鲁教版初中数学八年级下册知识点汇总

第6章特殊的平行四边形一、知识框架二．知识概念知识点1 菱形的定义（重点） ★一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 平行四边形菱形注意：定义既是菱形的判定方法又是性质 知识点2 菱形的性质（重点） ★定理：菱形的四条边都相等. ★定理：菱形的对角线互相垂直★菱形是轴对称图形,两条对角线所在直线都是它的对称轴 ★菱形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心★注意:(1)菱形是特殊的平行四边形,所以它具有平行四边形的一切特征 (2)菱形的四条边都相等,所以菱形的周长等于边长的4倍(3)菱形的对角线互相垂直,所以两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形,与菱形有关的几何问题一般都是从其中的一个直角三角形入手解决的(4)菱形是轴对称图形,因此每一条对角线都平分一组对角,这是进行角的有关计算或证明的基础 (5)菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半 知识点3 菱形的判定（重点）★定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,对角线互相垂直平分的四边形才是菱形 ★定理：四条边都相等的四边形是菱形. 知识点4 菱形的面积（重点）★菱形的面积计算除利用平行四边形面积公式外也可用对角线长来计算，若a,b 分别表示两条对角线长,则菱形的面积S=21ab 事实上,在对角线互相垂直的四边形中,一条对角线将四边形分成有公共底边的两个三角形,这两个三角形的高的和恰好是四边形的另一条对角线,由三角形的面积公式可得,对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线长度乘积的一半一组邻边相等★菱形的面积计算有如下方法:(1)一边长与两对边之间的距离(即菱形的高)的积;(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍);(3)两条对角线长度乘积的一半知识点5 矩形的概念★有一个角是直角的平行四边形叫做矩形有一个角是直角平行四边形矩形知识点6 矩形的性质（重点）★定理：矩形的四个角都是直角注意：此定理常作为证明两个三角形全等的隐含条件★定理：矩形的对角线相等★定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知识点7 矩形的判定（难点）★定理:对角线相等的平行四边形是矩形★定理:有三个角是直角的四边形是矩形★推论:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形★注意:(1)判定矩形时,首先要分清是在平行四边形基础上判定还是在四边形基础上判定,然后根据已知条件选择方法(2)用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件:一是有一个角是直角,二是平行四边形.也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形,必须加上平行四边形这个条件,它才是矩形(3)用“对角线相等的平行四边形是矩形”证明一个四边形是矩形,也必须满足两个条件:一是对角线相等，二是平行四边形。

知识点8 矩形的轴对称性（难点）★矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,对称轴分别是过每一组对边中点的直线,因此它的两条对称轴互相垂直。

★矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形.它的对称中心是两条对角线的交点；它有2条对称轴,对称轴之间的位置关系是互相垂直。

知识点9 正方形的概念★有一组邻边相等的矩形叫做正方形★注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形。

即有一组邻边相等的矩形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形。

知识点10正方形的性质（重点）★定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等 ★定理:正方形的对角线相等且互相垂直平分★正方形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心★正方形是轴对称图形,两条对角线所在的直线,以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴注意：(1)正方形既是菱形,又是矩形,而菱形、矩形又是平行四边形,因此正方形具有平行四边形、菱形、矩形的性质. (2) 正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形 知识点11正方形的判定(重难点)★定理:对角线相等的菱形是正方形 ★定理:对角线垂直的矩形是正方形 ★定理:有一个角是直角的菱形是正方形★判定正方形的一般顺序:先证明它是平行四边形——再证明它是菱形(或矩形）——最后证明它是正方形 ★注意:判定一个四边形是正方形主要根据定义,先判定它是矩形再判定它是菱形,或先判定它是菱形再判定它是矩形,即①先证它是矩形,再证有一组邻边相等或对角线互相垂直;②先证它是菱形,再证它有一个角是直角或对角线相等。

知识点12菱形、矩形、正方形与平行四边形之间的区别与联系(难点)★菱形、矩形、正方形都是平行四边形,且是特殊的平行四边形,特殊之处在于:矩形是有一个角为直角的平行四边形;★菱形是有一组邻边相等的平行四边形;而正方形又是兼具两者特性的更特殊的平行四边形，它既是矩形又是菱形，它们关系如下：对角线 相等 的平行四边形是矩形；对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形 对角线 相等且垂直 的平行四边形是正方形；对角线 垂直 的矩形是正方形对角线 相等 的菱形是正方形对角线 相等且互相平分 的四边形是矩形；对角线 互相垂直且平分 的四边形是菱形矩形正方形平行四边形菱形第7章二次根式一、知识框架二．知识概念知识点13二次根式的概念（重点）★一般地，形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式，其中a 叫做被开方数★注意:(1)二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零,这是因为a 表示a 的算术平方根,只有正数和零才有算术平方根,负数没有算术平方根,因此a 中的a 必须是非负数(2) 判断一个式子是否为二次根式,要看它是否具备两个特征:一是根指数为2,二是被开方数为非负数 (3) a 中的a 可以表示一个数,也可以表示单项式、多项式、分式等代数式 (4) )判断一个式子是不是二次根式,不能将其“化简”。

如:4=2,但4是二次根式 知识点14二次根式的性质a a 2=（a ≥0）★根据平方根的定义知,当a ≥0时，a 是a 的平方根a a 2=）（ ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(a a a 2a a a 即一个任意数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。

2a ）（与2a 的性质的区别与联系：知识点15积的算术平方根的性质（难点）★积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积：b a •=ab （a ≥0 ,b ≥0）知识点16商的算术平方根的性质（重点）商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根：ba=b a （a ≥0 ,b>0） 知识点17 最简二次根式（重点）一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

化简二次根式的一般方法：知识点18同类二次根式（重点）几个二次根式化简成最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式注意:(1)判断几个二次根式是否为同类二次根式,关键是把各二次根式准确地化成最简二次根式，再观察它们的被开方数是否相同。

(2)在没有化成最简二次根式以前,无法判断两个二次根式是否为同类二次根式,因此,化成最简二次根式是判断同类二次根式的前提条件。

知识点19合并同类二次根式（难点）★合并同类二次根式与合并同类项类似，把根号外的因式相加减，根指数与被开方数不变。

合并同类项：把同类项合并成一项就叫做合并同类项 知识点20二次根式的加减法(重点)★法则：先把各个二次根式分别化成最简二次根式，然后再将同类二次根式合并，有括号先去括号 知识点21二次根式的乘法法则（重点）ab =•b a （a ≥0 ,b ≥0）知识点22除法法则（重点）b a=ba （a ≥0 ,b>0） 知识点23二次根式的混合运算（难点）★与实数的运算顺序一样，先乘方后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。

在运算过程中，每个根式可以看做一个“单项式”，多个不是同类二次根式的二次根式可以看做“多项式”第8章一元二次方程一、知识框架二．知识概念知识点24 一元二次方程的定义★只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成ax² + bx + c = 0（a，b，c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程我们把ax ² + bx + c = 0（a ，b ，c 为常数，a ≠ 0）称为一元二次方程的一般形式，其中 ax²，bx ，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a ，b 分别称为二次项系数和一次项系数注意：（1）定义解释：①只含有一个未知数②是整式方程③未知数最高次数是2 三个条件缺一不可。

（2）判断一个方程是不是一元二次方程，以化简后为准（3）当方程中出现字母系数时，区分哪个是未知数。

例如：关于x 的方程……则表示x 是未知数，其它字母均是常数。

知识点25一元二次方程解得估算（难点）依据：代数式的值的求法。

当某一x 的取值使得这个方程中ax ² + bx + c = 0的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程的解。

注意：（1）估算一元二次方程的解，只是估算“解”的取值范围，比如在哪两个数之间。

（2）当接近的两个数一个使得ax ² + bx + c > 0，一个使得ax ² + bx + c < 0，则解就在这两个数之间。

知识点26开平方法解一元二次方程（重点）（2）★平行线如果一元二次方程的一边是一个含有未知数的一次式的完全平方式，而另一边是一个非负数，就可以用开平方法求解。

因此解一元二次方程的基本思路是将方程转化成(x+m)²=n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n ≥0时，方程两边同时开平方，把方程转化为一元一次方程，便可求出它的根。

注意：(1)开平方法的理论依据是平方根的意义(2)适合用开平方法解的一元二次方程主要有三种类型:①x ²=m(m ≥0);②(x+m)²=n(n ≥0);③a （x+m ）²=b(ab ≥0且a ≠0) 知识点27配方法解一元二次方程（难点）★通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。

配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程求解。

知识点28一元二次方程的求根公式（难点）★一般地，对于一元二次方程ax ²+bx+c=0(a ≠0),当b ²-4ac ≥0时,它的根是：a242acb b x -±-=,这个式子称为一元二次方程的求根公式注意：:(1)被开方数b ²-4ac 必须是非负数，否则ac 4b 2-没有意义;(2)由求根公式可知,一元二次方程的根是由a,b,c 决定的，只要确定了a,b,c 的值就可以代入公式求一元二次方程的根知识点29一元二次方程ax ²+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式一元二次方程ax ²+bx+c=0(a ≠0)的根的情况可由b ²-4ac 来判定，把b ²-4ac 叫做一元二次方程ax ²+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式,通常用希腊字母“△”来表示。