满足交换律和结合律。
复数加法的几何意义：复数可以用向量表示，复数加法的几何意义即为平行四边形法则。
证明思路1：设z 1＝a ＋bi 、z 2＝c ＋di 分别对应复平面上的点Z 1(a ，b)和Z 2(c ，d)，z ＝(a ＋c)＋(b ＋d) i 对应复平面上Z (a ＋c ，b ＋d)，证明OZ 1ZZ 2为平行四边形。
证明思路2：根据平行四边形法则求得点Z ，证明其坐标为(a ＋c ，b ＋d)。
1OZ ＋2OZ ＝ ＜＝＞ z 1＋z 2＝z复数减法的几何意义：复数减法的几何意义即为三角形法则。
1OZ －2OZ ＝12Z Z ＜＝＞ z 1－z 2＝z二、新课讲解1.复数的乘法：设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)是任意两个复数，则它们积为z 1•z 2＝(a ＋bi) (c ＋di)＝(ac －bd)＋(bc ＋ad)i复数的积仍然为一个复数，复数的乘法与多项式的乘法相似。
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修1-2 2.2复数的乘法与除法》
复数的乘法与除法
一、教学目标
〔1〕掌握复数乘法与除法的运算法那么，并能熟练地进行乘、除法的运算；〔2〕能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进行解题；〔3〕让学生领悟到“转化〞这一重要,n∈N有:
m·n=mn,
mn=mn,
1·2n=1n·2n
【总结提升】
复数的乘法运算法那么的记忆：
1，复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，
2，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．
回忆本节课你有什么收获？
1复数乘法的法那么及运算律
2共轭复数的概念以及应用
3复数的乘法法那么及应用的原理。
2021年高中数学新北师大版必修第二册 第五章 2.2 复数的乘法与除法 教案
复数的乘法与除法【教学过程】一、问题导入我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即,,a b c R ∈时，有()a b c ac bc ++=+，而且，实数的正整数次幂满足m n m n a a a +=，()nm mn a a =，()nn n ab a b =，其中m ，n 均为正整数.那么，复数的乘法应该如何规定，才能使得类似的运算法则仍成立呢？ 二、新知探究1.复数代数形式的乘法运算【例1】（1）已知,a b R ∈，i 是虚数单位．若a i -与2bi +互为共轭复数，则()2a bi +=（ ）A ．54i -B ．54i +C ．34i -D ．34i +（2）复数()32z i i =-的共轭复数z 等于（ ） A ．23i -- B ．23i -+ C ．23i -D ．23i +（3）i 是虚数单位，复数()()312i i +-=__________.[解析]（1）由题意知2a i bi -=-，2a ∴=，1b =，()()22234a bi i i ∴+=+=+.（2）()2323223z i i i i i =-=-=+.23z i ∴=-.故选C .（3）()()231236255i i i i i i +-=-+-=-. [答案]（1）D （2）C （3）55i - 【教师小结】（1）两个复数代数形式乘法的一般方法首先按多项式的乘法展开；再将2i 换成1-；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．（2）常用公式（1）()()2222,a bi a abi b a b R +=+-∈； （2）()()()22,a bi a bi a b a b R +-=+∈； （3）()212i i ±=±.2.复数代数形式的除法运算【例2】（1）()()2211i i +=-（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --（2）i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ） A ．1i - B ．1i -+ C .17312525i + D ．172577i -+ [解析]（1）法一：()()()()()()222211211122112221i i i i i i i ii i ii ii ++++++-+-=====------.故选D .法二：()()()()()22221111111i i i i i i i i ++⎛⎫=+=+=-+ ⎪-⎝⎭-． （2）()()()()73472525134343425i i i i i i i i +-+-===-++-，故选A . [答案]（1）D （2）A 【教师小结】（一）两个复数代数形式的除法运算步骤 （1）首先将除式写为分式；（2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；（3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． （二）常用公式 （1）1i i=-；（2）11i i i +=-；（3）11ii i-=-+.3.n i 的周期性及应用 [探究问题]（1）5i 与i 是否相等？ 提示：54i i i i =⋅=，相等． （2）234i i i i +++的值为多少？ 提示：2340i i i i +++=. 【例3】计算1232020i i i i ++++.[思路探究]本题中需求多个n i 和的值，求解时可考虑利用等比数列求和公式及n i 的周期性化简；也可利用()1230n n n n i i i i n N ++++++=∈化简．[解]法一：原式()()()10102202011110111i i i i i i ii⎡⎤---⎢⎥⎣⎦====---.法二：12340i i i i +++=，()1230n n n n i i i i n N +++∴+++=∈， ()()()12320201234567820172018201920200i i i i i i i i i i i i i i i i ∴++++=++++++++++++=三、课堂总结（一）复数的乘法及其运算律 1．定义()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++.2．运算律对任意3．两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的平方． 4．41n i i +=；421n i +=-；43n i i +=-；41n i =． （二）复数的除法法则1．已知z a bi =+，如果存在一个复数z '，使1z z '⋅=，则z '叫做z 的倒数，记作1z，则22221a biza b a b =-++且21z z z =. 2．复数的除法法则设1z a bi =+，()20z c di c di =++≠，122222z a bi ac bd bc adi z c di c d c d ++-==++++.。
高二数学北师大版选修2-2第五章 2.2 复数的乘法与除法 课件(北师大版选修2-2)
i i ห้องสมุดไป่ตู้1
2
Z 一般地，如果 n n N ，有
i i i i
4 n1
i i i i i 1
4 3
i 1, i
4n
i , i
4 n 2
1, i
4 n 3
i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须 在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并. 两个复数的积仍然是一个复数.
第五章 数系的扩充与复数的引入 2.2 复数的乘法与除法
复数的加法：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数， 则它们和为 z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i
复数的和仍然为一个复数，其实部为z1、z2的实部和， 虚部为z1、z2的虚部和。 复数加法满足 (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1； (2)结合律(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
2
1 3 6 练习 1.计算( i) . 1 2 2 4 (2 2i) 练习2.计算 . 1 3i 5 (1 3i)
练习3.
1 3 1 3i i ________ 4 4 2
( 3 i)
3 i 1 3i 8 练习4.计算( ). 2 2 8 8 3i
例1.计算 (1 2i)(3 4i)(2 i)
解:
(1 2i )(3 4i )( 2 i ) (11 2i )( 2 i ) 20 15i
(a bi)(a bi) a b (a, b R).
2 2
概念：共轭复数：实部相等，虚部互为相反数 的两个复数。
1、复数的乘法法则： 设 z1 a bi ， z 2 c di是任意两个复数，