第十四章整式的乘法与因式分解小结与复习

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(人教版)杭州八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》知识点复习

一、选择题1．如果多项式()2y a +与多项式()5y -的乘积中不含y 的一次项，则a 的值为（）A ．52-B ．52C ．5D ．-5B解析：B 【分析】把多项式的乘积展开，合并同类项，令含y 的一次项的系数为0，可求出a 的值．【详解】()2y a +()5y -=5y-y 2+10a-2ay=-y 2+(5-2a)y+10a ，∵多项式()2y a +与多项式()5y -的乘积中不含y 的一次项，∴5-2a=0，∴a=52．故选B ．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于将多项式的乘积展开，令含y 的一次项的系数为0，得到关于a 的方程．2．如表，已知表格中竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则m +n ＝（）A ．1B ．2C ．5D ．7D 解析：D【分析】由题意竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则有m ﹣3+4﹣（m +3）＝﹣3+1+n ﹣（4+1），即可解出n ＝5，从而求出m 值即可．【详解】解：由题意得竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则有m ﹣3+4﹣（m +3）＝﹣3+1+n ﹣（4+1），整理得n ＝5，则有m ﹣3+4＝﹣3+1+5，解得m ＝2，∴m +n ＝5+2＝7，故选：D ．【点睛】此题主要考查列一元一次方程解决实际问题，理解题意，找出等量关系是解题关键． 3．已3,2x y a a ==，那么23x y a +=（）A ．10B ．15C ．72D ．与x ，y 有关C 解析：C【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解即可.【详解】a 2x+3y =(a x )2(a y )3=32⨯23=9⨯8=72，故选：C【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解答此题的关键. 4．下列运算正确．．的是（） A ．246x x x ⋅=B ．246()x x =C ．3362x x x +=D ．33(2)6x x -=- A 解析：A【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项进行判断即可．【详解】A 选项246x x x ⋅=，选项正确，故符合题意；B 选项248()x x =，选项错误，故不符合题意；C 选项3332x x x +=，选项错误，故不符合题意；D 选项33(2)8x x -=-，选项错误，故不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项，属于基础题，熟练掌握这些计算公式和方法是解决本题的关键．5．若关于x 的方程250x a b ++=的解是3x =-，则代数式6210a b --的值为（） A ．6-B ．0C ．12D ．18A 解析：A【分析】将方程的解代回方程得56a b +=，再整体代入代数式求值即可．【详解】解：把3x =-代入原方程得650a b -++=，即56a b +=，则()62106256126a b a b --=-+=-=-．故选：A ．【点睛】本题考查代数式求值和方程解的定义，解题的关键是掌握方程解的定义，以及利用整体代入的思想求值．6．如图，对一个正方形进行了分割，通过面积相等可以证明下列哪个式子（）A ．22()()x y x y x y -=-+B ．222()2x y x xy y +=++C ．222()2x y x xy y -=-+D ．22()()4x y x y xy +=-+ B解析：B【分析】观察图形的面积，从整体看怎么表示，再从分部分来看怎么表示，两者相等，即可得答案．【详解】解：图中大正方形的边长为：x y +，其面积可以表示为：2()x y + 分部分来看：左下角正方形面积为2x ，右上角正方形面积为2y ，其余两个长方形的面积均为xy ，各部分面积相加得：222x xy y ++， 222()2x y x xy y ∴+=++故选：B ．【点睛】本题考查了乘法公式的几何背景，明确几何图形面积的表达方式，熟练掌握相关乘法公式，是解题的关键．7．下列计算一定正确的是（）A ．235a b ab +=B ．()235610a b a b -=C ．623a a a ÷=D ．()222a b a b +=+ B解析：B【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及完全平方公式解答即可．【详解】A 、2a 与3b 不是同类项，故不能合并，故选项A 不合题意；B 、（-a 3b 5）2=a 6b 10，故选项B 符合题意；C 、a 6÷a 2=a 4，故选项C 不符合题意；D 、（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，故选项D 不合题意．故选B ．【点睛】本题主要考查了幂的运算性质、合并同类项的法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．8．数151025N =⨯是（）A ．10位数B ．11位数C ．12位数D ．13位数C解析：C【分析】利用同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，将原数改写变形即可得出结论．【详解】 ()1015105101051011252252253210 3.210N =⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯=⨯，∴N 是12位数，故选：C ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算的应用，灵活运用基本运算法则对原式变形是解题关键．9．若|a |=13，b|=7，且a +b>0，则a -b 的值是( )．A ．6或20B ．20 或-20C ．6或-6D ．-6或20A 解析：A【分析】先求出a b ，的值，根据条件+a b >0，确定=13a ，b=7±，分类代入-a b 求值即可．【详解】|a |=13，=13a ±，|b|=7，b=7±，∵+a b >0，∴=13a ，b=7±，当=13a ，b=7时，=1376a b --=，当=13a ，7b =-时，=13+720a b -=，则6a b -=或20．故选择：A ．【点睛】本题考查条件限定求值问题，会根据限定条件求出字母的值，掌握分类思想求代数式的值是解题关键．10．已知21102x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，则代数式2xy−（x ＋y ）2=（） A ．34 B ．54- C ．12- D ．54B 解析：B【分析】直接利用非负数的性质得出x ，y 的值，进而代入得出答案．【详解】∵|x ＋1|＋（y−12）2＝0， ∴x ＋1＝0，y−12＝0，解得：x ＝−1，y ＝12， ∵2xy−（x ＋y ）2＝2xy−x 2−y 2−2xy ＝−x 2−y 2，∴当x ＝−1，y ＝12时，原式＝−（−1）2−（12）2＝−1−14＝−54．故选：B ．【点睛】此题主要考查了非负数的性质，和完全平方公式，正确得出x ，y 的值是解题关键．二、填空题11．计算：248(21)(21)(21)(21)1+++++=___________．216【分析】在原来的算式前面乘上(2-1)根据平方差公式进行计算即可求解【详解】原式======216故答案是：216【点睛】本题主要考查有理数的运算掌握平方差公式是解题的关键解析：216【分析】在原来的算式前面乘上(2-1)，根据平方差公式，进行计算，即可求解．【详解】原式=248(21)(21)(21)(21)(21)1-+++++=2248(21)(21)(21)(21)1-++++=448(21)(21)(21)1-+++=88(21)(21)1-++=16(21)1-+=216．故答案是：216．【点睛】本题主要考查有理数的运算，掌握平方差公式，是解题的关键．12．若已知x +y ＝﹣3，xy ＝4，则3x +3y ﹣4xy 的值为_____．﹣25【分析】将3x+3y ﹣4xy 变形为3（x+y ）﹣4xy 再整体代入求值即可【详解】解：∵x+y ＝﹣3xy ＝4∴3x+3y ﹣4xy ＝3（x+y ）﹣4xy ＝3×（﹣3）﹣4×4＝﹣9﹣16＝﹣25故解析：﹣25【分析】将3x +3y ﹣4xy 变形为3（x +y ）﹣4xy ，再整体代入求值即可．【详解】解：∵x +y ＝﹣3，xy ＝4，∴3x +3y ﹣4xy ＝3（x +y ）﹣4xy ＝3×（﹣3）﹣4×4＝﹣9﹣16＝﹣25，故答案为：﹣25．【点睛】此题考查已知式子的值求代数式的值，将代数式变形为已知式子的形式是解题的关键． 13．若2a 与()23b +互为相反数，则2-=b a ______．-8【分析】根据题意得到+=0根据绝对值的非负性及偶次方的非负性求出a=2b=-3代入2b-a 计算即可【详解】由题意得：+=0∵00∴a-2=0b+3=0∴a=2b=-3∴2b-a=-6-2=8故答解析：-8【分析】根据题意得到2a +2(3)b +=0，根据绝对值的非负性及偶次方的非负性求出a=2，b=-3，代入2b-a 计算即可．【详解】由题意得：2a +2(3)b +=0∵2a ≥0，2(3)b +≥0，∴a-2=0，b+3=0，∴a=2，b=-3，∴2b-a=-6-2=8，故答案为：-8．【点睛】此题考查相反数的定义，绝对值的非负性及偶次方的非负性，求代数式的值，根据绝对值的非负性及偶次方的非负性求出a 和b 的值是解题的关键．14．如图是一块长方形ABCD 的场地，长AB a 米，宽AD b 米，从A 、B 两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处的路宽是2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为________2m ．【分析】可以将草坪拼成一块完整的长方形分别表示出它的长和宽即可求出面积【详解】解：可以将草坪拼成一块完整的长方形这个长方形的长是：米宽是：米∴草坪的面积是：（平方米）故答案是：【点睛】本题考查多项式解析：22ab a b --+【分析】可以将草坪拼成一块完整的长方形，分别表示出它的长和宽即可求出面积．【详解】解：可以将草坪拼成一块完整的长方形，这个长方形的长是：112a a --=-米，宽是：1b -米，∴草坪的面积是：()()2122a b ab a b --=--+（平方米）．故答案是：22ab a b --+．【点睛】本题考查多项式的乘法和图形的平移，解题的关键是通过平移的方法将不规则的图形拼成规则图形进行求解．15．已知香蕉，苹果，梨的价格分别为a ，b ，c （单位：元/千克）、用20元正好可以买三种水果各1千克：买1千克香蕉，2千克苹果，3千克梨正好花去42元，若买b 千克香需w 元，则w =___________．（结果用含c 的代数式表示）【分析】根据题意得：通过计算得到b 和c 的关系式；再将b 和c 的关系式代入到得a 和c 的关系式经计算即可得到答案【详解】根据题意得：∴∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查了三元一次方程组整式运算的知识；解题的解析：222644c c -+-【分析】根据题意得：20a b c ++=，2342a b c ++=，通过计算得到b 和c 的关系式；再将b 和c 的关系式代入到20a b c ++=，得a 和c 的关系式，经计算即可得到答案．【详解】根据题意得：20a b c ++=，2342a b c ++=∴204223a b c b c =--=--∴222b c =-∴20202222a b c c c c =--=-+-=-∴()()2222222644w a b c c c c =⨯=--=-+- 故答案为：222644c c -+-．【点睛】本题考查了三元一次方程组、整式运算的知识；解题的关键是熟练掌握三元一次方程组、整式乘法运算的性质，从而完成求解．16．要使()()22524x x x mx -+--的展开式中不含2x 项，则m 的值是______．-6【分析】结合题意根据整式乘法的性质计算即可得到答案【详解】∵的展开式中不含项∴∴∴故答案为：-6【点睛】本题考查了整式的知识；解题的关键是熟练掌握整式乘法的性质从而完成求解解析：-6【分析】结合题意，根据整式乘法的性质计算，即可得到答案．【详解】∵()()22524x x x mx -+--的展开式中不含2x 项∴()224520x x mx x ⨯-+⨯+⨯= ∴4100m -++=∴6m =-故答案为：-6．【点睛】本题考查了整式的知识；解题的关键是熟练掌握整式乘法的性质，从而完成求解． 17．计算：32(2)a b -＝________．【分析】积的乘方等于积中每个因式分别乘方再把所得的幂相乘根据法则计算即可【详解】=故答案为：【点睛】此题考查积的乘方：等于积中每个因式分别乘方再把所得的幂相乘解析：624a b【分析】积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，根据法则计算即可．【详解】32(2)a b -=624a b ，故答案为：624a b ．【点睛】此题考查积的乘方：等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．18．下列说法：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上依据的是“两点之间，线段最短”；②若2210m m +-=，则2425m m ++的值为7；③若a b >，则a 的倒数小于b 的倒数；④在直线上取A 、B 、C 三点，若5cm AB =，2cm BC =，则7cm AC =．其中正确的说法有________（填号即可）．②【分析】①用两个钉子可以把木条固定的依据是两点确定一条直线；②利用整体代换的思想可以求出代数式的值；③根据倒数的定义举出反例即可；④直线上ABC 三点的位置关系要画图分情况讨论【详解】①用两个钉子可解析：②【分析】①用两个钉子可以把木条固定的依据是“两点确定一条直线”；②利用“整体代换”的思想，可以求出代数式的值；③根据倒数的定义，举出反例即可；④直线上A 、B 、C 三点的位置关系，要画图，分情况讨论．【详解】①用两个钉子可以把木条固定的依据是“两点确定一条直线”，故①错误；②∵2210m m +-=，∴()2242522172077m m m m ++=+-+=⨯+=，故②正确；③∵a ＞b ，取a=1，b=－1， ∴11a =，11b=-，11a b >，故③错误； ④当点C 位于线段AB 上时，AC=AB －BC=5－2=3cm ；当点C 位于线段AB 的延长线上时，AC=AB+BC=5+2=7cm ，则AC 的长为3cm 或7cm ，故④错误；综上可知，答案为：②．【点睛】本题考查了两点确定一条直线、整体代换思想、求代数式的值、倒数的有关计算及数形结合法求线段的长度，综合性较强，需要学生熟练掌握相关的知识点．19．若方程22(1)8m x mx x --+=是关于x 的一元一次方程，则代数式2008|1|m m --的值为________．1【分析】根据一元一次方程的定义可求出m 的值在将m 代入代数式计算即可【详解】原方程可整理为根据题意可知且所以所以故答案为：1【点睛】本题考查一元一次方程的定义以及代数式求值利用一元一次方程的定义求出解析：1【分析】根据一元一次方程的定义，可求出m 的值．在将m 代入代数式计算即可．【详解】原方程可整理为22(1)(1)80m x m x --++=．根据题意可知210m -=且10m +≠，所以1m =．所以2008200811111m m --=--=．故答案为：1．【点睛】本题考查一元一次方程的定义以及代数式求值．利用一元一次方程的定义求出m 的值是解答本题的关键．20．分解因式：2a 2﹣8＝______．2（a+2）（a-2）【分析】先提取公因式2再对余下的多项式利用平方差公式继续分解【详解】解：2a2-8=2（a2-4）=2（a+2）（a-2）故答案为：2（a+2）（a-2）【点睛】本题考查了用提解析：2（a+2）（a-2）【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【详解】解：2a 2-8，=2（a 2-4），=2（a+2）（a-2）．故答案为：2（a+2）（a-2）．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．三、解答题21．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如下图是2021年1月份的日历，我们任意用一个22⨯的方框框出4个数，将其中4个位置上的数两两交叉相乘，再用较大的数减去较小的数，你发现了什么规律？（1）图中方框框出的四个数，按照题目所说的计算规律，结果为______．（2）换一个位置试一下，是否有同样的规律？如果有，请你利用整式的运算对你发现的规律加以证明；如果没有，请说明理由．解析：（1）7；（2）有同样的规律，(a+1)(a+7)-a(a+8)=7，理由见解析【分析】（1）根据题意列出算式11×5-4×12，再进一步计算即可；（2）如换为3，4，10，11，按要求计算即可；设方框框出的四个数分别为a，a+1，a+7，a+8，列出算式(a+1)(a+7)-a(a+8)，再进一步计算即可得．【详解】（1）11×5-4×12=55-48=7，故答案为：7；（2）换为3，4，10，11，则10×4-3×11=40-33=7；设方框框出的四个数分别为a，a+1，a+7，a+8，则(a+1)(a+7)-a(a+8)=a2+7a+a+7-a2-8a=7．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，并熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．22．阅读材料：把形2++的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫ax bx c配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即()2222a ab b a b ±+=±．请根据阅读材料解决下列问题：（1）填空：244a a -+=__________．（2）先化简，再求值：()()()33242a b a b a b ab ab +-+-÷，其中a b 、满足2226100a a b b ++-+=．（3）若a b c 、、分别是ABC ∆的三边，且222426240a b c ab b c ++---+=，试判断ABC ∆的形状，并说明理由．解析：（1）()22a -；（2）25-；（3）△ABC 为等边三角形，理由见解析．【分析】（1）根据完全平方公式即可因式分解；（2）先将原式化成最简式，然后将2226100a a b b ++-+=，分成两个完全平方公式的形式，根据非负数的性质求出a 、b 的值，代入最简式中计算即可；（3）将已知等式化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质求解即可．【详解】解：（1）∵()22442a a a -+=-，故答案为：()22a -；（2）()()()33242a b a b a b ab ab +-+-÷=()2222222a b ab a b ab -+-÷=222222223a b a b a b -+-=-∵2226100a a b b ++-+=，∴()()22130a b ++-=， ∴13a b =-=，，把13a b =-=，代入上式得：()222223213322725a b -=⨯--⨯=-=-；（3）△ABC 为等边三角形，理由如下：∵222426240a b c ab b c ++---+=，∴()()()2221310a b c b -+-+-=， ∴01010a b c b -=-=-=，，，∴1a b c ===，∴△ABC 为等边三角形．【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的特点与非负数的应用．23．所谓完全平方式，就是对一个整式M ，如果存在另一个整式N ，使2M N =，则称M 是完全平方式，如：422()x x =、222)2(x xy y x y =+++，则称4x 、222x xy y++是完全平方式．（1）下列各式中是完全平方式的编号有．①2244a a b ++；②24x ；③22x xy y -+； ④21025y y --；⑤21236x x ++；⑥2124949a a -+ （2）已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边长，满足22222()a b c c a b ++=+，判定ABC ∆的形状．（3）证明：多项式2(4)(8)64x x x +++是一个完全平方式．解析：（1）②⑤⑥；（2）ABC ∆是等边三角形；（3）见详解【分析】（1）根据完全平方公式的结构特征和完全平方式的定义，逐一判断即可；（2）把等式右边的代数式移到左边，再利用完全平方公式写成平方和的形式，从而即可得到a ，b ，c 的关系，进而即可得到结论；（3）利用完全平方公式进行因式分解，把原式写成一个整式的平方的形式，即可得到结论．【详解】（1）②24x =2(2)x ；⑤21236x x ++=2(6)x +；⑥2124949a a -+=21(7)7a -是完全平方式，①2244a a b ++；③22x xy y -+； ④21025y y --不是完全平方式，各式中完全平方式的编号有②⑤⑥，故答案为：②⑤⑥；（2）∵22222()a b c c a b ++=+，∴()()2222220a ac cb bc c -++-+=， ∴()()220a c b c -+-=，∴a-c=0且b-c=0，∴a=b=c ，∴ABC ∆是等边三角形；（3）∵原式=2(8)(4)64x x x +++=22(8)(816)64x x x x ++++=222(8)16(8)64x x x x ++++=22(8)8x x ⎡⎤++⎣⎦ =()2288x x ++，∴多项式2(4)(8)64x x x +++是一个完全平方式．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．24．某园林公司现有A 、B 两个区，已知A 园区为长方形，长为()x y +米，宽为()x y -米；B 园区为正方形，边长为(3)x y +米．（1）请用代数式表示A 、B 两园区的面积之和并化简；（2）现根据实际需要对A 园区进行整改，长增加(11)x y -米，宽减少(2)x y -米，整改后A 区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米．①求x ，y 的值；②若A 园区全部种植C 种花，B 园区全部种植D 种花，且C 、D 两种花投入的费用与收益如表：-投入）解析：（1）（x+y ）（x-y ）+（x+3y ）2；2x 2+6xy+8y 2；（2）①x=30，y=10；②相等【分析】（1）根据长方形的面积等于长乘以宽，正方形的面积等于边长的平方，最后再求和，（2）①根据整改后A 区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米．列方程组求解即可，②计算出A 园区的净收益和B 园区的净收益，再比较大小．【详解】解：（1）（x +y ）（x -y ）+（x +3y ）2，＝x 2-y 2+x 2+6xy +9y 2，＝2x 2+6xy +8y 2；（2）①由题意得，()()()()()()()()()112350211243980x y x y x y x y x y x y x y x y x y ⎧⎡⎤⎡⎤++-----⎪⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤++-+---++⎪⎣⎦⎩＝＝，整理得，12350270x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得：x ＝30，y ＝10，答：x ＝30，y ＝10．②A 园区整改后长为12x 米，宽为y 米，A 园区的净收益（22-12）×12xy ＝36000元，B 园区的净收益为（26-16）（x +3y ）2＝36000元，∴B 园区的净收益等于A 园区的净收益．【点睛】本题考查二元一次方程组、整式的加减、多项式乘以多项式的计算方法等知识，正确的列出多项式，并化简是解决问题的关键．25．两个边长分别为a 和b 的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为1S ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b 的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为2S ．（1）用含a b 、的代数式分别表示1S 、2S ；（2）若10,23a b ab +==，求12S S +的值；（3）当1229S S +=时，求出图3中阴影部分的面积3S ．解析：（1）S 1＝a 2-b 2，S 2＝2b 2-ab ；（2）31；（3）292 【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a 、b 的代数式分别表示S 1、S 2；（2）根据S 1+S 2＝a 2-b 2+2b 2-ab ＝a 2+b 2-ab ，将a +b ＝10，ab ＝23代入进行计算即可；（3）根据S 3＝12（a 2+b 2﹣ab ），S 1+S 2＝a 2+b 2-ab ＝29，即可得到阴影部分的面积S 3．【详解】解：（1）由图可得，S 1＝a 2-b 2，S 2＝2b 2-ab ；（2）S 1+S 2＝a 2-b 2+2b 2-ab ＝a 2+b 2-ab ，∵a +b ＝10，ab ＝23，∴S 1+S 2＝a 2+b 2-ab ＝（a +b ）2-3ab ＝100-3×23＝31；（3）由图可得，S 3＝a 2+b 2-12b （a +b ）-12a 2＝12（a 2+b 2-ab ）， ∵S 1+S 2＝a 2+b 2-ab ＝29，∴S 3＝12×29＝292．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算．26．如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）（1）观察图2请你写出2()a b +、2()a b -、ab 之间的等量关系是________；（2）根据（1）中的结论，若95,4x y x y ⋅+==，则x y -=________；（3）拓展应用：若22(2019)(2020)7m m -+-=，求(2019)m -(2020)m -的值．解析：（1）（a +b ）2-（a -b ）2＝4ab ；（2）±4；（3）-3【分析】（1）由图可知，图1的面积为4ab ，图2中白色部分的面积为（a +b ）2-（b -a ）2＝（a +b ）2-（a -b ）2，根据图1的面积和图2中白色部分的面积相等可得答案；（2）根据（1）中的结论，可知（x +y ）2-（x -y ）2＝4xy ，将x +y ＝5，x •y 94=代入计算即可得出答案；（3）将等式（2019-m ）+（m -2020）＝-1两边平方，再根据已知条件及完全平方公式变形可得答案．【详解】解：（1）由图可知，图1的面积为4ab ，图2中白色部分的面积为（a +b ）2-（b -a ）2＝（a +b ）2-（a -b ）2，∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等，∴（a +b ）2-（a -b ）2＝4ab ，故答案为：（a +b ）2-（a -b ）2＝4ab ；（2）根据（1）中的结论，可知（x +y ）2-（x -y ）2＝4xy ，∵x +y ＝5，x •y ＝94， ∴52-（x -y ）2＝4×94， ∴（x -y ）2＝16∴x -y ＝±4，故答案为：±4；（3）∵（2019-m ）+（m -2020）＝-1，∴[（2019-m ）+（m -2020）]2＝1，∴（2019-m ）2+2（2019-m ）（m -2020）+（m -2020）2＝1，∵（2019-m ）2+（m -2020）2＝7，∴2（2019-m ）（m -2020）＝1-7＝-6；∴（2019-m ）（m -2020）＝-3．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式并数形结合是解题的关键． 27．观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；()23(1)11x x x x -++=-；()324(1)11x x x x x -+++=-；请根据这一规律计算：（1）()12(1)1n n n x x x x x ---+++⋅⋅⋅++；（2）1514132222221+++⋅⋅⋅+++．解析：（1）11n x +-；（2）1621-．【分析】（1）观察题中所给的三个等式，可知等式右边第一项的次数等于左边第二个括号内最高次项的次数加1，等式右边第二项均为1，据此可解；（2）根据（1）中所得的规律，可将原式左边乘以（2-1），再按照（1）中规律计算即可．【详解】（1）()12(1)1n n n x x x x x ---+++⋅⋅⋅++11n x +=-；（2）1514132222221+++⋅⋅⋅+++1514132(21)(222221)=-+++⋅⋅⋅+++1621=-．【点睛】本题考查了平方差公式和多项式乘法公式在计算中的应用，熟练掌握相关计算法则是解题的关键．28．计算：（1）2(1)(1)(2)x x x +--+ （2）(34)(34)x y x y -++- 解析：（1）3x +；（2）229816-+-x y y ．【分析】（1）先分别利用完全平方公式和多项式乘多项式运算法则计算，再去括号、合并同类项即可得到结果；（2）原式变形后，运用平方差公式和完全平方公式计算即可求出结果．【详解】计算：⑴ 原式2221(2)x x x x =++-+- 22212x x x x =++--+3x =+，（2）原式[3(4)][3(4)]x y x y =--+-229(4)x y =--229816=-+-x y y ．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，掌握运算法则及灵活运用乘法公式是解题的关键．。

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)(带答案)

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)单选题1、若(2020×2020×…×2020⏟ 共2020个)×(2020+2020+⋯+2020⏟ 共2020个)=2020n ，则n ＝（）A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019 答案：A分析：2020个2020相乘，可以写成20202020，2020个2020相加，可以写成2020×2020=20202，计算即可得到答案．∵2020×2020×⋯×2020=20202020⏟ 2020，2020+2020+⋯+2020⏟ 2020=2020×2020=20202，∴原式左边=20202020×20202=20202022，即2020n =20202022， ∴n =2022．故选：A ．小提示：本题考查了乘方的意义，以及同底数幂的乘法运算．注意：求n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．2、如图，阶梯型平面图形的面积可以表示为（）A ．ad +bcB ．ad +c (b −d )C ．ab −cdD ．c (b −d )+d (a −c ) 答案：B分析：把阶梯型的图形看成是两个长方形的面积之和或面积之差即可求解．解：S 阶梯型＝bc +（a ﹣c ）d 或S 阶梯型＝ab ﹣（a ﹣c ）（b ﹣d ）或S 阶梯型＝ad +c （b ﹣d ），故选：B ．小提示：本题主要考查列代数式，整式的混合运算，解答的关键是把所求的面积看作是两个长方形的面积之和或面积之差．3、将多项式x ﹣x3因式分解正确的是（）A ．x （x2﹣1）B ．x （1﹣x2）C ．x （x+1）（x ﹣1）D ．x （1+x ）（1﹣x ）答案：D分析：直接提取公因式x ，然后再利用平方差公式分解因式即可得出答案． x ﹣x 3=x （1﹣x 2） =x （1﹣x ）（1+x ）．故选D ．小提示：本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键． 4、已知、为实数，且√a −12+ b 2+4＝4b ，则a 2015•b 2016的值是（） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2答案：C分析：已知等式整理后，利用非负数的性质求出与的值，利用同底数幂的乘法及积的乘方运算法则变形后，代入计算即可求出值．已知等式整理得：√a −12+ (b −2)2＝0，∴a =12，b ＝2，即ab ＝1，则原式＝(ab)2015•b故选：C．小提示：本题考查了实数的非负性，同底数幂的乘法，积的乘方，活用实数的非负性，确定字母的值，逆用同底数幂的乘法，积的乘方，进行巧妙的算式变形，是解题的关键．5、如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，纵向阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算空白部分的面积，其面积是（）A．bc−ab+ac+c2B．ab−bc−ac+c2C．a2+ab+bc−ac D．b2+bc+a2−ab答案：B分析：矩形面积减去阴影部分面积，求出空白部分面积即可．空白部分的面积为(a−c)(b−c)=ab−ac−bc+c2．故选B．小提示：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6、小阳同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入m的值为2，则最后输出的结果y是（）A．2B．3C．4D．8答案：D分析：把m=2代入运算程序中计算，如小于或等于7则把其结果再代入运算程序中计算，如大于7则直接输出结果．解：当m=2时，=22-1=3＜7，当m=3时，m2-1=32-1=8＞7，则y=8．故选：D．小提示：此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，弄清题中的运算程序是解本题的关键．7、2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的计算结果的个位数字是（）A．8B．6C．2D．0答案：D分析：先将2变形为(3−1)，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．解：(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(32−1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(34−1)(34+1)…(316+1)=332−1∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…∴3n的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，∵32÷4=8，故332与34的个位数字相同即为1，∴332−1的个位数字为0，∴2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的个位数字是0．故选：D．小提示：本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．8、若x2+ax＝（x+1）2+b，则a，b的值为（）2A ．a ＝1，b ＝14B ．a ＝1，b ＝﹣14C ．a ＝2，b ＝12D ．a ＝0，b ＝﹣12 答案：B分析：根据完全平方公式把等式右边部分展开，再比较各项系数，即可求解．解：∵x 2+ax ＝（x +12）2+b =x 2+x +14+b ，∴a =1，14+b =0，∴a ＝1，b ＝﹣14，故选B ．小提示：本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．9、如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片1张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )A ．2a+bB ．4a+bC ．a+2bD ．a+3b 答案：A分析：4张边长为a 的正方形卡片的面积为4a 2，4张边长分别为a 、b 的矩形卡片的面积为4ab ，1张边长为b 的正方形卡片面积为b 2，9张卡片拼成一个正方形的总面积=4a 2+4ab+b 2=(2a+b)2，所以该正方形的边长为：2a+b ．设拼成后大正方形的边长为x ， ∴4a 2+4ab+b 2=x 2，∴(2a+b)2=x 2，∴该正方形的边长为：2a+b. 故选A.小提示：本题主要考查了完全平方公式的几何意义，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长． 10、下列计算正确的是（）A ．m +m =m 2B ．2(m −n )=2m −nC ．(m +2n)2=m 2+4n 2D ．(m +3)(m −3)=m 2−9 答案：D分析：根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定．解：A.m +m =2m ，故该选项错误，不符合题意； B.2(m −n )=2m −2n ，故该选项错误，不符合题意； C.(m +2n)2=m 2+4mn +4n 2，故该选项错误，不符合题意； D.(m +3)(m −3)=m 2−9，故该选项正确，符合题意；故选：D ．小提示：本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键．填空题11、阅读下面材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c ，abc ，a 2+b 2，…含有两个字母a ，b 的对称式的基本对称式是a+b 和ab ，像a 2+b 2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b ，ab 表示，例如：a 2+b 2＝（a+b ）2﹣2ab ．请根据以上材料解决下列问题：（1）式子①a 2b 2②a 2﹣b 2③1a+1b中，属于对称式的是_______（填序号）；（2）已知（x+a ）（x+b ）＝x 2+mx+n ． ①若m =−2,n =12，求对称式ba +ab 的值； ②若n ＝﹣4，直接写出对称式a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值．答案：（1）①③；（2）①b a +ab ＝6；②a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值为172．分析：（1）根据对称式的定义进行判断；（2）①先得到a+b ＝﹣2，ab ＝12，再变形得到b a +ab ＝a 2+b 2ab ＝(a+b)2−2abab，然后利用整体代入的方法计算；②根据分式的性质变形得到a 4+1a 2+b 4+1b 2＝a 2+1a 2+b 2+1b 2，再利用完全平方公式变形得到（a+b ）2﹣2ab+(a+b)2−2aba 2b 2，所以原式=1716m 2+172，然后根据非负数的性质可确定a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值．解：（1）式子①a 2b 2②a 2﹣b 2③1a+1b中，属于对称式的是 ①③．故答案为①③；（2）∵x 2+（a+b ）x+ab ＝x 2+mx+n ∴a+b ＝m ，ab ＝n ． ①a+b ＝﹣2，ab ＝12，b a+ab ＝a 2+b 2ab＝(a+b)2−2abab＝(−2)2−2×1212＝6；②a 4+1a 2+b 4+1b 2＝a 2+1a 2+b 2+1b 2＝（a+b ）2﹣2ab+(a+b)2−2aba 2b 2＝m 2+8+m 2+816＝1716m 2+172， ∵1716m 2≥0， ∴a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值为172．小提示：本题主要考查完全平方公式，关键是根据题目所给的定义及完全平方公式进行求解即可．12、平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(m ，3)．若将点A 先向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点B(1，n)，则m +n =_______．答案：3分析：先写出点A 向下平移2个单位后的坐标，再写出向左平移1个单位后的坐标．即可求出m 、n ，最后代入m +n 即可．点A 向下平移2个单位后的坐标为(m ，3−2)，即(m ，1)．再向左平移1个单位后的坐标为(m −1，1)．∴{m−1=11=n ，即{m=2n=1．∴m+n=2+1=3．所以答案是：3．小提示：本题考查坐标的平移变换以及代数式求值．根据坐标的平移变换求出m、n的值是解答本题的关键．13、若a+b=1，则a2−b2+2b−2=________．答案：-1分析：将原式变形为(a+b)(a−b)+2b−2，再将a+b=1代入求值即可.解：a2−b2+2b−2=(a+b)(a−b)+2b−2将a+b=1代入，原式=a−b+2b−2=a+b−2=1-2=-1所以答案是：-1.小提示：本题考查了代数式求值，其中解题的关键是利用平方差公式将原式变形为(a+b)(a−b)+2b−2.14、已知a+b=4，a−b=2，则a2−b2的值为__________．答案：8分析：根据平方差公式直接计算即可求解．解：∵a+b=4，a−b=2，∴a2−b2=(a+b)(a−b)=4×2=8所以答案是：8小提示：本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键．15、若a2−b2=−116，a+b=−14，则a−b的值为______．答案：14分析：由平方差公式进行因式分解，再代入计算，即可得到答案．解：∵a2−b2=(a+b)(a−b)=−116，∵a+b=−14，∴a−b=−116÷(−14)=14．故答案是：14．小提示：本题考查了公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．解答题16、分解因式：2x3−2x2y+8y−8x答案：2(x−y)(x−2)(x+2)分析：先分组，然后利用提公因式法和平方差公式因式分解即可．解：2x3−2x2y+8y−8x=2x2(x−y)+8(y−x)=2x2(x−y)−8(x−y)=2(x−y)(x2−4)=2(x−y)(x−2)(x+2)．小提示：此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法、提公因式法和公式法因式分解是解题关键．17、小邢同学在计算(x+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，算的结果为x2+3x−18，而且小颖同学在计算(x+a)(x+b)时将“+a”看成了“−a”，算的结果为x2−x−12．(1)求出a、b的值；(2)计算出(x+a)(x+b)的正确结果，答案：(1)a＝-3，b＝-4(2)x2-7x+12分析：（1）根据题意得出（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2-x﹣12，得出6+a＝3，﹣a+b＝-1，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．（1）根据题意得：（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2−x−12，所以6+a＝3，﹣a+b＝-1，解得：a＝-3，b＝-4；（2）当a＝-3，b＝-4时，（x+a）（x+b）＝（x-3）（x-4）＝x2-7x+12．小提示：本题考查了多项式乘以多项式法则和解方程，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．18、我们知道形如x2+(a+b)x+ab的二次三项式可以分解因式为(x+a)(x+b)，所以x2+6x−7=x2+ [7+(−1)]x+7×(−1)=(x+7)[x+(−1)]=(x+7)(x−1)．但小白在学习中发现，对于x2+6x−7还可以使用以下方法分解因式．x2+6x−7=x2+6x+9−7−9=(x+3)2−16=(x+3)2−42=(x+3+4)(x+3−4)=(x+7)(x−1)．这种在二次三项式x2+6x−7中先加上9，使它与x2+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．（1）请使用小白发现的方法把x2−8x+7分解因式；（2）填空：x2−10xy+9y2=x2−10xy+________+9y2−________=(x−5y)2−16y2=(x−5y)2−(________)2=[(x−5y)+________][(x−5y)−________]=(x−y)(x−________)；（3）请用两种不同方法分解因式x2+12mx−13m2．答案：（1）(x−1)(x−7)；（2）25y2；25y2；4y；4y；4y；9y；（3）(x+13m)(x−m)分析：（1）在x2−8x+7上加16减去16，仿照小白的解法解答；（2）在原多项式上加25y2再减去25y2，仿照小白的解法解答；（3）将−13m2分解为13m与（-m）的乘积，仿照例题解答；在原多项式上加36m2再减去36m2仿照小白的解法解答．（1）解：x2−8x+7=x2−8x+16+7−16=(x−4)2−9=(x−4)2−32=(x−4+3)(x−4−3)=(x−1)(x−7)；（2）解：x2−10xy+9y2=x2−10xy+25y2+9y2−25y2=(x−5y)2−16y2=(x−5y)2−(4y)2=[(x−5y)+4y][(x−5y)−4y]=（x-y）（x-9y）所以答案是：25y2；25y2；4y；4y；4y；9y；（3）解法1：原式=x2+[13m+(−m)]x+13m⋅(−m)=(x+13m)(x−m)．解法2：原式=x2+12mx+36m2−13m2−36m2=(x+6m)2−49m2=[(x+6m)+7m][(x+6m)−7m]=(x+13m)(x−m)．小提示：此题考查多项式的因式分解，读懂例题及小白的解法，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是解题的关键．。

人教版八年级上册数学《同底数幂的乘法》整式的乘法与因式分解教学说课复习课件

想一想：当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这
一性质呢？用字母表示
am ·an ·ap
等于什么？
am·an·ap = am+n+p （m，n，p都是正整数)
例2
计算：（1）23×24×25 ；（2）y ·y20 ·y30 .
解：（1）23×24×25=23+4+5=212
（2）y ·y20 ·y30 = y1+20+30=y51
同底数幂相乘,
注意条件：①乘法
底数不变，指数相加 .
结果：①底数不变
练一练
计算：
1011
(1) 105×106=_____________;
(2)
a7
10
3
a
·a =_____________;
(3) x5 ·x7=_____________;
x12
(4) (-b)3 ·(-b)2=_____________.
am ·
an·
ap=am+n+p(m，n，p都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
第十四章整式的乘法与因式分解
14.1整式的乘法
同底数幂的乘法
学习目标
1.理解并掌握同底数幂的乘法法则.（重点）
2.能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算.（难点）
3.通过对同底数幂的乘法运算法则的推导与总结，提升
(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3；
(2)(a-b)3·(b-a)4;
(3) (-3)×(-3)2 ×(-3)3;
(4)－a3·(－a)2·(－a)3.
解：(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3=(2a＋b)2n＋4.

整式的乘法与因式分解小结与复习

整式的乘法与因式分解小结与复习知识梳理1. 有关法则⑵单项式与单项式相乘的法则：把它们的、分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同一起作为积的一个因式.⑶单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是根据律用单项式去多项式的每一项，再把所得的相 .⑷多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项另一个多项式的每一项，再把所得的积相 .⑸单项式除以单项式的法则：把、分别相除后，作为商的；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的一起作为商的一个．⑹多项式除以单项式法则：先把这个多项式的除以这个单项式，再把所得的商．2. 有关公式：⑴平方差公式：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的，即用字母表示为：(a+b)(a－b)= .⑵完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的再加上（或减去）这两数的，即：(a ±b)2= .3. 有关概念⑴因式分解：把一个多项式化为的形式，叫做多项式的因式分解.⑵提公因式法：把多项式各项的提出来，这种分解因式的方法叫做提公因式法，即am bm cm ++= .提公因式法的实质是逆用律.⑶公式法：把乘法公式()()a b a b +-= 、2()a b ±= 逆用，就得到分解因式的公式22a b -= ，222a ab b ±+= ，这种运用公式分解因式的方法叫做公式法.考点呈现考点1 幂的运算性质例1下列运算正确的是（）A. （-a）6·（-a3）=a18B.（-b3）5=-3b8C. （a2b）4=a10b3D.（ab）12÷（ab）10=a2b2分析：根据幂的运算性质可知（-a）6·（-a3）= a6·（-a3）=-a6+3=-a9，（-b3）5=（-1）5（b3）5=-b3×5=-b15，（a2b）4=（a2）4b4=a8b4，（ab）12÷（ab）10=（ab）12-10=（ab）2= a2b2，所以选项D正确.解：选D.温馨提示：对于幂的各种运算性质，一定要分清指数的变化特征，避免混淆.另外，在计算选项D时，把ab看做一个整体，也就是看做底数，因此，它实际上是进行同底数幂的除法运算.考点2 整式的乘法例2先化简，再求值：（-2x2）2-（x2+1）（4x2-5）-x（x+11），其中x=-2.分析：根据整式的乘法法则对原式进行化简，再代入求值即可.解：原式=4x4-（4x4+4x2-5x2-5）-x2-11x=4x4-4x4-4x2+5x2+5-x2-11x=-11x+5.当x=-2时，原式=-11×（-2）+5=22+5=27.温馨提示：在解决单项式与多项式相乘以及多项式与多项式相乘的运算时，要防止出现漏乘，并且要细心处理每项的符号.考点3 乘法公式例5计算：（x+3y）2-2（x+3y）（x-3y）+（x-3y）2的结果为＿＿＿＿.分析：本题可以利用两数和乘以这两数差的乘法公式和两数和（差）的平方公式展开后化简，也可逆用两数和（差）的平方公式化简.解：方法1：原式=x2+6xy+9y2-2（x2-9y2）+x2-6xy+9y2=x2+6xy+9y2-2x2+18y2+x2-6xy+9y2=36y2.方法2：原式=[（x+3y）-（x-3y）]2=（6y）2=36y2.温馨提示：解这类题时，一是要注意乘法公式的正确使用，确保化简的结果正确；二是注意公式的逆向运用，本题显然逆用公式计算比较简便.考点4 整式的除法例4先化简（4ab3+8a2b2）÷（-4ab）-（2a+b）（2a-b），然后再选取你喜欢的一对a，b的值代入求值.分析：化简本题时，主要分两部分：对于（4ab3+8a2b2）÷（-4ab）采用多项式除以单项式的方法计算；对于（2a+b）（2a-b）采用两数和乘以这两数差的乘法公式计算，最后合并同类项即可.在选取a，b的值时，要注意ab≠0，即a ，b 都不能为0.解：原式=-b 2-2ab-（4a 2-b 2）= -b 2-2ab-4a 2+b 2=-4a 2-2ab.当a=2，b=1时，原式=-4×22-2×2×1=-16-4=-20.温馨提示：在进行多项式除以单项式时，要特别注意多项式每项的符号与除式的符号.本题是开放性试题，答案并不唯一，在选取a ，b 的值时，一定要注意a ，b 的取值范围.考点5 定义新运算型例5 先规定一种新运算“§”，a§b=a 2+ab+（b-1）2，根据这个新运算，可得（2x-1）§（x+3）= ＿＿＿＿.分析：根据规定的新运算a§b=a 2+ab+（b-1）2，把它转化成我们熟悉的四则运算（2x-1）2+（2x-1）（x+3）+（x+3-1）2，然后进行计算即可.解：（2x-1）§（x+3）=（2x-1）2+（2x-1）（x+3）+（x+3-1）2=4x 2-4x+1+2x 2+6x-x-3+x 2+4x+4=7x 2+5x+2. 温馨提示：解决这类问题其关键是根据规定的新运算法则把待求式转化为我们学过的运算.考点6 分解因式的方法例6分解因式：16a 2b 2 − 34a 2b +12ab 2. 分析：当多项式的系数是分数时，应把各项中分数系数的最小公分母作为公因式系数的分母，使余下的因式中各项系数都化成整数.解：原式＝112ab (2ab − 9a +6b ). 例7分解因式：（1）3()4()a b a b +-+= ；（2）3244x x x ++= ．分析：（1）观察可知多项式两项都有公因式a+b ，提公因式a+b 后，余下的多项式能利用两数和乘以两数差的乘法公式继续分解；（2）各项都有公因式x ，提公因式x 后，余下的多项式可以利用两数和的平方公式继续分解．解：（1）原式2()()4()(2)(2)a b a b a b a b a b ⎡⎤=++-=++++-⎣⎦．（2）原式22(44)(2)x x x x x =++=+．考点8分解因式的相关计算例8 已知实数a ，b 满足1ab =，2a b +=，求代数式22a b ab +的值．分析：观察算式特点可知，两项都有公因式ab ，为此可将其因式分解，再将1ab =，a+b=2代入求值．解：当1ab =，2a b +=时，原式()122ab a b =+=⨯=．误区点拨易错点1 混淆幂的运算性质例1 下列计算：①x 3·x 9=x 27；②（-2m 2n ）3=-2m 6n ；③（a-b ）9÷（a-b ）3=（a-b ）3.其中正确的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个错解：选D.剖析：①是幂的乘法运算，应是底数不变，指数相加，即x3·x9=x12，而错解是把指数运算弄成指数相乘了；②是积的乘方运算，应该是（-2m2n）3=（-2）3m6n3=-8 m6n3，而错解是忘记把2和n分别乘方了；③幂的除法运算，应是底数不变，指数相减，即（a-b）9÷（a-b）3=（a-b）6，错解却弄成指数相除了，以上错误的原因是对幂的运算性质混淆不清造成的.正解：A.易错点2 进行整式的乘法运算时出现漏乘例2计算：⑴ab（b+b2）-b2（ab-a+1）= ＿＿＿＿＿.⑵（a-b）（a+5b）的结果为＿＿＿＿＿.错解：⑴原式=ab2+ab3-ab3+ab2=2ab2；⑵原式=a2-5b2.剖析：⑴单项式与多项式相乘时，要注意单项式和多项式的每一项都要相乘，错解中，单项式-b2与多项式ab-a+1相乘时，只是-b2与ab、-a分别相乘，却漏掉了-b2与1相乘；⑵同样多项式与多项式相乘时，要求是先用其中一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，而错解中只是两个多项式的首项与首项相乘，末项与末项相乘，即a与a相乘，-b与5b相乘，漏掉了a与5b相乘和-b与a相乘.以上两个小题出现错误的原因是由于漏乘造成错误.正解：⑴原式=ab2+ab3-ab3+ab2-b2=2ab2-b2.⑵原式=a2-ab+5ab-5b2= a2+4ab-5b2.易错点3 乘法公式的结构掌握不牢例3计算：⑴（2x+3y）（3y-2x）= ＿＿＿＿＿.⑵（4x-5y）2=＿＿＿＿＿.错解：⑴原式=（2x）2-（3y）2=4x2-9y2.⑵错解1：（4x-5y）2=（4x）2-4x·5y+（5y）2=16x2-20xy+25y2.错解2：（4x-5y）2=（4x）2-（5y）2=16x2-25y2.剖析：⑴两数和乘以这两数差的乘法公式是（a+b）（a-b）=a2-b2，本题出现错误的原因是没能很好地把握两数和乘以这两数差的乘法公式的结构特征，顺序颠倒；⑵两数和（差）的平方公式是（a-b）2=a2-2ab+b2，错解1把中间项的2漏掉了，错解2干脆把中间项都漏掉了，错误的原因是未能把握两数和（差）的平方公式的特征.正解：⑴原式=（3y+2x）（3y-2x）= （3y）2-（2x）2=9y2-4x2.⑵（4x-5y ）2=（4x ）2-2·4x·5y+（5y ）2=16x 2-40xy+25y 2.易错点4 在整式的乘除混合运算中，运算顺序混乱例4 计算：x 2y 2÷x·xy 的结果为＿＿＿＿＿.错解：原式=x 2y 2÷x 2y=y.剖析：在进行整式的乘除混合运算时，应按照从左到右的顺序进行，即先做除法（x 2y 2÷x=xy 2）再做乘法（xy 2·xy=x 2y 3），错解的原因是违背了这一混合运算的顺序，造成了运算顺序的混乱而出现错误.正解：原式=xy 2·xy=x 2y 3.易错点5 提公因式后漏项致错例5分解因式：22462a b ab ab -+．错解：原式2(23)ab a b =-．剖析：当各项的公因式恰与某一项相同（或互为相反数）时，提取公因式后，该项的位置应为1（或1-），而错解却忽视了这一点，漏掉了第三项“1”．正解：原式2(231)ab a b =-+．易错点6用公式不恰当致错例6分解因式323612ma ma ma -+-．错解：原式223(24)3(2)ma a a ma a =--+=--．剖析：错解错在对两数和（差）的平方公式的特点掌握不牢，误认为224a a -+是完全平方式．正解：原式23(24)ma a a =--+．易错点7式分解不彻底致错例7分解因式222(4)16x x +-．错解：原式22222(4)(4)(44)(44)x x x x x x =+-=+-++．剖析：错解错在因式分解不彻底．因为结果中的两个因式都是完全平方式，还可以继续分解．正解：原式2222222(4)(4)(44)(44)(2)(2)x x x x x x x x =+-=+-++=+-．方法点击1.逆用幂的运算性质求值例1 已知a m =2，a n =4，求a 3m-n 的值.分析：a 3m-n 的指数是3m 与n 的差，它是同底数幂的除法的结果的形式，于是就有a 3m-n =a 3m ÷a n ，再逆用幂的乘方法则化成（a m ）3÷a n ，代入求出结果.解：因为a m =2，a n =4，所以，a 3m-n =a 3m ÷a n =（a m ）3÷a n =23÷4=2.点评：逆用幂的运算法则是解相关问题的技巧性方法.例2 计算：（-0.125）115×（2115）3+（20122013)532()135-⨯的结果为＿＿＿＿＿. 分析：按常规计算比较繁琐，经观察发现，若把（2115）3转化为（23）115，（125)135()135********•化成，可逆用积的乘方法则计算.解：原式=（-0.125）115×（23）115+（20122012)513(135)135-⨯• =（-0.125）115×8115+2012)135513(135⨯-⨯=（-0.125×8）115+2012)1(135-⨯ =（-1）115+135=-1+135=138-. 点评：对于这类特殊问题，逆用幂的运算性质，可简化运算过程.3.利用整式的乘法确定积中不含某项字母系数的值例3 若关于多项式（x-1）（-kx+1）的乘积中不含一次项，则k 的值为＿＿＿＿＿.分析：因题中要求不含x 的项，即该项系数的和为0.解：（x-1）（-kx+1）=-kx 2+kx+x-1=-kx 2+（k+1）x-1，因为积中不含x 的项，所以k+1=0，所以k=-1. 点评：解本题的关键是理解不含某项的意义，即相乘后合并同类项使其系数为0.4.巧用乘法公式求值例4 计算：20132-2012×2014-10012的结果为＿＿＿＿＿.分析：本题是有理数的混合运算，若按混合运算的顺序：先算乘方，再算乘法，最后算减法，会使运算过程很繁琐，注意到若把20132-2012×2014化为20132-（2013-1）（2013+1）， 10012化为（1000+1）2，然后利用乘法公式，可使运算大大的简化.解： 20132-2012×2014-10012=20132-（2013-1）（2013+1）-（1000+1）2=20132-（20132-12）-（10002+2×1000×1+12）= =20132-20132+1-10002-2000-1=-1 002 000.点评：解决这类问题的关键是抓住式子的特点，把它转化为易于利用乘法公式求解的形式.5.巧用“被除式=除式×商式+余式”求解例5 已知多项式2x 3-4x 2-1除以多项式A ，得商式为2x ，余式为2x-1，则多项式A=＿＿＿＿＿.分析：由“被除式=除式×商式+余式”可得“除式=（被除式-余式）÷商式，将除式2x 3-4x 2-1、商式2x 、余式2x-1，代入即可求出除式A 的值.解：根据题意得，A=[2x 3-4x 2-1-（2x-1）]÷2x=（2x 3-4x 2-1-2x+1）÷2x=（2x 3-4x 2-2x ）÷2x=x 2-2x-1. 点评：明确“除式=（被除式-余式）÷商式“是解决本题的关键.跟踪训练1. (-2x 3y 4)3的运算结果是( )A. -6x 6y 7B. -8x 27y 64C. -6x 9y 12D. -8x 9y 122. 用激光测距仪测量两座山峰之间的距离，从一座山峰发出的激光经过4×103秒到达另一座山峰，已知光在空气中的速度约为3×108米/秒，则这两座山峰之间的距离用科学记数法表示为（）A.1.2×1010米B. 12×1011米C. 1.2×1012米D. 1.2×1011米3. 若x 2-ax-1可以分解为(x-2)(x+b)，则a+b 的值为（）A. -1B. 1C. - 2D. 24. 把多项式x 3-2x 2+x 分解因式结果正确的是（）A. x(x2-2x)B. x2(x-2)C. x(x+1)(x-1)D. x(x-1)25. 计算(2x-3)2的结果为4x2+□x+9，则“□”中的数为（）A. -6B. 6C. -12D. 126. 若a、b、c为一个三角形的三边，则代数式(a-c)2-b2的值（）A. 一定为正数B. 一定为负数C. 可能为正数，也可能为负数D. 可能为零7. 下列各式：x2·x4，(x2)4，x4+x4，(-x4)2，x12÷(-x2)2，其中与x8相等的有_____个.8. (3x-2)(3-5x)的计算结果中，含x的项的系数是______.9. 4m(2x-y)2-4mn2因式分解的结果为_______.10. 一个正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了32cm2，则这个正方形的边长为____cm.11. 已知x2+y2=25，x+y=7，且x＞y，则x-y的值等于.12. 计算下列各式：(1) a•a5+(2a3)2+(-2a2)3；(2)(2x+5y)(3x-2y)-(x-2y)2.整式的乘法与因式分解小结与复习知识梳理：略.跟踪训练：1.D 2.C 3. D 4. D 5. C 6.B7. 3 8. 19 9. 4m(2x-y+n)(2x-y-n) 10. 7 11.112. (1)-3a6；(2)5x2+15xy-14y2。

人教版八年级数学上册14.整式的乘除与因式分解--复习课件

不是完全平方式，不能进行分解
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解《整式的乘法：整式的乘法》

教学设计2024秋季八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解《整式的乘法：整式的乘法》一、教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解整式乘法的概念，掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式以及多项式乘多项式的运算法则，并能准确进行整式的乘法运算。

2.数学思维：通过整式乘法的探索过程，培养学生的逻辑推理能力、抽象思维能力以及代数运算能力。

3.问题解决：学会将实际问题转化为整式乘法问题，运用所学知识解决简单的实际问题。

4.情感态度：激发学生对数学的兴趣，培养认真细致的学习态度和合作学习的精神。

二、教学重点•掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式以及多项式乘多项式的运算法则。

•能够准确进行整式的乘法运算。

三、教学难点•理解整式乘法法则的推导过程及其背后的数学原理。

•灵活运用整式乘法法则解决复杂问题，包括处理系数、字母部分以及合并同类项等。

四、教学资源•多媒体课件（包含整式乘法示例、动态演示）•教科书及配套习题集•黑板与粉笔•学生练习本五、教学方法•讲授法：介绍整式乘法的概念及运算法则。

•演示法：通过例题演示整式乘法的运算过程。

•讨论法：组织学生讨论整式乘法中的难点和易错点，分享解题经验。

•练习法：通过大量练习巩固学生对整式乘法运算法则的理解和掌握。

六、教学过程导入新课•情境引入：通过一个实际问题（如计算长方形的面积）引入整式乘法的概念，激发学生兴趣。

•复习旧知：回顾单项式、多项式等基本概念，为新课学习做铺垫。

新课教学1.单项式乘单项式•概念阐述：明确单项式乘单项式的意义。

•法则讲解：介绍运算法则（系数相乘，相同字母的指数相加）。

•例题演示：通过例题展示运算过程，强调运算步骤和注意事项。

•学生练习：学生独立完成几道练习题，教师巡回指导。

2.单项式乘多项式•概念引入：通过具体例子引入单项式乘多项式的概念。

•法则推导：结合分配律推导运算法则。

•例题讲解：详细讲解例题，强调分配律的应用和运算顺序。

•学生活动：分组讨论，尝试解决新问题，并分享解题思路。

人教版八年级上册数学《整式的乘法》整式的乘法与因式分解说课研讨复习教学课件拔高

例
计算：
(1)28x4y2 ÷7x3y；
解:(1)原式=(28 ÷7)x4–3y2–1
(2)–5a5b3c ÷15a4b.
(2)原式=(–5÷15)a5–4b3–1c
=4xy；
= –
1
2c.
ab
3
多项式除以单项式要按照法则逐项进行，不得
漏项，并且要注意符号的变化.
巩固练习
下列计算错在哪里？怎样改正？
计算．
巩固练习
计算：
(1)(–xy)13÷(–xy)8；
(2)(x–2y)3÷(2y–x)2；
(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2.
解：(1)原式＝(–xy)13–8＝(–xy)5＝–x5y5；
(2)原式＝(x–2y)3÷(x–2y)2＝x–2y；
(3)原式＝(a2＋1)6–4–2＝(a2＋1)0＝1.
探究新知
单项式除以单项式的法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的
因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作
为商的一个因式.
理解
商式＝系数 • 同底的幂 • 被除式里单独有的幂
被除式的系数
除式的系数
底数不变，
指数相减.
保留在商里
作为因式.
探究新知
素养考点 3 单项式除法以单项式法则的应用
探究新知
素养考点 2
同底数幂除法法则的逆运用
例2 已知am＝12，an＝2，a＝3，求am–n–1的值．
解：∵am＝12，an＝2，a＝3，
∴am–n–1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2.
方法总结：解此题的关键是逆用同底数幂的除法，对am–n–1进
行变形，再代入数值进行计算．

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第十四章整式的乘法与因式分解 (时间：60分钟满分：100分)
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1.下列各式运算正确的是（）
A.532a a a =+
B.532a a a =⋅
C.632)(ab ab =
D.5210a a a =÷ 2. 计算232(3)x x ⋅-的结果是（）
A. 56x
B. 62x
C.62x -
D. 56x - 3．计算3
2)21(b a -
的结果正确的是（） A. 2441b a B.3681b a C. 3681b a - D.531
8
a b -
4. 4
4
2
2
1625)(______)45(b a b a -=+-括号内应填（）
A 、2245b a +
B 、2245b a +
C 、2245b a +-
D 、2245b a -- 5.如图，阴影部分的面积是( ) A ．
xy 2
7
B ．xy 2
9
C ．xy 4
D ．xy 2
6.()()2
2
x a x ax a
-++的计算结果是( )
A. 3232x ax a +-
B. 33x a -
C.3232x a x a +-
D.222322x ax a a ++- 7．下面是某同学在一次测验中的计算摘录 ①
325a b ab
+=； ②
33345m n mn m n
-=-；③
5
236)2(3x x x -=-⋅；
④3
2
4(2)2a b a b a ÷-=-； ⑤()
2
35a a =；⑥()()3
2a a a -÷-=-．
其中正确的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D. 4个 8.下列分解因式正确的是( )
A.3
2
(1)x x x x -=-． B.2
(3)(3)9a a a +-=-
C. 29(3)(3)a a a -=+-.
D.22()()x y x y x y +=+-. 9. 如(x ＋m )与(x ＋3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为( )．
A ．0
B ．3
C ．－3
D ．1
10. 若3x =15, 3y =5，则3x y -= ( )．
A ．5
B ．3
C ．15
D ．10
二、填空题（本大题共有7小题，每空2分，共16分）
11．计算(－3x 2
y )·(
2
13
xy )＝__________． 12．计算22
()()33m n m n -+--＝__________．
13．201
()3
π+=________
14. 当x __________时，(x －3)0
＝1． 15. 若2
2210a b b -+-+=，则a = ，b ＝ 16.已知4x 2
＋mx ＋9是完全平方式，则m ＝_________． 17. 已知5=+b a ，3ab =则22a b +=__________． 18. 定义2a b a b *=-，则(12)3**= ．三、解答题（本大题共有7小题，共54分） 19．（9分）计算:
（1）342
23
()()a b ab ÷ （2）))(()(2
y x y x y x -+-+.
(3)xy xy y x y x 2)232(2
2
2
3
÷+--
20.（12分）分解因式：
(1) 12abc －2bc 2； (2) 2a 3－12a 2＋18a ；
校名班级姓名学号
密封线
装订线内不要答题
(3) 9a(x －y)＋3b(x －y)； (4) (x ＋y )2＋2(x ＋y )＋1.
21.（5分）先化简，再求值：()()()2
2x y x y x y x ⎡⎤-++-÷⎣⎦
，其中x=3,y=1
22. (5分) 请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解．
2224()19a x y b +，，，
23．(8分)解下列方程与不等式
(1) 3(7)18(315)x x x x -=--；（2）(3)(7)8(5)(1)x x x x +-+>+-.
24. （7分）数学课上老师出了一道题：计算2962
的值，喜欢数学的小亮举手做出这道题，他的解题过程如下：
2962=(300－4)2=3002－2×300×(－4)+42
=90000+2400+16=92416
老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误，你认为小亮的解题过程错在哪儿，并给出正确的答案.
25．(8分) 下面是某同学对多项式（x 2
－4x +2）（x 2
－4x +6）+4进行因式分解的过程．
解：设x 2
－4x =y
原式=（y +2）（y +6）+4 （第一步） = y 2+8y +16 （第二步） =（y +4）2
（第三步） =（x 2
－4x +4）2
（第四步）回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______． A ．提取公因式 B ．平方差公式
C ．两数和的完全平方公式
D ．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？________．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x 2
－2x ）（x 2
－2x +2）+1进行因式分解．
参考答案
1. B ；
2.D ；
3. C ； 4 .D ； 5．A 6．B ； 7．B ； 8．C. 9．C 10．B
11．－x 3y 3
；
12．2
249m n - ； 13.109
14. ≠3 15．2, 1 16．12± ； 17. 19 18．-2
19．（1）32a b ；（2）2
22y xy + （3）23
12
x y xy --
+ 20．(1)2bc(6 a －c)；(2)2a (a －3)2
；(3) 3(x －y )(3a ＋b )；(4) (x ＋y ＋1)2
. 21.x-y
2
22．解：答案不惟一，如
291(31)(31)b b b -=+-
23.(1) 3x = (2) 1x <- 24.错在“－2×300×(－4)”,
应为“－2×300×4”,公式用错.
∴2962=(300－4)
2
=3002－2×300×4 +42
=90000－2400+16 =87616.
25．（1）C ；（2）分解不彻底；4
(2)x -（3）4
(1)x -。