2014高考数学二轮高强优化课件：圆锥曲线的定义、方程与性质
考点
椭 圆
双曲线 抛物线
圆锥曲线的综合问题
考情
1.对椭圆的考查以椭圆的标准方程及几何性质为主要考查对象， 有时也考查椭圆定义的应用，尤其要熟记椭圆中参数a，b，c之间 的内在联系及其几何意义． 2.对于双曲线的考查主要有两种形式：一是求双曲线方程；二 是通过方程研究双曲线的性质，如2013年新课标全国卷 Ⅰ T4, 2013年浙江T9. 3.高考对抛物线定义的考查主要体现在抛物线的标准方程、焦 点等问题上，考查方程主要有两个方面，一是用定义或待定系数 法求抛物线方程；二是利用抛物线方程研究几何性质，如2013年 新课标全国卷 Ⅱ T11. 4.圆锥曲线综合问题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，如 2013年天津T5.
x2 y2 (2)设 F1， F2 分别为双曲线 － ＝1 的左、 9 16 右焦点，过 F1 引圆 x2＋y2＝9 的切线 F1P 交双 曲线的右支于点 P，T 为切点，M 为线段 F1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO|－|MT|等于 A．4 C．2 B． 3 D．1 ( )
解析：由已知得抛物线的焦点 上点
p F2，0，设点
A(0,2)，抛物线
p y2 0 M(x0，y0)，则 AF ＝2，－2， AM ＝2p，y0－2.由已
知得， 即 AF · AM ＝0， 由|MF|＝5 得， p＝8.
y2 因而 0－8y0＋16＝0，
x2 y2 解析：设双曲线方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)①，点 A 的坐标为 a b (x0，y0)． 由题意得 a2＋b2＝3＝c2②，则|OA|＝c＝ 3，
2 2 x0＋y0＝3， 所以 2 2 x0＋4y0＝4，
解得
8 2 1 2 x0＝ ，y0＝ ，又点 3 3
A 在双曲线上，
8 2 1 2 c 2 2 代入①得， b － a ＝a b ③，联立②③解得 a＝ 2，所以 e＝a 3 3 6 ＝ . 2
答案：D
3．(2013· 新课标全国卷Ⅱ)设抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|＝5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2)， 则 C 的方程为 A．y2＝4x 或 y2＝8x C．y2＝4x 或 y2＝16x B．y2＝2x 或 y2＝8x D．y2＝2x 或 y2＝16x ( )
c 解析：因为双曲线的离心率 e＝a＝2，所以 b＝ 3a，所以双 b p 曲线的渐近线方程为 y＝± 与抛物线的准线 x＝－ ax＝± 3x， 2 p p 3 3 相交于 A－ ， p，B－ ，－ p ，所以△AOB 的面积为 2 2 2 2 1 p × × 3p＝ 3，又 p＞0，所以 p＝2. 2 2
x2 y2 1．(2013· 新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线 C： 2－ 2＝1(a＞0， a b 5 b＞0)的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为 2 1 A．y＝± x 4 1 C．y＝± x 2 1 B．y＝± x 3 D．y＝± x ( )
x2 y2 解析：因为双曲线 2－ 2＝1 的焦点在 x 轴上，所以双曲线的 a b a2＋b2 b c 渐近线方程为 y＝± ax.又离心率为 e＝a＝ a ＝ 5 b 1 1 ＝ ，所以a＝ ，所以双曲线的渐近线方程为 y＝± x. 2 2 2
1 1＋ 2|y1－y2|，而|x1－x2|＝ x1＋x22－4x1x2. k 3．抛物线的过焦点的弦长 抛物线 y ＝2px(p＞0)的过焦点
2
p F2，0的弦
AB，若 A(x1，
p2 y1)，B(x2，y2)，则 x1x2＝ ，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋ 4 p.同样可得抛物线 y2＝－2px， x2＝2py， x2＝－2py 类似的性质．
定义
不在直线l上，
PM⊥l于M
标准
方程
y2＝2px(p＞0)
名称
图像
椭圆
双曲线
抛物线
c b2 c b2 e＝a＝ 1－ 2 e＝a＝ 1＋a2 a 几何 离心率 (e＞1) (0＜e＜1) 性质 b 渐近线 y＝± ax
e＝ 1
2.直线与圆锥曲线相交时的弦长 设而不求，根据韦达定理，进行整体代入．即当直线与圆 锥曲线交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝ ＝ 1＋k2|x1－x2|
b 1＋a2
答案：C
x2 2 2．(2013· 浙江高考)如图，F1，F2 是椭圆 C1： ＋y ＝1 与双曲 4 线 C2 的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2 在第二、四象限的 公共点．若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是( )
A. 2 3 C. 2
B. 3 6 D. 2
答案：C
1．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称 椭圆 |PF1|＋|PF2|＝ 2a(2a＞|F1F2|)
x2 y2 ＋ ＝1(a＞ a2 b2 b＞0)
双曲线 ||PF1|－|PF2||＝ 2a(2a＜|F1F2|)
x2 y2 2－ 2＝1(a＞0， a b b＞0)
抛物线 |PF|＝|PM|点F
圆锥曲线定义及标准方程
[例 1] (1)(2 的 ( )
3 右焦点为 F(3,0)，离心率等于 ，则 C 的方程是 2 x2 y2 A. － ＝1 4 5 x2 y2 C. － ＝1 2 5 x2 y2 B. － ＝1 4 5 x2 y2 D. － ＝1 2 5
8 y0＝4， Mp，4.
8 p － 2＋16＝5，又 p 2
p＞0，解得 p＝2 或
答案：C
x2 y2 4．(2013· 天津高考)已知双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的两条 a b 渐近线与抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线分别交于 A, B 两点， O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3， 则 p＝ A．1 C．2 3 B. 2 D．3 ( )
高考数学二轮专题复习 第11讲 圆锥曲线定义、方程与性质课件 文 苏教
第 11 讲 圆锥曲线定义、方程与性质
第 11 讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1．圆锥曲线的统一性 (1)从方程的形式看，在直角坐标系中，椭圆、双曲线和 抛物线这三种曲线的方程都是二元二次的，所以也叫二次曲 线． (2)从点的集合(或轨迹)的观点看，它们都是与定点和定 直线距离的比是常数 e 的点的集合(或轨迹)，这个定点是它 们的焦点，定直线是它们的准线，只是由于离心率 e 取值范 围的不同，而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线． (3)这三种曲线都可以是由平面截圆锥面得到的截线，因 而才称之为圆锥曲线．
△AOB
的面积
S
＝
1 2
1＋k2 |x1|
1＋k12 |x2| ＝
1＋k22 2 1＋4k2k2＋4.
第 11 讲 │ 要点热点探究
令 1＋k2＝t(t>1)，则 S＝2 4t2＋t92t－9＝2
1 －t92＋9t ＋4.
令
g(t)
＝
－
9 t2
＋
9 t
＋
4
＝
－
9
1t －12
2
＋
25 4
(t>1)
，
第 11 讲 │ 要点热点探究
【解答】 依题意，设双曲线的半焦距为 c，由离心率 e ＝2＝ac，得 c＝2a，b＝ 3a，B(0， 3a)，F(－2a,0)．设 C(x,0)， 故B→C＝(x，－ 3a)，B→F＝(－2a，－ 3a)，由B→C·B→F＝0， 得 x＝32a，所以 C32a，0.
【点评】 本题的“几何味”特别浓，这就为本题 注入了活力．圆锥曲线的有关问题常常与平面几何知 识相结合，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的 重视，也只有这样才能挖掘出丰富 │ 规律技巧提炼
高考数学二轮复习与策略课件 专题12 圆锥曲线的定义、方程、几何性质精选ppt版本
右焦点，点 M 在 E 上，MF1 与 x 轴垂直，sin∠MF2F1＝13，则 E 的离心率为(
)
A. 2
B.32
C. 3
D.2
(2)(2016·泰安三模)已知双曲线ax22－by22＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1
作圆 x2＋y2＝a2 的切线分别交双曲线的左、右两支于点 B，C，且|BC|＝|CF2|，则
5．(2013·山东高考改编)抛物线 C1：y＝21px2(p＞0)的焦点与双曲线 C2：x32－y2 ＝1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一 条渐近线，则 p＝________.
(2)抛物线焦点弦的几个常用结论 设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①x1x2 ＝p42，y1y2＝－p2；②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2α(α 为弦 AB 的倾斜角)；③|F1A|＋|F1B| ＝2p；④以弦 AB 为直径的圆与准线相切．
双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±3x
B.y＝±2 2x
C．y＝±( 3＋1)x
D.y＝±( 3－1)x
(1)A (2)C [(1)如图所示，由题意得 A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．
D
[由题意知双曲线的渐近线方程为 y＝±b 2x，圆的方程为 x2＋y2＝4，联立
x2＋y2＝4， y＝b 2x，
2 [如图，由题意知|AB|＝2ab2，|BC|＝2c. 又 2|AB|＝3|BC|， ∴2×2ab2＝3×2c， 即 2b2＝3ac， ∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以 a2 并整理得， 2e2－3e－2＝0，解得 e＝2(负值舍去)．]
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件：常考问题12 圆锥曲线的基本问题
y2 x2 程为 a2 － b2 ＝ 1(a>0 ， b>0) ，根据定义 2a ＝ | 152＋12 － 152＋72|＝4，故 a＝2.又 b2＝32－22＝5，故所求双曲线方 y2 x2 程为 4 － 5 ＝1.
法二
x2 y2 y2 x2 ＋ ＝1 的焦点坐标是(0，± 3)，设双曲线方程为 2－ 2＝ 27 36 a b
解析
c (1)因为双曲线的离心率 e＝ ＝2，所以 b＝ 3a，所以双曲 a
b p 线的渐近线方程为 y＝± 与抛物线的准线 x＝－2相交于 ax＝± 3x，
p A －2， p 1 p 3 3 ，B－ ，－ p，所以△AOB 的面积为2×2× 3p p 2 2 2
热点与突破
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程
x2 y2 【例 1】 设双曲线与椭圆 ＋ ＝1 有共同的焦点，且与椭圆相 27 36 交，一个交点的坐标为 ( 15，4)，则此双曲线的标准方程是 ________________． 解析 法一 x2 y2 3)，设双曲线方 27＋36＝1 的焦点坐标是(0，±
2 2
16 15 1(a>0，b>0)，则 a ＋b ＝9， 2 － 2 ＝1，解得 a2＝4，b2＝5，故 a b y2 x2 所求双曲线方程为 4 － 5 ＝1. 法三 x2 y2 设双曲线方程为 ＋ ＝1(27<λ<36)， 由于双曲线过 27－λ 36－λ
15 16 点( 15，4)，故 ＋ ＝1，解得 λ1＝32，λ2＝0(舍去)，故 27－λ 36－λ y2 x2 所求双曲线方程为 4 － 5 ＝1. 答案 y2 x2 － ＝1 4 5
热点二 圆锥曲线的几何性质 x2 2 【例 2】 (2013· 浙江卷改编)如图，F1，F2 是椭圆 C1： ＋y ＝1 4 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2 在第二、四象 限的公共点．若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是 ________．
高考数学(文)复习精品课件(课标版)第15讲 圆锥曲线的定义、方程与性质 公开课一等奖课件
x2 y2 x2 y2 例 1 若椭圆 m ＋ n ＝1 与双曲线 p － q ＝ 1(m，n，p，q 均为正数)有共同的焦点 F1、F2， P 是两曲线的一个公共点，则 |PF1|· |PF2|等于 ( ) A．p2－m2 B．p－m C．m－p D．m2－p2
第15讲 │ 要点热点探究
已知 AB 是抛物线 y2＝2x 的一条焦点弦， 且|AB| ＝4，则 AB 中点 C 的横坐标是( ) 1 3 5 A．2 B. C. D. 2 2 2
C 【解析】 设 A(x1，y1), B(x2，y2)，则|AB|＝x1 x1＋x2 3 ＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝4，所以 要点热点探究
B
x2 y2 【解析】 双曲线 2－ 2＝1 的渐近线为 y＝ a b
b ± ax，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点 p p 坐标为(－2， －1)得－ ＝－2， 即 p＝4.又∵ ＋a＝4， 2 2 b ∴a＝2，将(－2，－1)代入 y＝ax 得 b＝1， ∴c＝ a2＋b2＝ 4＋1＝ 5，∴2c＝2 5.
第15讲 │ 要点热点探究
【分析】 首先根据点 P 的特殊性，它是椭圆与双曲线的交点，且两 个曲线有公共的焦点， 结合椭圆的定义与双曲线的定义， 可知|PF1|＋|PF2| ＝2 m与|PF1|－|PF2|＝± 2 p，进而求得|PF1|· |PF2|.
C 【解析】 由题设可知 m>n， 再由椭圆和双曲线的定义有|PF1|＋|PF2| ＝2 m及|PF1|－|PF2|＝± 2 p，两个式子分别平方再相减即可得|PF1|· |PF2|＝ m－p.选 C.
设 θ 是△ABC 的一个内角，且 sinθ＋cosθ 7 ＝ ，则 x2sinθ－y2cosθ＝1 表示( 13 A．焦点在 x 轴上的椭圆 B．焦点在 y 轴上的椭圆 C．焦点在 x 轴上的双曲线 D．焦点在 y 轴上的双曲线 )
圆锥曲线的定义、方程和性质
点在直 线上！
顶点、对称性、焦点、 顶点、对称性、焦点、焦 长轴、短轴、离心率、 知识回顾、 一、知识回顾、加深认识 距、长轴、短轴、离心率、 准线、a、b、c关系 准线、
一、知识回顾、加深认识 知识回顾、
顶点、对称性、焦点、 顶点、对称性、焦点、 焦距、实轴、虚轴、 焦距、实轴、虚轴、离 心率、准线、渐近线、 心率、准线、渐近线、 a、b、c关系
F1 O
P F2 x
强化一、焦点三角形问题 例1 （09重庆理科改编）已知双曲线
a c = sin ∠PF1 F2 sin ∠PF2 F1
x2 y2 − 2 = 1 ，左右焦点 2 a b
坐标分别为 F1 (−c,0)、F2 (c,0) ，若双曲线右支上存在点P,使 ,则该双曲线离心率范围是 (1, 2 + 1)
试题评价： 试题评价： 2 , y 1 = 2 6 , 代入椭圆方程，且 c = 解得 x 1 = 本例以椭圆、抛物线的基本知识以及椭圆与直 1 . 3 3 线的位置关系为载体，充分考查对解析几何的理解和应用 （）平面上的点N满足MN = MF1 + MF2，直线l // MN，且 2 数形结合思想解决问题能力。 x2 y2 可解得 a = .2 , b = 3 , 故 C 1 : + = 1. 与C1交于A、B两点，若OA • OB = 0，求直线l的方程。 4 3
圆锥曲线的定义、方程、 圆锥曲线的定义、方程、性质
一、知识回顾、加深认识 知识回顾、
（ x − 2) 2 + y 2 练习 动点P（x, y )满足方程 1 =e x −3 (e (e是大于0的常数），则P点轨迹是什么？
0 < e < 1 PF = e e = 1 PH e > 1
高考数学二轮复习考点突破课件：第10讲圆锥曲线的概念及性质
题目3解析
题目4解析
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抛物线的标准方程和性质
抛物线的标准方程为$y^2 = 2px$或$x^2 = 2py$，其中$p$是焦距。抛物线的性质包括开口方向、对称轴等。
练习题与答案解析
题目1：已知椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$，则其焦点到椭圆中心的距离为 ___．
题目1解析
圆锥曲线的焦点是曲线上任一点到曲线的对称中心的连线与对称轴的交点。对于椭圆和双曲线，焦点位于对称轴上；对于圆和抛物线，焦点位于对称中心。
圆锥曲线的准线是与对称轴垂直的直线，与曲线相切于焦点。对于椭圆和双曲线，准线位于对称轴两侧；对于圆和抛物线，准线是过对称中心的直线。
圆锥曲线的性质
圆锥曲线是平面几何中的一类重要曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
根据双曲线的性质，其准线方程为$x = frac{a^2}{c}$。由于该准线是圆的一条切线，利用切线与半径的关系求得c的值。再利用离心率公式求得离心率。
根据抛物线的性质，焦点F的坐标为$(p,0)$，准线l的方程为$x = -p$。设AB的方程为$y = k(x - p)$，代入抛物线方程得到交点A和B的坐标。利用中点坐标公式求得M的坐标，再利用向量关系求得k的值。最后代入抛物线方程得到C的方程。
桥梁设计
在建筑设计中，圆锥曲线也被广泛用于设计建筑的外观和结构，如螺旋楼梯和旋转门。
建筑设计
在机械零件设计中，圆锥曲线也被用来设计各种零件的形状，以满足特定的功能需求。
机究圆锥曲线，我们可以更好地理解行星的运动规律。
行星轨道
在天体观测中，圆锥曲线也被用来描述和预测天体的运动轨迹和位置。
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解41---圆锥曲线的方程与性质
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第41讲圆锥曲线的方程与性质[考情分析]高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．考点一圆锥曲线的定义与标准方程核心提炼1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p 的值．例1(1)(2022·衡水中学模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP且线段AP的长为2＋2，则该椭圆方程为()A.x 24＋y 22＝1B.x 28＋y 23＝1 C.x 25＋y 24＝1 D.x 28＋y 24＝1 答案 D解析 设椭圆的半焦距为c ，因为点P 在以线段F 1A 为直径的圆上，所以AP ⊥PF 1.又因为F 2B ∥AP ，所以F 2B ⊥BF 1.又因为|F 2B |＝|BF 1|，所以△F 1F 2B 是等腰直角三角形，于是△F 1AP 也是等腰直角三角形，因为|AP |＝2＋2，所以|F 1A |＝2(2＋2)，得a ＋c ＝2(2＋2)，又b ＝c ，所以a ＝2c ，解得a ＝22，c ＝2，得b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1. (2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 是C 右支上的一点(不是顶点)，过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则|MO |＝________. 答案 4解析 延长F 2M 交PF 1于点Q ，由于PM 是∠F 1PF 2的角平分线，F 2M ⊥PM ，所以△QPF 2是等腰三角形，所以|PQ |＝|PF 2|，且M 是QF 2的中点．根据双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即|QF 1|＝2a ，由于O 是F 1F 2的中点，所以MO 是△QF 1F 2的中位线，所以|MO |＝12|QF 1|＝a ＝4. 易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a 2＝b 2＋c 2，双曲线中的关系式为c 2＝a 2＋b 2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．跟踪演练1 (1)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，实轴长为4，则该双曲线的方程为( ) A.x 24－y 22＝1 B.x 24－y 28＝1或y 24－x 28＝1 C.x 24－y 28＝1 D.x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1 答案 D解析 设双曲线方程为x 22m －y 2m＝1(m ≠0)， ∵2a ＝4，∴a 2＝4，当m >0时，2m ＝4，m ＝2；当m <0时，－m ＝4，m ＝－4.故所求双曲线的方程为x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1. (2)已知A ，B 是抛物线y 2＝8x 上两点，当线段AB 的中点到y 轴的距离为3时，|AB |的最大值为( )A ．5B ．5 2C ．10D ．10 2答案 C解析 设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，线段AB 的中点为M .如图，分别过点A ，B ，M 作准线l 的垂线，垂足分别为C ，D ，N ，连接AF ，BF .因为线段AB 的中点到y 轴的距离为3，抛物线y 2＝8x 的准线l ：x ＝－2，所以|MN |＝5.因为|AB |≤|AF |＋|BF |＝|AC |＋|BD |＝2|MN |＝10，当且仅当A ，B ，F 三点共线时取等号，所以|AB |max ＝10.考点二 椭圆、双曲线的几何性质 核心提炼1．求离心率通常有两种方法(1)求出a ，c ，代入公式e ＝c a. (2)根据条件建立关于a ，b ，c 的齐次式，消去b 后，转化为关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．2．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共渐近线bx ±ay ＝0的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．考向1 椭圆、双曲线的几何性质例2(2022·河南五市联考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心的圆恰好与双曲线C 的两条渐近线相切，且该圆恰好经过线段OF 2的中点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±233x D ．y ＝±2x答案 B解析 由题意知，渐近线方程为y ＝±b ax ， 焦点F 2(c ，0)，c 2＝a 2＋b 2，因为以F 2为圆心的圆恰好与双曲线C 的两渐近线相切，则圆的半径r 等于圆心到切线的距离，即r ＝⎪⎪⎪⎪±b a ·c 1＋⎝⎛⎭⎫±b a 2＝b ， 又该圆过线段OF 2的中点，故c 2＝r ＝b ， 所以b a ＝b 2a 2＝b 2c 2－b2＝33. 所以渐近线方程为y ＝±33x . 考向2 离心率问题例3(多选)(2022·全国乙卷)双曲线C 的两个焦点为F 1，F 2，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且cos ∠F 1NF 2＝35，则C 的离心率为( ) A.52B.32 C.132 D.172 答案 AC解析 不妨设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． 当两个交点M ，N 在双曲线两支上时，如图1所示，图1设过F 1的直线与圆D 相切于点P ，连接OP ，由题意知|OP |＝a ，又|OF 1|＝c ，所以|F 1P |＝b .过点F 2作F 2Q ⊥F 1N ，交F 1N 于点Q .由中位线的性质，可得|F 2Q |＝2|OP |＝2a ，|PQ |＝b .因为cos ∠F 1NF 2＝35， 所以sin ∠F 1NF 2＝45， 故|NF 2|＝52a ，|QN |＝32a ， 所以|NF 1|＝|F 1Q |＋|QN |＝2b ＋32a . 由双曲线的定义可知|NF 1|－|NF 2|＝2a ，所以2b ＋32a －52a ＝2a ，所以2b ＝3a . 两边平方得4b 2＝9a 2，即4(c 2－a 2)＝9a 2，整理得4c 2＝13a 2，所以c 2a 2＝134， 故c a ＝132，即e ＝132. 当两个交点M ，N 都在双曲线上的左支上时，如图2所示，图2同理可得|F 2Q |＝2|OP |＝2a ，|PQ |＝b .因为cos ∠F 1NF 2＝35， 所以sin ∠F 1NF 2＝45， 可得|NF 2|＝52a ，|NQ |＝32a ， 所以|NF 1|＝|NQ |－|QF 1|＝32a －2b ， 所以|NF 2|＝|NF 1|＋2a ＝72a －2b ， 又|NF 2|＝52a ，所以72a －2b ＝52a ， 即a ＝2b ，故e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52.故选AC.规律方法 (1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求b a 或a b的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．跟踪演练2 (1)(2022·全国甲卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为( ) A.32 B.22 C.12 D.13答案 A解析 设P (m ，n )(n ≠0)，则Q (－m ，n )，易知A (－a ，0)，所以k AP ·k AQ ＝n m ＋a ·n －m ＋a ＝n 2a 2－m 2＝14.(*) 因为点P 在椭圆C 上，所以m 2a 2＋n 2b 2＝1，得n 2＝b 2a2(a 2－m 2)，代入(*)式，得b 2a 2＝14， 所以e ＝c a ＝1－b 2a 2＝32.故选A. (2)(多选)(2022·衡水中学模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若|AF 1|＝|BF 2|＝2|AF 2|，则( )A ．∠AF 1B ＝∠F 1ABB ．双曲线的离心率e ＝333C ．双曲线的渐近线方程为y ＝±63x D ．原点O 在以F 2为圆心，|AF 2|为半径的圆上答案 AB解析 设|AF 1|＝|BF 2|＝2|AF 2|＝2m ，则|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝3m ，由双曲线的定义知，|AF 1|－|AF 2|＝2m －m ＝2a ，即m ＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，即|BF 1|－2m ＝2a ，∴|BF 1|＝3m ＝|AB |，∠AF 1B ＝∠F 1AB ，故选项A 正确；由余弦定理知，在△ABF 1中，cos ∠AF 1B ＝|AF 1|2＋|BF 1|2－|AB |22|AF 1|·|BF 1|＝4m 2＋9m 2－9m 22·2m ·3m ＝13， 在△AF 1F 2中，cos ∠F 1AB ＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22·|AF 1|·|AF 2|＝4m 2＋m 2－4c 22·2m ·m ＝cos ∠AF 1B ＝13， 化简整理得12c 2＝11m 2＝44a 2，∴离心率e ＝c a ＝4412＝333，故选项B 正确； 双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±c 2－a 2a 2x ＝±e 2－1x ＝±263x ， 故选项C 错误；若原点O 在以F 2为圆心，|AF 2|为半径的圆上，则c ＝m ＝2a ，与c a ＝333相矛盾，故选项D 错误． 考点三 抛物线的几何性质核心提炼抛物线的焦点弦的几个常见结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p .(3)当AB ⊥x 轴时，弦AB 的长最短为2p .例4 (1)(2022·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，射线FM 与y 轴交于点A (0,2)，与抛物线C 的准线交于点N ，FM →＝55MN →，则p 的值等于( )A.18 B ．2 C.14D ．4 答案 B解析 设点M 到抛物线的准线的距离为|MM ′|，抛物线的准线与x 轴的交点记为点B.由抛物线的定义知，|MM ′|＝|FM |.因为|FM ||MN |＝55， 所以|MM ′||MN |＝55， 即cos ∠NMM ′＝|MM ′||MN |＝55， 所以cos ∠OF A ＝cos ∠NMM ′＝55， 而cos ∠OF A ＝|OF ||AF |＝p 2⎝⎛⎭⎫p 22＋22＝55，解得p ＝2. (2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M (p ，0)．若|AF |＝|AM |，则( )A ．直线AB 的斜率为2 6B ．|OB |＝|OF |C ．|AB |>4|OF |D ．∠OAM ＋∠OBM <180°答案 ACD解析 对于A ，由题意，得F ⎝⎛⎭⎫p 2，0. 因为|AF |＝|AM |，且M (p ，0)， 所以x A ＝x F ＋x M 2＝34p ，将其代入抛物线方程y 2＝2px ，得y A ＝62p ， 所以A ⎝⎛⎭⎫34p ，62p ，所以直线AB 的斜率k AB ＝k AF ＝62p －034p －p 2＝26，故A 正确；对于B ，由选项A 的分析，知直线AB 的方程为y ＝26⎝⎛⎭⎫x －p2，代入y 2＝2px ，得12x 2－13px ＋3p 2＝0，解得x ＝34p 或x ＝13p ，所以x B ＝13p ，所以y B ＝－63p ，所以|OB |＝x 2B ＋y 2B ＝73p ≠|OF |，故B不正确；对于C ，由抛物线的定义及选项A ，B 的分析， 得|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝1312p ＋p ＝2512p >2p ，即|AB |>4|OF |，故C 正确； 对于D ，易知|OA |＝334p ，|AM |＝54p ， |OB |＝73p ，|BM |＝103p ， 则cos ∠OAM ＝|OA |2＋|AM |2－|OM |22|OA |·|AM |＝3316p 2＋2516p 2－p 22×334p ·54p＝21533>0，cos ∠OBM ＝|OB |2＋|BM |2－|OM |22|OB |·|BM |＝79p 2＋109p 2－p 22×73p ·103p＝470>0，所以∠OAM <90°，∠OBM <90°，所以∠OAM ＋∠OBM <180°，故D 正确．综上所述，选ACD.规律方法 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p 的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算．跟踪演练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________． 答案 x ＝－32解析 方法一 (解直角三角形法)由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，∠OPF ＝∠PQF ，所以tan ∠OPF ＝tan ∠PQF ， 所以|OF ||PF |＝|PF ||FQ |，即p 2p ＝p 6，解得p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－32.方法二 (应用射影定理法)由题易得|OF |＝p 2，|PF |＝p ，|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2＝p2×6，解得p ＝3或p ＝0(舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.(2)(2022·济宁模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A ，B ，C .若AB →＝2BF →，则线段BC 的中点到准线的距离为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 B解析 由抛物线的方程可得焦点F (1,0)，渐近线的方程为x ＝－1，由AB →＝2BF →，可得|AB ||BF |＝2，由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图所示，作BE 垂直准线于点E ， 准线交x 轴于点N ，则|BF |＝|BE | ，故|AB ||BF |＝|AB ||BE |＝2，故∠ABE ＝π4 ， 而BE ∥x 轴，故∠AFN ＝π4，所以直线AB 的倾斜角为π4，所以直线AB 的方程为y ＝x －1， 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，整理可得x 2－6x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝6，所以BC 的中点的横坐标为3， 则线段BC 的中点到准线的距离为3－(－1)＝4.专题强化练一、单项选择题1．(2022·中山模拟)抛物线C ：y 2＝2px 上一点(1，y 0)到其焦点的距离为3，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝8x C ．y 2＝12x D ．y 2＝16x 答案 B解析 因抛物线C ：y 2＝2px 上一点(1，y 0)到其焦点的距离为3，则p >0，抛物线准线方程为x ＝－p2，由抛物线定义得1－⎝⎛⎭⎫－p2＝3，解得p ＝4， 所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .2．已知双曲线x 2m －y 2＝1(m >0)的一个焦点为F (3,0)，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±24x B ．y ＝±22xC ．y ＝±2xD ．y ＝±12x答案 A解析 因为双曲线x 2m －y 2＝1(m >0)的一个焦点为F (3,0)，所以由m ＋1＝32，得m ＝8， 所以双曲线方程为x 28－y 2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±24x .3．(2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3,0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．3 2 答案 B解析 方法一由题意可知F (1,0)，抛物线的准线方程为x ＝－1.设A ⎝⎛⎭⎫y 24，y 0， 则由抛物线的定义可知|AF |＝y 204＋1.因为|BF |＝3－1＝2，所以由|AF |＝|BF |，可得y 204＋1＝2，解得y 0＝±2，所以A (1,2)或A (1，－2)．不妨取A (1,2)，则|AB |＝(1－3)2＋(2－0)2＝8＝22，故选B. 方法二 由题意可知F (1,0)，故|BF |＝2， 所以|AF |＝2.因为抛物线的通径长为2p ＝4， 所以AF 的长为通径长的一半， 所以AF ⊥x 轴，所以|AB |＝22＋22＝8＝2 2.故选B.4.(2022·潍坊模拟)如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)上支的一部分．已知该双曲线的上焦点F 到下顶点的距离为36，F 到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为( )A.53B.54C.43D.45 答案 B解析 点F (0，c )到渐近线y ＝±ab x ，即ax ±by ＝0的距离d ＝|±bc |a 2＋b 2＝b ＝12， 又由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝36，a 2＋122＝c 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝16，c ＝20，所以e ＝c a ＝2016＝54.5．(2022·福州质检)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且满足AF 1⊥AB ，|AF 1||AB |＝43，则该椭圆的离心率是( )A.23B.53C.33D.63 答案 B解析 如图所示，设|AF 1|＝4x ，则|AB |＝3x ，因为AF 1⊥AB ，则|BF 1|＝|AB |2＋|AF 1|2＝5x ， 由椭圆的定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 2|＋|BF 1|)＝4a ＝12x ，则x ＝a 3，所以|AF 1|＝4x ＝4a 3， 则|AF 2|＝2a －4a 3＝2a3，由勾股定理可得|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 则⎝⎛⎭⎫4a 32＋⎝⎛⎭⎫2a 32＝4c 2，则c ＝53a ， 因此该椭圆的离心率为e ＝c a ＝53.6.如图，圆O 与离心率为32的椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切于点M (0,1)，过点M 引两条互相垂直的直线l 1，l 2，两直线与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D (均不重合)．若P 为椭圆上任意一点，记点P 到两直线的距离分别为d 1，d 2，则d 21＋d 22的最大值是( )A ．4B ．5 C.163 D.253答案 C解析 易知椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝1， 设P (x 0，y 0)， 因为l 1⊥l 2，则d 21＋d 22＝|PM |2＝x 20＋(y 0－1)2，因为x 204＋y 20＝1，所以d 21＋d 22＝4－4y 20＋(y 0－1)2＝－3⎝⎛⎭⎫y 0＋132＋163， 因为－1≤y 0≤1，所以当y 0＝－13，即点P ⎝⎛⎭⎫±423，－13时，d 21＋d 22取得最大值163. 二、多项选择题7．(2022·临沂模拟)2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F (0,2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y 轴交于点G .若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则( )A ．椭圆的长轴长为4 2B ．|AB |的取值范围是[4,2＋22]C ．△ABF 面积的最小值是4D ．△AFG 的周长为4＋4 2 答案 ABD解析 由题意知，椭圆中的几何量b ＝c ＝2， 得a ＝22，则2a ＝42，A 正确； |AB |＝|OB |＋|OA |＝2＋|OA |， 由椭圆性质可知2≤|OA |≤22， 所以4≤|AB |≤2＋22，B 正确； 记∠AOF ＝θ， 则S △ABF ＝S △AOF ＋S △OBF＝12|OA |·|OF |sin θ＋12|OB |·|OF |sin(π－θ) ＝|OA |sin θ＋2sin θ ＝(|OA |＋2)sin θ， 取θ＝π6，则S △ABF ＝1＋12|OA |≤1＋12×22<4，C 错误；由椭圆定义知|AF |＋|AG |＝2a ＝42， 所以△AFG 的周长L ＝|FG |＋42＝4＋42， D 正确．8．(2022·济宁模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 是双曲线C 上异于顶点的一点，则( ) A ．||P A 1|－|P A 2||＝2aB ．若焦点F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点在C 上，则C 的离心率为 5 C ．若双曲线C 为等轴双曲线，则直线P A 1的斜率与直线P A 2的斜率之积为1D ．若双曲线C 为等轴双曲线，且∠A 1P A 2＝3∠P A 1A 2，则∠P A 1A 2＝π10答案 BCD解析 对于A ，在△P A 1A 2中，根据三角形两边之差小于第三边， 可知||P A 1|－|P A 2||<|A 1A 2|＝2a ，故A 错误； 对于B ，焦点F 2(c ，0)，渐近线不妨取y ＝bax ，即bx －ay ＝0，设F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点为(m ，n )，则⎩⎨⎧n m －c ×ba ＝－1，b ×m ＋c 2－a ×n2＝0，得⎩⎨⎧m ＝a 2－b 2c，n ＝2abc ，即F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点为⎝⎛⎭⎫a 2－b 2c ，2ab c ， 由题意知该点在双曲线上，故(a 2－b 2)2a 2c 2－(2ab )2b 2c 2＝1，将c 2＝a 2＋b 2 代入，化简整理得b 4－3a 2b 2－4a 4＝0，即b 2＝4a 2，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝5，得e ＝5，故B 正确；对于C ，双曲线C 为等轴双曲线， 即C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)， 设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 20－y 20＝a 2， 则x 20－a 2＝y 20，故12·PA PA k k ＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a＝y 20x 20－a2＝1，故C 正确； 对于D ，双曲线C 为等轴双曲线， 即C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)， 且∠A 1P A 2＝3∠P A 1A 2， 设∠P A 1A 2＝θ，∠A 1P A 2＝3θ， 则∠P A 2x ＝4θ，根据C 的结论12·PA PA k k ＝1， 即有tan θ·tan 4θ＝1， ∴sin θcos θ·sin 4θcos 4θ＝1， ∴cos 5θ＝0， ∵θ＋3θ∈(0，π)， ∴θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴5θ＝π2，∴∠P A 1A 2＝θ＝π10.三、填空题9．写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：______________.①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为13.答案x 29＋y 28＝1(答案不唯一)解析 只要椭圆方程形如x 29m ＋y 28m ＝1(m >0)或y 29m ＋x 28m＝1(m >0)即可．10．(2022·淄博模拟)已知P 1，P 2，…，P 8是抛物线x 2＝4y 上不同的点，且F (0,1)．若FP 1--→＋FP 2--→＋…＋FP 8--→＝0，则|FP 1--→|＋|FP 2--→|＋…＋|FP 8--→|＝________.答案 16解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，…，P 8(x 8，y 8),P 1，P 2，P 3，…，P 8是抛物线x 2＝4y 上不同的点，点F (0,1)，准线为y ＝－1，则FP i --→＝(x i ，y i －1)(i ＝1,2，…，8)，所以FP 1--→＋FP 2--→＋…＋FP 8--→＝(x 1＋x 2＋…＋x 8，(y 1－1)＋(y 2－1)＋…＋(y 8－1))＝0，所以(y 1－1)＋(y 2－1)＋…＋(y 8－1)＝0，即y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8＝8，∴|FP --→1|＋|FP 2--→|＋…＋|FP 8--→|＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＋…＋(y 8＋1)＝y 1＋y 2＋…＋y 8＋8＝16.11．(2022·济南模拟)已知椭圆C 1：x 236＋y 2b 2＝1(b >0)的焦点分别为F 1，F 2，且F 2是抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)的焦点，若P 是C 1与C 2的交点，且|PF 1|＝7，则cos ∠PF 1F 2的值为________．答案57解析 依题意，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝12，而|PF 1|＝7，则|PF 2|＝5，因为点F 2是抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线l 过点F 1，如图，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，由抛物线定义知|PQ |＝|PF 2|＝5，而F 1F 2∥PQ ，则∠PF 1F 2＝∠F 1PQ ，所以cos ∠PF 1F 2＝cos ∠F 1PQ ＝|PQ ||PF 1|＝57. 12．(2022·福州质检)已知O 为坐标原点，F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，A 为C 的右顶点，过F 作C 的渐近线的垂线，垂足为M ，且与y 轴交于点P .若直线AM 经过OP 的中点，则C 的离心率是________．答案 2解析 由题意可知，F (－c ，0)，A (a ，0)，渐近线不妨设为y ＝－b ax ， 则k FM ＝a b， 直线FM 的方程为y ＝a b(x ＋c )， 令x ＝0，可得y ＝ac b， 则P ⎝⎛⎭⎫0，ac b ， 则OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫0，ac 2b ， 联立⎩⎨⎧ y ＝－b a x ，y ＝a b (x ＋c )，解得M ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，ab c ， 因为直线AM 经过OP 的中点，所以ac 2b －00－a ＝ab c －0－a 2c－a ，则2b 2＝ac ＋c 2,2(c 2－a 2)＝ac ＋c 2， 即c 2－ac －2a 2＝0，则e 2－e －2＝0，解得e ＝－1 (舍)或e ＝2.四、解答题13．(2022·衡水中学模拟)双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2)设b ＝3，若l 的斜率存在，且(F 1A --→＋F 1B --→)·AB →＝0，求l 的斜率．解 (1)设A (x A ，y A )．由题意知，F 2(c ，0)，c ＝1＋b 2，y 2A ＝b 2(c 2－1)＝b 4，因为△F 1AB 是等边三角形， 所以2c ＝3|y A |，即4(1＋b 2)＝3b 4，解得b 2＝2⎝⎛⎭⎫b 2＝－23舍去. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .(2)由已知，F 1(－2,0)，F 2(2,0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝k (x －2)．显然k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，y ＝k (x －2)，得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0. 因为l 与双曲线交于两点，所以k 2－3≠0，且Δ＝36(1＋k 2)>0. 设AB 的中点为M (x M ，y M )． 由(F 1A --→＋F 1B --→)·AB →＝0，即F 1M →·AB →＝0， 知F 1M ⊥AB ，故1· 1.F M k k ＝－而x M ＝x 1＋x 22＝2k 2k 2－3，y M ＝k (x M －2)＝6k k 2－3，1F M k ＝3k 2k 2－3， 所以3k 2k 2－3·k ＝－1，得k 2＝35， 故l 的斜率为±155.。
高考二轮复习数学课件(新高考新教材)第2讲圆锥曲线的定义方程与性质
答案 A
解析 如图所示,抛物线C:y2=4x的焦点坐标为F(1,0),过C上一点M作其准线
的垂线,垂足为N,若∠NMF=120°,可得|MF|=|MN|,∠NFO=∠FNM=30°.
4 3
又由|DF|=2,所以|NF|= 3 ,在等腰三角形
MNF 中,可
4
得|MF|= .
3
设
4
M(x0,y0),根据抛物线的定义,可得|MF|=x0+1=3,解
解析 设椭圆C的左焦点为F1,如图,连接AF1,BF1,因为|OA|=|OB|,|OF1|=|OF|,
所以四边形AF1BF为平行四边形.
又 AF⊥BF,所以四边形
π
AF1BF 为矩形,所以∠F1AF= ,则
2
|OF1|=|OF|=|OA|=2 3.
由直线 y=
π
3x 可知∠AOF=3,则|AF|=|OF|=|OA|=2
||
p=3.
P 在 x 轴的
突破点二 圆锥曲线的几何性质
命题角度1 圆锥曲线的几何性质
x2 y2
x2 y2
[例 2—1]已知双曲线 C1: 2 − 2 =1(a>0,b>0)以椭圆 C2: + =1 的焦点为顶
4
3
a
b
点,左、右顶点为焦点,则双曲线 C1 的渐近线方程为(
A. 3x±y=0
B.x± 3y=0
.
答案 (1)ACD
(2)4
解析 (1)由题意知,m>0 且 m2-1>0.由已知可得 2 --1=1,解得 m=2 或 m=1(舍去负值),故椭圆
2
C 的方程为 3
2
+ 2 =1.
高三数学二轮专题复习 专题6 解析几何 第14讲 圆锥曲
【分析】1.解决本题的关键是利用好点 P，M 坐标之
间的关系和几何条件||OOMP||＝λ，在分析这个关系时注意根 据|OP|，|OM|是点 P，M 到坐标原点的距离，对几何条件 OOMP＝λ 的两端进行平方，便于利用点 P 在椭圆上的条件， 这样就建立了关于点 M 坐标之间的一个方程，化简整理 就可得出点 M 的轨迹方程．在解答数学试题时，对题目 中的已知条件进行有目的的变换是解决问题的重要技巧 之一．
轴上的双曲线满足－4≤x≤4 的部分．
当34<λ<1 时，点 M 的轨迹为中心在原点、焦点在 x
轴上的椭圆满足－4≤x≤4 的部分．
当 λ≥1 时，点 M 的轨迹为中心在原点、焦点在 x
轴上的椭圆．
探究二 离心率问题
例 2 (1)已知椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别 为 F1，F2，短轴的一个顶点为 P，若∠F1PF2 为钝角，则 椭圆离心率的取值范围为________．
(i)当 λ＝34时，化简得 9y2＝112，所以点 M 的轨迹方
程为 y＝±437(－4≤x≤4)，轨迹是两条平行于 x 轴的线 段．
(ii)当 λ≠34时，方程变形为
x2 112
＋
y2 112
＝1，
16λ2－9 16λ2
其中 x∈－4，4.
当 0<λ<34时，点 M 的轨迹为中心在原点、焦点在 y
第 14 讲 圆锥曲线方程及几何性质
【命题趋势】 1．圆锥曲线的几何性质常与代数、三角函数、平面向量、 不等式等知识交汇在一起进行命题，综合性强，体现了在知 识的交汇点处命题的原则，尤其是使用新教材后，与平面向 量、导数等知识综合命题又是一个新的热点．(1)离心率与范 围问题：离心率范围问题是近几年高考的又一热点，选择题、 填空题及解答题中都会出现．(2)求参数取值问题：解析几何 中的求参数取值问题，是从动态角度去研究数学问题，因而 倍受高考命题组的青睐，其解法是运用待定系数法设出方程， 然后根据题设条件寻找参数满足的不等关系，从而求出相关 参数的取值范围，在高考试题中时常出现，应引起足够重 视．(3)求最值问题：利用圆锥曲线的几何性质求最值问题也 是高考命题的又一趋势，常用的解题方法是数形结合法．
专题五第2讲圆锥曲线的定义方程与性质课件高考理科数学二轮专题复习
D．－32
答案：C
答案：C
考点三 直线与圆锥曲线的关系及应用 ——联立方程，设而不求
考点三 直线与圆锥曲线的关系及应用——联立方程，设而不求 1．弦长公式 设直线斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|
＝_____________＝______________________或|AB|＝______________
答案：A
答案：B
（3）（多选）[2022·全国乙卷]双曲线 C 的两个焦点为 F1，F2，以 C 的实轴 为直径的圆记为 D，过 F1 作 D 的切线与 C 交于 M，N 两点，且 cos ∠F1NF2＝35 ， 则 C 的离心率为（ ）
A．
5 2
B．23
C．
13 2
D．
17 2
答案：AC
对点训练 1.[2023·全国乙卷]设 A，B 为双曲线 x2－y92 ＝1 上两点，下列四个点中，可 为线段 AB 中点的是（ ）
C．y＝± 6 x D．y＝± 7 x
答案：C
2.[2023·河南省开封市杞县等 4 地三模]过抛物线 y2＝2px（p>0）的焦点 F 的
直线与抛物线在第一象限、第四象限分别交于 A，B 两点，若||ABFF|| ＝13 ，则直π
B．π3
C．23π
D．56π
答案：C
定型
确定曲线类型
计算 利用待定系数法，根据条件求出系数a，b，c，p
对点训练
1.[2023·全国甲卷]设 O 为坐标原点，F1，F2 为椭圆 C：x92 ＋y62 ＝1 的两个
焦点，点 P 在 C 上，cos ∠F1PF2＝53 ，则|OP|＝（
）
A．153