电磁场的边界关系
电磁场的边界条件
将⑧代入⑨，得： sin 2 cos 1 sin 1 cos 2 sin(1 2 ) rs sin 2 cos 1 sin 1 cos 2 sin(1 2 )
2n1 cos 1 ts n1 cos 1 n2 cos 2
对绝大多数物质， 1 2
所以得到方程：
E1 y z E1' y z E2 y z
z 0
⑥
代入边界条件，可得：
k1 cos 1 A1s k1' cos 1' A1' s k2 cos 2 A2 s
k1 k1' 整理得： cos 1 A1s cos 1' A1' s cos 2 A2 s k2 k2' k1 sin 2 将 代入上式，得： k2 sin 1
AB BC CD DA
针对麦克斯韦 方程组积分形 式的第三个与 第四个方程， 建立如左图模 型，积分可得
E2t CD ( E2 n DF E1n FA) 0
E1t E2t 同理可得 H1t =H 2t
电磁场边界条件
（1）电场强度E 在分界面上的平行分量连续。
从右图可以看出， 对于s光：
Ex 0 E y ES Ez 0
根据几何关系，可知：
k x k sin 1 , k y 0, k z k cos 1
对于单色平面光波： E0 e E
i[t ( k x x k y y k z z )]
将上面的结论带 i[1t ( k sin 1 x k cos1 z )] E E0 e 入方程可得： 对于s光，可以分解为：
i ( k2 sin 2 x )
【精品】第八讲：麦克斯韦方程组、电磁场的边界条件
第八讲：麦克斯韦方程组、电磁场的边界条件2.6麦克斯韦方程组2.7电磁场的边值关系1、了解麦克斯韦方程组的建立过程，掌握它的基本性质；2、了解边界上场不连续的原因，能导出电磁场的边值关系；3、掌握电磁场方程微分形式和边界形式的联系与区别。
重点：1)麦克斯韦方程组的基本性质;2)电磁场的边值关系 难点：电磁场切向边值关系的推导 讲授法、讨论 2学时2.6麦克斯韦方程组（Maxwell ’sEquations ）一、麦克斯韦方程1865年发表了关于电磁场的第三篇论文：《电磁场的动力学理论》，在这篇论文中，麦克斯韦提出了电磁场的普遍方程组，共20个方程，包括20个变量。
直到1890 年，赫兹才给出简化的对称形式：00001(1)(2)0(3)(4)BE E tE B B J tρεμμε⎧∂∇⋅=∇⨯=-⎪∂⎪⎨∂⎪∇⋅=∇⨯=+⎪∂⎩实验定律3、法拉第电磁感应定律4、电荷守恒定律12314dq dq dF RR πε=S D dS q ⋅=⎰0l E dl ⋅=⎰34JdV R dB R μπ⨯=0SB dS ⋅=⎰()0=⋅∇B CH dl I ⋅=⎰()JH =⨯∇tB E ∂∂-=⨯∇ 0=∂∂+⋅∇tJ ρ 0J ∇⋅≡对矛盾的解决麦克斯韦理论稳恒况缓变情况2、毕奥－沙伐尔定律1、库仑定律()/ερ=⋅∇E()=⨯∇E t S d B dt d S ∂⎰⋅∂-=Φ-= ε0S QJ dS t ∂⋅+=∂⎰→上式即为真空中的麦克斯韦方程组，其中（2）（4）含有对时间的偏导数，对应 运动方程，（1）（3）为约束方程。
二、麦克斯韦方程组的基本性质 1、线性性麦克斯韦方程组是一组线性方程，表明场服从迭加原理。
2、自洽性方程组各个方程彼此协调，且与电荷守恒定律协调。
如（2）式和（3）式一致：由（2）式有：()0=∂⋅∂∇-=⨯∇⋅∇tBE⇒C B =⋅∇ ，考虑到静磁时0=⋅∇B,所以取0=C 。
第五节边值关系
第四节电磁场边值关系
一、介质边界面上的电磁现象
1 导体在静电平衡时的边界行为:
导体静电平衡时，场量的突变发生在界面上。因 为： 内部场强 外部场强
E内 0 E外 0
1）求 Dt 关系：
E2t E1t D2t
2
ห้องสมุดไป่ตู้
D1t
1
2 1
D2t D1t
2）求 En 关系：
D2n D1n E2n 2 E1n1 2 1
E2n E1n
3）求 Bt 关系：
H 2t H1t B2t
2
B1t
1
2 1 B2t B1t
B 向量的法向关系： 将 B dS 0
s
用到小柱体上，可得
n ( B2 B1 ) 0
或 讨论：
B2n B1n 0
1）界面上 f 0 ，Dn 在两侧有突变。 界面上 f 0 ，Dn 在两侧连续。 2）界面两侧 Bn 线总连续。B2n B1n 3）已知 P n (P2 P ) 1
dl1 dl2
n
2 1
1
dl dl
将
L
H dl j f dS D
s s
t
dS
dl1
用到边界的长方形回路上去
L H dl l1 H1 dl1 l2 H 2 dl2 H dl h H1 l1 H2 l2 ( H1 H2 ) l s j f dS 回路面积 j f dS I 当 h 0 I f (l et ) f l (n e ) l (n f ) D dS 0 s t ( H1 H 2 ) l (n f ) l
电磁场的边界条件与电磁波的辐射和传播
电磁场的边界条件与电磁波的辐射和传播[摘要]：本文结合相关示意图简要总结了电磁场的边界条件，在参考大量相关文献的基础上，由边界条件出发分析了交变电磁场传播的原理，联系实际解释了电磁场的辐射和传播。
关键字：电磁场；电磁波；边界条件；辐射；传播。
一、电磁场的边界条件电磁场在两种不同媒质分界面上，从一侧过渡到另一侧时，场矢量E、D、B、H一般都有一个跃变。
电磁场的边界条件就是指场矢量的这种跃变所遵从的条件，也就是两侧切向分量之间以及法向分量之间的关系。
电磁场的边界条件可以由麦克斯韦方程组的积分形式推出，它实际上是积分形式的极限结果。
这些边界条件是：n·(D1-D2)=ρs； (1)n×(E1-E2)=0； (2)n·(B1-B2)=0； (3)n×(H1-H2)=J)s。
(4)式中n为两媒质分界面法线方向的单位矢量，场矢量E、D、B、H的下标1或2分别表示在媒质1或2内紧靠分界面的场矢量,ρ为分界面上的自由电荷面密度,J为分界面上的传导电流面密度。
式(1)表示在分界面两侧电位移矢量D的法向分量的差等于分界面上的自由电荷面密度。
当分界面上无自由电荷时，两侧电位移矢量的法向分量相等,即其法向分量是连续的。
式(2)表示在分界面两侧电场强度E的切向分量是连续的。
式(3)表示在分界面两侧磁通密度B的法向分量是连续的。
式(4)表示在分界面两侧磁场强度H的切向分量的差等于分界面上的表面传导电流面密度。
当分界面上无表面传导电流时，两侧磁场强度的切向分量相等，即其切向分量是连续的。
当媒质2为理想导体时，E2、D2、B2、H2等于零，式(1)表示D1的法向分量等于自由电荷面密度；式(2)表示E1无切向分量.式(3)表示B1的法向分量为零；式(4)表示H1的切向分量等于表面传导电流面密度,并且与电流方向正交。
二、电磁波的辐射和传播电磁波的产生与发射是通过天线来实现的。
由振荡电路产生的强大交变讯号通过互感耦合到天线上，天线就有交变电流产生，如下图所示。
电磁场的源与边界条件
q 所趋近的极限值就定义为点 P 的电 V
(r ) lim
式中 r 是源点的位失。
V 0
q dq V dV
2、 电荷面密度 在实际问题中，常会遇到电荷分布在薄层内的情况，如果薄层的厚度趋近于零，可近似 认为电荷分布在曲面上， 可以用电荷面密度 S (r ) 来描述其分布。 设曲面 S 上任一面元 S 内所包围的电荷量为 q ，则 S (r ) 定义为
3、磁感应强度 B 的散度、旋度和边界条件 （1）磁感应强度 B 的散度 根据磁通连续性原理的微分形式可知恒定磁场为无散场，故
B0
磁通连续性原理表明自然界无孤立的磁荷存在。上式即为麦克斯韦第二方程的微分形式。 （2）磁感应强度 B 的旋度 根据安培环路定理可得恒定磁场的磁感应强度 B 的旋度为
二、
电流及电流分布
电荷做定向运动形成电流，通常以电流强度来描述其大小。在电磁理论研究中，常用到 体电流模型，面电流模型和线电流模型。 1、 体电流 电荷在某一体积内定向流动形成的电流成为体电流。体电 流在导体内某一截面的分布用电流密度矢量 J 来描述，其定义 为：空间任一点 J 的方向是该点正电荷运动的方向， J 的大小 等于通过该点与 J 垂直的单位面积的电流，即
Nqd dS P dS P endS
因此，穿出闭合面 S 的正电荷为 P dS 。与之对应，留在闭合面 S 内的极化电荷量为
S
q p P dS PdV
S V
又由于
qP P dV
V
故有
P P
（2）极化强度 P 的旋度 对于各向同性和线性介质，有 P e 0 E ，其中合成电场强度 E 为自由电荷产生的外 电场 E 0 和极化电荷产生的附加电场 E 的叠加，由于两种电场强度的旋度都为零，故
电动力学-第一章-1.5 电磁场边值关系
j
0
t
2、库仑定律
F
1
4 0
V1 V2
12
r3
rd1d 2
1 Q1Q2 r.
40 r3
3、毕奥——萨伐尔定律
r B
xr
0 4
V
Jr
xr ' rr
r3
dV
'
4、法拉第定律
L
E
dl
S
B ds t
5、洛仑兹力
F Fe Fm q(E v B)
整体
f
(
E
v
B)
4
3
r23 r13
f
D
r23 r13 3
f
1 r2
,
r
r2
ÑS E dS V f dV
P e0E
D 1 e 0E E
4 r2D 4 3
r3 r13
f
D
r3 r13 3
f
1 r2
, r2
r
r1
E D
P
1
0
D
注意球内球外的ε不同
D 0,r r1
r
f
0
P
理想导体表面边界条件σ=∞
• 设介质1为理想导体,理想导体内电场为 0(否则J为∞),对应的磁场也为0
• 介质2边界上的场强满足
en H ar en E 0
en D f
en B 0
理想介质σ=0
• 如果媒质1和2为理想介质,在求时变场时 认为表面不存在自由面电荷和面电流
D 0E P P e0E
H B M
0
M
D
mH
0
1
e
电磁场的源与边界条件
根据安培环路定理可得恒定磁场的磁感应强度 B 的旋度为
当有磁介质存在时，上式变为
B 0J B 0 (J JM )
式中 J 为传导电流密度， J M 为磁化电流密度。
（3）磁感应强度 B 的边界条件 将积分形式的麦克斯韦第三方程应用于如图 4 所示的圆
柱，易得
en (B1 B2 ) 0 上式表明磁感强度的法向分量是连续的。
球的极限当带电体的尺寸相对于观察点至带电体的距离可以忽略时，就可以认为电荷分布于
带电体中心上，即将带电体抽象为一个几何点。点电荷的电荷密度分布可以用数学上的 (r )
来描述。
二、 电流及电流分布
电荷做定向运动形成电流，通常以电流强度来描述其大小。在电磁理论研究中，常用到 体电流模型，面电流模型和线电流模型。 1、 体电流
移矢量的切向分量是不连续的（两种介质的 通常不等）。
3、磁感应强度 B 的散度、旋度和边界条件
（1）磁感应强度 B 的散度 根据磁通连续性原理的微分形式可知恒定磁场为无散场，故 B0
磁通连续性原理表明自然界无孤立的磁荷存在。上式即为麦克斯韦第二方程的微分形式。 （2）磁感应强度 B 的旋度
即
故有
(P1 P2 ) enS SPS
en (P1 P2 ) SP 上式表明极化强度的法向分量是不连续的。一般情况下，其切向分量也不连续。
7、磁化强度 M 的散度、旋度和边界条件
7/9
电磁场与电磁波
第二章 电磁场的基本规律
学习报告
（1）磁化强度 M 的散度
对于各向同性和线性磁介质， M m H ，由于 H 的散度为零，故
自然界中存在两种电荷：正电荷和负电荷。带电体上所带的电荷是以离散的方式分布的， 任何带电体的电荷量都是基元电荷的整数倍，但在研究宏观电磁现象时，人们关注的是大量 微观带电粒子的整体效应，因此可以认为电荷是以一定形式连续分布的，并用电荷密度来描 述电荷的分布。 1、 电荷体密度
电磁场的边界条件
电磁场与电磁波
第 2 章
电磁场的基本规律
§8
边界条件的推证 （1） 电磁场量的法向边界条件
ΔS
媒质1
en
S
媒质2
D1
Δh
在两种媒质的交界面上任取一
点P，作一个包围点P 的扁平圆柱 曲面S，如图表示。 令Δh →0，则由
P
D2
即 同理 ，由
S
D dS
d
x
π ez sin( z ) cos(t k x x) (A/m) 0 d k x E0
（2） z = 0 处导体表面的电流密度为
J S ez H
z 0
πE0 ey sin(t k x x ) 0 d
(A/m)
z = d 处导体表面的电流密度为
J S ( ez ) H
E1 ( z , t ) ex [60 cos(15 108 t 5 z ) 20 cos(15 108 t 5 z )] V/m
媒质2中的电场强度为
（1）试确定常数A的值;（2）求磁场强度 H 1 ( z , t ) 和 H 2 ( z , t ) ； （3）验证 H 1 ( z , t ) 和 H 2 ( z , t ) 满足边界条件。
H1 1 1 E1x E1 ey t 1 1 z 1 e y [300sin(15 108 t 5 z ) 100sin(15 108 t 5 z)] 0
将上式对时间 t 积分，得
1 2 7 8 H1 ( z , t ) ey [2 10 cos(15 10 t 5 z ) 10 7 cos(15 108 t 5 z )] A/m 0 3
电磁场边值关系
S
t (E2 E1) 0
E1//
E2
n21
t
E2 //
2
1
或者
t (E2// E1// ) 0
E1
17
由于 t 是分界面上的任意一个
单位矢量，因此
E2 // E1//
——在界面处电场的切向分 量是连续的；
E1//
上式也可以写成
n21
D2 D1
f
n
由高斯定理可得，交界面上自由 电荷量的面密度为
f D2n D1n
（注：由于此处 n 法向矢量定 义成是从介质1指向介质2的）
2 E2n 1E1n
28
14
2010-9-9
f 2 E2n 1E1n
又根据欧姆定律：
n21
D2
2
1
D1
7
假设：交界面上的有自由电荷面分布
D S
dS
Qf
Qf f S
Q f D2 n21S D1 n21S
D dS S侧
根据 D dS 0 ，得到 S侧
D2
n21
D1
n21
f
——（5.5）
④ 电场法向和磁感应强度的切 向在边界上一般会有跃变。
25
H
Jf
D t
H
L
dl
If
d dt
D dS
S
电磁场边值关系
D E
2 E2n 1E1n f 如果 f 0
2 E2n 1E1n P 0 ( E2n E1n )
P P1n P2n
磁感应强度和磁场强度的边值关系。
SB dS 0
en (B2 B1 ) 0
荷：
DE
en (D2 D1 ) f
f f
E2
2
E1
1
(D2n D1n ) f
下板与介质1： 上板与介质2：
D1 f D2 f
讲时斟酌：考虑面电荷密度 的正负问题
E1
D1
1
f 1
,
E2
D2
2
f 2
由总电场的麦克斯韦方程(5.2)式得：
场线的性质均体现在电磁场的基本规律当中：高斯定理、环路定理，此处 又以边值条件的形式体现出来，殊途同归！
2．切向分量的跃变
沿介质表面流动的电流可以有两种处理方法： 1)有一定厚度的薄层(按体电流处理)； 2)没有厚度的几何面(按面电流处理)。
上述1)的情况，厚度趋于零，沿电流方向变 成了横截线(与2相同)，故引入电流线密度。
D dS
S
LE
dl
d dt
SB dS
D dS S
Qf
B dl
L
0 I f
0 0
d dt
E dS
S
M dl L
0
J M dS