2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高二(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 直线l 1与l 2为两条不重合的直线，则下列命题：①若l 1//l 2，则斜率k 1=k 2； ②若斜率k 1=k 2，则l 1//l 2； ③若倾斜角α1=α2，则l 1//l 2； ④若l 1//l 2，则倾斜角α1=α2． 其中正确命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 42. 不等式|a+b||a|−|b|≥1成立的充要条件是 ( )A. |a|>|b|B. |a|≥|b|C. |a|<|b|D. |a|≤|b|3. 直线l 1：ax −y −b =0，l 2：bx −y +a =0(ab ≠0,a ≠b)，下列图形中正确的是( )A.B.C.D.4. 已知O 为坐标原点，A(1,2)，点P 的坐标(x,y)满足约束条件{x +|y |≤1x ≥0，则z =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )A. −2B. −1C. 1D. 2二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）5. 已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是(1−11012)，则x +y =______6. 已知e ⃗ 1，e ⃗ 2是不共线向量，a ⃗ =m e ⃗ 1+2e ⃗ 2，b ⃗ =n e ⃗ 1−e ⃗ 2，且mn ≠0.若a ⃗ //b ⃗ ，则mn =________． 7. 过点(1,0)且与直线x −2y −2=0垂直的直线方程是______． 8. 已知矩阵A =[1002],B =[14−23]，则矩阵AB =______．9. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |= ______ ． 10. 将直线l 1：x +y −3=0绕着点P(1,2)按逆时针方向旋转45°后得到直线l 2，则l 2的方程为______． 11. 过点P(5,3)和点Q(−2,4)的直线的倾斜角为______ ．12. 在△ABC 中，已知AB =AC =3，BC =4，P 为BC 边上的动点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )的值为______ ．13. 在△ABC 中，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ+μ的值为______． 14. 在△ABC 中，若AB =1，AC =√3，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）15. 直线y =√3x +2与直线y =√3x −2有什么关系？16. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m +1,m −1)．(1)若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 的取值范围； (2)若在△ABC 中，∠B 为直角，求∠A ．17. 为了绿化城市，准备在如图所示的区域ABCDE 内修建一个矩形PQRD 的草坪，其中∠AED =∠EDC =∠DCB =90°，点Q 在AB 上，且PQ//CD ，QR ⊥CD ，经测量BC =70m ，CD =80m ，DE =100m ，AE =60m 问应如何设计才能使草坪的占地面积最大？并求出最大面积(精确到1m 2).18. 已知点A(−√3,1)，点B 在y 轴上，直线AB 的倾斜角为2π3，求点B 的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查两条直线平行的判定，直线的倾斜角与斜率，命题真假的判断，属于基础题．通过直线的倾斜角与斜率与两条直线平行的关系，判断各选项的正误即可．【解答】解：因为两条直线的倾斜角为90°时，没有斜率，所以①错误；因为两直线的斜率相等即斜率k1=k2，得到倾斜角的正切值相等即tanα1=tanα2，即可得到α1=α2，所以l1//l2，所以②正确；若倾斜角α1=α2，则l1//l2，所以③正确；若l1//l2，则倾斜角α1=α2，所以④正确．故选C．2.答案：A解析：【分析】本题考查充分条件、必要条件与充要条件的判断，考查不等式的性质，属基础题．根据不等式的性质判断充分性和必要性即可．【解答】≥1，则|a|−|b|>0;解：因为|a+b|>0，|a+b||a|−|b|≥1；若|a|−|b|>0，由|a+b|≥|a|−|b|，则|a+b||a|−|b|≥1⇔|a|−|b|>0，故|a+b||a|−|b|故选A．3.答案：AB解析：【分析】此题考查直线的一般式方程和斜截式方程以及直线斜率、截距等知识，属于基础题，首先将直线的一般式方程化为斜截式，根据斜率和截距之间的关系即可判断．【解答】解：直线l1：ax−y−b=0可化为y=ax−b，直线l2：bx−y+a=0可化为y=bx+a，对于A ，由l 1得，a >0，b <0，由l 2得b <0，a >0，故A 正确； 对于B ，由l 1得，a >0，b >0，由l 2得b >0，a >0，故B 正确； 对于C ，由l 1得，a <0，b <0，由l 2得b >0，a >0，故C 不正确； 对于D ，由l 1得，a <0，b <0，由l 2得b <0，a >0，故D 不正确； 故选AB .4.答案：D解析： 【分析】本题考查了利用线性规划的可行域求最大值，考查了数形结合的思想方法，属于基础题，由于点P(x,y)满足约束条件{x +|y|≤1x ≥0，画出可行域．设P(x,y).可得z =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +2y ，化为y =−12x +z 2，当此直线经过点M(0,1)时，z 取得最大值．【解答】解：由于点P(x,y)满足约束条件{x +|y|≤1x ≥0，画出可行域．设P(x,y)，则z =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +2y ，化为y =−12x +z2， 当此直线经过点M(0,1)时，z 取得最大值=0+1×2=2， 则z =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为2． 故选：D ．5.答案：5解析：解：由增广矩阵是(1−11012)，则二元一次方程组{x −y =10+y =2， 解得：x =3，y =2， ∴x +y =5， 故答案为：5．根据增广矩阵求得二元一次方程组，即可求得x 和y ，即可求得答案． 本题考查二元一次方程组的增广矩阵的求法，考查转化思想，属于基础题．6.答案：−2．解析： 【分析】本题考查向量共线的充要条件、平面向量的基本定理．利用向量共线的充要条件列出方程，利用平面向量的基本定理求出λ，再求mn ． 【解答】解：∵a ⃗ //b ⃗ ，∴a ⃗ =λb ⃗ ，即me 1+2e 2=λ(ne 1−e 2)m e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ =λ(n e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ )，则{λn =m−λ=2,解得m n =−2． 答案：−27.答案：2x +y −2=0解析：解：设与直线x −2y −2=0垂直的直线方程是2x +y +m =0， 把点(1,0)代入可得：2+0+m =0，解得m =−2． ∴要求的直线方程为：2x +y −2=0． 故答案为：2x +y −2=0．设与直线x −2y −2=0垂直的直线方程是2x +y +m =0，把点(1,0)代入解出即可得出． 本题考查了相互垂直的直线的斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：[14−46] 解析：【分析】本题考查矩阵的运算，属于基础题目． 【解答】 解：AB =[1002][14−23]=[14−46]． 故答案为[14−46]． 9.答案：6解析： 【分析】本题考查了平面向量的线性运算的问题，也考查了平面向量的数量积的运算问题，是基础题． 根据平面向量的线性运算表示出BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据数量积的运算即可求出|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值． 【解答】解：根据题意，得；AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗=|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=1×|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×12−12=2， ∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6． 故答案为：6．10.答案：y =2解析：解：设直线l 1：x +y −3=0的斜率为k 1， 则k 1=−1；设直线l 2的斜率为k 2，依题意，tan45°=k 2−k 11+k2k 1=k 2−(−1)1+k 2⋅(−1)=1，解得k 2=0，由直线l 2经过点P(1,2)，∴l 2的方程为y −2=0×(x −1)， 整理得：y =2． 故答案为：y =2．设直线l 1：x +y −3=0的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，利用“到角”公式tan45°=k 2−k 11+k 2k 1可求得k 2，再由点斜式即可求得l 2的方程．本题考查两直线的到角公式的应用，求得l 2的斜率为k 2是关键，考查运算能力．11.答案：π−arctan 17解析：解：∵两点P(5,3)和点Q(−2,4)的直线的斜率为：4−3−2−5=−17， 设倾斜角为α，0≤α<π ∴直线的倾斜角为：π−arctan 17． 故答案为：π−arctan 17．求出直线的斜率，通过斜率求出直线的倾斜角．本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的求法，考查计算能力．12.答案：10解析：解：如图所示，△ABC 中，AB =AC =3，BC =4，P 为BC 边上的动点， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)×32+λ×32+3×3×32+32−422×3×3=10． 故答案为：10．根据题意画出图形，结合图形用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )即可． 本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题．13.答案：1解析：解：∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=13，μ=23， ∴λ+μ=1， 故答案为：1．根据向量的运算求出λ，μ的值，代入计算即可． 本题考查了向量的线性运算，是一道基础题．14.答案：1解析：解：由于|AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，根据向量加法的几何意义得出，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以平行四边形ABCD 为矩形，如图．BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =12+0=1，故答案为：1．向量加法的几何意义得出，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，平行四边形ABCD 为矩形．再利用向量数量积的运算法则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )计算化简． 本题考查向量的运算，得出平行四边形ABCD 为矩形是关键．15.答案：解：由题意，直线y =√3x +2的斜率为√3；直线y =√3x −2的斜率为√3； 两条直线的斜率相等，且2≠−2，所以直线y =√3x +2与直线y =√3x −2平行．解析：本题考查两条直线平行的判定，属于基础题． 根据题意，即可求出结果．16.答案：解：(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,m −2)…(2分) ∵A ，B ，C 不共线，∴2m ≠m −2即m ≠−2…(4分)(2)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −1,m −4)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0∴m =3…(7分) AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)， cosA =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5√5⋅√10=√22∠A =π4…(10分)解析：(1)表示出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，A ，B ，C 可构成三角形，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，求出实数m 的取值范围； (2)∠B 为直角的直角三角形，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，数量积为0，求实数m 的值，再利用向量的数量积公式求出夹角即可．本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查计算能力，是基础题．17.答案：解：如图，以BC 边所在直线为x 轴，，以AE边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A(0,20)，B(30,0)，所以直线AB 的方程为：x30+y20=1， 即y =20−23x ， 设Q(x,20−2x 3)，则矩形PQRD 的面积为S =(100−x)[80−(20−2x 3)]，(0≤x ≤30)，化简，得S=−23x2+203x+6000(0≤x≤30)，配方，S=−23(x−5)2+6000+503(0≤x≤30)，易得当x=5，y=503时，S最大，其最大值为Smax≈6017m2．解析：本题主要考查函数模型的建立和应用，主要涉及了用解析法解决平面问题，矩形面积公式，二次函数法求最值，以及数形结合的思想．如图，先以BC边所在直线为x轴，以AE边所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求得直线AB的方程，再设出Q坐标，由矩形面积公式建立模型，然后根据函数的类型选择适当的方法求其最值．18.答案：(0,−2)解析：解：B点的坐标设为(0,y)，再利用k=tanθ以及两点求斜率公式，tanθ=tan2π3=−√3=0+3，得y=−2，所以B的坐标为(0,−2).。
上海市上海师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题
○…………○…………绝密★启用前上海市上海师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．在平面直角坐标系内，设()11,M x y ，()22,N x y 为不同的两点，直线l 的方程为0ax by c ++=，1122a by cx ax by cδ++=++，下面四个命题中的假命题为（ ）A ．存在唯一的实数δ，使点N 在直线l 上B ．若1δ=，则过M ，N 两点的直线与直线l 平行C ．若1δ=-，则直线经过线段M ，N 的中点；D ．若1δ>，则点M ，N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段M ，N 的延长线相交； 2．已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．93．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）○…………线……※○…………线……A．2116B．32C．2516D．34．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：221||x y x y+=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A．①B．②C．①②D．①②③第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．已知直线1:10l x y++=，2:2l x=，则1l与2l的夹角为_________．6．向量(1,2),(3,4)a b=-=-，则a在b方向上的投影为_________．7．已知向量()()1,1,2,2m nλλ=+=+，若()()m n m n+⊥-，则=λ_________ .8．若圆22(1)(4)5x y-+-=的圆心到直线0x y a-+=，则a的值为_________．9．过点()13A，与点()25B-，且半径最小的圆的标准方程为_________．10．已知入射光线经过点()34M-，，被x轴反射，反射光线经过点()2,6N，则反射光线所在直线的方程为_________．11．已知(3,1)OA=-,(0,5)OB=，且//,AC OB BC AB⊥，则点C的坐标为_________．12．已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是_________．13．已知两点(3,4)A -，(32)B ，，过点(21)P -，的直线l 与线段AB 有公共点，则l 的倾斜角的取值范围为_________．14．已知实数a ，b ，c 成等差数列，点(3,0)P -在直线0ax by c ++=（a ，b 不全为0）上的射影是M ，若点N 的坐标是(2)3，，则线段MN 的长度的最大值是_________． 15．在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边AB ，AD 的长分别为2和1，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点,且满足|||CN ||||CD |BM BC =，则AM AN ⋅的取值范围是_________． 16．已知,,a b c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则232a c a b c +++-的最小值是_________． 三、解答题17．设直线l 的方程为12())0(a R a x y a +++-∈= （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程． （2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 18．已知圆22:2430C x y x y +--+=． （1）若圆C 的切线过坐标原点，求此切线的方程：（2）从图C 外一点(,)P a b 向该调引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM PO =，求使得PM 取最小值时的点P 的坐标．19．已知两个不共线的向量,a b 满足(1,3)a =，(cos ,sin )()b R θθθ∈=． （1）若2a b -与7a b -垂直，求向量a 与b 的夹角；（2）当0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦时，若存在两个不同的θ使得3||a b ma +=成立，求正数m 的取值范围．20．出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，形，角度大小的定义也和原来一样．直角坐标系内任意两点()11,P x y ，()22,Q x y ，定义它们之间的一种“距离”：1212||||||PQ x x y y =-+-；到两点P ．Q “距离”相等的点的轨迹称为线段PQ 的“垂直平分线”．已知点(1,3)A 、9(6)B ，、9(1)C ，，请解决以下问题：（1）求线段2x y +=(0,0)x y ≥≥上一点(),M x y 到原点()0,0O 的“距离”； （2）写出线段AB 的“垂直平分线”的轨迹方程，并作出大致图像；（3）定义：若三角形三边的“垂直平分线”交于一点，则该点称为三角形的“外心”．试判断ABC △ 的“外心”是否存在，如果存在，求出“外心”；如果不存在，说明理由． 21．已知a 、b 、c 为ABC △的三边长，直线l 的方程为0ax by c ++=，圆222:()()M x a y b c +++=．（1）若ABC △为直角三角形，c 为斜边长，且直线l 与圆M 相切．求c 的值； （2）已知O 为坐标原点，点()2,4N ，6a =，7b =，5c =，平行于ON 的直线h 与圆M 相交于R ，S 两点，且||||RS QN =，求直线h 的方程：（3）若ABC △为正三角形，对于直线l 上任意一点P ，在圆M 上总存在一点Q ，使得线段PQ 的长度为整数，求c 的取值范围；参考答案1．A 【解析】 【分析】根据题意对δ一一分析，逐一验证。
上海市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷(理科)D卷
上海市 2019-2020 学年高二上学期期中数学试卷（理科）D 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题： (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从 8～10 岁，11～12 岁，13～14 岁，15～16 岁四 个年龄段回收的问卷依次为：120 份，180 份，240 份，x 份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量 为 300 的样本，其中在 11～12 岁学生问卷中抽取 60 份，则在 15～16 岁学生中抽取的问卷份数为（ ）A . 60B . 80C . 120D . 1802. （2 分） 如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数 据的中位数为 5，乙组数据的平均数为 6.8，则 x，y 的值分别为（ ）A . 2，5 B . 5，5 C . 5，8 D . 8，83. （2 分） P 是△ABC 所在平面上一点，若A . 重心 B . 内心 C . 垂心第 1 页 共 11 页， 则 P 是△ABC 的（ ）D . 外心4. （2 分） “ ”是“函数在区间上为增函数”的（ ）A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 5. （2 分） 函数 y=sinx+sin|x|在区间[﹣π，π]上的值域为（ ） A . [﹣1，1] B . [0，2] C . [﹣2，2] D . [0，1] 6. （2 分） (2016 高二下·宝坻期末) 下列四种说法正确的是（ ） ①函数 f（x）的定义域是 R，则“∀ x∈R，f（x+1）＞f（x）”是“函数 f（x）为增函数”的充要条件②命题“∀ x∈R，（ ） x＞0”的否定是“∀ x∈R，（ ） x≤0” ③命题“若 x=2，则 x2﹣3x+2=0”的逆否命题是“若 x2﹣3x+2≠0，则 x≠2” ④p：在△ABC 中，若 cos2A=cos2B，则 A=B；q：y=sinx 在第一象限是增函数．则 p∧q 为真命题． A . ①②③④ B . ①③ C . ①③④ D.③ 7. （2 分） (2016 高三上·珠海模拟) 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 A1B1 ， B1C1 的中点，O 是 AC 与 BD 的交点，面 OEF 与面 BCC1B1 相交于 m，面 OD1E 与面 BCC1B1 相交于 n，则直线 m，n 的夹角为（ ）第 2 页 共 11 页A.0 B. C. D.8.（2 分）(2017 高二上·长泰期末) 过双曲线 则这样的直线有（ ）的一个焦点作直线交双曲线于 A、B 两点，若|AB|=4，A . 4条B . 3条C . 2条D . 1条9. （2 分） (2016 高二下·衡水期中) 执行如图所示的程序框图，如果输入 x=3，则输出 k 的值为（ ）A.6 B.8 C . 10 D . 12 10. （2 分） (2017·黑龙江模拟) 已知四棱锥 P﹣ABCD，底面 ABCD 为矩形，点 E，F 在侧棱 PA，PB 上且 PE=2EA， PF=2FB，点 M 为四棱锥内任一点，则 M 在平面 EFCD 上方的概率是（ ） A. B.第 3 页 共 11 页C.D.11. （2 分） 若直线 点的个数（ ）A . 至多一个 B.2 C.1 D.0和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交12. （2 分） 已知定义域为 R 的函数不同的实根，则等于（ ）A . 13， 若关于 x 的方程有3个B. C.5D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13.（1 分）(2019 高三上·建平期中) 双曲线的一个焦点是，一条渐近线是，那么双曲线的方程是________14. （1 分） 等腰直角三角形的直角边长为 1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为________ ．15. （1 分） (2017 高二下·黄山期末) 设 F1 ， F2 分别是椭圆的两个焦点，P 是第一象限内该椭圆上一点，且，则正数 m 的值为________．16. （1 分） (2017 高一下·南京期末) 函数 y=sinx﹣cosx 的最大值为________．第 4 页 共 11 页三、 解答题 (共 6 题；共 45 分)17. （5 分） (2020 高二上·黄陵期末) 甲、乙两人约定上午段时间内有 班公共汽车，它们开车时刻分别为，，同乘一车的概率.至之间到某站乘公共汽车，在这，若他们约定，见车就乘，求甲、乙18. （10 分） (2019 高一上·潍坊月考) 设命题 ：实数 满足 .，命题 q：实数 x 满足（1） 若，若同为真命题，求实数 x 的取值范围.（2） 若且是的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围.19. （5 分） (2018 高二上·江苏月考) 已知圆锥曲线 C 经过定点 P（3，），它的一个焦点为 F（1，0），对应于该焦点的准线为 x=－1，斜率为 2 的直线 交圆锥曲线 C 于 A、B 两点，且 AB = 线 的方程。
2023-2024学年上海华二附中高二上学期期中数学试卷及答案(2023.11)
1华二附中2023学年第一学期高二年级数学期中2023.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第16~题每题4分,第7-12题每题5分）1．直线3310x y +-=的倾斜角为______．2．抛物线2y x =的准线方程为______．3．已知12,F F 是椭圆22:132x y C +=的两个焦点，椭圆C 上的两个动点P 、Q 与1F 满足三点共线，则2PQF △的周长是______．4．平行直线210x y +-=与2430x y ++=的距离为______．5．已知双曲线2221(0)4x y m m -=>的一条渐近线方程是520x y -=，则m =______．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点12,F F 是两个焦点，若椭圆上存在点P ，使得12120F PF ∠=︒，则该椭圆的离心率的取值范围是______．7．斜率为1的直线l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，若l 与圆22(5)8x y -+=相切，则P 等于______．8．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为______．9．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为170米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为202米，则该双曲线的离心率为______．210．已知,x y 为实数，代数式22221(2)9(3)y x x y +-++-++的最小值是______．11．如图，从双曲线22135x y -=的左焦点F 引圆223x y +=的切线FP 交双曲线右支于点,P T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -=______．12．已知,P Q 分别是圆22:(4)8C x y -+=与圆22:(4)5D x y +-=上的点，O 是坐标原点，则2||||2PQ PO +的最小值为______．二、选择题（共4题，共18分，13-14题每题4分，15-16每题5分）13．椭圆22152x y +=的长轴长为（）A ．25B ．5C ．4D ．214．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若,A B 两点的横坐标之和为3，则||AB =（）A ．5B ．143C ．133D ．415．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为3,ABE △，,BEC ECD △△均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，AB BP ⋅的最大值为（）A ．43B ．12C ．123D ．3316．把方程||||194x x y y +=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的是（）①()f x 在R 上单调递减；②()y f x =的图像关于原点对称；③函数()3()2g x f x x =+不存在零点；④()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为2；A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④三、解答题（共5题，共78分）17．（14分）直线1:2110l x y +-=与直线2:2100l x y +-=相交于点P ，直线l 经过点P （1）若直线2l l ⊥，求直线l 的方程：（2）若直线l 在坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．18．（14分）已知抛物线2:2C y px =（p 为常数，0p >）的焦点F 与椭圆22195y x +=的右焦点重合，过点F 的直线与抛物线交于,A B 两点．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若直线AB 的斜率为1，求||AB ．419．（14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区，已知tan 3,6MON OA ∠=-=（百米），Q 到直线ON ，ON 的距离分别为3（百米）（百米）．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区．（1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，2r=（百米）(09,01)t a ≤<<<，当喷泉表演开始时，一观光车s （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA（百米/分钟）的速度开往休息区A ．问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．20．（18分）设双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的一个焦点坐标为，离心率,e A B=是双曲线上的两点，AB的中点(1,2)M．（1）求双曲线C的方程：（2）求直线AB方程：（3）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，问A、B、C、D四点是否共圆?若共圆求之，若不共圆给予充分理由．5621．（18分）如图，D 为圆22:1O x y +=上一动点，过点D 分别作x 轴y 轴的垂线，垂足分别为,A B ，连接BA 并延长至点W ，使得||1WA =，点W 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）若过点(2,0)K -的两条直线12,l l 分别交曲线C 于,M N 两点，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点：（3）若曲线C 交y 轴正半轴于点S ，直线0x x =与曲线C 交于不同的两点,G H ，直线SH ，SG 分别交x 轴于,P Q 两点．请探究：y 轴上是否存在点R ，使得2ORP ORQ π∠+∠=?若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．7参考答案一、填空题1.120;2.14x =-;3.;4.52; 5.5;6.,12⎫⎪⎪⎣⎭;7.218或;8.3;；11．如图，从双曲线22135x y -=的左焦点F 引圆223x y +=的切线FP 交双曲线右支于点,P T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -=______．-【解析】设双曲线的右焦点为1F ,因为O 为1FF 中点,M 为PF 中点,所以MO 为三角形1PFF 的中位线,11,2MO PF =又1122MT PT PM PF FT PF PF FT=-=--=-所以()112MO MT PF PF FT FT a-=-+=-a FT ===又所以MO MT -=.-.12．已知,P Q 分别是圆22:(4)8C x y -+=与圆22:(4)5D x y +-=上的点，O 是坐标原点，则2||||2PQ PO +的最小值为______．【解析】由()2248x y -+=得22880x x y -++=,于是22222828,x x y x y -++=+从而()22221442x x y x y -++=+,=8等于点P 到点()2,0M 的距离.所以PQ PQ PM MQ =+ ,而min ||MQ =-=所以PQ +二、选择题13.A14.A 15.A 16.C15．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆DABE △，,BEC ECD △△均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，AB BP ⋅的最大值为（）A．B ．12C．D ．3【答案】A【解析】以D 为坐标原点，AD 为x 轴，过D 做AD 的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()((8,0,,A B C ---.圆D 的方程为223x y +=，可设)Pαα，所以(,AB BP αα==+- .故126sin 126AB BP πααα⎛⎫⋅=++-=+≤ ⎪⎝⎭故选:A.16．把方程||||194x x y y +=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的是（）9①()f x 在R 上单调递减；②()y f x =的图像关于原点对称；③函数()3()2g x f x x =+不存在零点；④()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为2；A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】C【解析】由方程方程1x x y y +=-,当0x ,0y 时不成立;当0,0x y ><时,22149y x -=；当0,0x y <>时,22194x y -=;当0,0x y 时,22194x y +=;如下图示:由图判断函数在R 上单调递减,故(1)正确,(2)错误;当()320f x x +=,即()23f x x =-,函数()()32g x f x x =+的零点,就是函数()y f x =和23y x =-的交点,而23y x =-是曲线221,049y x x -=>,0y <和221,0,094x y x y -=<>的渐近线,所以没有交点.由图知,23y x =-和221,094x y x += ,0y 没有交点,所以函数()()32g x f x x =+不存在零点,故(3)正确;由图,()y f x =上的点到原点距离的最小值点应在0,0x y 的图象上,即满足22194x y +=,设(),P x y,PO ===,当0x =时取最小值2,故(4)正确.故选:C .三．解答题1017.（1）250x y -+=（2）43070x y x y -=+-=或18.（1）28y x =（2）16AB =19.（1）AB =(2)不会，理由略20．（18分）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为，离心率,e A B =是双曲线上的两点，AB 的中点(1,2)M ．（1）求双曲线C 的方程：（2）求直线AB 方程：（3）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，问A 、B 、C 、D 四点是否共圆?若共圆求之，若不共圆给予充分理由．【答案】（1）2212y x -=（2）1y x =+（3）略【解析】(1)依题意得c ce a ⎧=⎪⎨==⎪⎩,解得1a =.所以222312b c a =-=-=,故双曲线C 的方程为2212y x -=.(2)设()()1122,,,A x y B x y ,则有221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩.两式相减得:()()()()1212121212x x x x y y y y -+=-+,由题意得121212,2,4x x x x y y ≠+=+=,所以()1212121221x x y y x x y y +-==-+,即 1.AB k =故直线AB 的方程为1y x =+.11(3)假设A B C D 、、、四点共圆,且圆心为P .AB 为圆P 的弦,所以圆心P 在AB 垂直平分线CD 上,又CD 为圆P 的弦且垂直平分AB ,圆心P 为CD 中点M .下面只需证CD 的中点M 满足MA MB MC MD ===即可.由22112y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得:()1,0A -,()3,4B .由(1)得直线CD 方程:3y x =-+,由22312y x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩得:(3C -+(63D ---+,()3,6CD M ∴-⋅的中点2,MA MB MC MD MA MB MC MD ======∴=== 即A B C D 、、、四点在以点()3,6M -为圆心,为半径的圆上.21．（18分）如图，D 为圆22:1O x y +=上一动点，过点D 分别作x 轴y 轴的垂线，垂足分别为,A B ，连接BA 并延长至点W ，使得||1WA =，点W 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）若过点(2,0)K -的两条直线12,l l 分别交曲线C 于,M N 两点，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点：（3）若曲线C 交y 轴正半轴于点S ，直线0x x =与曲线C 交于不同的两点,G H ，直线SH ，SG 分别交x 轴于,P Q 两点．请探究：y 轴上是否存在点R ，使得2ORP ORQ π∠+∠=若存在，求出点R 坐标；若不存在，请说明理由．12【答案】（1）2214x y +=（2）见解析（3）存在，理由见解析【解析】(1)设()()00,,,W x y D x y ,则()()00,0,0,A x B y ,由题意知1AB =,所以WA AB = ,得()()000,,x x y x y --=-,所以00,2,x x y y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩因为22001x y +=,得2214x y +=,故曲线C 的方程为2214x y +=.(2)由题意可知,直线12,l l 不平行坐标轴,则可设1l 的方程为:2x my =-,此时直线2l 的方程为12x y m=--.由22214x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得:()22440m y my +-=,解得:244m y m =+或0y =(舍去),所以222428244m m x m m m -=⋅-=++,所以222284,44m m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,同理可得:222284,4141m m N m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.①当1m ≠±时,直线MN 的斜率存在,13()222224222244455556441,:,2828161644445441MN MN m m m m m m m m k l y x m m m m m m m ++⎛⎫++====+ ⎪-----⎝⎭-++所以直线MN 过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.②当1m =±时,直线MN 斜率不存在,此时直线MN 方程为:65x =-,也过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭,综上所述:直线MN 过定点6,05⎛⎫-⎪⎝⎭.(3)存在点。
上海市2019-2020年度高二上学期数学期中考试试卷A卷
上海市2019-2020年度高二上学期数学期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆（x﹣1）2+y2= 于点A，B，C，D四点，则9|AB|+4|CD|的最小值为________．2. （1分） (2019高一上·新乡月考) 若一个圆柱的底面半径与母线长均为1，则该圆柱的表面积为________．3. （1分）若圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形则圆柱的体积为________.4. （1分）圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣6x+2y+6=0的公切线有且只有________ 条．5. （1分） (2016高一下·盐城期末) 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V1 ，四棱锥A1﹣BCC1B1的体积为V2 ，则 =________．6. （1分） (2017高三下·平谷模拟) 在平面直角坐标系中，若方程表示双曲线，则实数的范围________；若此双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为________．7. （1分）(2020·甘肃模拟) 已知四边形为矩形, , 为的中点,将沿折起,得到四棱锥 ,设的中点为 ,在翻折过程中,得到如下有三个命题:① 平面，且的长度为定值；②三棱锥的最大体积为；③在翻折过程中，存在某个位置，使得 .其中正确命题的序号为________．（写出所有正确结论的序号）8. （1分）平面截球的球面所得圆的半径为1，球心到平面的距离为，则此球的体积为________.9. （1分）过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则等于________.10. （1分） (2018高二上·武邑月考) 如果双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为________11. （1分） (2017高二下·福州期中) 过点（3，﹣2）且与曲线（θ为参数）有相同焦点的椭圆方程是________．12. （1分）(2017·衡阳模拟) 我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”．其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．如图所示，在空间直角坐标系xOy平面内，若函数f（x）= 的图象与x轴围成一个封闭的区域A，将区域A沿z轴的正方向平移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A的面积相等，则此圆柱的体积为________．13. （1分）用一个实心木球毛坯加工成一个棱长为的三棱锥，则木球毛坯体积的最小值应为________．14. （1分） (2018·衡水模拟) 已知抛物线与圆有公共点，若抛物线在点处的切线与圆也相切，则 ________．二、解答题 (共6题；共70分)15. （10分） (2016高二上·汕头期中) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=90°，AD= ，DC=2AB=2，E为BC中点．（1）求证：平面PBC⊥平面PDE（2）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若存在，求的值；若不存在，说明理由．16. （15分） (2015高二上·昌平期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AD=AB=2BC=2，过AD的平面分别交PB，PC于M，N两点．（1）求证：MN∥BC；（2）若M，N分别为PB，PC的中点，①求证：PB⊥DN；②求二面角P﹣DN﹣A的余弦值．17. （10分） (2016高一下·普宁期中) 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C （﹣4，0），D（0，4）设△AOB的外接圆圆心为E．（1）若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；（2）设点P在圆E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在，若存在，求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由．18. （10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为 .（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，求 .19. （15分） (2017高三上·成都开学考) △ABC是等边三角形，边长为4，BC边的中点为D，椭圆W以A，D 为左、右两焦点，且经过B、C两点．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过点D且x轴不垂直的直线l交椭圆于M，N两点，求证：直线BM与CN的交点在一条定直线上．20. （10分） (2019高二上·哈尔滨月考) 在直角坐标系中，点到两点和的距离之和为4，设点的轨迹为曲线，经过点的直线与曲线C交于两点．（1）求曲线的方程；（2）若 ,求直线的方程.参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共70分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年第一学期高二期中数学试卷
华二附中高二期中数学试卷2020.11一. 填空题1. 已知直线l 过点(2,3)P ，它的一个方向向量为(1,5)d =，则直线l 的点方向式方程为2. 若一条直线的斜率(1,1)k ∈-，则该直线的倾斜角的取值范围是3. 若椭圆221y x m +=的焦距是4，则m = 4. 已知(,2)a λλ=，(3,2)b λ=，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是5. 已知三角形的三边所在直线为1x y +=-，21x y -=，23x y +=，则三角形的外接圆方程为6. 与两圆22(2)1x y ++=，22(2)1x y -+=都相切，且半径为3的圆一共有 个7. 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，若EF ∥AD ，且 35AE AD AB BC ==，若AB a =，DC b =，则EF 可用a 、b 表示为8. 手表的表面在一个平面上，整点1，2，3，⋅⋅⋅，12这12 的圆周上，从整点i 到整点1i +的向量记作1i i t t +，则1223233412112t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=9. 设实数x 、y 满足约束条件0,4312x y x x y ≥≥⎧⎨+≤⎩，则231x y x +++取值范围是 10. 已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++，定义点集 {|A F =}||||FP FMFQ FMFP FQ ⋅⋅=，若对于任意的3m ≥，当12,F F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的取值范围为二. 选择题11. 已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=（1a 、1b 不同时为零），2222:0l a x b y c ++=（2a 、2b 不同时为零），那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行” 的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件12. 已知11(,)P x y 是直线1:(,)0l f x y =上一点，22(,)Q x y 是l 外一点，则方程(,)f x y =1122(,)(,)f x y f x y +表示的直线（ ）A. 与l 重合B. 与l 交于点PC. 过Q 与l 平行D. 过Q 与l 相交13. 已知a 、b 均为单位向量，且0a b ⋅=，若|4||3|5c a c b -+-=，则||c a +的取值范围是（ ）A. [3,10]B. [3,5]C. [3,4]D. [10,5]14. 若在边长为1的正三角形ABC 的边BC 上有n （2n ≥，*n ∈N ）等分点，沿向量BC 的方向依次为121,,,n P P P -⋅⋅⋅，记1121n n T AB AP AP AP AP AC -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，若给出四个数值：①294；②9110；③19718；④23233；则n T 的值可能的共有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个三. 解答题15. 设a 、b 是两个不共线的非零向量.（1）记OA a =，OB tb =，1()3OC a b =+，那么实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？（2）若||||1a b ==，且a 与b 夹角为120°，那么实数x 为何值时，||a xb -的值最小？16. 已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B .（1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.17. 在平面直角坐标系中，定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l .（1）求证：对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d A C d C B d A B +≥；（2）已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，求(,)d P l ；（3）定点00(,)C x y ，动点(,)P x y 满足(,)d C P r =（0r >），请求出点P 所在的曲线所围成图形的面积.18. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，它的上、下顶点分别为A 、B ，左、右焦点分别为1F 、2F ，若四边形12AF BF 为正方形，且面积为2.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线1l 、2l ，它们与椭圆E 分别交于点C 、D 、M 、N ，且四边形CDMN 是菱形；求证：①直线1l 、2l 关于原点对称；②求出该菱形周长的最大值.参考答案一. 填空题 1. 2315x y --= 2. 3[0,)(,)44πππ 3. 5 4.411(,)(0,)(,)333-∞+∞5. 227320x y x y +-++=6. 77. 21211010EF b a =-8. 99. [3,11] 10. 34k ≥二. 选择题 11. B 12. C 13. B 14. A三. 解答题15.（1）12t =；（2）12x =-，min 3||a xb -=.16.（1）22395()(3)243x y x -+=<≤；（2）325{}[,4k ∈±-. 17.（1）证明略；（2）4(,)3d P l =；（3）24S r =.18.（1）22121x y +=；（2）①证明略；②菱形周长的最大值为。
2020学年上海市上师大附中高二上学期期中数学试题(解析版)
上海市上师大附中高二上学期期中数学试题一、单选题1．某人在超市一次性购买了20斤大米和10斤食用油，大米的价格是2.9元/斤，食用油的价格是25元/斤，则购买这两种商品的总花费可以用下列各式计算得到的是（ ）A ．202510 2.9B ．20 2.91025C ．()2.9201025⎛⎫⎪⎝⎭D ．() 2.9201025⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】先计算共花费，再根据行列式乘积的定义得解. 【详解】由题得总花费为20 2.9+1025⨯⨯， 根据行列式乘积的定义得只有D 符合. 故答案为：D 【点睛】本题主要考查行列式乘积的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．当1m ≠-时，下列关于方程组12mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩的判断，正确的是（ ）A ．方程组有唯一解B ．方程有唯一解或无穷多解C ．方程无解或无穷多解D ．方程组有唯一解或无解【答案】D【解析】先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算计算出D ，x D ，y D ，下面对m 的值进行分类讨论：（1）当1m ≠-，1m ≠时，（2）当1m =时，分别求解方程组的解即可． 【详解】211(1)(1)1m D m m m m==-=+-， 211(1)2x m D m m m m m m+==-=-，2121(21)(1)12y m m D m m m m m+==--=+-，当1m ≠-，1m ≠时，0D ≠，方程组有唯一解，解为1211m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩．当1m =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多组解，此时方程组化为22x y x y +=⎧⎨+=⎩， 令()x t t R =∈，原方程组的解为()2x tt R y t=⎧∈⎨=-⎩，∴方程组有唯一解或有无穷多解，故选：D ． 【点睛】本小题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．3．下列有关平面向量分解定理的四个命题：（1）一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；（2）一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基； （3）平面向量的基向量可能互相垂直；（4）一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合.其中正确命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B【解析】根据平面向量的基本定理，作为平面内所有向量的一组基底是两个向量不共线，由此对四个选项作出判断即可． 【详解】一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基，∴①错误，②正确；平面向量的基向量可能互相垂直，如正交基，∴③正确；平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合，如果是三个不共线的向量，表示法不唯一，∴④错误． 综上，正确的命题是②③． 故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是理解作为基底的两个向量不共线，是基础题目．4．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，若分别满足下列四个条件：①0++=u u u r u u u r u u u r r aOA bOB cOC ；②tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r rA OAB OBC OC ；③sin 2sin 2sin 20⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r rA OAB OBC OC ； ④0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ； 则点O 分别为ABC ∆的（ ） A ．外心、内心、垂心、重心 B ．内心、外心、垂心、重心 C ．垂心、内心、重心、外心D ．内心、垂心、外心、重心【答案】D【解析】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =，可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，由向量的坐标表示和三角函数的恒等变换公式计算可判断①③④为三角形的内心、外心和重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30o ，设()1,3C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ，由向量的坐标表示和向量垂直的条件，可判断②为三角形的垂心． 【详解】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =， 可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，①0aOA bOB cOC ++=u u u r u u u r u u u r r，即为()()()()3,443,5,0,0m n m n m n --+--+--=，即有12120m -+=，12120n -+=，解得1m n ==，即有O 到x ，y 轴的距离为1，O 在BCA ∠的平分线上，且到AB 的距离也为1，则O 为ABC V 的内心；③2220sin A OA sin B OB sin C OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r， 即为()()()()2424,43,0,0,02525m n m n m n --+--+--=， 可得320m -=，420n -=，解得32m =，2n =， 由52OA OB OC ===，故O 为ABC V 的外心； ④0OA OB OC u u u r u u u r u u u r r++=，可得()()()(),43,,0,0m n m n m n --+--+--=， 即为330m -=，430n -=，解得1m =，43n =， 由AC 的中点D 为()0,2，13DB =，213OB =，即O 分中线DB 比为2:3， 故O 为ABC V 的重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30o ，设(3C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ，②0tanA OA tanB OB tanC OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r， 即为)))()333,2,130,033x y x y x y --+--+--=， 330+=310y +=，解得1x =-，3y = 即(1,3O --，由OC AB ⊥，331OA BC k k ⎛⋅==- ⎝⎭，即有OA BC ⊥，故O 为ABC V 的垂心． 故选：D 【点睛】本题考查三角形的四心的判断，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，通常可用建立坐标系的方法求解，属于常考题型． 二、填空题5．原点到直线250x y +-=的距离为______【解析】直接利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由题得原点到直线250x y +-==【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6．已知111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是111113-⎛⎫⎪⎝⎭，则此方程组的解是_______ 【答案】21x y =⎧⎨=⎩【解析】根据增广矩阵的定义将关于,x y 的方程组还原，再解方程组得解. 【详解】根据增广矩阵的定义将关于,x y 的方程组还原为13x y x y -=⎧⎨+=⎩，解之得21x y =⎧⎨=⎩.故答案为：21x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题主要考查增广矩阵的定义及线性方程组的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．直线2310x y -+=的方向向量d =________（写出一个即可） 【答案】()3,2【解析】先求出直线的斜率，即得直线的一个方向向量. 【详解】由题得直线2310x y -+=的斜率为23， 所以直线的一个方向向量为()3,2. 故答案为：()3,2 【点睛】本题主要考查直线的方向向量的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．已知()1,0a =r ，()2,1b =r ，则3a b +=r r______【解析】先求出3a b +r r，再求3a b +r r 得解. 【详解】由题得3=(7,3)a b +r r，所以3a b +==r r【点睛】本题主要考查平面向量的坐标计算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．若三条直线30ax y ++=，20x y ++=和210x y -+=相交于一点，则行列式13112211a-的值为________【答案】0【解析】先求20x y ++=和210x y -+=的交点，代入直线30ax y ++=，即可得到a 的值．再利用行列式的计算法则，展开表达式，化简即可． 【详解】解方程组20210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩得交点坐标为(1,1)--，代入30ax y ++=，得2a =．行列式2131122436410211=+--+-=-．故答案为：0． 【点睛】本题是基础题，考查直线交点的求法，三条直线相交于一点的解题策略，考查行列式的运算法则，考查计算能力．10．若点P 分有向线段AB 所成的比为13-，则点B 分有向线段PA 所成的比是_______【答案】32-【解析】由题得13AP PB =-，即得点B 分有向线段PA 所成的比. 【详解】因为点P 分有向线段AB 所成的比为13-，所以13AP PB =-， 所以32PB BA =-. 故答案为：32-【点睛】本题主要考查定比分点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．直线()200x ay a -+=<的倾斜角是________ 【答案】1arctanaθπ=+ 【解析】先求出直线的斜率，再写出直线的倾斜角. 【详解】直线()200x ay a -+=<的斜率为10a<， 所以直线()200x ay a -+=<的倾斜角1arctan aθπ=+. 故答案为：1arctan aθπ=+ 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的计算和反三角函数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．直线经过点A （2，1），B （1，m 2）两点（m∈R），那么直线l 的倾斜角取值范围是 . 【答案】α∈∪【解析】k ＝tanα＝＝1－m 2≤1，所以α∈∪.13．已知向量(),12OA k =uu r ，()4,5OB =uu u r ，(),10OC k =-uu u r，且A 、B 、C 三点共线，则k =_______【答案】23-【解析】先求出,AB BC u u u r u u u r的坐标，再根据A 、B 、C 三点共线求出k 的值.【详解】由题得(4,7)AB OB OA k =-=--u u u r u u u r u u u r， (4,5)BC OC OB k =-=--u u u r u u u r u u u r， 因为A 、B 、C 三点共线，所以=AB BC λu u u r u u u r ，所以(4)57(4)0k k -⋅+--=，所以23k =-.故答案为：23-【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和共线向量，考查三点共线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．设a 、b 、c 是ABC ∆三个内角A 、B 、C 所对应的边，且2b ac =，那么直线2sin sin 0x A y A a +-=与直线2sin sin 0x B y C c +-=的位置关系是________ 【答案】重合【解析】由2b ac =得2sin sin sin B A C =,即由系数比可得到两直线的位置关系. 【详解】由2b ac =得2sin sin sin B A C =，所以222sin sin sin sin sin sin sin A A A a a B A C C c c-====-， 所以直线2sin sin 0x A y A a +-=与直线2sin sin 0x B y C c +-=的位置关系是重合.故答案为：重合 【点睛】本题主要考查正弦定理，考查两直线的位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭满足：11a ，12a ，21a ，{}220,1a ∈且111221220a a a a =，则这样互不相等的矩阵共有________个 【答案】10个【解析】根据题意，分类讨论，考虑全为0；全为1；三个0，一个1；两个0，两个1，即可得出结论． 【详解】由111221220a aa a =，可得112212210a a a a -=，由于11a ，12a ，21a ，22{0a ∈，1}，可得矩阵11122122a a aa ⎛⎫ ⎪⎝⎭可以是0000⎛⎫ ⎪⎝⎭，1111⎛⎫ ⎪⎝⎭，0001⎛⎫ ⎪⎝⎭，1000⎛⎫ ⎪⎝⎭， 0100⎛⎫ ⎪⎝⎭，0001⎛⎫ ⎪⎝⎭，0101⎛⎫ ⎪⎝⎭，1100⎛⎫ ⎪⎝⎭，1010⎛⎫ ⎪⎝⎭，0011⎛⎫⎪⎝⎭． 则这样的互不相等的矩阵共有10个． 故答案为：10 【点睛】本题考查二阶矩阵，解题的关键是利用二阶矩阵的含义，属于基础题．16．已知平面上三个不同的单位向量a r 、b r 、c r 满足12a b b c ⋅=⋅=r r r r ，若e r为平面内任意单位向量，则()()23a e b e c e ⋅+⋅+⋅r r r r r r的最大值为_______【解析】先求出12a c ⋅=-r r ，再求出()()23|23|cos a e b e c e a b c θ⋅+⋅+⋅=++r r r r r r r r r ，再求出|23|a b c ++r r r.【详解】因为12a b b c ⋅=⋅=r r r r ，所以12a c ⋅=-r r ，由题得()()23(23)|23|||cos =|23|cos a e b e c e a b c e a b c e a b c θθ⋅+⋅+⋅=++⋅=++++r r r r r r r r r r r r r r r r r，|23|a b c ++=r r r所以()()23(23)=|23|cos a e b e c e a b c e a b c θ⋅+⋅+⋅=++⋅++≤r r r r r r r r r r r r r.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17．已知()4,6A 、()3,1B --、()4,5C -三点.（1）求经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程； （2）求经过点A 且与BC 垂直的直线m 的斜截式方程.【答案】（1）4674x y --=-；（2）714y x =-. 【解析】（1）BC 的方向向量为(7,4)BC =-u u u r，即得经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程；（2）先求出所求直线的斜率为74，再写出直线的斜截式方程. 【详解】（1）BC 的方向向量为(7,4)BC =-u u u r，所以经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程为4674x y --=-.（2）由题得直线BC 的斜率为47-，所以所求直线的斜率为74.所以直线的方程为76(4)4y x -=-，所以714y x =-.【点睛】本题主要考查直线的点方向式方程和斜截式方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．已知4a =r ，2b =r ，且a r 与b r 的夹角为23π，求：（1）a r 在b r上的投影；（2）()()2a b a b -+r r r r；（3） a r与a b +r r 的夹角.【答案】（1）2-；（2）12；（3）6πθ=【解析】（1）直接利用向量的投影公式求解即可；（2）利用数量积的运算法则计算得解；（3） 【详解】（1）由题得a r 在b r 上的投影为24cos 23π⨯=-；（2）()()2212=216842()122a b a b a b a b -+--⋅=--⨯⨯-=r r r r r r r r ；（3）由题得||a b +===r r 所以a r 与a b +r r2==r r r.故a r 与a b +r r 的夹角为6πθ=.【点睛】本题主要考查向量的投影和数量积的计算，考查向量的夹角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．直线l 过点()2,3A 且被两平行线m350y -+=和n103x y --=截得的线段为2.（1）求两平行线之间的距离； （2）求直线l 与两平行线的夹角；（3）求直线l 的方程.【答案】（1（2）3πθ=；（3）3y =或3y =-.【解析】（1）先化简n ，再利用两平行线之间的距离求解；（2）利用三角函数求直线l 与两平行线的夹角；（3）利用点斜式写出直线的方程得解. 【详解】（1）由题得n 310y --=，==（2）由题得直线l 所以直线l 与两平行线的夹角为3π.（3）由题得直线存在斜率，设直线的斜率为,k所以=0k =或k =所以直线的方程为3y =或)23y x =-+.即3y =或3y =-. 【点睛】本题主要考查平行线的距离的求法和直线的夹角的计算，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．在AOB ∆中，AOB ∠为直角，14OC OA =uuu r uu r ，12OD OB =uuu r uu u r，AD 与BC 相交于点M ，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r.（1）试用a r 、b r表示向量OM u u u u r ；（2）在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使得直线EF 过M ，设OE OA λ=u u u r u u u r ，OF OB μ=u u ur u u u r ，求13λμ+的值；（3）若AB a =，过O 作线段PQ ，使得O 为PQ 的中点，且2PQ a =，求AP BQ ⋅u u u r u u u r的取值范围.【答案】（1）1377OM a b =+u u u u r r r ；（2）137λμ+=；（3）22,0a ⎡⎤-⎣⎦. 【解析】（1）设OM ma nb =+u u u u rrr，根据C ，M ，B 三点共线，可得存在非零实数k使得()4kCM kCB k OB OC kb a==-=-u u u u r u u u r u u u r u u u r r r，从而14kOM a kb-=+u u u u r rr，，利用平面向量基本定理可得m，n的关系，同理D，M，A三点共线，可得m，n的关系，由此即可求得m，n的值，即得解；（2）将FMu u u u r两次线性表示，利用平面向量基本定理，建立等式，消参，即可证得结论（3）如图，设,OB OQu u u r u u u r的夹角为α，则,OA OPu u u r u u u r的夹角为2πα-，求出22sin()AP BQ a aαβ⋅=--+u u u r u u u r，再求取值范围.【详解】（1）解：设OM ma nb=+u u u u r rrCQ，M，B三点共线，∴存在非零实数k使得()4kCM kCB k OB OC kb a==-=-u u u u r u u u r u u u r u u u r r r∴11444k kOM OC CM a kb a a kb-=+=+-=+u u u u r u u u r u u u u r r rr r r，∴1144km nmn k-⎧=-⎪⇒=⎨⎪=⎩①又DQ，M，A三点共线，∴存在非零实数t使得()2tDM tDA t OA OD ta b==-=-u u u u r u u u r u u u r u u u r rr∴11222t tOM OD DA b ta b ta b-=+=+-=+u u u u r u u u r u u u r r r rr r，又OM ma nb=+u u u u r rr∴1122m tmntn=⎧-⎪⇒=⎨-=⎪⎩②由①②解得：13,77m n==，所以1377OM a b=+u u u u r rr.（2）证明：由（1）知1377OM a b =+u u u u r rr ，F Q ，M ，E 三点共线，∴存在非零实数t 使得()FM tFE t OE OF t a t b λμ==-=-u u u u ru u u ru u u ru u u rrrQ 13()77FM OM OF a b μ=-=+-u u u u r u u u u r u u u r r r∴1737t t λμμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去t 得37μλλμ+=． 所以137λμ+= .（3）如图，设,OB OQ u u u r u u u r 的夹角为α，则,OA OP u u u r u u u r 的夹角为2πα-，2()()AP BQ OP OA OQ OB a OP OB OA OQ ⋅=-⋅-=--⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r所以22||cos ||cos()=||cos ||sin 2AP BQ a a OB a OA a a OB a OA παααα⋅=-------u u u r u u u r所以2222=(||sin ||cos ))AP BQ a a OA OB a a OA OB αααβ⋅--+=--++u u u r u u u r所以222sin()[2,0]AP BQ a a a αβ⋅=--+∈-u u u r u u u r.【点睛】本题主要考查向量的线性运算和共线向量，考查平面向量的数量积，考查三角恒等变换和三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21．如图，已知城市O 周边有两个小镇A 、B ，其中乡镇A 位于城市O 的正东方21km 处，乡镇B 与城市O 相距75km ，OB 与OA 夹角的正切值为2，为方便交通，现准备建设一条经过城市O 的公路l ，使乡镇A 和B 分别位于l 的两侧，过A 和B 建设两条垂直l 的公路AC 和BD ，分别与公路l 交汇于C 、D 两点，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy .（1）当两个交汇点C 、D 重合，试确定此时BD 路段长度；（2）当AC BD =，计算此时两个交汇点C 、D 到城市O 的距离之比； （3）若要求两个交汇点C 、D 的距离不超过143km ，求AOC ∠正切值的取值范围.【答案】（1）722BD =；（2）32；（3）917917,88⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）先求出直线l 的斜率为1，点B 的坐标为(7,14)，再利用点到直线的距离为|BD|=7222=；（2）设直线AB 的斜率为k ，先求出1,2k =再求出3tan 4BOD ∠=，即得|OC |tan 3||tan 2BOD OD AOC ∠==∠；（3）先求出||,||OC OD ,再求出214||||,31OC OD k -=≤+解不等式即得解. 【详解】（1）当两个交汇点C 、D 重合时，则AC,BD 公路共线，过点B 作BE⊥AO,垂足为E,则||14,||7BE OE ====, 所以AE=21714-=，所以|BE|=|AE|,所以直线AB 的倾斜角为34π，所以直线AB 的斜率为1-，所以直线l 的斜率为1，因为点B 的坐标为(7,14)，所以=（2）由题得A(21,0)，设直线AB 的斜率为k ， 所以直线AB 的方程为0kx y -=， 因为|AC|=|BD|,12k =∴=. 由题得1tan 2tan tan()211tan 2BOD AOB AOC BOD BOD +∠∠=∠+∠==-⋅∠, 所以3tan 4BOD ∠=, 所以3|OC |tan 341||tan 22BOD OD AOC ∠===∠. （3）由题得|BD |=tan tan tan()21tan k BODAOB AOC BOD k BOD+∠∠=∠+∠==-⋅∠，所以2tan 1+2kBOD k-∠=，所以||||tan OD BD BOD =∠=.因为||OC =,所以14|||,3OC OD -=≤解之得9988k +≤≤.故AOC ∠k ≤≤. 【点睛】本题主要考查直线的方程和点到直线的距离，考查直线的夹角的计算，考查一元二次不等式的解法，考查和角的正切，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高二(上)11月月考数学试卷
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）11月月考数学试卷一.填空题1. 直线l:5x −12y +5＝0的单位方向向量为________． 【答案】(1213, 513)，(−1213, −513)【考点】 直线的倾斜角 【解析】取直线l:5x −12y +5＝0的方向向量为±(5, 12)，即可求出直线的单位方向向量． 【解答】取直线l:5x −12y +5＝0的方向向量为±(5, 12)， 则该直线的单位方向向量为(1213, 513)，(−1213, −513)，2. 已知a →=i →−2j →,b →=i →+kj →，且a →与b →的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是________． 【答案】(−∞, −2)∪(−2, 12)【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】根据两向量的夹角为锐角知a →⋅b →>0且a →、b →不共线，由此求出k 的取值范围． 【解答】a →=i →−2j →,b →=i →+kj →，且a →与b →的夹角为锐角， ∴ a →⋅b →=1−2k >0，解得k <12， 又a →、b →不共线，∴ k ≠−2，∴ 实数k 的取值范围是(−∞, −2)∪(−2, 12)．3. 若直线l 过点P(−2,√3)，且与直线m:x −√3y +2=0的夹角为π3，则直线l 的方程是________． 【答案】x ＝−2，或 x +√3y −1＝0 【考点】 两直线的夹角【解析】先求出直线m 的倾斜角，再根据直线l 和直线m 夹角为π3，可得直线l 的倾斜角，进而得到直线l 的斜率，从而求得直线l 的方程． 【解答】∵ 直线l 过点P(−2,√3)，且与直线m:x −√3y +2=0的夹角为π3， 且直线m 的斜率为√3=√33，即直线m 的倾斜角为π6， 设直直线l 的倾斜角为θ，则θ=π6+π3=π2，或θ＝π+(π6−π3)=5π6，故直线m 的斜率不存在，或直线m 的斜率为tan5π6=−tan π6=−√33， 故直线l 的方程为x ＝−2，或y −√3=−√33(x +2)，即直线l 的方程为x ＝−2，或 x +√3y −1＝0，4. 若直线l:y ＝kx −√3与直线2x +3y −6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是________(π6,π2) ． 【答案】 (π6,π2) 【考点】两条直线的交点坐标 【解析】联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于k 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到k 的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率k ，根据正切函数图象得到倾斜角的范围． 【解答】联立两直线方程得：{y =kx −√32x +3y −6=0 ， 将①代入②得：x =3√3+62+3k③，把③代入①，求得y =6k−2√32+3k， 所以两直线的交点坐标为( 3√3+62+3k, 6k−2√32+3k )， 因为两直线的交点在第一象限，所以得到 3√3+62+3k>0，且6k−2√32+3k>0，解得：k >√33，设直线l 的倾斜角为θ，则tanθ>√33，所以θ∈( π6, π2)．5. 已知直线l:x −y −1＝0，l 1:2x −y −2＝0．若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程为________． 【答案】x −2y −1＝0 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程 【解析】先解方程组得l 与l 1的交点(1, 0)也在l 2上，然后在l 1上去一点(2, 2)，则该点关于l 的对称点(3, 1)也在l 2上，用两点式即可求得l 2的方程． 【解答】联立{x −y −1=02x −y −2=0 解得{x =1y =0 ，所以三条直线的交点为(1, 0) 在l 1上取点(2, 2)，依题意该点关于l 的对称点(3, 1)在l 2上 由两点式得l 2的方程为y−01−0=x−13−1，化简得x −2y −1＝06. 函数y =√x 2−2x +10+√x 2+1的最小值为________． 【答案】 √17【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】利用函数的表达式，转化为x 轴上的点与(1, −3)，(0, 1)距离和的最小值． 【解答】函数y =√x 2−2x +10+√x 2+1=√(x −1)2+(0+3)2+√(x −0)2+(0−1)2， 就是x 轴上的点与(1, −3)以及(0, 1)距离之和的最小值， 可得最小值为：√(0−1)2+(1+3)2=√17．7. 在△ABC 中，D 、E 分别是AB ，AC 的中点，M 是直线DE 上的动点，若△ABC 的面积为1，则MB →⋅MC →+BC →2的最小值为________．【答案】 √3【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】由三角形的面积公式，S △ABC ＝2S △MBC ，则S △MBC =12，根据三角形的面积公式及向量的数量积，利用余弦定理，即可求得则MB →⋅MC →+BC →2，利用导数求得函数的单调性，即可求得则MB →⋅MC →+BC →2的最小值；方法二：利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得MB →⋅MC →+BC →2的最小值．∵ D 、E 是AB 、AC 的中点，∴ A 到BC 的距离＝点A 到BC 的距离的一半，∴ S △ABC ＝2S △MBC ，而△ABC 的面积1，则△MBC 的面积S △MBC =12， S △MBC =12|MB|×|MC|sin∠BMC =12，∴ |MB|×|MC|=1sin∠BMC ．∴ MB →⋅MC →=|MB|×|MC|cos∠BMC =cos∠BMC sin∠BMC．由余弦定理，|BC|2＝|BM|2+|CM|2−2|BM|×|CM|cos∠BMC ，显然，BM 、CM 都是正数，∴ |BM|2+|CM|2≥2|BM|×|CM|，∴ |BC|2＝|BM|2+|CM|2−2|BM|×|CM|cos∠BMC ＝2×1sin∠BMC −2×cos∠BMCsin∠BMC ．．∴ MB →⋅MC →+BC →2≥cos∠BMC sin∠BMC +2×1sin∠BMC −2×cos∠BMC sin∠BMC =2−cos∠BMC sin∠BMC， 方法一：令y =2−cos∠BMC sin∠BMC，则y′=1−2cos∠BMC sin 2∠BMC，令y′＝0，则cos∠BMC =12，此时函数在(0, 12)上单调减，在(12, 1)上单调增， ∴ cos∠BMC =12时，2−cos∠BMC sin∠BMC取得最小值为√3，MB →⋅MC →+BC →2的最小值是√3， 方法二：令y =2−cos∠BMC sin∠BMC，则ysin∠BMC +cos∠BMC ＝2，则√y 2+1sin(∠BMC +α)＝2，tanα=1y ，则sin(∠BMC +α)=√y 2+1≤1，解得：y ≥√3， MB →⋅MC →+BC →2的最小值是√3，8. 如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P 在大圆上，PA 与小圆相切于点A ，Q 为小圆上的点，则PA →⋅PQ →的取值范围是________．【答案】[3−√3, 3+√3] 【考点】平面向量数量积的性质及其运算建立适当的平面直角坐标系，设Q(cosα, sinα)，A(0, −1)，取P(−√3, −1)， 利用平面向量的坐标表示求数量积，根据三角函数的有界性求出它的取值范围． 【解答】建立平面直角坐标系，如图所示， 设Q(cosα, sinα)，A(0, −1)，则P(±√3, −1)，不妨取P(−√3, −1)，则PA →=(√3, 0)，PQ →=(cosα+√3, sinα+1)， ∴ PA →⋅PQ →=√3(cosα+√3)=√3cosα+3； 又cosα∈[−1, 1]，∴ 3−√3≤√3cosα+3≤3+√3， 即PA →⋅PQ →的取值范围是[3−√3, 3+√3]．9. 已知平面上三个不同的单位向量a →，b →，c →满足a →⋅b →=b →⋅c →=12，若e →为平面内的任意单位向量，则|a →⋅e →|+|2b →⋅e →|+3|c →⋅e →|的最大值为________．【答案】 √21【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】柯西不等式可得：(|a →⋅e →|+|2b →⋅e →|+3|c →⋅e →|)2≤(12+22+32)(|a →⋅e →|2+|b →⋅e →|2+3|c →⋅e →|2)＝14（(|a →⋅e →|2+|b →⋅e →|2+|c →⋅e →|2)，再根据向量的数量积公式计算即可．【解答】由柯西不等式可得：(|a →⋅e →|+|2b →⋅e →|+3|c →⋅e →|)2≤(12+22+32)(|a →⋅e →|2+|b →⋅e →|2+|c →⋅e →|2)＝14（(|a →⋅e →|2+|b →⋅e →|2+|c →⋅e →|2)，由于a →⋅b →=b →⋅c →=12，∴ a →与b →，b →与c →的夹角为π3，下面求|a →⋅e →|2+|b →⋅e →|2+|c →⋅e →|2， 由于|b →⋅e →|2＝|−b →⋅e →|2，不妨将b →换成−b →，设b →与e →夹角为θ，则|a →⋅e →|2+|b →⋅e →|2+|c →⋅e →|2＝cos 2(π3−θ)+cos 2(π−θ)+cos 2(5π3−θ)+=12+12⋅cos(23π−θ)+12+12cos(2π−2θ)+12+12cos(103π−2θ) =32+12[cos(23π−2θ)+cos2θ+12+12cos(43π−2θ)] =32+12(−12cos2θ+√32sin2θ+cos2θ−12cos2θ−√32sin2θ) =32， ∴ (|a →⋅e →|+|2b →⋅e →|+3|c →⋅e →|)2≤14×32=21∴ |a →⋅e →|+|2b →⋅e →|+3|c →⋅e →|的最大值为√2110. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x, y)为整点，下列命题中正确的是________．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx +b 不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y ＝kx +b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线． 【答案】 ①③⑤ 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】举例说明命题①⑤是真命题；举反例说明命题②是假命题；假设直线l 过两个不同的整点，设直线l 为y ＝kx ，把两整点的坐标代入直线l 的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l 上，利用同样的方法，得到直线l 经过无穷多个整点，得到命题③为真命题；当k ，b 都为有理数时，y ＝kx +b 可能不经过整点，例如k =12，b =13，说明④是假命题． 【解答】①令y ＝x +12，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，命题①正确； ②若k =√2，b =√2，则直线y =√2x +√2经过(−1, 0)，命题②错误； ③设y ＝kx 为过原点的直线，若此直线l 过不同的整点(x 1, y 1)和(x 2, y 2)， 把两点代入直线l 方程得：y 1＝kx 1，y 2＝kx 2， 两式相减得：y 1−y 2＝k(x 1−x 2)，则(x 1−x 2, y 1−y 2)也在直线y ＝kx 上且为整点，通过这种方法得到直线l 经过无穷多个整点，则③正确；④当k ，b 都为有理数时，y ＝kx +b 可能不经过整点，例如k =12，b =13，故④不正确；⑤令直线y =√2x 恰经过整点(0, 0)，命题⑤正确． 综上，命题正确的序号有：①③⑤． 二.选择题已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，O为△ABC内一点，若分别满足下列四个条件：①aOA→+bOB→+cOC→=0→②tanA⋅OA→+tanB⋅OB→+tanC⋅OC→=0→③sin2A⋅OA→+sin2B⋅OB→+sin2C⋅OC→=0→④OA→+OB→+OC→=0→则点O分别为△ABC的（）A.外心、内心、垂心、重心B.内心、外心、垂心、重心C.垂心、内心、重心、外心D.内心、垂心、外心、重心【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】先考虑直角三角形ABC，可令a＝3，b＝4，c＝5，可得A(0, 4)，B(3, 0)，C(0, 0)，设O(m, n)，由向量的坐标表示和三角函数的恒等变换公式计算可判断①③④为三角形的内心、外心和重心；考虑等腰三角形ABC，底角为30∘，设C(−1, √3)，B(2, 0)，A(0, 0)，O(x, y)，由向量的坐标表示和向量垂直的条件，可判断②为三角形的垂心．【解答】先考虑直角三角形ABC，可令a＝3，b＝4，c＝5，可得A(0, 4)，B(3, 0)，C(0, 0)，设O(m, n)，①aOA→+bOB→+cOC→=0→，即为3(−m, 4−n)+4(3−m, −n)+5(−m, −n)＝(0, 0)，即有−12m+12＝0，−12n+12＝0，解得m＝n＝1，即有O到x，y轴的距离为1，O在角BCA的平分线上，且到AB的距离也为1，则O为△ABC的内心；③sin2A⋅OA→+sin2B⋅OB→+sin2C⋅OC→=0→，即为2425(−m, 4−n)+2425(3−m, −n)+0(−m, −n)＝(0, 0)，可得3−2m＝0，4−2n＝0，解得m=32，n＝2，由|OA|＝|OB|＝|OC|=52，故O为△ABC的外心；④OA→+OB→+OC→=0→，可得(−m, 4−n)+(3−m, −n)+(−m, −n)＝(0, 0)，即为3−3m＝0，4−3n＝0，解得m＝1，n=43，由AC的中点D为(0, 2)，|DB|=√13，|OB|=2√133，即O分中线DB比为2:3，故O为△ABC的重心；考虑等腰三角形ABC，底角为30∘，设C(−1, √3)，B(2, 0)，A(0, 0)，O(x, y)，②tanA⋅OA→+tanB⋅OB→+tanC⋅OC→=0→，即为−√3(−x, −y)+√33(2−x, −y)+√33(−1−x, √3−y)＝(0, 0)，可得√33x+√33=0，√33y+1＝0，解得x＝−1，y=−√3，即O(−1, −√3)，由OC⊥AB，k OA⋅k BC=√3⋅(−√33)＝−1，即有OA⊥BC，故O为△ABC的垂心．如图，在同一平面内，点P位于两平行直线l1、l2同侧，且P到l1，l2的距离分别为1，3，点M，N分别在l1，l2上，|PM→+PN→|＝8，则PM→⋅PN→的最大值为（）A.15B.12C.10D.9【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】建立适当的坐标系，利用坐标表示向量PM→、PN→，根据|PM→+PN→|＝8求出PM→⋅PN→的解析式，再求其最大值．【解答】以直线l2为x轴，以过点P且与直线l2垂直的直线为y轴建立坐标系，如图所示：由题意可得点P(0, −1)，直线l1的方程为y＝2，设点M(a, 0)、点N(b, 2)，∴PM→=(a, 1)、PN→=(b, 3)，∴PM→+PN→=(a+b, 4)(1)∵|PM→+PN→|＝8，∴(a+b)2+16＝64，∴a+b＝4√3，或a+b＝−4√3(2)当a+b＝4√3时，PM→⋅PN→=ab+3＝a(4√3−a)+3＝−a2+4√3a+3，它的最大值为−(2√3)2+4√3×2√3+3＝15(3)当a+b＝−3时，PM→⋅PN→=ab+3＝a(−4√3−a)+3＝−a2−4√3a+3，它的最大值为−(−2√3)2−4√3×(−2√3)+3＝15(4)综上可得，PM→⋅PN→的最大值为15．故选：A．，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD＝1，点P是圆M及其如图所示，∠BAC=2π3内部任意一点，且AP→=xAD→+yAE→(x, y∈R)，则x+y的取值范围是（）A.[1,4+2√3]B.[4−2√3,4+2√3]C.[1,2+√3]D.[2−√3,2+√3]【答案】B【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】连接MA，MD，求出圆M的半径MD和MA，得出AP的最值，根据等边三角形的性质即可得出x+y的最值．【解答】，MD⊥AD，解：连接MA，MD，则∠MAD=π3∵AD＝1，∴MD=√3，MA＝2，∵点P是圆M及其内部任意一点，∴2−√3≤AP≤2+√3，且当A，P，M三点共线时，x+y取得最值，当AP取得最大值时，以AP为对角线，以AB，AC为邻边方向作平行四边形AA1PB1，则△APB1和△APA1是等边三角形，∴AB1＝AA1＝AP＝2+√3，∴x＝y＝2+√3，∴x+y的最大值为4+2√3，同理可求出x+y的最小值为4−2√3．故选B．已知点M(a, b)与点N(0, −1)在直线3x−4y+5＝0的两侧，给出以下结论：①3a−4b+5>0；②当a>0时，a+b有最小值，无最大值；③a 2+b 2>1； ④当a >0且a ≠1时，b+1a−1的取值范围是(−∞, −94)∪(34, +∞)． 正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 【答案】 B【考点】命题的真假判断与应用 【解析】根据点M(a, b)与点N(1, 0)在直线3x −4y +5＝0的两侧，可以画出点M(a, b)所在的平面区域，进而结合二元一次不等式的几何意义，两点之间距离公式的几何意义，及两点之间连线斜率的几何意义，逐一分析四个命题得结论． 【解答】∵ 点M(a, b)与点N(0, −1)在直线3x −4y +5＝0的两侧，∴ (3a −4b +5)(3×0+4+5)<0，即3a −4b +5<0，故①错误； 当a >0时，a +b >54，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误；设原点到直线3x −4y +5＝0的距离为d ，则d =22=2，则a 2+b 2>4，故③正确；当a >0且a ≠1时，b+1a−1表示点M(a, b)与P(1, −1)连线的斜率． ∵ 当a ＝0，b =54时，b+1a−1=54+1−1=−94，又直线3x −4y +5＝0的斜率为34， 故b+1a−1的取值范围为(−∞, −94)∪(34, +∞)，故④正确．∴ 正确命题的个数是2个．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1→、a 2→、a 3→、a 4→、a 5→；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为d 1→、d 2→、d 3→、d 4→、d 5→．若m 、M 分别为(a i →+a j →+a k →)⋅(d r →+d s →+d t →)的最小值、最大值，其中{i, j, k}⊆{1, 2, 3, 4, 5}，{r, s, t}⊆{1, 2, 3, 4, 5}，则m 、M 满足（ ）A.m ＝0，M >0B.m <0，M >0C.m <0，M ＝0D.m <0，M <0 【答案】 D【考点】进行简单的合情推理平面向量数量积的性质及其运算 【解析】本题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力． 【解答】解：由题意，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1→、a 2→、a 3→、a 4→、a 5→；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为d 1→、d 2→、d 3→、d 4→、d 5→，∴ 利用向量的数量积公式，可知只有AF →⋅DE →=AB →⋅DC →>0，其余数量积均小于等于0，∵ m 、M 分别为(a i →+a j →+a k →)⋅(d r →+d s →+d t →)的最小值、最大值，∴ m <0，M <0，故选D ．三.解答题已知直线l ：(2a +b)x +(a +b)y +a −b ＝0及点P(3, 4)．（1）证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标．（2）当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．【答案】直线l 方程可化为：a(2x +y +1)+b(x +y −1)＝0由{2x +y +1=0x +y −1=0，解得x ＝−2且y ＝3， ∴ 直线恒l 过定点A ，其坐标为(−2, 3)．∵ 直线恒l 过定点A(−2, 3)∴ 当点P 在直线l 上的射影点恰好是A 时，即PA ⊥l 时，点P 到直线l 的距离最大∵ PA 的斜率k PA =4−33+2=15∴ 直线l 的斜率k =−1k PA =−5由此可得点P 到直线l 的距离最大时，直线l 的方程为y −3＝−5(x +2)，即5x +y +7＝0．【考点】直线系方程点到直线的距离公式【解析】（1）直线l 方程化成a(2x +y +1)+b(x +y −1)＝0，再联解关于x 、y 的方程组{2x +y +1=0x +y −1=0，即可得到直线l 经过的定点坐标； （2）设直线l 经过的定点为A ，由平面几何知识，得到当PA ⊥l 时，点P 到直线l 的距离最大．因此算出直线PA 的斜率，再利用垂直直线斜率的关系算出直线l 的斜率，即可求出此时直线l 的方程．【解答】直线l 方程可化为：a(2x +y +1)+b(x +y −1)＝0由{2x +y +1=0x +y −1=0，解得x ＝−2且y ＝3， ∴ 直线恒l 过定点A ，其坐标为(−2, 3)．∵ 直线恒l 过定点A(−2, 3)∴ 当点P 在直线l 上的射影点恰好是A 时，即PA ⊥l 时，点P 到直线l 的距离最大∵ PA 的斜率k PA =4−33+2=15∴直线l的斜率k=−1k PA=−5由此可得点P到直线l的距离最大时，直线l的方程为y−3＝−5(x+2)，即5x+y+7＝0．如图所示，∠PAQ是某海湾旅游区的一角，其中∠PAQ＝120∘，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委员会决定在直线海岸AP和AQ上分别修建观光长廊AB和AC，其中AB是宽长廊，造价是800元/米；AC是窄长廊，造价是400元/米；两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC上靠近点B的三等分点D处建一个观光平台，并建水上直线通道AD（平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．（1）若规划在三角形ABC区域内开发水上游乐项目，要求△ABC的面积最大，那么AB 和AC的长度分别为多少米？（2）在（1）的条件下，建直线通道AD还需要多少钱？【答案】解：（1）设AB=x m，AC=y m，则800x+400y=1200000，即2x+y=3000，S△ABC=12xysin120=√34xy=√38⋅2x⋅y≤√38⋅(2x+y2)2=281250√3m3，当且仅当2x＝y，即x＝750m，y＝1500m时等号成立，∴△ABC的面积最大，那么AB和AC的长度分别为750米和1500米；（2）在（1）的条件下，AD=23AB→+13AC→，∴AD→2=49AB→2+49AB→⋅AC→+19AC→2=250000，∴|AD→|＝500，∴1000×500＝500000元，即建直线通道AD还需要50万元．【考点】解三角形【解析】（1）设AB＝xm，AC＝ym，则800x+400y＝1200000，即2x+y＝3000，表示面积，利用基本不等式，可得结论；（2）利用向量方法，求出AD，即可得出结论．【解答】解：（1）设AB=x m，AC=y m，则800x+400y=1200000，即2x+y=3000，S△ABC=12xysin120=√34xy=√38⋅2x⋅y≤√38⋅(2x+y2)2=281250√3m3，当且仅当2x＝y，即x＝750m，y＝1500m时等号成立，∴△ABC的面积最大，那么AB和AC的长度分别为750米和1500米；（2）在（1）的条件下，AD=23AB→+13AC→，∴ AD →2=49AB →2+49AB →⋅AC →+19AC →2=250000， ∴ |AD →|＝500，∴ 1000×500＝500000元，即建直线通道AD 还需要50万元．定义“矩阵”的一种运算[a b c d]⋅(x y )=(ax +by cx +dy )，该运算的意义为点(x, y)在矩阵的变换下成点(a b c d )．设矩阵A =(1√3 √3−1) （1）已知点P 在矩阵A 的变换后得到的点Q 的坐标为(√3,2)，试求点P 的坐标；（2）是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A 变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．【答案】设P(x, y)由题意，有{x +√3y =√3√3x −y =2 {x =34√3y =14 ， 即P 点的坐标为(34√3,14)．假设存在这样的直线，因为平行坐标轴的直线显然不满足条件，所以设直线方程为：y ＝kx +b(k ≠0)因为该直线上的任一点M(x, y)，经变换后得到的点N(x +√3y,√3x −y)仍在该直线上 所以√3x −y =k(x +√3y)+b即(√3−k)x −(1+√3k)y −b =0，其中y ＝kx +b(k ≠0)代入得(√3k 2+2k −√3)x +(2+√3k)b =0对任意的x ∈R 恒成立{√3k 2+2k −√3=0(2+√3k)b =0解之得{k =√33,−√3b =0故直线方程为y =√33x 或y =−√3x ． 【考点】几种特殊的矩阵变换【解析】（1）设P(x, y)，由题意，得出关于x ，y 的方程，解之即得P 点的坐标；（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的直线，设直线方程为：y ＝kx +b(k ≠0)，该直线上的任一点M(x, y)，经变换后得到的点N(x +√3y,√3x −y)仍在该直线上，再结合求方程的解即可求得k ，b 值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【解答】设P(x, y)由题意，有{x +√3y =√3√3x −y =2 {x =34√3y =14， 即P 点的坐标为(34√3,14)．假设存在这样的直线，因为平行坐标轴的直线显然不满足条件，所以设直线方程为：y ＝kx +b(k ≠0)因为该直线上的任一点M(x, y)，经变换后得到的点N(x +√3y,√3x −y)仍在该直线上 所以√3x −y =k(x +√3y)+b即(√3−k)x −(1+√3k)y −b =0，其中y ＝kx +b(k ≠0)代入得(√3k 2+2k −√3)x +(2+√3k)b =0对任意的x ∈R 恒成立{√3k 2+2k −√3=0(2+√3k)b =0解之得{k =√33,−√3b =0故直线方程为y =√33x 或y =−√3x ．小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P 、A 、B 三点共线，O 为直线外一点，且OP →=xOA →+yOB →时，x +y ＝1（如图1）第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答．（1）当x +y >1或x +y <1时，O 、P 两点的位置与AB 所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由（2）如图2，射线OM // AB ，点P 在由射线OM 、线段OA 及BA 的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且OP →=xOA →+yOB →，求实数x 的取值范围，并求当x =12时，实数y 的取值范围．（3）过O 作AB 的平行线，延长AO 、BO ，将平面分成如图3所示的六个区域，且OP →=xOA →+yOB →，请分别写出点P 在每个区域内运动（不含边界）时，实数x ，y 应满足的条件．（不必证明）【答案】由题意知，若x +y >1，则O 、P 异侧；若x +y <1，则O 、P 同侧；根据题意得，x >0；x =12时，数形结合得y ∈(−12,0)由题知Ⅰ：{y <0x +y >0 ；Ⅱ：{x >0y >0 ；Ⅲ：{x <0x +y >0 ；Ⅳ：{y >0x +y <0；Ⅴ：{x <0y <0 ；Ⅵ：{x >0x +y <0．【考点】平面向量的基本定理【解析】运用平面向量基本定理和三点共线的结论可解决此问题．【解答】由题意知，若x +y >1，则O 、P 异侧；若x +y <1，则O 、P 同侧； 根据题意得，x >0；x =12时，数形结合得y ∈(−12,0)由题知Ⅰ：{y <0x +y >0 ；Ⅱ：{x >0y >0 ；Ⅲ：{x <0x +y >0 ；Ⅳ：{y >0x +y <0 ；Ⅴ：{x <0y <0 ；Ⅵ：{x >0x +y <0 ．。
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题(解析版)
所以
，
所以
，
令 ，解得 ；
令 ，解得 ；
令 ，解得 ；
令 ，解得 ；
所以 的值不可能取所给的四个数值.
故选：A.
【点睛】思路点睛：
向量数量积的问题，在求解时，可根据向量向量积的运算法则，由转化法求出数量积；也可利用建系的方法，建立平面直角坐标系，得出所需向量的坐标，根据向量数量积的坐标表示求解.
【分析】
根据两圆相离，可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个．
【详解】解：因为两圆 ， 是相离的，
所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：
与两圆都内切的有1个，是以原点为圆心，即 ；
与两圆都外切的有2个，设切点为 ，则 ，
，
同理，利用圆与圆的圆心距和半径的关系可得：
与圆 外切于圆 内切的圆有2个；与圆 内切于圆 外切的圆有2个；
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线 、 ，它们与椭圆 分别交于点 、 、 、 ，且四边形 是菱形；
①求证：直线 、 关于原点对称；
②求出该菱形周长的最大值.
【答案】（1） ；（2）①证明见解析；②菱形周长的最大值为 .
【解析】
【分析】
（1）由已知可得关于 ， ， 的方程组，求得可得 ， 的值，则椭圆方程可求；
【答案】
【解析】
分析】
根据直线的斜率，分斜率为正和斜率为负两种情况考虑，结合倾斜角的范围，分别求解，即可的出结果.
【详解】因为直线的斜率 ，记该直线的倾斜角为 ，
所以当 时， ，因此倾斜角 ，
当 时， ，因此倾斜角 .
故答案为： .
3.若椭圆 的焦距是 ，则 ________
上海师范大学附属中学高二数学上学期期中试题含解析
,
动直线 ， 不全为零）化为： ,变形为 ，
令 ，解得 ．
动直线 过定点： ．
点 在以 为直径的圆上，
圆心为线段 的中点： ，半径 ．
线段 长度的最大值 ．
故答案 ： ．
【点睛】本题综合考查了直线系、等差数列的性质、圆的性质、点与圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
A。 存在唯一的实数δ，使点N在直线 上
B. 若 ，则过M,N两点的直线与直线l平行
C. 若 ，则直线经过线段M，N的中点；
D。 若 ,则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交;
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意对 一一分析，逐一验证。
【详解】解：对于 , 化为： ,即点 , 不在直线 上，因此 不正确．
【答案】（1) ， （2）
【解析】
【分析】
(1）对斜率存在与否分类讨论，利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；
（2)可先利用 可用 点到圆心的距离与半径来表示) ，求出 点的轨迹（求出后是一条直线），然后再将求 的最小值转化为求直线上的点到原点的距离 之最小值；
【详解】解:（1）圆
①切线过原点，且斜率存在
15.如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则 的最小值为 （ ）
A. B。 C. D。
【答案】A
【解析】
【详解】分析：由题意可得 为等腰三角形, 为等边三角形，把数量积 分拆，设 ，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。
详解：连接BD,取AD中点为O，可知 为等腰三角形，而 ，所以 为等边三角形， 。设
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）期中数学试卷试题数：18，总分：1001.（填空题，4分）已知直线l 过点P （2，3），它的一个方向向量为 d⃗ =（1，5），则直线l 的点方向式方程为___ ．2.（填空题，4分）若一条直线的斜率k∈（-1，1），则该直线的倾斜角的取值范围是___ ．3.（填空题，4分）若椭圆x 2+ y 2m =1的焦距是4，则m=___ ．4.（填空题，4分）已知 a ⃗ =（λ，2λ）， b ⃗⃗ =（3λ，2），如果 a ⃗ 与 b⃗⃗ 的夹角为锐角，则λ的取值范围是___ ．5.（填空题，4分）已知三角形的三边所在直线为x+y=-1，2x-y=1，2x+y=3，则三角形的外接圆方程为___ ．6.（填空题，4分）与两圆（x+2）2+y 2=1，（x-2）2+y 2=1都相切，且半径为3的圆一共有___ 个．7.（填空题，4分）在梯形ABCD 中，AD || BC ，E 、F 分别是AB ，CD 上的点，若EF || AD 且 AE AB = AD BC = 35 ，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ， DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗⃗ ，则 EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可用 a ⃗ ， b ⃗⃗ 表示为___ ． 8.（填空题，4分）手表的表面在一平面上，整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为 √22的圆周上，从整点i 到整点（i+1）的向量记作 t i t i+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 t 1t 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•t 2t 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+t 2t 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•t 3t 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+t 12t 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•t 1t 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．9.（填空题，4分）设实数x ，y 满足约束条件 {x ≥0y ≥x 4x +3y ≤12，则 x+2y+3x+1 取值范围是___ ． 10.（填空题，4分）已知非零向量 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，设 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1m+1 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + m m+1 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，定义点集A={F| FP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|FP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| }，若对于任意的m≥3，当F 1，F 2∈A 且不在直线PQ 上时，不等式| F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|≤k| PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |恒成立，则实数k 的最小值为___ ． 11.（单选题，4分）已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l 1：a 1x+b 1y+c 1=0，l 2：a 2x+b 2y+c 2=0，那么“ |a 1b 1a 2b 2| =0是“两直线l 1，l 2平行”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.（单选题，4分）P （x 1，y 1）是直线l ：f （x ，y ）=0上一点，Q （x 2，y 2）是l 外一点，则方程f （x ，y ）=f （x 1，y 1）+f （x 2，y 2）表示的直线（ ）A.与l 重合B.与l 相交于P 点C.过Q 点且与l 平行D.过Q 点且与l 相交13.（单选题，4分）已知 a ⃗⃗⃗⃗、 b ⃗⃗ 均为单位向量，且 a ⃗• b ⃗⃗=0 ．若 |c ⃗−4a ⃗|+|c ⃗−3b⃗⃗|=5 ，则 |c ⃗+a ⃗| 的取值范围是（ ）A. [3， √10]B.[3，5]C.[3，4]D. [√10， 5]14.（单选题，4分）若在边长为1的正三角形ABC 的边BC 上有n （n∈N *，n≥2）等分点，沿向量 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向依次为P 1，P 2，…，P n-1，记T n = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+AP n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若给出四个数值： ① 294 ② 9110 ③ 19718 ④ 23233 ，则T n 的值可能的共有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个15.（问答题，8分）设 a ⃗ ， b⃗⃗ 是两个不共线的非零向量． （1）记 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t b ⃗⃗ ， OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 （ a ⃗ + b⃗⃗ ），那么实数t 为何值时，ABC 三点共线？ （2）若| a ⃗ |=| b ⃗⃗ |=1且 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 夹角为120°，那么实数x 为何值时，| a ⃗ -x b⃗⃗ |的值最小？16.（问答题，12分）已知过原点的动直线l 与圆 C 1：x 2+y 2−6x +5=0 相交于不同的两点A ，B ．（1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得直线L ：y=k （x-4）与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．17.（问答题，12分）在平面直角坐标系中，定义d（A，B）=max{|x1-x2|，|y1-y2|}为两点A （x1，y1）、B（x2，y2）的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任一点称Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．（1）求证对任意三点A，B，C，都有d（A，C）+d（C，B）≥d（A，B）；（2）已知点P（3，1）和直线l：2x-y-1=0，求d（P，l）；（3）定点C（x0，y0），动点P（x，y）满足d（C，P）=r（r＞0），请求出P点所在的曲线所围成图形的面积．18.（问答题，12分）已知椭圆E：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0），它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形．求证：① 直线l1，l2关于原点对称；② 求出该菱形周长的最大值．2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：18，总分：1001.（填空题，4分）已知直线l 过点P （2，3），它的一个方向向量为 d⃗ =（1，5），则直线l 的点方向式方程为___ ．【正确答案】：[1] x−21 = y−35 【解析】：由直线的方向量，可得直线的斜率，根据直线的点斜式可得直线l 得方程．【解答】：解：由直线的方向量为 d⃗ =（1，5），可得直线的斜率k=5． 根据直线的点斜式可得，直线l 得方程为：x−21 = y−35． 故答案为：x−21 = y−35 ．【点评】：本题主要考查了利用直线方程的点斜率求解直线方程，属于基础试题．2.（填空题，4分）若一条直线的斜率k∈（-1，1），则该直线的倾斜角的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][0， π4 ）∪（ 3π4 ，π）【解析】：通过直线的斜率的范围，得到倾斜角的正切值的范围，然后求出α的范围．【解答】：解：直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若-1＜k ＜1，所以-1＜tanα＜1，所以α∈[0， π4 ）∪（ 3π4 ，π）．故答案为：[0， π4 ）∪（ 3π4 ，π）．【点评】：本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查计算能力．3.（填空题，4分）若椭圆x 2+ y 2m =1的焦距是4，则m=___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：由椭圆定义可知a ＞c=2，故焦点在y 轴上，可解．【解答】：解：由椭圆定义可知，2c=4，∴c=2，又a＞c，故焦点在y轴上∴m-1=22∴m=5故答案为：5【点评】：本题考查了椭圆的定义，焦点的位置，属于基础题．4.（填空题，4分）已知a⃗ =（λ，2λ），b⃗⃗ =（3λ，2），如果a⃗与b⃗⃗的夹角为锐角，则λ的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] λ＜−43或λ＞0且λ≠13【解析】：由题意可得a⃗•b⃗⃗＞0，去除向量同向的情形即可．【解答】：解：∵ a⃗与b⃗⃗的夹角为锐角，∴ a⃗•b⃗⃗=3λ2+4λ＞0，解得λ＜−43或λ＞0，当2λ=6λ2时两向量共线，解得λ=0或λ= 13，已知当λ= 13时，向量同向，不满足题意，∴λ的取值范围为：λ＜−43或λ＞0且λ≠13故答案为：λ＜−43或λ＞0且λ≠13【点评】：本题考查平面向量的数量积与向量的夹角，属基础题．5.（填空题，4分）已知三角形的三边所在直线为x+y=-1，2x-y=1，2x+y=3，则三角形的外接圆方程为___ ．【正确答案】：[1]x2+y2-7x+3y+2=0【解析】：先求出三角形三个顶点的坐标，再设三角形外接圆方程为 x2+y2+dx+ey+f=0，把三个顶点坐标代入，求出待定系数，可得三角形外接圆方程．【解答】：解：∵三角形的三边所在直线为x+y=-1，2x-y=1，2x+y=3，故三角形的三个顶点为（0，-1）、（1，1）、（4，-5），设三角形外接圆方程为 x2+y2+dx+ey+f=0，则 {0+1+0−e +f =01+1+d +e +f =016+25+4d −5e +f =0，求得 {d =−7e =3f =2 ，故三角形外接圆方程为 x 2+y 2-7x+3y+2=0， 故答案为：x 2+y 2-7x+3y+2=0．【点评】：本题主要考查用待定系数法求圆的一般方程，属于中档题．6.（填空题，4分）与两圆（x+2）2+y 2=1，（x-2）2+y 2=1都相切，且半径为3的圆一共有___ 个．【正确答案】：[1]7【解析】：根据两圆相离，可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个．【解答】：解：因为两圆O 1（x+2）2+y 2=1，O 2（x-2）2+y 2=1是相离的，所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都外切的有2个，与两圆都内切的有1个，与圆O 1 内切于圆O 2 外切的圆有2个，与圆O 1 外切于圆O 2 内切的圆有2个，共7个，方程分别为：x 2+y 2=9， x2+(y ±2√3)2=9 ， (x +32)2+(y ±√152)2=9 ， (x −32)2+(y ±√152)2=9 ，故答案为：7．【点评】：本题主要考查了圆与圆的位置关系，是基础题．7.（填空题，4分）在梯形ABCD 中，AD || BC ，E 、F 分别是AB ，CD 上的点，若EF || AD 且 AE AB = AD BC = 35，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ， DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗⃗ ，则 EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可用 a ⃗ ， b ⃗⃗ 表示为___ ． 【正确答案】：[1] 2110b ⃗⃗−2110a ⃗ 【解析】：作出图形，过点A 作DC 的平行线，利用相似，找到线段EG 与线段BH 的等量关系，进而利用向量表示．【解答】：解：过点A 作DC 的平行线交EF 于G ，交BC 于H ，如图所示：因为AD || BC ，EF || BC ，所以AD=GF=CH ，因为 AD BC =35 ，所以BC= 53 AD ，则BH=BC-CH= 53 AD-AD= 23 AD= 23 CH ，所以CH= 32 BH ，因为 AE AB =35 ，而EF || BC ，△AEG∽△ABH ，所以 AE AB =EG BH =35 ，所以EG= 35 BH ，所以EF=EG+GF= 35BH +32BH =2110BH ，又 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗ ， DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗ ，所以 BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗−a ⃗ ，所以 EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2110b ⃗⃗−2110a ⃗ ， 故答案为： 2110b ⃗⃗−2110a ⃗ ．【点评】：本题考查了向量的线性表示，三角形相似，比例线段，属于基础题．8.（填空题，4分）手表的表面在一平面上，整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为 √22 的圆周上，从整点i 到整点（i+1）的向量记作 t i t i+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 t 1t 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•t 2t 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+t 2t 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•t 3t 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+t 12t 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•t 1t 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1] 6√3−9【解析】：把圆分成12份，每一份所对应的圆心角是30度，用余弦定理计算出每个向量的模的平方都是 1−√32 ，而所求向量的夹角都是30度，求出其中一个数量积，乘以12个即得可到结果．【解答】：解：∵整点把圆分成12份，∴每一份所对应的圆心角是30度，连接相邻的两点组成等腰三角形底边平方为 1−√32 ，每对向量的夹角为30°， ∴每对向量的数量积为 (1−√32) cos30°= √32(1−√32) ， ∴最后结果为12× √32(1−√32) =6 √3 -9， 故答案为：6 √3 -9．【点评】：本题是向量数量积的运算，条件中没有直接给出两个向量的模和两向量的夹角，只是题目所要的向量要应用圆的性质来运算，把向量的数量积同解析几何问题结合在一起．9.（填空题，4分）设实数x ，y 满足约束条件 {x ≥0y ≥x 4x +3y ≤12，则 x+2y+3x+1 取值范围是___ ． 【正确答案】：[1][3，11]【解析】：根据分式的特点将分式转化为斜率形式，利用数形结合即可得到结论．【解答】：解：设z= x+2y+3x+1 = x+1+2(y+1)x+1 =1+2• y+1x+1 ， 设k= y+1x+1 ，则k 的几何意义为动点P （x ，y ）到定点D （-1，-1）的斜率．即z=1+2k ，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当P 位于直线OA 上，斜率k 最小为1，当P 位于B （0，4）时，斜率k 最大为 4+10+1 =5，即1≤k≤5，则3≤1+2k≤11，即 x+2y+3x+1 的取值范围是[3，11]， 故答案为：[3，11]．【点评】：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10.（填空题，4分）已知非零向量 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，设 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1m+1 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + m m+1 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，定义点集A={F| FP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|FP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| }，若对于任意的m≥3，当F 1，F 2∈A 且不在直线PQ 上时，不等式| F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|≤k| PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |恒成立，则实数k 的最小值为___ ． 【正确答案】：[1] 34【解析】：根据条件可得MF 平分∠PFQ ，故而F 到P 、Q 的距离比为m ，求出F 的轨迹，得出F 1F 2的最大值，得出k 关于m 恒成立的式子，利用单调性求出k 的最小值．【解答】：解：∵ OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1m+1 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + m m+1 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴P ，Q ，M 三点共线， ∵ FP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|FP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = FQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|FQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ，∴cos∠PFM=cos∠MFQ ， ∴FM 为∠PFQ 的角平分线．由 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1m+1 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + m m+1 OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得： MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = m m+1QP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ FP FQ =MP MQ =m ，以PQ 为x 轴，以PQ 的中垂线为y 轴建立平面坐标系，设PQ=2a （a ＞0），F （x ，y ），则（ FP FQ ）2= (x+a )2+y 2(x−a )2+y 2 =m 2，整理得：（x- a(m 2+1)m 2−1 ）2+y 2= 4m 2a 2(m 2−1)2 ，∴F 的轨迹是圆心为（a(m 2+1)m 2−1 ，0），半径为 2ma m 2−1的圆． ∴| F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤ 4ma m 2−1 ， ∴ 4ma m 2−1 ≤2ka ，即k≥ 2m m 2−1 =2m−1m 恒成立， 设f （m ）= 2m−1m （m≥3），则f （m ）在[3，+∞）上单调递减，∴f （m ）的最大值为f （3）= 34 ．∴k≥ 34 ．故答案为： 34 ．【点评】：本题考查向量共线定理的运用，考查向量的数量积的几何意义，以及角平分线的性质定理，同时考查函数的单调性的运用，属于难题．11.（单选题，4分）已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l 1：a 1x+b 1y+c 1=0，l 2：a 2x+b 2y+c 2=0，那么“ |a 1b 1a 2b 2| =0是“两直线l 1，l 2平行”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：两条直线平行时，一定可以得到a 1b 2-a 2b 1=0成立，反过来不一定成立，由此确定两者之间的关系【解答】：解：若“ |a 1b 1a 2b 2| =0则a 1b 2-a 2b 1=0，若a 1c 2-a 2c 1=0，则l 1不平行于l 2， 若“l 1 || l 2”，则a 1b 2-a 2b 1=0，∴ |a 1b 1a 2b 2| =0， 故“ |a 1b 1a 2b 2| =0是“两直线l 1，l 2平行的必要不充分条件， 故选：B ．【点评】：本题重点考查四种条件的判定，解题的关键是理解行列式的定义，掌握两条直线平行的条件．12.（单选题，4分）P （x 1，y 1）是直线l ：f （x ，y ）=0上一点，Q （x 2，y 2）是l 外一点，则方程f （x ，y ）=f （x 1，y 1）+f （x 2，y 2）表示的直线（ ）A.与l 重合B.与l 相交于P 点C.过Q 点且与l 平行D.过Q 点且与l 相交【正确答案】：C【解析】：由题意有可得 f （x 1，y 1）=0，f （x 2，y 2）≠0，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论．【解答】：解：由题意有可得 f （x 1，y 1）=0，f （x 2，y 2）≠0，则方程f （x ，y ）-f （x 1，y 1）-f （x 2，y 2）=0即f （x ，y ）-f （x 2，y 2）=0，它与直线l ：f （x ，y ）=0的一次项系数相等，但常数项不相等， 故f （x ，y ）-f （x 2，y 2）=0表示过Q 点且与l 平行的直线，故选：C．【点评】：本题考查两直线平行的条件，利用了当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行．13.（单选题，4分）已知a ⃗⃗⃗⃗、 b⃗⃗均为单位向量，且a⃗• b⃗⃗=0．若|c⃗−4a⃗|+|c⃗−3b⃗⃗|=5，则|c⃗+a⃗|的取值范围是（）A. [3， √10]B.[3，5]C.[3，4]D. [√10， 5]【正确答案】：B【解析】：由题意建立平面直角坐标系，得到a ⃗⃗⃗⃗、 b⃗⃗的坐标，设出c⃗的坐标，代入|c⃗−4a⃗|+|c⃗−3b⃗⃗|=5，由其几何意义可得c⃗的终点的轨迹，再由|c⃗+a⃗|的几何意义求得取值范围．【解答】：解：∵ a ⃗⃗⃗⃗、 b⃗⃗均为单位向量，且a⃗• b⃗⃗=0．∴设a⃗=(1，0)，b⃗⃗=(0，1)，再设c⃗=(x，y)，代入|c⃗−4a⃗|+|c⃗−3b⃗⃗|=5，得√(x−4)2+y2+√x2+(y−3)2=5．即（x，y）到A（4，0）和B（0，3）的距离和为5，∴ c⃗的终点轨迹是点（4，0）和（0，3）之间的线段，|c⃗+a⃗| = √(x+1)2+y2，表示M（-1，0）到线段AB上点的距离，最小值是点（-1，0）到直线3x+4y-12=0的距离．∴ |c⃗+a⃗|min = |−3−12|=3．5最大值为|MA|=5．∴ |c⃗+a⃗|的取值范围是[3，5]．故选：B．【点评】：本题考查了向量的坐标运算、两点之间的距离公式，点到直线的距离等，关键是利用坐标法解答，属中档题．14.（单选题，4分）若在边长为1的正三角形ABC 的边BC 上有n （n∈N *，n≥2）等分点，沿向量 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向依次为P 1，P 2，…，P n-1，记T n = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⋯+AP n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若给出四个数值： ① 294 ② 9110 ③ 19718 ④ 23233 ，则T n 的值可能的共有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个【正确答案】：A【解析】：计算 AP k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AP k+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得出T n 关于n 的函数，分别令T n 与给出的4个数值相等，根据方程有无大于1的正整数解即可作出判断．【解答】：解： AP k ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AP k+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +k BP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•[ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（k+1） BP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]= AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 +k （k+1） BP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+（2k+1） AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1+ k 2+k n 2 - 2k+12n （k=1，2，……，n-1）， ∴T n = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+ AP n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）+（n-1）+12+22+32+⋯+(n−1)2n 2 + 1+2+3+⋯+(n−1)n 2 - 3+5+7+⋯+(2n−1)2n=1- 12n +（n-1）+ (n−1)(2n−1)6n + n−12n - (n+1)(n−1)2n= 5n 2−26n （n∈N *，n≥2）． 令 5n 2−26n = 294 ，即10n 2-87n-4=0，方程无整数解，不合题意，令 5n 2−26n = 9110，即25n 2-273n-10=0，方程无整数解，不合题意， 5n 2−26n = 19718 ，即15n 2-197n-6=0，方程无整数解，不合题意，5n 2−26n = 23233，即55n 2-464n-22=0，方程无整数解，不合题意．故选：A ．【点评】：本题考查平面向量的数量积运算，考查等差数列求和，考查方程根的情况判断，属于中档题．15.（问答题，8分）设 a ⃗ ， b⃗⃗ 是两个不共线的非零向量． （1）记 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t b ⃗⃗ ， OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13（ a ⃗ + b ⃗⃗ ），那么实数t 为何值时，ABC 三点共线？ （2）若| a ⃗ |=| b ⃗⃗ |=1且 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 夹角为120°，那么实数x 为何值时，| a ⃗ -x b⃗⃗ |的值最小？【正确答案】：【解析】：（1）由三点A ，B ，C 共线，必存在一个常数t 使得 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λBC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由此等式建立起关于λ，t 的方程求出t 的值；（2）由题设条件，可以 |a ⃗−xb⃗⃗| 表示成关于实数x 的函数，根据所得的函数判断出它取出最小值时的x 的值．【解答】：解：（1）由三点A ，B ，C 共线，必存在一个常数t 使得 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λBC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)又 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=tb ⃗⃗，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(a ⃗+b ⃗⃗) ∴ tb ⃗⃗−a ⃗ = 13λ(a ⃗+b ⃗⃗)−λtb ⃗⃗ ，又 a ⃗ 、 b ⃗⃗ 是两个不共线的非零向量 ∴ {t +λt −13λ=013λ=−1 解得 {λ=−3t =12 故存在 t =12 时，A 、B 、C 三点共线（2）∵ |a ⃗|=|b ⃗⃗|=1 且 a ⃗，b ⃗⃗ 两向量的夹角是120°∴ |a ⃗−xb ⃗⃗|2= a ⃗2−2xa ⃗•b ⃗⃗+x 2b ⃗⃗2 =1+x+x 2=（x+ 12 ）2+ 34∴当x=- 12 时， |a ⃗−xb ⃗⃗| 的值最小为 √32【点评】：本题考查平面向量的综合题，解题的关键是熟练掌握向量共线的坐标表示，向量的模的坐标表示，理解题设条件，正确转化．本题把三点共线转化为了向量共线，将模的最小值求参数的问题转化为求函数的最小值，解题时要注意恰当地运用转化、化归这一数学思想16.（问答题，12分）已知过原点的动直线l 与圆 C 1：x 2+y 2−6x +5=0 相交于不同的两点A ，B ．（1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得直线L ：y=k （x-4）与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设M （x ，y ），由条件可知C 1M⊥AB ，从而得到 k C 1M •k AB =−1 ，然后求出M 的轨迹，再根据条件求出x 的取值范围；（2）通过联立直线L 与圆C 1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】：解：（1）圆 C 1：x 2+y 2−6x +5=0⇒(x −3)2+y 2=4 ，∴圆心坐标为（3，0），设M （x ，y ），则可知C 1M⊥AB ，∴ k C 1M •k AB =−1⇒y x−3•yx =−1 ，整理可得： (x −32)2+y 2=94， 当动直线与圆相切时，设直线方程：y=kx ，则 {x 2+y 2−6x +5=0y =kx⇒(k 2+1)x 2−6x +5=0 ， ∴ △=36−20(k 2+1)=0⇒k 2=45，∴切点的横坐标为 x =12•6k 2+1=53 ，由圆的性质可得M横坐标的取值范围为(53，3]，所以轨迹方程为(x−32)2+y2= 94，x∈（53，3]．（2）由（1）可得曲线C为圆(x−32)2+y2=94，x∈(53，3]的一部分圆弧EF（不包括E，F），其中E(53，2√53)，F(53，−2√53)，直线L：y=k（x-4）过定点（4，0），① 当直线与圆相切时：d C−l=|52k|√k2+1=32⇒k=±34，② 当直线与圆不相切时，可得k DE=0−2√5 34−53=−2√57，k DF=0−(−2√53)4−53=2√57，数形结合可得：当k∈[−2√57，2√57]时，直线与圆有一个交点，综上所述：k∈[−2√57，2√57]∪{34，−34}时，直线L与曲线C只有一个交点．【点评】：本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于中档题．17.（问答题，12分）在平面直角坐标系中，定义d（A，B）=max{|x1-x2|，|y1-y2|}为两点A （x1，y1）、B（x2，y2）的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任一点称Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．（1）求证对任意三点A，B，C，都有d（A，C）+d（C，B）≥d（A，B）；（2）已知点P（3，1）和直线l：2x-y-1=0，求d（P，l）；（3）定点C（x0，y0），动点P（x，y）满足d（C，P）=r（r＞0），请求出P点所在的曲线所围成图形的面积．【正确答案】：【解析】：（1）利用新定义，证明A，B，C三点间的“切比雪夫距离”，满足的不等式即可；（2）设点Q是直线y=2x-1上一点，且Q（x，2x-1），可得d（P，Q）=max{|x-3|，|2-2x|}，讨论|x-3|，|2-2x|的大小，可得距离d，再由函数的性质，求得最小值；（3）运用新定义，求得点的轨迹图形，计算图形的面积即可．【解答】：（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），d（A，C）+d（C，B）=max{|x1-x3|，|y1-y3|}+max{|x3-x2|，|y3-y2|}≥|x1-x3|+|x3-x2|≥|x1-x2|；同理可得d（A，C）+d（C，B）≥|y1-y2|；所以，d（A，C）+d（C，B）≥max{|x1-x2|，|y1-y2|}=d（A，B）；（2）解：设点Q（x，2x-1）为直线l：2x-y-1=0上一点，则d（P，Q）=max{|x-3|，|2x-2|}；由|x-3|≥|2-2x|，解得-1≤x≤ 53，即有d（P，Q）=|x-3|，当x= 53时，取得最小值43；由|x-3|＜|2-2x|，解得x＞53或x＜-1，即有d（P，Q）=|2x-2|，d（P，Q）的范围是（3，+∞）∪（43，+∞）=（43，+∞），无最值，综上可得，P，Q两点的最小值为43，所以d（P，l）= 43；（3）解：设轨迹上动点为P（x，y），则d（C，P）=max{|x-x0|，|y-y0|}=r，等价于{|x−x0|=r|y−y0|≤|x−x0|，或{|x−x0|≤|y−y0||y−y0|=r；所以点P（x，y）的轨迹是以C（x0，y0）为中心，边长为2r的正方形，所以P点所在的曲线所围成图形的面积为4r2．【点评】：本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题也是易错题．18.（问答题，12分）已知椭圆E：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0），它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形．求证：① 直线l1，l2关于原点对称；② 求出该菱形周长的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知可得关于a ，b ，c 的方程组，求得可得a ，b 的值，则椭圆方程可求；（2） ① 设l 1 的方程为y=kx+m 1，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），设l 2的方程为y=kx+m 2，M （x 3，y 3），N （x 4，y 4），分别联立直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求得|CD|与|MN|，由四边形CDMN 是菱形，得|CD|=|MN|，得到 m 12=m 22 ，进一步可得m 1=-m 2，说明直线l 1，l 2关于原点对称；② 由题意可得 {x 3=−x 1y 3=−y 1 且 {x 4=−x 2y 4=−y 2，则 MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2x 1，2y 1) ， MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2x 2，2y 2) ，结合四边形CDMN 是菱形，得 MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•ND⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，由数量积的坐标运算可得 3m 12−2k 2−2=0 ，设菱形CDMN 的周长为l ，得l=4|CD|，整理后利用基本不等式求最值．【解答】：（1）解：由题意可知， {b =ca 2=b 2+c 2a 2=2，得a 2=1，b 2=c 2=1．∴椭圆E 的标准方程为 x 22+y 2=1 ；（2） ① 证明：设l 1 的方程为y=kx+m 1，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），设l 2的方程为y=kx+m 2，M （x 3，y 3），N （x 4，y 4），联立 {y =kx +m 1x 2+2y 2=2，得 (1+2k 2)x 2+4km 1x +2m 12−2 ， 由△= 16k 2m 12−4(1+2k 2)(2m 12−2) ＞0，得 2k 2+1−m 12 ＞0（*），x 1+x 2=−4km 11+2k 2 ， x 1x 2=2m 12−21+2k 2 ， |CD|= √1+k 2•|x 1−x 2|=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2= √1+k 2•√(−4km 11+2k 2)2−4•2m 12−21+2k 2 = √1+k 2•2√2•√1+2k 2−m 121+2k 2； 同理|MN|= √1+k 2•2√2•√1+2k 2−m 221+2k 2， ∵四边形CDMN 是菱形，∴|CD|=|MN|，∴ m 12=m 22 ，又∵m 1≠m 2，∴m 1=-m 2，可得直线l 1，l 2关于原点对称；② ∵椭圆关于原点对称，∴C ，M 关于原点对称，D ，N 关于原点对称，∴ {x 3=−x 1y 3=−y 1 且 {x 4=−x 2y 4=−y 2， MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2x 1，2y 1) ， MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2x 2，2y 2) ， ∵四边形CDMN 是菱形，∴ MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•ND⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ， ∴x 1x 2+y 1y 2=0，即 (1+k 2)x 1x 2+km 1(x 1+x 2)+m 12=0 ，∴ (1+k2)•2m12−21+2k2+km1•(−4km11+2k2)+m12=0，化简得：3m12−2k2−2=0．设菱形CDMN的周长为l，则l=4|CD|= 8√2•√1+2k 2•√2k2+1−m121+2k2 = 8•√33√2+2k2•√1+4k21+2k2≤8√33•12(2+2k2+1+4k2)1+2k2=4√3．当且仅当2+2k2=1+4k2，即k2=12时取等号，此时m12=1，满足（*）．∴菱形周长的最大值为4√3．【点评】：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．。