晶胞与空间点阵的关系
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1 空间点阵与晶体结构的异同
1 空间点阵与晶体结构的异同空间点阵晶体结构人为的、抽象的几何图形客观的具有具体的物质内容，其基本的单元是结构单元(原子或离子）组成空间点阵的结点是没有物质内容的几何点结构单元与结点在空间排列的周期是一致的,或者说它们具有同样的T矢量；抽象的空间点阵不能脱离具体的晶体结构而单独存在，所以它不是一个无物质基础的纯粹的几何图形。
这种抽象能更深入地反映事物的本质与规律，因此是一个科学的抽象。
空间点阵只是一个几何图形,它不等于晶体内部具体的格子构造，是从实际晶体内部结构中抽象出来的无限的几何图形.虽然对于实际晶体来说，不论晶体多小,它们所占的空间总是有限的，但在微观上，可以将晶体想象成等同点在三维空间是无限排列的。
2 在同一行列中结点间距是相等的；在平行的行列上结点间距是相等的；不同的行列，其结点间距一般是不等的(某些方向的行列结点分布较密；另一些方向行列结点的分布较疏。
）3 面网密度:面网上单位面积内结点的数目面网间距:任意2个相邻面网的垂直距离相互平行的面网的面网密度和面网间距相等面网密度大的面网其面网间距也大4 宏观晶体中对称要素的集合，包含了宏观晶体中全部对称要素的总和以及它们相互之间的组合关系（1）对称变换的集合——对称变换群（2）对称要素的集合——对称要素群合称对称群在宏观晶体中所存在的对称要素都必定通过晶体的中心，因此不论对称变换如何,晶体中至少有一个点是不变的，所以将对称型称为点群,该点称为点群中心5 点阵几何元素的表示法☆坐标系的确定任一点阵结点—--—————---—坐标原点单位平行六面体的三个互不平行的棱———坐标轴点阵常数a、b、c所代表的三个方向--—x、y、z轴坐标单位：a、b、c☆结点的位置表示法以它们的坐标值来表示的.6 晶向的表示法晶向—空间点阵中由结点连成的结点线和平行于结点线的方向晶向指数uvw—通过原点作一条直线与晶向平行,将这条直线上任一点的坐标化为没有公约数的整数。
固体无机化学-晶体学基础2
ree－ four－ three－index system four－index system
l） （h k l） l） （h k i l） i ＝ - h＋k ） （
[U V W] [u v t w] U = u - t, V = v - t, W = w 1 1 u = [2U - V], v = [2V - U], t = -(u + v), w = W 3 3
（Miller Indices of Crystallographic Direction and Planes） 前已指出，任何阵点的位置可由矢量ruvw和该点阵的坐标u,v,w来确定。 同样晶向OP可沿a,b,c三个方向分解为三个矢量，即 1．阵点坐标 op = xa + yb + zc 2.晶向指数（Orientation index）
宏观对称要素— 宏观对称要素—回转对称轴
二维晶胞的密排图形
宏观对称要素— 宏观对称要素—对称面
1 晶体通过某一平面作 镜像反映而能复原， 则该平面称为对称面 或镜面。 2 对称面用符号 m 表示。
宏观对称要素宏观对称要素-对称中心
1 如果位于晶体中心O点一边 的每点都可在中心的另一边 得到对应的等同点，且每对 点子的连线均通过O点并被 它所等分，则此中心点称为 晶体的对称中心 对称中心。或称为反 对称中心 演中心。即晶体的每一点都 可借以O点为中心的反演动 作而与其对应点重合。 2 对称中心用符号 z 表示。
1 对称要素构成一些动作，即晶体经过这些动作 之后所处的位置与其原始位置完全重合，也就 是晶体上每一点的新旧位置都完全重合。 2 晶体的对称要素可分为宏观和微观两类。宏观 对称要素反映出晶体外形和其宏观性质的对称 性。而微观对称要素与宏观对称要素配合运用 就能反映出晶体中原子排列的对称性。
l） （h k l） l） （h k i l） i ＝ - h＋k ） （
[U V W] [u v t w] U = u - t, V = v - t, W = w 1 1 u = [2U - V], v = [2V - U], t = -(u + v), w = W 3 3
（Miller Indices of Crystallographic Direction and Planes） 前已指出，任何阵点的位置可由矢量ruvw和该点阵的坐标u,v,w来确定。 同样晶向OP可沿a,b,c三个方向分解为三个矢量，即 1．阵点坐标 op = xa + yb + zc 2.晶向指数（Orientation index）
宏观对称要素— 宏观对称要素—回转对称轴
二维晶胞的密排图形
宏观对称要素— 宏观对称要素—对称面
1 晶体通过某一平面作 镜像反映而能复原， 则该平面称为对称面 或镜面。 2 对称面用符号 m 表示。
宏观对称要素宏观对称要素-对称中心
1 如果位于晶体中心O点一边 的每点都可在中心的另一边 得到对应的等同点，且每对 点子的连线均通过O点并被 它所等分，则此中心点称为 晶体的对称中心 对称中心。或称为反 对称中心 演中心。即晶体的每一点都 可借以O点为中心的反演动 作而与其对应点重合。 2 对称中心用符号 z 表示。
1 对称要素构成一些动作，即晶体经过这些动作 之后所处的位置与其原始位置完全重合，也就 是晶体上每一点的新旧位置都完全重合。 2 晶体的对称要素可分为宏观和微观两类。宏观 对称要素反映出晶体外形和其宏观性质的对称 性。而微观对称要素与宏观对称要素配合运用 就能反映出晶体中原子排列的对称性。
材料科学基础第2章
晶胞示意图
晶胞大小和形状表示方法
晶胞大小和形状表示方法为：
晶胞的棱边长度ａ、ｂ、ｃ（称为点阵常数、晶格常 数(lattice constants/parameters))； 棱边的夹角为α、β、γ（称为晶轴间夹角）。 选取晶胞的原则： 1、应反映出点阵的高度对称性 2、棱和角相等的数目最多 3、棱边夹角为直角时，直角数目最多 4、晶胞体积最小
晶面指数（hkil）其中i=-（h+k）
晶向指数 [uvtw] 其中t=-（u+v）
六方晶系按两种晶轴系所得的晶面指数和晶向 指数可相互转化：
六方晶系的晶向（面）指数示意图
六方晶系的一些晶向（面）指数
4.晶带
晶带——所有平行或相交于同一直线的晶面构成一个 晶带，此直线称为晶带轴。属此晶带的晶面称为共 带面。 晶带定理：同一晶带上晶带轴[uvw]和晶带面（hkl） 之间存在以下关系：hu+kv+lw=0 通过晶带定理可以求晶向指数或晶面指数。 a) 求两不平行的晶面（h1k1l1）和（h2k2l2）的晶 带轴。 b) 求两个不平行的晶向[u1v1w1]和[u2v2w2]所决定 的晶面。
面心立方八面体间隙面心立方Biblioteka 面体间隙面心立方四面体间隙
面心立方四面体间隙
面心立方原子堆垛顺序
面心立方晶体的 ABCABC 顺序密堆结构
2.体心立方晶格(特征）
原子排列:晶胞八个顶角和晶胞体心各有一个原子 点阵参数:a=b=c，α=β=γ=90º 晶胞中原子数:n=8×1/8＋1=2个 3 原子半径: 4R 3a, R a
三种典型金属晶体结构刚球模型
三种典型金属晶体结构晶胞原子数
原子半径与晶格常数
三种典型金属晶格密排面的堆垛方式
材料的晶体结构
正交晶系一些重要晶向的晶向指数
一、晶向与立方晶系晶向指数源自试说明一个面心立方等于一个体心四方结构。
01
02
在立方系中绘出｛110｝、｛111｝晶面族所包括的晶面，及（112）和（1 0）晶面。
三、六方晶系晶面与晶向指数
1、晶面指数：
建立坐标系：在六方晶系中，为了明确的表示晶体底面的(六次)对称性，底面用互成120度的三个坐标轴x1、x2、x3，其单位为晶格常数a，加上垂直于底面的方向Z，其单位为高度方向的晶格常数c。注意x1、x2、x3三个坐标值不是独立的变量。 方法同立方晶系， (hkil)为在四个坐标轴的截距倒数的化简，自然可保证关系式h＋k＋I＝0。底面指数为(0001),侧面的指数为(1010)。
晶向指数：表示晶向方位符号。 标定方法： 建立坐标系 结点为原点，三棱为方向，点阵常数为单位 ； 在晶向上任两点的坐标(x1,y1,z1) (x2,y2,z2)。(若平移晶向或坐标，让第一点在原点则下一步更简单)； 计算x2-x1 ： y2-y1 ： z2-z1 ； 化成最小、整数比u：v：w ； 放在方括号[uvw]中，不加逗号，负号记在上方 。
晶体结构则是晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列，因此，实际存在的晶体结构是无限的。
晶面指数：表示晶面方位的符号。 标定方法： 建立坐标系 结点为原点，三棱为方向，点阵常数为单位 （原点在标定面以外，可以采用平移法）； 晶面在三个坐标上的截距a1 a2 a3 ； 计算其倒数 b1 b2 b3 ； 化成最小、整数比h：k：l ； 放在圆方括号(hkl)，不加逗号，负号记在上方 。
一、体心立方
第二节 纯金属常见的晶体结构
原子位置 立方体的八个顶角和体心
无机材料科学基础---第二章晶体结构
13．在石英的相变中，属于重建型相变的是 AC，属于位移式相变的是 BD 。（A α-石英→α-鳞石英；B α-石英→β-石英；C α-鳞石英 →α-方石英；D α方石英→β-方石英） P C I F 三、（1）a≠b≠c，α＝β＝γ＝ 90°的晶体属什么晶系？（2） 三斜 √ a≠b≠c，α≠β≠γ≠90°的晶 单斜 √ √ 体属什么晶系？（3）你能否据此 斜方 √ √ √ √ 确定这两种晶体的布拉维点阵？ （1）斜方晶系（2）三斜晶系（3） 三方 √ 由左表可见，三斜晶系可以确定， 四方 √ √ 而斜方晶系不能确定 六方 √ 等轴 √ √ √
比 3:2:1 五、以NaCl 晶胞为例，说明面心立方紧密堆积中的八面体和四面体空隙的位置和 数量。 Z(Na)=1/8×8+1/2×6=4；Z(Cl)=1+1/4×12=4；Z=4
四面体数量：8 （1/4，1/4，1/4）；（1/4，1/4，3/4）；（1/4， 3/4，1/4）；（1/4，3/4，3/4）；（3/4，1/4，1/4）；（3/4，1/4， 3/4）；（3/4，3/4，1/4）；（3/4，3/4，3/4）各有一个四面体空隙 八面体数量：4 （0,0.5,0）组成1个八面体空隙；（0.5，0，0）组成1 个八面体空隙；（0，0，0.5）组成1个八面体空隙；（0.5；0.5； 0.5）组成1个八面体空隙 六、计算体心立方、面心立方、密排六方晶胞中的原子数、配位数、致 密度。 Z=2
结构类型 [SiO4]共用O2数 形状 络阴离子 [SiO4]2[Si2O7]6[Si3O9]2[Si4O12]8[Si6O18]12[Si2O6]4[Si4O11]6[Si4O10]4[SiO2][AlSi3O8][AlSiO4]Si:O 实例
岛状 0 组群状 1 2 2 2 链状 2 3 层状 3 架状 4
1.3布喇菲空间点阵、原胞、晶胞
2
2
a2 a i j k 1 a b c
2
2
ai
a
1
a3 i j k a b c
2
2
平均每个晶胞包含2个格点。
1 原胞体积为晶胞体积的 2
原胞的体积
Ω a1 a2 a3 1 a3 2
碱金属Li,Na,K,Rb,Cs以及过渡金属α-Fe,Cr（铬）,Mo
2
2
平均每个晶胞包含4个格点。
原胞的体积 Ω a1 a2 a3 1 a3 为晶胞体积的 1
4
4
贵金属Cu,Ag,Au及Pb,Ni,Al等属于面心立方结构。
19:35
(c)体心立方(Body Centered Cubic)
ak
a1
a2 aj
a3
a1 a i j k 1 a b c
➢ 晶胞的体积是原胞体积的整数倍；
➢晶胞中平均包含不止一个格点。（晶格常数a通常指单胞的边长）
19:35
原胞基矢通常用 a1 , a2 , a3 表示。
体积为： Ω a1 a2 a3
基矢：晶胞的基矢一般用 a, b, c 表示。
体积为： v a b c n Ω
19:35
三、 立方晶系晶格原胞、基矢选取实例
19:35
§1.3 布喇菲空间点阵、原胞、晶胞
简单晶格结构周期性描述起来很方便，而复式晶格描述起 来很麻烦，为集中反映晶体结构的周期性，引入点阵概念。
布喇菲提出空间点阵学说：晶体内部结构可以看成是由一
些相同的点子在空间作规则的周期性的无限分布。
人们把这些点子的总体称为布拉菲点阵。它是对实际晶 体的一个数学抽象，只反映晶体结构的周期性，（平移对 称性）。 空间点阵中的点子称为结点。
材料科学基础第二章
y
[111]
x
[111]
例：画出晶向
[112 ]
2.立方晶系晶面指数
晶面指数的确定方法
（a)建立坐标系，结点为原点， 三棱为方向，点阵常数为单位 （原点在标定面以外，可以采 用平移法）； (b)晶面在三个坐标上的截距a1 a2 a3 ； (c)计算其倒数 b1 b2 b3 ； (d)化成最小、整数比h：k：l ； 放在圆方括号(hkl)，不加逗号， 负号记在上方 。
3.六方晶系晶面和晶向指数
三指数表示六方晶系晶面和晶向的缺点：晶体学上等价的 晶面和晶向不具有类似的指数。 例：
晶面指数
(11 0)
（100）
[010] [100]
从晶面指数上不能明确表示等同晶面，为了克服这一缺点， 采用a1、a2、a3及c四个晶轴， a1、a2、a3之间的夹角均 为120º ，晶面指数以（hkil）表示。 根据立体几何，在三维空间中独立的坐标轴不会超过三 个可证明 ： i= - (h+k) 或 h+k+i=0
六方晶系
d hkl
h k l a b c
2 2 2
d hkl
a h2 k 2 l 2
1 l c
2
4 h 2 hk k 2 3 a2
注：以上公式是针对简单晶胞而言的，如为复杂晶胞， 例如体心、面心，在计算时应考虑晶面层数增加的影 响，如体心立方、面心立方、上下底（001）之间还有 一层同类型晶面，实际
[1 00 ]
[0 1 0]
[010]
[1 00]
y
[100]
x
[00 1]
第2章 材料中的晶体结构
b. 已知两不平行晶向[u1v1w1]和[u2v2w2 ]，由其决定的 晶面指数(hkl)为：
h v1 w 2 v 2 w 1 , k w 1u 2 w 2 u 1, l u 1 v 2 u 2 v1
补充
cos
2
(对于立方晶系)
两个晶面（h1k1l1）与（h2k2l2）之间的夹角φ
h h
1 2
k k
1 2
2
2
ll
1
2 2 2
(h1
k
2 1
l1 )
(h 2
k
l
2 2
)
两个晶向[u1v1w1]与[u2v2w2]之间的夹角θ
cos
2
u u
1
2
vv
1 2
2
w w
1 2
2
(u 1
v
2 1
w1)
(u 2
v
2 2
w
2 2
)
晶面（hkl）与晶向[uvw]之间的夹角ψ
晶向指数用[uvtw] 来表示。其中 t =－（u＋v）
120° 120°
晶面指数的标定
1.求晶面与四个轴的截距
2.取倒数
3.再化成简单整数
4.用圆括号括起来（h k i l）
六方系六个侧面的指数分别为：
(1 1 00),(01 1 0),(10 1 0),(1 100),(0 1 10),(1 010)
(210)
(012)
(362)
注意
选坐标原点时，应使其位于待定晶面以外，防止 出现零截距。 已知截距求晶面指数，则指数是唯一的；而已知 晶面指数，画晶面时，这个晶面就不是唯一的。
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晶体结构＝点阵结构＝点阵＋结构基元
结构基元 每个点阵点所代表的具体内容。
2019/6/1
7
第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
(1) 直线点阵
以直线连接各个阵点形成的点阵称为直线点阵。 a
a —直线点阵的单位矢量，因是平移时阵点 复原的最小距离, 故为平移素向量或素单位 。
b
b=2a
含有两个以上阵点的单位为复单位或复向量。
实例 NaCl(100)晶面如何抽象成点阵？
点阵结构
2019/6/1
点阵
20
第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
(3) 空间点阵
向空间三维方向伸展的点阵称为空间点阵。
空间点阵与正当空间格子
2019/6/1
21
第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
划分空间格子的原则 尽可能选具有较规则形状的、体积较小的 平行六面体单位。按此规则划分出的格子称为正 当格子。
点阵结构中存在点阵，点阵的表 示符号用平移群。
2019/6/1
24
第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
三、晶 胞
1 晶胞的定义 晶体结构的基本重复单元称为晶胞。
晶胞与空间点阵的关系
晶体结构 点阵结构 空间点阵 结构基元
晶 胞 空间点阵单位 结构基元
2019/6/1
25
第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
晶体的理想外形具有特定的对称性，这是内 部结构对称性的反映。晶体结构的周期大小和X 射线的波长相当，使它成为天然的三维光栅，能 够对X射线产生衍射。而晶体的X射线衍射，成为 了解晶体内部结构的重要实验方法。
2019/6/1
4
第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
4 晶体具有确定的熔点
2019/6/1
5
2019/6/1
2
第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
2 晶体的自范性
在理想生长环境中, 晶体能自发地形成规则 的凸多面外形。
凸多面体的晶面数（F）、晶棱数（E）和 顶点数（V）相互之间的关系符合欧拉定理：
F+V=E+2
2019/6/1
3
第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
3 晶体的对称性和对X射线的衍射
平面格子正当点阵单位
正方格子
六方格子
矩形格子
矩形带心 平行四形 格 子格 子
2019/6/1
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
实例 如何从石墨层抽取平面点阵？
2019/6/1
b a
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
为什么不能将每个碳原子都抽象成点阵点？
?
2019/6/1
19
第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
10
第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
一维周期性结构及其直线点阵
2019/6/1
11
第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
(2) 平面点阵
在二维方向上排列的阵点，即为平面点阵。
b a
2019/6/1
12
第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
平面点阵可划分为一组相互平行的直线点 阵, 选择两个不平行的单位向量 a和 b ,可将 平面点阵划分为并置的平行四边形单位, 称为 平面格子。
阵 (2) 每个阵点必须处于相同的环境；
的 性
(3) 用该点阵所对应的平移群中的向量作用
质 到一个阵点上，必然指向一个新阵点。
2019/6/1
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质3 点阵结构、点阵与平 Nhomakorabea群三者的关系
点阵结构是一个具体的图形（无限的周 期结构），点阵是由点阵结构抽象出的几何 元素，而平移群则是该无限图形对称元素的 代数表达式。
第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
二、晶体结构的点阵理论
１ 点阵结构与点阵
点阵结构
晶体内部微粒呈周期性规律排布的结构，称 为点阵结构。
晶体结构＝点阵结构＝无限的周期结构
2019/6/1
6
第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
点阵结构的两个要素
点阵
周期重复的内容 周期重复的大小与方向
点按一定周期在空间排列出的无限几何图形。
正当空间格子只有 7 种形状 14 种型式。 空间点阵对应的平移群
Tmnp ma nb pc m,n, p=0, 1, 2,
2019/6/1
22
第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
2 点阵的严格定义
按连接其中任意两点的向量进行平移能 够复原的一组点的全体, 称为点阵。
点 (1) 点阵点必须无穷多；
2019/6/1
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
b a
二维点阵格子的划分
2019/6/1
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
平面点阵参数
a a,b b, ab
a, b的选取方式不同平面格子的划分就不同。
当一个格子中只有一个点阵点时, 称为素格子； 当一个格子中含有一个以上点阵点时, 称为复格子。
第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
晶体的定义
由原子、分子或离子等微粒在空间按一定规律、 周期性重复排列所构成的固体物质。
晶体与非晶体结构示意图
2019/6/1
1
第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
§7-1 晶体结构的周期性和点阵理论 一、晶体的特性
1 晶体的均匀性与各向异性
晶体的一些与方向无关的量（如密度、化学组 成等）在各个方向上是相同的；而另外一些与方向 有关的量（如电导、热导等）在各个方向上并不相 同.例如, 云母的传热速率, 石墨的导电性能等。
2019/6/1
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
平面点阵对应的平移群
Tmn ma nb m, n 1, 2,
划分平面格子的原则 能够保持点阵整体的宏观对称性，具有尽可 能多的直角，且含点阵点最少的平面格子，称为 正当格子，或正当点阵单位。
2019/6/1
16
第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
2 晶胞的两个要素
晶胞的大小与形状
由晶胞参数a, b, c；α, β, γ表达。
晶胞的内容
晶胞中原子的种类、数目及位置, 由 分数坐标表达。
2019/6/1
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
3 晶轴系及分数坐标
取晶体中三个互不平
行而且相交于一点的三个
晶 轴
晶棱，呈右手系建立坐标
系
系，取晶胞参数的三个素
2019/6/1
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
直线点阵对应的平移群
Tm ma m 1, 2,
结论
点阵是晶体结构周期性的几何表达，平移 群则是点阵的数学表达式，Tm已知，直线点 阵可知。
2019/6/1
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第七章 晶体的点阵结构和晶体的性质
2019/6/1
一维周期性结构及其直线点阵