2015届安徽省皖南八校高三联考理科数学试题及详细答案

2015届安徽省皖南八校高三联考 理科数学试卷一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足(3)10i z i +=(其中i 是虚数单位,满足21i =-),则复数z 的共轭复数是 A.13i -+ B.13i - C.13i + D.13i --2.已知集合1{|(),},{2,1,1,2}2x A y y x R B ==∈=--,则下列结论正确的是A.{2,1}A B =--B.()(,0)R A B =-∞ðC.(0,)A B =+∞D.(){2,1}R A B =--ð3.设,a b R ∈,则“1ab>”是“||||a b >”成立的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.已知点113(2,),(,)222A B -,则与向量AB 方向相同的单位向量是A.34(,)55-B.43(,)55-C.34(,)55-D.43(,)55-5.已知函数()f x 是R 上的奇函数,且在区间[0,)+∞上单调递增,若255(sin ),(cos ),(tan )777a fb fc f πππ===,则A.b a c <<B.c b a <<C.b c a <<D.a b c << 6.函数()cos 22sin f x x x =+的最大值与最小值的和是A.2-B.0C.32-D.12-7.函数1()x x f x xe e +=-的单调递增区间是A.(,)e -∞B.(1,)eC.(,)e +∞D.(1,)e -+∞8.由直线12y =,2y =,曲线1y x=及y 轴所围成的封闭图形的面积是A.2ln 2B.2ln 21-C.1ln 22D.549.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若2015120aBC bCA cAB ++=,则ABC ∆的最小角的正弦值等于A.45B.34C.35 10.已知定义在R 上的奇函数()f x 的导函数为'()f x ,当0x <时,()f x 满足 2()'()()f x xf x xf x +<,则()f x 在R 上的零点个数为A.1B.3C.5D.1或3 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在题后横线上. 11.命题“对任意2,310x R x x ∈-+>”的否定是12.已知向量(3,4),a =向量b 满足||3a b -=,则||b 的取值范围是13.已知函数()sin()(0)6f x x πωω=->在4(0,)3π上单调递增,在4(,2)3ππ上单调递减,则ω=14.设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩,若互不相等的实数123,,x x x 满足123()()()f x f x f x ==,则123x x x ++的取值范围是15.已知函数()(,)bf x ax a b R x=+∈,有下列五个命题:①不论,a b 为什么值,函数()y f x =的图象关于原点对称; ②若0a b =≠,函数()f x 的极小值是2a ,极大值是2a -;③若0ab ≠,则函数()y f x =的图象上任意一点的切线都不可能经过原点;④当0,0a b >>时,对函数()y f x =图象上任意一点A ,都存在唯一的点B ,使得1t a n A O B a∠=(其中点O 是坐标原点)⑤当0ab ≠时,函数()y f x =图象上任意一点的切线与直线y ax =及y 轴所围成的三角形的面积是定值. 其中正确的命题是 (填上你认为正确的所有命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16(本小题满分12分)如图,3AOB π∠=,动点12,A A 与12,B B 分别在射线,OA OB 上,且线段12A A 的长为1,线段12,B B 的长为2,点,M N 分别是线段1122,A B A B 的中点.(Ⅰ)用向量12A A 与12B B 表示向量MN ; (Ⅱ)求向量MN 的模.17(本小题满分12分)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若3B π=,且3()()7a b c a b c bc -++-=. (Ⅰ)求cos C 的值;(Ⅱ)若5a =,求ABC ∆的面积.18(本小题满分12分)函数321()1()32a f x x x ax a R =-++∈恒谦的导函数为'()f x .(Ⅰ)若函数()f x 在2x =处取得极值,求实数a 的值;(Ⅱ)已知不等式2'()f x x x a >+-对任意(0,)a ∈+∞都成立,求实数x 的取值范围.已知函数()sin()3cos()f x x x ωϕωϕ=++(0,0||)2πωϕ><<为奇函数,且函数()y f x =的图象的两相邻对称轴之间的距离为2π. (Ⅰ)求()6f π的值;(Ⅱ)将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后,得到函数()y g x =的图象,求函数()g x 的单调递增区间.(Ⅰ)若函数()f x 在其定义域内单调递减,求实数a 的取值范围;(Ⅱ)若12a =-,且关于x 的方程1()2f x x b =-恒谦在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b 的取值范围.21(本小题满分14分)已知函数()ln ()f x x x mx m R =+∈的图象在点(1,(1))f 处的切线的斜率为2. (Ⅰ)求实数m 的值;(Ⅱ)设()()1f x xg x x -=-,讨论()g x 的单调性;(Ⅲ)已知*,m n N ∈且1m n >>,证明n m>2015届皖南八校联考数学（理科）参考答案一.选择题：二.填空题：11.存在0x R ∈，使得200310x x -+≤成立。

12.[]2,8 13.12 14：11(,6)315. ①③⑤三.解答题：16.解：（Ⅰ）1122MN MA A A A N =++,1122MN MB B B B N =++两式相加，并注意到点,M N 分别是线段11A B 、22A B 的中点，得12121()2MN A A B B =+.………6分（Ⅱ）由已知可得向量12A A 与12B B 的模分别为1与2，夹角为3π，所以12121A A B B =,由12121()2MN A A B B =+得22211()2MN A A B B A A B B A A B B =+=++∙=2……………12分 17.解：（Ⅰ）3()()7a b c a b c bc -++-=可得222223()27a b c a b c bc bc --=--+=所以222117a b c bc =+-，所以22211cos 214b c a A bc +-==，……………3分所以sin A ==所以1111cos cos()(cos cos sin sin )(1427C A B A B A B =-+=--=-⨯=……6分 （Ⅱ）由（1）可得734cos 1sin 2=-=C C 在△ABC 中，由正弦定理AaB bC c sin sin sin ==∴8sin sin ==A C a c , 5sin ==aAb b ……………9分 ∴310238521sin 21S =⨯⨯⨯==B ac . ……………12分 18.解: (Ⅰ)'2()f x ax x a =-+，由于函数()f x 在2x =时取得极值，所以 '(2)0f =。

即 420,a a -+=解得25a =，此时'()f x 在2x =两边异号，()f x 在2x =处取得极值。

……6分(Ⅱ) 方法一：由题设知：22ax x a x x a -+>+- 对任意(0,)a ∈+∞都成立 即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立……………9分设 22()(2)2()g a a x x x a R =+--∈, 则对任意x R ∈，()g a 为单调递增函数()a R ∈ 所以对任意(0,)a ∈+∞，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥即 220x x --≥，20x -≤≤∴， 于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤……………12分 方法二： 由题设知：22ax x a x x a -+>+-，对任意(0,)a ∈+∞都成立 即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22202x xx +≤+……………9分 20x -≤≤∴， 于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤……………12分19.解：（Ⅰ）()sin())f x x x ωϕωϕ=++12sin())2x x ωϕωϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦2sin 3x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．……………3分因为()f x 为奇函数，所以(0)2sin()03f πϕ=+=，又0||2πϕ<<，可得3πϕ=-所以()2sin f x x ω=，由题意得2ππ22ω=，所以2ω=．故()2sin 2f x x =．因此ππ2sin 63f ⎛⎫== ⎪⎝⎭……………6分（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移π6个单位后，得到π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，所以πππ()2sin 22sin 2663g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． ……………9分当π222322k x k ππππ--≤≤+（k ∈Z ），即π5πππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时，()g x 单调递增， 因此()g x 的单调递增区间为π5πππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）． ……………12分20.解：（Ⅰ）()f x 的定义域是(0,)+∞，求导得2'121()2(0)ax x f x ax x x x+-=+-=> 依题意'()0f x ≤在0x >时恒成立，即2210ax x +-≤在0x >恒成立. …………3分 这个不等式提供2种解法，供参考解法一：因为0a <，所以二次函数开口向下，对称轴10x a=->，问题转化为2240a =+≤ 所以1a ≤-，所以a 的取值范围是(,1]-∞- ……………6分 解法二，分离变量，得22121(1)1x a x x -≤=--在0x >恒成立，即min 2)1)11((--≤xa )0(>x 当1=x 时，21(1)1x --取最小值1-，∴a 的取值范围是(,1]-∞- ……………6分（Ⅱ）由题意2112ln 42x x x x b -+-=-，即213ln 042x x x b -+-=，设213()ln (0).g x x x x b x =-+->则(2)(1)().x x g x --'=列表： ∴()(1)4g x g b ==--极大值，()(2)ln 22g x g b ==--极小值，又(4)2ln 22g b =--………10分方程()0g x =在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.则(1)0(2)0(4)0g g g ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩， 得 5ln 224b -<≤- （注意512ln 224-<-<-） ……………13分21.解：（Ⅰ）()ln ,f x x x mx =+所以'()1ln f x x m =++由题意'(1)1ln12f m =++=,得1m =……3分 (Ⅱ)()ln ()(0,1)11f x x x x g x x x x x -==>≠--，所以,21ln ().(1)x xg x x --=- 设,1()1ln ,()1.h x x x h x x =--=-当1x >时，,1()10h x x=->，()h x 是增函数，()(1)0h x h >=，所以'21ln ()0(1)x xg x x --=>-，故()g x 在()1,+∞上为增函数； ……………6分 当01x <<时，,1()10h x x=-<，()h x 是减函数，()(1)0h x h >=， 所以,21ln ()0(1)x xg x x --=>-，故()g x 在()0,1上为增函数； 所以()g x 在区间(0,1)和(1,)+∞都是单调递增的。