第五章 随时间变化的电磁场及麦克斯韦方程
大学电磁场与电磁波第五章5.6时变电磁场的唯一性定理
惟一性问题 在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初 始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条 件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦 克斯韦方程的解的惟一问题。
S
=
(H0
×
en
)
⋅
E0
S
=
0
所以
∫ ∫ d
dt
V
(1 2
µ
H0
2
+
1ε
2
2 E0 )dV +
σ
V
2 E0 dV = 0
由于场的初始值为零，将上式两边对 t 积分，可得
∫ ∫ ∫ V
(1 µ
2
H0
2
+
1 2
ε
2 E0 )dV +
t
(σ
0V
2 E0 dV )dt = 0
上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有
E0 = 0, H0 = 0
即
E1 = E2 , H1 = H2 （证毕）
惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场 问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的 应用。
方程，且具有相同的初始条件和边界条件。
令
E=0 E1 − E2
H=0 H1 − H2
则在区域V
内E0和H0的初始 值为零；在边界面S
上电场强度
E0 的
切向分量为零或磁场强度 H0的切向分量为零，且 E0和 H0 满足麦
麦克斯韦方程组和电磁场.pptx
1. 自感
1） 自感现象
回路中 i 变化→B变化→ 变化→ L
L~~自感系数或电感:取决于回路的大小、形状、匝数以及
i
(a)
Hale Waihona Puke (b)自感与互感第28页/共75页
讨 论：
L大， L大→阻碍电路变化的阻力大；L小， L小→阻碍电路变化的阻力小
∴ L~~对电路“电磁惯性”的量度。
* 电感（线圈）和电容一样是储能元件。
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洛仑兹力作功？
作功？
作功？
Fv 对电子的漂移运动而言作正功 —> 动生电动势
这一能量从何而来？
Fu 对导体的运动而言作负功 <— 外界提供能量
FV 的作用：并不作功提供能量，转化能量的中介所
定量上看：
v
Fv
u
Fu
动生电动势
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-
+
闭合回路在磁场中运动时：
动生电动势
* 的计算
* 磁通计原理
法拉第电磁感应定律
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3 楞次定律
判断感应电流方向的定律。
感应电流的效果，总是反抗引起感应电流的原因。
感应电流激发的磁场通量
磁通量的变化（增加或减小）
法拉第电磁感应定律
补偿
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应用此定律时应注意：
(1) 磁场方向及分布;
(2) 发生什么变化？
法拉第电磁感应定律
其中 为回路中的感应电动势。
共同因素：穿过导体回路的磁通量 发生变化。
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2、 电磁感应定律
* 产生条件：
其中B、、s 有一个量发生变化，回路中就有的i 存在。
* 的大小: df /dt (SI) f 的变化率
电磁场第五章 时变电磁场
H2
同理得
en
(E1
E2
)
0
或
E1t E2t
5.4.2 两种常见的情况 1. 两种理想介质分界面
上的边界条件
在两种理想介质分界 面上，通常没有电荷和 电流分布，即JS＝0、ρS ＝0，故
en
媒质 1 媒质 2
Er、Hr 的切向分量连续
en
媒质 1 媒质 2
Dr、Br的法向分量连续
en
dt
BgdS
S
即
Ñ 若空间同时存在由电荷产生的电场
rr r 。E由 于Ein Ec
，故有
C
rr Ec gdl
0
Er c,则总电场
应Er为
与Erin 之E和rc ，
rr d r r
ÑC Egdl
dt
S BgdS
这就是推广的法拉第电磁感应定律。
2. 引起回路中磁通变化的几种情况：
(1) 回路不变，磁场随时间变化
2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式
H
J
D
E
t B
t
B 0
D
麦克斯韦第一方程，表明传导电 流和变化的电场都能产生磁场
麦克斯韦第二方程，表 明变化的磁场产生电场
麦克斯韦第三方程表明磁场是 无源场，磁力线总是闭合曲线
麦克斯韦第四方程， 表明电荷产生电场
5.3.2 媒质的本构关系
在时变的情况下不适用
解决办法： 对安培环路定理进行修正
由
D
J
(
D)
将
H
J
修正为：
H
t J
D
t
时变电场会激发磁场
(J
D )
时变电磁场数学表达式
时变电磁场数学表达式
时变电磁场是指随时间变化的电磁场。
它是电磁学中的重要概念，广泛应用于无线通信、电磁波传播、电磁感应等领域。
本文将从数学表达式的角度出发，探讨时变电磁场的特点和相关理论。
时变电磁场的数学表达式可以用麦克斯韦方程组来描述。
麦克斯韦方程组是电磁学的基本方程，包括四个方程：高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定律和法拉第电磁感应定律。
这些方程描述了电场和磁场之间的相互作用，以及它们随时间和空间的变化规律。
时变电磁场的数学表达式可以通过求解麦克斯韦方程组得到。
在求解过程中，需要考虑电场和磁场的初始条件和边界条件，以及电荷和电流的分布情况。
通过适当的数学方法，可以得到电场和磁场随时间和空间的变化规律，从而得到时变电磁场的数学表达式。
时变电磁场的数学表达式可以是一个复杂的函数，包含时间和空间的变量。
在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的数学模型和方法来描述时变电磁场。
例如，可以使用傅里叶变换将时域的电磁场转换为频域的电磁场，从而简化问题的求解过程。
时变电磁场的数学表达式可以用于分析和设计电磁场的行为和性质。
通过数学模型和计算方法，可以预测电磁场的传播特性、辐射特性和相互作用特性。
这对于无线通信系统的设计、电磁波传播的研究以及电磁感应现象的分析都具有重要意义。
时变电磁场是电磁学中的重要概念，通过数学表达式可以描述电磁场随时间和空间的变化规律。
麦克斯韦方程组是描述时变电磁场的基本方程，通过求解这些方程可以得到电场和磁场的数学表达式。
时变电磁场的数学表达式可以用于分析和设计电磁场的行为和性质，对于相关领域的研究和应用具有重要意义。
第五章随时间变化的电磁场
R 2 x
2 R
Rb
ox x
根据法拉第电磁感应定律，
dm
dt
0a ln R b dI 2 R dt
0aJ0 ln R b 2 R
若电流增长，ε 实际方向 为逆时针
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例题2 （P210例5.1—3）
一长直密绕螺线管，长度L，截面积S，绕有N1匝导线，通有电流I。螺 线管外绕有N2匝线圈，其总电阻R。当螺线管中电流反向时，通过外线圈导 线截面上的总电量为多少？
▲1、动生电动势的非静电力是 洛仑兹力
b
ab (v B) dl
a
说明：
b
B
- fe – fm
v
a
d l方向：沿所在处的切线方向；其指向由积分路线方向确定；
电动势参考方向：沿积分路线方向。
结果的正负会告知ε 的真实方向。 如果整个导体回路都在磁场中运动,那么回路中的总的动生电动势：
1833 ～ 1834年，他发现了两条电解定律，这是电化学的 开创性工作。从1834年起，法拉第对伏打电池、静电、电容和电 介质的性质进行了大量实验研究。为了纪念他在静电学方面的工 作，电容的SI单位称为法拉。
1845年8 月，法拉第发现原来没有旋光性的重玻璃在强磁 场作用下产生旋光性，使偏振光的偏振面发生偏转。磁致旋光效 应后来称为法拉第效应。同年发现大多数物质具有抗磁性。 6
法拉第 Faraday，Michael
（1791～1867）
法拉第热心科普工作，每年圣诞节都特别对儿 童作一系列科学演讲。他的科普讲座深入浅出，配 以丰富的演示实验，深受欢迎 。
法拉第专心从事科学研究，许多大学欲赠予名誉学位，均遭 拒绝。他不愿主持伦敦的皇家研究院和皇家学会，也谢绝封爵。 他1867年 8 月25日卒于维多利亚，逝世前拒绝安葬在威斯敏斯 特教堂牛顿墓旁边 。法拉第著有《电学实验研究》、《化学和 物理学实验研究》等著作。
工程电磁场--第5章--时变电磁场的基本原理
在静止媒质中，场点相对静止， v 0 。因此有
E B t
这就是电磁感应定律的微分形式。
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两个需要说明的问题： （1）由于变化的磁场产生电场，使得 相对静止的电荷在变化的磁场中受到 力的作用而运动。 （2）法拉第电磁感应定律虽然是从导 体回路的实验中得出来的，但是，回 路中的感应电动势与回路材料的电导 率无关。
第五章 时变电磁场的基本原理
本章讨论时变电磁场。通过法拉第电磁感应定律，将静电场 的环路定理加以扩充并推广到时变场。根据电荷守恒原理，引 入位移电流，将安培环路定理推广到时变场，得到全电流定律， 从而导出时变电磁场的基本方程组和场矢量的媒质分界面条件。 根据磁感应强度的散度方程和电场强度的旋度方程，引入动态 位，从麦克斯韦另外两个方程导出时变电磁场的达朗贝尔方程。 给出达朗贝尔方程解的一般形式。讨论单元辐射子电磁波辐射 的问题。最后，描述了在工程中两种简化条件下，时变电磁场 的边值问题。
动生电动势
磁场不变，回路切割磁力线
e d
dt
l (ν B) dl
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在均匀的恒定磁场中，当导体以速度 v 运动时，
回路变大，磁通也变大，磁感应电动势为
e
t
B
S t
B
t
S0
l0vt
Bl0 v
= (v B) • dl
l
其中 S0 是 t 等于零时回路围成的面积， l0 是运动导体的 长度。发电机电动势就是 B 不变，S 随时间变化时的感应电
0Imd cos t ln a
2
ab
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又因为
v
B
v 0 I m sin t 2r
ez
所以
l
(v
B) • dl
电磁场的麦克斯韦方程
电磁场的麦克斯韦方程电磁场的麦克斯韦方程是描述电磁场行为的基本方程组。
它由麦克斯韦在19世纪提出，为电磁学的发展奠定了基础。
本文将从麦克斯韦方程的推导和含义等方面进行论述。
一、麦克斯韦方程的推导麦克斯韦方程的推导基于电磁学的基本定律，主要包括法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
法拉第电磁感应定律表明，一个闭合回路中的电动势等于该回路所包围的磁通量的变化率。
即：∮E·dl = -dΦ/dt其中，∮E·dl表示沿闭合回路的电场强度环路积分，dΦ/dt表示磁通量的变化率。
安培环路定律则描述了电流对磁场的产生作用。
根据该定律，磁场线上的闭合环路的线积分等于通过该环路的电流总和的乘积。
即：∮B·dl = μ0I其中，∮B·dl表示沿闭合环路的磁场强度环路积分，μ0为真空中的磁导率，I为通过闭合环路的总电流。
结合上述两个定律，可得到麦克斯韦方程的推导过程。
二、麦克斯韦方程的含义麦克斯韦方程共有四个方程，分别是高斯定律、高斯磁定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
这些方程涵盖了电场和磁场的生成、传播和相互作用等方面。
其中，高斯定律描述了电场的源与汇。
它指出，电场线从正电荷流出，流入负电荷，电场线的密度与电荷量成正比。
这一定律对于分析电荷分布产生的电场具有重要意义。
高斯磁定律则描述了磁场的无源性。
它表明，不存在磁荷，磁场线是闭合的，磁场线的密度与磁感应强度成正比。
这一定律说明了磁场是由电流引起的，并没有单独的磁荷存在。
法拉第电磁感应定律和安培环路定律则揭示了电场和磁场相互关系。
电场的变化会产生磁场，而磁场的变化也会产生电场。
这种相互作用是电磁波传播的基础，也是电磁感应现象的重要原理。
总结：麦克斯韦方程是电磁学的重要基础方程组，它描述了电磁场的生成、传播和相互作用等现象。
通过对电磁场行为的全面描述，麦克斯韦方程为电磁学的研究和应用提供了重要依据。
通过深入理解和应用麦克斯韦方程，可以更好地探索电磁学的奥秘，实现电磁场相关技术的发展和应用。
第5章时变电磁场
v 动态矢量磁位 A
v v v ∂B ∂ Q∇× E = − = − (∇× A) ∂t ∂t v v ∂A 时变电磁场为保守力场 ∴∇×(E + ) = 0 ——时变电磁场为保守力场 ∂t ∂t
动态标量电位 ϕ
仿照静电场： 仿照静电场：
v v B = ∇× A
v v ∂A E+ = −∇ϕ ∂t
积分形式
∫∫
Sห้องสมุดไป่ตู้
v v D ⋅ ds =
微分形式
∫
∫∫
v v v v v ∂D ∫l H ⋅ dl = ∫∫S ( J + v t ) ⋅ dS ∂ v v v ∂B ∫ l E ⋅ d l = − ∫∫S ∂ t ⋅ d S
S
v v B ⋅ ds = 0
V
ρ dV = ∑ q
v v v ∂D ∇× H = J + v∂t v ∂B ∇× E = − ∂t v ∇⋅D = ρ v ∇⋅B = 0
v & = −iωρ & ∇⋅J
三.
v v iωt v iωt v* −iωt & ] = [Ee + E e ]/ 2 & & E(t) = Re[Ee v v iωt v iωt v * −iωt & ] = [He + H e ]/ 2 & & H(t) = Re[He v v v 坡印亭矢量： 坡印亭矢量：S(t) = E × H v v* v v & × H )/ 2 + Re(E × Hei 2ωt )/ 2 & & & = Re(E 一个周期内的平均值： 一个周期内的平均值： T = 2 / ω) ( π