2.2等差数列第二课时教案
【高中数学必修5】2.2等差数列(第2课时)教学设计(一)
-12-
变式训练，深化提高
2.已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列． 证 ：∵a、b、c成等差数列 ∴2b=a＋c ∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c ＝a＋(a＋c)＋c ＝2(a＋c) ∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列．
-13-
反思小结，观点提炼
1.等差中项的定义与应用 2. 判断一个数列是否为等差数列只需看 an1an(nN*)是否为常数； 3.等差数列的性质
-4-
设计问题，创设情境
在上一节我们已经学习了等差数列，掌握了等差数列的定义、 通项公式与公差，作为一类特殊的数列，是否具有某些特殊的性质， 又如何去证明或判定一个数列是等差数列呢？
-5-
信息交流，揭示规律
1.等差中顶定义 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b组成等差数列，可以看成最简单的等差数列 。这时A叫做a与b的等差中项。
解：取数列{an}中的任意相邻两项an与an-1（n＞1），
求差得a n a n 1 (p q n ) [p ( n 1 ) q ]
pnq(pnpq) p
它是一个与n 无关的常数，所以{an}是等差数列。
-10-
运用规律，解决问题
例2 已知等差数列{ a n }中, a1a4a715，a2a4a6 45
-11-
变式训练，深化提高
1. 三个数成等差数列，其和为 15，其平方和为 83， 求此三个数．
解 设三个数分别为 x－d，x，x＋d．
(x d ) x (x d ) 15
则 (x
d)2
x2
(x
d)2
83
解得
x d
5 2
或
x d
5 2
高中数学《2.2.2 等差数列(二)》教案 新人教A版必修5
2.2.2 等差数列（二）教学要求：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；并能运用所学知识解决一些生活中的等差数列.教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.教学过程：一、复习准备：1. 练习：在等差数列{}n a 中, 若 32a = 813a =-， 求公差d 及14a .2. 提问：如果三角形的三个内角的度数成等差数列，那么中间的角是多少度？二、讲授新课：1. 教学等差中项的概念：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？ 由定义得A-a =b -A ，即：2b a A +=；反之，若2b a A +=，则A-a =b -A. 由此可可得：,,2b a b a A ⇔+=成等差数列.例1：求下列两个数的等差中项①5+2,34a b a b +-.2. 生活中的等差数列：例2、某市居民生活用水的计费标准如下：若居民在某月用水量不超过5吨，则统一收取水费6元，否则超过部分则按1.35元/吨的标准收取水费. 如果己知某户居民该月用水量为18吨，问他此月需支付多少水费？（学生自练→学生演板→教师点评）例3、某地区1997年底沙漠面积为52910hm ⨯. 地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变观测结果记录如下表：00 7999请（1）如果不采取任何措施，到2010年底，这个地区的沙漠面积将大约变为多少2hm ？（2）如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造80002hm 沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将小于22910hm ⨯？3. 小结：等差中项的概念，等差数列的公差、首项、项数及通项公式间的关系，等差数列的性质及其应用.三、巩固练习：1. 有30根水泥电线杆，要运往1000m远的地方开始安装，在1000m处放一根，以后每50m 放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少km？2. 作业：教材P46 第4、5题。
21-22版：§2.2 第2课时 等差数列的性质（步步高）
[素养提升] 等差数列中的计算大致有两条路：一是都化为基本量 (a1，d，n)然后解方程(组)；二是借助等差数列性质简化计算.前者是 通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，能用上会使计 算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能 巧则巧，但不要刻意追求巧法.
随堂演练
SUITANGYANLIAN
课时对点练
KESHIDUIDIANLIAN
基础巩固
1.已知等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＝18，a3＋a5＋a7＝30，则a2＋a4＋
a6等于
√ A.20 B.24
C.26
D.28
解析 ∵等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＝18，a3＋a5＋a7＝30， 设公差为d，两式相减可得6d＝30－18＝12，∴d＝2. 则a2＋a4＋a6＝a1＋a3＋a5＋3d＝24.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.数列{an}为等差数列，且a15＝8，a60＝20，则a75等于
√A.24
B.28
C.32
D.36
解析 ∵d＝a6600－ －1a515＝4152＝145， ∴a75＝a60＋15d＝20＋4＝24.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
√A.12
B.24
C.16
D.32
解析 令 bn＝ann，由题意可知 b3＝a33＝23，b15＝a1155＝2， 则等差数列{bn}的公差 d＝b1155－－b33＝19， 则 b9＝b3＋(9－3)d＝43，所以 a9＝9b9＝12.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
高中数学人教A版必修5第二章2.2等差数列2课时课件
a2=a1+d,
实际由等差数列定义有
a3=a2+d =a1+2d, a4=a3+d =a1+3d, 由上式猜测: an=a1+(n-1)d.
a2-a1=d, a3-a2=d,
a4-a3=d, ……
an-an-1=d,
联想：形如递推公式a n
- an-1
=
f
(n)，
求通项公式可运用累加法
各式两边分别相加得
问题1. 刚才写出的 4 个数列, 它们有什么共同的 规律? 请你给有这种规律的数列设计一个名称.
(1) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … (2) 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5, 3, 0.5. (3) 10072, 10144, 10216, 10288, 10360. (4) 60, 58, 56, 54, 52, 50, 48, 46, 44, 42.
问题1. 等差数列的应用较为广泛, 如: 能被 7 整 除的三位正整数有多少个? 一部梯子有 15 级, 最下 一级宽 61cm, 最上一级宽 40cm, 从下到上的第 10 级宽是多少? 你能用等差数列知识解决这类问题吗?
同样, 梯子的各级宽依次构成等差数列. 设这个数列为{bn}, 则 b1=61, b15=40. 由通项公式 b15=b1+(15-1)d 得
(2) 是等差数列, 它的首项是原数列首项a1, 公差是原 数列公差的 2 倍, 即2d.
(3) 也是等差数列, 它的首项是原数列首项a7, 公差是 原数列公差的 7 倍, 即7d.
5. 已知{an}是等差数列. (1) 2a5=a3+a7 是否成立? 2a5=a1+a9 呢? 为什么? (2) 2an=an-1+an+1 (n>1) 是否成立? 据此你能得出 什么结论?
江苏省 必修5教案 2.2等差数列2
四、巩固深化，反馈矫正
1.教材 练习
2.在等差数列 中,若 求
五、归纳整理，整体认识
本节课学习了以下内容：
1． 成等差数列，等差中项的有关性质意义
2．在等差数列中， （ ， ， ， ）
3．等差数列性质的应用过程
一、创设情景，揭示课题
复习等差数列的定义、通项公式；
（1）等差数列定义
（2）等差数列的通项公式： ( 或 ( 是常数))
（3）公差 的求法：① - ② ③
二、研探新知
1.等差中项的概念：
如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项。其中 ， ， 成等差数列 ．
2.一个有用的公式：
在等差数列 中， 为公差，若 且
2.2
教学
目标
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，掌握等差数列的特殊性质及应用；掌握证明等差数列的方法；
2.明确等差中项的概念和性质；会求两个数的等差中项；
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；
重点
难点
重点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。
难点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。
教学反思
求证：① ②
证明：①设首项为 ，则
∵ ∴
② ∵
∴
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1（教材 例3）
例2①在等差数列 中， ，求 ．
②在等差数列 中， ，求 的值。
解：①由条件： ；
②由条件：∵ ∴ ∴ ．
例3若 求
解：∵ 6+6=11+1, 7+7=12+2…… ∴ , ……从而
等差数列的前n项和的最值教学文稿
6
213+23+33+ +n3=nn2+12
(3)裂项法：设{an}是等差数列，公差d≠0
1+1+1++ 1 =n
a1a2 a2a3 a3a4
anan + 1 a1an + 1
其中ana1n+1
1 1 =dan
1 -
an+1
求 和 S n= 1 1 3+ 3 1 5+ 5 1 7++ 2 n -1 1 2 n + 1
例3设等差数列 an 的前n项和为s n ,
已知a324,s110 求：
①数列an 的通项公式 an=-8n+48
②当n为何值时，s
s22最大
n
最大，
求等差数列前n项的最大(小)的方法
方法1:由Sn
dn2 2
(a1
d)n利用二次函 2
数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.
方法2:利用an的符号
①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此 时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由 an≥0且an+1≤0求得.
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法3 由S3=S11得 d=－2
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
a a
n
n1
0
0
n
15 2
得
n
13 2
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题
高中数学优质教案1：2.2.2等差数列(二)
课§2.2.2 等差数列（二）周次第____ 周星期____ 时间___________ 月____ 日课型①新授课（√）②习题课（）③复习课（）④讲评课（）⑤实验课（）教学目标知识与技能1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律；2．理解等差数列的性质3．掌握等差数列的性质及其应用．过程与方法通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想．情感、态度与价值观通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。
教材分析重点等差数列的性质及证明.难点运用等差数列定义及性质解题．课时数 1 教法教学手段教学过程设计教学环节教师活动学生活动(一)知识链接（1）等差数列{a n}中，对于任意正整数n，都有a n＋1－a n＝________.（2）等差数列{a n}中，对于任意正整数n，都有2a n＋1－a n＝________.基础较差的同学回答【答案】（1）d；（2）a n+2教学过程设计教学环节教师活动学生活动(二)新知探究探究一.等差数列通项公式的推广问题1. 若已知等差数列{a n}中的第m项a m和公差d，如何表示通项a n？自主推导，自主回答.【解析】设等差数列的首项为a1，则a m＝a1＋(m－1)d，得a1＝a m－(m－1)d，∴a n＝a1＋(n－1)d＝a m－(m－1)d＋(n－1)d＝a m＋(n－m)d.【获取新知】（1）广义的等差数列通项公式：a n＝a m＋(n－m)d；（2）由任意两项和公差：.例1.若数列{a n}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75的值．快速口答【解析】由题意，该数列的公差∴变式 1. 等差数列{a n}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于()A．2 B．20 C．100 D．不确定快速口答【答案】A教学过程设计教学环节教师活动学生活动(二)新知探究探究二.等差数列与一次函数的关系问题2.（1）等差数列{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d与一次函数有什么关系？（2）若数列{a n}的通项公式是一次函数a n＝pn＋q，其中p、q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？小组讨论，展示成果.【解析】（1）∵数列是关于序号n的函数，为此将数列的通项公式变形为关于n的函数：.显然，当时，是关于序号n的一次函数，其图象是直线上一系列孤立的点，d为该直线的斜率，a1－d是该直线在y轴上的截距.（2）取数列{a n}中任意两项a n和a n－1(n>1)，则a n－a n－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝p．显然，这是一个与n无关的常数，所以{a n}是等差数列．将一次函数变形为等差数列通项公式的形式为：a n ＝pn＋q＝(q＋p)＋(n－1)p，所以该数列的首项a1＝p＋q，公差d＝p.【获取新知】（1）当公差d＝0时，等差数列是常函数，不是一次函数；（2）当公差d≠0时，等差数列是关于n的一次函数，且其斜率即为公差d，在y轴上的截距为a1－d．基础较好的同学，作最后总结.教学过程设计教学环节教师活动学生活动(二)新知探究探究三. 等差数列的单调性问题3. 根据等差数列与一次函数的关系，你能根据等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d判断它的单调性吗？小组讨论，展示成果.答：当时，数列为常数列；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列．例2. 已知递增数列{a n}满足，则__________快速求解，同学甲回答.【答案】【解析】由得，即，解得又{a n}是递增数列，所以，所以变式2.若是递增数列，则的取值范围____________.小组讨论，展示成果.【答案】【解析】由得.教学过程设计教学环节教师活动学生活动(二)新知探究探究四. 等差数列的性质（一）等差数列的项与序号的关系问题4. 已知数列{a n}是等差数列（1）是否成立？呢？为什么？（2）是否成立？据此你能得到什么结论？是否成立？你又能得到什么结论？小组讨论，展示成果.答：在等差数列{a n}中，若m+n=p+q，则a m＋a n＝a p＋a q . 特别地，若m+n=2p，则a m＋a n＝2a p .【解题反思】（1）由a m＋a n＝a p＋a q能推出m+n=p+q吗？（2）由m+n=p能推出a m＋a n＝a p 吗？小组讨论，展示成果.答：（1）当等差数列{a n}是常数列时，由a m＋a n＝a p＋a q不能推出m+n=p+q；当等差数列{a n}不是常数列时，由a m＋a n＝a p＋a q一定能推出m+n=p+q.（2）由m+n=p 不能推出a m＋a n＝a p.例3. 已知数列{a n}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，则a3＋a15＝_______.快速解答，同学乙回答思路和结论.【答案】234【解析】∵a3＋a15＝a1＋a17＝a5＋a13∴a9＝117 ∴a3＋a15＝a9＋a9＝234.变式3.已知等差数列{a n}中，a2＋a6＋a10＝1，则a3＋a9＝______.快速求解，快速抢答.【答案】【解析】由等差数列的性质，知a2＋a10＝2a6，又a2＋a6＋a10＝1. ∴3a6＝1，a6＝∴a3＋a9＝2a6＝.教学过程设计教学环节教师活动学生活动(二)新知探（二）等差数列的子列的性质究（二）等差数列的子列的性质问题5. 已知一个无穷等差数列{a n}的首项为a1，公差为d.（1）取出数列的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（2）如果取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列呢？（3）你能根据得到的结论做出一个猜想吗？小组讨论，展示成果.答：（1）组成的新数列是等差数列，它的首项是a1，公差为2d；（2）组成的新数列仍然是等差数列，它的首项是a1+6d= a7，公差为7d；（3）若数列{a n}和{k n}都是等差数列，其公差分别为，则也是等差数列，且公差为.（三）等差数列的其他性质问题6.设等差数列，的公差分别为，判断是否为等差数列？如果是，给出证明，并写出首项和公差；如果不是，请说明理由.同学丙板书，其他同学在草稿纸上自主推证.答：是等差数列证明：令，则.∴是等差数列，且首项为，公差为.教学过程设计教学环节教师活动学生活动(二)新知探究【解题反思】（1）当时，你能得到什么结论？（2）当时呢？基础中等同学回答答：（1）当时，得是首项为，公差为的等差数列.（2）当时，也是等差数列，且公差为.例4. 设数列，都是等差数列，若，则_______.快速抢答【答案】35【解析】两个等差数列的和数列仍为等差数列．设两等差数列组成的和数列为{c n}，则{c n}为等差数列且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35.(三)作业布置完成“一课一练”.(四)板书设计可擦区。
等差数列第二课时教案
2.2等差数列第二课时人教A版必修五教学目标1.知识与技能在理解等差数列定义及如何判定等差数列, 学习等差数列通项公式的基础上, 掌握等差中项的定义及应用, 明确等差数列的性质, 并用其进行一些相关等差数列的计算.2.过程与方法以等差数列的通项公式为工具, 探究等差数列的性质, 同时进一步培养学生归纳, 总结的一些数学探究的方法.3.情感、态度与价值观在学习的过程中形成主动学习的情感与态度.在运用知识解决问题中体验数学的实际应用价值.教学重点（1）明确等差中项的定义及应用.（2）理解并掌握等差数列的性质.教学难点理解等差数列的性质的应用.教辅手段PPT,多媒体投影幕布教学过程一、复习引入——温故知新【内容设置与处理方式】借助课件引导学生共同回顾所学的等差数列的相关知识1. 等差数列的定义2. 等差数列的通项公式与公差二、 新知探究（一） 等差中项【内容设置与处理方式】直接给出等差中项的定义: 由三个数 组成的等差数列是最简单的等差数列, 此时 叫做 和 的等差中项.同样,在等差数列}{n a 中,就有212+++=n n n a a a 成立.等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.（二） 等差数列的性质列举几个数列, 观察数列的特点, 研究公差与数列单调性的关系.问题1: 数列1: 1,3,5,7,9,11, ……数列2: 30, 25,20, 15,10,5, ……数列3: 8,8,8,8,8,8, ……引导学生观察, 得到等差数列的一个性质.性质1：若数列 是等差数列, 公差为 .若 >0,则是 递增数列；若 <0,则 是递减数列；若 =0,则 是常数列.2.问题2:在等差数列}{n a 中,探究等差数列中任意两项m n a a ,之间的关系.它们之间的关系可表示为:d m n a a m n )(-+=参考证明: 由等差数列的通项公式 得d m a a m )1(1-+=∴d m n d m a d n a a a m n )(])1([])1([11-=-+--+=-即等式成立由此也可得到公差的另一种表示:mn a a d m n --=性质2: d m n a a m n )(-+=;m n a a d m n --= 问题3: 在等差数列 中, 若 ,则 一定成立吗?特别地, ,则 成立?启发学生应用等差数列的通项公式来证明该问题。
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§2.2等差数列
授课类型：新授课
（第２课时）
一、教学目标
知识与技能：明确等差中项的概念；能结合图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。
过程与方法：通过等差数列的通项及图像的结合，进一步渗透数形结合思想、函数思想。
情感态度与价值观：通过对等差数列性质的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系。
二、教学重点
等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用
三、教学难点
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
四、教学过程
1、课题导入
回顾旧知：
①等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －
1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）
②等差数列的通项公式：
d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+或n a =pn+q (p 、q 是常数))
③计算等差数列中公差d 的方法
① d=n a －1-n a ② d =1
1--n a a n ③ d =m n a a m n -- 2、讲授新课
问题1：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？
由定义得A-a =b -A ，即：2b a A +=
反之，若2
b a A +=，则A-a =b -A 由此可可得：,,2
b a b a A ⇔+=成等差数列 问题2：在等差数列{n a }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a .
解：∵ {a n }是等差数列
∴ 1a +6a =4a +3a =9⇒3a =9－4a =9－7=2
∴ d=4a －3a =7－2=5
∴ 9a =4a +(9－4)d=7+5*5=32
∴ 3a =2, 9a =32
例题讲解：
已知数列{n a }是等差数列 （1）7532a a a =+是否成立？9512a a a =+呢？为什么？
（2）112(1)n n n a a a n +-=+>是否成立？据此你能得到什么结论？
（3）2(0)n k n n k a a a n k +-=+>>是否成立？你又能得到什么结论？
结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+
即 m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )
但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q ，②n m n m a a a +=+
探究：等差数列与一次函数的关系
3、课堂练习
①在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求首项1a 与公差d 解：12531103125125
a a d --===-- 15410122a a d =-=-=-
②在等差数列{}n a 中, 若 65=a 158=a 求14a 解：85153,4685a a d a a d -=
==-=-- 1411333a a d =+=
4、课时小结
本节课学习了以下内容： ①,,,2
a b A a A b +=⇔成等差数列 ②在等差数列中， m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )
5、课后作业
课本P40 [习题2.2]A 组 第4题，B 组第1题。