三角函数单元检测(A1)

单元测试四 三角函数

【说明】 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.与-37π

终边相同的角中，最小的正角是（ ） A.37π B.3π C.35π D.-3

π

答案：C 解析：-

37π=-4π+3

5π

. 2.函数f(x)=sin 2x+3cos 2x 的最小正周期是（ ） A.

4π B.2

π

C.π

D.2π 答案：C 解析：f(x)=

2)2cos 1(322cos 1x x ++

-=2+cos2x,∴T=2

2π

=π. 3.下列函数中为奇函数的是（ ）

A.y=x x x x cos cos 22-+

B.y=x

x

cos 1cos 1+-

C.y=2sinx

D.y=lg(sinx+x 2sin 1+)

答案：D

解析：令x=0,只有D 中的y=0，故排除A 、B 、C.

4.若α与β是两锐角，且sin(α+β)=2sin α,则α、β的大小关系是（ ）

A.α=β

B.α＜β

C.α＞β

D.以上都有可能 答案：B

解析：∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β＜sin α+sin β, ∴sin α＜sin β,α＜β. 5.已知函数f(x)=sin ωx+cos(ωx-6

π)的图象上相邻的两条对称轴间的距离是23π，则ω的一

个值是( ) A.

32 B.34 C.23 D.4

3

答案：A

解析：f(x)=cos 6πcos ωx+23sin ωx=3sin(ωx+6

π),T=ωπ2=2×23π?ω=32

.

6.sin α=53(2π

＜α＜π＝,tan(π-β)=21,则tan （α-2β）的值等于( )

A.-724

B.-247

C.724

D.24

7

答案：D

解析：tan α=-43，tan β=-21,tan2β=-34,∴tan(α-2β)=247

. 7.函数y=12sin(2x-6π)-5sin(2x+3

π

)的最大值是( )

A.5

B.12

C.13

D.15

答案：C

解析：函数解析式可化为y=21sin(2x-6π)-5cos(2x-6π)=13cos(2x-6π

+φ).最大值为13. 8.已知2sin θ=1+cos θ,则cot 2θ

的值为（ ）

A.2

B.2

1

C.0

D.1或0

答案：D

解析：2cos 2θ·sin 2θ=2cos 22θ cos 2θ (sin 2θ-cos 2θ)=0.

当cos 2θ=0时,cot 2θ

=0；

当sin 2θ-cos 2θ=0时，cot 2

θ=1.

9.已知tan （α+β）=52,tan(β-4π)=4

1,那么αα

tan 1tan 1-+的值是（ ）

A.1813

B.223

C.2213

D.18

3 答案：B

解析：ααtan 1tan 1-+=tan （α+4π）=tan ［（α+β）-(β-4π)］=

22

3)

4

tan()tan(1)

4tan()tan(=-++--+πββαπ

ββα. 10.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如右图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则sin 2θ-cos 2θ的值等于（ ）

A.1

B.-2524

C.257

D.-25

7 答案：D

解析：由已知可得大正方形的边长为1，小正方形的边长为

51，即有cos θ-sin θ=5

1

,平方有

2sin θ·cos θ=

25

24，∴sin θ+cos θ=57cos sin 21)cos (sin 2

=?+=+θθθθ.

∴sin 2θ-cos 2θ=57(-51)=-257

.

11.函数y=21cosx+2

1

|cosx|的图象是（ ）

答案：C 解析：当x ∈(

2π

,π)时,cosx ＜0,∴y=21cosx+2

1|cosx|=0.由此可排除A 、B 、D 选C. 12.已知函数y=2sin(ωx+φ)为偶函数（0＜φ＜π）,其图象与直线y=2相邻的两个交点的横

坐标分别为x 1、x 2，且|x 1-x 2|=π，则（ ）

A.ω=2,φ=

2π B.ω=21,φ=2π

C.ω=21,φ=4π

D.ω=2,φ=4

π

答案：A

解析：由图易知T=π，∴ω=2. 又y=2sin(ωx+φ)为偶函数，故φ=

2

π. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13.(2006江苏金陵中学模拟，14)计算：

20

cos 20sin 10cos 2-=____________________. 答案：3

解析：原式=

20

cos 20sin 20sin 30sin 220cos 30cos 220cos 20sin )2030cos(2-+?=-- =2cos30°=3.

14.设f(x)=msin(πx+a 1)+ncos(πx+a 2),其中m 、n 、a 1、a 2都是非零实数，若f(2 005)=1,则f(2

006)=______________.

答案：-1

解析：f(2 005)=-msina 1-ncosa 2=1，∴f(2 006)=msina 1+ncosa 2=-1.

15.一树干被台风吹断折成与地面成30°角，树干底部与树尖着地处相距20 m ，则树干原来的高度是_____________. 答案：203 m

解析：如右图，设树干AB 在C 处折断，树尖在D 处，则∠CDA=30°，AD=20 m,于是AC=20tan30°=

3320，DC=20cos30°=3

3

40.

∴AB=AC+CD=

3320+3

3

40=203(m). 16.(2006湖北黄冈中学模拟，16)函数y=sin(ωx+φ),ω＞0.φ∈(-2π,2

π

),它的最小正周期为π，且其图象关于直线x=12

π

对称，则在下面四个结论中： ①图象关于点（

4π，0）对称； ②图象关于点（3π

，0）对称； ③在［0，6π］上是增函数； ④在［-6

π

，0］上是增函数.

所有正确结论的序号为________________.

答案：②④ 解析：T=ω

π

2＝π?ω=2,即y=sin(2x+φ).

又2×

12π+φ=k π+2π,φ=k π+3π,k ∈Z ,因φ∈(-2π,2π), 故φ=3π,∴y=sin(2x+3

π).

作函数的图象知②④正确.

三、解答题（17—21每小题12分，22题14分，共74分） 17.已知f(x)=-4cos 2x+43sinxcosx+5,x ∈R . (1)求f(x)取得最大值时x 的集合； （2）求f(x)的单调增区间. 解析：f(x)=-4·

3222cos 1++x sin2x+5=23sin2x-2cos2x+3=4sin(2x-6

π

)+3.

(1)令2x-6π=2k π+2π,解得x=k π+3

π

,k ∈Z 所以f(x)取得最大值时，x 的集合为{x|x=3

π

+k π,k ∈Z }.

(2)∵-2π+2k π≤2x-6π≤2π+2k π,∴k π-6π≤x ≤k π+3

π.

∴f(x)的增区间是［k π-6π,k π+3

π

］,k ∈Z .

18.已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx).

(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；

（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y=f(x)在区间［-

2π，2

π

］上的图象.

解析：(1)f(x)=2sin 2x+2sinxcosx =1-cos2x+sin2x =1+2(sin2xcos 4π-cos2xsin 4

π) =1+2sin(2x-

4

π). 所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为1+2. x -

8

3π -

8π 8

π 8

3π 8

5π y

1

1-2

1

1+2

1

故函数y=f(x)在区间［-

2，2

］上的图象如下图：

19.已知函数f(x)=a(2cos 2

2x

+sinx)+b.

(1)若a=1，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若a ＜0，且当x ∈［0,π］时，函数f(x)的值域是［3，4］,求a 和b 的值. 解析：当f(x)=a(1+cosx+sinx)+b ， (1)当a=1时，f(x)=2sin （x+4

π

）+1+b. 令2k π-

2π≤x+4π≤2k π+2π, 则2k π-43π≤x ≤2k π+4

π

,k ∈Z . 故f(x)单调递增区间为［2k π-43π,2k π+4π

］,k ∈Z . 同理，f(x)单调递减区间为［2k π+4

π,2k π+45π

］,k ∈Z ;

(2)当x ∈［0,π］时，2sin （x+4

π

）∈［-1,2］

又a ＜0，故f(x)∈［2a+a+b,b ］ ∴???=-=??

?==++.

4,

21,4,3)12(b a b b a 即

20.求f(x)=

)

cos 34)(sin 34(1

x x --的值域.

解析：y=(4-3sinx)(4-3cosx) =16-12(sinx+cosx)+9sinxcosx, 令sinx+cosx=t(|t|≤2),

则sinxcosx=2

1

2-t ,

∴y=16-12t+9×212-t =29t 2-12t+223=29(t-34)2+2

7

.

∵

3

4

∈［-2,2］, ∴当t=34时,y min =2

7.

当t=-2时,y max =17+122+

2

2

244127+=, ∴

2

24412+≤f(x)≤72

,

即f(x)的值域为［

7

2

,52924882-］.

21.(2006全国大联考,17)已知f(x)=x

x x cot 11

2cos 2sin ++-,试求:

（1）化简f(x);

（2）若sin(x+

4π)=53,且4

π＜x ＜43π,求f(x)的值.

解析：(1)f(x)= x

x

x cot 12cos 2sin +-

=x x x x x sin cos 11sin 21cos sin 22+

++-

=x

x x x x cos sin )sin (cos sin 22++=2sin 2x.

(2)求f(x)即求sinx,此处x 为未知角.已知x+4π,而x=(x+4π)-4

π, ∴可把x 化成已知. ∵

4π＜x ＜34π,∴2π＜x+4

π

＜π. ∴cos(x+

4

π)=-)4(sin 12

π+-x =-54.

∴sinx=sin ［(x+

4π)-4π］=sin(x+4π)cos 4π-cos(x+4π)sin 4π=

2107

. ∴f(x)=2sin 2x=25

49

.

22.已知函数f(x)=Asin ωx+Bcos ωx(其中A 、B 、ω是实常数，且ω＞0)的最小正周期为2，并当x=

3

1

时f(x)取得最大值2. (1)求函数f(x)的表达式；

（2）在闭区间［

4

23

,421］上是否存在f(x)的图象的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，说明理由. 解析：(1)f(x)=22B A +sin(ωx+φ),其中tan φ=

A

B ， 由题意ω

π

2=2,∴ω=π.

∴f(x)=22B A +sin(πx+φ).

当x=

31

时f(x)max =2. 由????

?????==+=+.

tan ,2,1)31sin(2

2A B

B A ??π可得A=3，B=1.取φ=6π,

∴f(x)=2sin(πx+6π

).

(2)令πx+6π=k π+2

π,k ∈Z ,得f(x)的对称轴方程为x=k+31,满足421≤k+31≤423

,

即1259≤k ≤1265的整数k 只有k=5.故在闭区间［4

23,421］上有且只有f(x)的一条对称轴，其方程为x=3

16

.