第27章 相似单元测试A卷(含答案)
B
A
C
D
E
F
'
'A
B C
B
C
A
P
第二十七章 相似单元测试卷
班级 姓名 座号 成绩
一、选择题(每题5分,共30分)
1.ABC ∆和DEF ∆相似,且相似比为32,那么D EF ∆和ABC ∆的相似比为( )
A.32
B.23
C.49
D.94 2.下列说法正确的是( )
A.各有一个角是100 的两个等腰三角形相似;
B.各有一个角是45 的两个等腰三角形相似
C.有两边对应成比例的两个等腰三角形相似;
D.两腰对应成比例的两个等腰三角形相似 3.下列四个三角形,与右图中的三角形相似的是( )
A B C D 第3题
4.中午12点,身高为150cm 的小冰的影长为20cm ,同学小雪此时在同一地点的影长为22cm ,那么小雪的身高为( )
A.150cm
B.155cm
C.160cm
D.165cm 5.如图,ACD ∆和ABC ∆相似需具备的条件是( )
A.AC AB CD BC =
B.CD BC AD AC =
C.2AC AD AB =⋅
D.2CD AD BD =⋅ 6.如图,一张矩形报纸ABCD 的长AB a =,宽BC b =,E F 、分别是AB CD 、的中点,将这张报纸沿着直线EF 对折后,矩形AEFD 的长与宽的比等于矩形ABCD 的长与宽的比,则:a b 等于( )
B.
D. 第5题 第6题 第8题 第9题
二、填空题(每题6分,共30分)
7.在比例尺为1:1 000 000的交通地图上,测得某两地的图上距离 为7.5cm ,则它们的实际距离为 km .
8.在针孔成像问题中,根据图中尺寸可知像A B ''的长是物AB 长的___. 9.如图,已知ACP ∆∽ABC ∆,4,2AC AP ==,则AB 的长为 . 10.如图,ABC ∆中,DE ∥FG ∥BC ,且::2:3:4AD DF FB =,则
::ADE DFGE FBCG S S S ∆=梯形梯形 .
11.如图,点O 是正三角形PQR 的中心,P Q R '''、、分别是OP OQ OR 、、 的中点,则P Q R '''∆与PQR ∆是位似三角形,此时P Q R '''∆与PQR ∆的 位似中心是_____,位似比为______.
三、解答与证明(共40分)
12.(12分)如图,四边形ABCD 各顶点的坐标 分别为(2,6),(4,2),(6,2),(6,4)A B C D ,在第一 象限内,画出以原点为位似中心,相似比为12
的位似图形1111A B C D ,并写出各点坐标.
13.(12分)如图,□ABCD 中,:2:3AE EB =,DE 交AC 于F . (1)求AEF ∆与CDF ∆周长之比；
(2)如果CDF ∆的面积为2
20cm ,求AEF ∆的面积.
P
P '
Q
Q '
R
R '
第11题
O
A B
E
C
D F
B
14.(16分)如图所示,E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点,EF DE ⊥交BC 于点F ． (1)求证:ADE ∆∽BEF ∆；
(2)设正方形的边长为4,,AE x BF y ==.当x 取何值时,y 有最大值?并求出这个最大值．
A
B
C
D E
F
1
2
3
B
A
C
D
E
F
'
'A
B C
D
B
C
A
P
参考答案
一、选择题(每题5分,共30分)
1.ABC ∆和DEF ∆相似,且相似比为32,那么D EF ∆和ABC ∆的相似比为( B )
A.32
B.2
C.4
D.94 2.下列说法正确的是( A )
A.各有一个角是100 的两个等腰三角形相似;
B.各有一个角是45 的两个等腰三角形相似
C.有两边对应成比例的两个等腰三角形相似;
D.两腰对应成比例的两个等腰三角形相似 3.下列四个三角形,与右图中的三角形相似的是( B )
A B C D 第3题
4.中午12点,身高为150cm 的小冰的影长为20cm ,同学小雪此时在同一地点的影长为22cm ,那么小雪的身高为( D )
A.150cm
B.155cm
C.160cm
D.165cm 5.如图,ACD ∆和ABC ∆相似需具备的条件是( C )
A.AC AB =
B.CD BC =
C.2AC AD AB =⋅
D.2CD AD BD =⋅ 6.如图,一张矩形报纸ABCD 的长AB a =,宽BC b =,E F 、分别是AB CD 、的中点,将这张报纸沿着直线EF 对折后,矩形AEFD 的长与宽的比等于矩形ABCD 的长与宽的比,则:a b 等于( A )
B.
D. 第5题 第6题 第8题 第9题
二、填空题(每题6分,共30分)
7.在比例尺为1:1 000 000的交通地图上,测得某两地的图上距离
为7.5cm ,则它们的实际距离为 75 km .
8.在针孔成像问题中,根据图中尺寸可知像A B ''的长是物AB 长的13 .
9.如图,已知ACP ∆∽ABC ∆,4,2AC AP ==,则AB 的长为 8 . 10.如图,ABC ∆中,DE ∥FG ∥BC ,且::2:3:4AD DF FB =,则
::ADE DFGE FBCG S S S ∆=梯形梯形 4:21:56 .
11.如图,点O 是正三角形PQR 的中心,P Q R '''、、分别是OP OQ OR 、、 的中点,则P Q R '''∆与PQR ∆是位似三角形,此时P Q R '''∆与PQR ∆的 位似中心是O ,位似比为12 .
三、解答与证明(共40分)
12.(12分)如图,四边形ABCD 各顶点的坐标 分别为(2,6),(4,2),(6,2),(6,4)A B C D ,在第一 象限内,画出以原点为位似中心,相似比为12
的位似图形1111A B C D ,并写出各点坐标. 解:如图可知: 11
11(1,3),(2,1),
(3,1),
(3,2)
A B C D 13.(12分)如图,□ABCD 中,:2:3AE EB =,DE 交AC 于F . (1)求AEF ∆与CDF ∆周长之比；
(2)如果CDF ∆的面积为220cm ,求AEF ∆的面积. 解:∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴,AB CD AB =∥CD ∴,EAF DCF AEF CDF ∠=∠∠=∠ ∴AEF ∆∽CDF ∆ ∴25
AEF AE CD CDF ∆==∆的周长的周长
∴
224()525
AEF
CDF S S ∆∆== ∵20CDF S ∆=
P
P '
Q
Q '
R
R '
第11题
O
A
B
E
C
D F
B
∴165CDF S ∆=
14.(16分)如图所示,E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点,EF DE ⊥交BC 于点F ． (1)求证:ADE ∆∽BEF ∆；
(2)设正方形的边长为4,,AE x BF y ==.当x 取何值时,y 有最大值?并求出这个最大值． (1)证明:∵四边形ABCD 是正方形
∴90A B ∠=∠= ∴1290∠+∠=
∵EF D E ⊥ ∴2390∠+∠= ∴13∠=∠ 又∵A B ∠=∠ ∴ADE ∆∽BEF ∆
(2)解:由(1)得ADE ∆∽BEF ∆ ∴::AD BE AE BF =
∵4,,AD AB AE x BF y ==== ∴
44x x y
=- 整理得2211(4)(2)144y x x x =-+=--+
∴当2x =时,y 有最大值,最大值为1.
A
B
C
D E
F
1
23。
人教版九年级下册数学第27章 相似 单元综合测试卷(Word版,含答案)
人教版九年级下册数学第27章相似单元综合测试卷一．选择题（共8小题，满分40分）1．若x﹣3y＝0且y≠0，则的值为（）A．11B．﹣C．D．﹣112．已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（）A．+1B．﹣1C．D．3．下列图形一定是相似图形的是（）A．任意两个菱形B．任意两个正三角形C．两个等腰三角形D．两个矩形4．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（）A．B．C．D．5．如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知△ABC相似（）A．B．C．D．6．如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，点H为AF与DG的交点．若AC＝9，则DH为（）A．1B．2C．D．37．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，CD＝6，BD＝4，则AB的长为（）A．10B．11C．12D．138．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（）A．﹣2a+3B．﹣2a+1C．﹣2a+2D．﹣2a﹣2二．填空题（共8小题，满分40分）9．已知：＝，则＝．10．已知A、B两地的实际距离为100千米，地图上的比例尺为1：2000000，则A、B两地在地图上的距离是cm．11．在△OAB中，OA＝OB，点C在直线AB上，BC＝3AC，点E为OA边的中点，连接OC，射线BE交OC于点G，则的值为．12．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为．13．如图，△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC，若∠A＝60°，EF＝2，则BC＝．14．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从点A出发，沿着A→C→A的方向运动，设点E的运动时间为秒（0≤t≤12），连接DE，当△CDE是直角三角形时，t的值为．15．△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，点E在AB边上，∠BEC＝2∠ABC，若AB＝9，DE＝1，则AD的长为．16．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD扩大为原来的两倍，得到线段AB，则线段AB的中点E的坐标为．三．解答题（共6小题，满分40分）17．阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且＝，求证：＝．证明：∵＝，∴+1＝+1．∴＝．根据以上方法，解答下列问题：（1）若＝，求的值；（2）若＝，且a≠b，c≠d，证明＝．18．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．请回答下列问题：（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为1，DE＝15，求△DEF的面积．19．如图，已知△ABC∽△DEC，∠D＝45°，∠ACB＝60°，AC＝3cm，BC＝4cm，CE＝6cm．求：（1）∠B的度数；（2）AD的长．20．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是．21．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？22．如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：∵x﹣3y＝0且y≠0，∴x＝3y，∴＝＝．故选：C．2．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝×AB＝×2＝﹣1，故选：B．3．解：A、任意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；B、任意两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；C、两个两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；D、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意．故选：B．4．解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵DE＝3，DF＝8，∴，即＝，故选：B．5．解：根据题意得：AC＝＝，AB＝＝，BC＝1，∴BC：AB：AC＝1：：，A、三边之比为1：：，选项A符合题意；B、三边之比：：3，选项B不符合题意；C、三边之比为2：：，选项C不符合题意；D、三边之比为：：4，选项D不符合题意．故选：A．6．解：∵D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，∴BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，∴AB＝3BE，DH是△AEF的中位线，∴DH＝EF，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴＝，即＝，解得：EF＝3，∴DH＝EF＝×3＝，故选：C．7．解：根据射影定理，CD2＝AD•BD，∴AD＝9，∴AB＝AD+BD＝13．故选：D．8．解：设点B′的横坐标为x，则B、C间的水平距离为a﹣1，B′、C间的水平距离为﹣x+1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2（a﹣1）＝﹣x+1，解得：x＝﹣2a+3，故选：A．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：∵＝，∴＝，设a＝2k，b＝3k，∴＝＝＝﹣，故答案为：﹣．10．解：根据比例尺＝图上距离：实际距离．100千米＝10000000厘米得：A，B两地的图上距离为10000000÷2000000＝5cm，故答案为：5．11．解：如图1，点C在线段AB上，过E作EF∥AB交OC于F，∵点E为OA边的中点，EF∥AB，∴OF＝CF，∴EF＝AC，∵BC＝3AC，∴BC＝6EF，∵EF∥AB，∴，∴CG＝6FG，∴FC＝OF＝7FG，∴OG＝OF+FG＝8FG，∴＝＝；如图2，点C在线段BA的延长线上，过E作ED∥BC交OC于D，∵点E为OA边的中点，ED∥BC，∴OD＝CD，∴DE＝AC，即AC＝2DE，∵BC＝3AC，∴BC＝6DE，∵ED∥BC，∴，∴CG＝6DG，∴CD＝OD＝5DG，∴OG＝OD﹣DG＝4DG，∴＝＝；故答案为：或．12．解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，∴∠B＝∠D＝90°，∴当时，△ABP∽△CDP，即；解得x＝，BP＝14﹣＝8.4；当时，△ABP∽△PDC，即；整理得x2﹣14x+24＝0，解得x1＝2，x2＝12，BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝2，∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．故答案为：8.4或2或12．13．解：∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△AFB∽△AEC，∴，即，又∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴，∵BF⊥AC，且∠A＝60°，∴∠ABF＝30°，∴AF＝AB，∴BC＝2EF＝4．故答案为：4．14．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝4cm，∴AC＝2BC＝8cm，∵D为BC中点，∴CD＝2cm，∵0≤t≤12，∴E点的运动路线为从A到C，再从C到AC的中点，按运动时间分为0≤t≤8和8＜t≤12两种情况，①当0≤t≤8时，AE＝tcm，CE＝BC﹣AE＝（8﹣t）cm，当∠EDC＝90°时，则有AB∥ED，∵D为BC中点，∴E为AC中点，此时AE＝4cm，可得t＝4；当∠DEC＝90°时，∵∠DEC＝∠B，∠C＝∠C，∴△CED∽△BCA，∴，即，解得t＝7；②当8＜t≤12时，则此时E点又经过t＝7秒时的位置，此时t＝8+1＝9；当t＝12时，此时E点在AC的中点，DE∥AB，此时△CDE是直角三角形．综上可知t的值为4或7或9或12，故答案为：4或7或9或1215．解：以C为圆心，CE长为半径画弧，交AB于F，则CE＝CF，∴∠CFE＝∠BEC＝2∠ABC，∵∠CFE＝∠ABC+∠BCF，∴∠ABC＝∠BCF，∴BF＝CF，∵CD⊥AB，∴DF＝DE＝1，设BF＝CF＝x，∵AB＝9，∴AD＝8﹣x，∵∠ACB＝∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠ACD+∠A＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴CD2＝AD•BD＝x（8﹣x），又∵CD2＝CF2﹣DF2＝x2﹣12，∴x（8﹣x）＝x2﹣12，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝，∴BF＝，∴AD＝AB﹣BF﹣DF＝9﹣﹣1＝．故答案为：．16．解：∵C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD扩大为原来的两倍，∴A（6，6），B（8，2），∵E是AB中点，∴E（7，4），故答案为：（7，4）．三．解答题（共6小题，满分40分）17．解：（1）∵＝，∴＝+1＝+1＝．（2）∵＝，∴﹣1＝﹣1，∴＝，∵＝，∴÷＝÷，∴＝．18．解：（1）观点一正确；观点二不正确．理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，∴AB∥DE，AC∥DF，∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，∴△ABC∽△DEF，∴观点一正确；②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，则新矩形邻边为4和8，∵＝，＝，∴，∴新矩形于原矩形不相似，∴观点二不正确；（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，∵A到DE、DF的距离都为1，∴DA是∠FDE的角平分线，同理，EB是∠DEF的角平分线，∴点O是△ABC的内心，∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴△ABC是直角三角形，设△ABC的内切圆的半径为r，则6﹣r+8﹣r＝10，解得r＝2，过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，∵AB∥DE，∴OG⊥AB，∴OG＝r＝2，∴＝＝，同理＝＝＝，∴DF＝9，EF＝12，∴△DEF的面积为：×9×12＝54．19．解：（1）∵△ABC∽△DEC，∴∠B＝∠E，∠A＝∠D＝45°，∵∠ACB＝60°，∴∠B＝180°﹣60°﹣45°＝75°；（2）∵△ABC∽△DEC，∴＝，∵AC＝3cm，BC＝4cm，CE＝6cm，∴＝，∴DC＝（cm），故AD＝3+＝（cm）．20．（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，∵CE∥AD，∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴＝；（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC＝5，∵AD平分∠BAC，∴＝，即＝，∴BD＝BC＝，∴AD＝＝＝，∴△ABD的周长＝+3+＝．故答案为．21．解：（1）在Rt△APD中，AP＝1，AD＝2，由勾股定理知PD＝＝＝，∴AM＝AF＝PF﹣AP＝PD﹣AP＝﹣1，DM＝AD﹣AM＝3﹣．故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；（2）点M是AD的黄金分割点．由于＝，∴点M是AD的黄金分割点．22．解：设运动了ts，根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，则AQ＝AC﹣CQ＝16﹣3t（cm），当△APQ∽△ABC时，，即，解得：t＝；当△APQ∽△ACB时，，即，解得：t＝4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s．。
人教版数学九年级下《第27章相似》单元检测题有答案
ABCPD(第6题图)(第3题图)(第4题图)A BCDEF人教版数学九年级下《第27章相似》单元检测题有答案一、选择题1.已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且BC ∶B ′C ′＝ AC ∶A ′C ′，若AC ＝3，A ′C ′＝1.8，则△ABC与△A ′B ′C ′的相似比是( ).A ．2∶3B ．3∶2C ．5∶3D ．3∶5 2. 下列说法正确的是（ ）.A ．所有的矩形都是相似形B ．所有的正方形都是相似形C ．对应角相等的两个多边形相似D ．对应边成比例的两个多边形相似 3. 若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们的周长之比为( ).A . 1:2B . 1:4C . 1:5D . 1:16 4. 如图，小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m ，与旗杆相距22m ，则旗杆的高为（ ）. A ．12m B ．10m C ．8m D ．7m5．如图，已知△ABC 与△ADE 中，则∠C ＝∠E , ∠DAB ＝∠C A E,则下列各式①∠D =∠B , ② AF AC ＝ AD AB , ③DEBC＝AE AC ,④ AD AE ＝ ABAC中，成立的个数是（ ）. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．如图， AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点P ，AB ＝4， CD ＝7，AD ＝10，则AP 的长等于 （ ）． A ．7011 B ．407 C ．704D ．40117．如图，若∠1=∠2=∠3，则图中相似的三角形有（ ）.A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对（第7题图）(第13题图)ACBD E (第11题图) DCB A(第12题图) (第7题图)8．如图，∠ABD =∠BDC =90°，∠A =∠CBD ，AB =3，BD =2，则CD的长为（ ）A ．43B ． 34C ．2D ．3二、填空题9．若///C B A ABC ∆∆∽，且∠A ＝45°，∠B ＝30°，则∠C ′＝_________ ．10.已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为2:3，则△ABC 与△DEF 对应边上的中线的比为________.10．在一张比例尺为1∶20的图纸上，某矩形零件的面积为12cm 2；则这个零件的实际面积为 cm 2．11．如图，在Ｒt △ABC 中,∠B =90°,点D 是AB 边上的一定点,点E 是AC 上的一个动点,若再增加一个条件就能使△ADE 与△ABC 相似,则这个条件可以是___________．12.如图，BC 平分∠ABD ，AB =12，BD =15，如果∠ACB =∠D ，那么BC 边的长为 .13.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．三、解答题（本大题共5小题，共44分）15. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 为角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．写出图中一对相似比不为1的相似三角形并加以证明．16.已知△ABC ∽△ADE ，AB =30cm ，AD =18cm ，BC =20cm ，∠BAC =75°，∠ABC=40°．（1）求∠ADE 和∠AED 的度数；D EA（2）求DE 的长．18.如图，已知A （﹣4，2），B （﹣2，6），C （0，4）是直角坐标系平面上三点． （1）把△ABC 向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A 1B 1C 1．画出平移后的图形，并写出点A 的对应点A 1（2）以原点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的一半，得到△A 2B 2C 2，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形．19.如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE =∠B . （1）求证：△ADF ∽△DEC ；（2）若AB =8，AD =6，AF =4，求AE 的长．九年级数学单元检测题答案(第27章)一、选择题(本大题共8小题.每小题4分，共32分) 1.C 2.B 3.A 4. A 5.C 6.D 7.D 8.B 二、填空题(本大题共6小题.每小题4分，共24分)•9.105 ° 10.2:3 11. 4800 12. DE AC 13.14. 22.5三、解答题（本大题共5小题，共44分） 15. (6分)解：△ABC ∽△BCD ；证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝72°． ∵BD 为角平分线，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝36°＝∠A ． 又∵∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BCD ．16. (8分)解：（1）∵∠BAC =75°，∠ABC =40°，∴∠C =180°﹣∠BAC ﹣∠ABC =180°﹣75°﹣40°=65°， ∵△ABC ∽△ADE ，∴∠ADE =∠ABC =40°，∠AED =∠C =65°；（2）∵△ABC ∽△ADE ，∴∠A ＝∠BCD ．在△ACD 中，∠ADC ＝90°， ∴∠A ＋∠ACD ＝90°．∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°，即∠ACB ＝90°．18. (10分)（1）△A 1B 1C 1如图所示，其中A 1的坐标为：（0，1）；（2）符合条件△A 2B 2C 2有两个，如图所示．∥CD ，AD ∥BC ， ∴∠C +∠B =180°，∠ADF =∠DEC ． ∵∠AFD +∠AFE =180°，∠AFE =∠B ， ∴∠AFD =∠C ． ∴△ADF ∽△DEC ．（2）解：∵□ABCD ，∴CD =AB =8． 由（1）知△ADF ∽△DEC ，∴DE AD =CD AF ，∴DE =AFCDAD ∙==12．在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AE =22AD DE -=22)36(12-=6．。
人教版九年级数学下册《第27章相似》单元测试卷(有答案)
人教版九年级数学下册第27章相似单元测试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）1. 若，则的值等于（）A. B. C. D.2. 下列各组线段中，能成比例线段的一组是（）A.，，，B.，，，C.，，，D.，，，3. 若，且，则A. B. C. D.4. 有四组线段，每组线段长度如下，则成比例（排列顺序可调换）线段的有（）①，，，②，，，③，，，④，，，．A.组B.组C.组D.组5. 某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台的长为，为的一个黄金分割点，则的长为（结果精确到）（）A. B. C. D.6. 如图在中，，，则四边形四边形A. B.C. D.7. 如图，等腰中，腰，，的平分线交于，的平分线交于．设，则A. B. C. D.8. 如图，在中，，，交于点，交于点，若，则的长为（）A. B. C. D.9. 下列说法中正确的有（）①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比为，则周长的比为；④若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长，那么这两个三角形一定相似．A.个B.个C.个D.个10. 已知：，且的面积：的面积，则两三角形周长比为（）A. B. C. D.二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）11. 已知四边形和四边形相似，四边形的最长边和最短边的长分别是和，如果四边形的最短边的长是，那么四边形中最长的边长是________．12. 如图，在中，，，，是上的点，且，连接，作于，点是上的动点，则当________时，．13. 的长分别是，，，与其相似的三角形的两条边长是和，那么这个三角形第三边的长是________．14. 如图，在中，为直线上任意一点，给出以下判断：①若点到，距离相等，且，则；②若且，则；③若，则；④若，且，则．其中正确的是________（把所有正确结论序号都填在横线上）15. 已知线段，、是上的两个黄金分割点，则线段的长为________．16. 如图，要使和相似，已具备条件________，还需补充的条件是________，或________，或________．17. 两个相似三角形高的比为，则它们的相似比为________；对应中线之比为________；对应角平分线之比为________；周长之比为________；面积之比为________．18. 把一个三角形变成和它位似的另一个三角形，若边长缩小到倍，则面积缩小到原来的________倍．19. 上午某一时刻，身高米的小刚在地面上的投影长为米，则影长米的旗杆高度为________米．20. 已知在平面直角坐标系中，点、、，以原点为位似中心将缩小，位似比为，则点的对应点的坐标为________．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 10 分，共计60分，）21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为，和的顶点都在方格纸的格点上．判断和是否相似，并说明理由；以点为中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使得它与的相似比为；求与的面积比．22. 已知线段，，满足，且．求，，的值；若线段是线段，的比例中项，求．23. 如图，在中，为的平分线，点在边上，点在边上，，，，，求的长．24. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点，再在河岸的这一边选取点和点，使，然后再选取点，使，用视线确定和的交点，此时如果测得，，，求、间的大致距离．25. 如图，在中，点、在边上，，．试说明与相似．若，，，请你求出与之间的函数关系式．小明猜想：若，，，只要与之间满足某种关系式，问题中的函数关系式仍然成立．你同意小明的观点吗？如果你同意，请求出与所满足的关系式；若不同意，请说明理由．26. 已知在中，，，点在上，且．当点为线段的中点，点、分别在线段、上时（如图）．过点作于点，请探索与之间的数量关系，并说明理由；当，①点、分别在线段、上，如图时，请写出线段、之间的数量关系，并给予证明．②当点、分别在线段、的延长线上，如图时，请判断①中线段、之间的数量关系是否还存在．（直接写出答案，不用证明）答案1. C2. A3. B4. B5. B6. A7. B8. C9. A10. B11.12.13.. ①②③④15.16.17.18.19.20. 或21. 解：∵，，，，，，∴，，，∴，∴；延长到点，使，延长到点，使，连结，则为所求，如图；∵，，∴，∴与的面积比．22. 解：设，则，，，所以，解得，所以，，.∵线段是线段，的比例中项，∴，∴线段．23. 解：设，则；∵，∴，，∴，∴；而，，，，∴，解得，即的长为．24. 、间的距离为．25. 解：∵，∴，∴，∵，，∴，∴；由得，∴，∴，即；同意，和的关系式为．过程如下：∵，∴，∴，当时，则有，∴，∵，∴，在中，，∴，即．26.解：（1），理由：如图，作，∵，，∴，，∴四边形是矩形，∴∴是的中点，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，在中，，∴，即．解；①，如图在中，过点作于，于点∴四边形是矩形，∴∴，又∵和中，，∴，∴∵∴，即：②如图，成立．。
人教版九年级数学下册《第27章相似》单元测试卷(有答案)
人教版九年级数学下册第27章相似单元测试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）1. 若ab =23，则ba+b的值等于（）A.5 3B.25C.35D.522. 下列各组线段中，能成比例线段的一组是（）A.2，3，4，6B.2，3，4，5C.2，3，5，7D.3，4，5，63. 若△ABC∽△DEF，且AB:DE=1:3，则S△ABC:S△DEF=( )A.1:3B.1:9C.1:√3D.1:1.54. 有四组线段，每组线段长度如下，则成比例（排列顺序可调换）线段的有（）①1，2，3，4②3，2，6，4③1.1，2.2，3.3，4.4④4，2，3，1.5．A.1组B.2组C.3组D.4组5. 某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB的长为20m，C为AB的一个黄金分割点(AC<BC)，则AC的长为（结果精确到0.1m）（）A.6.7mB.7.6mC.10mD.12.4m6. 如图在△ABC中，DE // FG // BC，AD:AF:AB=1:3:6，则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB=( )A.1:8:27B.1:4:9C.1:8:36D.1:9:367. 如图，等腰△ABC中，腰AB=a，∠A=36∘，∠ABC的平分线交AC于D，∠BCD的平分线交BD于E．设k=√5−12，则DE=( )A.k2aB.k3aC.ak2D.ak38. 如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，DE // BC交AB于点D，交AC于点E，若AD=3，则AE 的长为（）A.43B.34C.94D.499. 下列说法中正确的有（）①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为16:81；④若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2cm，那么这两个三角形一定相似．A.1个B.2个C.3个D.4个10. 已知：△ABC∽△A′B′C′，且△ABC的面积：△A′B′C′的面积=1:4，则两三角形周长比为（）A.1:4B.1:2C.1:16D.1:5二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）11. 已知四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm和4cm，如果四边形A1B1C1D1的最短边的长是6cm，那么四边形A1B1C1D1中最长的边长是________cm．12. 如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=6，AC=8，N是AC上的点，且AN=AB，连接BN，作AD⊥BN于D，点M是BC上的动点，则当BM=________时，△BMD∽△BCN．13. △ABC的长分别是6，8，10，与其相似的三角形的两条边长是3和4，那么这个三角形第三边的长是________．14. 如图，在△ABC中，D为直线BC上任意一点，给出以下判断：①若点D到AB，AC距离相等，且BD=DC，则AB=AC；②若AD⊥BC且AD2=BD⋅DC，则∠BAC=90∘；③若AB=AC，则AD2+BD⋅DC=AC2；④若∠BAC=90∘，且AD⊥BC，则AD2=BD⋅DC．其中正确的是________（把所有正确结论序号都填在横线上）15. 已知线段AB=10cm，C、D是AB上的两个黄金分割点，则线段CD的长为________．16. 如图，要使△AEF和△ACB相似，已具备条件________，还需补充的条件是________，或________，或________．17. 两个相似三角形高的比为1:√3，则它们的相似比为________；对应中线之比为________；对应角平分线之比为________；周长之比为________；面积之比为________．18. 把一个三角形变成和它位似的另一个三角形，若边长缩小到12倍，则面积缩小到原来的________倍．19. 上午某一时刻，身高1.7米的小刚在地面上的投影长为3.4米，则影长26米的旗杆高度为________米．20. 已知在平面直角坐标系中，点A(−3, −1)、B(−2, −4)、C(−6, −5)，以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1:2，则点B的对应点的坐标为________．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 10 分，共计60分，）21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；(2)以点E为中心，在位似中心的同侧画出△EDF的一个位似△ED1F1，使得它与△EDF的相似比为2:1；(3)求△ABC与△ED1F1的面积比．22. 已知线段a，b，c满足a3=b2=c6，且a+2b+c=26．(1)求a，b，c的值；(2)若线段x是线段a，b的比例中项，求x．23. 如图，在△ABC中，AG为∠BAC的平分线，点D在AB边上，点E在AC边上，DE // BC，DE= 6cm，BC=10cm，AG=8cm，求FG的长．24. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，再在河岸的这一边选取点B 和点C，使AB⊥BC，然后再选取点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=160m，DC=80m，EC=50m，求A、B间的大致距离．25. 如图，在△PAB中，点C、D在边AB上，PC=PD=CD，∠APB=120∘．(1)试说明△APC与△PBD相似．(2)若CD=1，AC=x，BD=y，请你求出y与x之间的函数关系式．(3)小明猜想：若PC=PD=1，∠CPD=α，∠APB=β，只要α与β之间满足某种关系式，问题(2)中的函数关系式仍然成立．你同意小明的观点吗？如果你同意，请求出α与β所满足的关系式；若不同意，请说明理由．26. 已知在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，∠A=30∘，点P在BC上，且∠MPN=90∘．(1)当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1）．过点P作PE⊥AB于点E，请探索PN与PM之间的数量关系，并说明理由；(2)当PC=√2PA，①点M、N分别在线段AB、BC上，如图2时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并给予证明．②当点M、K分别在线段AB、BC的延长线上，如图3时，请判断①中线段PN、PM之间的数量关系是否还存在．（直接写出答案，不用证明）答案1. C2. A3. B4. B5. B6. A7. B8. C9. A10. B11. 1512. 513. 514. ①②③④15. 10√5−20cm16. ∠EAF=∠CAB∠AEF=∠C∠AFE=∠B AEAC =AFAB17. 1:√31:√31:√31:√31:318. 1419. 1320. (1, 2)或(−1, −2)21. 解：(1)∵AB=2√5，AC=√5，BC=5，EF=√10，FD=√2，ED=2√2，∴BC EF =√10=√102，ACFD=√5√2=√102，ABED=√52√2=√102，∴BC EF =ACFD=ABED，∴△ABC∽△DEF；(2)延长ED到点D1，使ED1=2ED，延长EF到点F1，使EF1=2EF，连结D1F1，则△ED1F1为所求，如图；(3)∵△ABC∽△DEF，△DEF∽△D1EF1，∴△ABC∽△D1EF1，∴△ABC与△ED1F1的面积比=(ACD1F1)2=(√52√2)2=58．22. 解：(1)设a3=b2=c6=k，则a=3k，b=2k，c=6k，所以3k+2×2k+6k=26，解得k=2，所以a=3×2=6，b=2×2=4，c=6×2=12.(2)∵线段x是线段a，b的比例中项，∴x2=ab=6×4=24，∴线段x=2√6．23. 解：设GF=xcm，则AF=8−x(cm)；∵DE // BC，∴△ADE∽△ABC，△ADF∽△ABG，∴ADAB=DEBC,ADAB=AFAG，∴DEBC=AFAG；而DE=6，BC=10，AF=8−x，AG=8，∴810=8−x8，解得x=85(cm)，即FG的长为85cm．24. A、B间的距离为100m．25. 解：(1)∵PC=PD=CD，∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60∘，∴∠ACP=∠BDP=120∘，∵∠A+∠APC=60∘，∠APC+∠BPD=∠APB−∠CPD=120∘−60∘=60∘，∴∠A=∠BPD，∴△APC∽△PBD；(2)由(1)得△APC∽△PBD，∴AC PC =PDBD ，∴x1=1y ，即y =1x (x >0)；(3)同意，α和β的关系式为α+2β=180∘． 过程如下： ∵PC =PD ，∴∠PCD =∠PDC ， ∴∠PCA =∠PDB ，当ACPC =PDBD 时，则有△APC ∽△PBD ，∴∠A =∠DPB ，∵∠APC +∠DPB =∠APB −∠CPD =β−α， ∴∠PCD =∠PDC =∠A +∠APC =β−α，在△PCD 中，∠PCD +∠PDC +∠CPD =180∘， ∴β−α+β−α+α=180∘，即−α+2β=180∘． 26.解：（1）PN =√3PM ， 理由：如图1，作PF ⊥BC ， ∵∠ABC =90∘，PE ⊥AB ， ∴PE // BC ，PF // AB ， ∴四边形PFBE 是矩形， ∴∠EPF =90∘ ∴P 是AC 的中点，∴PE =12BC ，PF =12AB ， ∵∠MPN =90∘，∠EPF =90∘， ∴∠MPE =∠NPF ， ∴△MPE ∽△NPF ，∴PN PM =PF PE=ABBC ， ∵∠A =30∘，在RT△ABC 中，cot30∘=AB Bc=√3，∴PNPM =√3， 即PN =√3PM ．(2)解；①PN =√6PM ，如图2 在Rt △ABC 中，过点P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥BC 于点F ∴四边形BFPE 是矩形， ∴△PFN ∽△PEM ∴PFPE =PNPM ，又∵Rt △AEP 和Rt △PFC 中，∠A =30∘，∠C =60∘∴PF =√32PC ，PE =12PA∴PN PM=PFPE =√3PCPA∵PC =√2PA ∴PNPM =√6， 即：PN =√6PM②如图3，成立．。
第27章相似单元测试卷(A卷基础篇)(人教版)(解析版)
第27章相似单元测试卷（A卷基础篇）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2019?婺城区模拟）若，则等于（）A．B．C．4D．【分析】直接利用已知得出x＝3y，进而化简得出答案．【解答】解：∵，∴x＝3y，∴＝＝4．故选：C．【点睛】此题主要考查了比例式，正确得出x＝3y是解题关键．2．（3分）下列四条线段中，不能成比例的是（）A．a＝4，b＝8，c＝5，d＝10B．a＝2，b＝2，c＝，d＝5C．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4D．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【解答】解：A、4×10＝5×8，能成比例；B、2×5＝2×，能成比例；C、1×4≠2×3，不能成比例；D、1×4＝2×2，能成比例．故选：C．【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．3．（3分）（2019?香坊区二模）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交直线l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交直线l1、l2、l3于点D、E、F，直线AC、DF交于点P，则下列结论错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，A正确，不符合题意；＝，B正确，不符合题意；＝，C错误，符合题意；＝＝，∴＝，D正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．4．（3分）（2019?雅安）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【解答】解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．5．（3分）（2019?梧州一模）以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'相似比为1：3，若点C的坐标为（4，1），则点C′的坐标为（）A．（12，3）B．（﹣12，3）或（12，﹣3）C．（﹣12，﹣3）D．（12，3）或（﹣12，﹣3）【分析】根据位似变换的性质计算即可．【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'相似比为1：3，若点C的坐标为（4，1），∴点C′的坐标为（4×3，1×3）或（4×（﹣3），1×（﹣3）），∴点C′的坐标为（12，3）或（﹣12，﹣3），故选：D．【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．6．（3分）（2019?邯郸模拟）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD 的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的性质判断即可．【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，∴，A错误；∴，C错误；∴，D正确；不能得出，B错误；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．7．（3分）（2018秋?苏州期末）我们把宽与长的比值等于黄金比例的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（AB＞BC）的边AB上取一点E，使得BE＝BC，连接DE，则等于（）A．B．C．D．【分析】设AB＝a，根据黄金矩形的概念求出BC，结合图形计算，得到答案．【解答】解：设AB＝a，∵矩形ABCD为黄金矩形，∴BC＝a，∴AE＝a﹣a＝a，∴＝＝，故选：B．【点睛】本题考查的是黄金分割、矩形的性质，掌握黄金比值为是解题的关键．8．（3分）（2019春?宿豫区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D是AC的中点，过点D 沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，则不同的剪法共有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【分析】根据相似三角形的判定方法分别利用平行线以及垂直平分线的性质得出对应角相等即可得出．【解答】解：如图所示：当DF∥BC时，△ADF∽△ACB；当DG∥AB时，△CDG∽△ABC；当DE⊥AB时，△ADE∽△ABC；故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故选：C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形的性质定理作出辅助线是解题关键．9．（3分）（2018秋?嘉兴期末）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（）A．60mm B．mm C．20mm D．mm【分析】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，设AD交PN于点K．∵PM：PQ＝3：2，∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．∵四边形PQNM是矩形，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PN，∴＝，解得k＝20mm，∴PM＝3k＝60mm，故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．10．（3分）（2019?宣恩县一模）如图，菱形ABCD中，EF⊥AC于点H，分别交AD及CB的延长线交于点E、F，且AE：FB＝1：2，则AH：HC的值为（）A．B．C．D．【分析】易证△AGE是等腰三角形，从而可知EH＝HG，再证明△AEG∽△BFG，△AEH∽△CFH，利用相似三角形的性质即可求出答案．【解答】解：设EF与AB交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠DAC，∵EF⊥AC，∴△AGE是等腰三角形，∴EH＝HG，∵AD∥CF，∴△AEG∽△BFG，∴＝＝，∴，∴，∵AD∥CF，∴△AEH∽△CFH，∴＝，故选：B．【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）（2018秋?宜兴市期末）如果═3且b+d+f＝3，则a+c+e＝9．【分析】根据比例的性质解答即可．【解答】解：由果═3可得：，因为b+d+f＝3，所以a+c+e＝9，故答案为：9【点睛】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答．12．（3分）（2018秋?秦淮区期末）如图，E、F是线段AB的两个黄金分割点，AB＝1，则线段EF的长为﹣2．（结果保留根号）【分析】根据黄金比为分别求出AF、BE，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵E、F是线段AB的两个黄金分割点，∴AF＝BE＝AB＝，∴EF＝AF+BE﹣AB＝﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比为是解题的关键．13．（3分）（2018秋?杨浦区期中）如图，在△ABC中，点E、D在边AC上，点F、M在边AB上，且AE ＝ED＝DC，FE∥MD∥BC，如果FD的延长线交BC的延长线于N，那么的值为．【分析】首先证明EF：BC＝1：3，再利用全等三角形的性质证明EF＝CN即可解决问题．【解答】解：∵EF∥DM∥BC，AE＝DE＝CD，∴＝＝，∵∠EDF＝∠CDN，∠FED＝∠NCD，ED＝DC，∴△EFD≌△CND（AAS），∴EF＝CN，∵CN：BC＝1：3，∴CN：BN＝1：4，∴＝，故答案为．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．（3分）（2018秋?鼓楼区期末）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝12，点D、E分别在AB、AC上，其中BD＝x，AE＝2x．当△ADE与△ABC相似时，x的值可能是x＝1.2或x＝3．【分析】分△ADE∽△ABC和△AED∽△ABC两种情况，依据相似三角形的性质求解，结合0＜BD＜6取舍即可得．【解答】解：∵AB＝6，AC＝12，BD＝x，AE＝2x，∴AD＝6﹣x，AE＝2x，若△ADE∽△ABC，则＝，即＝，解得x＝3，若△AED∽△ABC，则＝，即＝，解得x＝1.2；综上，x的值可能是0＜x＜6中的任意实数，故答案为：x＝1.2或x＝3．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．15．（3分）（2019?西藏）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上的一点，CD⊥AB于D，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为4．【分析】根据射影定理列式计算即可．【解答】解：由射影定理得，AC2＝AD?AB＝2×（2+6），解得，AC＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查的是射影定理，直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．16．（3分）（2018秋?密云区期末）小慧要测量校园内大树高AB．她运用物理课上学习的“光在反射时，入射角等于反射角”的知识解决了问题．如图，在水平地面上E点处放一面平面镜，镜子与大树的距离EA＝8米．小慧沿着AE的方向走到C点时，她刚好能从镜子中看到大树的顶端B．已知CE＝2米，小慧的眼睛距地面的高度DC＝1.5米．则该棵大树的高度AB＝6米．【分析】根据反射定律，∠1＝∠2，又因为FE⊥EC，所以∠3＝∠4，再根据垂直定义得到∠BAE＝∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．【解答】解：根据题意可得：∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°，∴△ABE∽△CDE，∴＝，∴，∴AB＝6（米），故答案为：6．【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．17．（3分）（2019?丹阳市一模）如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点F是AC的中点，连结EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC 的面积为10．【分析】依据BD＝AB，BE是∠ABC的平分线，即可得到AE＝DE，进而得出△BDE的面积与△ABE的面积均为3，再根据EF是△ACD的中位线，即可得出△ACD的面积为4，即可得到△ABC的面积为3+3+4＝10．【解答】解：∵BD＝AB，BE是∠ABC的平分线，∴AE＝DE，∴△BDE的面积与△ABE的面积均为3，又∵点F是AC的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴2EF＝CD，EF∥DC，∴△AEF∽△ADC，∴S△ACD＝4S△AEF，∵四边形CDEF的面积为3，∴△ACD的面积为4，∴△ABC的面积为3+3+4＝10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方．18．（3分）（2019春?和平区校级月考）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP?MD＝MA?ME；③2CB2＝CP?CM．其中正确的是①②③【分析】根据等腰直角三角形的性质得到＝，∠BAC＝45°，根据相似三角形的判定定理判断①；根据相似三角形的性质得到∠BEA＝∠CDA，证明△PME∽△AMD，根据相似三角形的性质列出比例式，判断②，根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质定理判断③．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴＝，∠BAC＝45°，同理，＝，∠EAD＝45°，∴＝，∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，①正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，又∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴＝，∴MP?MD＝MA?ME，②正确；∵∠BEA＝∠CDA，∴P、E、D、A四点共圆，∴∠APM＝∠AED＝90°，∵∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠CAM＝90°，∴△CAP∽△CMA，∴＝，∴AC2＝CP?CM，∵AC2＝2CB2，∴2CB2＝CP?CM，③正确，故答案为：①②③．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．三．解答题（共5小题，满分46分）19．（6分）（2018秋?长清区校级月考）已知，（1）求的值；（2）若x﹣2y+4z＝24，求x+y+z的值．【分析】设＝k，于是得到x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入代数式即可得到结论．【解答】解：∵，∴设＝k，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴（1）＝＝；（2）∵x﹣2y+4z＝24，∴2k﹣6k+16k＝24，∴k＝2，∴x+y+z＝2k+3k+4k＝9k＝18．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．20．（8分）（2019?庐阳区二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣2），B （﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．（1）把△ABC向上平移3个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1并写出点B1的坐标；（2）已知点P（﹣1，0），在方格纸内部做△A2B2C2，使得△A1B1C1与△A2B2C2关于点P位似，且位似比为1：2．【分析】（1）直击雷雨平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．【解答】（1）如图：△A1B1C1，即为所求，B1（﹣2，﹣1）；（2）如图：△A2B2C2，即为所求．【点睛】此题主要考查了位似变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．21．（10分）（2018秋?宜宾县期中）已知如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F、E，试证明：（1）△BAF∽△BCE．（2）△BEF∽△BCA．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断；（2）根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似即可证明；【解答】解：（1）∵AF⊥BC，CE⊥AB，∴∠AFB＝∠CEB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BAF∽△BCE．（2）∵△BAF∽△BCE，∴＝，∴＝，∵∠B＝∠B，∴△BEF∽△BCA．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．22．（10分）（2019?荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．【分析】设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，根据GF∥AC得到△MAC∽△MFG，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．【解答】解：设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，∵GF∥AC，∴△MAC∽△MFG，∴，即：，∴，∴OE＝32，答：楼的高度OE为32米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．23．（12分）（2019?新泰市二模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，F为AD上一点，且BF＝BD．BF的延长线交AC于点E．（1）求证：AB?AD＝AF?AC；（2）若∠BAC＝60°．AB＝4，AC＝6，求DF的长；（3）若∠BAC＝60°，∠ACB＝45°，直接写出的值．【分析】（1）证△AFB∽△ADC即可（2）作BH⊥AD于H，作CN⊥AD于N，则BH＝AB＝2，CN＝AC＝3，再证△BHD∽△CND即可（3）易证△ABD，△AEF，△BFD均为顶角为30°的等腰三角形，即可根据△ABD∽△AEF和（1）中△AFB∽△ADC得＝＝，即可求．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC∴∠BAF＝∠DAC又∵BF＝BD∴∠BFD＝∠FDB∴∠AFB＝∠ADC∴△AFB∽△ADC∴．∴AB?AD＝AF?AC（2）作BH⊥AD于H，作CN⊥AD于N，则BH＝AB＝2，CN＝AC＝3∴AH＝BH＝2，AN＝CN＝3∴HN＝∵∠BHD＝∠CDN∴△BHD∽△CND∴∴HD＝又∵BF＝BD，BH⊥DF∴DF＝2HD＝（3）由（1）得①，易证△ABD，△AEF，△BFD均为顶角为30°的等腰三角形∴AH＝AD，AE＝AF，BF＝BD易证△ABD∽△AEF∴②∴①×②得＝＝，过F作FG⊥AB于G，设FG＝x，则AF＝2x，BF＝x，AG＝x，BG＝x∴AB＝（+1）x，∴＝＝4﹣2【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，含30°角的直角三角形．灵活运用相似三角形的边的比例关系是解题的关键．。
人教新版 九年级下学期 第27章 相似 单元测试卷 含解析
九年级（下）第二学期第27章相似单元测试卷一、选择题1．若，则A．B．C．D．2．若与△相似且对应中线之比为，则周长之比和面积比分别是A．，B．，C．，D．，3．如图，下列条件中不能判定的是A．B．C．D．4．如图，四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形和四边形的面积比为A．B．C．D．5．如图，在中，，，垂足为点，如果，，那么的长是A．4B．6C．D．6．如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、、、、，若，，，则的值是A．14B．15C．16D．177．如图，在矩形中，点是边的中点，则A．B．C．D．8．如图，在中，，分别是，上的点，，的平分线交于点，若，则A．B．C．D．9．如图，在中，，且，则等于A．B．C．D．10．如图，点是正方形的边延长线一点，连接交于，作，交的延长线于，连接，当时，作于，连接，则的长为A．B．C．D．二．填空题（共11小题）11．已知，，，是成比例线段，，，，则线段的长为．12．如果在比例尺的滨海区地图上，招宝山风景区与郑氏十七房的距离约是，则它们之间的实际距离约为千米．13．若点是线段的黄金分割点，，则较长线段的长是．14．如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若与相似，则和的数量关系为．15．如图，，、相交于点，过作交于点，如果，，那么的长等于．16．在中，，，，是边上的一点，，是边上的一点与端点不重合），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么的长是．17．如图，在中，点、分别在的两边、上，且，如果，，，那么线段的长是．18．有一块直角边，的的铁片，现要将它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为．19．如图．等边的边长为5，点、、分别在三边、、上，且，，，则的长为．20．如图，四边形中，，，，，是上一点，若以、、为顶点的三角形与相似，则．21．如图，，△，△是全等的等边三角形，点，，，在同一条直线上，连接交于点，交于点，则的值为．三．解答题（共7小题）22．如图，边长为6的正方形中，，，连接和交于点，求的长．23．如图，在中，为上一点，为延长线上一点，且，，求证：．24．如图，在中，，为边上的中线，于点．（1）请你写出图中所有与相似的三角形；（2）若，，求的长．25．如图所示：在中，，，，分别为．边上一点，，（1）求证：；（2）与是否相等？请说明理由；（3）若，求的长．26．如图，在中，，，．点为的中点，联结，过点作，交的垂线于点，分别交、于点、．（1）求的长；（2）求的面积．27．在中，，，点从点出发，速度为4个单位每秒，同时点从点出发，以个单位每秒的速度向运动．当有一个点到达点时，点，同时停止运动．设运动时间为．（1）若，，求的面积．（2）若在运动过程中，始终平行于，求的值．28．如图，已知抛物线经过点，点．点在线段上（与点，不重合），过点作轴的垂线与线段交于点，与抛物线交于点，联结．（1）求抛物线表达式；（2）联结，当时，求的长度；（3）当为等腰三角形时，求的值．参考答案一．选择题（共10小题）1．若，则A．B．C．D．解：，，，，故选：．2．若与△相似且对应中线之比为，则周长之比和面积比分别是A．，B．，C．，D．，解：与△相似，且对应中线之比为，其相似比为，与△周长之比为，与△面积比为，故选：．3．如图，下列条件中不能判定的是A．B．C．D．解：、由，可得，此选项不符合题意；、由不能判定，此选项符合题意；、由，可得，此选项不符合题意；、由，即，且可得，此选项不符合题意；故选：．4．如图，四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形和四边形的面积比为A．B．C．D．解：四边形和是以点为位似中心的位似图形，，，四边形与四边形的面积比为：．故选：．5．如图，在中，，，垂足为点，如果，，那么的长是A．4B．6C．D．解：，，，，，又，，，，，即，解得，，，解得，，，故选：．6．如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、、、、，若，，，则的值是A．14B．15C．16D．17解：，，，，，即，解得．故选：．7．如图，在矩形中，点是边的中点，则A．B．C．D．解：点是边的中点，，四边形是矩形，，，，，；故选：．8．如图，在中，，分别是，上的点，，的平分线交于点，若，则A．B．C．D．解：，，，，，．故选：．9．如图，在中，，且，则等于A．B．C．D．解：，，，，设的面积是，则和的面积分别是，，则和分别是，，．故选：．10．如图，点是正方形的边延长线一点，连接交于，作，交的延长线于，连接，当时，作于，连接，则的长为A．B．C．D．解：过点作于点，如图所示：四边形是正方形，，，，，在与中，，，，在与中，，，，即，延长交于点，作，，，，，，在中，，．，，，．在与中，，，，，，．在等腰直角与等腰直角中，，，在和中，，△，，，四边形是正方形，，为的中位线，，，，，，故选：．二．填空题（共11小题）11．已知，，，是成比例线段，，，，则线段的长为9．解：已知，，，是成比例线段，根据比例线段的定义得：，代入，，，解得：，故答案为：9．12．如果在比例尺的滨海区地图上，招宝山风景区与郑氏十七房的距离约是，则它们之间的实际距离约为19千米．解：设它们之间的实际距离为，，解得．千米．所以它们之间的实际距离为19千米．故答案为19．13．若点是线段的黄金分割点，，则较长线段的长是．解：是线段的黄金分割点，，，而，；故答案为：．14．如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若与相似，则和的数量关系为．解：矩形沿折叠，使点落在边上的点处，，，，，当时，与相似，则，不合题意舍去；当时，与相似，，此时，在中，，，在中，，，四边形为矩形，，，．故答案为．15．如图，，、相交于点，过作交于点，如果，，那么的长等于15．解：，，，，，，，，，故答案为15．16．在中，，，，是边上的一点，，是边上的一点与端点不重合），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么的长是或．解：，，，，，，三点组成的三角形与相似，或，，或，或，解得：，或，故答案为：或．17．如图，在中，点、分别在的两边、上，且，如果，，，那么线段的长是．解：，，，，，故答案为．18．有一块直角边，的的铁片，现要将它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为．解：如图，过点作，垂足为，交于．，．，，，，．设，则有：，解得，故答案为：．19．如图．等边的边长为5，点、、分别在三边、、上，且，，，则的长为．解：是等边三角形，，，，，，，，，，，过作于，，，，，，，中，，故答案为：．20．如图，四边形中，，，，，是上一点，若以、、为顶点的三角形与相似，则2或3．解：设．则以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似，①当时，解得或3．②当时，，解得，当，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似，的值为2或3．故答案为2或3．21．如图，，△，△是全等的等边三角形，点，，，在同一条直线上，连接交于点，交于点，则的值为．解：，△，△是全等的等边三角形，，，，△，，，同理：，，，，故答案为：．三．解答题（共7小题）22．如图，边长为6的正方形中，，，连接和交于点，求的长．解：边长为6的正方形中，，，，，，作，交于，，，，，，，，即，．23．如图，在中，为上一点，为延长线上一点，且，，求证：．【解答】证明：，，，，，，，，四边形平行四边形，．24．如图，在中，，为边上的中线，于点．（1）请你写出图中所有与相似的三角形；（2）若，，求的长．【解答】（1）解：，为边上的中线，，，，，，，，，，，即图中所有与相似的三角形有，，；（2）解：，由（1）得，，，．25．如图所示：在中，，，，分别为．边上一点，，（1）求证：；（2）与是否相等？请说明理由；（3）若，求的长．【解答】（1）证明：，，，，即；（2），，，，；（3），，，，即，解得，，由（1）得，，则．26．如图，在中，，，．点为的中点，联结，过点作，交的垂线于点，分别交、于点、．（1）求的长；（2）求的面积．解：（1），，，，，，又，，，，．（2），，，．，，又，．27．在中，，，点从点出发，速度为4个单位每秒，同时点从点出发，以个单位每秒的速度向运动．当有一个点到达点时，点，同时停止运动．设运动时间为．（1）若，，求的面积．（2）若在运动过程中，始终平行于，求的值．解：（1），，点从点出发，速度为4个单位每秒，，，，的面积为：．答：的面积为8．（2）始终平行于始终平行于不妨取解得：答：的值为3．28．如图，已知抛物线经过点，点．点在线段上（与点，不重合），过点作轴的垂线与线段交于点，与抛物线交于点，联结．（1）求抛物线表达式；（2）联结，当时，求的长度；（3）当为等腰三角形时，求的值．解：（1）将，分别代入抛物线解析式，得．解得．故该抛物线解析式是：；（2）设直线的解析式是：，把，分别代入，得．解得，．则该直线方程为：．故设，．则，．，．，．．．又，．于是，即．解得，（舍去）．；（3）由两点间的距离公式知，，，．①若，，解得，（舍去）．即符合题意．②若，，解得，（舍去）．即符合题意．③若，，解得．综上所述，的值为1或或2．。
人教版九年级下册数学《第27章相似》单元检测试卷含答案
第27章相似单元检测一、选择题1. 将下图中的箭头缩小到原来的12，得到的图形是( )A. B.C. D.2. 如图，AB //EF //CD ，BC 、AD 相交于点O ，F 是AD 的中点，则下列结论中错误的是( )A. AO AD =BO BCB. OB CE =OA DFC. EF CD =OE BED. 2BE AD =OE OF3. 下列各组数中，成比例的是( )A. −6，−8，3，4B. −7，−5，14，5C. 3，5，9，12D. 2，3，6，124. 不为0的四个实数a 、b ，c 、d 满足ab =cd ，改写成比例式错误的是( )A. a c =d bB. c a =b dC. d a =b cD. a b =c d5. 如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是( )A. AB BP =AC CBB. ∠APB =∠ABCC. APAB =ABACD. ∠ABP=∠C6.已知C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，则AC：AB=( )A. (−1)：2B. (+1)：2C. (3−：2D. (3+：27.对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是( )A. 平移B. 旋转C. 轴对称D. 位似8.已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为36cm，则较大多边形的周长为( )A. 48 cmB. 54 cmC. 56 cmD. 64 cm9.下列各组图形不一定相似的是( )A. 两个等腰直角三角形B. 各有一个角是100∘的两个等腰三角形C. 各有一个角是50∘的两个直角三角形D. 两个矩形10.如图所示，△ABC中，DE//BC，AD=5，BD=10，DE=6，则BC的值为( )A. 6B. 12C. 18D. 24二、填空题11.如果两个相似三角形对应角平分线的比是4：9，那么它们的周长比是______ ．12.如图，已知AD//BE//CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F.如果AB=6，BC=10，那么DEDF的值是______ ．13.如果线段a、b、c、d满足ab =cd=13，那么a+cb+d=______ ．14.已知线段a=3，b=6，那么线段a、b的比例中项等于______ ．15.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果ADAB =23，AE=4，那么当EC的长是______ 时，DE//BC．三、解答题16.已知△ABC，作△DEF，使之与△ABC相似，且S△DEFS△ABC=4.要求：(1)尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．(2)简要叙述作图依据．17. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE //BC ，已知AE =6，AD BD =34，求CE 的长．18. 如图，在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AD 于点F ．(1)AB ，BC ，BF ，DE 这四条线段能否成比例？如不能，请说明理由；如能，请写出比例式；(2)若AB =10，DE =2.5，BF =5，求BC 的长．19.已知a3=b4=c5≠0，求2a−b+ca+3b的值．20.作图题用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，在△ABC中，AB>AC，点D位于边AC上．求作：过点D、与边AB相交于E点的直线DE，使以A、E为顶点的三角形与原三角形相似．【答案】1. A2. C3. A4. D5. A6. A7. D8. A9. D10. C11. 4：912. 3813. 1314. 315. 616. 解：(1)如图所示：△DEF即为所求；(2)∵△DEF∽△ABC，且S△DEFS△ABC=4，∴DEAB =DFAC=EFBC=12，∴作AB，AC的垂直平分线，进而得出AB，AC的中点，即可得出ED，EF，DF的长．17. 解：∵DE//BC，∴AEEC =ADBD=34，∵AE=6，∴CE=8．18. 解：(1)(1)证明：∵在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥AD，∴S▱A BCD=AB⋅DE=AD⋅BF，∴ADDE =ABBF；(2)∵AB⋅DE=AD⋅BF，∴10×2.5=5BC，解得：BC=5．19. 解：设a3=b4=c5=k，所以，a=3k，b=4k，c=5k，则2a−b+ca+3b =6k−4k+5k3k+12k=715．20. 解：如图1所示：△AED∽△ABC，如图2所示：△ADE∽△ABC，综上所述：直线DE即为所求．。
人教版九年级下册数学《第27章 相似》单元测试卷(有答案)
2020-2021学年人教新版九年级下册数学《第27章相似》单元测试卷一．选择题1．下列四条线段成比例得是（）A．4、6、5、10B．12、8、16、20C．1、D．、22．如图，梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，若AB＝10，CD＝3，EF＝5，则CF：FB等于（）A．2：7B．5：7C．3：7D．2：53．已知，如图，△ABC∽△AED，那么AE•BC等于（）A．AC•DE B．AB•DE C．AC•AE D．AB•AE4．若，则b为（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD＝（）A．4B．4﹣4C．﹣4+4D．4﹣4或﹣4+46．语句：“①所有度数相等的角都相似；②所有边长相等的菱形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的圆都相似”中准确的有（）A．4句B．3句C．2句D．1句7．已知相似多边形的相似比为9：4，那么这两个三角形的周长比为（）A．9：4B．4：9C．3：2D．81：168．在△ABC和△DEF中满足下列条件，其中使△ABC与△DEF不相似的是（）A．∠A＝∠D＝35°，∠C＝37°，∠E＝108°B．BC＝4，AC＝6，AB＝8，DE＝2，EF＝，DF＝2C．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝24，DF＝18D．AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D＝50°9．一天晚上，某人在路灯下距灯竿6m远时，他发现他在地面上的影子是3m长，问：当他离灯竿20m远时，他的影子是（）A．9m B．14m C．17m D．10m10．如果一个图形上各点的横坐标保持不变，而纵坐标分别都变化为原来的，那么所得的图形与原图形相比（）A．形状不变，图形缩小为原来的一半B．形状不变，图形放大为原来的2倍C．整个图形被横向压缩为原来的一半D．整个图形被纵向压缩为原来的一半二．填空题11．若a＝7，b＝4，c＝5，则b，a，c的第四比例项d＝．12．将一个四边形扩大2倍，则它的周长扩大倍，面积扩大倍．13．已知：如图，若使△ABC∽△ADE成立，则需条件（只添一种即可）．14．如果3x＝4y，那么x：y＝．15．某木材加工厂生产一种豪华型办公桌，其宽b与长a的比恰好为黄金分割数（即）．现在办公桌四周镶上某种规格的合金作为装饰，当a＝2m时，需要合金的长度为m．16．下列图形中是与相似的．（1）（2）（3）（4）17．如图，在△ABC中，AB＝14cm，，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12cm，则△ADE 的面积为，周长为．18．在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，若AB＝，DC＝2，则BD＝，AC＝．19．如图所示，AD是△ABC的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若AF：FD＝1：3，则AE：AB＝．20．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1，使△A1B1C1与格点三角形ABC 相似（相似比不为1）．．三．解答题21．把一根周长为4m的铁丝弯成一个矩形框，使它的宽与长的比为黄金比．求这个矩形的面积．22．如图所示，是同一个三角形地块的甲、乙两张地图，比例尺分别为1：200和1：500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比分别为多少．23．已知：D，E分别为△ABC的边CA，BA延长线上的点，且，F为AB上一点，且FG∥BC交AC于G．求证：△ADE∽△AGF．24．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为边向外作正方形BEDC，连接AE 交BC于F，作FG∥BE交AB于G，求证：FG＝FC．25．如图，在长为10cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，留下的矩形的面积是多少？26．将△ABC作下列变化，请画出相应的图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化．（1）向上平移4个单位；（2）关于y轴对称；（3）以A点为位似中心，相似比为2．27．（1）将图中的各个点的纵坐标不变，横坐标都乘﹣1，与原图案相比，所得图案有什么变化？（2）将图中的各个点的横坐标不变，纵坐标都乘﹣1，与原图案相比，所得图案有什么变化？（3）将图中的各个点的横坐标都乘﹣2，纵坐标都乘﹣2，与原图案相比，所得图案有什么变化？参考答案与试题解析一．选择题1．解：A、从小到大排列，由于4×10≠5×6，所以不成比例，不符合题意；B、从小到大排列，由于8×20≠12×16，所以不成比例，不符合题意；C、从小到大排列，由于1×≠×，所以不成比例，不符合题意；D、从小到大排列，由于2×＝×，成比例，符合题意．故选：D．2．解：过D作DG∥BC交AB于G，交EF于H．则BG＝FH＝CD＝3，∴EH＝EF﹣FH＝2，AG＝7，∵AB∥EF，∴EH：AG＝2：7＝DE：AD＝CF：CB，∴CF：FB＝2：5．故选：D．3．解：∵△ABC∽△AED，∴，∴AE•BC＝AB•DE，故选B4．解：∵，∴s（b﹣a）＝a+b，b＝，故选：D．5．解：∵AB＝AC＝8，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，∴∠A＝∠CBD，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCD，∴AC：BC＝BC：CD，∴AC：AD＝AD：CD，∴点D为AC的黄金分割点，∴AD＝AC＝×8＝4（）＝4．故选：B．6．解：①角是有公共端点的两条射线组成的图形，只有度数相等，两条射线是可以无限延长的，它们是相似形．所以①正确．②所有菱形的四条边的比相等，但不能判断它们的对应角相等，它们不一定是相似形．所以②不正确．③所以正方形的四个角都是90°，对应边的比都相等，它们是相似形．所以③正确．④圆是以定点为圆心，定长为半径所组成的图形，它们只有大小不同，形状都相同，是相似形．所以④正确．故选：B．7．解：三角形的周长比等于相似多边形的相似比为9：4．故周长比也为9：4．故选：A．8．解：A中三个角均对应角相等，所以相似；B中对应边不成比例，所以不是相似三角形；C中对应边成比例，为相似三角形；D中两边夹一角，全等，也是相似三角形．故选：B．9．解：∵设这人的身高为x米，则＝，解得y＝3x，∴离路灯竿20米远时，设影长为zm，则＝，解得z＝10m．故选：D．10．解：∵一个图形上各点的横坐标保持不变，而纵坐标分别都变化为原来的，∴整个图形被纵向压缩为原来的一半故选：D．二．填空题11．解：∵b，a，c的第四比例项d，∴，∵a＝7，b＝4，c＝5，∴，∴d＝．故答案为：．12．解：它的周长扩大2倍；又相似比的平方等于面积比，故四边形的面积扩大4倍．13．解：∠DAB＝∠CAE或∠DAE＝∠BAC或．14．解：由3x＝4y，得x：y＝4：3，故答案为：4：3．15．解：∵，a＝2m，∴b＝a＝﹣1，∴需要合金的长度为：2（a+b）＝2（2+﹣1）＝+2．即需要合金的长度为（+2）m．故答案为（+2）．16．解：观察图形，（1）与（4）形状相同，这两个图形中的斜线都是连接在一条直线上的三个正方形的相对的顶点，并且其中一个顶点是单独的一个正方形与成一条直线的三个正方形的公共顶点；（3）是成一条直线的三个三角形中两个正方形的相对顶点的连线；（2）是连接在一条直线上的相对的顶点，并且其中一个顶点是单独的一个正方形与成一条直线的三个正方形的不是公共顶点的连线． ∴图形中是（1）与（4）相似的． 17．解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∵，∴AD ：AB ＝5：14， ∴S △ADE ：S △ABC ＝25：196，∵在△ABC 中，AB ＝14cm ，CD ⊥AB ，CD ＝12cm ， ∴S △ABC ＝AB •CD ＝×14×12＝84（cm 2）， ∴S △ADE ＝×84＝（cm 2），∵AD ＝AB ＝5（cm ），BD ＝AB ﹣AD ＝9cm ，∴在Rt △ACD 中，AC ＝＝13（cm ）， 在Rt △BCD 中，BC ＝＝15（cm ），∴△ABC 的周长为：AB +AC +BC ＝42（cm ）， ∴△ADE 的周长为：42×＝15（cm ）．故答案为：cm 2，15cm ．18．解：根据射影定理可得：AB 2＝BD ×BC ；AC 2＝CD ×BC ， ∴解得：BD ＝1，AC ＝．故答案为：1，．19．解：∵AF ：FD ＝1：3 ∴作DG ∥CE ，交AB 于点G ∵D 是BC 的中点∴EC＝2DG∴∴EF＝DG∴∴AG＝4AE∴EG＝BG＝3AE∴AB＝7AE∴AE：AB＝1：7．20．解：如图所示：三．解答题21．解：设这个矩形的长为xm，宽为ym，则x+y＝2，由题设得：＝，解得：x＝﹣1，y＝3﹣，经检验得出x＝﹣1，y＝3﹣，是原方程的解，所以这个黄金矩形的面积为：＝（m2）．22．解：甲地图与乙地图的相似比＝＝．面积的比为（）2＝；23．证明：如图所示，∵，∠DAE＝∠BAC，∴△ABC∽△AED．∵FG∥BC，∴△AFG∽△ABC．∴△AED∽△AFG．24．证明：∵FG∥BE，∴＝．∵FC∥ED，∴＝．∴＝．又∵EB＝ED，∴FG＝FC．25．解：长为10cm、宽为6cm的矩形的面积是60cm2，留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，相似比是6：10＝3：5，因而面积的比是9：25，因而留下矩形的面积是60×＝21.6（cm2）．答：留下的矩形的面积是21.6cm2．26．解：（1）纵坐标均增加4，横坐标均不变；（2）纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数；（3）点C对应点的横坐标增加2个单位，纵坐标增加3个单位，点B对应点的横坐标增加2个单位而纵坐标不变．27．解：（1）纵坐标不变，横坐标都乘﹣1，与原图案相比，所得图案与原图形关于y轴对称；（2）横坐标不变，纵坐标都乘﹣1，与原图案相比，所得图案与原图形关于x轴对称；（3）各个点的横坐标都乘﹣2，纵坐标都乘﹣2，与原图案关于原点成位似关系，位似比是2：1．。
人教版数学九年级下学期第27章《相似》测试题含答案
人教版数学九年级下学期第27章《相似》测试题（测试时间：120分钟 满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．如果23a b =，则a bb +=（ ） A ．13 B ．12 C ．53 D ． 352．如图△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，31==ACAD ABAE ,则BCED ADE S S 四边形△:的值为（ ）A 、3:1B 、1:3C 、1:8D 、1:93．如图，Rt △ABC 和Rt △DCA 中，∠B=∠ACD=90°，AD ∥BC ，AB=2，DC=3，则△ABC 与△DCA 的面积比为（ ）A ．2：3B ．2：5C ．4：9D ．2:34．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ．AC 与DF 相交于点H ，且AH=2，HB=1，BC=5，则DEEF的值为（ ）.A ．12 B ．2 C ．25 D ．355．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3 米，则地面上阴影部分的面积为（ ）A ．0..36π米2B ． 0.81π米2C ．2π米2D ．3. 24π米26．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 、C 、D 的坐标分别为B （5，0）、C （1，2）、D （2，0），则点A 的坐标是（ ）A ．（2.5，5）B ．（2.5，3）C ．（3，5）D ．（2.5，4）7．如图，△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D ，E ，F 分别是OA ， OB ，OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是（ ）A ．1：2B ．1：4C ．1：5D ．1：68．如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，若EF ：AF=2：5，则DEFEFBCSS 四边形：为（ ）A ．2：5B ．4：25C ．4：31D ．4：359．小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）A ．0.5mB ．0.55mC ．0.6mD ．2.2m10．如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE=45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE 、BE 分别交于点G 、H ，∠CBE=∠BAD ．有下列结论：①FD=F E ；②AH=2CD ；③BC •AD=AE 2；④S △ABC =4S △ADF ．其中正确的有（ ）A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个二、填空题（每小题3分，共30分）11．已知两个相似三角形的周长比是，它们的面积比是________．12．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，AC＞BC，那么AC的长约为____________cm（结果精确到0.1 cm）．13．李明同学利用影长测学校旗杆的高度，某一时刻身高1.8米的李明的影长为1米，同时测得旗杆的影长为7米，则学校的旗杆的高为________米.14．在中，，是的中点，过点作直线，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线有________条．15．如图，在□ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：__________________.16．如图，数学趣闻：上世纪九十年代，国外有人传说：“从月亮上看地球，长城是肉眼唯一看得见的建筑物．”设长城的厚度为，人的正常视力能看清的最小物体所形成的视角为，且已知月、地两球之间的距离为，根据学过的数学知识，你认为这个传说________．（请填“可能”或“不可能”，参考数据：）17．△ABC的三边长分别为，，2，△A1B1C1的两边长为1，，要使△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的第三边长为_______．18．如图，等边△ ABC 的边长为30，点M 是边AB 上一动点，将等边△ ABC 沿过点M 的直线折叠，该直线与直线AC 交于点N，使点A 落在直线BC 上的点D 处，且BD：DC=1 :4，折痕为MN，则AN 的长为_____.19．如图：已知在中，是斜边上的高．在这个图形中，与相似的三角形是________（只写一个即可）．20．如图，在梯形中，，点、、、是两腰上的点，，，且四边形的面积为，则梯形的面积为________．三、解答题（共60分）21．（本题7分）如图，D是△ABC外一点，E是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4.（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；（2）请分别说明两对三角形相似的理由.22．（本题7分）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．(1)、若D（2，3），请在网格图中画一个格点△DEF，使△DEF ∽△ABC，且相似比为2∶1；(2)、求△ABC中AC边上的高；(3)、若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为23．（本题7分）如图，梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，E，F分别是AB，BC的中点．EF与BD相交于点M．（1）求证：△EDM∽△FBM；（2）若DB=9，求BM．24．（本题6分）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F 点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．25．（本题8分）如图，在△ABC中，AD是角平分钱，点E在AC上，且∠EAD=∠ADE．（1）求证：△DCE∽△BCA；（2）若AB=3，AC=4．求DE的长．26．（本题8分）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC 的费马点．（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若PA=3，PC=4，则PB= ．（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD 相交于P点．如图（2）①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．27．（本题8分）如图1，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是线段AD边上的一动点（不与端点A、D重合），连结PC，过点P作P E⊥PC交AB于点E，在P点运动过程中，图中各角和线段之间是否存在的某种关系和规律？特例求解当E为AB的中点，且AP＞AE时，求证：PE=PC．深入探究当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求整个运动过程中B E的取值范围．28．（本题9分）如图，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AE⊥l交直线l于点E、交⊙O于点F，BD⊥l交直线l于点D．（1）求证：△AEC∽△CDB；（2）求证：AE+EF=AB；cm s的速度运动，点Q从点B出发沿（3）若AC=8cm，BC=6cm，点P从点A出发沿线段AB向点B以2/cm s的速度运动，两点同时出发，当点P运动到点B时，两点都停止运动．设运动时线段BC向点C以1/间为t秒，求当t为何值时，△BPQ为等腰三角形？答案（测试时间：120分钟 满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．如果23a b =，则a bb +=（ ） A ．13 B ．12 C ．53 D ． 35【答案】C 【解析】先根据比例的性质可得a b +1=23+1，进而可得53a b b +=． 故选C ．2．如图△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，31==ACAD ABAE ,则BCED ADE S S 四边形△:的值为（ ）A 、3:1B 、1:3C 、1:8D 、1:9【答案】C 【解析】根据题意可得：△ADE ∽△ACB ，则ADE ACB S S △△：=1:9，则BCED ADE S S 四边形△:=1:8.故选C3．如图，Rt △ABC 和Rt △DCA 中，∠B=∠ACD=90°，AD ∥BC ，AB=2，DC=3，则△ABC 与△DCA 的面积比为（ ）A ．2：3B ．2：5C ．4：9D ．2:3 【答案】C 【解析】由AD ∥BC ，得出∠ACB=∠DAC ，证得△A BC ∽△DCA ，可得AB BC ACDC AC AD==，再由面积的比等于相似比的平方，即可得到24()9ABC DCAS AB SDC ==， 故选C ．4．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ．AC 与DF 相交于点H ，且AH=2，HB=1，BC=5，则DEEF的值为（ ）.A ．12 B ．2 C ．25 D ．35【答案】D ．5．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3 米，则地面上阴影部分的面积为（ ）A ．0..36π米2B ． 0.81π米2C ．2π米2D ．3. 24π米2【答案】B 【解析】如图设C ，D 分别是桌面和其地面影子的圆心，依题意可以得到△OBC ∽△OAD ，然后由它们的对应边成比例可以得CB OC AD OD =，再把OD=3，CD=1代入可求出OC= OD-CD=3-1=2，BC=12×1.2=0.6，然后求出地面影子的半径AD=0.9，这样可以求出阴影部分的面积S ⊙D =π×0.92=0.81πm 2，这样地面上阴影部分的面积为0.81πm 2． 故选B6．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 、C 、D 的坐标分别为B （5，0）、C （1，2）、D （2，0），则点A 的坐标是（ ）A ．（2.5，5）B ．（2.5，3）C ．（3，5）D ．（2.5，4） 【答案】A7．如图，△D EF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D ，E ，F 分别是OA ， OB ，OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是（ ）A ．1：2B ．1：4C ．1：5D ．1：6【答案】B 【解析】由D ，F 分别是OA ，OC 的中点，根据三角形的中位线的性质得DF=12AC ，根据三角形相似的性质可知△DEF 与△ABC 的相似比是1：2，因此△DEF 与△ABC 的面积比是1：4． 故选B ．8．如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，若EF ：AF=2：5，则DEFEFBCSS 四边形：为（ ）A ．2：5B ．4：25C ．4：31D ．4：35 【答案】C9．小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）A ．0.5mB ．0.55mC ．0.6mD ．2.2m 【答案】A【解析】 根据题意可得：1.185.07.1x，解得：x=2.2，则2.2-1.7=0.5m ，即小刚举起的手臂超出头顶0.5m. 10．如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE=45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE 、BE 分别交于点G 、H ，∠CBE=∠BAD ．有下列结论：①FD=FE ；②AH=2CD ；③BC •AD=AE 2；④S △ABC =4S △ADF ．其中正确的有（ ）A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个【答案】D二、填空题（每小题3分，共30分）11．已知两个相似三角形的周长比是，它们的面积比是________．【答案】【解析】∵两个相似三角形的周长比是1：3，∴它们的面积比是，即1：9．故答案为：1：9．12．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，AC＞BC，那么AC的长约为____________cm（结果精确到0.1 cm）．【答案】6.2【解析】由题意知AC:AB=BC:AC，∴AC:AB≈0.618，∴AC=0.618×10cm≈6.2(结果精确到0.1cm)故答案为：6.2.13．李明同学利用影长测学校旗杆的高度，某一时刻身高1.8米的李明的影长为1米，同时测得旗杆的影长为7米，则学校的旗杆的高为________米.【答案】12.614．在中，，是的中点，过点作直线，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线有________条．【答案】【解析】作DE∥AB,DF∥BC，可得相似，作∠CDG=∠B，∠ADH=∠C，也可得相似三角形.所以可作4条.故答案为：4.15．如图，在□ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：__________________.【答案】答案不唯一，如△DFE∽△CBE【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC//AD，即BC//DF，∴△DEF∽△CEB，故答案为：△DEF∽△CEB（答案不唯一）.16．如图，数学趣闻：上世纪九十年代，国外有人传说：“从月亮上看地球，长城是肉眼唯一看得见的建筑物．”设长城的厚度为，人的正常视力能看清的最小物体所形成的视角为，且已知月、地两球之间的距离为，根据学过的数学知识，你认为这个传说________．（请填“可能”或“不可能”，参考数据：）【答案】不可能这就是说,按照人的最小视角1′观察地球上长城的厚度，最远的距离只能是34.4km，而月球与地球之间的距离为380000km，这个数字很大，它相当于34.4km的11046倍，从这么远看长城，根本无法看见. 17．△ABC的三边长分别为，，2，△A1B1C1的两边长为1，，要使△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的第三边长为_______．【答案】【解析】由三边对应成比例的两个三角形相似,易得相似比为:,故要使△ABC和△A1B1C1的三边成比例,则第三边长为2÷=,故答案为:.18．如图，等边△ ABC 的边长为30，点M 是边AB 上一动点，将等边△ ABC 沿过点M 的直线折叠，该直线与直线AC 交于点N，使点A 落在直线BC 上的点D 处，且BD：DC=1 :4，折痕为MN，则AN 的长为_____.【答案】21或65【解析】①当点A落在如图1所示的位置时，∵BD：DC=1：4，BC=30，∴DB=6，CD=24，设AN=x，则CN=30-x，∴=，∴DM=，BM=，∵BM+DM=30，∴+=30，解得x=21，∴AN=21；②当A在CB的延长线上时，如图2，与①同理可得△BMD∽△CDN，∴得，∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=10，CD=40，设AN=x，则CN=x-10，∴=，∴DM=，BM=，∵BM+DM=30，∴+=10，解得：x=65，∴AN=65．故答案为：21或65．19．如图：已知在中，是斜边上的高．在这个图形中，与相似的三角形是________（只写一个即可）．【答案】20．如图，在梯形中，，点、、、是两腰上的点，，，且四边形的面积为，则梯形的面积为________．【答案】18【解析】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G、H是两腰上的点，AE=EF=FB，CG=GH=HD，∴2EH=AD+FG，2FG=EH+BC，∴EH=，FG=，∵四边形EFGH的面积为6cm2，∴（EH+FG）h=6，∴四边形ADEH的面积和四边形FBCG的面积和为：（EH+AD）h+（BC+FG）h=12，则梯形ABCD的面积为：18．故答案为：18．三、解答题（共60分）21．（本题7分）如图，D是△AB C外一点，E是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4.（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；（2）请分别说明两对三角形相似的理由.【答案】(1)、△ABD∽△AEC；△ABE∽△ADC；(2)、证明见解析22．（本题7分）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．(1)、若D（2，3），请在网格图中画一个格点△DEF，使△DEF ∽△ABC，且相似比为2∶1；(2)、求△ABC中AC边上的高；(3)、若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为【答案】(1)图形见解析；(2)、105；(3)、（2,6）.【解析】(1)、如图所示；(2)、高105(3)、（2,6）；23．（本题7分） 如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，且AB=2CD ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点．EF 与BD 相交于点M ．（1）求证：△EDM ∽△FBM ； （2）若DB=9，求BM ．【答案】(1)、证明见解析；(2)、BM=3.24．（本题6分）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM 上的对应位置为点C ，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D 时，看到“望月阁”顶端点A 在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方O yxAB CDEF法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F 点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．【答案】99m25．（本题8分）如图，在△ABC中，AD是角平分钱，点E在AC上，且∠EAD=∠ADE．（1）求证：△DCE∽△BCA；（2）若AB=3，AC=4．求DE的长．【答案】（1）、证明见解析；（2）、12 7【解析】（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DA，∵∠EAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE，∴AB∥DE,∴△DCE∽△BCA；（2）、∵∠EAD=∠ADE,∴AE=DE,设DE=x,∴CE=AC﹣AE=AC﹣DE=4﹣x,∵△DCE∽△BCA,∴DE：AB=CE：AC,即x：3=（4﹣x）：4,解得：x=127，∴DE的长是127．26．（本题8分）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC 的费马点．（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若PA=3，PC=4，则PB= ．（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD 相交于P点．如图（2）①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析在△ACE和△ABD中，AC ADEAC BADEA AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠1=∠2,∵∠3=∠4，∴∠CPD=∠6=∠5=60°；②∵△ADF∽△CFP，∴AF•PF=DF•CF，∵∠AFP=∠CFD，∴△AFP∽△CDF．∴∠APF=∠ACD=60°，∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，∴∠BPC=120°，∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，∴P点为△ABC的费马点．27．（本题8分）如图1，已知在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，P 是线段AD 边上的一动点（不与端点A 、D 重合），连结PC ，过点P 作PE ⊥PC 交AB 于点E ，在P 点运动过程中，图中各角和线段之间是否存在的某种关系和规律？ 特例求解当E 为AB 的中点，且AP ＞AE 时，求证：PE=PC ． 深入探究当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求整个运动过程中BE 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）87≤BE ＜2． (2)深入探究,设AP=x ，AE=y ，∵△AP E ∽△DCP ，∴AP AE DC DP ，即x （3﹣x ）=2y ，∴y=12x 3﹣x ）=﹣12x +32x=﹣12（x ﹣32）2+98，∴当x=32时，y 的最大值为98，∵AE=y 取最大值时，BE 取最小值为2﹣98=78BE的取值范围为78≤BE ＜2．28．（本题9分）如图，AB 是⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点C ，AE ⊥l 交直线l 于点E 、交⊙O 于点F ，BD ⊥l 交直线l 于点D ．（1）求证：△AEC∽△CDB；（2）求证：AE+EF=AB；（3）若AC=8cm，BC=6cm，点P从点A出发沿线段AB向点B以2/cm s的速度运动，点Q从点B出发沿线段BC向点C以1/cm s的速度运动，两点同时出发，当点P运动到点B时，两点都停止运动．设运动时间为t秒，求当t为何值时，△BPQ为等腰三角形？【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）t=103或t=6017或t=258时又∵AE⊥DE，BD⊥DE，∴OC∥BD∥AE，又∵O是AB的中点，∴OC//AE//BD∴OC=1()2BD AE+，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠BFE=90°，又∵∠AED=∠BDE=90°，∴四边形BDEF是矩形，∴BD=FE ，∴AE+EF=AE+BD，∴1(AE)2EF+。
九年级数学(下)第二十七章《相似》单元测试含答案
c b a 第2题图n m F E D C B A 第3题图E D C B A第4题图F E D C B A 第7题图PD C BA E 第8题图DC B A九年级数学（下）第二十七章《相似》单元测试一、 选择题：（本大题共12小题，每小题2分，共24分)1.下列四组线段中，不能成比例的是.A. a ＝3，b ＝6，c ＝2，d ＝4B. a ＝1，b ＝3，c ＝4，d ＝12C. a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10D. a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝62.如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于A 、C 、E 、B 、D 、F ， AC ＝4，CE ＝6，BD ＝3，则BF ＝.A. 7B. 7.5C. 8D. 8.53.如图，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD ＝3，DB ＝6，DE ＝2，则BC ＝. A. 4 B. 6 C. 10 D. 84.如图，E 是□ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形.A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对 5.把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是. A. ∶1 B. 4∶1 C. 3∶1 D. 2∶1 6.已知a 、b 、c 为正数，且＝＝＝k ，下列四个点中，在正比例函数y ＝k x 的图像上的是. A.（1，） B.（1，2） C.（1，－） D.（1，－1）7.如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点P ，AB ＝4，CD ＝7，AD ＝10，则AP 的长等于. A. B. C. D.8.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 中点， AE ⊥AD 交CB 的延长线于E ，则下列结论正确的是 A.△AED ∽△ACB B. △AEB ∽△ACDC.△BAE ∽△ACED.△AEC ∽△DAC9.要作一个多边形与已知多边形相似，且使面积 扩大为原来16倍，那么边长为原来.A. 2倍B. 3倍C. 4倍D. 5倍10.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为AB 边上的高，则下列结论：①AC 2＝AD ·AB ； ②CD 2＝AD ·BD ；③BC 2＝BD ·AB ；④CD ·AD ＝AC ·BC ；⑤＝.第10题图D C BA 第11题图第12题图F ED C B A第14题图E D C B A第16题图ED C B A 第15题图E D C B A QKGF D AG D A E D A正确的个数有.A.2个B.3个C.4个D.5个11.如图，△ABC 中，A 、B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（－1，0），以点C为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A /B /C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍.设点B 的对应点B /的横坐标是a ，则点B /的横坐标是. A. －a B. － C. － D. －12.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边上的一个动点，AE ⊥EF ，EF 交DC于点F ，设BE ＝x ，FC ＝y ，则当点E 从点B 运动到点C 时，关于x 的函数图像是二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分）13.如果两个相似三角形的面积比是1∶2，那么它们对应边的比是. 14.如图，DE 是△ABC 的中位线，已知＝2，则四边形BCED 的面积为.15.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 是DC 上一点，∠DAE ＝∠BAC ， 则EC 长为.16.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC 、△BDC 、△DEC 都是黄金的三角形，已知AB ＝1，则DE ＝.17.如图，Rt △ABC 内有三个内接正方形，DF ＝9cm ，GK ＝6cm ，则第三个正方形的边长PQ 的长是.第22题图P E D C B A 第23题图D C B A P M F D C18.如图，已知△ABC 中，若BC ＝6，△ABC 的面积为12，四边形DEFG 是△ABC 的内接的正方形，则正方形DEFG 的边长是.19.如图，以A 为位似中心，将△ADE 放大2倍后，得位似形△ABC ，若S 1表示△ADE的面积，S 2表示四边形DBCE 的面积，则S 1∶S 2＝.20.直角三角形的两条直角边的长分别为a 和b ，则它的斜边上的高与斜边比为21.如图，直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 是坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y轴上，如果矩形OA /B /C /与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA /B /C /的面积等于矩形OABC 面积的，那么点B /的坐标是.22.△ABC ≌Rt △ADE ，∠A ＝90°，BC 和DE 交于点P ，若AC ＝6，AB ＝8， 则点P 到AB 边的距离是. 三、解答题：（本大题共56分）23.（6分）如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形. ⑴当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系式时，△ACP ∽△PDB ？ ⑵当△ACP ∽△PDB 时，求∠APB 的度数.24.（10分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M. ⑴求证：△EDM ∽△FBM ； ⑵若DB ＝9，求BM.第26题图B25.（10分）已知△ABC 的三边长分别为20cm 、50cm 、60cm ，现要利用长度分别为30cm和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC 相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，求另外两边的长度（单位：cm ）26.（10分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 上一点O 为圆心，OB 为半径的圆交AB 于点M ，交取于点N ， ⑴求证：BA ·BM ＝BC ·BN ；⑵如果CM 是⊙O 的切线，N 是OC 的中点，当AC ＝3时，求AB 的值.第27题图F E D C BAC27.（10分）如图，已知△ABC ，延长BC 到D ，使CD ＝BC ，取AB 的中点F ，连结FD 交AC于点E. ⑴求AE ∶AC 的值；⑵若AB ＝a ，FB ＝EC ，求AC 的长.28.（10分）如图，在△ABC 中，AB ＝10cm ，BC ＝20cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，问经过几秒钟，△PBQ 与△ABC 相似.F第22题图PE DC B A第23题图DC BA P D C第11题图第12题图F EDCBA参考答案：一、 选择题：1.C ；2.B ；3.B ；4.C ；5.A ；6.A ；7.C ；8.C ；9.C ；10.C ；11.D ；12.A ； 二、填空题：13. 1∶；14. 6；15. 25；16.；17. 4cm ；18. 2.4；19. 1∶3；20.；21.（3，2）或（－3，－2）；22.；11.解：把图形向右平移1个单位长度，则点C 的坐标 与原点O 重合，与B /的对应点B //的横坐标变为a ＋1，此时△ABC 以原点O 为位似中心的位似图形是△A //B //C ，则与点B //对应的点的横坐标为－（a ＋1） 一个单位，则得到B 的横坐标为－（a ＋1.选择D.12.解：特别的，当BE ＝0和4时，FC ＝0.当0＜BE ＜4时，易证： Rt △ABE ∽Rt △ECF ∴＝ ∴＝∴y ＝x 2＋x ∴y 是x 的函数.当x ＝2时，y 有最大值，最大值是1. 选择A. 22题：解：作PF ⊥AB 于点F设PF ＝x ，由题意：BE ＝CD ＝2， ∴Rt △EFP ∽Rt △EAD. ∴＝∴EF ＝x∴Rt △BFP ∽Rt △BAC ∴＝∴＝∴x ＝三、解答题：23.解：⑴∵△PCD 是等边三角形∴∠PCD ＝∠PDC ＝60°PC ＝PD ＝CD ∴∠PCA ＝∠PDB ＝120° ∴当AC 、CD 、DB 满足 CD 2＝AC ·BD即 ＝ 时，△ACP ∽△PDB⑵当△ACP ∽△PDB 时由∠A ＝∠BPD ，∠B ＝∠APC∴∠PCD ＝∠A ＋∠APC ＝60°＝∠A ＋∠B ∠PDC ＝∠B ＋∠BPD ＝60°∴∠APB ＝60°＋∠APC ＋∠BPD ＝60°＋60°－∠A ＋∠60°－∠B ＝180°－（∠A ＋∠B ）＝180°－60°＝120° 24.解：⑴∵AB ＝2CD AE ＝BEB G第27题图F E D C B APA ∴CD ＝BE又∵AB ∥CD ∴CD ∥BE 且CD ＝BE ∴四边形EBCD 是平行四边形 ∴DE ∥BC∴△EDM ∽△FBM ⑵∵△EDM ∽△FBMFB ＝BC ＝DE ∴＝＝∴＝∴＝ ∴BM ＝3.25.解：⑴如果将长度为60cm 木条作为其中一边，把30cm 木条截成两段，其三角形不存在；⑵如果将长度为30cm 的木条作为其中一边，把60cm 的木条截成两边，则：①将30cm 的木条作最长边，于是有 ＝＝ 三边成比例.此时三角形木架与△ABC 相似；②将30cm 的木条作为第二长的边，于是有 ＝＝ 三边成比例，此时三角形木架与△ABC 相似；③将30cm 的木条作为最短边，则三边对应不成比例； 因此，另外两边的长度分别为10cm 、25cm 或12cm 、36cm.26.解：⑴证明：连NM∵NB 是⊙O 的直径 ∴NM ⊥BM 在△ACB 和△NMB 中∠ACB ＝∠NMB ＝90°∠ABC ＝∠NBM ∴△ACB ∽△NMB∴＝ 即 BA ·BM ＝BC ·BN ⑵连OM ∵CM 是⊙O 的切线 ∴CM ⊥OM ∴△CMO 是直角三角形 ∵CN ＝ON ∴MN ＝OC ＝ON ∵ON ＝OM ∴△OMN 是等边三角形 ∴∠MON ＝60°∵OM ＝OB ∴∠B ＝30°∴在Rt △ACB 中，AB ＝6. 27.解：⑴证明：过点C 作CG ∥AB 交DF 于G则 △EAF ∽△ECG △DCG ∽△DBF ∴＝＝又∵AF ＝BF ∴＝ ∵BC ＝CD ∴＝ ∴＝ 即＝⑵∵AB ＝a ，BF ＝AB ＝a ，又∵FB ＝EC ，∴EC ＝a ∵＝ ，∴AC ＝3EC ＝a.28.解：设经过t s 时，△PBQ ∽△ABC ，则 AP ＝2t ，BQ ＝4t ，BP ＝10－2t⑴ 如图①第28题图②QPCBA 当△PBQ ∽△ABC 时，有 ＝即 ＝∴t ＝2.5⑵ 如图②当△QBP ∽△ABC 时，有＝ 即 ＝ ∴t ＝1综合以上可知：经过2.5秒或1秒时， △QBP 和△ABC 相似.。