(完整版)朝阳初三第一学期期末数学试题及答案
图2
29．在平面直角坐标系 xOy中， e C 的半径为 r （r ＞1）， P 是圆内与圆心 C 不重合的点，
e C的“完美点”的定义如下：若直线．． CP与 e C交于点 A，B，满足 PA PB 2 ，则
称点 P 为 e C的“完美点”，下图为 e C 及其“完美点” P 的示意图 .
(1) 当 e O 的半径为 2 时，
17．计算： 2sin 45o tan 60o 2cos30 o 12 .
18．如图，△ ABC中，点 D 在边 AB 上，满足∠ ACD=∠ABC，若 AC= 的长 .
3 ，AD= 1 ，求 DB
19．已知二次函数 y ax 2 bx c(a 0) 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：
24．如图，用一段长为 40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃 为 x m，矩形的面积为 y m2.
（1）写出 y 与 x 的函数关系式；
ABCD，墙长 28m.设 AB长
A
D
（2）当 AB长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？
B
C
（3）当花圃的面积为 150m2 时， AB长为多少米？
）
(A) I 3
(B) I
6
3
R
R
(C) I 3 R
6 (D) I
R
O2
R/Ω
8．如图，⊙ O 是△ ABC的外接圆， AD是⊙ O的直径，若⊙ O的半径为 5，AC=8. 则 cosB 的
A
值是（ ）
4
(A)
(B)
3
(C)
3
(D)
4
3
5
4
5
O
B
C
D
9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有这样一个问题：“今有勾八
tan
B=
1 2
，点1
D为
AC边上的动
点（不与点
A，C重合），将线段
OD绕点
O顺时针旋转 90°，交 –4 –3 –2
–B1CO于点
E. 1
2
3
4
x
–1
如图 1，若 O为 AB边中点， D 为 AC边中点，则 OE 的值为 ；
OD
–2
（2）若 O为 AB边中点， D 不是 AC边的中点，
①请根据题意将图 2 补全；
①二次函数 y1 有最大值 ②二次函数 y1 的图象关于直线 x 1 对称 ③当 x 2 时，二次函数 y1 的值大于 0 ④过动点 P( m，0) 且垂直于 x 轴的直线与 y1，y2 的图象的交点分别
y
3 2
1
–3 –2 –1 O 1
–1
–2
2 3x
为 C，D，当点 C 位于点 D 上方时， m的取值范围是 m＜ -3 或 m＞-1 ．
2
A O
26．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数 y= - x2+2 x +1 的图象和性质进行了
探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量 x 的取值范围是全体实数， x 与 y 的几组对应数值如下表：
x
…
-3
-2 -1
0
1
2
3
…
y
…
-2
m2
1
2
1
-2 …
其中 m=
；
（2）如下图，在平面直角坐标系 xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，
②作线段 BC的垂直平分线 n，与直线 m交于点 O；
是
；
③以点 O为圆心， OA为半径作 △ABC的外接圆；
④在弧 ACB上取一点 P，连结 AP，BP.
（
2
）
∠
APB=
∠
ACB
的
依
据
是
．
三、解答题 （本题共 72 分，第 17-26 题每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分）
其中正确的是（
）
(A) ①③
(B) ①④
(C) ②③
二、填空题 （本题共 18 分，每小题 3 分）
(D) ②④
11. 将二次函数 y=x2-2 x-5 化为 y=a( x-h ) 2+k 的形式为 y=
．
12．抛物线 y x2 2x m 与 x 轴有两个公共点，请写出一个符合条件的表达式
为
．
y
13. 如图，若点 P 在反比例函数 y
17. 解： 2sin 45 tan60 2cos30 12
2．
18. 解：∵ ACD ABC ,
A A， ∴△ ACD∽△ ABC． ∴ AC AD ．
AB AC
31
∴
．
AB 3
∴ AB 3 ．
∴ DB 2 ．
19. 解： (1)
②小军通过观察、实验，提出猜想： 点 D 在 AC边上运动的过程中，（ 1）中 OE 的
OD
值不变 . 小军把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了求 OE 的值的几
OD
种想法：
想法 1：过点 O作 OF⊥AB交 BC于点 F，要求 OE 的值，需证明 △OEF∽△ ODA.
OD
想法 2：分别取 AC，BC的中点 H，G，连接 OH， OG，要求 OE 的值，需证明 △OGE∽△
1365 2245 3644 7272 13680 18160 27300
m
发芽种子频率
n
0.899
0.89 0.91 0.90
0.910
8
1
9
0.912
0.908
0.910
则该作物种子发芽的概率约为
．
15. 如图，△ ABC中， D、E 分别是 AB、AC边上一点，连接 DE．请你添加一个条件，使△ ADE ∽ △ ABC， 则 你 添 加 的 这 一 个 条 件 可 以 是
根据描出的点，画出该函数的图象；
y
3
（ 3）根据函数图象，写出 :
2
①该函数的一条性质
；1
–3 –2 –1 O 1 2 3 x
②直线 y=kx+b 经过点（-1 ，2），若关于 x 的方程 - x2+2 x +1=kx+b 有–14 个互不相等
–2
的实数根，则 b 的取值范围是
.
27．在平面直角坐标系 xOy中，直线 y= 1 x+n 经过点 A(-4, 2) ，分别与 x，y 轴交于点 B， 4
3 (x 0) 的图象上， 过点 P 作 PM⊥x 轴于
P
N
x
点 M，
M
Ox
PN⊥y 轴于点 N，则矩形 PMON的面积为
.
14．某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如下表所示：
种子个数 n
1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000
发芽种子个数 m 899
C，抛物线 y= x2-2 mx+m2- n 的顶点为 D.
(1) 求点 B，C的坐标；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2) ①直接写出抛物线顶点 D的坐标（用含 m的式子表示）；
y
②若抛物线 y= x2-2 mx+m2- n 与线段 BC有公共点，求 m的取值范围 .3
2
28．在 Rt△ABC中，∠ ACB=90°， O为 AB边上的一点，且
盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是 ( )
A
2
(A)
3
1
(B)
2
2
(C)
5
1
(D)
3
D
E
4．如图，在△ ABC中，DE∥BC，DE分别交 AB，AC于点 D，E，若 AD: DB=1:2 ， B
C
则△ ADE与△ ABC的面积之比是 ( )
(A) 1:3
(B) 1:4
(C) 1:9
(D) 1:16
北京市朝阳区 2016～2017 学年度第一学期期末检测
九年级数学试卷（选用）
( 考试时间 120 分钟 满分 120 分 ) 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）
第 1-10 题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个 . 1．二次函数 y ( x 1)2 3 的最小值是 ( )
2017.1
(A) 2
(B) 1
(D) -2
(D ) -3
2．下列事件中，是必然事件的是 ( ) (A) 明天太阳从东方升起； (B) 射击运动员射击一次，命中靶心； (C) 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数； (D) 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 .
3．一个不透明的盒子中装有 6 个大小相同的乒乓球，其中 4 个是黄球， 2 个是白球．从该
5. 已知点 A（ 1，a）与点 B（3，b）都在反比例函数 y 系是 ( )
12 的图象上，则 a 与 b 之间的关
x
(A) a＞b
(B)
a＜b
(C)
a≥ b
(D)
a=b
6. 已 知 圆 锥 的 底 面 半 径 为 2cm ， 母 线 长 为 3cm ， 则 它 的 侧 面 展 开 图 的 面 积 为 （
北京市朝阳区 2016～2017 学年度第一学期期 末检测
九年级数学试卷参考答案
及评分标准
2017.1
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）
1
2
3
4
5
D
A
A
C
B
二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分）
11
12
( x-1) 2-6
2022朝阳初三数学期末试题及答案
2022朝阳初三数学期末试题及答案朝阳区2022～2022学年九年级第一学期期末统一考试一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）1.下列图形是中心对称图形的是A.B.C.D.2.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为4cm和2cm，圆心距O1O2为6cm，则这两个圆的位置关系是A．外离B．外切C．相交D．内切A3.如图，已知△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点I是△ABC的内心，则∠BIC的度数为A.40°B.70°C.110°D.140°4.抛物线y(某2)1是由抛物线y某平移得到的，下列对于抛物线y某的平移过程叙述正确的是A．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位222IBC5.如图，⊙O的半径OC垂直于弦AB，D是优弧AB上的一点（不与点A、B重合），若∠AOC=50°，则∠CDB等于A．25°B．30°C．40°D．50°ACBDOA40mm60mmy43AB12C34某CE2m21-4-3-2-1O-1-2BD-3-46.如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽40mm，焦距是60mm，所拍摄的2m外的景物的宽CD为34mD．m237.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A(1,2)，B(1,1)，C(3,1)，将△ABCA．12mB．3mC．绕原点O顺时针旋转90后得到△A'B'C'，则点A旋转到点A'所经过的路线长为A．52B．55C．D．5242B8.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P是斜边AB 上一动点（不与点A、B重合），PQ⊥AB交△ABC的直角边于点Q，设AP 为某，△APQ的面积为y，则下列图象中，能表示y关于某的函数关系的图象大致是yyyyOO某O某某OA.B.C.D.55PCQA55某二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9.如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，且AD＝3，将△ABD绕点A旋转到△ACE的位置，连接DE，则DE的长为.BDCAE（第9题图）（第10题图）（第11题图）10.如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若该圆的半径为1，扇形的圆心角等于60°，则这个扇形的半径R的值是.11.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=4，BC=6，以点A为圆心在这个梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积是．12.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，这样的数称为“三角形数”（如图①），而把1，4，9，16，这样的数称为“正方形数”（如图②）．如果规定a11，a23，a36，a410，；b11，b24，b39，b416，；y12a1b1，y22a2b2，y32a3b3，y42a4b4，，那么，按此规定，y6，yn＝（用含n的式子表示，n为正整数）．13图①610149图②16三、解答题（共13个小题，共72分）13.（本小题满分5分）计算：tan60in2452co30.14.（本小题满分5分）如图，已知AC4，求AB和BC的长.15.（本小题满分5分）如图，□ABCD中，点E在BA的延长线上，连接CE，与AD相交于点F.（1）求证：△EBC∽△CD F；（2）若BC＝8，CD＝3，AE＝1，求AF的长．16.（本小题满分4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）.（1）若点A（52，3），则A′的坐标为；（2）若△ABC的面积为m，则△A′B′C′的面积＝.C105°30°ABEAFDBCyA'AC'CB'BO1某17.（本小题满分5分）二次函数ya某2b某c的部分图象如图所示，其中图象与某轴交于点A（－1,0），与y轴交于点C（0，－5），且经过点D（3，－8）.（1）求此二次函数的解析式；（2）将此二次函数的解析式写成ya(某h)2k的形式，并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与某轴的另一个交点B的坐标.18.（本小题满分5分）经过18个月的精心酝酿和290多万首都市民投票参与，2022年11月1日，“北京精神”表述语“爱国、创新、包容、厚德”正式向社会发布.为了更好地宣传“北京精神”，小明同学参加了由街道组织的百姓宣讲小分队，利用周末时间到周边社区发放宣传材料.第一周发放宣传材料300份，第三周发放宣传材料363份.求发放宣传材料份数的周平均增长率.19.（本小题满分5分）如图，CD与AB是⊙O内两条相交的弦，且AB为⊙O的直径，CE⊥AB 于点E，CE=5，连接AC、BD.CA5（1）若inD，则coA=；13（2）在（1）的条件下，求BE的长．OEBD20.（本小题满分5分）小红在学习了教科书上相关内容后自制了一个测角仪（图①），并尝试用它来测量校园内一座教学楼CD的高度（如图②）.她先在A处测得楼顶C的仰角30°，再向楼的方向直行10米到达B处，又测得楼顶C的仰角60°，若小红的目高（眼睛到地面的高度）AE为1.60米，请你帮助她计算出这座教学楼CD的高度（结果精确到0.1米，参考数据：21.41，31.73，52.24）.21.（本小题满分5分）已知抛物线y1某(m1)某m4与某轴交于A、B两点（点A在点B左侧），且对称轴为某=－1．（1）求m的值；（2）画出这条抛物线；（2）若直线y2k某b过点B且与抛物线交于点-4-3-2CEAαFBβGD 图①图②2y54321-1O1-1-2-3234某P（－2m，－3m），根据图象回答：当某取什么值时，y1≥y2.-4-522.（本小题满分6分）某超市销售一款进价为50元/个的书包，物价部门规定这款书包的售价不得高于70元/个，市场调查发现：以60元/个的价格销售，平均每周销售书包100个；若每个书包的销售价格每提高1元，则平均每周少销售书包2个.（1）求该超市这款书包平均每周的销售量y（个）与销售价某（元/个）之间的函数关系式；（2）求该超市这款书包平均每周的销售利润w（元）与销售价某（元/个）之间的函数关系式；（3）当每个书包的销售价为多少元时，该超市这款书包平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？23.（本小题满分6分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB 为半径作半圆与AB边和BC边分别交于点D、点E，连接CD，且CD=CA，BD=65，tan∠ADC=2．（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）求半圆O的直径；（3）求AD的长.ADCEOB24.（本小题满分8分）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=22，点D、E在BC边上（均不与点B、C重合，点D始终在点E左侧），且∠DAE＝45°．（1）请在图①中找出两对相似但不全等的三角形，写在横线上，；（2）设BE＝m，CD＝n，求m与n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；（3）如图②，当BE＝CD时，求DE的长；（4）求证：无论BE与CD是否相等，都有DE2=BD2+CE2.AAABDECBDECBDEC图①图②备用图25.（本小题满分8分）已知抛物线y＝a某2＋b某＋6与某轴交于A、B两点（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，且OB=11OC，tan∠ACO=，顶点为D．26（1）求点A的坐标．（2）求直线CD与某轴的交点E的坐标.（3）在此抛物线上是否存在一点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若点M（2，y）是此抛物线上一点，点N是直线AM上方的抛物线上一动点，当点N运动到什么位置时，四边形ABMN的面积S最大请求出此时S的最大值和点N的坐标．（5）点P为此抛物线对称轴上一动点，若以点P为圆心的圆与（4）中的直线AM及某轴同时相切，则此时点P的坐标为.yy8877665544332211-5-4-3-2-1O12345某-1-5-4-3-2-1O12345某-1-2-2-3-4-5-6-3-4-5-618.朝阳区2022～2022学年九年级第一学期期末统一考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）题号答案二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9.310.611.412.78，2nn（每空2分）三、解答题（共13个小题，共72分）13.（本小题满分5分）21D2B3C4A5A6D7A8C232解：原式3，3分221.5分214.（本小题满分5分）解：作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴∠ACD＝90°－∠A＝60°，CD30°2C1AC2，2ADBADACcoA23.3分在Rt△CDB中，∵∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝45°，∴BDCD2，CD22.4分in45∴ABADBD223.5分BC15.（本小题满分5分）（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD.∴△EAF∽△EBC，△EAF∽△CDF.2分∴△EBC∽△CDF.3分（2）解：∵△EAF∽△EBC，∴EAAF1AF，即.解得AF2.5分EBBC13816.（本小题满分4分）（1）（5，6）；2分（2）4m.4分17.（本小题满分5分）解：（1）由题意，有a1,b4,c5.∴此二次函数的解析式为y某24某5.2分（2）y(某2)29，顶点坐标为（2，－9），B（5，0）.5分18.（本小题满分5分）解：设发放宣传材料份数的周平均增长率为某，由题意，有300(1某)2363.3分解得某10.1，某22.1.4分∵某2.1<0，不符合题意，舍去，∴某0.110%.5分答：这两次发放材料数的平均增长率为10%.19.（本小题满分5分）（1）abc0,解得c5,9a3bc8.12.2分13C（2）解：如图，连接BC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴由（1）知AC＝13，AE12，coA在Rt△ACB中，coA∴AB12.13AOEBAC，ABD169.4分1225∴BEABAE.5分1220.（本小题满分5分）解：∵30°，60°，∴∠ECF＝＝30°.∴CFEF10.在Rt△CFG中，CGCFco53.3分∴CDCGGD531.610.3.5分答：这座教学楼的高度约为10.3米.21.（本小题满分5分）解：（1）由题意，有m11，解得m＝1.2分2（2）如图1；3分图1图2（3）如图2，某≤－2或某≥1.5分22.（本小题满分6分）解：（1）由题意，有y1002(某60)，即y2某220；2分（2）由题意，有w(某50)(2某220)，即w2某320某11000；4分（3）∵抛物线w2某320某11000的开口向下，在对称轴某80的左侧，w随22ABP某的增大而增大.由题意可知60某70，5分∴当某70时，w最大为1600.6分因此，当每个书包的销售价为70元时，该超市可以获得每周销售的最大利润1600元.23.（本小题满分6分）（1）证明：如图，连接OD，∵OD＝OB，∴∠1＝∠2.∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A.在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠1＝90°.∴∠ADC＋∠2＝90°.∴∠CDO＝90°.∵OD为半圆O的半径，∴CD为半圆O的切线.2分3AFD21CEOB（2）解：如图，连接DE.∵BE为半圆O的直径，∴∠EDB＝90°.∴∠1＋∠3＝90°.∴∠ADC ＝∠3.∴tan3∴EBBD2.∴ED35.EDBD2DE215.4分（3）解：作CF⊥AD于点F，∴AF＝DF.设DF某，∵tanADC2，∴CF＝2某.∵∠1＋∠FCB＝90°，∴FCBADC.∴tanFCB2.∴FB＝4某.∴BD＝3某＝65.解得某25.∴AD＝2DF＝2某＝45.6分24.（本小题满分8分）解：（1）△ADE∽△BAE，△ADE∽△CDA，△BAE∽△CDA；（写出任意两对即可）（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝22，由（1）知△BAE∽△CDA，∴BABE2m4.∴.∴m（2n22）.4分CDCAn2n（3）由（2）只BE·CD＝4，∴BE＝CD＝2.∴BD＝BC－CD＝222.∴DE＝BE－BD＝422.5分（4）如图，依题意，可以将△AEC绕点A顺时针旋转90°至△AFB的位置，则FB＝CE，AF＝AE，∠1＝∠2，∴∠FBD＝90°.∴DFBDFBBDCE.6分∵∠3＋∠1＝∠3＋∠2＝45°，∴∠FAD＝∠DAE.又∵AD＝AD，AF＝AE，∴△AFD≌△AED.22222222AF4132BDEC∴DE＝DF.7分∴DEBDCE.8分25.（本小题满分8分）解：（1）根据题意，得C（0,6）.在Rt△AOC中，tanACO1，OC＝6，6∴OA＝1.∴A（－1,0）.1分（2）∵OB1OC，∴OB＝3.∴B（3,0）.2ab60,由题意，得解得9a3b60.a2,b4.∴y2某24某6.∴D（1,8）.2分可求得直线CD的解析式为y2某6.∴E（－3,0）.3分（3）假设存在以点A、C、F、E为顶点的平行四边形，则F1（2,6），F2（－2,6），F3（－4,－6）.经验证，只有点（2,6）在抛物线y2某24某6上，∴F（2,6）.4分（4）如图，作NQ∥y轴交AM于点Q，设N（m,2m4m6）.当某＝2时，y＝6，∴M（2,6）.可求得直线AM的解析式为y2某2.∴Q（m，2m＋2）.∴NQ＝2m24m6(2m2)2m22m4.∵SSABMSAMN，其中SABM∴当SAMN最大时，S值最大.∵SAMNSANQSMNQ214612，213(2m22m4),23m23m6,1273(m)2.24127∴当m时，SAMN的最大值为.24∴S的最大值为当m∴N（75.6分41152时，2m4m6.22115，）.7分22（5）P1（1，51），P2（1，51）.8分说明：写成P1（1，44），P2（1，）不扣分.5151。
2022-2023学年北京朝阳区初三第一学期数学期末试卷及答案
2022-2023学年北京朝阳区初三第一学期数学期末试卷及答案一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某点旋转180度，如果旋转后得到的图形能够与原图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形，据此即可解答．【详解】A．不是中心对称图形，故不符合题意；B．不是中心对称图形，故不符合题意；C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；D．不是中心对称图形，故不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的概念．2. 下列事件中，为必然事件的是（）A. 任意画一个三角形，其内角和是180°B. 明天会下雪C. 郑一枚骰子，向上一面的点数是7D. 足球运动员射门一次，未射进【答案】A【解析】【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各个选项进行判断即可【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，故选项符合题意；B、明天会下雪是随机事件，故选项不符合题意；C、郑一枚骰子，向上一面的点数是7是不可能事件，故选项不符合题意；D、足球运动员射门一次，未射进是随机事件，故选项不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，解题关键是熟记其有关概念．3. 二次函数的顶点坐标为（ ）()212y x =-+A. B. C. D. ()1,2-()1,2-()1,2()1,2--【答案】C【解析】【分析】根据二次函数顶点式的图像与性质，直接写出二次函数的顶点坐标()212y x =-+为，即可得到答案．()1,2【详解】解：二次函数为顶点式， ()212y x =-+二次函数的顶点坐标为， ∴()212y x =-+()1,2故选：C ．【点睛】本题考查二次函数顶点式的图像与性质，熟记二次函数顶点式得到顶点坐标的方法是解决问题的关键．4. 若关于x 的方程有两个相等的实数根，则c 的值是（ ）260x x c ++=A. 36B. C. 9 D.36-9-【答案】C【解析】【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于c 的一次方程即可．2640c ∆=-=【详解】解：∵方程有两个相等的实数根260x x c ++=∴26410c ∆=-⨯⨯=解得9c =故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的跟与20(0)ax bx c a ++=≠24b ac ∆=-的关系，关键是分清楚以下三种情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当0∆>Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．Δ0<5. 如图，在中，弦，相交于点P ，，，则O AB CD 40CAB ∠=︒30ABD ∠=︒APD ∠的度数为（ ）A.B. C. D.30︒35︒40︒70︒【答案】D【解析】 【分析】由圆周角定理可得，，然后由三角形外角的性30C ABD ∠=∠=︒40CAB ∠=︒质，求得的度数．APD ∠【详解】解：∵，，30C ABD ∠=∠=︒40CAB ∠=︒∴；70APD CAB C ∠=∠+∠=︒故选：D ．【点睛】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．6. 不透明袋子中装有无差别的两个小球，分别写有“问天”和“梦天”．随机取出一个小球后，放回并摇匀，再随机取出一个小球，则两次都取到写有“问天”的小球的概率为（ ） A. B. C. D. 34121314【答案】D【解析】【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，两次都取到写有“问天”的小球的结果有1种，再由概率公式求解即可．【详解】解：设“问天”为1，“梦天”为2，画树状图如图：共有4种等可能的结果，两次都取到写有“问天”的小球的结果有1种，∴两次都取到写有“问天”的小球的概率为， 14故选：D ．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．7. 如图，正方形的边长为4，分别以为圆心，2为半径作圆，则图中ABCD A B C D ，，，阴影部分的面积为（ ）A.B. C. D.164π-162π-4π2π【答案】A【解析】 【分析】根据题意可知阴影部分的面积为正方形的面积减去四个四分之一圆的面积求解即可．【详解】解：∵正方形的边长为4，ABCD ∴正方形的面积为16，ABCD 又四个四分之一圆的面积等于一个半径为2的圆的面积为，4π∴阴影部分的面积．164π-故选：A ．【点睛】此题主要考查了圆的面积，正方形面积，解题关键是准确识图，构造等面积转化．8. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，xOy ()23y m x k =-+x (),0a (),0b 其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论a b <x (),0c (),0d c d <正确的是（ ）A. 当时，，0m >a b c d +=+b a d c ->-B. 当时，，0m >a b c d +>+b a d c -=-C. 当时，，0m <a b c d +=+b a d c ->-D. 当时，，0m <a b c d +>+b a d c -<-【答案】A【解析】【分析】由二次函数的图象和性质，对分情况讨论，根据向上平移后对称轴不变，平移m 后的交点变化，进行判断即可【详解】解：当时，抛物线开口向上，如图所示，0m >对称轴为，平移后的抛物线对称轴，3x =3x =∴，6a b +=6c d +=∴，a b c d +=+∵，，a b <c d <∴，，0a c -<0b d ->∴b d ac ->-∴b a dc ->-故A 正确，B 错误，当时，抛物线开口向下，如图所示，0m <对称轴为，平移后的抛物线对称轴，3x =3x =∴，6a b +=6c d +=∴，a b c d +=+∵，，c a <bd <∴，0a c ->0b d -<∴，a cb d ->-∴，即，d c b a ->-b a d c -<-故C 、D 错误，综上，故选：A ．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象及性质，解题关键是利用二次函数的对称性．二、填空题（共16分，每题2分）9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．()5,1【答案】()5,1--【解析】【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，然后直x y （，）x y --（，）接作答即可．【详解】解：根据中心对称的性质，可知：点关于原点O 中心对称的点的坐标为． ()5,1()5,1--故答案为：．()5,1--【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．10. 方程的根是______．240x -=【答案】，12x =-22x =【解析】【分析】根据直接开平方法求解即可．【详解】解：，240x -=，24x =∴，2x =±即，．12x =-22x =【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握用直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．11. 写出一个与抛物线开口方向相同的抛物线的表达式：______．2321y x x =-+【答案】（答案不唯一）23y x =【解析】【分析】根据二次函数性质可得抛物线的开口方向是由二次项系数符号确定的，故只要二次项系数即可．0a >【详解】解：∵抛物线开口方向向上，2321y x x =-+∴与抛物线开口方向相同的抛物线只要二次项系数，2321y x x =-+0a >∴与抛物线开口方向相同的抛物线为：，不唯一．2321y x x =-+23y x =故答案为：（答案不唯一）．23y x =【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题关键是熟记二次函数的性质．12. 如图，矩形绿地的长和宽分别为和．若将该绿地的长、宽各增加，扩充30m 20m m x 后的绿地的面积为，则y 与x 之间的函数关系是______．（填“正比例函数关系”、“一2m y 次函数关系”或“二次函数关系”）【答案】二次函数关系【解析】【分析】根据矩形面积公式求出y 与x 之间的函数关系式即可得到答案．【详解】解：由题意得， ()()2302050600y x x x x =++=++∴y 与x 之间的函数关系是二次函数关系，故答案为；二次函数关系．【点睛】本题主要考查了列函数关系式和二次函数的定义，正确列出y 与x 之间的函数关系式是解题的关键．13. 如图，，是的两条切线，切点分别为连接，，若PA PB O 圆A B ，，OA AB ，则______°．35OAB ∠=︒ABP ∠=【答案】55【解析】【分析】根据切线的性质得到，，根据为等腰三角形，即OA PA ⊥OB PB ⊥AOB ，进而可得．35OAB OBA ∠=∠=︒903555ABP OBP OBA ∠=∠-∠=︒-︒=︒【详解】解：∵，是的两条切线，切点分别为PA PB O A B ，，∴，，即，OA PA ⊥OB PB ⊥90OAP OBP ∠=∠=︒∵为等腰三角形，AOB ∴，35OAB OBA ∠=∠=︒∴．903555ABP OBP OBA ∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：55．【点睛】此题主要考查了切线的性质，等腰三角形性质，解题关键是掌握切线的性质．14. 如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有13______个．【答案】4【解析】【分析】由于转盘被分成12个大小相同的扇形，结合指针指向红色的概率为，让总份数13乘以相应概率即为红色区域的份数． 【详解】解：要使转盘停止转动时，指针落在红色区域的概率为， 13只需使红色区域占总面积的即可，而已知整个圆面被分成12等份， 13故只需使红色占到等份． 11243⨯=故涂上红色的小扇形有4个，故答案为：4．【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15. 某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如下： 种子个数100 200 300 400 500 800 1100 1400 1700 2000 发芽种子个数94 187 282 337 436 718 994 1254 1531 1797 发芽种子频率 0.940 0.935 0.940 0.843 0.872 0.898 0.904 0.896 0.901 0.899 根据试验数据，估计该种作物种子能发芽的有______．1000kg kg 【答案】900【解析】【分析】大量重复试验下种子能发芽的频率可以估计种子能发芽的概率，据此求解．【详解】解：观察表格发现随着实验次数的增多频率逐渐稳定在0.9附近，故种子能发芽的概率估计值为0.9．∴估计该种作物种子能发芽的有，1000kg ()10000.9=900kg ⨯故答案为：900(答案不唯一)．【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．16. 某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A ，B ，C 三种型号的盒子，盒子容量和单价如下表所示： 盒子型号 A B C盒子容量/升 2 3 4盒子单价/元 5 6 9其中A 型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料．（1）若购买A ，B ，C 三种型号的盒子的个数分别为2，3，4，则购买费用为______元；（2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A ，B ，C 三种型号的盒子的个数分别为______．（写出一种即可）【答案】 ①. 64 ②. 答案不唯一，如3，6，1 【解析】【分析】（1）根据题意列整式，代入数据即可求解；（2）先假设购买A 型号的盒子3个，花费15元，能存放6升材料，设购买B ，C 两种型号的盒子的个数为，， 购买B ，C 两种型号的盒子的费用为，根据题意可得：x 2234x -y ，求得x 得取值范围，分情况讨论找出符合条件的数值即可求1.7549.547y x =-+≤解．【详解】（1）购买费用为：（元），25364910183664⨯+⨯+⨯=++=故答案为：64；（2）∵购买三个及三个以上A 型号盒子可一次性返现金4元，假设购买A 型号的盒子3个，花费15元，能存放6升材料，实际花费为11元，设购买B ，C 两种型号的盒子的个数为，， 购买B ，C 两种型号的盒子的费用为x 2234x -，根据题意可得：y 223694x y x -=+⨯整理得：1.7549.5y x =-+又，1.7549.547y x =-+≤解得：， 107x ≥∵和需要同时满足正整数， x 2234x -∴当，时，购买B ，C 两种型号的盒子的费用，2x =22344x -=26494847y =⨯+⨯=≥不符合题意，当，时，购买B ，C 两种型号的盒子的费用，符6x =22314x -=66194547y =⨯+⨯=≤合题意，∴购买A ，B ，C 三种型号的盒子的个数分别为3，6，1（答案不唯一）．【点睛】本题考查一次函数的应用—方案选择问题、一元一次不等式，解题的关键是正确解读题意，找出符合条件的取值范围，注意盒子的个数需要是正整数．三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 解方程：.2430x x ++=【答案】，11x =-23x =-【解析】【分析】直接因式分解即可求解．【详解】 2430x x ++=(3)(1)0x x ++=，．11x =-23x =-【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解题关键．18. 已知二次函数几组x 与y 的对应值如下表： x … 3- 2- 1- 13 4 ... y (12)5 0 4-0 5 …（1）求此二次函数的表达式；（2）直接写出当x 取何值时，．0y ≤【答案】（1） ()214y x =--（2）13x -≤≤【解析】【分析】（1）根据表格数据特点可得出，二次函数图像经过点和点，顶点为()10-，()30，，设该二次函数的表达式为，将代入即可； ()1,4-()214y a x =--()30，（2）根据抛物线开口向上，经过点和点，根据二次函数的性质解答即可． ()10-，()30，【小问1详解】解：根据表格，二次函数图像经过点和点 ()10-，()30，对称轴为， ∴1312x -+==即顶点为，()1,4-设该二次函数的表达式为，()214y a x =--把代入，得()3,0044a =-解得：， 1a =二次函数的表达式为．∴()214y x =--【小问2详解】在中，()214y x =--函数图像经过点和点， ()10-，()30，且抛物线开口向上，当时，．∴13x -≤≤0y ≤【点睛】本题考查的是二次函数解析式，抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，掌握抛物线的对称性、灵活运用数形结合思想是解题的关键．19. 已知是关于x 的方程的一个根，求代数式的1x =2223x ax a ++=()215a a a a -++值．【答案】4【解析】【分析】先将代入方程得到，再由1x =2223x ax a ++=222a a +=，用整体代入法进行计算即可得到答案．()()222152422a a a a a a a a -++=+=+【详解】解： ()215a a a a -++225a a a a =-++．224a a =+∵是关于x 的方程的一个根，1x =2223x ax a ++=∴．2123a a ++=∴．222a a +=∴原式．()2224a a =+=【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握整体代入法进行求解．20. 下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．已知：及圆上一点A ．O 求作：直线，使得为的切线，A 为切点． AB AB O作法：如图，①连接并延长到点C ；OA ②分别以点A ，C 为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D （点D 在直线上方）； 12AC OA ③以点D 为圆心，长为半径作；DA O ④连接并延长，交于点B ，作直线．CD O AB 直线就是所求作的直线．AB 根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据） 证明：连接．AD ∵ ①AD =∴点C 在上，O ∴是的直径．CB O ∴ ② ．（ ③ ）90=︒∴ ④ ．AB ⊥∵是的直径，OA O ∴是的切线．（ ⑤ ）AB O 【答案】① ，② ，③ 直径所对的圆周角是直角，④ ，⑤ 经过半径的外CD CAB ∠OA 端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】根据画法得，则点C 在上，即是的直径即可得，CD AD =O CB O 90CAB ∠=︒即可得，根据是的直径得是的切线．AB OA ⊥OA O AB O 【详解】解：连接． AD∵，CD AD =∴点C 在上，O ∴是的直径．CB O ∴．（直径所对的圆周角是直角）90CAB ∠=︒∴．AB OA ⊥∵是的直径，OA O ∴是的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．AB O 【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握圆周角的推论，切线的判定．21. 如图，在中，，，，将绕点C 逆时针旋Rt ABC △90ACB ∠=︒3AC =4BC =ABC 转得到，使点A 的对应点D 落在边上，点B 的对应点为E ，求线段，的DEC BC BD DE 长．【答案】；1BD =5DE =【解析】【分析】根据旋转的性质可得，继而即可求解．ABC DEC ≅ 【详解】解：由旋转可得， ，ABC DEC ≅ ∴，，AB DE =AC DC =∵，3AC =∴，3DC =∵，4BC =∴，1BD =在中，根据勾股定理，得，Rt ABC △5AB ==∴．5DE =【点睛】本题考查旋转的性质和全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握并运用旋转的性质．22. 圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面1m 宽，求水的最大深度． 0.8m AB =【答案】0.8m【解析】【分析】过点作于点，连接，根据垂径定理得到，再在O OC AB ⊥C OA 0.4AC =Rt ACO 中，根据勾股定理可求出，进而即可求解．OC 【详解】解：如图，作于点，连接，OC AB ⊥C OA∵，， 90ACO ∠=︒12AC AB =∵，0.8AB =∴， 0.4AC =在中，根据勾股定理，得，Rt ACO 0.3OC ==∴，0.30.50.8+=∴水的最大深度为0.8m ． 【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，以及勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．23. 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+2m﹣1=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，且该方程的根都是整数，求m 的值．【答案】（1）m ＜；（2）m=2． 52【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可得到m 的取值范围；（2）找出m 取值范围中的正整数，然后分别代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的m 的值．【详解】（1）∵依题意，得△=（-4）2﹣4（2m﹣1）＞0，∴m＜， 52即m 的取值范围是m ＜； 52（2）∵m 为正整数，∴m=1或2，当m=1时，方程为x 2﹣4x+1=0的根不是整数；x 2=当m=2时，方程为x 2﹣4x+3=0的根x 1=1，x 2=3，都是整数，综上所述，m=2．【点睛】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2﹣4ac 有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．24. 如图，的半径与弦互相垂直，垂足为D ，连接，．O OC AB AC OB（1）求证：；290A B ∠+∠=︒（2）延长交于点，过点作的切线交的延长线于点．若BO O E E O BA F ，，求的度数及的长．AC BE ∥4EF =B ∠AC【答案】（1）见解析 （2）；30B ∠=︒AC =【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出，由，即可得证；2O A ∠=∠90ODB ∠=︒（2）根据平行线的性质得出，根据（1）的结论得出，即可求得CAB B ∠=∠390B =︒∠，根据是的切线，在中，勾股定理求得的长，继而求得30B ∠=︒EF O Rt BEF △BEOC OB ==【小问1详解】证明：∵，OC AB ⊥∴，90ODB ∠=︒∴90O B ∠+∠=︒∵，2O A ∠=∠∴．290A B ∠+∠=︒【小问2详解】解：∵，AC BE ∥∴．CAB B ∠=∠∵，290CAB B ∠+∠=︒∴．390B =︒∠∴．30B ∠=︒∴30CAB ∠=︒∵是的切线，EF O ∴．90FEB ∠=︒∵，4EF =∴8BF =在中，由勾股定理，得． Rt BEF △BE ==∴．OC OB ==∴OD =∴， CD ==∴AC =【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．25. 一位运动员在距篮圈中心（点）水平距离处竖直跳起投篮（为出手点），球运C 5m A 行的路线是抛物线的一部分，当球运行的水平距离为时，达到最高点（点），此时高3m B 度为，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心（点）到地面的距离为，该运动3.85m C 3.05m 员身高，在这次跳投中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高1.75m 0.15m 度是多少？【答案】0.15m【解析】【分析】设抛物线的表达式为，根据题意可知图象经过的坐标，由此可得2 3.85y ax =+a 的值，然后将代入抛物线解析式，得，再由即可3x =- 2.05y = 2.05 1.750.150.15--=求解．【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，xOy则，，()0,3.85B ()2,3.05C 设抛物线的表达式为，2 3.85y ax =+∵抛物线经过，()2,3.05C ∴代入得，0.2a =-∴抛物线的表达式为，20.2 3.85y x =-+当时，，3x =- 2.05y =，2.05 1.750.150.15--=∴球出手时，他跳离地面的高度是．0.15m 【点睛】此题主要考查了二次函数的相关知识，利用二次函数解决抛物线形的实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上是解题关键．26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．xOy ()2,m ()4,n ()220y ax x a =->（1）当时，求的值；1a =m n ，（2）点在此抛物线上，若存在，使得，求的取值范围．()0,x t 001x ≤≤m t n <<a 【答案】（1）；0m =8n =（2） 215a <<【解析】【分析】（1）将代入抛物线得到，再将点，代入抛物线即可1a =22y x x =-()2,m ()4,n 求的值；m n ，（2）由，，得，解得，再根据二次函44m a =-168n a =-m n <44168a a -<-13a >数的性质以及对称轴进行分类讨论，即可求出的取值范围．a 【小问1详解】解：当时，函数表达式为，1a =22y x x =-当时，，2x =0m =当时，，4x =8n =∴，；0m =8n =【小问2详解】（2）由，，得44m a =-168n a =-m n <44168a a -<-解得 13a >根据题意，抛物线的对称轴为， 1x a =∵，0a >∴， 103a <<当时， 113a<<当时，；当时，，0x =0y =1x =2y a =-∵，y 随的增大而减小，001x ≤≤x ∴，20a -<∵，m t n <<∴且，440a -<1682a a ->-∴， 215a <<当时，总有，不符合题意， 101a<≤t m n ≤<综上，的取值范围是． a 215a <<【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题关键是根据数形结合求解，注意分类讨论．27. 如图，在中，，将边绕点逆时针旋转ABC ()090A αα∠=︒<≤︒BC C ()180α︒-得到线段．CD（1）判断与的数量关系并证明；B ∠ACD ∠（2）将边绕点C 顺时针旋转得到线段，连接与边交于点M （不与点AC αCE DE AC 重合）．A C ，①用等式表示线段，之间的数量关系，并证明；DM EM ②若，，直接写出的长．（用含的式子表示）AB a =AC b =AM a b ，【答案】（1），见解析B ACD ∠=∠（2）①，见解析；② =DM EM 12AM b a =-【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，根据已知得出180B BCA α∠+∠=︒-，等量代换及即可得证；180ACD BCA α∠+∠=︒-（2）①延长至点，使，证明，进而证明CA N CN BA =ABC NCD △≌△，即可得出；CME NMD △≌△=DM EM ②根据得出，根据，得出ABC NCD △≌△AB NC a ==CME NMD △≌△，根据即可求解． 1122CM NM NC a ===12AM AC MC b a =-=-【小问1详解】.B ACD ∠=∠证明：根据题意，.180BCD α∠=︒-∴180ACD BCA α∠+∠=︒-∵A α∠=∴180B BCA α∠+∠=︒-∴.B ACD ∠=∠【小问2详解】①.=DM EM 证明：延长至点，使.CA N CN BA =∵，，CB CD =B ACD ∠=∠∴.ABC NCD △≌△∴，AC ND =N BAC ∠=∠∵， AC CE =∴CE ND =∵，ACE BAC α∠=∠=∴.ACE N ∠=∠∵，CME NMD ∠=∠∴.CME NMD △≌△∴.=DM EM②∵，ABC NCD △≌△∴，AB NC a ==∵，CME NMD △≌△∴ 1122CM NM NC a ===∴ 12AM AC MC b a =-=-∴． 12AM b a =-【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键．28. 在平面直角坐标系中，已知点．对于点P 的变换线段给出如下定义：点P xOy (),P x y 关于原点O 的对称点为M ，将点M 向上、向右各平移一个单位长度得到点N ，称线段为MN 点P 的变换线段．已知线段是点P 的变换线段． MN（1）若点，则点M 的坐标为______，点N 的坐标为______；()2,1P （2）若点P 到点的距离为1()2,2①的最大值为______；PM PN -②当点O 到直线的距离最大时，点P 的坐标为______．MN 【答案】（1），()2,1--()1,0-（2）；②或22⎛+-⎝22⎛-+ ⎝【解析】【分析】（1）根据中心对称及点的平移即可得出结果；（2）①根据题意作出相应图象，然后得出当点P ，M ，N 三点共线时，取得最大PM PN -值为，结合平移即可得出结果；MN ②令点，连接，点P 在以点E 为圆心，1为半径的圆上，作直线使得()2,2E OE MN 且直线与圆E 相切，连接，，过点E 作，根据等腰直MN OE ∥MN P C 'PC EB ⊥CP '角三角形的性质结合图形求解即可．【小问1详解】解：∵P 关于原点O 的对称点为M ，，()2,1P ∴点M 的坐标为，()2,1--将点M 向上、向右各平移一个单位长度得到点N ，∴点N 的坐标为，()1,0-故答案为：，；()2,1--()1,0-【小问2详解】①∵点P到点的距离为1，()2,2∴点P 在如图所示的圆上，∵，点P 关于原点O 的对称点为M ，将点M 向上、向右各平移一个单位长度得到点(),P x y N ，∴当点P ，M ，N 三点共线时，取得最大值为，PM PN -MN 由图得：，MN ==②令点，连接，点P 在以点E 为圆心，1为半径的圆上，作直线使得()2,2E OE MN 且直线与圆E 相切，连接，，过点E 作，MN OE ∥MN PC 'PC EB ⊥CP '∴点O 到直线的最大距离即为，MN 1EP '=EP AP ''⊥∴，90CEP '∠=︒∴，P C '=EB =∴ BPCB '==∴；(22P '+同理可得：，(22P -综上可得：点P 的坐标为或．22⎛+- ⎝22⎛-+ ⎝【点睛】题目主要考查中心对称及平移求点的坐标，点到直线的距离，勾股定理解三角形等，理解题意，利用树形结合思想求解是解题关键．。
九年级上册朝阳数学期末试卷测试与练习(word解析版)
九年级上册朝阳数学期末试卷测试与练习（word 解析版）一、选择题1．若关于x 的一元二次方程x 2－2x －k ＝0没有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞－1B ．k≥－1C ．k ＜－1D ．k≤－12．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC =8，∠B =∠DAC ，则线段 AC 的长为（ ）A ．43B ．42C ．6D ．43．如图，AB 是⊙O 的弦，∠BAC ＝30°，BC ＝2，则⊙O 的直径等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．64．已知⊙O 的半径为1,点P 到圆心的距离为d ，若关于x 的方程x 2-2x+d=0有实数根,则点P ( )A ．在⊙O 的内部B ．在⊙O 的外部C ．在⊙O 上D ．在⊙O 上或⊙O 内部5．下列函数中属于二次函数的是( ) A ．y ＝12x B ．y ＝2x 2-1C ．y ＝23x +D ．y ＝x 2＋1x＋1 6．如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，若∠ABC ＝60°，则∠AOC 的度数是（ ）A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°7．点P 1（﹣1，1y ），P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．321y y y >> B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．123y y y =>8．如图，O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是点E ，22.5CAO ∠=，6OC =，则CD 的长为( )A ．62B ．32C ．6D ．129．若二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象与坐标轴只有两个公共点，则c 应满足的条件是（ ） A ．c ＝0B ．c ＝1C ．c ＝0或c ＝1D ．c ＝0或c ＝﹣110．“一般的，如果二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根．——苏科版《数学》九年级（下册）P 21”参考上述教材中的话，判断方程x 2﹣2x =1x﹣2实数根的情况是 （ ） A ．有三个实数根B ．有两个实数根C ．有一个实数根D ．无实数根11．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A(﹣3，0)，对称轴为直线x ＝﹣1，下列结论：①b 2＞4ac ；②2a+b ＝0；③a+b+c ＞0；④若B(﹣5，y 1)、C(﹣1，y 2)为函数图象上的两点，则y 1＜y 2．其中正确结论是（ ）A ．②④B ．①③④C ．①④D ．②③12．受益于电子商务发展和法治环境改普等多重因素，“快递业”成为我国经济发展的一匹“黑马”，2018年我国快递业务量为600亿件，预计2020年快递量将达到950亿件，若设快递平均每年增长率为x ，则下列方程中，正确的是（ ） A ．600（1+x ）＝950 B ．600（1+2x ）＝950 C ．600（1+x ）2＝950D ．950（1﹣x ）2＝600二、填空题13．小亮测得一圆锥模型的底面直径为10cm ，母线长为7cm ，那么它的侧面展开图的面积是_____cm 2．14．设1x ，2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根，则1212x x x x ++=______. 15．如图，在平面直角坐标系中，直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在x 正半轴上，且OC ＝O B ．点P 为线段AB （不含端点）上一动点，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°得线段OQ ，连接CQ ，则线段CQ 的最小值为___________．16．已知圆锥的侧面积为20πcm 2，母线长为5cm ，则圆锥底面半径为______cm ． 17．如图示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3AC =，3BC =，点P 在Rt ABC ∆内部，且PAB PBC ∠=∠，连接CP ，则CP 的最小值等于______.18．有一块三角板ABC ，C ∠为直角，30ABC ∠=︒，将它放置在O 中，如图，点A 、B 在圆上，边BC 经过圆心O ，劣弧AB 的度数等于_______︒19．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO ＝8米，母线AB ＝10米，则该圆锥的侧面积是_____平方米（结果保留π）．20．甲、乙两同学近期6次数学单元测试成绩的平均分相同，甲同学成绩的方差S 甲2＝6.5分2，乙同学成绩的方差S 乙2＝3.1分2，则他们的数学测试成绩较稳定的是____（填“甲”或“乙”）．21．已知点P （x 1，y 1）和Q （2，y 2）在二次函数y ＝（x +k ）（x ﹣k ﹣2）的图象上，其中k ≠0，若y 1＞y 2，则x 1的取值范围为_____．22．如图，在⊙O 中，分别将弧AB 、弧CD 沿两条互相平行的弦AB 、CD 折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O 的半径为4，则四边形ABCD 的面积是__________________．23．一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，这次测验中甲、乙两组学生人数都为6人，成绩如下：甲：7，9，10，8，5，9；乙：9，6，8，10，7，8． （1）请补充完整下面的成绩统计分析表：平均分 方差 众数 中位数甲组 89乙组5388（2）甲组学生说他们的众数高于乙组，所以他们的成绩好于乙组，但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出一条支持乙组学生观点的理由_____________________________．24．若二次函数24y x x =-的图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图像的其余部分保持不变，翻折后的图像与原图像x 轴上方的部分组成一个形如“W ”的新图像，若直线y =-2x +b 与该新图像有两个交点，则实数b 的取值范围是__________三、解答题25．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等．．．),我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.理解：（1）如图1，已知Rt △ABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺．．．．．．在网格中找到一点 D ,使四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形（画出1个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD 中，80,140ABC ADC ︒︒∠=∠=，对角线BD 平分∠ABC .求证: BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”； 运用：（3）如图3，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，∠EFH ＝∠HFG ＝30.连接EG ,若△EFG 的面积为43，求FH 的长.26．我们不妨约定：如图①，若点D 在△ABC 的边AB 上，且满足∠ACD=∠B （或∠BCD=∠A ），则称满足这样条件的点为△ABC 边AB 上的“理想点”．（1）如图①，若点D 是△ABC 的边AB 的中点，AC=22，AB=4.试判断点D 是不是△ABC 边AB 上的“理想点”，并说明理由．（2）如图②，在⊙O 中，AB 为直径，且AB=5，AC=4.若点D 是△ABC 边AB 上的“理想点”，求CD 的长．（3）如图③，已知平面直角坐标系中，点A(0,2),B(0,-3),C 为x 轴正半轴上一点，且满足∠ACB=45°，在y 轴上是否存在一点D ，使点A 是B ，C ，D 三点围成的三角形的“理想点”，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．27．如图，已知二次函数2223(0)y x mx m m =-++>的图象与x 轴交于,A B 两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为点D .（1）点B 的坐标为 ，点D 的坐标为 ；（用含有m 的代数式表示） （2）连接,CD BC .①若CB 平分OCD ∠，求二次函数的表达式； ②连接AC ，若CB 平分ACD ∠，求二次函数的表达式.28．为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x （元）和游客居住房间数y （间）的信息，乐乐绘制出y 与x 的函数图象如图所示： （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？29．华联超市准备代销一款运动鞋，每双的成本是170元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是200元时，每天的销售量是40双，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5双，设每双降低x元(x为正整数)，每天的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式；(2)每双运动鞋的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？30．一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概率是多少？31．一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．（1）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，摸到红球的概率是多少？（2）搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出两次都摸到白球的概率．32．已知二次函数y＝x2－22mx＋m2＋m－1（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；（2）将该二次函数的图像向下平移k（k＞0）个单位长度，使得平移后的图像经过点（0，－2），则k的取值范围是．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】试题分析：由题意可得根的判别式，即可得到关于k的不等式，解出即可.由题意得，解得故选C.考点：一元二次方程的根的判别式点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．2．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件可得ABC DAC ~,可得出AC BCDC AC=,可求出AC 的长． 【详解】解：由题意得：∠B =∠DAC ，∠ACB =∠ACD,所以ABC DAC ~，根据“相似三角形对应边成比例”，得AC BCDC AC=，又AD 是中线，BC =8，得DC=4,代入可得AC=42, 故选B. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质．灵活运用相似的性质可得出解答．3．C解析：C 【解析】 【分析】如图，作直径BD ，连接CD ，根据圆周角定理得到∠D ＝∠BAC ＝30°，∠BCD ＝90°，根据直角三角形的性质解答． 【详解】如图，作直径BD ，连接CD ，∵∠BDC 和∠BAC 是BC 所对的圆周角，∠BAC ＝30°， ∴∠BDC ＝∠BAC ＝30°，∵BD 是直径，∠BCD 是BD 所对的圆周角， ∴∠BCD ＝90°， ∴BD ＝2BC ＝4，故选：C ． 【点睛】本题考查圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°圆周角所对的弦是直径；熟练掌握圆周角定理是解题关键．4．D解析：D【解析】【分析】先根据条件x 2 -2x+d=0有实根得出判别式大于或等于0，求出d的范围，进而得出d与r 的数量关系，即可判断点P和⊙O的关系..【详解】解：∵关于x的方程x 2 -2x+d=0有实根，∴根的判别式△=（-2） 2 -4×d≥0，解得d≤1，∵⊙O的半径为r=1,∴d≤r∴点P在圆内或在圆上.故选：D.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，由点到圆心的距离和半径的数量关系对点和圆的位置关系作出判断是解答此题的重要途径，即当d>r时，点在圆外，当d=r时，点在圆上，当d<r 时，点在圆内.5．B解析：B【解析】【分析】根据反比例函数的定义，二次函数的定义，一次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A. y＝12x是正比例函数，不符合题意；B. y＝2x2-1是二次函数，符合题意；C. yD. y＝x2＋1x＋1不是二次函数，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的定义．6．C解析：C【解析】【分析】直接利用圆周角定理求解．【详解】解：∵∠ABC 和∠AOC 所对的弧为AC ，∠ABC=60°， ∴∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°． 故选：C ． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7．D解析：D 【解析】试题分析：∵22y x x c =-++，∴对称轴为x=1，P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∵3＜5，∴23y y >，根据二次函数图象的对称性可知，P 1（﹣1，1y ）与（3，2y ）关于对称轴对称，故123y y y =>，故选D ． 考点：二次函数图象上点的坐标特征．8．A解析：A 【解析】 【分析】先根据垂径定理得到CE DE =，再根据圆周角定理得到245BOC A ∠=∠=，可得OCE ∆为等腰直角三角形，所以2CE ==CD 的长． 【详解】∵CD AB ⊥，AB 为直径， ∴CE DE =，∵∠BOC 和∠A 分别为BC 所对的圆心角和圆周角，∠A=22.5°， ∴2222.545BOC A ∠=∠=⨯=， ∴OCE ∆为等腰直角三角形， ∵OC=6，∴622CE ===∴2CD CE == 故选A ． 【点睛】本题考查了垂径定理及圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径，平分这条弦且平分这条弦所对的两条弧．9．C解析：C【解析】【分析】根据二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，可知二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点两种情况，然后分别计算出c的值即可解答本题．【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，∴二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点，当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点时，(﹣2)2﹣4×1×c＝0，得c＝1；当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与轴有两个公共点，其中一个为原点时，则c＝0，y＝x2﹣2x＝x(x﹣2)，与x轴两个交点，坐标分别为(0，0)，(2，0)；由上可得，c的值是1或0，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数与坐标的交点问题，掌握解二次函数的方法是解题的关键．10．C解析：C【解析】试题分析：由得，，即是判断函数与函数的图象的交点情况.因为函数与函数的图象只有一个交点所以方程只有一个实数根故选C.考点：函数的图象点评：函数的图象问题是初中数学的重点和难点，是中考常见题，在压轴题中比较常见，要特别注意.11．C【解析】【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点可得△＝b 2﹣4ac>0，可对①进行判断；由抛物线的对称轴可得﹣2b a＝﹣1，可对②进行判断；根据对称轴方程及点A 坐标可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，可对③进行判断；根据对称轴及二次函数的增减性可对④进行判断；综上即可得答案．【详解】∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，即：b 2＞4ac ，故①正确，∵二次函数y ＝ax 2+bx+c 的对称轴为直线x ＝﹣1， ∴﹣2b a＝﹣1， ∴2a ＝b ，即：2a ﹣b ＝0，故②错误．∵二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x ＝﹣1， ∴二次函数与x 轴的另一个交点的坐标为（1，0），∴当x ＝1时，有a+b+c ＝0，故结论③错误；④∵抛物线的开口向下，对称轴x ＝﹣1，∴当x ＜﹣1时，函数值y 随着x 的增大而增大，∵﹣5＜﹣1则y 1＜y 2，则结论④正确故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左侧；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右侧；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△=b 2-4ac 决定：△＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△= 0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＜0时，抛物线与x 轴没有交点．12．C解析：C【解析】【分析】设快递量平均每年增长率为x ，根据我国2018年及2020年的快递业务量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】设快递量平均每年增长率为x ，依题意，得：600(1+x )2=950．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二、填空题13．35π．【解析】【分析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式S=lr即可求解．【详解】底面周长是：10π，则侧面展开图的面积是：×10π×7＝35πcm2．故答案是：35π．解析：35π．【解析】【分析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式S=12lr即可求解．【详解】底面周长是：10π，则侧面展开图的面积是：12×10π×7＝35πcm2．故答案是：35π．【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．14．－5.【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】∵，是关于的一元二次方程的两根，∴，∴，故答案为：．本题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果，是方解析：－5.【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】∵1x ，2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根，∴121214x x x x +=-=-，， ∴()1212145x x x x ++=-+-=-，故答案为：5-．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果1x ，2x 是方程20x px q ++=的两根，那么12x x p +=﹣，12x x q =． 15．【解析】【分析】在OA 上取使，得，则，根据点到直线的距离垂线段最短可知当⊥AB 时，CP 最小，由相似求出的最小值即可.【详解】解：如图，在OA 上取使，∵，∴，在△和△QOC 中，，【解析】【分析】在OA 上取'C 使'OC OC =，得'OPC OQC ≅，则CQ=C'P ，根据点到直线的距离垂线段最短可知当'PC ⊥AB 时，CP 最小，由相似求出C'P 的最小值即可.【详解】解：如图，在OA 上取'C 使'OC OC =，∵90AOC POQ ∠=∠=︒，∴'POC QOC ∠=∠，在△'POC 和△QOC 中，''OP OQ POC QOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△'POC ≌△QOC （SAS ），∴'PC QC =∴当'PC 最小时，QC 最小，过'C 点作''C P ⊥AB ，∵直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，∴A 坐标为：（0，8）；B 点（-4，0），∵'4OC OC OB ===， ∴22228445AB OA OB ++=''4AC OA OC =-=. ∵'''OB C P sin BAO AB AC ∠==， ''445C P =， ∴4''55C P = ∴线段CQ 455 455【点睛】 本题主要考查了一次函数图像与坐标轴的交点及三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．16．4【解析】【分析】由圆锥的母线长是5cm ，侧面积是20πcm2，求圆锥侧面展开扇形的弧长，然后再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求解．【详解】解：由圆锥的母线长是5cm ，侧面积解析：4【解析】【分析】由圆锥的母线长是5cm ，侧面积是20πcm 2，求圆锥侧面展开扇形的弧长，然后再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求解．【详解】解：由圆锥的母线长是5cm ，侧面积是20πcm 2， 根据圆锥的侧面展开扇形的弧长为：2405S l r π===8π， 再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， 可得822l r πππ===4cm ． 故答案为：4．【点睛】 本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键．17．【解析】【分析】首先判定直角三角形∠CAB=30°，∠ABC=60°，，然后根据，得出∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°，定角定弦，点P 的轨迹是以AB 为弦，圆周角为120°的圆弧2【解析】【分析】首先判定直角三角形∠CAB=30°，∠ABC=60°，AB ===PAB PBC ∠=∠，得出∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°，定角定弦，点P 的轨迹是以AB 为弦，圆周角为120°的圆弧上，如图所示，当点C 、O 、P 在同一直线上时，CP 最小，构建圆，利用勾股定理，即可得解.【详解】∵90ACB ∠=︒，3AC =，BC =，∴AB ===∴∠CAB=30°，∠ABC=60°∵PAB PBC ∠=∠，∠PAB+∠PAC=30°∴∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°∴定角定弦，点P 的轨迹是以AB 为弦，圆周角为120°的圆弧上，如图所示，当点C 、O 、P 在同一直线上时，CP 最小∴CO ⊥AB ，∠COB=60°，∠ABO=30°∴OB=2，∠OBC=90°∴()2222237OC OB BC =+=+= ∴72CP OC OP =-=-故答案为72-.【点睛】此题主要考查直角三角形中的动点综合问题，解题关键是找到点P 的位置.18．120°【解析】【分析】因为半径相等，根据等边对等角结合三角形内角和定理即可求得，继而求得答案．【详解】如图，连接OA ，∵OA ，OB 为半径，∴，∴，∴劣弧的度数等于，故答案为：1解析：120°【解析】【分析】因为半径相等，根据等边对等角结合三角形内角和定理即可求得AOB ∠，继而求得答案．【详解】如图，连接OA ，∵OA ，OB 为半径，∴30OAB ABO ∠=∠=︒，∴180120AOB OAB ABO ∠=︒-∠-∠=︒，∴劣弧AB 的度数等于120︒，故答案为：120．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握．19．【解析】【分析】根据勾股定理求得OB ，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S ＝lr ，求得答案即可．【详解】解：∵AO＝8米，AB ＝10米，∴OB＝6米，∴圆锥的解析：60π【解析】【分析】根据勾股定理求得OB ，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S ＝12lr ，求得答案即可． 【详解】解：∵AO ＝8米，AB ＝10米，∴OB ＝6米，∴圆锥的底面周长＝2×π×6＝12π米，∴S扇形＝12lr＝12×12π×10＝60π米2，故答案为60π．【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握扇形面积的计算方法S＝12lr是解题的关键．20．乙【解析】【分析】根据方差越小数据越稳定即可求解．【详解】解：因为甲、乙两同学近期6次数学单元测试成绩的平均分相同且S甲2 ＞S 乙2，所以乙的成绩数学测试成绩较稳定．故答案为：乙．【解析：乙【解析】【分析】根据方差越小数据越稳定即可求解．【详解】解：因为甲、乙两同学近期6次数学单元测试成绩的平均分相同且S甲2＞S乙2，所以乙的成绩数学测试成绩较稳定．故答案为：乙．【点睛】本题考查方差的性质，方差越小数据越稳定．21．x1＞2或x1＜0．【解析】【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，然后将点P、Q的坐标代入解析式中，然后y1＞y2，列出关于x1的不等式即可求出结论．【详解】解：y＝（x+k）（x﹣k﹣2解析：x1＞2或x1＜0．【解析】【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，然后将点P、Q的坐标代入解析式中，然后y1＞y2，列出关于x1的不等式即可求出结论．【详解】解：y＝（x+k）（x﹣k﹣2）＝（x﹣1）2﹣1﹣2k﹣k2，∵点P（x1，y1）和Q（2，y2）在二次函数y＝（x+k）（x﹣k﹣2）的图象上，∴y1＝（x1﹣1）2﹣1﹣2k﹣k2，y2＝﹣2k﹣k2，∵y1＞y2，∴（x1﹣1）2﹣1﹣2k﹣k2＞﹣2k﹣k2，∴（x1﹣1）2＞1，∴x1＞2或x1＜0．故答案为：x1＞2或x1＜0．【点睛】此题考查的是比较二次函数上两点之间的坐标大小关系，掌握二次函数的顶点式和根据函数值的取值范围求自变量的取值范围是解决此题的关键．22．【解析】【分析】作OH⊥AB，延长OH交于E，反向延长OH交CD于G，交于F，连接OA、OB、OC、OD，根据折叠的对称性及三角形全等，证明AB=CD，又因AB∥CD，所以四边形ABCD是平行解析：163【解析】【分析】作OH⊥AB，延长OH交O于E，反向延长OH交CD于G，交O于F，连接OA、OB、OC、OD，根据折叠的对称性及三角形全等，证明AB=CD，又因AB∥CD，所以四边形ABCD 是平行四边形，由平行四边形面积公式即可得解．【详解】如图，作OH⊥AB，垂足为H，延长OH交O于E，反向延长OH交CD于G，交O于F，连接OA、OB、OC、OD，则OA=OB=OC=OD=OE=OF=4，∵弧AB、弧CD沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，∴OH=HE=1×4=22，OG=GF=1×4=22，即OH=OG ， 又∵OB=OD ，∴Rt △OHB ≌Rt △OGD ，∴HB=GD ，同理，可得AH=CG= HB=GD∴AB=CD又∵AB ∥CD∴四边形ABCD 是平行四边形，在Rt △OHA 中，由勾股定理得：==∴AB=∴四边形ABCD 的面积=AB ×GH=故答案为：．【点睛】本题考查圆中折叠的对称性及平行四边形的证明，关键是作辅助线，本题也可通过边、角关系证出四边形ABCD 是矩形． 23．（1），8.5，8；（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【解析】【分析】（1）根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数，根据中位数的定义，取出甲组中解析：（1）83，8.5，8；（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【解析】【分析】（1）根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数，根据中位数的定义，取出甲组中位数；（2）根据（1）中表格数据，分别从反应数据集中程度的中位数和平均分及反应数据波动程度的方差比较甲、乙两组，由此找出乙组优于甲组的一条理由．【详解】（1）甲组方差： ()()()()()()22222218789810888589863⎡⎤-+-+-+-+-+-=⎣⎦ 甲组数据由小到大排列为：5，7，8，9，9，10故甲组中位数：（8+9）÷2=8.5乙组平均分：(9+6+8+10+7+8)÷6=8填表如下：平均分 方差 众数 中位数 甲组 8 83 9 8.5乙组 8 53 8 8故答案为：83，8.5，8；两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【点睛】本题考查数据分析，熟练掌握反应数据集中趋势的中位数、众数和平均数以及反应数据波动程度的方差的计算公式和定义是解题关键．24．【解析】【分析】当直线y=-2x+b 处于直线m 的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A ，当直线处于直线n 的位置时，此时直线与新图象有三个交点，当直线y=-2x+b 处于直线m 、n 之间时，与该新图解析：18b -<<【解析】【分析】当直线y=-2x+b 处于直线m 的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A ，当直线处于直线n 的位置时，此时直线与新图象有三个交点，当直线y=-2x+b 处于直线m 、n 之间时，与该新图象有两个公共点，即可求解．【详解】解：设y=x 2-4x 与x 轴的另外一个交点为B ，令y=0，则x=0或4，过点B （4，0）， 由函数的对称轴，二次函数y=x 2-4x 翻折后的表达式为：y=-x 2+4x ，当直线y=-2x+b 处于直线m 的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A ，当直线处于直线n 的位置时，此时直线n 过点B （4，0）与新图象有三个交点，当直线y=-2x+b处于直线m、n之间时，与该新图象有两个公共点，当直线处于直线m的位置：联立y=-2x+b与y=x2-4x并整理：x2-2x-b=0，则△=4+4b=0，解得：b=-1；当直线过点B时，将点B的坐标代入直线表达式得：0=-8+b，解得：b=8，故-1＜b＜8；故答案为：-1＜b＜8．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数与x轴交点、几何变换、一次函数基本知识等内容，本题的关键是确定点A、B两个临界点，进而求解．三、解答题25．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）4【解析】【分析】（1）根据“相似对角线”的定义，利用方格纸的特点可找到D点的位置.（2）通过导出对应角相等证出ABD∆∽DBC∆，根据四边形ABCD的“相似对角线”的定义即可得出BD是四边形ABCD的“相似对角线”.（3）根据四边形“相似对角线”的定义，得出FEH∆∽FHG∆，利用对应边成比例，结合三角形面积公式即可求.【详解】解：（1）如图1所示.（2）证明：80ABC BD，︒∠=平分ABC∠,40,140ABD DBCA ADB︒︒∴∠=∠=∴∠+∠=140,140ADCBDC ADBA BDC，︒︒∠=∴∠+∠∠=∠∴=ABD∴∆∽DBC∆∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”.(3)FH是四边形EFGH的“相似对角线”，三角形EFH 与三角形HFG 相似.又EFH HFG ∠=∠FEH ∴∆∽FHG ∆FE FH FH FG∴= 2FH FE FG ∴=⋅过点H 作EQ FG ⊥垂足为Q 则3sin 60EQ FE ︒=⨯= 1432134322FG EQ FG FE ∴=∴=16FG FE ∴=28FH FE FG ∴=⋅=216FH FG FE ∴==4FH =【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质的综合应用及解直角三角形，对于这种新定义阅读材料题目读,懂题意是解答此题的关键.26．（1）是，理由见解析；（2）125；（3）D （0,42）或D （0,6） 【解析】【分析】（1）依据边长AC=22AB=4，D 是边AB 的中点，得到AC 2=AD AB ，可得到两个三角形相似，从而得到∠ACD=∠B ；(2)由点D 是△ABC 的“理想点”，得到∠ACD=∠B 或∠BCD=∠A ，分两种情况证明均得到CD ⊥AB ，再根据面积法求出CD 的长；(3)使点A 是B ，C ，D 三点围成的三角形的“理想点”，应分两种情况讨论，利用三角形相似分别求出点D 的坐标即可.【详解】（1）D 是△ABC 边AB 上的“理想点”，理由：∵AB=4，点D 是△ABC 的边AB 的中点，∴AD=2，∵AC 2=8，8AD AB •=，∴AC 2=AD AB ，又∵∠A=∠A ，∴△ADC ∽△ACB ，∴∠ACD=∠B，∴D是△ABC边AB上的“理想点”.（2）如图②，∵点D是△ABC的“理想点”，∴∠ACD=∠B或∠BCD=∠A,当∠ACD=∠B时，∵∠ACD+∠BCD=90︒，∴∠BCD+∠B=90︒，∴∠CDB=90︒，当∠BCD=∠A时，同理可得CD⊥AB，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90︒,AB=5，AC=4，∴BC=222254AB AC-=-=3，∵1122AB CD AC BC⋅=⋅,∴11534 22CD,∴125 CD=.（3）如图③，存在.过点A作MA⊥AC交CB的延长线于点M，∵∠MAC=∠AOC=90︒,∠ACM=45︒，∴∠AMC=∠ACM=45︒，∴AM=AC,∵∠MAH+∠CAO=90︒,∠CAO+∠ACO=90︒,∴∠MAH=∠ACO,∴△AHM ≌△COA∴MH=OA,OC=AH,设C （a ，0），∵A(0，2),B(0，-3),∴OA=MH=2，OB=3，AB=5，OC=AH=a ，BH=a-5，∵MH ∥OC, ∴MH BH OC OB ， ∴253a a ， 解得a=6或a=-1（舍去），经检验a=6是原分式方程的解，∴C （6,0），OC=6.①当∠D 1CA=∠ABC 时，点A 是△BCD 1的“理想点”，设D 1(0，m)，∵∠D 1CA=∠ABC,∠CD 1A=∠CD 1B,∴△D 1AC ∽△D 1CB,∴2111CD D A D B , ∴226(2)(3)m m m ，解得m=42，∴D 1(0，42)；②当∠BCA=∠CD 2B 时，点A 是△BCD 2“理想点”，可知：∠CD 2O=45︒，∴OD 2=OC=6，∴D 2（0,6）.综上，满足条件的点D 的坐标为D （0,42）或D （0,6）.【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，通过证明三角形相似得到点是三角形某条边上的“理想点”，通过点是三角形的“理想点”，从而证明出三角形相似，由此得到点的坐标，相互反推的思想的利用，注意后者需分情况进行讨论.27．（1）(3,0)m ，2(,4)m m ；（2）①213y x x =-++，②2955y x x =-++ 【解析】【分析】（1）令y =0，解关于x 的方程，解方程即可求出x 的值，进而可得点B 的坐标；把抛物线的解析式转化为顶点式，即可得出点D 的坐标；（2）①如图1，过点D 作DH AB ⊥，交BC 于点E ，作DF ⊥y 轴于点F ，则易得点C 的。
九年级上册朝阳数学期末试卷测试与练习(word解析版)
九年级上册朝阳数学期末试卷测试与练习（word 解析版）一、选择题1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的为（ ） A ．2210x x+= B ．220x x --=C ．2320x xy -=D ．240y -=2．入冬以来气温变化异常，在校学生患流感人数明显增多，若某校某日九年级8个班因病缺课人数分别为2、6、4、6、10、4、6、2，则这组数据的众数是（ ） A ．5人B ．6人C ．4人D ．8人3．如图，已知一组平行线a ∥b ∥c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且AB ＝1.5，BC ＝2，DE ＝1.8，则EF ＝（ ）A ．4.4B ．4C ．3.4D ．2.44．实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小兵每周对各小组合作学习的情况进行了综合评分．下表是其中一周的统计数据： 组 别 1 2 3 4 5 6 7 分 值90959088909285这组数据的中位数和众数分别是 A ．88，90B ．90，90C ．88，95D ．90，955．已知一组数据共有20个数，前面14个数的平均数是10，后面6个数的平均数是15，则这20个数的平均数是（ ） A ．23B ．1.15C ．11.5D ．12.56．如图，P 、Q 是⊙O 的直径AB 上的两点，P 在OA 上，Q 在OB 上，PC ⊥AB 交⊙O 于C ，QD ⊥AB 交⊙O 于D ，弦CD 交AB 于点E ，若AB=20，PC=OQ=6，则OE 的长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.57．如图，BC 是O 的直径，A ，D 是O 上的两点，连接AB ，AD ，BD ，若70ADB ︒∠=，则ABC ∠的度数是（ ）A ．20︒B ．70︒C ．30︒D ．90︒8．下列对于二次函数y ＝﹣x 2+x 图象的描述中，正确的是（ ）A ．开口向上B ．对称轴是y 轴C ．有最低点D ．在对称轴右侧的部分从左往右是下降的 9．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（ ） A ．都含有一个40°的内角 B ．都含有一个50°的内角 C ．都含有一个60°的内角D ．都含有一个70°的内角10．如图物体由两个圆锥组成，其主视图中，90,105A ABC ︒︒∠=∠=．若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）A ．2B 3C ．32D 211．2的相反数是（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．2-12．如图，△ABC 中AB 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（﹣1，0），以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC 的位似比为2：1．设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）A ．12a -B ．1(1)2a -+ C ．1(1)2a -- D ．1(3)2a -+ 二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺指针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…，若点A （53，0）、B （0，4），则点B 2020的横坐标为_____．14．二次函数23(1)2y x =-+图象的顶点坐标为________．15．将二次函数y=2x 2的图像沿x 轴向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得函数图像的函数关系式为______________.16．已知线段4AB =，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP >），那么线段AP =______.（结果保留根号）17．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是____________．18．如图，在Rt △ABC 中，BC AC ⊥，CD 是AB 边上的高，已知AB ＝25，BC ＝15，则BD ＝__________．19．如图，在平面直角坐标系中，直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在x 正半轴上，且OC ＝O B ．点P 为线段AB （不含端点）上一动点，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°得线段OQ ，连接CQ ，则线段CQ 的最小值为___________．20．一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是______.21．如图，123////l l l ，直线a 、b 与1l 、2l 、3l 分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若AB=3，BC=5，DE=4，则EF 的长为______．22．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系为21251233y x x =-++，由此可知该生此次实心球训练的成绩为_______米．23．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）的图像上部分点的横坐标x 和纵 坐标y 的对应值如下表 x … －1 0123 … y…－3 －3 －1 39…关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0一个负数解x 1满足k ＜x 1＜k +1（k 为整数），则k ＝________．24．若把一根长200cm 的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，则这两个正方形的面积的和最小值为_____．三、解答题25．习总书记在2020新年贺词中讲到“垃圾分类引领新时尚”为积极响应号召，普及垃圾分类知识，某社区工作人员在一个小区随机抽取了若干名居民，开展垃圾分类知识有奖问答，并用得到的数据绘制了如图所示条形统计图.请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查一共抽取了______名居民（2）求本次调查获取的样本数据的平均数______：中位数______；（3）杜区决定对该小区2000名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为一等奖.根据调查结果，估计社区工作人员需准备多少份一等奖奖品？26．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）的图像经过点A （－1，0）、B （0，2）．（1）b ＝ （用含有a 的代数式表示），c ＝ ；（2）点O 是坐标原点，点C 是该函数图像的顶点，若△AOC 的面积为1，则a ＝ ； （3）若x ＞1时，y ＜5．结合图像，直接写出a 的取值范围．27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++≠ 的顶点为()2,0A -，且经过点()5,9B -与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC .（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）点P 为该抛物线上点C 与点B 之间的一动点.①若15PAB ABC S S ∆∆=，求点P 的坐标. ②如图②，过点B 作x 轴的垂线，垂足为D ，连接AP 并延长，交BD 于点M ，连接BP延长交AD 于点N .试说明()DN DM DB +为定值.28．为了提高学生对毒品危害性的认识，我市相关部门每个月都要对学生进行“禁毒知识应知应会”测评．为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授予“禁毒小卫士”的荣誉称号．为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩，数据如下：收集数据：90 91 89 96 90 98 90 97 91 98 99 97 91 88 90 97 95 90 95 88 （1）根据上述数据，将下列表格补充完整． 整理、描述数据： 成绩/分8889 90 91 95 96 97 98 99 学生人数 2132121数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表： 平均数 众数 中位数 9391得出结论：（2）根据所给数据，如果该校想确定七年级前50%的学生为“良好”等次，你认为“良好”等次的测评成绩至少定为 分． 数据应用：（3）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前30%的学生“禁毒小卫士”荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由．29．如图，在Rt ABC ∆中，90C =∠，矩形DEFG 的顶点G 、F 分别在边AC 、BC 上，D 、E 在边AB 上．（1）求证：ADG ∆∽FEB ∆；（2）若2AD GD =，则ADG ∆面积与BEF ∆面积的比为 ． 30．如图，AD 、A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的中线，且AB BD ADA B B D A D==''''''．判断△ABC 和△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由．31．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于点A (﹣1，0)、B (5，0)，与y 轴相交于点C (0，53)． （1）求该函数的表达式；（2）设E 为对称轴上一点，连接AE 、CE ； ①当AE +CE 取得最小值时，点E 的坐标为 ；②点P 从点A 出发，先以1个单位长度/的速度沿线段AE 到达点E ，再以2个单位长度的速度沿对称轴到达顶点D ．当点P 到达顶点D 所用时间最短时，求出点E 的坐标．32．甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情． (1)若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名，则所选的2名医护人员性别相同的概率是 ；(2)若从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【详解】 解：A.2210x x +=,是分式方程, B.220x x --=,正确,C.2320x xy -=,是二元二次方程,D.240y -=,是关于y 的一元二次方程, 故选B 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．2．B解析：B 【解析】 【分析】找出这组数据出现次数最多的那个数据即为众数. 【详解】解：∵数据2、6、4、6、10、4、6、2，中数据6出现次数最多为3次， ∴这组数据的众数是6. 故选：B. 【点睛】本题考查众数的概念，出现次数最多的数据为这组数的众数.3．D解析：D 【解析】 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理对各选项进行判断即可． 【详解】 解：∵a ∥b ∥c ， ∴AB DEBC EF=, ∵AB ＝1.5，BC ＝2，DE ＝1.8,∴1.5 1.82EF = , ∴EF=2.4 故选：D ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例,掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是关键．4．B解析：B 【解析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此将这组数据重新排序为85，88，90，90，90，92，95，∴中位数是按从小到大排列后第4个数为：90．众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中90出现三次，出现的次数最多，故这组数据的众数为90．故选B．5．C解析：C【解析】【分析】由题意可以求出前14个数的和，后6个数的和，进而得到20个数的总和，从而求出20个数的平均数．【详解】解：由题意得：（10×14+15×6）÷20=11.5，故选：C．【点睛】此题考查平均数的意义和求法，求出这些数的总和，再除以总个数即可.．6．C解析：C【解析】【分析】因为OCP和ODQ为直角三角形，根据勾股定理可得OP、DQ、PQ的长度，又因为CP//DQ，两直线平行内错角相等，∠PCE=∠EDQ，且∠CPE=∠DQE=90°，可证CPE∽DQE，可得CP DQ=PE EQ，设PE=x，则EQ=14-x，解得x的取值，OE= OP-PE，则OE的长度可得．【详解】解：∵在⊙O中，直径AB=20，即半径OC=OD=10，其中CP⊥AB，QD⊥AB，∴OCP和ODQ为直角三角形，根据勾股定理：，，且OQ=6，∴PQ=OP+OQ=14，又∵CP⊥AB，QD⊥AB，垂直于用一直线的两直线相互平行，∴CP//DQ，且C、D连线交AB于点E，∴∠PCE=∠EDQ，（两直线平行，内错角相等）且∠CPE=∠DQE=90°，∴CPE∽DQE，故CP DQ=PE EQ，设PE=x，则EQ=14-x，∴68=x 14-x，解得x=6， ∴OE=OP-PE=8-6=2， 故选：C ． 【点睛】本题考察了勾股定理、相似三角形的应用、两直线平行的性质、圆的半径，解题的关键在于证明CPE 与DQE 相似，并得出线段的比例关系．7．A解析：A 【解析】 【分析】连接AC ，如图，根据圆周角定理得到90BAC ︒∠=，70ACB ADB ︒∠=∠=，然后利用互余计算ABC ∠的度数． 【详解】 连接AC ，如图， ∵BC 是O 的直径，∴90BAC ︒∠=， ∵70ACB ADB ︒∠=∠=， ∴907020ABC ︒︒︒∠=-=． 故答案为20︒． 故选A ．【点睛】本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．8．D解析：D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数y ＝﹣x 2+x ＝﹣(x 12-)2+14， ∴a ＝﹣1，该函数的图象开口向下，故选项A 错误；对称轴是直线x＝12，故选项B错误；当x＝12时取得最大值14，该函数有最高点，故选项C错误；在对称轴右侧的部分从左往右是下降的，故选项D正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握函数解析式和二次函数的性质是解题的关键．9．C解析：C【解析】试题解析：因为A,B,D给出的角40,50,70可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A，B，D错误；C. 有一个60的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确.故选C.10．D解析：D【解析】【分析】先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD AB，再证明△CBD为等边三角形得到BC＝BD AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．【详解】∵∠A＝90°，AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，BD AB，∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝60°，而CB＝CD，∴△CBD为等边三角形，∴BC＝BD AB，∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，×1．故选D．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．11．D解析：D【解析】【分析】根据相反数的概念解答即可．【详解】2的相反数是-2，故选D．12．D解析：D【解析】【分析】设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算．【详解】设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为a+1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2（﹣1﹣x）＝a+1，解得x＝﹣12（a+3），故选：D．【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．二、填空题13．10100【解析】【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差10个单位长度，根据这个规律可以求解．【详解】由图象可知点B2020在第一象限解析：10100【解析】【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差10个单位长度，根据这个规律可以求解．【详解】由图象可知点B 2020在第一象限，∵OA =53，OB =4，∠AOB =90°，∴AB 133===， ∴OA+AB 1+B 1C 2=53+133+4=10， ∴B 2的横坐标为：10， 同理：B 4的横坐标为：2×10=20，B 6的横坐标为：3×10=30，∴点B 2020横坐标为：2020102⨯=10100． 故答案为：10100．【点睛】本题考查了点的坐标规律变换，通过图形旋转，找到所有B 点之间的关系是本题的关键．题目难易程度适中，可以考察学生观察、发现问题的能力． 14．【解析】【分析】二次函数（a≠0）的顶点坐标是（h ，k ）．【详解】解：根据二次函数的顶点式方程知，该函数的顶点坐标是：（1，2）． 故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查了二次函数的性解析：()1,2【解析】【分析】二次函数2()y a x h k =-+（a≠0）的顶点坐标是（h ，k ）．【详解】解：根据二次函数的顶点式方程23(1)2y x =-+知，该函数的顶点坐标是：（1，2）． 故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程2()y a x h k =-+中的h ，k 所表示的意义．15．y=2(x+2)2-3【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，二次函数y ＝2x2的图象向左平移2个单位，再向下平移解析：y=2(x+2)2-3【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，二次函数y ＝2x 2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的图象表达式为 y=2(x+2)2-3【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．16．【解析】【分析】根据黄金比值为计算即可.【详解】解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点（AP>BP ）∴故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.解析：2【解析】【分析】计算即可. 【详解】解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点（AP>BP ）∴AP 2AB ==故答案为：2.【点睛】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.17．15π．【解析】【分析】根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解析：15π．【解析】【分析】根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【详解】解：根据题意得圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，所以这个圆锥的侧面积=12×5×2π×3=15π． 【点睛】本题考查圆锥侧面积的计算，掌握公式，准确计算是本题的解题关键. 18．9【解析】【分析】利用两角对应相等两三角形相似证△BCD ∽△BAC ，根据相似三角形对应边成比例得比例式，代入数值求解即可.【详解】解：∵，,∴∠ACB=∠CDB=90°,∵∠B=∠B,解析：9【解析】【分析】利用两角对应相等两三角形相似证△BCD ∽△BAC ，根据相似三角形对应边成比例得比例式，代入数值求解即可.【详解】解：∵BC AC ⊥，CD AB ⊥,∴∠ACB=∠CDB=90°,∵∠B=∠B,∴△BCD ∽△BAC,∴BC BD AB BC = , ∴152515BD =, ∴BD=9.故答案为：9.【点睛】本题考查利用相似三角形的性质求线段长，证明两三角形相似注意题中隐含条件，如公共角，对顶角等，利用相似的性质得出比例式求解是解答此题的关键.19．【解析】【分析】在OA 上取使，得，则，根据点到直线的距离垂线段最短可知当⊥AB 时，CP 最小，由相似求出的最小值即可.【详解】解：如图，在OA 上取使，∵，∴，在△和△QOC 中，，解析：455【解析】【分析】在OA 上取'C 使'OC OC =，得'OPC OQC ≅，则CQ=C'P ，根据点到直线的距离垂线段最短可知当'PC ⊥AB 时，CP 最小，由相似求出C'P 的最小值即可.【详解】解：如图，在OA 上取'C 使'OC OC =，∵90AOC POQ ∠=∠=︒，∴'POC QOC ∠=∠，在△'POC 和△QOC 中，''OP OQ POC QOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△'POC ≌△QOC （SAS ），∴'PC QC =∴当'PC 最小时，QC 最小，过'C 点作''C P ⊥AB ，∵直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，∴A 坐标为：（0，8）；B 点（-4，0），∵'4OC OC OB ===，∴AB =''4AC OA OC =-=. ∵'''OB C P sin BAO AB AC ∠==，''4C P =，∴''C P = ∴线段CQ【点睛】 本题主要考查了一次函数图像与坐标轴的交点及三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．20．【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红 解析：58【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，共5个，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是55538=+ 故答案为:58． 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝m n． 21．【解析】【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】，，，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键． 解析：203【解析】【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】123////l l l ，AB DE BC EF∴=， 3,5,4AB BC DE ===，345EF∴=， 解得203EF =， 故答案为：203． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键． 22．10【解析】【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x 的值即可．【详解】解：当时，，解得，（舍去），．故答案为10．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自解析：10【解析】【分析】根据铅球落地时，高度0y ＝，把实际问题可理解为当0y ＝时，求x 的值即可．【详解】解：当0y ＝时，212501233y x x =-++=， 解得，2x =-（舍去），10x =．故答案为10．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．23．－3【解析】【分析】首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1 的取值范围，可得k ．【详解】解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3解析：－3【解析】【分析】首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1的取值范围，可得k．【详解】解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3代入y＝ax2＋bx＋c得3 1 3ca b c a b c-=⎧⎪-=++⎨⎪-=-+⎩，解得113abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴y=x²+x-3,∵△=b2-4ac=12-4×1×（-3）=13，∴==−1±2，∵1x<0,∴1x=−1-2＜0，∵-4≤-3，∴3222 -≤-≤-，∴-≤ 2.5 -，∵整数k满足k＜x1＜k+1，∴k=-3，故答案为:-3．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是求出二次函数的解析式.24．1250cm2【解析】【分析】设将铁丝分成xcm和（200﹣x）cm两部分，则两个正方形的边长分别是cm，cm ，再列出二次函数，求其最小值即可．【详解】如图：设将铁丝分成xcm和（200﹣解析：1250cm2【解析】【分析】设将铁丝分成xcm 和（200﹣x ）cm 两部分，则两个正方形的边长分别是4xcm ，2004x-cm ，再列出二次函数，求其最小值即可． 【详解】如图：设将铁丝分成xcm 和（200﹣x ）cm 两部分，列二次函数得：y ＝（4x ）2+（2004x -）2＝18（x ﹣100）2+1250，由于18＞0，故其最小值为1250cm 2，故答案为：1250cm 2．【点睛】本题考查二次函数的最值问题，解题的关键是根据题意正确列出二次函数．三、解答题25．（1）50；（2）8.26，8；（3）400 【解析】 【分析】（1）根据总数等于各组数量之和列式计算； （2）根据样本平均数和中位数的定义列式计算； （3）利用样本估计总体的思想解决问题. 【详解】解：（1）本次调查一共抽取了4+10+15+11+10=50名； （2）调查获取的样本数据的平均数为6471081591110108.2650分 ；4+10+15=29<26,所以中位数为8+8=82分； （3）根据题意得2000名居民中得分为10分的约有102000=40050名， ∴社区工作人员需准备400份一等奖奖品. 【点睛】本题考查条形统计图，读懂图形，从图形中得到必要的信息是解答此题的关键，条形统计图的特点是能清楚的反映出各个项目的数据.26．（1）a+2；2；（2）-2或642±3）8215a ≤--【解析】 【分析】（1）将点B 的坐标代入解析式，求得c 的值；将点A 代入解析式，从而求得b ；；（2）由题意可得AO=1，设C 点坐标为（x,y ），然后利用三角形的面积求出点C 的纵坐标，然后代入顶点坐标公式求得a 的值；（3）结合图像，若x ＞1时，y ＜5，则顶点纵坐标大于等于5，根据顶点纵坐标公式列不等式求解即可. 【详解】解：（1）将B （0，2）代入解析式得：c=2将A （－1，0）代入解析式得： a ×（-1）2＋b ×（-1）＋c=0 ∴a-b+2=0 ∴b=a+2 故答案为：a+2；2 （2）由题意可知：AO=1 设C 点坐标为（x,y ）则1112y ⨯⨯= 解得：2y =±当y=2时，2424ac b a-=由（1）可知，b=a+2;c=2 ∴242(2)24a a a⨯-+=解得：a=-2当y=-2时，2424ac b a-=-由（1）可知，b=a+2;c=2 ∴242(2)24a a a⨯-+=-解得：6a =±∴a 的值为-2或6±（3）若x ＞1时，y ＜5，又因为图像过点A （－1，0）、B （0，2） ∴图像开口向下，即a ＜0 则该图像顶点纵坐标大于等于5∴2454ac b a -≥即242(2)54a a a⨯-+≥解得：8a ≤--或8a ≥-+∴a 的取值范围为8a ≤-- 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握顶点坐标公式及数形结合思想解题是本题的解题关键. 27．（1）244y x x =++；（2）①点P 的坐标为()13,1P -，()24,4P -；②()27DN DM DB +=，是定值. 【解析】 【分析】（1）设函数为()()220y a x a =+≠，把()5,9B -代入即可求解；（2）①先求出直线AB 解析式，求出C’点，得到ABC S ∆，再求出PAB S ∆，设点()2,44P x x x ++，过P 作y 轴的平行线交AB 于点P'，得到()',36P x x --，根据三角形面积公式得()()213644332x x x ⎡⎤⨯---++⨯=⎣⎦，解出x 即可求解； ②过P 作x 轴的垂线，垂足为点E ，设AE t =，表示出()22,P t t--，故2PE t=，根据//PE BD ，得APEAMD ∆∆，故PE DM AE DA =，即23t DMt =，得到3DM t =.再过P 作BD 的垂线，垂足为点F ，根据 相似三角形的性质得到93DN t=+，可得()DN DM DB +的值即为定值.【详解】（1）解：设()()220y a x a =+≠，把点()5,9B -代入，得()2952a =-+，解得1a =，∴该抛物线对应的函数表达式为()22244y x x x =+=++. （2）①设直线AB 的函数表达式为y kx b =+， 把()2,0A -，()5,9B -代入，得0295k b k b =-+⎧⎨=-+⎩，解得36k b =-⎧⎨=-⎩. ∴直线AB 的函数表达式为36AB y x =--.设直线AB 与y 轴交于点'C ，则点()'0,6C -，∴'10CC =.()15210152ABC S ∆=⨯-⨯=，1115355PAB ABC S S ∆∆==⨯=.设点()2,44P x x x ++，过P 作y 轴的平行线交AB 于点P'，则()',36P x x --，∴()()213644332x x x ⎡⎤⨯---++⨯=⎣⎦， 13x =-，24x =-，所以点P 的坐标为()13,1P -，()24,4P -.②过P 作x 轴的垂线，垂足为点E ，设AE t =，则()22,P t t --，2PE t=，由//PE BD ，得APEAMD ∆∆，PE DM AE DA =，即23t DMt =，故3DM t =. 过P 作BD 的垂线，垂足为点F ， 由//PF ND ，得BPF BND ∆∆，BF DB PF DN =，即2993t t DN-=-，故93DN t =+. 所以()()939273DN DM DB t t+=+=+，是定值.【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质，相似三角形的判定与性质.28．（1）5；3；90；（2）91；（3）估计评选该荣誉称号的最低分数为97分．理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意即可得出结果；（2）由20×50%=10，结合题意即可得出结论； （3）由20×30%=6，即可得出结论． 【详解】（1）由题意得：90分的有5个；97分的有3个； 出现次数最多的是90分， ∴众数是90分； 故答案为：5；3；90； （2）20×50%＝10，如果该校想确定七年级前50%的学生为“良好”等次，则“良好”等次的测评成绩至少定为91分；故答案为：91；（3）估计评选该荣誉称号的最低分数为97分；理由如下： ∵20×30%＝6，∴估计评选该荣誉称号的最低分数为97分． 【点睛】本题考查了众数、中位数、用样本估计总体等知识；熟练掌握众数、中位数、用样本估计总体是解题的关键． 29．（1）见解析；（2）4． 【解析】 【分析】（1）先证∠AGD=∠B ，再根据∠ADG=∠BEF=90°，即可证明；（2）由（1）得ADG ∆∽FEB ∆，则△ADG 面积与△BEF 面积的比=2AD EF ⎛⎫ ⎪⎝⎭=4．【详解】（1）证：在矩形DEFG 中，GDE FED ∠=∠=90° ∴GDA FEB ∠=∠=90° ∵C GDA ∠=∠=90° ∴A AGD A B ∠+∠=∠+∠=90° ∴AGD B ∠=∠ 在ADG ∆和FEB ∆中∵AGD B ∠=∠,GDA FEB ∠=∠=90° ∴ADG ∆∽FEB ∆（2）解：∵四边形DEFG 为矩形， ∴GD=EF ， ∵△ADG ∽△FEB ，∴224ADG BEFS AD AD SEF GD ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为4． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意证得△ADG ∽△FEB 是解答本题的关键． 30．△ABC ∽△A 'B 'C '，理由见解析 【解析】 【分析】由题意知，根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，可证得△ABD ∽△A 'B 'D '，进而可得∠B ＝∠B '，再根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，即可得△ABC ∽△A 'B 'C '． 【详解】 △ABC ∽△A 'B 'C '，理由：∵==''''''AB BD ADA B B D A D ∴△ABD ∽△A 'B 'D '， ∴∠B ＝∠B '，∵AD 、A 'D '分别是△ABC 和△A 'B 'C '的中线 ∴12BD BC =，1''''2B D BC =， ∴12==1''''''2BCAB BCA B B C B C ， 在△ABC 和△A 'B 'C '中∵=''''AB BCA B B C ，且∠B ＝∠B ' ∴△ABC ∽△A 'B 'C '． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似． 31．（1）2y x x =+；（2）①(2；②点E (2． 【解析】 【分析】（1）抛物线的表达式为：y ＝a (x +1)(x ﹣5)＝a (x 2﹣4x ﹣5)，故﹣5a，解得：a＝﹣3，即可求解； （2）①点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点E ，则点E 为所求，即可求解； ②t ＝AE+2DE ，t ＝AE+2DE ＝AE +EH ，当A 、E 、H 共线时，t 最小，即可求解． 【详解】（1）抛物线的表达式为：y ＝a (x +1)(x ﹣5)＝a (x 2﹣4x ﹣5)， 故﹣5a＝3，解得：a＝﹣3，故抛物线的表达式为：2y x x =+； （2）①函数的对称轴为：x ＝2，点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点E ，则点E 为所求，由点B、C的坐标得，BC的表达式为：y＝﹣33x+533，当x＝2时，y＝3，故答案为：(2，3)；②t＝AE+12 DE，过点D作直线DH，使∠EDH＝30°，作HE⊥DH于点H，则HE＝12 DE，t＝AE+12DE＝AE+EH，当A、E、H共线时，t最小，则直线A(E)H的倾斜角为：30°，直线AH的表达式为：y＝3(x+1)当x＝2时，y＝3，故点E(2，3)．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，掌握二次函数的性质以及解析式、对称的性质是解题的关键．32．（1）12；（2）13【解析】【分析】（1）根据甲、乙两所医院分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案；（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）根据题意画图如下：。
2023年北京市朝阳初三(上)期末数学试卷及答案
.15. 某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如下：
种子个数
100 200 300 400 500 800 1100 1400
发芽种子个数 94 187 282 337 436 718 994 1254
发芽种子频率 0.940 0.935 0 940 0.843 0.872 0.898 0.904 0.896
系”）
13. 如图，PA ，PB 是圆O 的两条切线，切点分别为 A，B，连接 OA ，AB ，若 OAB = 35 ，则 ABP =
______°．
第2页/共23页
14. 如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成 12 个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，
使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是 1 ，则涂上红色的小扇形有______个． 3
2023 北京朝阳初三（上）期末
数学（选用）
（考试时间 120 分钟 满分 100 分） 考生须知： 1.本试卷共 8 页，28 道小题．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 2.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 3.在答题卡上，选择题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 4.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共 16 分，每题 2 分）第 1－8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
其中 A 型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金 4 元，现有 28 升材料需要存放且每个盒 子要装满材料． （1）若购买 A，B，C 三种型号的盒子的个数分别为 2，3，4，则购买费用为______元； （2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过 58 元，则购买 A，B，C 三种型号的盒子的个数分别为 ______．（写出一种即可）
2024年北京朝阳区初三九年级上学期期末数学试题和答案
张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植．随机摸出一张卡片写有“珍的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为R，所在一定范围内变化时，l与S都随R的变第12题图第14题图试题13．某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是检测过程中的一组统计数据：估计这批产品合格的产品的概率为．14．如图，AB 是半圆O 的直径，将半圆O 绕点A 逆时针旋转30°，点B 的对应点为B '，连接A B '，若AB ＝8，则图中阴影部分的面积是_______.15．对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度h ，初速度v ，抛出后所经历的时间t ，这三个量之间有如下关系：221gt vt h -=（其中 g 是重力加速度，g 取10m/s 2）．将一物体以v=21m/s 的初速度v 向上抛，当物体处在离抛出点18m 高的地方时，t 的值为 ．16．已知函数y 1＝kx ＋4k －2（k 是常数，k ≠0），y 2＝ax 2＋4ax －5a （a 是常数，a ≠0），在同一平面直角坐标系中，若无论k 为何值，函数y 1和y 2的图象总有公共点，则a 的取值范围是_______.三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程x 2-1 =6x ．18．关于x 的一元二次方程x 2-(m +4)x +3(m +1)=0 ．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一根小于0，求m 的取值范围．抽取的产品数n 5001000150020002500300035004000合格的产品数m 476967143119262395288333673836合格的产品频率nm0.9520.9670.9540.9630.9580.9610.9620.959图2图3图1图1 图2试题北京市朝阳区2023～2024学年度第一学期期末检测九年级数学试卷参考答案及评分标准(选用)2024.1一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案DABCACAC二、填空题（共16分，每题2分）三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17．解：方程化为x 2 -6x =1．x 2 -6x+9 =10．1032=-）（x ．103±=-x ．1031+=x ，1032-=x ．18．（1）证明:依题意，得=[-(m +4)]2-4×3(m +1) =(m -2)2．∵(m -2)2≥0，∴0≥∆∴该方程总有两个实数根．（2）解：解方程，得x =．∴x 1= m +1，x 2=3．依题意，得m +1<0．∴m <-1．19．解：（1）根据题意，设该二次函数的解析式为 y 2=a (x -1)2+4．当x =0时，y 2 =3∴a =-1．∴y 2=-x 2+2x +3．题号9101112答案x 1=3，x 2=-3相切（1，3）140题号13141516答案答案不唯一，如0.9593438+π1.2或3a ＜0或a ≥52线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.由题意可知，抛物线顶点C ），（9254．设抛物线对应的函数解析式)4(2+-=x a y试题26. 解：（1）由题意知，a +b +c = 9a +3b +c .∴b = -4a .∴22=-=a b t . （2）∵a >0，∴当x ≥t 时，y 随x 的增大而增大；当x ≤t 时，y 随x 的增大而减小.设抛物线上的四个点的坐标为A (t -1，m A ) ，B （t ，m B ），C （2，n C ），D （3，n D ）.点A 关于对称轴x =t 的对称点为A'（t +1，m A ）∵抛物线开口向上，点B 是抛物线顶点，∴m A ＞m B .ⅰ 当t ≤1时，n C < n D∴t +1≤2.∴m A ≤n C ，∴不存在m ＞n ，不符合题意.ⅱ 当1<t ≤2时，n C < n D∴2<t ＋1≤3.∴m A ＞n C .∴存在m ＞n ，符合题意.ⅲ当2<t ≤3时，∴n 的最小值为m B .∵m A ＞m B .. ∴存在m ＞n ，符合题意.ⅳ 当3<t <4时，n D <n C .∴2<t －1＜3.∴m A ＞n D .∴存在m ＞n ，符合题意.ⅴ 当t ≥4时，n D <n C .∴t -1≥3.∴m A ≤n D ，∴不存在m ＞n ，不符合题意.综上所述，t 的取值范围是1<t <4.）解：补全图1，如图.证明：延长AF到点G，使得GF=AF，连接，连接GE并延长，与AB的延长。
北京市朝阳区九年级上册期末数学试卷(有答案)【最新】
北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．如图，利用刻度尺和三角尺测得圆的直径是（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．7.5cm2．下列事件中，随机事件是（）A．任意画一个圆的内接四边形，其对角互补B．现阶段人们乘高铁出行在购买车票时，采用网络购票方式C．从分别写有数字1，2，3的三个纸团中随机抽取一个，抽到的数字是0D．通常情况下，北京在大寒这一天的最低气温会在0℃以下3．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．小楠参观中国国家博物馆时看到两件“王字铜衡”，这是我国古代测量器物重量的一种比较准确的衡器，体现了杠杆原理．小楠决定自己也尝试一下，她找了一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起，在中点的左侧距离中点25cm处挂了一个重1.6N的物体，在中点的右侧挂了一个苹果，当苹果距离中点20cm时木杆平衡了，可以估计这个苹果的重大约是（）A．1.28N B．1.6N C．2N D．2.5N5．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD ＝2，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A．4：9B．9：4C．2：3D．3：26．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝14，BC＝7．则∠BDC的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．2πC．4D．4π8．如图，一条抛物线与轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB 上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣7二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为3，则正六边形ABCDEF的边长为．10．如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转，得到△A B'C'，点C恰好在B'C'上，旋转角为α，则∠C'的度数为（用含α的式子表示）．11．在反比例函数的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），1＜2＜0，y1＞y2，则m 的取值范围是．12．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，PO与AB相交于点C，PA＝6，∠APB＝60°，则OC的长为．13．如图，双曲线y＝与抛物线y＝a2+b+c交于点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3），由图象可得不等式组0＜+b+c的解集为．14．如图，在平面直角坐标系中，△COD可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转、位似）得到的，写出一种由△AOB得到△COD的过程：．15．“π的估计”有很多方法，下面这个随机模拟实验就是一种，其过程如下：如图，随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的白纸上，统计落在圆内的米粒数m与正方形内的米粒数n，并计算频率；在相同条件下，大量重复以上试验，当显现出一定稳定性时，就可以估计出π的值为．请说出其中所蕴含的原理：．16．下面是“作顶角为120°的等腰三角形的外接圆”的尺规作图过程．已知：△ABC，AB＝AC，∠A＝120°．求作：△ABC的外接圆．作法：（1）分别以点B和点C为圆心，AB的长为半径作弧，两弧的一个交点为O；（2）连接BO；（3）以O为圆心，BO为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27题，每小题5分，第28题8分）17．小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程．已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'．求证：△ABC∽△A'B'C'．证明：在线段A'B'上截取A'D＝AB，过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点E．由此得到△A'DE∽△A'B'C'．∴∠A'DE＝∠B'．∵∠B＝∠B'，∴∠A'DE＝∠B．∵∠A'＝∠A，∴△A'DE≌△ABC．∴△ABC∽△A'B'C'．小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：（1）首先，通过作平行线，依据，可以判定所作△A'DE与；（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A'DE与；（3）最后，可证得△ABC∽△A'B'C'．18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，∠ADB ＝45°．求⊙O半径的长．19．如图，在平面直角坐标系Oy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．（1）以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C；（2）在（1）中的条件下，①点A经过的路径的长为（结果保留π）；②写出点B′的坐标为．20．图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m时，水面宽8m．水面上升3米，水面宽度减少多少？下面给出了解决这个问题的两种方法．方法一如图1，以上升前的水面所在直线与抛物线左侧交点为原点，以上升前的水面所在直线为轴，建立平面直角坐标系Oy，这时这条抛物线所表示的二次函数的表达式为；当y＝3时，求出此时自变量的取值，即可解决这个问题．方法二如图2，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系Oy，这时这条抛物线所表示的二次函数的表达式为；当y＝时，求出此时自变量的取值，即可解决这个问题．21．有两盏节能灯，每一盏能通电发亮的概率都是50%，按照图中所示的并联方式连接电路，观察这两盏灯发亮的情况．（1）列举出所有可能的情况；（2）求出至少有一盏灯可以发亮的概率．22．如图，在平面直角坐标系Oy中，直线y＝﹣2﹣3与双曲线交于M（a，2），N（1，b）两点．（1）求，a，b的值；（2）若P是y轴上一点，且△MPN的面积是7，直接写出点P的坐标．23．如图，正方形ABCD的边长为2，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE 的垂线段，垂足为F．（1）求证：△PAF∽△AED；（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出PA的长．24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，⊙O的切线DE交AC于点E．（1）求证：E是AC中点；（2）若AB＝10，BC＝6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长．25．△ACB中，∠C＝90°，以点A为中心，分别将线段AB，AC逆时针旋转60°得到线段AD，AE，连接DE，延长DE交CB于点F．（1）如图1，若∠B＝30°，∠CFE的度数为；（2）如图2，当30°＜∠B＜60°时，①依题意补全图2；②猜想CF与AC的数量关系，并加以证明．26．如图，直线AM和AN相交于点A，∠MAN＝30°，在射线AN上取一点B，使AB＝6cm，过点B作BC⊥AM于点C，D是线段AB上的一个动点（不与点B重合），过点D作CD 的垂线交射线CA于点E．（1）确定点B的位置，在线段AB上任取一点D，根据题意，补全图形；（2）设AD＝cm，CE＝y cm，探究函数y随自变量的变化而变化的规律．①通过取点、画图、测量，得到了与y的几组对应值，如下表：②建立平面直角坐标系Oy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；③结合画出的函数图象，解决问题：当AD为Rt△CDE斜边CE上的中线时，AD的长度约为cm（结果保留一位小数）．27．已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：y＝a2﹣8a﹣交轴于A，B 两点（点A在点B的左侧），且AB＝6；抛物线l2与l1交于点A和点C（5，n）．（1）求抛物线l1，l2的表达式；（2）当的取值范围是时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（3）直线MN∥y轴，交轴，l1，l2分别相交于点P（m，0），M，N，当1≤m≤7时，求线段MN的最大值．28．在平面直角坐标系Oy中，点A（0，6），点B在轴的正半轴上．若点P，Q在线段AB 上，且PQ为某个一边与轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“矩形”．下图为点P，Q的“矩形”的示意图．（1）若点B（4，0），点C的横坐标为2，则点B，C的“矩形”的面积为．（2）点M，N的“矩形”是正方形，①当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，点N的坐标及经过点N的反比例函数的表达式；②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出r的取值范围．北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．如图，利用刻度尺和三角尺测得圆的直径是（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．7.5cm【分析】根据圆的知识，连接两平行切线切点的线段就是直径．【解答】解：此刻度尺的超始端值为3.5cm，末端刻度为7.5cm，所以圆的直径是：7.5﹣3.5＝4cm，故选：C．【点评】本题考查了切线的性质，明确连接两切点之间线段就是圆的直径是本题的关键．2．下列事件中，随机事件是（）A．任意画一个圆的内接四边形，其对角互补B．现阶段人们乘高铁出行在购买车票时，采用网络购票方式C．从分别写有数字1，2，3的三个纸团中随机抽取一个，抽到的数字是0D．通常情况下，北京在大寒这一天的最低气温会在0℃以下【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、是必然事件，故A不符合题意；B、是随机事件，故B符合题意；C、是不可能事件，故C不符合题意；D、是必然事件，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．小楠参观中国国家博物馆时看到两件“王字铜衡”，这是我国古代测量器物重量的一种比较准确的衡器，体现了杠杆原理．小楠决定自己也尝试一下，她找了一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起，在中点的左侧距离中点25cm处挂了一个重1.6N的物体，在中点的右侧挂了一个苹果，当苹果距离中点20cm时木杆平衡了，可以估计这个苹果的重大约是（）A．1.28N B．1.6N C．2N D．2.5N【分析】由题意得：物体的重量与力矩成反比，设：苹果的重量为千克，则：25×1.6＝20×，即可求解．【解答】解：由题意得：物体的重量与力矩成反比，设：苹果的重量为千克，则：25×1.6＝20×，解得：＝2（N），故选：C．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．5．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD ＝2，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A．4：9B．9：4C．2：3D．3：2【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．【解答】解：∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，∴其相似比为2：3，∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为4：9；故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的高的比等于相似比是解答此题的关键．6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝14，BC＝7．则∠BDC的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】只要证明△OCB是等边三角形，可得∠CDB＝∠COB即可解决问题；【解答】解：如图，连接OC．∵AB＝14，BC＝7，∴OB＝OC＝BC＝7，∴△OCB是等边三角形，∴∠COB＝60°，∴∠CDB＝∠COB＝30°，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的首先解决问题，属于中考常考题型．7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．2πC．4D．4π【分析】根据阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC的面积﹣扇形CAA'的面积），代入数值解答即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴BC＝，∠ACB＝∠A'CB'＝45°，∴阴影部分的面积＝＝2π，故选：B．【点评】本题考查了扇形面积公式的应用，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积为S＝．8．如图，一条抛物线与轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB 上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣7【分析】根据顶点P在线段AB上移动，又知点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），分别求出对称轴过点A和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值．【解答】解：根据题意知，点N的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B点，点N的横坐标最大，此时的M点坐标为（﹣2，0），当对称轴过A点时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为（1，0），M点的坐标为（﹣5，0），故点M的横坐标的最小值为﹣5，故选：C．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为3，则正六边形ABCDEF的边长为3．【分析】由于正六边形可以分成六个边长的正三角形，而正多边形的半径即为正三角形的边长，同时也是正六边形ABCDEF的边长．【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为3，而正六边形可以分成六个边长的正三角形，∴正多边形的半径即为正三角形的边长，∴正三角形的边长为3，∴正六边形ABCDEF的边长为3，故答案为：3【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题，解题关键是根据正六边形可以分成六个边长的正三角形解答．10．如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转，得到△A B'C'，点C恰好在B'C'上，旋转角为α，则∠C'的度数为90°﹣（用含α的式子表示）．【分析】根据旋转的性质可得AC＝AC′，∠CAC′＝α，∠C＝∠C′，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【解答】解：∵△ABC绕着点A顺时针方向旋转α得到△A B'C'，∴AC＝AC′，∠CAC′＝α，∠C＝∠C′，∴∠C′＝（180°﹣α）＝90°﹣，∴∠C'＝90°﹣．故答案为：90°﹣．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，旋转前后对应边相等，对应角相等．11．在反比例函数的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），1＜2＜0，y1＞y2，则m的取值范围是m＜．【分析】根据题意可得双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随的增大而减小，进而可得3﹣2m＞0，再解即可．【解答】解：∵1＜2＜0，y1＞y2，∴3﹣2m＞0，解得：m＜，故答案为：m．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数的性质（1）反比例函数y＝（≠0）的图象是双曲线；（2）当＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随的增大而减小；（3）当＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随的增大而增大．12．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，PO与AB相交于点C，PA＝6，∠APB＝60°，则OC的长为．【分析】根据切线长定理易证PA＝PB，则△ABP是等边三角形，PO是∠APB的平分线，利用三角函数逐个求解即可．【解答】解：连接OA．∵PA，PB切⊙O于点A，B，∴∠OAP＝90°，∠APO＝∠APB＝30°，∴OA＝，∠AOP＝60°∴OC＝OA＝，故答案为：【点评】本题考查了切线长定理以及三角函数，正确利用三角函数确定三角形的边的关系是关键．13．如图，双曲线y＝与抛物线y＝a2+b+c交于点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3），由图象可得不等式组0＜+b+c的解集为2＜＜3．【分析】根据函数图象写出轴上方且抛物线在双曲线上方部分的的取值范围即可．【解答】解：由图可知，2＜＜3时，0＜＜a2+b+c，所以，不等式组0＜＜a2+b+c的解集是2＜＜3．故答案为：2＜＜3．【点评】本题考查了二次函数与不等式组，此类题目，准确识图，利用数形结合的思想求解更简便．14．如图，在平面直角坐标系中，△COD可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转、位似）得到的，写出一种由△AOB得到△COD的过程：以原点O为位似中心，位似比为，在原点O同侧将△AOB缩小，再将得到的三角形沿y轴翻折得到△COD．【分析】根据位似和对称进行解答即可．【解答】解：以原点O为位似中心，位似比为，在原点O同侧将△AOB缩小，再将得到的三角形沿y轴翻折得到△COD，故答案为：以原点O为位似中心，位似比为，在原点O同侧将△AOB缩小，再将得到的三角形沿y轴翻折得到△COD【点评】考查了坐标与图形变化﹣位似，对称，解题时需要注意：位似比和位似中心．15．“π的估计”有很多方法，下面这个随机模拟实验就是一种，其过程如下：如图，随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的白纸上，统计落在圆内的米粒数m 与正方形内的米粒数n ，并计算频率；在相同条件下，大量重复以上试验，当显现出一定稳定性时，就可以估计出π的值为．请说出其中所蕴含的原理： 用频率估计概率 ．【分析】根据几何概型的概率公式，即可以进行估计，得到结论．【解答】解：随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的白纸上，统计落在圆内的米粒数m 与正方形内的米粒数n ，并计算频率；在相同条件下，大量重复以上试验，当显现出一定稳定性时，就可以估计出π的值为．其中所蕴含的原理是用频率估计概率．故答案为：用频率估计概率．【点评】本题主要考查用频率估计概率，根据几何概型的概率公式，进行估计是解决本题的关键，比较基础．16．下面是“作顶角为120°的等腰三角形的外接圆”的尺规作图过程．已知：△ABC ，AB ＝AC ，∠A ＝120°．求作：△ABC 的外接圆．作法：（1）分别以点B 和点C 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧的一个交点为O ；（2）连接BO ；（3）以O 为圆心，BO 为半径作⊙O ．⊙O 即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是 四边形相等的四边形是菱形、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形、圆的定义 ．【分析】由作图知AB ＝OB ＝OC ＝AC 可判定四边形ABOC 为菱形，根据∠BAC ＝120°知∠BAO ＝∠CAO ＝60°，从而得∠BAO ＝∠CAO ＝60°，即△OAB 、△OAC 为等边三角形，继而由OB ＝OA ＝OC 可得所求作的圆．【解答】解：如图，连接OA 、OC ，由作图知BA＝BO、OC＝OA，∵AB＝AC，∴AB＝OB＝OC＝AC，∴四边形ABOC为菱形（四边形相等的四边形是菱形），又∵∠BAC＝120°，∴∠BAO＝∠CAO＝60°，则△OAB、△OAC为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），∴OB＝OA＝OC，∴点A、B、C在以O为圆心、OB为半径的圆上（圆的定义），综上，该尺规作图的依据为：四边形相等的四边形是菱形、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形、圆的定义．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及圆的定义．三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27题，每小题5分，第28题8分）17．小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程．已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'．求证：△ABC∽△A'B'C'．证明：在线段A'B'上截取A'D＝AB，过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点E．由此得到△A'DE∽△A'B'C'．∴∠A'DE＝∠B'．∵∠B＝∠B'，∴∠A'DE＝∠B．∵∠A'＝∠A，∴△A'DE≌△ABC．∴△ABC∽△A'B'C'．小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：（1）首先，通过作平行线，依据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可以判定所作△A'DE与△A'B'C'相似；（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A'DE与△ABC全等；（3）最后，可证得△ABC∽△A'B'C'．【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答即可．【解答】解：小明将证明的基本思路概括如下：（1）首先，通过作平行线，依据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可以判定所作△A'DE与△A'B'C'相似；（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A'DE与△ABC全等；（3）最后，可证得△ABC∽△A'B'C'．故答案为：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；△A'B'C'相似；△ABC全等．【点评】本题考查了相似三角形的判定；熟记平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似是解决问题的关键．18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，∠ADB ＝45°．求⊙O半径的长．【分析】根据圆周角定理得∠ABC＝90°，然后在Rt△ABC利用勾股定理计算即可．【解答】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵∠ADB＝45°，∴∠ACB＝∠ADB＝45°，∵AB＝2，∴BC＝AB＝2，∴AC＝，∴⊙O半径的长为．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．19．如图，在平面直角坐标系Oy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．（1）以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C；（2）在（1）中的条件下，①点A经过的路径的长为（结果保留π）；②写出点B′的坐标为（﹣1，3）．【分析】（1）根据旋转的定义作出点A、B绕点C逆时针旋转90°得到的对应点，再顺次连接可得；（2）①根据弧长公式列式计算即可；②根据（1）中所作图形可得．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C即为所求；（2）①∵AC＝＝5，∠ACA′＝90°，∴点A经过的路径的长为＝，故答案为：；②由图知点B′的坐标为（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出对应点及弧长公式．20．图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m时，水面宽8m．水面上升3米，水面宽度减少多少？下面给出了解决这个问题的两种方法．方法一如图1，以上升前的水面所在直线与抛物线左侧交点为原点，以上升前的水面所在直线为轴，建立平面直角坐标系Oy，这时这条抛物线所表示的二次函数的表达式为y＝﹣2+2；当y＝3时，求出此时自变量的取值，即可解决这个问题．方法二如图2，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系Oy，这时这条抛物线所表示的二次函数的表达式为y＝﹣2；当y＝﹣1时，求出此时自变量的取值，即可解决这个问题．【分析】方法一：根据顶点坐标为（4，4），设其解析式为y＝a（﹣4）2+4，将（0，0）代入求出a的值即可得；方法二：设抛物线解析式为y＝a2，将点（4，﹣4）代入求得a的值，据此可得抛物线的解析式，再求出上涨3m后，即y＝﹣1时的值即可得．【解答】解：方法一、根据题意知，抛物线与轴的交点为（0，0）、（8，0），其顶点坐标为（4，4），设解析式为y＝a（﹣4）2+4，将点（0，0）代入，得：16a+4＝0，解得：a＝﹣，则抛物线解析式为y＝﹣（﹣4）2+4＝﹣2+2，故答案为：y＝﹣2+2；方法二：由题意知，抛物线过点（4，﹣4），设抛物线解析式为y＝a2，将点（4，﹣4）代入，得：16a＝﹣4，解得：a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣2，当y＝﹣1时，﹣2＝﹣1，解得：＝2或＝﹣2，则水面的宽减少了8﹣4＝4（m），故答案为：y＝﹣2，﹣1．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立合适的平面直角坐标系及熟练掌握待定系数法求函数解析式．21．有两盏节能灯，每一盏能通电发亮的概率都是50%，按照图中所示的并联方式连接电路，观察这两盏灯发亮的情况．（1）列举出所有可能的情况；（2）求出至少有一盏灯可以发亮的概率．【分析】（1）设两盏节能灯分别记为灯1，灯2，通过列表即可得到所有可能情况；（2）由（1）可知所有可能的结果，即可求出至少有一盏灯可以发亮的概率．【解答】解：（1）列表如下：可以发亮的情况有3种，所有P（至少有一盏灯可以发亮）＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．如图，在平面直角坐标系Oy 中，直线y ＝﹣2﹣3与双曲线交于M （a ，2），N （1，b ）两点．（1）求，a ，b 的值；（2）若P 是y 轴上一点，且△MPN 的面积是7，直接写出点P 的坐标 （0，1）或（0，﹣7） ．【分析】（1）把M 、N 两点的坐标分别代入直线的解析式，求得a 、b 的值，再把N 点坐标代入反比例函数解析式求出的值；（2）设直线y ＝﹣2﹣3与y 轴交于点C ，把＝0代入y ＝﹣2﹣3求出y 的值，确定出C 点坐标，根据S △MPN ＝S △MPC +S △CPN ，由已知的面积求出PC 的长，进而求出点P 的坐标．【解答】解：（1）∵直线y ＝﹣2﹣3过点M （a ，2），N （1，b ），∴﹣2a ﹣3＝2，b ＝﹣2﹣3，∴a ＝﹣2.5，b ＝﹣5．∵双曲线过点N （1，﹣5），∴＝﹣5；（2）如图，设直线y＝﹣2﹣3与y轴交于点C．∵y＝﹣2﹣3，∴＝0时，y＝﹣3，即C（0，﹣3），OC＝3．根据题意得：S△MPN ＝S△MPC+S△CPN＝PC×2.5+PC×1＝7，解得：PC＝4，∵C（0，﹣3），∴P（0，﹣3+4）或（0，﹣3﹣4），即P（0，1）或（0，﹣7）．故答案为（0，1）或（0，﹣7）．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．23．如图，正方形ABCD的边长为2，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE 的垂线段，垂足为F．（1）求证：△PAF∽△AED；（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出PA的长1或．【分析】（1）根据正方形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当∠PEF＝∠EAD时，则得到四边形ADEP为矩形，从而求得的值；当∠PEF＝∠AED时，再结合（1）中的结论，得到等腰△APE．再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，∴CD∥AB，∠D＝90°∴∠AED＝∠PAF，又∵PF⊥AE，∴∠PFA＝∠D＝90°．∴△PFA∽△ADE．（2）解：情况1，当△EFP∽△ADE，且∠PEF＝∠EAD时，则有PE∥AD∴四边形ADEP为矩形．∴PA＝ED＝1；情况2，当△PFE∽△ADE，且∠PEF＝∠AED时，∵∠PAF＝∠AED，∴∠PEF＝∠PAF．∴PE＝PA．∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点．∵AE＝＝，∴AF＝，∵△PFA∽△ADE，＝，∴＝，∴PA＝∴满足条件的PA的值为1或．故答案为1或．。
北京市朝阳区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题(含答案解析)
北京市朝阳区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．用配方法解方程23620x x-+=，将方程变为21()3x m的形式，则m的值为（）A．9 B．－9 C．1 D．－13．正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为（）A．16y x=B．6y x=C．26y x=D．6yx=4．若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（）A．4 B．5 C．6 D．75．下列方程中，无实数根的方程是（）A．230x x+=B．2210x x+-=C．2210x x++=D．230x x-+=6．如图，一个可以自由转动的转盘被分为8个大小相同的扇形，颜色标注为红，黄，绿，指针的位置固定，转动转盘停止后，其中某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则下列说法正确的是（）A．指针指向黄色的概率为2 3B．指针不指向红色的概率为3 4C．指针指向红色或绿色的概率为1 2D．指针指向绿色的概率大于指向黄色的概率7．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90º，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为（）A ．12B ．2C D ．18．如图，平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝kx 交于M ，N 两点，则二次函数y ＝ax 2＋（b －k ）x ＋c 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为____cm ．10．如图所示的正方形网格中，A ，B ，C ，D ，P 是网格线交点．若∠APB ＝α，则∠BPC 的度数为 ____（用含α的式子表示）．11．一元二次方程2310x x -+=的根为________．12．下列事件，①通常加热到100℃，水沸腾；②人们外出旅游时，使用手机app 购买景点门票；③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180°．其中是不确定事件的是____（只填写序号即可）13．在同一个平面直角坐标系中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x 的图象如图所示，则1a ，2a ，3a 的大小关系为____．14．响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明家利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为______ ．15．如图，平面直角坐标系xOy 中，等边△ABC 在的顶点A 在y 轴的正半轴上，B （5-，0），C （5，0），点D （11，0），将△ACD 绕点A 顺时针旋转60º得到△ABE ，则弧BC 的长度为____，线段AE 的长为____，图中阴影部分面积为____．16．不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．下面有四个推断：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40 所有合理推断的序号是_____．三、解答题17．关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m +-++-=有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，写出一个符合条件的m 的值并求出此时方程的根．18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了△ABC 和点D （A ，B ，C ，D 是网格线交点）．（1）画出一个△DEF ，使它与△ABC 全等，且点D 与点A 是对应点，点E 与点B 是对应点，点F 与点C 是对应点（要求：△DEF 是由△ABC 经历平移、旋转得到的，两种图形变化至少各一次）．（2）在（1）的条件下，网格中建立平面直角坐标系，写出点C和点F的坐标．19．已知：如图，△ABC中， C＝90°．求作：∠CPB＝∠A，使得顶点P在AB的垂直平分线上．作法：①作AB的垂直平分线l，交AB于点O；②以O为圆心，OA为半径画圆，⊙O与直线l的一个交点为P（点P与点C在AB的两侧）；③连接BP，CP．∠CPB就是所求作的角．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OC，∵l为AB的垂直平分线∴OA＝．∵∠ACB＝90°，∴OA＝OB＝OC．∴点A，B，C都在⊙O上．又∵点P在⊙O上，∴∠CPB＝∠A（）（填推理依据）．20．12月4日是全国法制宣传日．下面是某校九年级四个班的学生（各班人数相同）在一次“宪法知识竞答”活动中的成绩的频数分布表：（1）频数分布表中，m＝；（2）从70≤x＜75中，随即抽取2名学生，那么所抽取的学生，至少有1人是一班学生的概率是多少？21．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx－3与直线y＝－x－1交于点A（－1，0），B（m，－3），点P是线段AB上的动点．（1）① m＝；②求抛物线的解析式；（2）过点P作直线l垂直于x轴，交抛物线y＝ax2＋bx－3于点Q，求线段PQ的长最大时，点P的坐标23．在等腰直角△ABC中，AB＝AC， BAC＝90°，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB上的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l于点D．（1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形；①求证：∠BDP ＝∠PCB ；②用等式表示线段BC ，BD ，BP 之间的数量关系，并证明．（2）点P 在线段AB 的延长线上，直接写出线段BC ，BD ，BP 之间的数量关系．24．已知抛物线22234(0)y ax ax a a =++-≠． （1）该抛物线的对称轴为 ；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求抛物线的解析式；（3）设点M （m ，1y ），N （2，2y ）在该抛物线上，若1y ＞2y ，求m 的取值范围． 25．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为2，A ，B 为⊙O 外两点，AB ＝1.给出如下定义：平移线段AB ，使线段AB 的一个端点落在⊙O 上，其他部分不在⊙O 外，点A ，B 对应点分别为点A´，B´，线段A A´长度的最大值称为线段AB 到⊙O 的“极大距离”，记为 d （AB ，⊙O ）． （1）若点A （-4，0）．①当点B 为（-3，0），如图所示，平移线段AB ，在点P 1（-2，0），P 2（-1，0），P 3（1，0），P 4（2，0）中，连接点A 与点 的线段的长度为d （AB ，⊙O ）； ②当点B 为（-4，1），求线段AB 到⊙O 的“极大距离”所对应的点A´的坐标； （2）若点A （-4，4），d （AB ，⊙O ）的取值范围是 ．参考答案1．A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】A 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；B 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误；C 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误；D 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误； 故选：A ． 【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，理解基本定义是解题关键． 2．C 【分析】根据配方法将23620x x -+=化简，然后得出结果即可． 【详解】解：方程23620x x -+=可化为：22203x x则有2221103x x ，∴()2113x -=， 则1m =， 故选：C ． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3．C 【分析】根据正方体有6个正方形面列式即可得解． 【详解】解：∵正方体有6个表面， ∴y=6x 2，∴y与x关系式为y=6x2，故选：C【点睛】本题是对函数关系式的考查，明确正方体有6个正方形面是解题的关键．4．C【分析】根据题意，内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则正n边形的中心角为60︒，由︒÷︒可得结果．36060【详解】解：内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，∴正n边形的中心角为60︒，︒÷︒=，360606∴n的值为6，故选：C．【点睛】本题考查了正n边形中心角的定义，熟记并理解正n边形中心角的定义是解决本题的关键．5．D【分析】根据一元二次方程根的判别式逐项判断即可．【详解】A．2341090∆=-⨯⨯=>，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，故A不符合题意．∆=-⨯⨯-=>，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，故B不符合B．2241(1)80题意．C．224110-，所以该一元二次方程有一个实数根，故C不符合题意．∆=⨯⨯=D．21413110∆=-⨯⨯=-<，所以该一元二次方程无实数根，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，熟练运用一元二次方程根的判别式来判断一元二次方程根的情况是解答本题的关键．6．B【分析】将所用可能结果和指针指向颜色的结果列举出来，然后根据概率公式进行求解，再进行判断即可．【详解】 解：转盘分成8个相同的图形，其中黄色有3个，绿色有3个，红色有2个，∴P （指针指向黄色）38=， P （指针不指向红色）43338， P （指针指向红色或绿色）83528， P （指针指向绿色）38=， 则P （指针指向绿色）=P （指针指向黄色），综上所述，正确的只有B ，故选：B ．【点睛】本题考查了概率的求法，熟悉相关性质是解题的关键．7．B【分析】连接AB ，由垂径定理可得点C 、D 分别是AP 、PB 的中点，然后由勾股定理及三角形中位线可进行求解．【详解】解：连接AB ，如图所示：∵OC ⊥AP ，OD ⊥BP ，∴AC=CP ，PD=DB ，∴点C 、D 分别是AP 、PB 的中点， ∴12CD AB =， ∵∠AOB=90°，OA=OB=1，∴AB =∴CD =故选B ．【点睛】本题主要考查垂径定理及三角形中位线、勾股定理，熟练掌握垂径定理及三角形中位线、勾股定理是解题的关键．8．A【分析】根据题意和题目中给出的函数图象，可以得到函数()2y ax b k x c =+-+的大致图象，从而可以解答本题．【详解】解：∵2y ax bx c =++，y kx =，∴()22y ax bx c kx ax b k x c =++-=+-+， 由图像可知，在点M 和点N 之间，0y <，在点M 的左侧或点N 的右侧，0y >， 故选项A 符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9．1.5【分析】根据题意可得圆与地面墙面相切，然后由切线定理可直接进行求解．【详解】解：由题意得：圆与地面墙面都相切，由切线定理及图形可得圆的半径为1.5cm ；故答案为1.5．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，切线的性质定理，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．10．90-α︒【分析】由图可知AC 的长，根据勾股定理可以求得PA 、PC 的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAC 的形状，从而可以得到∠CPA 的度数，然后即可得到∠BPC=∠CPA−∠APB 的度数．【详解】设网格的长度为1，则= = ，AC=6222AP PC AC +=∴ △PAC 为等腰直角三角形∴∠CPA=90︒∴∠BPC=∠CPA−∠APB=90-α︒故答案为：90-α︒【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．1233,22x x +-== 【分析】观察方程，用公式法解方程即可.【详解】a =1，b =−3，c =1，∵△=9−4=5，∴x ==1233,22x x +-==故答案为1233,22x x +-== 【点睛】考查一元二次方程的解法，掌握公式法的公式是解题的关键.12．②【分析】根据随机事件的定义分析，即可得到答案．【详解】通常加热到100℃，水沸腾，是必然事件；人们外出旅游时，使用手机app 购买景点门票，是不确定事件；在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180°，是不可能事件；∴不确定事件的是②故答案为：②．【点睛】本题考查了随机事件的知识；解题的关键是熟练掌握随机事件的分类，从而完成求解． 13．123a a a <<．【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a 的关系可得出答案．【详解】 解：根据二次函数图像的性质，a 越大，开口越小，反之a 越小，开口越大，由图像可知，0a >，并且图像开口211y a x =最大，233y a x 最小，则有123a a a <<．故答案是：123a a a <<．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a 的关系是解题关键．14．()224000134560x +=【分析】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为 x ，根据该商店6月份及8月份的利润，可得出关于 x 的一元二次方程；【详解】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为 x ()224000134560x +=故答案为：()224000134560x +=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．15．103π 14 16π 【分析】根据题意可知AB 的长和60BAC ∠=︒，再利用弧长公式计算即可；根据旋转的性质可知AE AD =，求出AD 的长即可；根据图形可知=AED ABC S S S -阴影扇形扇形，再利用扇形面积公式计算即可．【详解】根据题意可知AB=BC=AC=10，60BAC ∠=︒，∴BC 的长6010101803ππ⨯⨯==； 根据题意可知OC=5，∴OA =A 点坐标为(0，．又∵△ABE 是由△ACD 绕点A 顺时针旋转60º得到，∴14AE AD ===；根据图形可知=ABE ACD AED ABC S S S S S +--阴影扇形扇形，∵△ABE 是由△ACD 绕点A 顺时针旋转60º得到，∴=ABE ACD S S ，=60EAD BAC ∠∠=︒∴2260146010===16360360AED ABC S S S πππ⨯⨯⨯⨯--阴影扇形扇形． 故答案为：103π；14；16π． 【点睛】本题考查求弧长、扇形的面积以及旋转的性质．熟记弧长和扇形面积的计算公式是解答本题的关键．16．②③【分析】利用频率估计概率对各个推断进行分析判断即可得到结论．【详解】解：①概率要用多次反复试验的频率稳定值来估计，因此① 的推断不合理；②推断合理；③20×0.35=7，故推断合理；④摸到红球是随机事件，当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率不一定是0.40，故④的推断不一定合理．故答案为：②③．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17．（1）98m <；（2）m=1；120,1x x ==- 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解；（2）由（1）及题意可选择一个合适的值，然后代入进行求解一元二次方程即可．【详解】解：（1）由题意得：22(21)4(2)0m m m ∆=--+->， 解得 98m <； （2）由（1）及题意取当m =1时，此时方程为20x x +=，∴方程的根为120,1x x ==-．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式及解法是解题的关键．18．（1）见解析；（2）C（0，0），F（4，2）【分析】（1）将△ABC向右平移2个格，向上平移2个格，绕点D旋转180 作图；（2）如以点C为原点，根据点在坐标系中的位置直接得到点坐标．【详解】解：（1）答案不唯一，如：．（2）C（0,0），F（4,2）．．【点睛】此题考查平移作图，旋转作图，确定直角坐标系中的点的坐标，掌握平移的性质、旋转的性质是解题的关键．19．（1）见解析；（2）OB；同弧所对的圆周角相等．【分析】（1）根据作图过程即可补全图形．（2）根据圆的性质即可补全证明．【详解】（1）如图即为补全后的图形．（2）OB；同弧所对的圆周角相等．【点睛】本题考查利用尺规作图以及掌握圆周角定理．准确画出图形是解答本题的关键．20．（1）3；（2）7 10【分析】（1）由表可得一班的总人数，根据“各班人数相同”可知四班的总人数，然后用总人数减去四班其他分数段的人数即可求出m的值；（2）利用列举法将所有情况都列举出来，再找出来“至少有1人是一班学生”的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：（1）总人数为2+0+3+7+8+0=20（人）m=20-3-7-5-2=3（人）（2）一班有2人，分别记为A，B；四班有3人，分别记为C，D，E.随即抽取2人的情况有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，至少有1人是一班的的情况有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE共7种，所以至少有1人是学生概率是7 10.【点睛】本题考查了列举法求概率及概率公式．利用列举法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率21．（1）见解析；（2）1．【分析】（1）连接OD，由D为弧BC的中点，得到CD BD=，求得∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO，推出AC∥OD，根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到DE是⊙O的切线；（2）连接OC，易得△AOC是等边三角形，继而证得四边形ACDO是菱形，根据菱形的性质可得CD=AC=2，∠CDE=30°，继而即可求解．【详解】（1）证明：如下图所示，连接OD，∵D是弧BC的中点，即CD BD=∴∠BAD=∠CAD，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD//AE，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线.；（2）解：如下图所示，连接OC，∵∠CDA=30°，∴∠AOC=2∠CDA=60°，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝OD由（1）可得，AC∥OD，∴四边形ACDO既是平行四边形，也是菱形，∴CD=AC=2，∠CDO＝∠CAO＝60°，∠CDE=90°－60°＝30°，∵DE⊥AE, ∠CED＝90°∴CE=1．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边对等角、平行线的判定及其性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定及性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22．（1）①2；②y＝x2－2x－3；（2）P（12，－32）【分析】（1）①直接将点B（m，－3）代入直线y＝－x－1即可求解；②利用待定系数法即可求解；（2）根据题意可设点P、Q的坐标，进而可得二次函数，根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）①将点B（m，－3）代入直线y＝－x－1得：－3＝－m－1解得：m＝2，故答案为：2；②由①得点B（2,－3）∵点A（－1，0），B（2，－3）在抛物线y＝ax2+bx－3上，∴30, 423 3.a ba b--=⎧⎨+-=-⎩解得1,2. ab=⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；（2）设点P的横坐标为x，其中－1≤x≤2，∴点P（x，－x－1），点Q（x，223x x--），∴PQ＝－x2+x+2，∴当12x 时，PQ最大，此时点P的坐标是（12，－32）．【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及到待定系数法求解析中，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，并利用数形结合的思想．23．（1）见解析；①见解析；②BC-BD BP；见解析；（2）BD-BC BP【分析】（1）根据题意补全图形即可：①设PD与BC的交点为E，根据三角形内角和定理可求解；②过点P作PF⊥BP交BC于点F．证明△BPD≌△FPC，即可得到结论；（2）过点P作PH⊥BP交CB的延长线于点H，证明△HPC≌△BPD即可．【详解】解：（1）补全图形，如图．①证明：如图①，设PD与BC的交点为E．根据题意可知，∠CPD=90°．∵BC⊥l，∴∠DBC=90°．∴∠BDP+∠BED=90°，∠PCB+∠PEC= 90°．∵∠BED=∠PEC∴∠BDP=∠PCB．②BC-BD．证明：如图②，过点P作PF⊥BP交BC于点F．∵AB= AC， A=90°，∴∠ABC=45°．∴BP=PF，∠PFB=45°．∴∠PBD=∠PFC=135°．∴△BPD≌△FPC．∴BD=FC．∵BF，∴BC-BD．（3）过点P作PH⊥BP交CB的延长线于点H，如图③，∵∠DPC=∠CBM=90°，∠PMD=∠BMC∴∠PDM=∠BCM∵∠ABC=∠ACB=45°∴∠HBP=45°∴∠DBP=45°∵∠BPH=90°∴∠BHP=45°∴HP=BP∴HB =又∠DPC=90°∴∠HPC=∠BPD ，在△HPC 和△BPD 中，HP BP BPD HPC PHC PBD =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴△HPC ≌△BPD∴BC +∴BD -BC ．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质运用和勾股定理的应用，熟练掌握相关定理与性质是解答此题的关键．24．（1）直线x =-1；（2）221y x x =---或2484333y x x =++；（3）当a ＞0时，m ＜－4或m ＞2；当a ＜0时，－4＜m ＜2．【分析】（1）利用二次函数的对称轴公式即可求得．（2）根据题意可知顶点坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数解析式．（3）分类讨论当a ＞0时和a ＜0时二次函数的性质，即可求出m 的取值范围．【详解】（1）利用二次函数的对称轴公式可知对称轴212a x a =-=-． 故答案为：1x =-．（2）∵抛物线顶点在x 轴上，对称轴为1x =-，∴顶点坐标为(-1，0)．将顶点坐标代入二次函数解析式得：220(1)2(1)34a a a =⨯-+⨯-+-，整理得：(1)(34)0a a +-=， 解得：413a a =-=或． ∴抛物线解析式为221y x x =---或2484333y x x =++． （3）∵抛物线的对称轴为直线x ＝-1，∴N (2，y 2)关于直线x ＝-1的对称点为N '(-4，y 2)．根据二次函数的性质分类讨论．（ⅰ）当a ＞0时，抛物线开口向上，若y 1＞y 2，即点M 在点N 或N '的上方，则m ＜-4或m ＞2；（ⅱ）当a ＜0时，抛物线开口向下，若y 1＞y 2，即点M 在点N 或N '的上方，则－4＜m ＜2．【点睛】本题为二次函数综合题，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．25．（1）①3P ；②1)2A -；（2）1(,)422d AB O ≤≤ 【分析】（1）①根据平移到性质及“极大距离”的定义即可得出答案；②根据题意可得当´'A B ⊥x 轴于点M ，M 为'A B '中点时，线段A A´长度为线段AB 到⊙O 的“极大距离”，根据勾股定理即可得出A´的坐标；（2）根据题意知，点B 在以A 为圆心，1为半径的圆上，连接OA 交⊙A 于点B ，交⊙O 于点B´，此时，A A´最小，过点A 作AF ⊥x 轴，根据勾股定理即可得出OA 的长度，继而可得A A´的最小值；连接AO 并延长AO 交⊙O 于点A´，此时，A A´最大，根据勾股定理即可得出OA 的长度，继而可得A A´的最大值，从而得出d （AB ，⊙O ）的取值范围．【详解】（1）①由题意知AB=1，AP 3的长度即为d(AB ，⊙O)；②如图，´'A B ⊥x 轴于点M ，M 为'A B '中点.∵´'A B =1，∵1'2A M =， ∵OA´=2，∴2 OM===.∴1 '(,)22 A-.（2）如图，∵点A（-4，4），∴点B在以A为圆心，1为半径的圆上，连接OA交⊙A于点B，交⊙O于点B´，此时，A A´最小，过点A作AF⊥x轴，∵AF=4，OF=4，∴==，∵OA´=OB´-A´B´=1∴A A´=OA+OA´=；如图，连接AO并延长AO交⊙O于点A´，此时，A A´最大，∵AF=4，OF=4，∴==，∵OA´=2，∴A A´=OA+OA´=，故1(,)422d AB O ≤≤．【点睛】本题考查了勾股定理，平移变换等知识．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．。
九年级上册朝阳数学期末试卷测试与练习(word解析版)
九年级上册朝阳数学期末试卷测试与练习（word 解析版）一、选择题1．若点()10,A y ，()21,B y 在抛物线()213y x =-++上，则下列结论正确的是（ ）A ．213y y <<B ．123y y <<C ．213y y <<D ．213y y <<2．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，=1BC ，则sin A 的值为（ ）A ．10B ．310C ．13D ．10 3．二次函数22y x x =-+在下列（ ）范围内，y 随着x 的增大而增大．A ．2x <B ．2x >C ．0x <D ．0x > 4．一个扇形的半径为4，弧长为2π，其圆心角度数是（ ） A ．45B ．60C ．90D ．180 5．方程2x x =的解是（ ） A ．x=0B ．x=1C ．x=0或x=1D ．x=0或x=-1 6．下列对于二次函数y ＝﹣x 2+x 图象的描述中，正确的是（ ） A ．开口向上B ．对称轴是y 轴C ．有最低点D ．在对称轴右侧的部分从左往右是下降的 7．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且∠D ＝40°，则∠PCA 等于（ ）A ．50°B ．60°C ．65°D ．75°8．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A(﹣3，0)，对称轴为直线x ＝﹣1，下列结论：①b 2＞4ac ；②2a+b ＝0；③a+b+c ＞0；④若B(﹣5，y 1)、C(﹣1，y 2)为函数图象上的两点，则y 1＜y 2．其中正确结论是（ ）A ．②④B ．①③④C ．①④D ．②③9．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）A ．4233π-B ．8433π-C ．8233π-D ．843π- 10．一组数据10，9，10，12，9的平均数是（ ）A ．11B ．12C ．9D ．10 11．已知抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同，且顶点坐标为(1,3)-，它对应的函数表达式为（ ）A ．23(1)3y x =--+B ．23(1)3y x =-+C ．23(1)3y x =+-D ．23(1)3y x =-++ 12．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，弦AD 平分BAC ∠，交BC 于点E ，6AB =，5AD =,则AE 的长为（ ）A ．2.5B ．2.8C ．3D ．3.2二、填空题13．如图，已知正六边形内接于O ，若正六边形的边长为2，则图中涂色部分的面积为______.14．O 的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为2，则直线l 与O 的位置关系是______.15．一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm ．则扇形的弧长为__________cm ．16．某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：9，10，12，x ，8．已知这组数据的平均数是10，那么这组数据的方差是_____．17．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点E 、F 分别在BC 、CD 上，若5∠EAF=45°，则AF 的长为_____．18．一元二次方程x 2﹣4=0的解是．_________19．如图，O 的直径AB 与弦CD 相交于点53E AB AC ==，，，则tan ADC ∠=______．20．如图，在△ABC 和△APQ 中，∠PAB =∠QAC ，若再增加一个条件就能使△APQ ∽△ABC ，则这个条件可以是________．21．某公园平面图上有一条长12cm 的绿化带．如果比例尺为1：2000，那么这条绿化带的实际长度为_____．22．如图，C 、D 是线段AB 的两个黄金分割点，且CD ＝1，则线段AB 的长为_____．23．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 的中点，EF 与BD 相交于点M ，若△DEM 的面积为1，则□ABCD 的面积为________．24．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝5cm ，AD ＝3cm ，BC ＝2cm ，P 是AB 上一点，若以P 、A 、D 为顶点的三角形与△PBC 相似，则PA ＝_____cm ．三、解答题25．在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，求：（1）cosA ；（2）当AB ＝4时，求BC 的长.26．如图1，AB 、CD 是圆O 的两条弦，交点为P .连接AD 、BC ．OM ⊥ AD ，ON ⊥BC ，垂足分别为M 、N.连接PM 、PN.图1 图2（1）求证：△ADP ∽△CBP ；（2）当AB ⊥CD 时，探究∠PMO 与∠PNO 的数量关系，并说明理由；（3）当AB ⊥CD 时，如图2，AD=8,BC=6, ∠MON=120°，求四边形PMON 的面积.27．某校九年级（2）班A 、B 、C 、D 四位同学参加了校篮球队选拔.（1）若从这四人中随杋选取一人，恰好选中B 参加校篮球队的概率是______；（2）若从这四人中随机选取两人，请用列表或画树状图的方法求恰好选中B 、C 两位同学参加校篮球队的概率.28．如图，在ABC ∆中，AD 是高.矩形EFGH 的顶点E 、H 分别在边AB 、AC 上，FG 在边BC 上，6BC =，4=AD ，23EF EH =.求矩形EFGH 的面积.29．如图，AB BC =，以BC 为直径作O ，AC 交O 于点E ，过点E 作EG AB ⊥于点F ，交CB 的延长线于点G .（1）求证：EG 是O 的切线；（2）若23GF =，4GB =，求O 的半径. 30．解方程：（1）x 2－8x ＋6＝0（2）(x -1)2 -3(x -1) =031．小亮晚上在广场散步，图中线段AB 表示站立在广场上的小亮，线段PO 表示直立在广场上的灯杆，点P 表示照明灯的位置．（1）请你在图中画出小亮站在AB 处的影子BE ；（2）小亮的身高为1.6m ，当小亮离开灯杆的距离OB 为2.4m 时，影长为1.2m ，若小亮离开灯杆的距离OD ＝6m 时，则小亮（CD ）的影长为多少米？32．超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x 元，每天售出y 件．（1）请写出y 与x 之间的函数表达式；（2）当x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利w 元，当x 为多少时w 最大，最大值是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】将x=0和x=1代入表达式分别求y 1,y 2,根据计算结果作比较.【详解】当x=0时，y 1= -1+3=2,当x=1时，y 2= -4+3= -1,∴213y y <<.故选：A.本题考查二次函数图象性质，对图象的理解是解答此题的关键.2．A解析：A【解析】【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再根据正弦的定义解答即可.【详解】解：在Rt ABC ∆中，∵90C ∠=︒，3AC =，=1BC ，∴AB =∴sin10BC A AB ===. 故选：A.【点睛】本题考查了勾股定理和正弦的定义，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键. 3．C解析：C【解析】【分析】先求函数的对称轴，再根据开口方向确定x 的取值范围.【详解】222(1)1y x x x =-+=--+，∵图像的对称轴为x=1，a=-10<，∴当x 1<时，y 随着x 的增大而增大，故选：C.【点睛】此题考查二次函数的性质，当a 0a 0<时，对称轴左增右减，当＞时，对称轴左减右增. 4．C解析：C【解析】【分析】根据弧长公式即可求出圆心角的度数．【详解】解：∵扇形的半径为4，弧长为2π， ∴42180n ππ⨯=解得：90n =，即其圆心角度数是90︒故选C ．此题考查的是根据弧长和半径求圆心角的度数，掌握弧长公式是解决此题的关键．5．C解析：C【解析】【分析】根据因式分解法，可得答案．【详解】解：2x x=，方程整理，得，x2-x=0因式分解得，x（x-1）=0，于是，得，x=0或x-1=0，解得x1=0，x2=1，故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解法是解题关键．6．D解析：D【解析】【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵二次函数y＝﹣x2+x＝﹣(x12-)2+14，∴a＝﹣1，该函数的图象开口向下，故选项A错误；对称轴是直线x＝12，故选项B错误；当x＝12时取得最大值14，该函数有最高点，故选项C错误；在对称轴右侧的部分从左往右是下降的，故选项D正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握函数解析式和二次函数的性质是解题的关键．7．C解析：C【解析】【分析】根据切线的性质，由PD切⊙O于点C得到∠OCD＝90°，再利互余计算出∠DOC＝50°，由∠A ＝∠ACO ，∠COD ＝∠A +∠ACO ，所以1252A COD ∠=∠=︒，然后根据三角形外角性质计算∠PCA 的度数．【详解】解：∵PD 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥CD ，∴∠OCD ＝90°，∵∠D ＝40°，∴∠DOC ＝90°﹣40°＝50°，∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ，∵∠COD ＝∠A +∠ACO ， ∴1252A COD ∠=∠=︒， ∴∠PCA ＝∠A +∠D ＝25°+40°＝65°．故选C ．【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角性质等知识；熟练掌握切线的性质与三角形外角性质是解题的关键．8．C解析：C【解析】【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点可得△＝b 2﹣4ac>0，可对①进行判断；由抛物线的对称轴可得﹣2b a＝﹣1，可对②进行判断；根据对称轴方程及点A 坐标可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，可对③进行判断；根据对称轴及二次函数的增减性可对④进行判断；综上即可得答案．【详解】∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，即：b 2＞4ac ，故①正确，∵二次函数y ＝ax 2+bx+c 的对称轴为直线x ＝﹣1， ∴﹣2b a＝﹣1， ∴2a ＝b ，即：2a ﹣b ＝0，故②错误．∵二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x ＝﹣1， ∴二次函数与x 轴的另一个交点的坐标为（1，0），∴当x ＝1时，有a+b+c ＝0，故结论③错误；④∵抛物线的开口向下，对称轴x ＝﹣1，∴当x＜﹣1时，函数值y随着x的增大而增大，∵﹣5＜﹣1则y1＜y2，则结论④正确故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△=b2-4ac决定：△＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△= 0时，抛物线与x轴有1个交点；△＜0时，抛物线与x轴没有交点．9．C解析：C【解析】【分析】连接OD，根据勾股定理求出CD，根据直角三角形的性质求出∠AOD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．【详解】解：连接OD，在Rt△OCD中，OC＝12OD＝2，∴∠ODC＝30°，CD＝2223OD OC+=∴∠COD＝60°，∴阴影部分的面积＝260418223=23 36023π⨯-⨯⨯π-，故选：C．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．10．D解析：D【解析】【分析】利用平均数的求法求解即可．【详解】 这组数据10，9，10，12，9的平均数是1(10910129)105++++=故选：D ．【点睛】本题主要考查平均数，掌握平均数的求法是解题的关键． 11．D解析：D【解析】【分析】先根据抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同，确定出二次项系数a 的值，然后再通过顶点坐标即可得出抛物线的表达式．【详解】∵抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同， 3a ∴=-∵顶点坐标为(1,3)-∴抛物线的表达式为23(1)3y x =-++故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的顶点式，掌握二次函数表达式中的顶点式是解题的关键． 12．B解析：B【解析】【分析】连接BD,CD,由勾股定理求出BD 的长，再利用ABD BED ，得出DE DB DB AD =，从而求出DE 的长，最后利用AE AD DE =-即可得出答案．【详解】连接BD,CD∵AB 为O 的直径90ADB ∴∠=︒BD∴==∵弦AD平分BAC∠CD BD∴==CBD DAB∴∠=∠ADB BDE∠=∠ABD BED∴DE DBDB AD∴=5=解得115DE=115 2.85AE AD DE∴=-=-=故选：B．【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论及相似三角形的判定及性质，掌握圆周角定理的推论及相似三角形的性质是解题的关键．二、填空题13．【解析】【分析】根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA≌△BDO，得出涂色部分即为扇形AOB的面积，根据扇形面积公式求解.【详解】解：连接OA,OB,OC,AB,OA与BC交于D点∵正解析：2 3π【解析】【分析】根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA≌△BDO，得出涂色部分即为扇形AOB的面积，根据扇形面积公式求解.【详解】解：连接OA,OB,OC,AB,OA与BC交于D点∵正六边形内接于O,∴∠BOA=∠AOC=60°,OA=OB=OC=4,∴∠BOC=120°，OD⊥BC,BD=CD ∴∠OCB=∠OBC=30°,∴OD=1122OB OA DA ,∵∠CDA=∠BDO,∴△CDA≌△BDO,∴S△CDA=S△BDO,∴图中涂色部分的面积等于扇形AOB的面积为：26022 3603ππ⨯=.故答案为：23π.【点睛】本题考查圆的内接正多边形的性质，根据圆的性质结合正六边形的性质将涂色部分转化成扇形面积是解答此题的关键.14．相交【解析】【分析】由圆的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．【详解】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线L的解析：相交【解析】【分析】由圆的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．【详解】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线L的距离为2，∵4＞2，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故答案为：相交.【点睛】本题考查知道知识点是圆与直线的位置关系，若d＜r，则直线与圆相交；若d>r，则直线与圆相离；若d=r，则直线与圆相切.15．2π【解析】分析：根据弧长公式可得结论．详解：根据题意，扇形的弧长为=2π，故答案为：2π点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．解析：2π【解析】分析：根据弧长公式可得结论．详解：根据题意，扇形的弧长为1203180π⨯=2π，故答案为：2π点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．16．2【解析】【分析】首先根据平均数确定x的值，再利用方差公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，计算方差即可．【详解】∵组数据的平均数是10，∴(9+10+12+x+8解析：2【解析】【分析】首先根据平均数确定x的值，再利用方差公式S2＝1n[（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（x n﹣x）2]，计算方差即可．【详解】∵组数据的平均数是10，∴15(9+10+12+x+8)＝10，解得：x＝11，∴S2＝15[[（9﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2+（8﹣10）2]，＝15×（1+0+4+1+4），＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了方差，一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为x，则方差S2＝1n[（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（x n﹣x）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．17．【解析】分析：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的解析：410 3【解析】分析：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=2x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．详解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，∴2x，AN=4﹣x，∵AB=2，∴AM=BM=1，∵5AB=2，∴BE=1，∴222BM BE+=∵∠EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴AM ME FN AN=，=，解得：x=4 3∴=故答案为3．点睛：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，18．x=±2【解析】移项得x2=4，∴x=±2．故答案是：x=±2．解析：x=±2【解析】移项得x2=4，∴x=±2．故答案是：x=±2．19．【解析】分析：由已知条件易得△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由此可得BC=4，结合∠ADC=∠ABC，即可由tan∠ADC=tan∠ABC=求得所求的值了.详解：∵AB是解析：3 4【解析】分析：由已知条件易得△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由此可得BC=4，结合∠ADC=∠ABC，即可由tan∠ADC=tan∠ABC=ACBC求得所求的值了.详解：∵AB是O的直径，∴∠ACB=90°，又∵AC=3，AB=5，∴4=，∴tan ∠ABC=34AC BC =， 又∵∠ADC=∠ABC ， ∴tan ∠ADC=34. 故答案为：34. 点睛：熟记“圆的相关性质和正切函数的定义”解得本题的关键.20．∠P=∠B （答案不唯一）【解析】【分析】要使△APQ ∽△ABC ，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC 可知∠PAQ=∠BAC ，还需的条件可以是∠B=∠P 或∠C=∠Q 或．【详解】解：这个条件解析：∠P =∠B （答案不唯一）【解析】【分析】要使△APQ ∽△ABC ，在这两三角形中，由∠PAB =∠QAC 可知∠PAQ=∠BAC ，还需的条件可以是∠B=∠P 或∠C=∠Q 或AP AQ AB AC =． 【详解】解：这个条件为：∠B=∠P∵∠PAB =∠QAC ，∴∠PAQ=∠BAC∵∠B=∠P ，∴△APQ ∽△ABC ，故答案为：∠B=∠P 或∠C=∠Q 或AP AQ AB AC =． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的运用,掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 21．240m【解析】【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离可得实际距离，再进行单位换算．【详解】设这条公路的实际长度为xcm ，则：1：2000＝12：x ，解得x ＝24000，24000c解析：240m【解析】【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离可得实际距离，再进行单位换算．【详解】设这条公路的实际长度为xcm ，则：1：2000＝12：x ，解得x ＝24000，24000cm ＝240m ．故答案为240m ．【点睛】本题考查图上距离实际距离与比例尺的关系，解题的关键是掌握比例尺＝图上距离∶实际距离．22．2+【解析】【分析】设线段AB ＝x ，根据黄金分割点的定义可知AD ＝AB ，BC ＝AB ，再根据CD ＝AB ﹣AD ﹣BC 可列关于x 的方程，解方程即可【详解】∵线段AB ＝x ，点C 、D 是AB 黄金分割点解析：【解析】【分析】设线段AB ＝x ，根据黄金分割点的定义可知AD 35AB ，BC 35AB ，再根据CD ＝AB ﹣AD ﹣BC 可列关于x 的方程，解方程即可【详解】∵线段AB ＝x ，点C 、D 是AB 黄金分割点，∴较小线段AD ＝BC ＝32x -，则CD ＝AB ﹣AD ﹣BC ＝x ﹣2×32x ＝1，解得：x ＝故答案为：2+5【点睛】本题考查黄金分割的知识，解题的关键是掌握黄金分割中，较短的线段＝原线段的352倍．23．16【解析】【分析】【详解】延长EF交BC的延长线与H,在平行四边形ABCD中,∵AD=BC,AD∥BC∴△DEF∽△CHF, △DEM∽△BHM∴ ,∵F是CD的中点∴DF解析：16【解析】【分析】【详解】延长EF交BC的延长线与H,在平行四边形ABCD中,∵AD=BC,AD∥BC∴△DEF∽△CHF, △DEM∽△BHM∴DE DFCH CF= ,2()DEMBMHS DES BH∆∆=∵F是CD的中点∴DF=CF∴DE=CH∵E是AD中点∴AD=2DE∴BC=2DE∴BC=2CH∴BH=3CH∵1DEM S ∆= ∴211()3BMH S ∆= ∴9BMH S ∆=∴9CFH BCFM S S ∆+=四边形∴9DEF BCFM S S ∆+=四边形∴9DME DFM BCFM S S S ∆∆++=四边形∴19BCD S ∆+=∴8BCD S ∆=∵四边形ABCD 是平行四边形∴2816ABCD S =⨯=四边形故答案为:16.24．2或3【解析】【分析】根据相似三角形的判定与性质，当若点A ，P ，D 分别与点B ，C ，P 对应，与若点A ，P ，D 分别与点B ，P ，C 对应，分别分析得出AP 的长度即可．【详解】解：设AP ＝xcm ．则解析：2或3【解析】【分析】根据相似三角形的判定与性质，当若点A ，P ，D 分别与点B ，C ，P 对应，与若点A ，P ，D 分别与点B ，P ，C 对应，分别分析得出AP 的长度即可．【详解】解：设AP ＝xcm ．则BP ＝AB ﹣AP ＝(5﹣x )cm以A ，D ，P 为顶点的三角形与以B ，C ，P 为顶点的三角形相似，①当AD ：PB ＝PA ：BC 时，352x x =-， 解得x ＝2或3．②当AD ：BC ＝PA +PB 时，3=25x x-，解得x ＝3，∴当A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，AP的值为2或3．故答案为2或3．【点睛】本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．三、解答题25．（1；（2）【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的判定得到△ABC为等腰直角三角形，则∠A=45°，然后利用特殊角的三角函数值求解即可；（2）根据∠A的正弦求解即可.【详解】∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠A=∠B=45°，∴cosA=cos45°=2，∴BC=AB sin A⨯，【点睛】本题考查解直角三角形及等腰直角三角形的判定，熟练掌握特殊角三角函数值是解题关键.26．（1）证明见解析；（2）∠PMO=∠PNO，理由见解析；（3）S平行四边形PMON【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可证明相似,（2）由OM⊥ AD，ON⊥BC得到M、N为AB、CD的中点，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可解题,（3）由三角形中位线性质得∠QBC=90°,进而证明∠QCB=∠PBD,得到四边形MONP为平行四边形即可解题.【详解】（1）因为同弧所对的圆周角相等，所以∠A=∠C, ∠D=∠B,所以△ADP∽△CBP.（2）∠PMO=∠PNO因为OM⊥ AD，ON⊥BC，所以点M、N为AB、CD的中点，又AB⊥CD，所以PM=12AD,PN=12BC，所以，∠A=∠APM，∠C=∠CPN，所以∠AMP=∠CNP,得到∠PMO与∠PNO. （3）连接CO并延长交圆O于点Q，连接BD.因为AB⊥CD，AM=12AD,CN=12BC，所以PM=12AD,PN=12BC.由三角形中位线性质得，ON=1BQ 2.因为CQ为圆O直径，所以∠QBC=90°，则∠Q+∠QCB=90°，由∠DPB=90°，得∠PDB+∠PBD=90°，而∠PDB=∠Q，所以∠QCB=∠PBD,所以BQ=AD，所以PM=ON.同理可得，PN=OM.所以四边形MONP为平行四边形.S平行四边形3【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,圆的基本知识,圆周角的性质,直角三角形的性质,平行四边形的判定,综合性强,熟悉圆周角的性质是求解（1）的关键,利用斜边中线等于斜边一半这一性质是求解（2）的关键,证明四边形MONP为平行四边形是求解（3）的关键.27．（1）14；（2）P（BC两位同学参加篮球队）16=【解析】【分析】(1)根据概率公式Pmn=(n次试验中，事件A出现m次)计算即可(2)用列表法求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率.【详解】解：(1)()1P B4=恰好选中B参加校篮球队的概率是1 4 .(2)列表格如下：∴P （BC 两位同学参加篮球队）21126== 【点睛】 本题考查的是用列表法或树状图法求事件的概率问题，通过题目找出全部情况的总数与符合条件的情况数目与熟记概率公式是解题的关键.28．6EFGH S =四边形【解析】【分析】根据相似三角形对应边比例相等性质求出EF,EH 的长，继而求出面积.【详解】解：如图：∵四边形EFGH 是矩形，AD 交EH 于点Q,∴∥EH FG∴AEH ABC ∆∆∽∴AQ EH AD BC= 设2EF x =，则3EH x = ∴42346x x -=解得：1x =. 所以2EF =，3EH =.∴236EFGH S EF EH =⋅=⨯=四边形【点睛】本题考查的知识点主要是相似三角形的性质，利用相似三角形对应边比例相等求出有关线段的长是解题的关键.29．（1）见解析；（2）O 的半径为4. 【解析】【分析】(1) 连接OE ，利用AB=BC 得出A C ∠=∠，根据OE=OC 得出，OEC C ∠=∠，从而求出OE AB ，再结合EG AB ⊥即可证明结论；(2)先利用勾股定理求出BF 的长，再利用相似三角形的性质对应线段比例相等求解即可.【详解】解：(1)证明：连接OE .∵AB BC =∴A C ∠=∠∵OE OC =∴OEC C ∠=∠∴A OEC ∠=∠∴OEAB ∵BA GE ⊥，∴OE EG ⊥，且OE 为半径 ∴EG 是O 的切线(2)∵BF GE ⊥∴90BFG ∠=︒∵23GF =4GB =∴222BF BG GF =-=∵BF OE ∥∴BGF OGE ∆∆∽ ∴BF BG OE OG =∴244OE OE=+ ∴4OE =即O 的半径为4. 【点睛】本题考查的知识点是切线的判定与相似三角形的性质，根据题目作出辅助线，数形结合是解题的关键.30．（1）x 1104，x 2104（2） x 1=1，x 2=4．【解析】【分析】（1）根据配方法即可求解；（2）根据因式分解法即可求解．【详解】（1）x 2－8x ＋6＝0x 2－8x ＋16＝10（x-4）2＝10x-4=±10∴x 1=104+，x 2=-104+（2）(x -1)2 - 3(x -1) =0(x -1)(x -1-3)=0(x -1)(x-4)=0∴x-1=0或x-4=0解得x 1=1,x 2=4．【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知其解法的运用．{题型:3-选择题}{题目}{适用范围:1.七年级}{类别:常考题}{章节:[1-1-3]003}计划开设以下课外活动项目：A 一版画、B 一机器人、C 一航模、D 一园艺种植．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查（每位学生 必须选且只能选一个项目），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有 人；扇形统计图中，选“D 一园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是 °；（2）请你将条形统计图补充完整；（3）若该校学生总数为 1500 人，试估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总 人数（1）200；72（2）60（人），图见解析（3）1050人．【解析】【分析】（1）由A 类有20人，所占扇形的圆心角为36°，即可求得这次被调查的学生数，再用360°乘以D 人数占总人数的比例可得；（2）首先求得C 项目对应人数，即可补全统计图；（3）总人数乘以样本中B 、C 人数所占比例可得．【详解】（1）∵A 类有20人，所占扇形的圆心角为36°，∴这次被调查的学生共有：20÷36360＝200（人）；选“D 一园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是360°×40200＝72°， 故答案为：200、72；（2）C 项目对应人数为：200−20−80−40＝60（人）；补充如图．（3）1500×8060200+＝1050（人）， 答：估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总人数为1050人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 31．（1）如图，BE 为所作；见解析；（2）小亮（CD ）的影长为3m ．【解析】【分析】（1）根据光是沿直线传播的道理可知在小亮由B 处沿BO 所在的方向行走到达O 处的过程中，连接PA 并延长交直线BO 于点E ，则可得到小亮站在AB 处的影子；（2）根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可．【详解】（1）如图，连接PA 并延长交直线BO 于点E ，则线段BE 即为小亮站在AB 处的影子：（2）延长PC 交OD 于F ，如图，则DF 为小亮站在CD 处的影子，AB ＝CD ＝1.6，OB ＝2.4，BE ＝1.2，OD ＝6，∵AB ∥OP ，∴△EBA ∽△EOP ，∴,AB EB OP EO =即1.6 1.2,1.2 2.4OP =+解得OP ＝4.8，∵CD ∥OP ，∴△FCD ∽△FPO ， ∴CD FD OP FO =，即1.64.86FD FD =+， 解得FD ＝3答：小亮（CD ）的影长为3m ．【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质解答．32．（1）1502y x =-+（2）当x 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元（3）当x 为20时w 最大，最大值是2400元【解析】【分析】 （1）根据题意列函数关系式即可；（2）根据题意列方程即可得到结论；（3）根据题意得到()213024502w x =--+，根据二次函数的性质得到当30x <时，w 随x 的增大而增大，于是得到结论．【详解】 （1）根据题意得，1502y x =-+； （2）根据题意得，()1405022502x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭， 解得：150x =，210x =，∵每件利润不能超过60元，∴10x =，答：当x 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；（3）根据题意得，()211405030200022w x x x x ⎛⎫=+-+=-++ ⎪⎝⎭()213024502x =--+， ∵102a =-<， ∴当30x <时，w 随x 的增大而增大， ∴当20x时，2400w =增大，答：当x 为20时w 最大，最大值是2400元． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．。
2023—2024学年吉林省长春市朝阳区九年级上学期期末数学试卷
2023—2024学年吉林省长春市朝阳区九年级上学期期末数学试卷一、单选题1. 下列各式中，y是x的二次函数的是（）A．B．C．D．2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（）A．B．C．D．4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．B．C．D．5. 下列运算正确的是（）A．B．C．D．6. 如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L之间的距离为6千米，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（）A．千米B．千米C．千米D．千米7. 若抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．8. 对于抛物线，y与x的部分对应值如下表所示：…0…103下列说法中正确的是（）A．开口向下B．当时，y随x的增大而增大C．对称轴为直线D．函数的最小值是二、填空题9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ___________ ．10. 长春轨道交通6号线预计于2024年开通运营，在比例尺为的地图上，量得全线长约为，则轨道交通6号线的实际距离约为 _____ ．11. 函数的图象的顶点坐标为 ______ ．12. 在一个不透明口袋中装有1个红球和个白球，它们除了颜色以外没有任何其他区别．搅匀后从口袋中随机摸出1个球，记录下颜色后放回口袋中并搅匀，随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在，则的值为_____ ．13. 如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，若，，测得，，，则该古城墙的高度是 ______ ．14. 已知二次函数的图象经过，点，在该函数图象上．当时，若，则m的取值范围是 _____ ．三、解答题15. 计算：．16. 解方程：．17. 二次函数的图象经过和．(1)求这个二次函数的表达式；(2)将这个二次函数的图象向右平移______个单位后经过坐标原点．18. 2023年国际乒联混合团体世界杯于2023年12月4日在成都举行，本次赛会的会徽彰显了成都文化特色，吉祥物“乒乒”将大熊猫与乒乓球运动相结合，表达了成都人民对乒乓球运动的喜爱．现有三张不透明的卡片，其中一张卡片的正面图案为会徽，另外两张卡片的正面图案都为吉祥物“乒乒”，卡片除正面图案不同外其余均相同，将这三张卡片背面向上并搅匀．(1)小明从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是会徽”是______事件（填“随机”“不可能”或“必然”）；(2)小亮从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后背面向上放回，重新搅匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的概率．（图案为会徽的卡片记为，图案为吉祥物的两张卡片分别记为、）19. 桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图②所示，已知米，米．在安全使用的前提下，当时，桑梯顶端达到最大高度，求此时到地面的距离．（参考数据：，，，精确到0.1米）20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中画，使；(2)在图②中画，使；(3)在图③中画，使．21. 如图，一位足球运动员在距离球门中心水平距离8米的A处射门，球沿一条抛物线运动．当球运动的水平距离为6米时，达到最大高度3米．(1)建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式；(2)已知球门高为2.44米，通过计算判断这位运动员能否将球射进球门． 22. 【教材呈现】图1是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2：如图1，在中，D、E分别是边的中点．相交于点G．求证：．证明：连接．【结论证明】请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．【结论应用】（1）如图①，若，则_____；（2）在图①的条件下，过点G的直线分别交于点M、N．若，，四边形的面积为10，则_____．23. 如图，在中，，，，点为边的中点．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点不与点、重合时，连结．作点关于直线的对称点；连结、、，设点的运动时间为秒．(1)线段的长为_____；(2)用含t的代数式表示线段的长；(3)当点P在边上运动时，求与的一条直角边平行时的值；(4)当为锐角三角形时，直接写出t的取值范围．24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）经过点，点P在该抛物线上，横坐标为．(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)当轴时，求m的值；(3)将该抛物线上P、Q两点之间的部分（包括P、Q两点）记为图象G．当图象G上只有两个点到x轴的距离为4时，求m的取值范围；当图象G与直线只有一个公共点时，直接写出m的取值范围．。