3.1.1变化率问题,教案
3.1.1变化率问题
由例题二可知， 求y =f ( x)在 x，x x 上的平均变化率的一般步骤为：
第一步：先求y f ( x x) f ( x);
y f ( x x) f ( x) 第二步：计算 . x x
注意：例题二计算平均变化率的方法， 在为后一节定义导数做考：
这一节我们学习了求y =f ( x)在 x，x x 上 的平均变化率。假设x 0，那么这个
x，x x x，此时的这个平均变化率
y =f ( x)在x处的瞬时变化率。
上面这个说法对不对，请发表一下你的看法！
解：这位车手在前三秒钟内赛车车速的平均变化 率是 120 0 40 m s
30
赛车车速度的平均变化率=
速度的增量 时间的增量
问题二：回忆一下吹气球的过程，可以发现，随 着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的越 来越慢。请问：当空气容量V从0增加到1L时， 气球半径的平均变化率？（半径r的单位是:dm)
y f ( x2 ) f ( x1 ) = x x2 x1
表示什么？
y f ( x2 ) f ( x1 ) 平均变化率 = 表示 x x2 x1 连接两点的线段所在直线的斜率。
例题二：求函数y x2 x在区间[3,3 x]上的平均变化率。
解： y f (3 x) f (3) (3 x) 2 32
解：当空气容量V从0增加到1L时，气球半径的 平均变化率为 r (1) r (0) 0.62 dm
1 0 L
半径的增量 气球半径的平均变化率= 体积的增量
定义： 如果上述两个问题中的函数关系用 y f ( x) 表示， 那么问题中的变化率可用式子 f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1 表示，我们把这个式子称为函数 y f ( x) 从 x1 到 x 2 的平均变化率。 注意：习惯上令增量y f ( x2 ) f ( x1 ) ，x x2 x1 于是， 平均变化率可以表示为 y x
《变化率问题》课件
从以上的例子中，我们可以了解到，平均变化率 是指在某个区间内数值的平均变化量. 如果上述问题中的函数关系用 f ( x) 表示，那么问 f x2 f x1 题中的变化率可用式子： 表示。 x2 x1
函数f ( x)从x1到x2的平均变化率
f x2 f x1 平均变化率： x2 x1
习惯上：用 x表示x2 -x1，即：x x2 x1
注意：x是一个整体符号，而不是与x相乘。
可把x看作是相对于x1的一个增量， 可用x1 x代替x2 ;
“增量”：x
x2 x1
令“增量” x x2 x1
f f x2 f x1
可以看出： 随着气球体积逐渐变大，它的 平均膨胀率逐渐变小。
思 考 ？
当空气பைடு நூலகம்量从V1增加到V2时，气
球的平均膨胀率是多少？
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
探究活动
气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把
这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均
变化率:
r (V2 ) r (V1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) V2 V1 x2 x1
3.1.1 变化率问题
很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程。
发现：
随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加 的越来越慢。 从数学的角度，如何描述这种现象呢？
气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm)之 间的函数关系是：
4 3 3V 3 V (r ) r r (V ) 3 4
f x2 f x1 f x1 x f x1 f x x2 x1 x
f 于是：平均变化率可以表示为： x
3.1.1 变化率问题教案2020-2021学年高二数学人教A版选修1-1第一章
《变化率问题》教学设计教材分析：导数与函数、不等式等内容有着密切的联系，是解决最值问题强有力的工具。
本节是导数的起始课，也是后续学习瞬时变化率以及导数的基础。
学情分析：学生对平均值的计算方法是不陌生的，这是这节课的知识基础。
另外，前面也已经学习过了直线斜率的有关知识，也为本节中理解平均变化率提供了知识储备。
但从实际问题抽象出数学模型，对学生来说是有些困难的。
教学目标：（1）初步了解微积分的发展，感受数学家的聪明智慧。
（2）让学生经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。
（3）理解平均变化率的概念，会求函数在定区间和某点附近的平均变化率。
（4）结合平均变化率的几何意义，让学生体会数形结合的思想。
教学重点：1．由生活中的变化率问题归纳得出平均变化率的概念；2．理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数的平均变化率；教学难点：数学建模思想的应用教学方法：问答法、自主探究法教学过程：1.整体介绍师：我们用函数来描述物体运动变化的现象，随着对函数的进一步研究，产生了微积分。
微积分是由两位伟大的科学家牛顿、莱布尼茨共同创立的，可以说啊，微积分的创立是数学史上对的里程碑，被誉为“人类精神的最高胜利”。
微积分的创立，与四类问题的处理直接相关：①已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程。
②求曲线的切线。
③求已知函数的最大值与最小值。
④求长度、面积、体积、重心等。
在本章中，我们将要学习的导数是微积分的核心概念之一，也是研究解决问题最一般、最有效的工具。
今天，就让我们从变化率问题开始导数的学习吧。
【简要介绍微积分创立的背景，加深学生对微积分的认识，顺利引出本节课的课题】2．引例初探教师ppt 展示姚明的身高变化曲线图，请同学们读图并思考：在哪个年龄段，他的身高变化是最快的呢？【引导学生从形的陡和缓做直观判断，学生不难看出在13-16岁身高变化最快】师：华罗庚曾经说过：数缺形时少直观，形缺数时难入微。
高中数学：3.1变化的快慢与变化率二教案(北师大选修1-1)
3.1变化的快慢与变化率一、问题情境1、情境：现有南京市某年 3 月和时间3月18日4 月某天日最高气温记录4月18日.4 月20 日日最高气温 3.5℃18.6℃33.4℃察看：3月18日到 4月 18日与 4月18日到4 月20 日的温度变化，用曲线图表示为：（理解图中A、 B、 C 点的坐标的含义）T (℃)C (34, 33.4) 30B (32, 18.6)2010A (1, 3.5)2t(d) 021*******问题 1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数双方面）问题 2：怎样量化（数学化）曲线上涨的峻峭程度？二、学生活动1、曲线上BC 之间一段几乎成了“直线”，由此联想怎样量化直线的倾斜程度。
2、由点 B 上涨到 C 点，一定观察 y C—y B的大小，但只是注意 y C— y B的大小可否精准量化 BC 段峻峭程度，为何？3、在观察 y C— y B的同时一定观察 x C— x B，函数的实质在于一个量的改变自己就隐含着这类改变必然相关于另一个量的改变。
三、建构数学1．经过比较气温在区间 [1，32]上的变化率 0． 5 与气温 [32,34] 上的变化率 7． 4，感知曲线峻峭程度的量化。
2.一般地 ,给出函数f(x) 在区间 [x1， x2 ]上的均匀变化率f ( x2)f ( x1)。
x2x13．回到气温曲线图中，从数和形双方面对均匀变化率进行意义建构。
4。
均匀变化率量化一段曲线的峻峭程度是“粗拙不精准的”，但应注意当 x2— x1很小时，这类量化便有“粗拙”迫近“精准” 。
四、数学运用例 1、在经营某商品中，甲挣到 10 万元，乙挣到 2 万元，怎样比较和评论甲，乙两人的经营成就？变：在经营某商品中，甲用 5 年时间挣到 10 万元，乙用 5 个月时间挣到 2 万元，怎样比较和评论甲，乙两人的经营成就？小结：仅考虑一个变量的变化是不可以的。
例 2、水经过虹吸管冷静器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积 V (t ) 5 2 0.1t（单位： cm3），计算第一个 10s 内 V 的均匀变化率。
变化率问题教案
变化率问题教案教案标题：变化率问题教案教案概述：本节课的教学目标是帮助学生理解和应用变化率的概念。
通过引入实际生活中的变化率问题，学生将学会计算和解释变化率，并能够将其应用于各种实际情境中。
本节课适用于中学高年级学生，他们已经掌握了基本的数学概念和计算技巧。
教学目标：1. 理解变化率的概念和意义；2. 能够计算和解释变化率；3. 能够应用变化率解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：- 准备一些实际生活中的变化率问题的例子；- 准备展示和解释变化率计算方法的教学资源；- 准备学生练习和巩固所学内容的练习题。
2. 学生准备：- 确保学生已经掌握了基本的数学计算技巧和概念。
教学过程：引入（5分钟）：1. 引入一个实际生活中的变化率问题，例如：小明每分钟能够跑100米，那么他的速度是多少？2. 引导学生思考速度的定义，并与变化率进行联系。
讲解变化率概念（10分钟）：1. 使用图表或图形来解释变化率的概念，例如：绘制小明跑步速度随时间变化的图表。
2. 解释变化率的定义：变化率是指某一量在一定时间内的变化量。
3. 强调变化率的单位和意义。
计算和解释变化率（15分钟）：1. 展示变化率计算的方法，例如：速度的变化率等于距离的变化量除以时间的变化量。
2. 通过几个例子引导学生计算和解释变化率。
应用变化率（15分钟）：1. 提供一些实际生活中的变化率问题，例如：汽车行驶的速度随时间的变化、销售额的增长率等。
2. 引导学生应用所学的变化率概念和计算方法解决这些问题。
3. 鼓励学生思考变化率对于解决实际问题的重要性。
练习和巩固（10分钟）：1. 分发练习题，让学生独立或小组完成。
2. 检查并讲解答案，解决学生可能遇到的问题。
总结（5分钟）：1. 总结本节课所学的内容和重点。
2. 强调变化率在实际问题中的应用价值。
拓展活动：1. 鼓励学生应用变化率的概念和计算方法解决更复杂的变化率问题。
2. 提供更多实际生活中的变化率问题供学生练习。
3.1.1 变化率问题 3.1.2导数的概念 教案(人教A版选修1-1)
3．1 变化率与导数3．1.1变化率问题3．1.2导数的概念(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能通过大量的实例的分析，让学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．2．过程与方法通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法．3．情感、态度与价值观学生在从平均变化率到瞬时变化率的探索过程中，通过动手算、动脑思和集体合作讨论，发展思维能力，树立敢于战胜困难的信息，养成主动获取知识和敢于探索求知的习惯，激发求知欲，增强合作交流意识．●重点、难点重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵．难点：在平均变化率的基础上探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵．通过列举大量实例增强学生对导数概念形成的理解，以化解重点；通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点．(教师用书独具)●教学建议学生对平均变化率已有了很好的认识，同时在物理课程中已学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，于是，在教学设计中，宜采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，本着为学生发展的原则，通过师生互动、共同探索，形成概念，并学以致用．在学生的认知基础上，为了让学生明确导数就是瞬时变化率，函数f (x )在x ＝x 0处的导数反映了函数f (x )在x ＝x 0处附近变化的快慢，从而更好地理解导数的概念．在学法指导上，应回避了学生较难理解的极限思想，而是通过让学生体验逼近的思想，让他们通过自主探究，发现导数的内涵．使学生在学习过程中探究能力，分析问题、解决问题的能力都得到了不同程度的提升．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何刻画物体运动的快慢？⇒引导学生结合物理知识，分析、比较，引出平均变化率与瞬时变化率的概念.⇒通过引导学生回答所提问题理解瞬时变化率，得出导数的概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何计算平均变化率.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握求瞬时速度的方法，为求导数打下基础.⇒通过例3及其变式训练，学会求函数在某点处的导数的步骤与方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第45页)【问题导思】实例：(1)当你吹气球时会发现随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的会越来越慢．(2)从高空放下一件物体，随着时间的变化，物体下降的速度会越来越快． 1．如何用数学的观点刻画物体运动的快慢？ 【提示】 可以运用平均变化率来刻画．2．实例(2)中，当t 1≈t 2时刻时，平均变化率有什么样的特点？ 【提示】 平均变化率接近t 1或t 2时刻的速度． 1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(对应学生用书第45页)求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，在哪一点附近平均变化率最大？【思路探究】 (1)Δx 、Δy 分别为多少？(2)平均变化率怎么求？(3)哪一点附近的平均变化率大？【自主解答】 在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．1．解答本题的关键是弄清在某点处自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy . 2．求函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的三个步骤 (1)求自变量的增量：Δx ＝x 2－x 1. (2)求函数值的增量：Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (3)作商求函数的平均变化率：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．【解】 函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π，在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sin π3π2－π3＝3(2－3)π. ∵2－3＜1，∴3π＞3(2－3)π.∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为3(2－3)π，且在0到π6之间的平均变化率较大．s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3)29＋3(t －3)2(0≤t ＜3) 求(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度． (2)物体的初速度v 0.【思路探究】 (1)求物体在[3,5]内的平均速度应选择哪一段函数的解析式？(2)物体的初速度v 0的含义是什么？如何去求？【自主解答】 (1)∵物体在t ∈[3,5]内时，s ＝3t 2＋2，且时间增量Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt ＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为 li mΔt →0 ΔsΔt＝li mΔt →0 (3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度为－18 m/s.1．解答本例首先要弄清第(1)问是求平均变化率，而第(2)问实际上是求t ＝0时的瞬时速度(即瞬时变化率)．2．求瞬时速度应先求平均速度v ＝Δs ，再用公式v ＝li mΔt →0 Δs，求得瞬时速度． 3．如果物体的运动方程是s ＝s (t )，那么函数s ＝s (t )，在t ＝t 0处的导数，就是物体在t ＝t 0时的瞬时速度．一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3做直线运动，求这辆车在t ＝2时的瞬时速度(时间单位：s ，位移单位：m)．【解】 设这辆车在t ＝2附近的时间变化量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt )2，Δs Δt ＝8＋2Δt ，当Δx 趋于0时，平均变化率ΔsΔt 趋于8. 所以，这辆车在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s.【思路探究】 求Δy →求ΔyΔx→取极限→得f ′(1) 【自主解答】 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[3(1＋Δx )2＋a (1＋Δx )＋b ]－(3＋a ＋b )＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx .Δy Δx ＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx Δx＝3Δx ＋6＋a . li mΔx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 (3Δx ＋6＋a )＝6＋a . ∴f ′(1)＝6＋a .1．求函数f (x )在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限．2．利用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的两个注意点(1)在求平均变化率Δy Δx 时，要注意对Δy Δx 的变形与约分，变形不彻底可能导致li mΔx →0 ΔyΔx 不存在．(2)当对Δy Δx 取极限时，一定要把ΔyΔx变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形式．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 【解】 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝a (1＋Δx )2＋c －(a ＋c ) ＝2a ·Δx ＋(Δx )2，∴Δy ＝2a ·Δx ＋(Δx )2＝2a ＋Δx . 因此f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(2a ＋Δx )＝2a .∴2a＝2，a＝1.(对应学生用书第48页)求物体的瞬时速度、初速度时要注意步骤的规范性(12分)(2013·长沙高二检测)一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．【思路点拨】本题已知函数解析式，求初速度即t＝0时的瞬时速度，t＝2时的瞬时速度和t∈[0,2]时的平均速度，可以用一差、二比、三极限的方法．【规范解答】(1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，2分Δs Δt＝3Δt－(Δt)2Δt＝3－Δt，3分lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3－Δt)＝3.4分∴物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt]，∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22) ＝－Δt－(Δt)2，6分Δs Δt＝－Δt－(Δt)2Δt＝－1－Δt，7分lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(－1－Δt)＝－1，8分∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.(3)当t∈[0,2]时，Δt＝2－0＝2.Δs ＝s (2)－s (0)＝(3×2－22)－(3×0－02)＝210分 v ＝Δs Δt ＝22＝1. ∴在0到2之间，物体的平均速度为1.12分解答此类问题首先要理解概念与公式的内涵，其次在解题过程中要严格按规定步骤解答，切忌跨步，以免出错．1．平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．2．函数在一点处的导数，就是在该点函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不是变数.(对应学生用书第48页)1．已知物体位移公式s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列说法错误的是( ) A ．Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)叫做位移增量B.Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 叫做这段时间内物体的平均速度C.ΔsΔt 不一定与Δt 有关 D.lim Δt →ΔsΔt叫做这段时间内物体的平均速度 【解析】 D 错误，应为t ＝t 0时的瞬时速度． 【答案】 D2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44【解析】 ∵x ＝2，Δx ＝0.1， ∴Δy ＝f (2＋0.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】 B3．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b 【解析】Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝a ＋b ·Δx ， f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(a ＋b ·Δx )＝a . 【答案】 C4．一物体运动的方程是s ＝3＋t 2，求物体在t ＝2时的瞬时速度． 【解】 Δs ＝(2＋Δt )2－4＝4Δt ＋(Δt )2.∴ΔsΔt＝4＋Δt . ∴当Δt →0时，瞬时速度为4.(对应学生用书第103页)一、选择题1．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2【解析】 Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2.∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx . 【答案】 C2．自由落体运动的公式为s ＝s (t )＝12gt 2(g ＝10 m/s 2)，若v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ，则下列说法正确的是( )A ．v 是在0～1 s 这段时间内的速度B ．v 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．5Δt ＋10是物体在t ＝1 s 这一时刻的速度D ．5Δt ＋10是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度【解析】 由平均速度的概念知：v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝5Δt ＋10.故应选D.【答案】 D3．(2013·惠州高二检测)某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t (t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒B.12516米/秒 C ．8米/秒 D.674米/秒【解析】 ∵Δs Δt ＝(4＋Δt )2＋34＋Δt －16－34Δt＝(Δt )2＋8Δt ＋－3Δt 4(4＋Δt )Δt＝Δt ＋8－316＋4Δt，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝8－316＝12516. 【答案】 B4．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( )A ．k 1＜k 2B ．k 1＞k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定【解析】 k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝2x 0－Δx ，而Δx 可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定．【答案】 D5．已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1上一点，且f ′(x 0)＝0，则点P 的坐标为( )A ．(1,10)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(－1,10)【解析】 Δy ＝3(x 0＋Δx )2＋6(x 0＋Δx )－3x 20－6x 0＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2＋6Δx ，∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(6x 0＋3Δx ＋6)＝6x 0＋6＝0. ∴x 0＝－1，y 0＝－2.【答案】 B二、填空题6．(2013·洛阳高二检测)一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s (t )＝t 2, (s 的单位：米，t 的单位：秒)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为________．【解析】 v ′(5)＝lim Δt →0 s (5＋Δt )－s (5)Δt＝lim Δt →0(10＋Δt )＝10 【答案】 10米/秒7．已知函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________.【解析】 f ′(1)＝lim Δx →0 a (1＋Δx )＋4－a －4Δx ＝lim Δx →0 a Δx Δx＝2，∴a ＝2. 【答案】 28．若函数f(x)在x＝a处的导数为m，那么limΔx→0f(a＋Δx)－f(a－Δx)Δx＝________.【解析】∵limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)Δx＝m，则limΔx→0f(a－Δx)－f(a)－Δx＝m.∴limΔx→0f(a＋Δx)－f(a－Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)＋f(a)－f(a－Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)＋limΔx→0f(a－Δx)－f(a)－Δx＝m＋m＝2m.【答案】2m三、解答题9．已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x0)，f′(0)．【解】∵Δf＝(x0＋Δx－1)2－(x0－1)2＝2x0·Δx－2Δx＋(Δx)2，∴ΔfΔx＝2x0Δx－2Δx＋(Δx)2Δx＝2x0－2＋Δx，f′(x0)＝limΔx→0ΔfΔx＝limΔx→0(2x0－2＋Δx)＝2x0－2，把x0＝0代入上式，得f′(0)＝2×0－2＝＝－2.10．设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数：s＝3t2＋2t＋1.(1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1时的平均速度；(2)求当t＝2时的瞬时速度．【解】(1)从t＝2到t＝2＋Δt内的平均速度为：Δs Δt＝s(2＋Δt)－s(2)Δt＝3(2＋Δt)2＋2(2＋Δt)＋1－3×4－2×2－1Δt＝14Δt＋3(Δt)2Δt＝14＋3Δt.当Δt＝1时，平均速度为14＋3×1＝17；当Δt＝0.1时，平均速度为14＋3×0.1＝14.3.(2)t＝2时的瞬时速度为：v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(14＋3Δt)＝14.11．(2013·黄冈高二检测)枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果枪弹的加速度是a ＝5×105 m/s 2，它从枪口射出所用的时间为t 1＝1.6×10－3 s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． 【解】 ∵s (t )＝12at 2， ∴Δs ＝s (t 1＋Δt )－s (t 1)＝12a (t 1＋Δt )2－12at 21＝at 1Δt ＋12a (Δt )2， Δs Δt ＝at 1Δt ＋12a (Δt )2Δt ＝at 1＋12a Δt . ∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (at 1＋12a Δt )＝at 1. 由题意a ＝5×105 m/s 2，t 1＝1.6×10－3s ， ∴v ＝at 1＝5×105×1.6×10－3 ＝800(m/s)，即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.(教师用书独具)求函数y ＝1x在x ＝1时的瞬时变化率． 【解】 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝11＋Δx －1＝1－1＋Δx 1＋Δx＝1－1－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx， ∴Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx . ∴Δx 趋于0时，Δy Δx 趋于－12. ∴x ＝1时的瞬时变化率为－12.求y ＝x 在x ＝1处的导数．【解】 由题意知Δy ＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝(1＋Δx －1)(1＋Δx ＋1)Δx (1＋Δx ＋1) ＝11＋Δx ＋1， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.。
21-22版：3.1.1 变化率问题~3.1.2 导数的概念（步步高）
学核心素养.
3 随堂演练
PART THREE
1.f(x)＝2x＋1在[1,2]内的平均变化率为
A.0
B.1
√C.2
D.3
解析 f(x)＝2x＋1 在[1,2]上的平均变化率为ΔΔxy＝f22－－1f1＝2.
12345
2.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是
√A.－1
B.1
C.2
D.－2
反思 感悟
求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1). (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1.
跟踪训练1 已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点
B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则
2 题型探究
PART TWO
一、函数的平均变化率
命题角度1 求函数的平均变化率 例1 求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值为 1，哪一点附
3 近的平均变化率最大？
解 在x＝1附近的平均变化率为 k1＝f1＋ΔΔxx－f1＝1＋ΔΔxx2－1＝2＋Δx； 在x＝2附近的平均变化率为 k2＝f2＋ΔΔxx－f2＝2＋ΔΔxx2－22＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均变化率为 k3＝f3＋ΔΔxx－f3＝3＋ΔΔxx2－32＝6＋Δx. 若 Δx＝13，则 k1＝2＋31＝37，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝139， 由于k1<k2<k3，故在x＝3附近的平均变化率最大.
lim
Δt→0
ΔΔst＝Δlitm→0
(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1，
则2t0＋1＝9，∴t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
3.1.1变化率问题(实用)
——它反映了函数变化的快慢.
x 是一个整体符号，
而不是 与 x 相乘.
理解： 1，式子中△x
、△
y
的值可正、可负，但
y
的△x值不能为0， △ y 的值可以为0
x
2，若函数f (x)为常函数时， △ y =0
3, 变式
f (x2 ) f (x1) f (x1 x) f (x1)
平均变化率是（ B）
Байду номын сангаас
A.4
B.2
1
C. 4
3
D. 4
解：Δy = 32 - 1 = 2 Δx 3 - (-1)
3、函数 y = 2x2在区间[1，1.5]上的
平均变化率为_______5________.
解：由平均变化率的公式
得 y 2（1.52 -1.12） 5.
x
1.5 -1
观察函数 f (x) 的图象, 平均变化率
v
h( 65 ) 49 65
h(0) 0
10 10 65
0
49
49
平均速度不能反映他在这段 时间里运动状态，需要用瞬时速 度描述运动状态.
课后探究:
(1)搜集微积分的发展史资料； (2)生活中的变化率问题的例子； (3)物理中如何求瞬时速度.
仅考虑一个变量的变化是不行的
情境应用，感知概念
情境2:
海南最近12个月新房价格走势
海南在售新房均价：26683 元/平方米(仅供参考)
问题:如何刻画变化的快与慢呢？
求求看：高台跳水
运动员距水面的高度h(单位:米)与起跳后的 时间t（单位:秒）存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
高中数学选修1-1教学设计-变化率问题+导数的概念
3.1 变化率与导数3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念1.理解函数在某点附近的平均变化率.(重点)2.了解导数的概念并会求函数在某点处的导数.(难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系.(易错点)[基础·初探]教材整理1 变化率问题阅读教材P72～P74“思考”部分，完成下列问题.函数的变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：ΔyΔx＝f x2－f x1x2－x1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx表示x2－x1是相对于x1的一个增量，Δx可以为零.( )(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负也可以为零.( )(3)ΔyΔx表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率.( )【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2 导数的概念阅读教材P74导数的概念～P75例1以上部分，完成下列问题.1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率(1)定义式：lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx .(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值.(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢. 2.函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx .判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关.( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量.( ) (3)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零.( ) (4)函数f (x )＝x 在x ＝0处的瞬时变化率为0.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×[小组合作型]平均变化率(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为______，当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值为________.(2)已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及临近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝________.【自主解答】 (1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f x0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝x 0＋Δx 2＋2]－x 20＋Δx＝6x 0·Δx ＋Δx 2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.(2)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－[－(－1)2＋(－1)]＝－(Δx)2＋3Δx，∴ΔyΔx＝－Δx2＋3ΔxΔx＝－Δx＋3.【答案】(1)6x0＋3Δx12.3 (2)－Δx＋3求平均变化率的主要步骤1.计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1).2.计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.3.得平均变化率ΔyΔx＝f x2－f x1x2－x1.[再练一题]1.求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为13，在哪一点附近平均变化率最大？【导学号：97792034】【解】在x＝1附近的平均变化率为：k 1＝f＋Δx－fΔx＝＋Δx2－1Δx＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为：k 2＝f＋Δx－fΔx＝＋Δx2－22Δx＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为：k 3＝f＋Δx－fΔx＝＋Δx2－32Δx＝6＋Δx.若Δx＝1 3，则k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k1＜k2＜k3，故在x＝3附近的平均变化率最大.若一物体的运动方程为s ＝⎩⎨＋t －2，0≤3t 2＋2，t ≥3(路程单位：m ，时间单位：s).求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度. 【精彩点拨】根据问题选择对应的函数解析式→根据平均速度和瞬时速度的概念求解 【自主解答】 (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s).(2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt )2－12Δt ](m)，所以Δs Δt ＝Δt 2－12Δt Δt＝(3Δt －12)(m/s)，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12(m/s).求物体瞬时速度的步骤1.设非匀速直线运动的规律s ＝s (t ).2.求时间改变量Δt 和位置改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0).3.求平均速率v ＝ΔsΔt.4.计算瞬时速率：当Δt →0时，ΔsΔt→v (常数).[再练一题]2.质点M 按规律s ＝2t 2＋3作直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s).求质点M 在t ＝2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度.【解】 v ＝lim Δt →0s ＋Δt －sΔt＝lim Δt →0＋Δt 2－2×22Δt＝lim Δt →0(2Δt ＋8)＝8(cm/s)，v ＝s 3－s 13－1＝2×32＋3－2×12＋32＝8(cm/s).[探究共研型]探究导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？【提示】导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.(1)求函数y＝x在x＝1处的导数；(2)求函数y＝x2＋ax＋b在x处(a，b为常数)的导数.【精彩点拨】本题求函数的导数，可以按照“求导数的三步曲”来求解. 【自主解答】(1)Δy＝1＋Δx－1，Δy Δx ＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1，lim Δx→011＋Δx＋1＝12，∴y′|x＝1＝1 2 .(2)Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，Δy Δx ＝x＋aΔx＋Δx2Δx＝(2x＋a)＋Δx，lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2x＋a＋Δx)＝2x＋a，∴f′(x)＝2x＋a.1.求函数f(x)在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限.2.利用定义求函数y＝f(x)在点x0处的导数的两个注意点：(1)在求平均变化率ΔyΔx时，要注意对ΔyΔx的变形与约分，变形不彻底可能导致limΔx→0ΔyΔx不存在；(2)当对ΔyΔx取极限时，一定要把ΔyΔx变形到当Δx→0时，分母是一个非零常数的形式.[再练一题]3.求函数y＝x－1x在x＝1处的导数.【导学号：97792035】【解】∵Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－⎝⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx＋Δx1＋Δx，∴ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx.当Δx→0时，ΔyΔx→2，∴f′(1)＝2，即函数y＝x－1x在x＝1处的导数为2.1.已知函数y＝f(x)＝x2＋1，当x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )A.0.40B.0.41C.0.43D.0.44【解析】∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.【答案】 B2.设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )A.f′(x)＝aB.f′(x)＝bC.f′(x0)＝aD.f′(x0)＝b【解析】ΔyΔx＝f x＋Δx－f x0Δx＝a＋b·Δx，f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(a＋b·Δx)＝a.【答案】 C3.一质点按规律s(t)＝2t2运动，则在t＝2时的瞬时速度为__________. 【解析】s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2－2×22＝2(Δt)2＋8Δt.∴limΔt→0s＋Δt－sΔt＝limΔt→0Δt2＋8ΔtΔt＝limΔt→0(2Δt＋8)＝8.【答案】84.设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.【解析】f′(1)＝limΔx→0f＋Δx－fΔx＝limΔx→0a＋Δx＋4－a＋Δx＝a，又∵f′(1)＝2，∴a＝2.【答案】 25.求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数.【解】Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，∴ΔyΔx＝Δx2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.y′|x＝3＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2Δx＋16)＝16.。
变化率问题教案
变化率问题教案教案: 变化率问题I. 引言A. 引入变化率的概念B. 引出学生在解决变化率问题上的困惑C. 目标：通过本课程，学生将能够熟练解决变化率问题II. 学习目标与能力要求A. 学习目标：了解变化率的定义，掌握计算变化率的方法，能够应用变化率解决实际问题B. 能力要求：具备基本的数学计算能力，理解直线的斜率概念III. 预习活动A. 学生通过阅读教科书或课外资料扩充对变化率的理解B. 学生为预习问题解决方案做准备IV. 暖身活动A. 学生通过解决简单的变化率问题来复习前一个章节的知识B. 学生互相讨论解决方案，分享自己的思考过程V. 教学过程A. 引导学生理解变化率1. 提供一个简单的实例，让学生观察和描述变化率的含义2. 指导学生使用数学表达式定义变化率，讨论其意义3. 练习计算变化率的例子，确保学生掌握计算方法B. 应用变化率解决实际问题1. 提供一些实际生活中的问题，引导学生用变化率解决2. 要求学生在解决问题的过程中陈述他们的思考步骤，以促进深入理解3. 练习更复杂的变化率问题，以加强学生的应用能力C. 深入理解变化率1. 引导学生思考变化率的特性和性质2. 提供一些挑战性问题，让学生通过分析和推理来解决3. 鼓励学生提出自己的问题，并寻找解决方案VI. 巩固练习A. 给学生一些变化率相关的题目作为巩固与拓展B. 学生独立完成练习，然后和同伴交流解决方案C. 教师梳理学生的答案与思路，进行解析与讨论D. 对于有困惑的学生，教师提供额外的辅导与指导VII. 总结与反思A. 教师引导学生总结课程的内容，强调变化率的重要性与应用B. 学生反思自己的学习过程，提出问题和心得C. 教师提供鼓励和指导，激发学生继续深入学习相关知识的兴趣VIII. 作业布置A. 提供一些练习题作为课后作业B. 要求学生总结今天学到的重点知识，书写对变化率的理解和应用IX. 扩展学习A. 推荐学生到外部资源寻找更多变化率相关的问题和实例B. 鼓励学生参加数学竞赛或研究性学习，拓宽数学应用领域X. 复习与检测A. 定期安排复习课堂，检验学生对变化率概念的理解与应用B. 根据学生的学习情况进行个别辅导和指导本教案按照教案格式来介绍了一堂关于变化率问题的课程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.1.1变化率问题,教案篇一：3.1.1变化率问题教案3.1变化率与导数3.1.1变化率问题一、【创设情境】为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;2、求曲线的切线;3、求已知函数的最大值与最小值;4、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二、新课讲授(一)问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)?如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)?3分析:r(V)?43?r33V4?3V4?(1)当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)?r(0)?0.62(dm)r(1)?r(0)气球的平均膨胀率为?0.62(dm/L)1?0(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)?r(1)?0.16(dm)r(2)?r(1)气球的平均膨胀率为?0.16(dm/L)2?1可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间r(V2)?r(V1)V2?V1t(单位:s)存在函数关系h(t)??4.9t2?6.5t?10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?思考计算:0?t?0.5和1?t?2的平均速度v在0?t?0.5这段时间里,v?h(0.5)?h(0)?4.05(m/s)0.5?0在1?t?2这段时间里,v?探究:计算运动员在0?t?h(2)?h(1)??8.2(m/s)2?165这段时间里的平均速度,并思考以下问题:49(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程:如图是函数h(t)??4.9t2?6.5t?10的图像,结合图形可知,h(65)?h(0),所以v?49h(65)?h(0)49?0(s/m)65?049虽然运动员在0?t?65这段时间里的平均速度为0(s/m),49但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子f(x2)?f(x1)表示,x2?x1称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.2.若设?x?x2?x1,?f?f(x2)?f(x1)(这里?x看作是对于x1的一个“增量”可用x1??x代替x2,同样?f??y?f(x2)?f(x1))则平均变化率为f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f???x2?x1?x?x?x?ff(x2)?f(x1)表示什么???xx2?x1思考:观察函数f(x)的图象平均变化率三、典例分析例1已知函数f(x)??x?x的图象上的一点a(?1,?2)及2?y?.?x解:?2??y??(?1??x)2?(?1??x)临近一点B(?1??x,?2??y)则?y?(?1??x)2?(?1??x)?2??3??x∴?x?x例2求y?x2在x?x0附近的平均变化率.解:?y?(x0??x)?x02222x0?2x0?x??x2?x0?y(x0??x)2?x0所以???2x0??x?x?x?x所以y?x2在x?x0附近的平均变化率为2x0??x2课堂练习1.质点运动规律为s?t?3,则在时间(3,3??t)中相应的平均速度为.2.物体按照s(t)?3t?t?4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.3.过曲线y?f(x)?x上两点P(1,1)和Q(1??x,1??y)作曲线的割线,求出当?x?0.1时割线的斜率.四、【课堂小结】1.平均变化率的概念.2.函数在某点处附近的平均变化率.322篇二：3.1.1变化率问题(学、教案)变化率问题课前预习学案一、预习目标了解平均变化率的定义。
二、预习内容[问题1]在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率为_______________[问题2]在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m) 与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态?在0?t?0.5这段时间里，v=_________________在1?t?2这段时间里，v=_________________在t1?t?t2这段时间里，v=_________________[问题3]对于公式，应注意：（1）平均变化率公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的_______的差。
（2）平均变化率公式中,分子、分母中同为被减数的是右端点，减数是左端点，一定要同步。
?ff(x2)?f(x1)?[问题4]平均变化率表示什么??xx?xax2三、提出疑惑课内探究学案1篇三：20XX年人教a版选修1-1教案3.1.1变化率问题3.1.1变化率问题教学目标知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
教学重点：平均变化率的含义教学难点：会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
教学过程：情景导入：展示目标:知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
检查预习:见学案合作探究：探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2;:在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态?交流展示：学生交流探究结果,并完成学案。
精讲精练：例1过曲线y?f(x)?x3上两点P(1,1)和Q(1??x,1??y)作曲线的割线，求出当?x?0.1时割线的斜率.2例2已知函数f(x)?x，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001]有效训练练1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6.39练2.已知函数f(x)?2x?1，g(x)??2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f(x)及g(x)的平均变化率.反思总结1.函数f(x)的平均变化率是2.求函数f(x)的平均变化率的步骤：12T(月) （1）求函数值的增量（2）计算平均变化率篇四：3.1.1变化率问题学案泰安五中数学学科高二学案3.1.1变化率问题编制者：戚桂林编制时间：20XX年1月11日审定学习目标：1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率.㈠预习导学一、学习背景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;2、求曲线的切线;3、求已知函数的最大值与最小值;4、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.【自主梳理】问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?分析：(1)当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出：思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)??4.9t2?6.5t?10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?思考计算:0?t?0.5和1?t?2的平均速度计算运动员在0?t?65这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运49动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子f(x2)?f(x1)表示,称为函数f(x)从x1x2?x1到x2的平均变化率.2.若设?x?x2?x1,?f?f(x2)?f(x1)(这里?x看作是对于x1的一个“增量”可用x1??x代替x2,同样?f??y?f(x2)?f(x1))则平均变化率为f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f????x?xx2?x1?x?ff(x2)?f(x1)?表示什么??xx2?x1思考:观察函数f(x)的图象平均变化率㈡课堂导学【合作探究】例1已知函数f(x)??x2?x的图象上的一点a(?1,?2)及临近一点B(?1??x,?2??y)，则?y?.?x解:例2求y?x2在x?x0附近的平均变化率.解:【反馈训练】。