高中数学第三章三角恒等变换3.1第2课时两角和与差的正弦余弦正切公式课件新人教A版必修4
第2课时
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
[核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲， 预习教材 P128～P131 的内容， 回答下列问题． (1)把公式 cos(α－β)＝cos α cos β ＋sin α sin β 中的 β 用－β 代替，结果如何？
提示： cos(α ＋ β) ＝ cos_ α cos_ β － sin_αsin_β.
提示：以－β 代替 sin(α＋β)中的 β，即可得 sin(α －β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.
(4)如何用 tan α 和 tan β 表示 tan(α＋β)和 tan (α－β)?
sin（α＋β） 提示：①tan(α＋β)＝ cos（α＋β） sin αcos β＋cos αsin β ＝ cos αcos β－sin αsin β tan α＋tan β ＝ . 1－tan αtan β
sin （α－β） ②tan (α－β)＝ cos（α－β） sin αcos β－cos αsin β ＝ cos αcos β＋sin αsin β tan α－tan β )两角和与差的余弦公式
[问题思考] (1)sin(α ＋ β) ＝ sin α ＋ sin β 能 否 成 立？若成立，在什么情况下成立？
[尝试解答] (1)原式＝sin 13°cos 17 °＋sin(90° －13°)· cos(90°－17°)＝sin 13°cos 17°＋cos 13° 1 sin 17°＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝ . 2
1 π (2)原式＝2 sin － 12 2
3 π cos 2 12
[课前反思] (1)两角和与差的余弦公式： ；
(2)两角和与差的正弦公式： ； (3)两角和与差的正切公式： ．
讲一讲 1．化简求值： (1)sin 13° cos 17°＋sin 77°cos 73°； π π (2)sin － 3cos ； 12 12 1－tan 15° (3) ； 1＋tan 15° 3 (4)tan 72°－tan 42°－ tan 72°tan 42°. 3
(3)原式＝tan 10° tan 20°＋ tan 60°(tan 10°＋ tan 20°) ＝ tan 10°tan 20°＋ 3(tan 10°＋ tan 20°) ＝ tan 10° tan 20°＋ 3tan 30°(1－tan 10°tan 20° ) ＝ 1.
2 2 15°· ＋cos 15°· 2 2
6 ＝ 2sin(15°＋45°)＝ 2sin 60°＝ . 2
法 二 ： sin
cos
15 ° ＋ cos
15 ° ＝
2
2 2 15°· ＋sin 15°· 2 2 ＝ 2(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°) 6 ＝ 2cos(45°－15°)＝ 2cos 30°＝ . 2
π π π π ＝2sin cos －cos sin 12 3 12 3 π π π ＝2sin － ＝－2sin ＝－ 4 3 12
2.
tan 45°－tan 15° (3)原式＝ 1＋tan 45°tan 15° 3 ＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝ . 3 (4)∵tan 30°＝ tan(72°－42°) ＝tan 72°－ tan 42° 1＋tan 72°• tan 42°， ∴tan 72°－ tan 42°＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)． ∴原式＝tan 30°(1＋ tan 72°tan 42° )－33tan 72°tan 42° ＝33.
提示：不一定成立，当 α＝2kπ或 β ＝2kπ或 α＝β＝kπ，k∈Z 时成立．
(2)两角和与差的正切公式对任意 α，β 均成立吗？
提示：不是的．在两角和的正切公式中，使用条 π 件是：α，β，α＋β≠kπ＋ (k∈Z)；在两角差的正 2 π 切公式中， 使用条件是： α， β， α－β≠kπ＋ 2 (k∈Z)．
练一练 1．求值： (1)sin 15°＋ cos 15°； (2)sin 119° sin 181°－ sin 91° sin 29°； (3)tan 10°tan 20°＋tan 20° tan 60°＋ tan 60° tan10° .
解：(1)法一：sin 15°＋cos 15° ＝
2sin
(2)原式＝ sin(29°＋90°)sin(1°＋ 180° )－ sin(1°＋ 90° )· sin 29° ＝ cos 29°(－ sin 1°)－cos 1°sin 29° ＝－ (sin29° cos1°＋cos 29° sin 1°) 1 ＝－ sin(29°＋1° )＝－sin 30°＝－ . 2
利用公式 T(α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式： T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的 公式之一， 因此在应用时先从所化简 (求值)式子的 结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意 整体代换．
(2)化简求值中要注意 “特殊值”的代换和应用： 当所要化简 (求值 ) 的式子中出现特殊的数值 “1”， “ 3 ” 时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正 π π 切值去代换，如“ 1＝ tan ” ， “ 3＝ tan ” ，这样可 4 3 以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．
(2)由公式 C(α±β)可以得到 sin(α＋β)的公式吗？
π 提示：可以，sin(α＋β)＝cos －（α＋β） 2 π ＝cos －α－β ＝sin 2
αcos β＋cos αsin β.
(3)如何由 sin(α＋β)的公式推出 sin(α－β)的 公式？
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
[核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲， 预习教材 P128～P131 的内容， 回答下列问题． (1)把公式 cos(α－β)＝cos α cos β ＋sin α sin β 中的 β 用－β 代替，结果如何？
提示： cos(α ＋ β) ＝ cos_ α cos_ β － sin_αsin_β.
提示：以－β 代替 sin(α＋β)中的 β，即可得 sin(α －β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.
(4)如何用 tan α 和 tan β 表示 tan(α＋β)和 tan (α－β)?
sin（α＋β） 提示：①tan(α＋β)＝ cos（α＋β） sin αcos β＋cos αsin β ＝ cos αcos β－sin αsin β tan α＋tan β ＝ . 1－tan αtan β
sin （α－β） ②tan (α－β)＝ cos（α－β） sin αcos β－cos αsin β ＝ cos αcos β＋sin αsin β tan α－tan β )两角和与差的余弦公式
[问题思考] (1)sin(α ＋ β) ＝ sin α ＋ sin β 能 否 成 立？若成立，在什么情况下成立？
[尝试解答] (1)原式＝sin 13°cos 17 °＋sin(90° －13°)· cos(90°－17°)＝sin 13°cos 17°＋cos 13° 1 sin 17°＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝ . 2
1 π (2)原式＝2 sin － 12 2
3 π cos 2 12
[课前反思] (1)两角和与差的余弦公式： ；
(2)两角和与差的正弦公式： ； (3)两角和与差的正切公式： ．
讲一讲 1．化简求值： (1)sin 13° cos 17°＋sin 77°cos 73°； π π (2)sin － 3cos ； 12 12 1－tan 15° (3) ； 1＋tan 15° 3 (4)tan 72°－tan 42°－ tan 72°tan 42°. 3
(3)原式＝tan 10° tan 20°＋ tan 60°(tan 10°＋ tan 20°) ＝ tan 10°tan 20°＋ 3(tan 10°＋ tan 20°) ＝ tan 10° tan 20°＋ 3tan 30°(1－tan 10°tan 20° ) ＝ 1.
2 2 15°· ＋cos 15°· 2 2
6 ＝ 2sin(15°＋45°)＝ 2sin 60°＝ . 2
法 二 ： sin
cos
15 ° ＋ cos
15 ° ＝
2
2 2 15°· ＋sin 15°· 2 2 ＝ 2(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°) 6 ＝ 2cos(45°－15°)＝ 2cos 30°＝ . 2
π π π π ＝2sin cos －cos sin 12 3 12 3 π π π ＝2sin － ＝－2sin ＝－ 4 3 12
2.
tan 45°－tan 15° (3)原式＝ 1＋tan 45°tan 15° 3 ＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝ . 3 (4)∵tan 30°＝ tan(72°－42°) ＝tan 72°－ tan 42° 1＋tan 72°• tan 42°， ∴tan 72°－ tan 42°＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)． ∴原式＝tan 30°(1＋ tan 72°tan 42° )－33tan 72°tan 42° ＝33.
提示：不一定成立，当 α＝2kπ或 β ＝2kπ或 α＝β＝kπ，k∈Z 时成立．
(2)两角和与差的正切公式对任意 α，β 均成立吗？
提示：不是的．在两角和的正切公式中，使用条 π 件是：α，β，α＋β≠kπ＋ (k∈Z)；在两角差的正 2 π 切公式中， 使用条件是： α， β， α－β≠kπ＋ 2 (k∈Z)．
练一练 1．求值： (1)sin 15°＋ cos 15°； (2)sin 119° sin 181°－ sin 91° sin 29°； (3)tan 10°tan 20°＋tan 20° tan 60°＋ tan 60° tan10° .
解：(1)法一：sin 15°＋cos 15° ＝
2sin
(2)原式＝ sin(29°＋90°)sin(1°＋ 180° )－ sin(1°＋ 90° )· sin 29° ＝ cos 29°(－ sin 1°)－cos 1°sin 29° ＝－ (sin29° cos1°＋cos 29° sin 1°) 1 ＝－ sin(29°＋1° )＝－sin 30°＝－ . 2
利用公式 T(α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式： T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的 公式之一， 因此在应用时先从所化简 (求值)式子的 结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意 整体代换．
(2)化简求值中要注意 “特殊值”的代换和应用： 当所要化简 (求值 ) 的式子中出现特殊的数值 “1”， “ 3 ” 时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正 π π 切值去代换，如“ 1＝ tan ” ， “ 3＝ tan ” ，这样可 4 3 以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．
(2)由公式 C(α±β)可以得到 sin(α＋β)的公式吗？
π 提示：可以，sin(α＋β)＝cos －（α＋β） 2 π ＝cos －α－β ＝sin 2
αcos β＋cos αsin β.
(3)如何由 sin(α＋β)的公式推出 sin(α－β)的 公式？
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高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)课件新人教A版必修4
求 tan17 tan 28 tan17 tan 28 的值.
解： tan17 tan 28 tan17 tan 28 = tan(17 28 )(1- tan17 tan 28 ) tan17 tan 28 1- tan17 tan 28 tan17 tan 28 =1.
第十九页，共29页。
1 A.3
B．1
C. 3
D. 6
tan10°＋tan20°
解析：∵
＝tan30°＝
1－tan10°tan20°
33，
∴tan10°＋tan20°＝ 33(1－tan10°tan20°)．
∴原式＝tan10°tan20°＋1－tan10°tan20°＝1.
第二十一页，共29页。
3．（2015·重庆高考）若
第二页，共29页。
两角差余弦公式： (C() )
cos( ) cos cos sin sin
两角和余弦公式： (C() )
cos( ) cos cos sin sin
第三页，共29页。
你能根据正切函数与正弦、余弦函数的关系，从
C() ,S(出) 发，推导(tuīdǎo)出用任意角,
第十七页，共29页。
解：tan17 tan 43 3 tan17 tan 43
tan 17 43 1 tan17 tan 43 3 tan17 tan 43
tan 60 1 tan17 tan 43 3 tan17 tan 43
3.
第十八页，共29页。
【变式练习 (liànxí)】
第十四页，共29页。
3.公式(gōngshì)
的活用
例3 已知 tan
2 , tan(
)
1
,
解： tan17 tan 28 tan17 tan 28 = tan(17 28 )(1- tan17 tan 28 ) tan17 tan 28 1- tan17 tan 28 tan17 tan 28 =1.
第十九页，共29页。
1 A.3
B．1
C. 3
D. 6
tan10°＋tan20°
解析：∵
＝tan30°＝
1－tan10°tan20°
33，
∴tan10°＋tan20°＝ 33(1－tan10°tan20°)．
∴原式＝tan10°tan20°＋1－tan10°tan20°＝1.
第二十一页，共29页。
3．（2015·重庆高考）若
第二页，共29页。
两角差余弦公式： (C() )
cos( ) cos cos sin sin
两角和余弦公式： (C() )
cos( ) cos cos sin sin
第三页，共29页。
你能根据正切函数与正弦、余弦函数的关系，从
C() ,S(出) 发，推导(tuīdǎo)出用任意角,
第十七页，共29页。
解：tan17 tan 43 3 tan17 tan 43
tan 17 43 1 tan17 tan 43 3 tan17 tan 43
tan 60 1 tan17 tan 43 3 tan17 tan 43
3.
第十八页，共29页。
【变式练习 (liànxí)】
第十四页，共29页。
3.公式(gōngshì)
的活用
例3 已知 tan
2 , tan(
)
1
,
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件新人教A版必修4
探究三
思维辨析
(2)∵α 为锐角 ,sin α= ,∴cos α= .
5 5
3
4
∵β 是第四象限角 ,cos β= 5, ∴sin β=-5. ∴sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β
= × + × 5 5 5 3 4 4 3 5 3
4
=0.
3.1.2
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
学 习 目 标 1.能根据两角差的余弦 公式推导出两角和与差 的正弦、余弦、正切公 式. 2.能利用两角和与差的 正弦、余弦、正切公式 进行化简求值等.
思 维 脉 络
和角、差角公式如下表:
名称 差的余弦 和的余弦 和的正弦 差的正弦 和的正切 差的正切
公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β sin(α-β)=sin αcos β- cos αsin β tan(α+β)= tan(α-β)=
简记 C(α -β) C(α+ β) S(α+ β) S(α-β) T(α+β) T(α-β)
逻辑联系
做一做 (1)sin(30°+45°)= (2)cos 55°cos 5°-sin 55°sin 5°=
.
.
(3)若 tan ������-
π 4
=2,则 tan α=
.
解析:(1)sin(30°+ 45°)=sin 30°cos 45°+ cos 30° sin 45° = ×
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
即 tan(α－β)＝________，这就是两角差的正切公式．
练习 5：1t＋an4ta5n°4－5°ttaann1155°°＝________________.
tan α－tan β 1＋tan αtan β
练习：5.
3 3
思考应用
3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特 征有哪些？
解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β 均不为 kπ＋π2(k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进 行说理：cos(α＋β)≠0，则 α＋β≠kπ＋π2；同除 cos α、cos β， 得 cos α≠0，cos β≠0，则 α≠kπ＋π2，cos β≠kπ＋π2.cos x≠0， 保证了 tan x 有意义．
∵cos(α－β)＝1134，∴sin(α－β)＝3143， 由 β＝α－(α－β)，得
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝7×4914＝12， ∵0<β<π2，所以 β＝π3.
点评： 解答此类问题分三步：第一步，求角的某 一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三 步，根据角的范围写出所求的角．特别注意选取角的 某一个三角函数值，是取正弦？还是取余弦？应先缩 小所求角的取值范围，最好把角的范围缩小在某一三 角函数值的一个单调区间内．
sin αcos β＋cos αsin β
以－β 代替公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
中的 β，得到 sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋
cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β，
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件人教新课标3
你能利用cos (α－β)的公式继续探究α±β 的其它三角函数公式吗？如
2024/11/4
21
2024/11/4
22
A α β B
α
B β
O
x
O2- x
A
于是，对于任意角α，β都有
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
称202为4/11/差4 角的余弦公式。简记为C(α-β)
11
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
视察：公式有何特征？如何记忆？
１.公式的结构特征:
左边是差角α－β 的余弦,右边单角α、β 的余弦积与正弦积的和,即同名三角函数积的和.
2024/11/4
17
巩固练习:
解：
2024/11/4
18
变式2：已知cosα= 1 ，cos（α－β）= 4，
3
5
0< β < α <
,求cosβ的值。
2
思考? 若将cos（α－β）改为cos（α+β）呢?
( )
变式3:以知
cos cos 3 sin sin 4 ,求cos - 的值.
问题2:你认为cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ成立吗?
猜想：
2024/11/4
5
探究过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角 的终边与单
cos 位标圆，的也交可点以为用角P1
，
等于角 与单位圆交点的横坐
的余弦线来表示．
大家思考：怎样构造角 和 角？（注意：要与
2024/11/4
2 3 21 6 2
2 2 22
4
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A α β B
α
B β
O
x
O2- x
A
于是，对于任意角α，β都有
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
称202为4/11/差4 角的余弦公式。简记为C(α-β)
11
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
视察：公式有何特征？如何记忆？
１.公式的结构特征:
左边是差角α－β 的余弦,右边单角α、β 的余弦积与正弦积的和,即同名三角函数积的和.
2024/11/4
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巩固练习:
解：
2024/11/4
18
变式2：已知cosα= 1 ，cos（α－β）= 4，
3
5
0< β < α <
,求cosβ的值。
2
思考? 若将cos（α－β）改为cos（α+β）呢?
( )
变式3:以知
cos cos 3 sin sin 4 ,求cos - 的值.
问题2:你认为cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ成立吗?
猜想：
2024/11/4
5
探究过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角 的终边与单
cos 位标圆，的也交可点以为用角P1
，
等于角 与单位圆交点的横坐
的余弦线来表示．
大家思考：怎样构造角 和 角？（注意：要与
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2 3 21 6 2
2 2 22
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人教A版高中数学必修4课件：3-1-2-2两角和与差的正切公式
和的正切形式．(2)可以直接利用公式的变形，口答得 出结果，若在选择填空中，可以套入结论处理．
RJA版·数学·必修4
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第三章·3.1·3.1.2·
系列丛书
【解】
1＋tan15° tan45° ＋tan15° (1) ＝ 1－tan15° 1－tan15° tan45°
＝tan(45° ＋15° )＝tan60° ＝ 3. tanα＋tanβ (2)由tan(α＋β)＝ 的变形 1－tanαtanβ tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)得： tan10° ＋tan35° ＝tan45° (1－tan10° tan35° ) ＝1－tan10° tan35° ， 所以tan10° ＋tan35° ＋tan10° tan35° ＝1.
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第三章·3.1·3.1.2·
系列丛书
重点难点
重点：记住并会应用两角和与差的正切公式； 难点：灵活运用公式进行求值、化简、证明.
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第三章·3.1·3.1.2·
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预习篇01
新知导学
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第三章·3.1·3.1.2·
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第三章·3.1·3.1.2·
系列丛书
3－tan105° tan60° －tan105° 解析：(1) ＝ ＝tan(－45° ) tan105° 1＋ 3tan105° 1＋tan60° ＝－1. tanα＋tanβ π (2)∵α＋β＝3，∴tan(α＋β)＝ ＝ 3， 1－tanαtanβ ∴tanα＋tanβ＋ 3tanαtanβ＝ 3， ∴tanα＋ 3tanαtanβ＋ 3c ＝ 3－tanβ＋ 3c＝0， ∴tanβ＝ 3(c＋1)．
数学必修Ⅳ人教新课标A版3-1-2两角和与差的正弦-余弦-正切公式课件(40张)
__α_，__β_为__任__意__角_____.
数学 必修3
第三章 三角恒等变换
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式
两角和的正弦
S(α＋β)
两角差的正弦
S(α－β)
sin(α＋β)＝ _s_i_n_α_c_o_s__β_＋__c_o_s_α_s_i_n_β___
教案·课堂探究
练案·学业达标
1．理解两角和与差的正、余弦公式的结构特征，体会诱导公式在推导 S(α－β) 中的作用．
2．掌握并能运用两角和与差的正、余弦公式化简或求值．
数学 必修3
第三章 三角恒等变换
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝__c_o_s_α_c_o_s_β__－__si_n__α_si_n__β__，简记为_C__(α_＋_β_) _，使用的条件为
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
1．求值：(1)sin(－15°)；
(2)化简scions
7°＋cos 7°－sin
15°sin 15°sin
8° 8°.
数学 必修3
第三章 三角恒等变换
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
解析： (1)sin(－15°)＝sin(30°－45°)
＝－sin 30°＝－12. 答案： A
数学 必修3
第三章 三角恒等变换
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
3．sin 75°＝ ． 解析： sin 75°＝sin(45°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin30°＝ 22·23＋ 22·12
数学 必修3
第三章 三角恒等变换
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式
两角和的正弦
S(α＋β)
两角差的正弦
S(α－β)
sin(α＋β)＝ _s_i_n_α_c_o_s__β_＋__c_o_s_α_s_i_n_β___
教案·课堂探究
练案·学业达标
1．理解两角和与差的正、余弦公式的结构特征，体会诱导公式在推导 S(α－β) 中的作用．
2．掌握并能运用两角和与差的正、余弦公式化简或求值．
数学 必修3
第三章 三角恒等变换
学案·新知自解
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两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝__c_o_s_α_c_o_s_β__－__si_n__α_si_n__β__，简记为_C__(α_＋_β_) _，使用的条件为
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1．求值：(1)sin(－15°)；
(2)化简scions
7°＋cos 7°－sin
15°sin 15°sin
8° 8°.
数学 必修3
第三章 三角恒等变换
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解析： (1)sin(－15°)＝sin(30°－45°)
＝－sin 30°＝－12. 答案： A
数学 必修3
第三章 三角恒等变换
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3．sin 75°＝ ． 解析： sin 75°＝sin(45°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin30°＝ 22·23＋ 22·12
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
2 2.
(2)(tan 10°－
Hale Waihona Puke cos 3) sin5100°°＝(tan
10°－tan
cos 60°) sin
10° 50°
＝csoins
1100°°－csoins
60°cos 60° sin
5100°°＝cossin10－°c5o0s°60°·csoins
10° 50°
＝－cos160°＝－2.
例 3 已知 sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
证明 sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α. 小结 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、 “往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、 结构形式的差异．
解 原式＝sinπ4－3xcos3π－3x－sinπ3－3xcos4π－3x
＝sinπ4－3x－3π－3x＝sinπ4－π3＝sin
π 4cos
π3－cos
π 4sin
π 3
＝ 22×12－ 22× 23＝
2－ 4
6 .
【典型例题】
例 1 化简求值： (1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；
探究点一 由公式 C(α－β)推导公式 C(α＋β) 由于公式 C(α－β)对于任意 α，β 都成立，那么把其中的＋β 换成 －β 后，也一定成立．请你根据这种联系，从两角差的余弦公 式出发，推导出用任意角 α，β 的正弦、余弦值表示 cos(α＋β) 的公式．试一试写出推导过程． 答 ∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cos β，sin(－β)＝－sin β，
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
所以 cos(α＋ β )＝－1114，
所以 sin β＝sin[(α＋ β )－α]
＝sin(α＋ β )cos α－cos (α＋ β )sin α
＝5143×17－－1114×4 7 3＝
3 2.
又因为 0＜ β ＜π2，所以 β ＝π3.
[迁移探究] (变换条件)若把本例中的“0＜ β＜π2” 改为“π2＜ β ＜π”，求角 β 的值．
解：因为 0＜α＜π2，cos α＝17，所以 sin α＝473. 又因为π2＜ β ＜π，所以π2＜α＋ β ＜32π. 因为 sin(α＋ β )＝5143，所以 cos (α＋ β )＝－1114，
所以 sin β＝sin [(α＋ β )－α]＝ sin(α＋ β )cos α－cos(α＋ β )sin α＝ 5143×17－－1114×473＝ 23. 又因为π2＜ β ＜π，所以 β＝23π.
归纳升华 1．(1)逆用两角和的正弦公式可得：asin x＋bcos x＝ a2＋b2·sin(x＋θ )；(2)将含有 sin ωx，cos ωx 的一次式 子化简成 Asin(ωx＋φ )的形式，为进一步研究函数的性质 提供了方便．
2．与特殊角有关的几个结论： sin x±cos x＝ 2sinx±π4； sin x± 3cos x＝2sinx±π3＝2cosx±π6.
2.两角和与差的正切公式
名称
公式
使用条件
两角和的 tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋π2
正切
tan α＋tanβ _1_－__ta_n__α_t_a_n_β__ (k∈Z)
两角差的 正切
tan(α－β)＝ tan α－tanβ
α，β，α－β≠kπ＋π2
两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
3．两角和与差的正切公式
名称
公式
两角和的正切
tan(α＋β) ＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
两角差的正切
tan(α－β) ＝
tan α－tan β 1＋tan αtan β
简记符号
使用条件
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋π2 (k∈Z)
∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin αsin β
＝2 5 5·3 1010－
55·1100＝
2 2.
由 0<α<2π，0<β<2π得 0<α＋β<π，
又 cos(α＋β)>0，∴α＋β 为锐角，∴α＋β＝4π.
规律方法 此类题是给值求角问题，步骤如下：①求所求角的 某一个三角函数值，②确定所求角的范围，此类题常犯的错误 是对角的范围不加讨论，或范围讨论的程度过大或过小，这样 就会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定 取该角的哪一种三角函数值．
规律方法 化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之 间的关系，以便于应用，对于三角函数式的化简要求应熟练掌 握：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3) 使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函 数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．
题型二 给角求值问题
【例 2】 求下列各式的值：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
自学导引
1．两角和与差的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β
；
C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β.来自2．两角和与差的正弦公式
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正
cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________． 【解析】 逆用两角和的余弦公式可得 cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0. 【答案】 0
教材整理 2 两角和与差的正弦公式
阅读教材 P128“探究”以下内容，完成下列问题． 1．公式
a
y＝asin x＋bcos x＝___a_2＋__b_2sin(x＋θ)(a，b 不同时为 0)，其中 cos θ＝___a_2＋__b_2，
b sin θ＝__a_2＋__b_2_.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的．( ) (2)存在 α，β∈R，使得 sin(α－β)＝sin α－sin β 成立．( ) (3)对于任意 α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β 都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( )
【解析】 (1)√.根据公式的推导过程可得． (2)√.当 α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β. (3)×.当 α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立． (4)√.因为 sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24° ＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
灵活应用和、差角公式化简 三角函数式
sin (1)
47°－sin 17°cos cos 17°
30°＝(
)