大学本科高数笔记第一章 课堂笔记 函数极限
大一高数笔记第一章知识点
大一高数笔记第一章知识点在大一的高数课程中，第一章通常是引入微积分的基本概念和方法。
这一章的知识点对于整个高数学习过程非常重要，因此在这里我将分享一些我认为最关键的内容。
一、函数的概念和性质函数是数学中一个非常基本的概念。
在第一章中，我们首先学习了函数的定义和性质。
函数描述了一种变量之间的关系，通常用一个字母来表示，例如f(x)。
函数可以有不同的表示形式，比如显式表达式、隐式表达式和参数方程等。
函数的性质有很多，其中最重要的是定义域、值域和图像。
定义域是指函数可取的自变量的值的范围，值域是指函数的所有可能的取值，而图像是函数在坐标系上的表示。
理解了这些性质，我们就可以更好地掌握函数的本质和特点。
二、数列的概念和分类数列是函数的一种特殊形式，它描述了一系列数字的排列。
数列也有不同的分类，最常见的是等差数列和等比数列。
等差数列是指每一项与前一项的差值都相等的数列，这个差值称为公差。
用数学符号表示，可以写作a1, a2, a3, …, an，其中an= a1 + (n-1)d。
等比数列则是指每一项与前一项的比值都相等的数列，这个比值称为公比。
用数学符号表示，可以写作a1, a2, a3, …, an，其中an = a1 * r^(n-1)。
掌握了这两种数列的性质和求和公式，我们可以更好地解决实际问题中的数学计算。
三、极限的定义和性质极限是微积分中的核心概念，也是我们学习高数的重要环节。
在第一章中，我们首次接触了极限的概念和相关的性质。
极限描述了函数在无限接近某一点时的行为。
一个函数f(x)在x趋近某一值a时，如果当x无限接近a时，f(x)无限接近一个确定的值L，那么我们说函数f(x)在x趋近a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x) = L。
在计算极限时，我们要关注函数的局部行为和整体趋势。
常见的极限计算方法有代数运算法、夹逼法和无穷小量法等。
掌握这些计算方法，对于我们理解函数的性质和推导数学公式非常有帮助。
高等数学第一章笔记
高等数学第一章笔记高等数学第一章笔记第一章的主要内容是函数和极限。
函数是数学中非常重要的概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。
在高等数学中，我们主要研究实函数和实变量，即定义域和值域都是实数集的函数。
1. 函数的定义和性质函数是一种映射关系，它将定义域上的每个元素映射到值域上的唯一元素。
函数可以用公式、图像或者表格来表示。
函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。
2. 函数的运算函数之间可以进行加减乘除等基本运算。
例如，两个函数的和、差、积、商仍然是函数。
函数的复合也是一种常见的运算，表示将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
3. 函数的图像和性质函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示。
通过观察函数的图像，我们可以了解函数的性质，如增减性、奇偶性、周期性等。
函数的图像可以用手绘或者计算机绘制。
4. 函数的极限极限是函数的重要概念，它描述了函数在某一点的趋势。
函数在某一点的左极限表示函数从左边趋近于这个点的情况，右极限表示函数从右边趋近于这个点的情况。
如果函数在某一点的左右极限相等，则函数在这一点处有极限。
5. 极限的性质和运算函数的极限具有一些重要的性质，如唯一性、保序性、保不等式性等。
在进行函数的极限运算时，我们可以利用极限的性质进行简化，如极限的四则运算、复合函数的极限等。
6. 函数的连续性函数的连续性是指函数在其定义域上的每一点都有极限，并且函数的极限与函数值相等。
连续函数是一种重要的函数类型，它在数学和物理等领域中有广泛的应用。
总结起来，高等数学第一章主要介绍了函数和极限的概念、性质和运算。
函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。
极限是函数在某一点的趋势，它描述了函数在这一点的值与函数在这一点的左右极限之间的关系。
理解和掌握函数和极限的概念和性质，对于后续学习高等数学的内容非常重要。
大一高数笔记全部知识点
大一高数笔记全部知识点第一章数列与极限1.1 数列1.1.1 数列的概念1.1.2 等差数列1.1.3 等比数列1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限存在的条件1.2.3 极限的性质1.3 极限运算法则1.3.1 无穷小量与无穷大量1.3.2 极限的四则运算第二章函数与连续2.1 函数的概念与性质2.1.1 函数的定义2.1.2 函数的性质2.2 基本初等函数2.2.1 幂函数与指数函数2.2.2 对数函数与指数对数函数2.3 函数的极限与连续性2.3.1 函数的极限2.3.2 函数的连续性第三章导数与微分3.1 导数的概念与计算方法3.1.1 导数的定义3.1.2 常用函数的导数计算3.2 微分的概念与性质3.2.1 微分的定义3.2.2 微分的性质3.3 高阶导数与导数的应用3.3.1 高阶导数的定义3.3.2 导数的应用：切线与法线第四章积分与不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.1.1 不定积分的定义4.1.2 不定积分的性质4.2 定积分的概念与性质4.2.1 定积分的定义4.2.2 定积分的性质4.3 积分的运算法则与应用4.3.1 积分的基本运算法则4.3.2 积分的应用：面积与曲线长度第五章多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念与性质5.1.1 多元函数的定义5.1.2 多元函数的性质5.2 偏导数的概念与计算方法5.2.1 偏导数的定义5.2.2 常用函数的偏导数计算5.3 高阶偏导数与微分的应用5.3.1 高阶偏导数的定义5.3.2 微分的应用：切平面与法线以上是大一高数课程中的全部知识点。
通过学习这些知识，我们可以建立起数学的基础框架，为以后的学习打下坚实的基础。
每个知识点都有其重要性和实用性，在理解和掌握的过程中，我们要注重理论联系实际，通过例题和应用题的练习来提高解题能力。
希望同学们能够认真学习，并在课后进行适当的巩固和扩展。
加油！。
大一高数笔记
导数与极限之阳早格格创做（一）极限 1. 观念（1）自变量趋背于有限值的函数极规定义（δε-定义）Ax f ax =→)(lim ⇔0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<-|)(|A x f .（2）单侧极限左极限： =-)0(a f A x f a x =-→)(lim ⇔0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<x a 0时，有ε<-|)(|A x f .左极限：=+)0(a f A x f a x =+→)(lim ⇔0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<a x 0时，有ε<-|)(|A x f .（3）自变量趋背于无贫大的函数极限定义1：0,0>∃>∀X ε，当X x >，创制()ε<-A x f ，则称常数A 为函数()x f 正在x 趋于无贫时的极限，记为()A x f x =∞→lim .A y =为直线()x f y =的火仄渐近线. 定义2：00>∃>∀X，ε，当Xx >时，创制()ε<-A x f ，则有()Ax f x =+∞→lim .定义3：00>∃>∀X ，ε，当X x -<时，创制()ε<-A x f ，则有()Ax f x =-∞→lim .运算规则：1) 1) 若()A x f =lim ，()∞=x g lim ，则()()[]∞=+x g x f lim .2) 2) 若()()∞≠=但可为,0lim A x f ，()∞=x g lim ，则()()∞=•x g x f lim . 3)3) 若()∞=x f lim ，则()01lim=x f .注：上述暗号lim 是指共一变更历程. （4）无贫小的定义0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<|)(|x f ，则称函数)(x f 正在ax →时的无贫小（量），即 0)(lim =→x f a x .（5）无贫大的定义0>∀M ，0>∃δ，当δ<-<||0a x 时，有M x f >|)(|，则称函数)(x f 正在a x →时的无贫大（量），记为 ∞=→)(lim x f ax .直线a x =为直线()x f y =的笔直渐近线.2．无贫小的本量定理1 有限多个无贫小的战仍是无贫小.定理2 有界函数与无贫小的乘积仍是无贫小. 推论1 常数与无贫小的乘积是无贫小. 推论2 有限个无贫小的乘积是无贫小.无贫小与无贫大的关系 若∞=→)(lim x f a x ，且)(x f 不与整值，则)(1x f 是a x →时的无贫小.3．极限存留的判别法 （1）Ax f a x =→)(lim ⇔A a f a f =+=-)0()0(.Ax f x =∞→)(lim ⇔Ax f x f x x ==-∞→+∞→)(lim )(lim .（2）Ax f ax =→)(lim ⇔α+=A x f )(，其中α是a x →时的无贫小. （3）夹逼准则：设正在面a 的某个去心邻域),(ˆδa N 内有)()()(x h x f x g ≤≤，且已知A x g a x =→)(lim 战A x h a x =→)(lim ，则必有 A x f a x =→)(lim .4．极限的本量（1）极限的唯一性 若Ax f ax =→)(lim 且Bx f ax =→)(lim ，则B A =.（2）局部有界性 若Ax f a x =→)(lim ，则0>∃M ，正在面a 的某个去心邻域),(ˆδa N 内有M x f <|)(|. （3）局部保号性（I ）若Ax f a x =→)(lim ，且0>A （大概0<A ），则必存留a 的某个去心邻域),(ˆδa N ，当),(ˆδa N x ∈时，有0)(>x f （大概0)(<x f ）.（II ）若正在面a 的某个去心邻域),(ˆδa N 内有0)(≥x f （大概0)(≤x f ），且Ax f a x =→)(lim ，则0≥A （大概0≤A ）. 5．极限的四则运算与复合运算 设c 是常数，，，B x g A x f ax ax ==→→)(lim )(lim 则（1）；B A x g x f a x ±=±→)]()([lim （2）；B A x g x f ax ⋅=⋅→)]()([lim（3）；A c x f c a x ⋅=⋅→)]([lim（4）；，0)()(lim≠=→B B Ax g x f a x（5），，有，且，若00)()0(),()(lim )(lim 0u x g a U x A u f u x g u u ax ≠>∈∀==Λ→→δδ则Au f x g f u u ax ==→→)(lim )]([lim 0.6．二个要害极限（1）1sin lim 0=→x x x ； （2）e x x x =+→10)1(lim 大概 e x xx =+∞→)11(lim .7．无贫小的阶的比较若α战β皆是正在共一自变量变更中的无贫小量，且≠β0，则（1）若0lim =βα，则称α关于β是下阶无贫小量，记做)(βαo =；（2）若1lim=βα，则称α战β是等价无贫小量，记做βα~；（3）若)0(lim≠=c c βα，则称α战β是共阶无贫小量，记做)(βαO =；普遍情况下，若存留常数0>A ，0>B ，使创制B A <<||βα，便称α战β是共阶无贫小量.（4）若以x 动做0→x 时的基原无贫小量，则当)(kx O =α（k 为某一正数）时，称α是k 阶无贫小量.定理1 )(~ααβαβo +=⇔.定理2 设αα'~，ββ'~，且 βα''lim存留，则βαβα''=limlim . 时常使用的等价无贫小0→x 时，1~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~-+xe x x x x x x ，221~cos 1x x -.（二）函数的连绝性 1．定义若函数)(x f y =正在面a 的某个邻域内有定义，则)(x f 正在面a 处连绝⇔ )()(lim a f x f ax =→0lim 0=∆⇔→∆y x .2．连绝函数的运算连绝函数的战、好、积、商（分母不为整）均为连绝函数； 连绝函数的反函数、复合函数仍是连绝函数； 十足初等函数正在定义区间内皆是连绝函数. 3．间断面（1）间断面的观念不连绝的面即为间断面.（2）间断面的条件若面0x 谦脚下述三个条件之一，则0x 为间断面： （a ）)(x f 正在0x 不定义； （b ）)(lim 0x f x x →不存留；（c ）)(x f 正在0x 有定义，)(lim 0x f x x →也存留，但是)()(lim 00x f x f x x ≠→.（3）间断面的分类：（i ）第一类间断面：正在间断面0x 处安排极限存留.它又可分为下述二类：可去间断面：正在间断面0x 处安排极限存留且相等；跳跃间断面：正在间断面0x 处安排极限存留但是不相等；（ii ）第二类间断面：正在间断面0x 处的安排极限起码有一个不存留. 4．关区间上连绝函数的本量 （1）观念若函数)(x f 正在区间),(b a 上每一面皆连绝，正在a 面左连绝，正在b 面左连绝，则称)(x f 正在区间],[b a 上连绝. （2）几个定理最值定理：如果函数)(x f 正在关区间],[b a 上连绝，则)(x f 正在此区间上必有最大战最小值.有界性定理：如果函数)(x f 正在关区间],[b a 上连绝，则)(x f 正在此区间上必有界.介值定理：如果函数)(x f 正在关区间],[b a 上连绝，则对付介于)(a f 战)(b f 之间的任一值c ，必有],[b a x ∈-，使得c x f =-)(.整面定理：设函数)(x f 正在关区间],[b a 上连绝，若0)()(<⋅b f a f ，则必有),(b a x ∈-，使得0)(=-x f .（三）导数1．导数的观念（1）定义 设函数)(x f y =正在面a 的某个邻域内有定义，当自变量正在面a 处博得改变量)0(≠∆x 时，函数)(x f 博得相映的改变量 )()(a f x a f y -∆+=∆，若极限存留，则称此极限值为函数)(x f y =正在面a 处的导数（大概微商），记做ax ax a x xx f xy y a f ===''d )(d d d )(或，，.导数定义的等价形式有a x a f x f a f ax --='→)()(lim)(.（2）左、左导数左导数 ax a f x f a f a x --='-→-)()(lim )( 左导数 a x a f x f a f ax --='+→+)()(lim )()(a f '存留 ⇔)()(a f a f +-'='. 2．导数的几许意思函数)(x f y =正在面a 处的导数)(a f '正在几许上表示直线)(x f y =正在面))(,(a f a M 处的切线的斜率，即)(a f k '=，进而直线)(x f y =正在面))(,(a f a M 处的切线圆程为 ))(()(a x a f a f y -'=-法线圆程为)()(1)(a x a f a f y -'-=-3．函数的可导性与连绝性之间的关系函数)(x f y =正在面a 处可导，则函数正在该面必连绝，但是反之一定.即函数正在某面连绝是函数正在该面可导的需要条件，但是不是充分条件.果此，若函数)(x f 面a 处不连绝，则)(x f 面a 处必不可导. 4．供导规则与供导公式（1）四则运算 若w v u 、、均为可导函数，则v u v u '±'='±)(， v u v u uv '+'=')(，w uv w v u vw u uvw '+'+'=')(， u c cu '=')(（其中0≠c 为常数），2)(v v u v u v u '-'='， 2)1(v v v'-='（0≠v ）. （2）复合函数供导设)(u f y =，)(x g u =，且)(u f 战)(x g 皆可导，则复合函数)]([x g f y =的导数为x u u y x y d d d d d d ⋅=.（3）反函数的导数假如)(y x ϕ=)(x f y =的反函数，则 )(1)(y x f ϕ'='.（4）隐函数的导数由一个圆程0),(=y x F 所决定的隐函数)(x f y =的供导法，便是先将圆程二边分别对付x 供导，再供出x yd d 即可.（5）对付数供导法先对付函数供对付数，再利用隐函数供导的要领. 对付数供导法适用于幂指函数、连乘除函数. （6）参数圆程的导数若参数圆程 ⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ 决定了一个函数 )(x f y =，且ψϕ、均可导，则有)()(d d t t x y ϕψ''=.（7）基原初等函数的导数公式a a a x x ln )(='（0>a ，1≠a ） xx e e =')(a x x a ln 1)(log ='（0>a ，1≠a ） x x 1)(ln ='5．下阶导数（1）下阶导数的观念：函数)(x f 的一阶导数)('x f 的导数称为)(x f 的二阶导数，)(x f 的二阶导数的导数称为)(x f 的三阶导数，… …，)(x f 的1-n 阶导数的导数称为)(x f 的n 阶导数，分别记为)()4(,,,,,n y y y y y ''''''，大概nn xyx y x y x y d d ,,d d ,d d ,d d 443322 .二阶及二阶以上的导数称为下阶导数.（2）时常使用的n 阶导数公式!)()(n x n n =， xn x e e =)()(，)2sin()(sin )(πn x x n +=， )2cos()(cos )(πn x x n +=，nn n x n x )1()!1()1()]1[ln(1)(+--=+-.（3）莱布僧茨公式设)(x u 战)(x v 皆是n 次可微函数，则有)()(0)()(k k n nk n v u k n uv -=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.复习指挥沉面：供函数的极限、连绝、导数.易面：计划分段函数正在分段面处的极限存留、连绝性、可导性. 1．供极限的要领：（1）利用定义（δε-谈话）说明.（2）利用极限的四则运算规则战复合函数供极限的要领供初等函数的极限.（3）初等函数)(x f 正在定义区间上供极限：)()(lim 00x f x f x x =→.例：3103020132lim 220=++⨯-=++-→x x x x .（4）领会果式，约去使分母极限为整的公果式.例：113lim )1)(1()3)(1(lim 134lim 11221-=+-=+---=---→→→x x x x x x x x x x x x .（5）利用二个要害极限，此时需注意自变量的变更趋势.例：2222sin lim 2sin lim 00=⋅=→→x x x x x x 但是 ππππ44)42sin(2sin lim 4=⋅=→x x x .（6）利用等价无贫小替换（条件：正在乘积的条件下）.例：33lim )1ln(3tan lim00==+→→x x x x x x .（7）利用无贫大战无贫小的互为倒数关系.例：供22lim2-+→x x x . 果为022lim2=+-→x x x ，所以∞=-+→22lim2x x x .（8）幂指函数供极限：若1)(lim 0=→x u x x ，∞=→)(lim 0x v x x ，则]1)()[(lim )(0)(lim -→→=x u x v x v x x x x ex u .（9）利用安排极限供分段函数正在分段面处的极限. 2．无贫小：（1）明白无贫小是自变量正在趋背于某一面时函数极限趋背于整的历程，它与自变量的变更趋势稀切相关.（2）掌握利用供二个无贫小的商的极限比较它们的阶的要领.（3）注意正在供极限时，如果二个无贫小干加减法，则不克不迭干等价无贫小的替换.3．连绝性的推断：沉面是分段函数正在分段面处连绝性的推断，此时需利用安排连绝的观念举止推断.4．间断面（1）掌握间断面的分类准则，以及怎么样供解函数的间断面并对付其分类.对付于初等函数，最先找出无定义的面，而后通过估计它的安排极限得出其典型.对付于分段函数，还要计划它的分段面.（2）注意对付于可去间断面，不妨通过沉新定义该面的函数值使得函数正在该面连绝.5．关区间连绝函数的本量掌握利用关区间上连绝函数本量去说明某个函数正在关区间上谦脚一些特殊本量的要领.比圆要说明某个函数正在一个关区间上不妨与到一个特定数值时，常常的要领是正在那个关区间内找二个函数值（普遍是估计区间二个端面的函数值大概者假设出函数正在该区间上的最大战最小值），使得它们一大一小，恰好分散正在那个特殊值的二边，而后利用介值定理得出论断.当要说明圆程0)xf正在某个区间内有根时，不妨正在此区间内找二(=个面，使得)(x f正在那二面的函数值一正一背，进而利用整面定理得出论断.5．可导、连绝战极限三个观念的关系：f正在面0x可导⇒)(x f正在面0x连绝⇒)(x f正在面0x有极限；(x)但是上述关系反之均不可坐.6．可导的推断：（1）若函数正在某一面不连绝，则必不可导.（2）分段函数正在分段面处是可可导的推断，需利用安排导数的观念举止推断.7．供导数的要领：（1）利用导数的定义供导数.（2）利用基原初等函数的导数公式战导数的四则运算规则供初等函数的导数.（3）利用复合函数供导的链式规则.（4）利用隐函数供导规则.此时需注意若正在圆程中出现y 的函数项，则正在对付自变量x 供导时，对付那一项需利用复合函数供导的规则.例：设02=-+x y e y，供x yd d .解：圆程二边共时对付x 供导，有 0d )d(2d d d d d )(d =-+⋅x x x y x y y e y ，所以12'+=y e y .（5）利用反函数供导规则.（6）利用参数圆程供导规则.此时需注意得到的y 对付x 的导数本量上仍旧由一个参数圆程所决定.（7）利用对付数供导规则.它主要正在如下二种情况中应用：（i ）幂指函数供导； （ii ）需要导的函数由许多果式利用乘除法分离得到.（8）分段函数正在分段面处需利用安排导数供导.第3章 微分教的基原定理真量提要（一）微分 1．观念微分的定义：设函数)(x f y =正在面0x 处可微，给定自变量x 的删量0x x x -=∆，称对付应的函数删量)()()(00x f x f x f -=∆的线性主部x x f ∆)('0为函数)(x f 正在面0x 处的微分，记做)(d 0x f 大概0|d x x y =. 2．时常使用的微分公式0)(d =c （c 为常数） x x x d )d(1-=μμμ x a a a x x d ln d =（0>a ，1≠a ） x e e x x d d =x a x x a d ln 1log d =（0>a ，1≠a ） x x x d 1||ln d =3．微分运算规则（1）四则运算)(d )(d ])()([d 2121x v k x u k x v k x u k +=+；)(d )()(d )(])()([d x v x u x u x v x v x u +=；)()(d )()(d )()()(d2x v x v x u x u x v x v x u -=.（2）复合函数微分若)(u f y =，)(x g u =，则 x x g u f y d )()(d ''=. 4．微分形式的稳定性若)(u f y =，)(x g u =，则有 u u f x x g u f y d )(d )()(d '=''=. 5．微分正在近似估计中的应用当||x ∆很小时，有： x x f y y ∆'=≈∆)(d 0，x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(000.（二）微分中值定理1．罗我定理：设函数)(x f y =正在关区间],[b a 上连绝，正在启区间),(b a 上可导，且)()(b f a f =，则必存留),(b a ∈ξ，使得 0)(='ξf .2．推格朗日中值定理：设函数)(x f y =正在关区间],[b a 上连绝，正在启区间),(b a 上可导，则必存留),(b a ∈ξ，使得创制a b a f b f f --=')()()(ξ.推论1 设函数()y f x =正在关区间[],a b 上连绝，启区间(),a b 内可导，若对付任性(),x a b ∈有()0f x '=则()f x 正在[],a b 上恒为常数.推论2 若正在),(b a 内恒有)()(x g x f '='，则存留常数C ，使得C x g x f +=)()(，),(b a x ∈.3．柯西中值定理：设函数)(x f 战)(x g 均正在关区间],[b a 上连绝，正在启区间),(b a 上可导，且它们的导数分歧时为整，又0)()(≠-a g b g ，则必存留),(b a ∈ξ，使得创制)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ.4．有限删量公式若函数)(x f y =正在],[b a 上连绝，正在),(b a 上可导，则))(()()(a b f a f b f -'+=ξ，),(b a ∈ξ.大概 x f y ∆'=∆)(ξ， 其中)()(a f b f y -=∆，a b x -=∆. （三）洛必达规则1．00型的洛必达规则：若()x f 战()x g 谦脚（1）()()0lim lim 00==→→x g x f x x x x ；（2）()x f 战()x g 正在()δ,ˆ0xN 内可导，且()0≠'x g ； （3）()()）存在（或为∞''→x g x f x x 0lim ，则()()()()x g x f x g x f x x x x ''→→00lim lim ＝.（把0x 改为∞等，规则仍旧创制）. 2．∞∞型的洛必达规则：若()x f 战()x g 谦脚（1）()()∞=∞=→→x g x f x x x x 00lim ,lim ；（2）()x f 战()x g 正在()δ,ˆ0xN 内可导，且()0≠'x g ； （3）()()）存在（或为∞''→x g x f x x 0lim ，则()()()()x g x f x g x f x x x x ''→→00lim lim ＝.（把0x 改为∞等，规则仍旧创制）.3．其余待定型： ∞⋅0，∞-∞，∞1，00，0∞.复习指挥沉面：微分估计，中值定理的应用，利用洛必达规则供极限，泰勒公式.易面：中值定理的应用.1．中值定理的应用（1）注意中值定理的条件不过充分条件，不是需要条件.（2）中值定理的那些条件缺一不可.（3）中值定理时常使用正在等式战不等式的说明中.比圆正在说明)()(x g x f =时，不妨构制一个辅帮函数)(x F ，将等式转移为0)(='x F 的形式，而后考证)(x F 正在某个关区间上谦脚中值定理的条件，进而得出论断.正在说明一个不等式时，不妨思量将其战一个函数及此函数正在某个关区间的二个端面上的函数值通联起去，进而不妨利用推格朗日中值定理得出论断.3．洛必达规则洛必达规则是办理待定型极限问题时的一种烦琐而灵验的要领，但是使用时注意以下几面：（1）屡屡使用前必须推断是可属于七种待定型：∞∞∞-∞∞⋅∞∞1,,0,,0,,0000.盲目使用将引导过失.（2）洛必达规则的条件是充分的而非需要的，逢到()()x g x f xx ''→0lim 不存留时，不克不迭断定()()x g x f xx 0lim →不存留. 例：1sin 1lim sin lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→x x x x x x x ，但是 1cos 1lim sin lim x xx x x x +≠+∞→∞→不存留.（3）有些极限问题虽然谦脚洛必达规则的条件，但是用此法无法供出极限 例： =+=+=++∞→+∞→+∞→x x x xx x x x x 2221lim 11lim 1lim ， 但是究竟上111lim 1lim 22=+=++∞→+∞→x x x x x .（4）洛必达规则对付待定型∞∞,00的极限有特效，但是本去不是万能的，偶我也并不是为最好的解题要领. 例：x xex x x xx sin 3cossin lim 602---→ 用泰勒公式展启较烦琐. 例：x x x x x sin 343sin 4)sin 3arctan()3arctan(sin lim 0+-+-→ 用微分中值定理较烦琐。
《高等数学》各章知识点总结——第1章（五篇）
《高等数学》各章知识点总结——第1章（五篇）第一篇：《高等数学》各章知识点总结——第1章第1章函数与极限总结1、极限的概念（1）数列极限的定义给定数列{xn}，若存在常数a，对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N ,使得对于n >N 时的一切n,恒有|xn-a |<ε 则称a 是数列{xn}的极限,或者称数列{xn}收敛于a ,记为n→∞limxn=a或xn→a(n→∞).（2）函数极限的定义设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内（或当x>M>0）有定义，如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,（或存在X）使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ 时,（或当x>X时）恒有|f(x)-A|<ε,那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0（或x→∞）时的极限,记为x→x0limf(x)=A或f(x)→A(当x→x0).（或limf(x)=A）x→∞类似的有：如果存在常数A,对∀ε>0,∃δ>0,当x:x0-δ<x<x0（x0<x<x0-δ）时，恒有f(x)-A<ε，则称A为f(x)当x→x0时的左极限（或右极限）记作x→x0-limf(x)=A(或lim+f(x)=A)x→x0x→x0x→x0x→x0显然有limf(x)=A⇔lim-f(x)=lim+f(x)=A) 如果存在常数A,对∀ε>0,∃X>0,当x<-X(或x>X)时，恒有f(x)-A<ε，则称A为f(x)当x→-∞（或当x→+∞）时的极限记作limf(x)=A(或limf(x)=A)x→-∞x→+∞显然有limf(x)=A⇔limf(x)=limf(x)=A)x→∞x→-∞x→+∞2、极限的性质（1）唯一性若limxn=a，limxn=b，则a=bn→∞n→∞若limf(x)=Alimf(x)=B，则A=Bx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)（2）有界性（i）若limxn=a，则∃M>0使得对∀n∈Nn→∞+,恒有xn≤M（ii）若limf(x)=A，则∃M>0当x:0<x-x0<δ时，有f(x)≤Mx→x0（iii）若limf(x)=A，则∃M>0,X>0当x>X时，有f(x)≤Mx→∞（3）局部保号性（i）若limxn=a且a>0(或a<0)则∃N∈N+，当n>N时，恒有xn>0(或xn<0)n→∞)=A，且A>0(或A<0)，则∃δ>0当x:0<x-x0<δ时，有（ii）若limf(xx→x0f(x)>0(或f(x)<0)3、极限存在的准则（i）夹逼准则给定数列{xn},{yn},{zn}若①∃n0∈N,当n>n0时有yn≤xn≤zn ②limyn=limzn=a，n→∞n→∞+则limxn=an→∞ 给定函数f(x),g(x),h(x)， 若①当x∈U(x0,r)（或x>X）时，有g(x)≤f(x)≤h(x)②limg(x)=limh(x)=A，x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)0则limf(x)=A x→∞(x→x0)（ii）单调有界准则给定数列{xn}，若①对∀n∈N+有xn≤xn+1(或xn≥xn+1)②∃M(m)使对∀n∈N+有xn≤M(或xn≥m)则limxn存在n→∞若f(x)在点x0的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则lim-f(x)（或lim+f(x)）x→x0x→x0存在4、极限的运算法则（1）若limf(x)=A，limg(x)=Bx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)则(i)lim[f(x)±g(x)]=A±Bx→∞(x→x0)(ii)lim[f(x)⋅g(x)]=A⋅Bx→∞(x→x0)(iii)limx→∞(x→x0)f(x)A=⋅（B≠0）g(x)B0（2）设（i）u=g(x)且limg(x)=u0（ii）当x∈U(x0,δ)时g(x)≠u0x→x0（iii）limf(u)=Au→u0则limf[g(x)]=limf(u)=Ax→x0u→u05、两个重要极限（1）limsinx=1x→0xsinu(x)=1u(x)→0u(x)limlimsinx11=0，limxsin=1，limxsin=0x→∞x→∞x→0xxxxu(x)⎛1⎫1⎫⎛lim1+（2）lim 1+⎪=e ⎪u(x)→∞x→∞u(x)⎭x⎭⎝⎝=e;lim(1+x)=ex→01xv(x)→0lim(1+v(x))1v(x)=e;6、无穷小量与无穷大量的概念（1）若limα(x)=0，即对∀ε>0,∃δ>0,当x:0<x-x0<δ（或x→∞(x→x0)x>X）时有α(x)<ε，则称当x→x0(或x→∞)，α(x)无穷小量（2）或X>0),若limf(x)=∞即对∀M>0,∃δ>0(当x:0<x-x0<δx→∞(x→x0)（或x>X）时有f(x)>M则称当x→x0(或x→∞)，f(x)无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则（1）limf(x)=A⇔f(x)=A+α(x),其中limx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)α(x)=0（f(x)≠0）⇒lim（2）limf(x)=0x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)1=∞f(x)（3）limg(x)=∞⇒limx→∞(x→x0)x→∞(x→x01=0 g(x))（4）limf(x)=∞且∃M>0,当x:0<x-x0<δ（或x>X）时有g(x)≤M，x→∞(x→x0)则lim[f(x)+g(x)]=∞x→∞(x→x0)（5）limf(x)=0且∃M>0,当x:0<x-x0<δ（或x>X）时有g(x)≤M，x→∞(x→x0)则lim[f(x)⋅g(x)]=0x→∞(x→x0)nn（6）limfk(x)=0(k=1,2,Λ,n)则limx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)k=1∑fk(x)=0,limx→∞(x→x0)k=1∏fk(x)= 0，8、无穷小量的比较x→∞(x→x0)limf(x)=0,limg(x)=0,limα(x)=0x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)若（1）lim小。
高等数学笔记(含数一内容)
隐函数求导
参数方程确定的函数求导
分段函数求导
先讨论关键点是否连续，确定连续后再判断函数各个部分是否可导。
求函数高阶导
一般使用数学归纳法解决。
微分
可微
定义：设y=f(x) (x∈D)，x₀∈D。若∆y=A∆x+৹(∆x)，则称f(x)在x=x₀处可微。
性质
可微一定可导，可导一定可微（充要条件）
若∆y=A∆x+৹(∆x)，则A=f'(x₀)，即dy∣₍x=x₀₎=f'(x₀)dx
二阶线性微分方程解的结构 齐+齐=齐 齐 + 非齐 = 非齐 非齐 + 非齐 = 齐 （拆解性质）对于方程**，若f(x)=f1(x)+f2(x)（即可拆成两部分），则分别构造两个二阶非齐次线性微分方程，且φ1(x)，φ2(x)分别为它们的特解，则 有原方程特解为：
y=φ1(x)+φ2(x) （系数和的特点）设φ1(x)，φ2(x)，...，φn(x)，为方程**的解，则通解的组合形式为y=k1φ1(x)+k2φ2(x)+...+knφn(x) 若y为方程*的通解，则k1+k2+...+kn=0（系数和为0） 若y为方程**的通解，则k1+k2+...+kn=1（系数和为1） （二阶常系数线性微分方程通解形式推导定理）
函数f(x)∈ c【a，b】的性质（函数在区间内恒连续）
性质1：∃最大值 M 和最小值 m （最值）； 性质2：∃M₀>0，使得∣f(x)∣≤M₀（有界）；
性质3： ∀η ∈【m，M】，∃ξ∈【a，b】，使得f(ξ)=η（介值定理）；
性质4：若 f(a)*f(b)<0，则∃c∈(a，b)，使得f(c)=0（零点定理）。 连续函数的运算
高数(上)重要内容总结复习笔记
A−a 叫做 a 的相对误差 a
如果 A − a ≤ δ A ，那么 δ A 叫做测量Ａ的绝对误差限，而
δA 叫做测量Ａ的相对误差限． a
（3） lim
f ′( x) f ( x) f ′( x) 存在（或为无穷大） ，那么 lim ． = lim x → ∞ F ′( x ) x →∞ F ( x ) x →∞ F ′( x )
如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间 (a, b) 内具有直到(n+1)阶的倒数，则对任一
泰勒(Taylor)中值定理
高阶导数：
(cot x)′ = − csc 2 x (a x )′ = a x ln a (arccos x)′ = − 1 1 − x2
(arcsin x)′ =
1
(sec x)′ = sec x tan x 1 (log a x)′ = x ln a 1 (arctan x)′ = 1+ x2
1 (ch x)′ = sh x (th x)′ = 2 ch x 1 (arch x)′ = 1 x 2 − 1 (arth x)′ = 1 − x2
f ′′(0) f ( n ) (0) f ( n+1) (θx) n +1 x +…+ x+ x 2! n! (n + 1)!
(0 < θ < 1)
另带有佩亚诺余项的麦克劳林公式从略． 定义
x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )< ，那么称 f ( x) 在 2 2 x +x f ( x1 ) + f ( x2 ) I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧)；如果恒有 f ( 1 2 ) > ，那么称 f ( x) 在 I 上的图形是(向上) 2 2
大一高数极限知识点笔记
大一高数极限知识点笔记一、基本概念：在数学中，极限是描述一个数列或者函数在逼近某一数值时的行为的概念。
在大一高数中，我们将会学习一些基本的极限知识点，让我们一起来看一看吧！1. 数列的极限数列的极限是指当n趋近于无穷大时，数列的项趋于某个常数L。
即当n趋近于无穷大时，数列的项与L的差趋近于零。
2. 函数的极限函数的极限是指当自变量x趋近于某个数a时，函数的值趋于某个常数L。
即当x趋近于a时，函数f(x)与L的差趋近于零。
二、常见的极限计算方法：在计算极限时，我们常常使用以下几种方法：1. 代入法对于一些简单的函数，在计算极限时我们可以直接将自变量的值代入函数中，得到极限的结果。
2. 分式的化简当函数为分式形式时，我们可以通过化简分式的形式，将其化为更简单的形式来计算极限。
3. 极限的性质极限具有一些基本的运算性质，比如极限的和、差、积、商的性质，我们可以利用这些性质来计算复杂函数的极限。
4. 夹逼定理夹逼定理是一种常用的极限计算方法，它的核心思想是通过找到两个函数夹住待求函数，并且这两个函数的极限相同，从而得到待求函数的极限。
三、常见的极限公式：在计算极限时，我们还可以利用一些常见的极限公式来简化计算，以下是一些常见的极限公式：1. 基本的极限公式- lim(x→0) sin(x)/x = 1- lim(x→∞) (1+1/x)^x = e2. 无穷小与无穷大的极限- lim(x→0) a^x - 1/x = ln(a)- lim(x→0) (1+x)^(1/x) = e3. 三角函数的极限- lim(x→0) (1-cos(x))/x^2 = 1/2- lim(x→0) (sin(x))/x = 1四、总结：通过学习大一高数的极限知识点，我们可以更好地理解数列和函数的极限行为，从而为后续的数学学习打下坚实的基础。
通过掌握极限的基本概念、常见的计算方法以及公式，我们可以更加高效地求解各种复杂的极限题目。