吉林省2021版高考数学二模试卷(理科)A卷
吉林省2021版高考数学二模试卷（理科）A卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分）(2020·重庆模拟) 已知集合，集合，则（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）(2020·桐乡模拟) 复数满足（其中是虚数单位），则z=（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2016高二下·钦州期末) 设两个正态分布和的密度曲线如图所示，则有（）
A . μ1＜μ2 ，σ1＜σ2
B . μ1＜μ2 ，σ1＞σ2
C . μ1＞μ2 ，σ1＜σ2
D . μ1＞μ2 ，σ1＞σ2
4. （2分）集合A={x||x|≤4，x∈R}，B={x|（x+5）（x-a）≤0}，则“”是“a>4”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
5. （2分）(2016·大连模拟) 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为（）
A . （4+4 ）π
B . （6+4 ）π
C . （8+4 ）π
D . （12+4 ）π
6. （2分） (2015高三上·保定期末) 将函数f（x）=sin（4x+ ）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是直线（）
A . x=
B . x=
D . x=
7. （2分） (2017高一下·天津期末) 若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）
A . ﹣5
B . 1
C .
D . 3
8. （2分）如图所示，， O为的内心，则的值为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）(2017·武邑模拟) 已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且当PA与抛物线相切时，点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）
A .
B .
D .
10. （2分）(2016·天津理) 已知函数f（x）= （a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程│f（x）│=2 x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是
A . （0， ]
B . [ ， ]
C . [ ， ] { }
D . [ ，） { }
二、填空题 (共5题；共5分)
11. （1分） (2017高一下·定州期末) 若过定点M（﹣1，0）且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2﹣5=0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________．
12. （1分）设常数a＞0，展开式中x3的系数为，则=________
13. （1分） (2017高二上·长春期末) 若表示不超过的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的值为________．
14. （1分）已知圆O为正△ABC的内切圆，向△ABC内投掷一点，则该点落在圆O内的概率是________
15. （1分） (2018高一上·台州月考) 设函数，若对任意的正实数，总存在，使得，则实数的取值范围为________
三、解答题 (共6题；共65分)
16. （5分）设向量=（sinx，sinx），=（sinx，cosx），x∈[0，]．
（Ⅰ）若||=||，求x的值；
（Ⅱ）设函数f（x）=，将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的最大值及此时相应的x值．
17. （10分） (2018高二下·定远期末) 第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．
（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；
（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人．
①记表示选取4人的成绩的平均数，求；
②记表示测试成绩在80分以上的人数，求的分布和数学期望．
18. （10分） (2017高一下·景德镇期末) 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°．
（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．
19. （15分） (2015高三上·泰州期中) 设f（x）=x2lnx，g（x）=ax3﹣x2 ．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）＞g（x），求实数a的取值范围；
（3）若使方程f（x）﹣g（x）=0在x∈[ ，en]（其中e=2.7…为自然对数的底数）上有解的最小a的值为an ，数列{an}的前n项和为Sn ，求证：Sn＜3．
20. （15分） (2016高二下·洛阳期末) 已知函数f（x）=lnx﹣a（1﹣）．
（1）若a=1，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥0，对任意的x≥1均成立，求实数a的取值范围；
（3）求证：（）1008＞．
21. （10分） (2018高二上·巴彦月考) 在平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，且与直线相切.
（1）求圆的方程。
（2）在圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，且△ 的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的△ 的面积；若不存在，请说明理由.
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共5题；共5分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
三、解答题 (共6题；共65分)
16-1、
17-1、
17-2、
18-1、18-2、
19-1、19-2、
19-3、20-1、
20-2、20-3、21-1、
21-2、。
吉林省长春市2021年高考复习数学二模试卷(理科)
＝
．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.
17．（12 分）在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，其面积 S＝b2sinA． 푐
（1）现按分层抽样从质量为[250，300），[300，350）的芒果中随机抽取 9 个，再从这 9 个中随机抽 取 3 个，记随机变量 X 表示质量在[300，350）内的芒果个数，求 X 的分布列及数学期望．
（2）以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园 中还未摘下的芒果大约还有 10000 个，经销商提出如下两种收购方案：
的，若输入 a＝91，b＝39，则输出的值为
．
试卷 测
15．（5 分）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．已知同底的两个正四棱锥
内接于同一个球，它们的底面边长为 a，球的半径为 R，设两个正四棱锥的侧面与底面所成的角分别
为 α，β，则 tan（α+β）＝
．
16．（5 分）在数列{an}中，a1＝0，且对任意 k∈N*，a2k﹣1，a2k，a 成等差数列，其公差为 2k，则 an
9
【考点】7C：简单线性规划． 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式． 【分析】由约束条件作出可行域，利用数量积的坐标运算得到目标函数，化目标函数为直线方程的斜 截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：
{x - y + 2 ≥ 0
2021年吉林省长春外国语学校高考数学二模试卷(理科)
吉林省长春外国语学校高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|≤0}，B={﹣2，﹣1，0，3，4}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，3}C．{﹣1，0，3}D．{0，3，4}2．（5分）若复数是虚数单位，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件4．（5分）已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．5．（5分）某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是（）A．3 B．4 C．5 D．66．（5分）若满足x，y约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．﹣1 D．﹣37．（5分）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β8．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n﹣1，则数列{a n2}的前10项和为（）A．410﹣1 B．（210﹣1）2C．（410﹣1）D．（210﹣1）9．（5分）已知对数函数f（x）=log a x是增函数，则函数f（|x|+1）的图象大致是（）A． B．C．D．10．（5分）若f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，f （0）=，则（）A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减11．（5分）设F1、F2分别是双曲线C：﹣=1的左右焦点，点P在双曲线C 的右支上，且•=0，则|+=（）A．4 B．6 C．D．12．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则点（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）.13．（5分）（x3﹣）4展开式中常数项为．14．（5分）已知f（x）=3x2+2x+1，若f（x）dx=2f（a），则a=．15．（5分）在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有种．16．（5分）已知抛物线y2=16x，焦点为F，A（8，2）为平面上的一定点，P为抛物线上的一动点，则|PA|+|PF|的最小值为．三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项a1=1，a n+1=f（a n）．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：数列{a n+1}为等比数列；（3）求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的结果如下：日销售量1 1.52频数102515频率0.2a b（1）求表中a，b的值（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立，①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和期望．19．（12分）一个多面体的直观图（图1）及三视图（图2）如图所示，其中M，N分别是AF、BC的中点（Ⅰ）求证：MN∥平面CDEF：（Ⅱ）求二面角A﹣CF﹣B的余弦值；20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：过椭圆C1：+=1（m＞n＞0）上一点Q（x0，y0）的切线方程为+=1；（Ⅲ）过圆x2+y2=16上一点P向椭圆C引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB分别与x轴、y轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．四、解答题（共1小题，满分10分）22．（10分）已知某圆的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．2018年吉林省长春外国语学校高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|≤0}，B={﹣2，﹣1，0，3，4}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，3}C．{﹣1，0，3}D．{0，3，4}【解答】解：由|≤0得﹣1＜x≤3，即A=（﹣1，3]，∵B={﹣2，﹣1，0，3，4}，∴A∩B={0，3}，故选：B．2．（5分）若复数是虚数单位，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数z==3+2i，则z的共轭复数=3﹣2i在复平面内对应的点（3，﹣2）在第四象限．故选：D．3．（5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1，即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵；；∴；∴；∴向量与的夹角为．故选：B．5．（5分）某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：执行程序框图，有S=1，k=1满足条件S＜2014，有S=2，k=2；满足条件S＜2014，有S=4，k=3；满足条件S＜2014，有S=16，k=4；满足条件S＜2014，有S=4049，k=5；不满足条件S＜2014，输出k的值为5．故选：C．6．（5分）若满足x，y约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．﹣1 D．﹣3【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，目标函数有最大值，由：，可得A（0，1），z的最大值为z=0+1=1．故选：B．7．（5分）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β【解答】解：选择支C正确，下面给出证明．证明：如图所示：∵m∥n，∴m、n确定一个平面γ，交平面α于直线l．∵m∥α，∴m∥l，∴l∥n．∵n⊥β，∴l⊥β，∵l⊂α，∴α⊥β．故C正确．故选：C．8．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n﹣1，则数列{a n2}的前10项和为（）A．410﹣1 B．（210﹣1）2C．（410﹣1）D．（210﹣1）【解答】解：∵S n=2n﹣1，∴S n+1=2n+1﹣1，=S n+1﹣S n=（2n+1﹣1）﹣（2n﹣1）=2n，∴a n+1又a1=S1=2﹣1=1，∴数列{a n}的通项公式为：a n=2n﹣1，∴=（2n﹣1）2=4n﹣1，∴所求值为=，故选：C．9．（5分）已知对数函数f（x）=log a x是增函数，则函数f（|x|+1）的图象大致是（）A． B．C．D．【解答】解：由函数f（x）=log a x是增函数知，a＞1．故选：B．10．（5分）若f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，f （0）=，则（）A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=sin（ωx+ϕ+）（ω＞0）的最小正周期为=π，可得ω=2．再根据=sin（ϕ+），可得sin（ϕ+）=1，ϕ+=2kπ+，k∈Z，故可取ϕ=，y=sin（2x+）=cos2x．在上，2x∈（﹣，），函数f（x）=cos2x 没有单调性，故排除A、B；在上，2x∈（0，π），函数f（x）=cos2x 单调递减，故排出C，故选：D．11．（5分）设F1、F2分别是双曲线C：﹣=1的左右焦点，点P在双曲线C 的右支上，且•=0，则|+=（）A．4 B．6 C．D．【解答】解：由双曲线方程得a2=4，b2=5，c2=9，即c=3，则焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0），∵点P在双曲线C的右支上，且•=0，∴△F1PF2为直角三角形，则|+=|2|=|F1F2|=2c=6，故选：B．12．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则点（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：根据题意可知，“友好点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y=x2+2x（x＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y=（x ≥0）交点个数即可．如图所示：当x=1时，0＜＜1观察图象可得：它们有2个交点．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）.13．（5分）（x3﹣）4展开式中常数项为﹣4．，则T r+1=•（x3）4﹣r•=（﹣【解答】解：设展开式的通项为T r+11）r••x12﹣4r•令12﹣4r=0得r=3．∴开式中常数项为：（﹣1）3•=﹣4．故答案为：﹣4．14．（5分）已知f（x）=3x2+2x+1，若f（x）dx=2f（a），则a=﹣1或．1f（x）dx=∫﹣11（3x2+2x+1）dx【解答】解：∫﹣1=（x3+x2+x）|﹣11=4=2f（a），f（a）=3a2+2a+1=2，解得a=﹣1或．故答案为﹣1或15．（5分）在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有10种．【解答】解：选择两门理科学科，一门文科学科，有=9种；选择三门理科学科，有1种，故共有10种．故答案为：10．16．（5分）已知抛物线y2=16x，焦点为F，A（8，2）为平面上的一定点，P为抛物线上的一动点，则|PA|+|PF|的最小值为12．【解答】解：抛物线的准线方程为：x=﹣4，焦点为F（4，0），过A向准线作垂线，垂足为B，∴|PA|+|PF|≥|AB|=12．故答案为：12．三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项a1=1，a n+1=f（a n）．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：数列{a n+1}为等比数列；（3）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵又∵α为锐角∴α=∴∴f（x）=2x+1=2a n+1，∴a n+1+1=2（a n+1）（2）∵a n+1∵a1=1∴数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．（3）由上步可得a n+1=2n，∴a n=2n﹣1∴18．（12分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的结果如下：日销售量1 1.52频数102515频率0.2a b（1）求表中a，b的值（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立，①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和期望．【解答】解：（1）∵=50∴a==0.5，b==0.3（2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5设5天中该种商品有X天的销售量为1.5吨，则X～B（5，0.5）P（X=2）=C52×0.52×（1﹣0.5）3=0.3125②X的可能取值为4，5，6，7，8，则p（X=4）=0.22=0.04p（X=5）═2×0.2×0.5=0.2p（X=6）═0.52+2×0.2×0.3=0.37p（X=7）═2×0.3×0.5=0.3p（X=8）=0.32=0.09所有X的分布列为：X45678P0.040.20.370.30.09EX=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2．19．（12分）一个多面体的直观图（图1）及三视图（图2）如图所示，其中M，N分别是AF、BC的中点（Ⅰ）求证：MN∥平面CDEF：（Ⅱ）求二面角A﹣CF﹣B的余弦值；【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，以EA，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），E（﹣4，0，0），F（﹣4，4，0），B（0，4，0），C（0，4，4），M（﹣2，2，0），N（0，4，2），D（0，0，4），=（2，2，2），=（0，4，0），=（4，0，4），设平面CDEF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，﹣1），∵=2+0﹣2=0，且MN⊄平面CDEF，∴MN∥平面CDEF．解：（Ⅱ）A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，4，4），F（﹣4，4，0），面CBF法向量为=（0，1，0），=（0，﹣4，﹣4），=（﹣4，0，﹣4），设面ACF法向量为=（x，y，z），则，取z=﹣1，得=（1，1，﹣1），设二面角A﹣CF﹣B的平面角为θ，∴cosθ===，∴二面角A﹣CF﹣B的余弦值为．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：过椭圆C1：+=1（m＞n＞0）上一点Q（x0，y0）的切线方程为+=1；（Ⅲ）过圆x2+y2=16上一点P向椭圆C引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB分别与x轴、y轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得b=1，e==，又a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，即有椭圆C方程为+y2=1．（Ⅱ）证明：当斜率存在时，设切线方程为y=kx+t，联立椭圆方程+=1，可得n2x2+m2（kx+t）2=m2n2，化简可得：（n2+m2k2）x2+2m2ktx+m2（t2﹣n2）=0，①由题可得：△=4m4k2t2﹣4m2（n2+m2k2）（t2﹣n2）=0化简可得：t2=m2k2+n2，①式只有一个根，记作x0，x0=﹣=﹣，x0为切点的横坐标，切点的纵坐标y0=kx0+t=，所以=﹣，所以k=﹣，所以切线方程为：y﹣y0=k（x﹣x0）=﹣（x﹣x0），化简得：+=1．当切线斜率不存在时，切线为x=±m，也符合方程+=1，综上+=1（m＞n＞0）上一点Q（x0，y0）的切线方程为+=1；（Ⅲ）设点P（x P，y P）为圆x2+y2=16上一点，PA，PB是椭圆+y2=1的切线，切点A（x1，y1），B（x2，y2），过点A的椭圆的切线为+y1y=1，过点B的椭圆的切线为+y2y=1．由两切线都过P点，+y1y P=1，+y2y P=1即有切点弦AB所在直线方程为+yy P=1．M（0，），N（，0），|MN|2=+=（+）•=（17++）≥（17+2）=，当且仅当=即x P2=，y P2=时取等，则|MN|，即|MN|的最小值为．21．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）min．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g（x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）四、解答题（共1小题，满分10分）22．（10分）已知某圆的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．【解答】解：（1）即ρ2﹣4（+），即x2+y2﹣4x﹣4y+6=0．（2）圆的参数方程为，∴x+y=4+（sinα+cosα）=4+2sin（α+）．由于﹣1≤sin（α+）≤1，∴2≤x+y≤6，故x+y 的最大值为6，最小值等于2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，得2|x﹣1|≥1，即|x﹣1|，解得：x或x，∴不等式的解集为（﹣∞，]∪[，+∞）．（2）∵不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|∴原不等式解集为R等价于|a﹣1|≥1，解得：a≥2或a≤0∵a＞0，∴a≥2故得实数a的取值范围为[2，+∞）．。
吉林省2021年高考数学二模试卷(理科)A卷(模拟)
吉林省2021年高考数学二模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·三台期中) 设x∈R，则“x3=x“是“x=1“的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）设复数z满足=i，则|z|=（）A . 1B .C .D . 23. （2分）(2018·孝义模拟) 执行如图所示的程序框图，输出的值是（）A .B .C .D .4. （2分） (2020高一下·鸡西期中) 已知向量的重心为G，则与的夹角的余弦值是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二上·延吉期中) 数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7 ，则有（）A .B .C .D . 与的大小不确定6. （2分）(2018·中原模拟) 已知网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .7. （2分）已知，给出下列命题：①若A>B，则；②若ab≠0，则；③若，则；④若，则a，b中至少有一个大于1．其中真命题的个数为（）A . 2C . 4D . 18. （2分） (2016高一下·桐乡期中) 若cos α=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+ ）=（）A .B .C .D .9. （2分）用长度为24的材料围一个矩形场地，中间且有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（）A . 3B . 4C . 6D . 1210. （2分） (2018高一下·黑龙江期末) 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有，，，，，，，A . 0个B . 1个C . 2个11. （2分）(2018·恩施模拟) 设椭圆的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数f（x）= ，若关于x的方程f（x）=k有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A . （﹣3，1）B . （0，1）C . （﹣2，2）D . （0，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·滨海模拟) 个男生和个女生排成一列，若男生甲与另外两个男同学都不相邻，则不同的排法共有________种（用数字作答）．14. （1分） (2017高二上·信阳期末) 已知实数x，y满足，若z=ax+y有最大值7，则实数a 的值为________．15. （1分）已知圆C过点（2，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：x+y﹣7=0被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为________16. （1分）已知f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）＝2x2＋5x＋1.若当x∈[1，3]时，f（x）的最大值为m，最小值为n，则m－n的值为________．三、解答题 (共7题；共80分)17. （10分） (2020高二下·海安月考) 在△ABC中，角 A ， B ， C的对边分别是 a ， b ， c ，.（1）求cosC；（2）若b＝7，D是BC边上的点，且△ACD的面积为，求sin∠ADB.18. （15分） (2016高二上·合川期中) 如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，点M在AB上，且AM：MB=1：2，E为PB的中点．（1）求证：CE∥平面ADP；（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19. （10分） (2019高三上·南京月考) 如图，已知面积为4的正三角形三边的中点分别为、、，从，，，，，六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为（三点共线时，规定）（1）求概率（）；（2）求的概率分布列，并求其数学期望 .20. （10分）(2017·太原模拟) 如图，曲线C由左半椭圆M： + =1（a＞b＞0，x≤0）和圆N：（x ﹣2）2+y2=5在y轴右侧的部分连接而成，A，B是M与N的公共点，点P，Q（均异于点A，B）分别是M，N上的动点．（1）若|PQ|的最大值为4+ ，求半椭圆M的方程；（2）若直线PQ过点A，且 =﹣2 ，⊥ ，求半椭圆M的离心率．21. （15分）(2020·东海模拟) 已知函数（a，）.（1）若，且在内有且只有一个零点，求a的值；（2）若，且有三个不同零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；（3）若，，试讨论是否存在，使得 .22. （10分）(2019高二下·蛟河月考) 直角坐标系中，曲线的参数方程为；以为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线．（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）已知直线与曲线和曲线分别交于和两点（均异于点），求线段的长．23. （10分） (2019高三上·郴州月考) 设，．（1）求不等式的解集；（2）若对任意的，使得，求实数的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共80分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2021年吉林省高考理科数学真题及参考答案
2021年吉林省高考理科数学真题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设()()i z z z z 6432+=-++，则=z （）A .i 21-B .i 21+C .i +1D .i-12.已知集合{}Z n n s s S ∈+==,12，{}Z n n t t T ∈+==,14，则=T S （）A .φB .SC .TD .Z3.已知命题p ：1sin ,<∈∃x R x ；命题q ：1,≥∈∀xe R x ，则下列命题中为真命题的是（）A .qp ∧B .q p ∧⌝C .qp ⌝∧D .()q p ∧⌝4.设函数()xxx f +-=11，则下列函数中为奇函数的是（）A .()11--x fB .()11+-x f C .()11-+x f D .()11++x f 5.在正方体1111D C B A ABCD -中，P 为11D B 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A .2πB .3πC .4πD .6π6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者.则不同的分配方案共有（）A .60种B .120种C .240种D .480种7.把函数()x f y =图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin πx y 的图象，则()=x f （）A .⎪⎭⎫ ⎝⎛-1272sin πx B .⎪⎭⎫⎝⎛+122sin πx C .⎪⎭⎫ ⎝⎛+122sin πx D .⎪⎭⎫ ⎝⎛-1272sin πx 8.在区间()1,0与()21，中各随机取1个数，则两数之和大于47的概率为（）A .97B .3223C .329D .929.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题时测量海岛的高.如图，点G H E ,,在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，成为“表高”，EG 成为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”.则海岛的高=AB （）A .表高表目距的差表距表高+⨯B .表高表目距的差表距表高-⨯C .表距表目距的差表距表高+⨯D .表距表目距的差表距表高-⨯10.设0≠a ，若a x =为函数()()()b x a x a x f --=2的极大值点，则（）A .b a <B .b a >C .2a ab <D .2a ab >11.设B 是椭圆C ：()012222>>=+b a b y a x 的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足b PB 2≤，则C 的离心率的取值范围是（）A .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡122，B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡121，C .⎦⎤⎝⎛220，D .⎥⎦⎤ ⎝⎛21.012.设01.1ln 2=a ，02.1ln =b ，104.1-=c ，则（）A .c b a <<B .a c b <<C .c a b <<D .ba c <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线C ：()0122>=-m y m x 的一条渐近线为03=+my x ，则C 的焦距为.14.已知向量()3,1=a，()4,3=b ，若()b b a ⊥-λ，则=λ.15.记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，面积为3，︒=60B ，ac c a 322=+，则=b.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号一次为.（写出符合要求的一组答案即可）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别为x ，y ，样本方差分别为21s ，22s .（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果1022221s s x y +≥-，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高.）18.（12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面是矩形，⊥PD 底面ABCD ，1==DC PD ，M 为BC 的中点，且AM PB ⊥.（1）求BC ；（2）求二面角B PM A --的正弦值.旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.519.（12分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212=+nn b S .（1）证明：数列{}n b 是等差数列；（2）求{}n a 的通项公式.20.（12分）设函数()()x a x f -=ln ，已知0=x 是函数()x xf y =的极值点.（1）求a ；（2）设函数()()()x xf x f x x g +=，证明：()1<x g .21.（12分）已知抛物线C ：()022>=p py x 的焦点为F ，且F 与圆M ：()1422=++y x 上点的距离的最小值为4.（1）求p ；（2）若点P 在M 上，PB P A ,是C 的两条切线，B A ,是切点，求P AB ∆面积的最大值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，☉C 的圆心为()12，C ，半径为1.（1）写出☉C 的一个参数方程；（2）过点()14，F 作☉C 的两条切线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()3++-=x a x x f .（1）当1=a 时，求不等式()6≥x f 的解集；（2）若()a x f ->，求a 的取值范围.参考答案一、选择题1.C 解析：设bi a z +=，则bi a z -=，∴()()i bi a z z z z 646432+=+=-++，∴1,1==b a ，∴i z +=1.2.C 解析：当Z k k n ∈=,2时，{}Z k k s s S ∈+==,14；当Z k k n ∈+=,12时，{}Z k k s s S ∈+==,34；∴S T ⊂，∴=T S T .3.A 解析：p 真，q 真，∴选A 4.B解析：()xx f ++-=121关于()11--，中心对称，向右1个单位，向上1个单位后关于()0,0中心对称，∴()11+-=x f y 为奇函数.5.D解析：如图，1PBC ∠为直线PB 与1AD 所成的角的平面角.易知11BC A ∆为正三角形，又P 为11C A 的中点，∴61π=∠PBC .6.C 解析：所求分配方案数为2404425=A C .7.B解析：逆向：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=−−−−−−→−⎪⎭⎫ ⎝⎛+=−−→−⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1221sin 12sin 4sin 23ππππx y x y x y 倍横坐标变为原来的左移.8.B解析：由题意记()1,0∈x ，()2,1∈y ，题目即求47>+y x 的概率，如下图所示，故322314343211112111=⨯⨯-=⨯⋅-⨯==AN AM S S P ABCD正阴.9.A解析：连接DF 交AB 于M ，则BM AM AB +=.记βα=∠=∠BFM BDM ，，则DF MD MF MBMB =-=-αβtan tan .而EHEDGC FG ==αβtan ,tan .∴ED EH GC MB ED EH FG GC MB MB MB MB -⋅=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-αβαβtan 1tan 1tan tan 故=-⋅=EH GC DFED MB 表目距的差表距表高⨯，∴高=AB 表高表目距的差表距表高+⨯.10.D解析：若0>a ，其图象如图（1），此时，b a <<0；若0<a ，其图象如图（2），此时，0<<a b .综上，2a ab >.11.C 解析：由题意，点()b B ,0.设()00,y x P ，则1220220=+b y a x ，∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2202201b y a x .故()2202022202022022220221b a by y b c b by y b y a b y x PB ++--=+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=，[]b b y ,0-∈.由题意，当b y -=0时，2PB 最大，则b cb -≤-23，∴22c b ≥，∴222c c a ≥-，∴22≤=a c e ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈22,0e .12.B解析：设()()1211ln ++-+=x x x f ，则()02.0f c b =-.易得()()()xx x x x x x f 211121212211+++-+=+-+='.当0≥x 时，()x x x 21112+≥+=+，故()0≤'x f .∴()x f 在[)∞+，0上单调递减，∴()()0002.0=<f f ，故c b <.再设()()1411ln 2++-+=x x x g ，则()01.0g c a =-，易得()()()xx x x x x x g 4111412412412+++-+⋅=+-+='，当20<≤x 时，x x x x +=++≥+121412，∴()0≥'x g ，故()x g 在[)2,0上单调递增，∴()()0001.0=>g g ，故c a >，综上，b c a >>.二、填空题13.4解析：易知双曲线渐近线方程为x aby ±=，由题意得1,22==b m a ，且一条渐近线方程为x my 3-=，则有0=m （舍去），3=m ，故焦距为42=c .14.53解析：由题意得()0=⋅-b b a λ，即02515=-λ，解得53=λ.15.22解析：343sin 21===∆ac B ac S ABC ，∴4=ac .由余弦定理，823222==-=-+=ac ac ac ac c a b ，∴22=b .16.②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面P AC ⊥平面ABC ，2==PC P A ，5==BC BA ，2=AC .俯视图为⑤；侧视图为③，如图（2），P A ⊥平面ABC ，1=P A ，5==AB AC ，2=BC ，俯视图为④.三、解答题17.解：（1）()0.107.92.101.100.108.99.92.100.103.108.9101=+++++++++=x()3.105.104.105.106.103.101.100.101.104.101.10101=+++++++++=y ，()()()()2222210.100.1020.109.90.108.920.107.9[101-⨯+-+-⨯+-⨯=s ()()()36.0]0.103.100.102.1020.101.10222=-+-⨯+-+，()()()()2222223.104.1023.103.103.101.1033.100.10[101-⨯+-+-⨯+-⨯=s ()()4.0]3.106.103.105.10222=-+-⨯+.（2）由（1）中数据得3.0=-x y ，34.01022221≈+s s .显然<-x y 1022221s s +，∴不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18.解：（1）∵⊥PD 底面ABCD ，且矩形ABCD 中，DC AD ⊥，∴以DP DC DA ，，分别为z y x ,,轴正方向，D 为原点建立空间直角坐标系xyz D -.设t BC =，()()()1000,1,20,1,0,0,，，，，，P t M t B t A ⎪⎭⎫⎝⎛∴()1,1,-=t PB ，⎪⎭⎫⎝⎛-=0,1,2t AM .∵AM PB ⊥，∴0122=+-=⋅t AM PB ，∴2=t ，∴2=BC .（2）设平面APM 的一个法向量为()z y x m ,,=，由于()10,2，-=AP ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅02202y x AM m z AP m ，令2=x ，得()2,1,2=m.设平面PMB 的一个法向量为()c b a n ,,= ，则⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅==⋅0202c b a PB n a CB n，令1=b ，得()1,1,0=n.∴14143273,cos =⨯=⋅=nm n m n m，∴二面角B PM A --的正弦值为14143.19.解：（1）∵n b 为数列{}n S 的前n 项积，∴()21≥=-n b b S n nn 又∵212=+nn b S ，∴2121=+-n n n b b b ，即n n b b 2221=+-，∴()2211≥=--n b b n n ，∵212=+nn b S ，当1=n 时，可得231=b .故{}n b 是以23为首项，12为公差的等差数列.（2）由（1）知()()22121123+=⨯-+=n n b n ，则2222=++n S n ，∴12++=n n S n .当1=b 时，2311==S a .2≥n 时，()111121+-=+-++=-=-n n n n n n S S a n n n .故()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-==2111,23n n n n a n ，.20.解：（1）()[]()()x f x x f x x xf '+'='.当0=x 时，()[]()0ln 0==='a f x xf ，∴1=a .（2）由()()x x f -=1ln ，得1<x .当10<<x 时，()()01ln <-=x x f ，()0<x xf ；当0<x 时，()()01ln >-=x x f ，()0<x xf .故即证()()x xf x f x >+，()()01ln 1ln >---+x x x x .令t x =-1（0>t 且1≠t ），t x -=1，即证()0ln 1ln 1>--+-t t t t .令()()t t t t t f ln 1ln 1--+-=，则()()t tt t t t t t t t f ln 1ln 111ln 111=--++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+-='.∴()t f 在()1,0上单调递减，在()∞+，1上单调递增.故()()01=>f t f ，得证.21.解：（1）焦点⎪⎭⎫ ⎝⎛20p F ，到()1422=++y x 的最短距离为432=+p，∴2=p .（2）抛物线241x y =.设()()()002211,,,y x P y x B y x A ，，，则()1121111121412121y x x x x x y x x x y l P A -=-=+-=：，2221y x x y l PB -=：，且15802020---=y y x .PB P A l l ，都过点()00,y x P ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=202010102121y x x y y x x y ，故：y x x y l AB -=0021：，即0021y x x y -=.联立⎪⎩⎪⎨⎧=-=y x y x x y 421200得042002=+-y x x x ，∴020164y x -=∆.∴02020020204416441y x x y x x AB -⋅+=-⋅+=，4420020+-=→x y x d AB P ，∴()()230202320020020151221421442121---=-=-⋅-=⋅=→∆y y y x y x y x d AB S AB P P AB 而[]3,50--∈y .故当50-=y 时，P AB S ∆达到最大，最大值为520.11（二）选考题22.解：（1）∵☉C 的圆心为()12，C ，半径为1，故☉C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，（θ为参数）.（2）设切线()14+-=x k y ，即014=+--k y kx ，故1114122=++--k k k ，即212k k +=，∴2214k k +=，解得33±=k .故直线方程为()1433+-=x y ，()1433+--=x y .故两条切线的极坐标方程为1334cos 33sin +-=θθρ或1334cos 33sin ++=θθρ.23.解：（1）当1=a 时，()31++-=x x x f ，即求631≥++-x x 的解集.当1≥x 时，622≥+x ，得2≥x ；当13<<-x 时，64≥，此时没有x 满足条件；当3-≤x 时，622≥--x ，解得4-≤x .综上，解集为(][)∞+-∞-，，24 .（2）()a x f ->min ，而由绝对值的几何意义，即求x 到a 和3-距离的最小值.当x 在a 和3-之间时最小，此时()x f 最小值为3+a ，即a a ->+3.3-≥a 时，032>++a ，得23->a ；当3-<a 时，a a ->--3，此时a 不存在.综上，23->a .。
吉林省长春市2021届高三(二模)理科综合试题及答案
长春市普通高中2021届高三质量监测(二)理科综合能力测试本试卷共16页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项: 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
可能用到的相对原子质量:H-1 N-14 O-16 Al-27 S-32 Fe-56 Zn-65 Pb-207一、选择题:本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关于细胞结构和功能的叙述，正确的是A.细菌因缺乏线粒体而不能进行有氧呼吸B.性腺细胞中发达的高尔基体合成性激素C.缺少细胞核的细胞不能进行基因的表达D.人成熟红细胞膜上有运输葡萄糖的载体2.黑藻是一种沉水高等植物，在中学生物实验中应用广泛。
下列叙述正确的是A.可用高倍光学显微镜观察黑藻叶绿体中的类囊体B..黑藻叶肉细胞不可用于观察植物细胞的吸水和失水C.可用有机溶剂无水乙醇提取黑藻叶片中的光合色素D.处于有丝分裂前期的黑藻细胞可观察到两组中心粒3.面对新冠疫情，全球紧急启动了疫苗研究，目前我国的新冠疫苗研发已达到世界领先水平。
下列叙述错误的是A.新冠病毒能在营养丰富的培养液中大量繁殖B.新冠病毒的遗传物质彻底水解产物有6种C.利用全程冷链运输新冠疫苗可以避免其失效D.接种疫苗可使机体产生相应的免疫应答反应4.图为高等雄性动物某初级精母细胞的部分染色体组成，图中I、II表示染色体，①、②、③、④表示染色单体。
下列叙述正确的是A.II是I经减数分裂前的间期复制形成的B.①与②的分离发生在减数第一次分裂后期C.③与④可发生交叉互换导致基因重新组合D.该细胞正常分裂产生的精子中含2个染色体组5.中国自主研发的“蛟龙”号载人潜水器在印度洋发现了27处富含硫化物的高温热液活动区，此处没有阳光，生活着海葵、蠕虫、硫细菌(化能自养生物)、嗜热古细菌等生物、下列叙述正确的是A硫细菌和嗜热占细菌是该生态系统中的分解者B.输入该生态系统的总能量是生产者固定的化学能C.该区域生物体内的DNA中(G+C) /(A+T)的比值一般较小D.研究该区域生物耐高温的特点，体现了生物多样性的间接价值6.已知果蝇的灰身和黑身是一对相对性状，多对具有该相对性状的亲本果蝇进行杂交,每瓶只有1对雌雄果蝇，其中一只为灰身，一只为黑身，每瓶子代果蝇中灰身:黑身均为1 : 1。
长春市2021届高三数学下学期质量监测二模试题二理
吉林省长春市2021届高三数学下学期质量监测（二模）试题（二）理一、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1。
复数22cos isin33z ππ=+，则复数z 的虚部是 1313A. B. C.2222D.--2.设全集2R,{|40},{|1}U A x x B x x ==-=-≥≤,则右图阴影部分表示的集合为，A. (1,2]B. [1,2]C. [2,1)D. (,1]-----∞-3.已知,m n 是平面α内的两条直线，则“直线l m ⊥且l n ⊥”是“l α⊥"的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件 D 。
既不充分也不必要条件的4。
党的十八大以来，我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就，农村贫困人口大幅减少，解决困扰中华民族几千年的贫困问题，取得历史性成就。
同时为全球减贫事业作出了重要贡献.2020年为脱贫攻坚收官之年,下图为2013年至2019年每年我国农村减贫人数的条形图。
根据该条形图分析，下述结论中正确的个数为①平均每年减贫人数超过1300万; ②每年减贫人数均保持在1100万以上:③打破了以往随着脱贫工作深入推进，难度越来越大,脱贫人数逐年递减的规律；④历年减贫人数的中位数是1240（万人) 。
A. 1 B 。
2 C. 3 D. 45．已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回.在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为1213A.B.C.D. 45256.已知nS 为等差数列{}na 的前n 项和,若2515,65a S ==，则14a a+=A. 24B. 26 C 。
28 D 。
307。
已知直线l 将圆22:210C x y x y ++-+=平分,且与直线230x y ++=垂直,则l 的方程为A. 20B. 230C. 240D. 220x y x y x y x y +=+-=--=-+=8.四边形ABCD 中,2,0,||2AB DC AB BC AB =⋅==，则AD DC ⋅=A. 1B. 1C. 2D. 2--9.现有如下信息：（1）黄金分割比(简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分,较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比,其比值为. （2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形.(3)有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形.由上述信息可求得sin126︒=B. 4A C. 5151512 51.D24. -+-+ 10.已知抛物线22(0)ypx p =>上一点0(2,)A y ，F 为焦点，直线FA 交抛物线的准线于点M ，满足2FA AM =，则抛物线方程为2222 A B. C. . 86 D. 1 2432y x y x y x y x ====11.已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，关于此函数的下列描述：①2ω=; ②3ϕπ=；③若123x xπ+=，则12()()f x f x =； ④若123x xπ+=,则12()()0f x f x +=。
吉林省松原市2021届新高考二诊数学试题含解析
吉林省松原市2021届新高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（ ）A ．正相关，相关系数r 的值为0.85B ．负相关，相关系数r 的值为0.85C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-D ．正相关，相关负数r 的值为0.85- 【答案】C 【解析】 【分析】根据正负相关的概念判断． 【详解】由散点图知y 随着x 的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负． 故选：C ． 【点睛】本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础．2．已知斜率为k 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >，则斜率k 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线l 的方程为：y kx b =+，与抛物线方程联立，由△0>得1kb <，利用韦达定理结合已知条件得22k b k -=，2m k=，代入上式即可求出k 的取值范围．【详解】设直线l 的方程为：y kx b =+， 1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程24y kx b y x=+⎧⎨=⎩，消去y 得：222(24)0k x kb x b +-+=，∴△222(24)40kb k b =-->，1kb ∴<，且12242kb x x k -+=，2122b x x k=，12124()2y y k x x b k+=++=， Q 线段AB 的中点为(1M ,)(0)m m >，∴122422kb x x k -+==，1242y y m k+==， 22k b k -∴=，2m k=，0m >Q ，0k ∴>，把22k b k-= 代入1kb <，得221k -<， 21k ∴>，1k ∴>，故选：C 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，属于中档题．3．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】求得()f x 的导函数()'fx ，由此构造函数()()222g x x m x m =+-+-，根据题意可知()g x 在(12)，上有变号零点.由此令()0g x =，利用分离常数法结合换元法，求得m 的取值范围. 【详解】()()2'22x f x e x m x m =+-+-⎡⎤⎣⎦，设()()222g x x m x m =+-+-，要使()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，即()g x 在(12)，上有变号零点，令()0g x =， 则()2221x x m x ++=+，令()12,3t x =+∈，则问题即1m t t =+在()2,3t ∈上有零点，由于1t t+在()2,3上递增，所以m 的取值范围是510,23⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 4．已知()()()sin cos sin cos k k A k παπααα++=+∈Z ，则A 的值构成的集合是（ ）A ．{1,1,2,2}--B ．{1,1}-C ．{2,2}-D ．{}1,1,0,2,2--【答案】C 【解析】 【分析】对k 分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得. 【详解】k 为偶数时，sin cos 2sin cos A αααα=+=；k 为奇数时，sin cos 2sin cos A αααα=--=-，则A 的值构成的集合为{}2,2-.【点睛】本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题.5．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是上底面1111D C B A 上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（ ）①与点D P 形成一条曲线，则该曲线的长度是2π；②若//DP 面1ACB ，则DP 与面11ACC A 所成角的正切值取值范围是3⎢⎣；③若DP =，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】①与点D P 形成以1D 的14圆弧MN ，利用弧长公式，可得结论；②当P 在1A （或1)C 时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1)DC O ∠当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠最大，可得正切值取值范围是；③设(P x ，y ，1)，则2213x y ++=，即222x y +=，可得DP 在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和． 【详解】 如图：①错误， 因为1D P ===，与点D 的点P 形成以1D 为圆心，的14圆弧MN ，长度为1242⋅=π； ②正确，因为面11//A DC 面1ACB ，所以点P 必须在面对角线11A C 上运动，当P 在1A （或1C ）时，DP与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1DC O ∠）的正切值为3最小（O 为下底面面对角线的交点），当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠最大，所以正切值取值范围是⎣；③正确，设(),,1P x y ，则2213x y ++=，即222x y +=，DP 在前后、左右、上下面上的正投影长分，所以六个面上的正投影长度之22⎛≤= ⎝⎭，当且仅当P 在1O 时取等号.故选：C .【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题．6．8x x ⎛- ⎝的二项展开式中，2x 的系数是（ ） A ．70 B ．-70 C ．28 D ．-28【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，二项展开式的通项为3882188((1)r r rr r rr T C xC x x--+==-，令38242r r -=⇒=，所以2x 的系数是448(1)70C -=，故选A ．考点：二项式定理的应用．7．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算可整理得到z ，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限. 【详解】由2z iz i -=+得：()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+， z ∴对应的点的坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.8．二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．160【答案】A 【解析】 【分析】求出二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式的通式，再令x 的次数为零，可得结果.【详解】解：二项式52x ⎫-⎪⎭展开式的通式为()()55225215512rrr rrr rrr T C x C x---+-+=-=-，令5202rr --+=，解得1r =， 则常数项为()11451280C -=-.故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题.9．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >），以点P （,0b ）为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若90MPN ∠=︒，则C 的离心率为（ ） ABCD【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点，且90MPN ∠=︒，列出方程，求解离心率． 【详解】不妨设双曲线C 的一条渐近线0bx ay -=与圆P 交于,M N ，因为90MPN ∠=︒，所以圆心P 到0bx ay -=222b c ==，即22222c a ac -=，因为1ce a=>，所以解得2e =． 故选A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于,a c 的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.10．已知实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则34x y +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】作出约束条件的可行域，在可行域内求34z x y =+的最小值即为34x y +的最小值，作34y x =-，平移直线即可求解. 【详解】作出实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩的可行域，如图（阴影部分）令34z x y =+，则344z y x =-+， 作出34y x =-，平移直线，当直线经过点()1,0A 时，截距最小，故min 3103z =⨯+=， 即34x y +的最小值为3. 故选：B 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题. 11．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、A B C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】B 【解析】根据题意满足条件的安排为：A （甲，乙）B （丙）C （丁）；A （甲，乙）B （丁）C （丙）；A （甲，丙）B （丁）C （乙）； A （甲，丁）B （丙）C （乙）； A （甲）B （丙，丁）C （乙）；A （甲）B （丁）C （乙，丙）；A （甲）B （丙）C （丁，乙）；共7种，选B. 12．已知函数2sin ()1xf x x =+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ） A ．①④ B ．②③C ．①③④D ．①②④【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义可判断出①正确；由周期函数特点知②错误；函数定义域为R ，最值点即为极值点，由02f π⎛⎫'≠ ⎪⎝⎭知③错误；令()()1g x f x x =-，在0x >和0x <两种情况下知()g x 均无零点，知④正确.【详解】由题意得：()f x 定义域为R ，()()()()22sin sin 11x xf x f x x x --==-=-+-+Q ，()f x ∴为奇函数，图象关于原点对称，①正确； sin y x =Q 为周期函数，21y x =+不是周期函数，()f x ∴不是周期函数，②错误；()()()2221cos 2sin 1x x x xf x x +-'=+Q ，02f π⎛⎫'∴≠ ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫∴⎪⎝⎭不是最值，③错误；令()()221sin 1sin 111x x x x g x f x x x x x --=-=-=++，当0x >时，sin x x <，10x>，()0g x ∴<，此时()f x 与1y x =无交点；当0x <时，sin x x >，10x<，()0g x ∴>，此时()f x 与1y x =无交点；综上所述：()f x 与1y x=无交点，④正确. 故选：A . 【点睛】本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届吉林省长春市普通高中高三质量监测(二)理科数学试卷
2021年吉林省长春市普通高中高三质量监测（二）理科数学试卷学校:___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： __________一、单选题1. 已知集合P={x|x^0},Q=[x|^>o],则 PD([RQ) = (3. 已知随机变量§服从正态分布N （1。
）若PG>2）= 0・15,则P （0<歹<1） = （）4・己知p:函数/(x) = |x+a|在(-s,-1)上是单调函数，q:函数g(x) = log“(x+l) （a> 0且在（—1,+S ）上是增函数，则成立是q 成立的（5x + 3y <15若X, y 满足约束条件Jy<x+1 ,则3x + 5y 的取值范围是（x-5y<36・一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.(—8, 2) E. ( — 8, —I]C. (-1,0) D ・[0,2]2. A.1-/ 复数——的共轨复数对应的点位于（）2-i第一彖限B.第二象限C.第三彖限D.第四彖限x-2A. 0.85B. 0.70C. 0.35D. 0.15A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件5. A. [-13)5]B ・[-13,17] C. [-口⑸D. [-1147]A.13T16TD.7. 已知平面向量N, b 满足同=馆，网=2, 打=_3,则\d+2b\=（）A. 1B. 77c. 4+羽D. 2^78. 图①是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次 为人，人，…，人“，图②是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序 框图，那么该程序框图输出的结果是（ ）则加+料的取值范围是()A. (―c*o,2-2>/T]U 〔2 + 2^^,B. (-8, - 2VT|U [2>/I P )C. [2-2>/2,2 + 2V2]D. (―8,—2]U[2,+S )11.设数列｛©｝的前"项和为S”，且4 =心=1, ｛沾“+(〃 + 2)©｝为等差数列，则二、填空題7 8 9 10 11 6 1 2 3 47 6 5 17 6 2E16已知函数/（x ） = JJsinxcosx + *cos2x,若将其图彖向右平移0 （°>0）个单位后所得的图彖关于原点对称，则卩的最小值为（）, 兀 c 5龙 厂 兀 ,5A. —B.——C. —D.——6 6 12 1210.设加，“ WR,若直线（〃?+l ）x+（〃 + l ）y —2 = 0与圆（x-l ）2+（y-l ）2= 1 相切，A.9. E. 10C ・91D. 92A./? + 1 2心+12n-l C.------2〃_1D.n+l图n«-613.设a>0.若曲线y = 与直线x = a,y = 0所围成封闭图形的面积为贝ija =14. 正四面体ABCD 的外接球半径为2,过棱AB 作该球的截面，则截面面积的最小值为 _________ .315. 已知函数/(x)为偶函数且/(x ) = /(x-4),又/(x) = ｛「~2，_ _2x + 2_v,l<x<2(1屮I函数g(x)= —+a‘若F(x) = /(x)—g(x)恰好有4个零点,则a 的取值范围、2丿是 ________ .三、解答题16. (本小题满分 12 分)在 AABC 中，taiiA = 2, taiiB = 3. (1) 求角C 的值； (2) 设=求AC.17. 根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1 000位上网购物者的年龄情况如图所示.(1) 已知[30, 40), [40, 50), [50, 60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列， 求a,b 的值；(2) 该电子商务平台将年龄在[30, 50)内的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人 群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消 费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层 抽样的方式从参与调查的1 000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3 人进行回访，求此3人获得代金券总和X (单位：元)的分布列与数学期望.12的展开式中常数项为 ______18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD, PA = AB = AD = 2,四边形ABCD满足AE丄AD，BC//AD且EC = 4,点M为PC中点，点E为BC边上的动点，且—=2・EC(1) 求证：平面ADW 丄平面PBC ：(2) 是否存在实数兄，使得二面角P-DE-B 的余弦值为亍？若存在，试求出实数；I 的值；若不存在，说明理由.19. (本小题满分12分)在AABC 中，顶点B(—1,0), C(LO), G 、I 分别是AABC的重心和内心，且IG//BC.(1) 求顶点A 的轨迹NI 的方程；(2) 过点C 的直线交曲线M 于P 、Q 两点，H 是直线x = 4上一点，设直线CH 、PH 、 QH 的斜率分别为人，k“ k,,试比较2々与人+心的大小,并加以证明.20. (本小题满分12分)设函数/(x) = (l-ox)ln(x+ l)-bx ,其中a 和b 是实数, 曲线y = / (x)恒与x 轴相切于坐标原点. (1) 求常数b 的值；(2) 当时，关于x 的不等式/(A )> 0恒成立，求实数d 的取值范围;21. (本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE, E 为切点，连接AE ，BE, ZAPE 的 平分线与AE, BE 分别交于点C, D,其中ZAEB = 30 .⑴求证:諏器⑵求ZPCE 的人小.22. ［选修4-4：坐标系与参数方程］X = 2(3)求证:r wool V 0000 4 <e< ^looiY 0005—y［2t在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为｛_ （/为参数）；以原点0极y = -1 + >/2/2点，以％轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C.的极坐标方程为P= I>/l + 3siir 6⑴ 求曲线G的普通方程与曲线G的直角坐标方程;⑵试判断曲线C\与G是否存在两个交点，若存在求出两交点间的距离：若不存在, 说明理由.23・设函数f （%） = 12x— 1| + \2x — a\ + a, x E R.（1）当a = 3时，求不等it/（%） > 7的解集；（2）对任意% e R,恒有O > 3,求实数a的取值范围.参考答案1.D【解析】试题分析：由题意可知Q = {%卜兰一1或％>2},则C R Q={X\-1 <%<2},所以P A (C R Q) = [0,2].故选D.考点：集合交集与补集的运算2.A【详解】I• 1 2 [试题分析：由题意可得：= 共緬复数为- + 故选A.2-1 53 53考点：1•复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系3.C【解析】试题分析：根据题意可得：P(0"Wl) = P(l"W2) = 0.5-陀>2) = 0.35故选c.考点：正态分布的概念4.C【解析】试题分析：由卩成立，则由Q成立，则d>l,所以成立时°>1是9的充要条件.故选C.考点：命题逻辑5.D【解析】3 5试题分析：由题意可知，3x + 5>?在(一2,一1)处取得最小值，在亍‘处取得最犬值，即3x + 5ye [-11,17]故选D>考点：线性规划的应用6.D【解析】试题分析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，所以其体枳为8-中=孕.故选D. 考点：组合体体积的求法7. B【解析】试题分析：根据题意结合向量的运算可得：\a + 2b\ = ^a2+4a b + 4b2 =^7 -故选B考点：向量模的运算8. B【解析】由程序框图可得，该算法的功能是统计这16个同学中数学考试成绩在90分(包括90分)以上的人数。
吉林省松原市2021届新高考数学二模试卷含解析
吉林省松原市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A {x x 0}︱=>，2B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（ ） A ．6-B ．6C ．5D ．5-【答案】A【解析】【分析】由{}3A B ⋂=，得3B ∈，代入集合B 即可得b .【详解】 {}3A B ⋂=Q ，3B ∴∈，930b ∴-+=，即：6b =-，故选：A【点睛】本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.2．如图是计算11111++++246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．5k ≥B ．5k <C ．5k >D ．6k ≤【答案】B【解析】【分析】根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，进而可得判断框内的不等式．【详解】因为该程序图是计算11111246810++++值的一个程序框圈 所以共循环了5次 所以输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，即判断框内的不等式应为6k ≥或5k >所以选C【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．3．已知正四面体ABCD 的棱长为1，O 是该正四面体外接球球心，且AO x AB y AC z AD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，,,x y z ∈R ，则x y z ++=（ ）A ．34B ．13C ．12D ．14 【答案】A【解析】【分析】如图设AF ⊥平面BCD ，球心O 在AF 上，根据正四面体的性质可得34AO AF =，根据平面向量的加法的几何意义，重心的性质，结合已知求出x y z ++的值.【详解】如图设AF ⊥平面BCD ，球心O 在AF 上，由正四面体的性质可得：三角形BCD 是正三角形，23BF ==，AF ==FOB 中，222222)OB OF BF OA AO AO =+⇒=-+⇒=， 34AO AF =，=+u u u r u u u r u u u r AF AB BF ，AF AD DF =+u u u r u u u r u u u r ，AF AC CF =+u u u r u u u r u u u r ，因为F 为重心，因此0FB FC FD ++=u u u r u u u r u u u r r ，则3AF AB AC AD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，因此()14AO AB AC AD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，因此14x y z ===，则34x y z ++=，故选A.【点睛】本题考查了正四面体的性质，考查了平面向量加法的几何意义，考查了重心的性质，属于中档题. 4．已知数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A ．12 B ．12- C ．1- D ．2 【答案】A【解析】【分析】分别代值计算可得，观察可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，问题得以解决.【详解】解：∵12a =，111n n a a -=-(2n ≥)， 211122a ∴=-=， 3121a =-=-，41(1)2a =--=，511122a =-=， …， ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，201836722=⨯+Q ，2018212a a ∴==， 故选：A.【点睛】本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题.5．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ）A ．10B ．16C ．20D ．24【答案】C【解析】【分析】根据等差数列性质得到46582a a a +==，再计算得到答案.【详解】已知等差数列{}n a 中，4655824a a a a +==⇒= 345675520a a a a a a ++++==故答案选C【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.6．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若3SA ==，则SED ∆的面积的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．92D ．72【答案】C【解析】【分析】 根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到,BE EC 之间的等量关系，再用,BE EC 表示出SED n 的面积，利用均值不等式即可容易求得.【详解】设BE x =，EC y =，则BC AD x y ==+.因为SA ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，所以SA ED ⊥.又AE ED ⊥，SA AE A ⋂=，所以ED ⊥平面SAE ，则ED SE ⊥.易知AE =ED =在Rt AED ∆中，222AE ED AD +=，即22233()x y x y +++=+，化简得3xy =.在Rt SED ∆中，SE =，ED ==.所以12SED S SE ED ∆=⋅=因为22108336x x +≥=，当且仅当x =，y =92SED S ∆≥=. 故选：C.【点睛】 本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.7．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒，则||EB =u u u r （ ）A ．4B ．C ．2D ．4【答案】A【解析】【分析】 根据向量的线性运算可得3144EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒计算即可.【详解】 因为11131()22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以22229311216441||6EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u 229311112()2168216=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916=，所以||4EB =u u u r ， 故选：A【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.8．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】根据直线平行的等价条件，求出m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】当m=1时，两直线方程分别为直线l 1：x+y ﹣1=0，l 2：x+y ﹣2=0满足l 1∥l 2，即充分性成立，当m=0时，两直线方程分别为y ﹣1=0，和﹣2x ﹣2=0，不满足条件．当m≠0时，则l 1∥l 2⇒32211m m m --=≠-， 由321m m m -=得m 2﹣3m+2=0得m=1或m=2， 由211m -≠-得m≠2，则m=1， 即“m=1”是“l 1∥l 2”的充要条件，故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.9．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．8【答案】D【解析】【分析】画出函数()f x 的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出.【详解】解：函数()f x ，如图所示()()()()()200f x af x f x f x a +<⇒+<⎡⎤⎣⎦当0a >时，()0a f x -<<，由于关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解因此其整数解为3，又()3963f =-+=-∴30a -<-<，()48a f -≥=-，则38a <≤当0a =时，()20f x <⎡⎤⎣⎦，则0a =不满足题意；当0a <时，()0f x a <<-当01a <-≤时，()0f x a <<-，没有整数解当1a ->时，()0f x a <<-，至少有两个整数解综上，实数a 的最大值为8故选：D【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题.10．若直线240x y m ++=经过抛物线22y x =的焦点，则m =（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．2-【答案】B【解析】【分析】 计算抛物线的交点为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入计算得到答案.【详解】22y x =可化为212x y =，焦点坐标为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，故12m =-. 故选：B .【点睛】 本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.11．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，26SC =，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π 【答案】B【解析】【分析】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，推导出90SDC ∠=o ，设设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F ，可得出OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，利用勾股定理计算出球O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果.【详解】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，由SAB ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD AB ⊥，CD AB ⊥，则34232SD CD ==⨯=，则(((222222336SD CD SC +=+==，由勾股定理的逆定理，得90SDC ∠=o .设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F .由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，又312343OE DF OE OF =====，由勾股定理得2226OD OE DE =+=所以外接球半径为R===.所以外接球的表面积为22804433S Rπππ⎛===⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12．若直线2y kx=-与曲线13lny x=+相切，则k=（）A．3 B．13C．2 D．12【答案】A【解析】【分析】设切点为00(,2)x kx-，对13lny x=+求导，得到3yx'=，从而得到切线的斜率3kx=，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果.【详解】设切点为00(,2)x kx-，∵3yx'=，∴003,213ln,kxkx x⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①②由①得03kx=，代入②得013ln1x+=，则1x=，3k=，故选A.【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
吉林省吉林市2021届新高考数学二模考试卷含解析
吉林省吉林市2021届新高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若[]1,6a ∈，则函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是（ ）A ．45 B ．35 C ．25 D ．15【答案】B【解析】函数2x ay x +=在区间[)2,+∞内单调递增， 222'10a x a y x x -∴=-=≥，在[)2,+∞恒成立， 2a x ∴≤在[)2,+∞恒成立， 4a ∴≤，[][]1,6,1,4,a a ∈∴∈∴函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是413615-=-，故选B. 2．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确； 使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290≈，故超过10%的大学生使用app 主要玩游戏，所以②错误；使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904>，所以③正确.故选：C. 【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.3．已知函数22,0,()1,0,x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩，则((1))f f -=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数直接计算得到答案. 【详解】因为22,0,()1,0,x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩所以2((1))(2)222f f f -==-=.故选：A . 【点睛】本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力. 4．已知集合{}0,1,2,3A =，{|22}B x x =-≤≤，则AB 等于（ ）A ．{}012,, B ．{2,1,0,1,2}-- C ．{}2,1,0,1,2,3-- D ．{}12, 【答案】A 【解析】 【分析】进行交集的运算即可． 【详解】{0A =，1，2，3}，{|22}B x x =-， {0AB ∴=，1，2}．本题主要考查了列举法、描述法的定义，考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 5．定义两种运算“★”与“◆”，对任意N n *∈，满足下列运算性质：①2★2018=1，2018◆11=；②（2n ）★2018=[2(22)n +★]2018 ，2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，则（2018◆2020）（2020★2018）的值为( ) A ．10112 B ．10102C ．10092D ．10082【答案】B 【解析】 【分析】根据新运算的定义分别得出2018◆2020和2020★2018的值，可得选项. 【详解】 由（2n ）★2018=[2(22)n +★]2018 ，得（2n +2）★2018=(122n ★)2018， 又2★2018=1，所以4★12018=2，6★212018=2⎛⎫ ⎪⎝⎭，8★312018=2⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，以此类推，2020★2018()21010=⨯★20181010110091122-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，2018◆11=， 所以2018◆22=，2018◆232=，2018◆342=，，以此类推，2018◆202020192=，所以（2018◆2020）（2020★2018）10092019101012=22⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，故选：B. 【点睛】本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题. 6．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)XN σ，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-； （4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2C ．3D ．4【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R⌝∀∈都有210x ->，是错误的； （2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．7．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A ．3B ．23C ．2D ．1【答案】C 【解析】试题分析：设200,)2y P y p （，由题意(,0)2p F ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则 2001112()(,)3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p =+=+=+-=+=+，可得：y考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件2PM MF =，利用向量的运算可知200(,)633y y p M p +，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．8．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ） A ．24π B ．86πC ．43πD ．12π【答案】A 【解析】 【分析】将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可． 【详解】解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，∵四面体所有棱长都是4， ∴正方体的棱长为22 设球的半径为r ， 则()222224r =+，解得6r =所以2424S r ππ==， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题．9．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即圆的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭ C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围. 【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.=6，所以椭圆离心率5e ==，所以e ⎛∈ ⎝⎦. 故选：C 【点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.10．已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( ) A ．②③ B ．②③④C ．①④D ．①②③【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可. 【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若//αβ，//αγ，则//βγ，故①正确； 若//a α，//a β，平面,αβ可能相交，故②错误； 若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能平行，故③错误；故选：C 【点睛】本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.11．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ） A ．0.18 B ．0.3C ．0.24D ．0.36【答案】B 【解析】 【分析】甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得． 【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3,0.4， ∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为0.50.20.20.40.30.40.3P =⨯+⨯+⨯=．故选：B ． 【点睛】本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础． 12．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3πB ．3π-C ．23π D ．23π-【答案】B 【解析】 【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-. 故选：B 【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.的表面积为28,π则该三棱柱的侧面积为___________． 【答案】36 【解析】 【分析】只要算出直三棱柱的棱长即可，在1OO A ∆中，利用22211O A O O OA +=即可得到关于x 的方程，解方程即可解决. 【详解】由已知，2428R ππ=，解得7R =，如图所示，设底面等边三角形中心为1O ，直三棱柱的棱长为x ，则13O A x =，112O O x =，故2222117O A O O OA R +===，即22734x x +=，解得23x =2336x =.故答案为：36. 【点睛】本题考查特殊柱体的外接球问题，考查学生的空间想象能力，是一道中档题.14．函数()x f x ae =与()1g x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值范围为______. 【答案】1a ≤ 【解析】 【分析】先求得与()g x 关于x 轴对称的函数()1h x x =+，将问题转化为()e x f x a =与()1h x x =+的图象有交点，即方程e 1x a x =+有解.对a 分成0,0,0a a a =<>三种情况进行分类讨论，由此求得实数a 的取值范围. 【详解】关于x 轴的对称点，所以()e x f x a =与()1h x x =+的图象有交点，方程e 1x a x =+有解.0a =时符合题意.0a ≠时转化为1e (1)x x a =+有解，即ex y =，1(1)y x a =+的图象有交点，1(1)y x a=+是过定点(1,0)-的直线，其斜率为1a ，若0a <，则函数e x y =与1(1)y x a=+的图象必有交点，满足题意；若0a >，设e xy =，1(1)y x a =+相切时，切点的坐标为(),e m m ，则e 111e m m m a a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，解得1a =，切线斜率为11a =，由图可知，当11a ≥，即01a <≤时，e x y =，1(1)y x a=+的图象有交点，此时，2()e x f x a x =-与2()1h x x x =-++的图象有交点，函数2()e x f x a x =-与2()1g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，综上可得，实数a 的取值范围为1a ≤.故答案为：1a ≤ 【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数的零点以及对称性，函数与方程等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想和应用意识. 15．函数1log 2y x =____.【答案】(0,1] 【解析】由题意得12{?log 0x x >≥，解得定义域为(]0,1．16．设函数()()ln ,f x x a x b a b R =+++∈，当[]1,x e ∈时，记()f x 最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为______. 【答案】e【分析】易知(){}max ln ,ln f x x a x b x a x b =++++--，设()ln G x x x a b =-+-，()ln F x x x a b =+++，利用绝对值不等式的性质即可得解．【详解】(){}max ln ,ln f x x a x b x a x b =++++--，设()ln G x x x a b =-+-，()ln F x x x a b =+++， 令()ln h x x x =-，()'11h x x=- 当[]1,x e ∈时，()'0h x ≤，所以()h x 单调递减令()ln n x x x =+，()'11n x x=+ 当[]1,x e ∈时，()'0n x >，所以()n x 单调递增所以当[]1,x e ∈时，(){}max 1,1G x a b a e b =+-+--， (){}max 1,1F x a b a e b =+++++，则()4,1111M a b a b a e b a e b a b ≥+-++--+++++++ 则()4,22222M a b e a e a e ≥+++-+≥， 即(),2eM a b ≥ 故答案为：2e . 【点睛】本题考查函数最值的求法，考查绝对值不等式的性质，考查转化思想及逻辑推理能力，属于难题． 三、解答题：共70分。