山东省新高考质量测评联盟2021届高三12月联合调研检测 数学试题 附答案
2021-2022学年山东省学情高三上学期质检数学试卷(12月份)(含答案解析)
2021-2022学年山东省学情高三上学期质检数学试卷(12月份)一、单选题（本大题共16小题，共80.0分）1.已知集合A={x|−1<x≤1}，B={x|0≤x≤2}，则A∪B=()A. {x|−1<x≤2}B. {x|−1≤x≤2}C. {x|0≤x≤1}D. {x|−1<x≤0}2.复数z=52−i的虚部是()A. iB. 53C. 53i D. 13.已知角α的终边过点P(1,2)，则2sinα+cosα3sinα−cosα=()A. 0B. 1C. −1D. −24.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，a7>0，S11<0，则S n的最小值为()A. S4B. S5C. S6D. S75.如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合，该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为()A. y23−x2=1B. y2−x23=1C. y29−x23=1D. y23−x29=16.2021年7月，我国河南省多地遭受千年一遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安排甲，乙，丙，丁，戊五名专家赴郑州，洛阳两地工作，每地至少安排一名专家，则甲，乙被安排在不同地点工作的概率为()A. 25B. 12C. 815D. 357.已知三棱锥P−ABC的顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的等边三角形，球O的表面积为649π，则三棱锥P−ABC的体积的最大值为()A. 2√3B. 2√33C. 4√33D. 4√398.已知直线l 1：mx −y −3m +1=0与l 2：x +my −3m −1=0相交于点P ，线段AB 是圆C ：(x +1)2+(y +1)2=4的一条动弦，且AB =2√3，则|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是( )A. 2√2B. 4√2C. 2√2−2D. 4√2−29.若复数z 满足iz =1−i(其中i 为虚数单位)，则复数z −在复平面内所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限10. 已知集合A ={x|x 2−4x +3<0}，B ={x|lnx ≤1}，则A ∩B =( )A. (1,e]B. [1,3]C. (0,e]D. (0,3]11. 已知等比数列{a n }的公比为q ，则q >1是{a n }为增数列的( )A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12. 如图所示，正方体的棱长为√3，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，那么该正八面体的内切球表面积为( )A. π6 B. π C. 4π3 D. 4π13. 北京2022年冬奥会即将开幕，北京某大学5名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有( )A. 90种B. 125种C. 150种D. 243种14. 已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩X 近似服从正态分布N(100,225)，从中任取3名同学，至少有2人的数学成绩超过100分的概率为( )A. 12B. 23C. 34D. 7815. 已知抛物线C ：y 2=4x ，圆F ：(x −1)2+y 2=1，直线l ：y =k(x −1)(k ≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M 1，M 2，M 3，M 4四点，则下列各式结果为定值的是( )A. |M 1M 2|⋅|M 3M 4|B. |FM 1|⋅|FM 4|C. |M 1M 3|⋅|M 2M 4|D. |FM 1|⋅|M 1M 2|16. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)={2|x−1|−1,0<x ≤212f(x −2),x >2，若关于x 的方程[f(x)]2−(a +1)f(x)+a =0(a ∈R)恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为( )A. −4B. 4C. 8D. −4或8二、多选题（本大题共8小题，共40.0分） 17. 下列命题中，真命题的是( )A. 若样本数据x 1，x 2，⋯，x 10的方差为2，则数据2x 1−1，2x 2−1，⋯，2x 10−1的方差为8B. 若回归方程为y ̂=−0.45x +0.6，则变量y 与x 负相关C. 若随机变量X 服从正态分布N(3,σ2)，P(X ≤4)=0.64，则P(2≤X ≤3)=0.07D. 在线性回归分析中相关指数R 2用来刻画回归的效果，若R 2值越小，则模型的拟合效果越好18. 如图所示，一个底面半径为√2的圆柱被与其底面所成的角为θ=45°的平面所截，截面是一个椭圆，则( )A. 椭圆的长轴长为4B. 椭圆的离心率为√24C. 椭圆的方程可以为x 24+y 22=1 D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2−√219. 对于函数f(x)=13x 3+12x 2+cx +d ，c ，d ∈R ，下列说法正确的是( )A. 存在c ，d 使得函数f(x)的图像关于原点对称B. f(x)是单调函数的充要条件是c ≥14C. 若x 1，x 2为函数f(x)的两个极值点，则x 14+x 24>18D. 若c =d =−2，则过点P(3,0)作曲线y =f(x)的切线有且仅有2条20. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为棱CC 1上的动点，AM ⊥平面α，下面说法正确的是( )A. 若N 为DD 1中点，当AM +MN 最小时，CM CC 1=1−√22B. 当点M 与点C 1重合时，若平面α截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大C. 直线AB 与平面α所成角的余弦值的取值范围为[√33,√22]D. 若点M 为CC 1的中点，平面α过点B ，则平面α截正方体所得截面图形的面积为9221.为了解高中生选科时是否选物理与数学成绩之间的关系，某教研机构随机抽取了50名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：由以上数据，计算得到X2=50×(13×20−10×7)223×27×20×30≈4.844，根据临界值表，以下说法正确的是()参考数据：A. 有95%的把握认为是否选择物理与数学成绩有关B. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否选择物理与数学成绩有关C. 95%的数学成绩优异的同学选择物理D. 若表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同条件下，结论不会发生变化22.已知x>0，y>0，2x+y=1，则下列说法正确的是()A. xy的最大值是18B. 2x+1y的最小值是8C. 4x2+y2的最小值是12D. x2+y2的最小值是1523.已知函数f(x)=cos(ωx−π4)(ω>0)，则下列说法正确的是()A. 若将f(x)图象向左平移π4个单位长度，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为4B. 若f(π6)=f(π3)，则ω的最小值为1C. 若f(x)在(π2,π)内单调递减，则ω的取值范围为[12,54]D. 若f(x)在(π2,π)内无零点，则ω的取值范围为[32,74]24.长方体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1=1，则下述结论正确的是()A. 若点P为底面四边形A1B1C1D1内的一个动点，且AP=2，则点P的轨迹长度为√32πB. 若点P为侧面四边形D1C1CD内的一个动点，且AP⊥D1C，则点P的轨迹长度为√32C. 若点P为侧面四边形B1C1CB内的一个动点，且AP与平面ABCD所成的角为30°，则点P的轨迹为双曲线的一部分D. 若点P 为底面四边形A 1B 1C 1D 1内的一个动点，且平面ABP 与平面ABCD 所成的角为45°，则点P 的轨迹为椭圆的一部分三、填空题（本大题共8小题，共40.0分）25. 已知f(x)为奇函数，当x <0时，f(x)=x 2−sin(πx)，则f(2)=______． 26. 若(13x 3−x)n 的展开式中第r +1项为常数项，则rn =______．27. 已知函数f(x)={e x −1,x ≤λ−x 2+6x −8,x >λ，若函数f(x)恰有2个零点，则实数λ的取值范围是______．28. 已知扇形POQ 的半径为2，∠POQ =π3，如图所示，在此扇形中截出一个内接矩形ABCD(点B ，C 在弧PQ ⏜上)，则矩形ABCD 面积的最大值为______．29. 曲线f(x)=ln(2x)+x 2在点(1,f(1))处的切线方程为______．30. 某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据0.9810的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是______．31. 已知在△ABC 中，AB =3，AC =5，其外接圆的圆心为O ，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______． 32. 已知双曲线x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，设S 1，S 2分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内切圆的面积，则S 1+S 2的取值范围为______． 四、解答题（本大题共12小题，共142.0分）33. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m ⃗⃗⃗ =(c,b)，n ⃗ =(√32,sinB)，m⃗⃗⃗ //n ⃗ ． (1)求C ；(2)求sinA +sinB 的取值范围．34. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n+1=2S n +n +1． (1)证明：数列{a n +1}为等比数列；(2)在a k 和a k+1(k ∈N ∗)中插入k 个数构成一个新数列{b n }：a 1，2，a 2，4，6，a 3，8，10，12，a 4，⋯，其中插入的所有数依次构成首项和公差都为2的等差数列，求数列{b n }的前30项和T 30．35. 如图，在三棱锥P −ABC 中，BC ⊥平面PAC ，AD ⊥BP ，AB =2，BC =1，PD =3BD =3．(1)求证：PA ⊥AC ；(2)求二面角P −AC −D 的余弦值．36. 某校开展“学习新中国史”的主题学习活动．为了调查学生对新中国史的了解情况，需要对学生进行答题测试，答题测试的规则如下：每位参与测试的学生最多有两次答题机会，每次答一题，第一次答对，答题测试过关，得5分，停止答题测试；第一次答错，继续第二次答题，若答对，答题测试过关，得3分；若两次都答错，答题测试不过关，得0分．某班有12位学生参与答题测试，假设每位学生第一次和第二次答题答对的概率分别为m ，0.5，两次答题是否答对互不影响，每位学生答题测试过关的概率为p ．(1)若m =0.5，求每一位参与答题测试的学生所得分数的数学期望；(2)设该班恰有9人答题测试过关的概率为f(p)，当f(p)取最大值时，求p ，m ．37. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，F 1，F 2分别为椭圆C 的左，右焦点，M 为椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长为4+2√3． (1)求椭圆C 的方程；(2)P 为圆x 2+y 2=5上任意一点，过P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，判断PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．38. 已知函数f(x)=2ax −x 2−2lnx ．(1)若数f(x)在定义域内单调，求实数a 的取值范围；(2)若a ≤52，m ，n 分别为f(x)的极大值和极小值，求m −n 的取值范围．39. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知√3tanAtanB −tanA −tanB =√3，角C 的平分线CD 交AB 于D ． (1)求证：√3CD =1CA +1CB；(2)若CD =CB =2，求△ABC 的面积．40.已知数列{a n}满足a n−1−a n=a n−a n+1(n≥2)，且a1=1，a7=13；数列{b n}的前n项和为S n，且S n=3n−12．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)若数列c n={a n,n为奇数b n,n为偶数，求数列{c n}的前n项和T n．41.如图，四边形ABCD为梯形，AD//BC，AD⊥AB，侧面PAB为等边三角形，平面ABP⊥平面ABCD，AD=2BC=2，点M在边PC上，且PM=2MC．(1)证明：PA//平面BDM；(2)当二面角C−BM−D的平面角的正切值为√6时，求四棱锥P−ABCD的体积．42.购买盲盒，是当下年轻人的潮流之一．每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性．某礼品店2021年1月到8月出售的盲盒数量及利润情况的相关数据如表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月销售量/千个3456791012月利润/万元 3.64.14.45.26.27.57.99.1(1)求出月利润y(万元)关于月销售量x(千个)的回归方程(精确到0.01)；(2)2022年冬奥会临近，该店售卖装有奥运吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”玩偶的两款盲盒，小明同学购买了4个装有“冰墩墩”玩偶的盲盒，4个装有“雪容融”玩偶的盲盒，从中随机选出3个作为元旦礼物赠送给同学．用X表示3个中装有“冰墩墩”玩偶的盲盒个数，求X的分布列和数学期望．参考数据：∑x i 28i=1=460，∑x i 8i=1y i =379.5．附：线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中，b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −．43. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−1,0)，F 2(1,0).过F 2与x 轴垂直的直线与椭圆C 交于点D ，点D 在x 轴上方，且|DF 1|=3√22． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 2的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，是否存在一定点M 使得k MA +k MB 为定值，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．44. 已知函数f(x)=ln(x+1)x，g(x)=xsinx −ln(x +1)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：当x ∈[π2,π]时，xsinx >2cosx +1； (3)判断g(x)在区间(π2,2π)上零点的个数．。
山东省2021届高三百所名校12月第二次质量监测联考数学
数学试卷参考答案与评分标准15.0.816.4517.1 718.（1）4（2）19.20.21.解：（1）由已知得，11B C 平面11ABB A ，BE 平面11ABB A ，故11B C BE ．又1BEEC ，所以BE 平面11EB C ．（2）由（1）知190BEB ．由题设知11Rt Rt ABEA B E △△，所以45AEB ，故AEAB ，12AA AB ．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，||DA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则C （0，1，0），B （1，1，0），1C （0，1，2），E （1，0，1），(1,1,1)CE，1(0,0,2)CC ．设平面EBC 的法向量为n =（x ，y ，x ），则0,0,CB CE n n即0,0,x x yz所以可取n =(0,1,1).设平面1ECC 的法向量为m =（x ，y ，z ），则10,0,CC CE m m即20,0.z x y z所以可取m =（1，1，0）． 于是1cos,||||2n m n mn m ．所以，二面角1BEC C ． 22.(1)第二种生产方式的效率更高．理由如下：（i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高． （ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．（iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． (2)由茎叶图知7981802m ．列联表如下：(3)由于2240(151555)10 6.63520202020K，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异． 23.（1）解：由已知，有'()(cos sin )x f x e x x .因此，当52,244xkk()kZ 时，有sin cos xx ，得'0f x，则f x 单调递减；当32,244x kk ()kZ 时，有sin cos xx ，得'0f x ，则f x 单调递增.所以，f x 的单调递增区间为32,2(),()44kk k f x Z 的单调递减区间为52,2()44kkk Z .（2）证明：记()()()2h x f x g x x .依题意及（1），有()(cos sin )x g x e x x ，从而'()2sin x g x e x .当,42x时，'0g x ，故'()'()'()()(1)'()022h x f x g x x g x g x x .因此，h x 在区间,42上单调递减，进而()022h x hf.所以，当,42x时，()()02f xg x x .数学试题说明：本试卷满分150分，时间120分钟。
2021-2021学年山东省高考模拟考试(12月)数学试题(Word最新版)
2021-2021学年山东省高考模拟考试（12月）数学试题通过整理的2021-2021学年山东省高考模拟考试（12月）数学试题相关文档，希望对大家有所帮助，谢谢观看！2021-2021学年山东省高考模拟考试（12月）数学试题一、单选题1．设集合，则（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】首先注意到集合A 与集合B均为点集，联立，解得方程组的解，从而得到结果. 【详解】首先注意到集合A与集合B均为点集，联立，解得，或，从而集合，故选：C. 【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查二元方程组的解法，属于基础题. 2．已知是是共轭复数，则（）A．B．C．D．1 【答案】D 【解析】化简，结合共轭复数的概念得到的值. 【详解】由，从而知，由复数相等，得，，从而. 故选：D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查共轭复数概念，考查计算能力，属于基础题. 3．设向量，且，则（）A．3 B．2 C．D．【答案】A 【解析】由题意得到，利用向量垂直的坐标形式得到. 【详解】由题，得，由，从而，解得. 故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标形式，考查计算能力，属于基础题. 4．的展开式中的系数是（）A．B．C．120 D．210 【答案】B 【解析】根据题意，结合二项展开式的通项公式，可得，则r＝7，将r＝7代入通项公式计算可得答案．【详解】由二项展开式，知其通项为，令，解得. 所以的系数为. 故选：B. 【点睛】本题考查指定项的系数，应该牢记二项展开式的通项公式，属于基础题．5．已知三棱锥中，，则三棱锥的体积是（）A．4 B．6 C．D．【答案】C 【解析】由题意明确，结合棱锥体积公式得到结果. 【详解】由，，且，得；又由，，且，得. 因为，从而知，即所以. 又由于，从而. 故选：C. 【点睛】本题考查棱锥体积的计算，考查线面垂直的证明，考查计算能力与推理能力，属于基础题. 6．已知点为曲线上的动点，为圆上的动点，则的最小值是（）A．3 B．4 C．D．【答案】A 【解析】设，并设点A到圆的圆心C距离的平方为，利用导数求最值即可. 【详解】（方法一）设，并设点A到圆的圆心C距离的平方为，则，求导，得，令，得. 由时，，单调递减；当时，，单调递增. 从而在时取得最小值为，从而点A到圆心C的最小值为，所以的最小值为. 故选：A （方法二）由对勾函数的性质，可知，当且仅当时取等号，结合图象可知当A 点运动到时能使点A到圆心的距离最小，最小为4，从而的最小值为.故选：A 【点睛】本题考查两动点间距离的最值问题，考查利用导数求最值，考查转化思想与数形结合思想，属于中档题. 7．设命题所有正方形都是平行四边形，则为（）A．所有正方形都不是平行四边形B．有的平行四边形不是正方形C．有的正方形不是平行四边形D．不是正方形的四边形不是平行四边形【答案】C 【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【详解】“所以”改为“存在”（或“有的”），“都是”改为“不都是”（或“不是”），即为有的正方形不是平行四边形故选：C. 【点睛】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．8．若且，则（）A．B．C．D．【答案】B 【解析】利用特值法或利用对数函数的图象与性质即可得到结果. 【详解】（方法一）对选项A：由，从而，，，从而选项A错误；对选项B：首先，，，从而知最小，下只需比较与的大小即可，采用差值比较法：，从而，选项B正确；对于选项C：由，，知C错误；对于选项D：可知，从而选项D错误；故选：B （方法二）取，，代入验证知选项B正确. 【点睛】本题考查式子间大小的比较，考查对数函数的图象与性质，考查运算能力，属于常考题型.二、多选题9．下图为某地区2006年~2021年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．根据该折线图可知，该地区2006年~2021年（）A．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大【答案】AD 【解析】先对图表数据的分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】由图可以看出两条曲线均在上升，从而选项A正确；图中两曲线间隔越来越大，说明年增长速度不同，差额逐年增大，故选项B错误，选项D正确；又从图中可以看出财政预算内收入年平均增长应该小于城乡储蓄年末余额年平均增长量，所以选项C错误; 故选：AD. 【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题．10．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（）A．的方程为B．的离心率为C．曲线经过的一个焦点D．直线与有两个公共点【答案】AC 【解析】根据题意得到双曲线的方程，结合双曲线的性质逐一判断即可. 【详解】对于选项A：由已知，可得，从而设所求双曲线方程为，又由双曲线过点，从而，即，从而选项A正确；对于选项B：由双曲线方程可知，，，从而离心率为，所以B选项错误；对于选项C：双曲线的右焦点坐标为，满足，从而选项C正确；对于选项D：联立，整理，得，由，知直线与双曲线只有一个交点，选项D错误. 故选：AC 【点睛】本题考查双曲线的标准方程及简单的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查推理能力与运算能力. 11．正方体的棱长为1，分别为的中点．则（）A．直线与直线垂直B．直线与平面平行C．平面截正方体所得的截面面积为D．点和点到平面的距离相等【答案】BC 【解析】利用向量法判断异面直线所成角；利用面面平行证明线面平行；作出正方体的截面为等腰梯形，求其面积即可；利用等体积法处理点到平面的距离. 【详解】对选项A：（方法一）以点为坐标原点，、、所在的直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，则、、、、、.从而，，从而，所以与直线不垂直，选项A错误；（方法二）取的中点，连接，则为直线在平面内的射影，与不垂直，从而与也不垂直，选项A错误；取的中点为，连接、，则，，易证，从而，选项B正确；对于选项C，连接，，易知四边形为平面截正方体所得的截面四边形（如图所示），且，，所以，而，从而选项C正确；对于选项D：（方法一）由于，而，而，，所以，即，点到平面的距离为点到平面的距离的二倍.从而D错误.（方法二）假设点与点到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于点，易知不是的中点，故假设不成立，从而选项D错误. 【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是平行和垂直，记熟线面平行、垂直的判定和性质是迅速解题的关键，同时考查截面的画法及计算，以及空间异面直线所成的角的求法，属于基础题和易错题．12．函数的定义域为R，且与都为奇函数，则（）A．为奇函数B．为周期函数C．为奇函数D．为偶函数【答案】ABC 【解析】利用与都为奇函数，可知是以2为周期的函数.从而得到结果. 【详解】由与都为奇函数知函数的图象关于点，对称，所以，，所以，即所以是以2为周期的函数.又与都为奇函数，所以，均为奇函数. 故选：ABC. 【点睛】本题考查函数的对称性与周期性，考查推理能力，属于中档题.三、填空题13．某元宵灯谜竞猜节目，有6名守擂选手和6名复活选手，从复活选手中挑选一名选手为攻擂者，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有______种．【答案】36 【解析】根据分步计数原理即可得到结果. 【详解】从6名守擂选手中选1名，选法有种；复活选手中挑选1名选手，选法有种．由分步乘法计数原理，不同的构成方式共有种．故答案为：36 【点睛】本题考查分步计算原理，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题. 14．已知，则______．【答案】【解析】由题意可得，结合诱导公式可得结果. 【详解】由，∴ 而．故答案为：【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查两角和与差正弦公式、诱导公式，考查计算能力，属于常考题型. 15．直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则______，______．【答案】21【解析】由题意知，从而，所以抛物线方程为．联立方程，利用韦达定理可得结果. 【详解】由题意知，从而，所以抛物线方程为．（方法一）将代入，解得，从而．（方法二）设的方程为，联立，整理，得，设，，则从而．（方法三）利用二级结论：，即可得结果．【点睛】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化能力与计算能力，属于基础题. 16．半径为2的球面上有四点，且两两垂直，则，与面积之和的最大值为______．【答案】8 【解析】AB，AC，AD为球的内接长方体的一个角，故，计算三个三角形的面积之和，利用基本不等式求最大值．【详解】如图所示，将四面体置于一个长方体模型中，则该长方体外接球的半径为2．不妨设，，，则有，即．记．从而有，即，从而．当且仅当，即该长方体为正方体时等号成立．从而最大值为8．【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值问题，考查了学生解决交汇性问题的能力．解答关键是利用构造法求球的直径．四、解答题17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的值；若不存在，说明理由．设等差数列的前项和为，是等比数列，______，，是否存在，使得且？【答案】答案不唯一，见解析【解析】从三个条件中任选一个，利用等差、等比数列的基本知识解决问题即可. 【详解】因为在等比数列中，，，所以其公比，从而，从而．若存在，使得，即，从而；同理，若使，即，从而．（方法一）若选①：由，得，所以，当时满足，且成立；若选②：由，且，所以数列为递减数列，故不存在，且；若选③：由，解得，从而，所以当时，能使，成立．（方法二）若选①：由，得，所以公差，，从而；，解得，又，从而满足题意．【点睛】本题为开放性试题，答案不唯一，要求考生能综合运用所学知识，进行探究，分析问题并最终解决问题，属于中档题. 18．在中，，点在边上．在平面内，过作且．（1）若为的中点，且的面积等于的面积，求；（2）若，且，求．【答案】(1)(2)【解析】（1）根据可得，又，从而，即可得到结果；（2）由，从而，设，则．结合余弦定理可得结果. 【详解】（1）如图所示，为的中点，所以．又因，即，从而，又，从而，所以．（2）由，从而，设，则．由，所以，．因为，从而，．（方法一）从而由余弦定理，得．（方法二）所以，从而；，从而．所以．【点睛】本题考查解三角形问题，考查三角形面积公式，正弦定理，考查计算能力与推理能力，属于中档题. 19．如图，四棱锥中，底面为矩形．平面，分别为的中点，与平面所成的角为．（1）证明：为异面直线与的公垂线；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）要证为异面直线与的公垂线，即证，，转证线面垂直即可；（2）以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到结果. 【详解】（1）连接、交于点，连接、．因为四边形为矩形，且、分别是、的中点，所以，且．又平面，所以平面，所以．又，，所以平面，所以．因为与平面所成的角为，所以，从而．所以．取的中点，连接、，则由、分别为、的中点，从而，从而四边形为平行四边形．又由，知．又平面，所以．又，从而平面．从而平面．平面，从而．综上知为异面直线与的公垂线．（2）因为，设，则，从而，所以，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，则、、、，从而，，．设平面的一个法向量为，则，令，从而得．同理，可求得平面的一个法向量为．设二面角的平面角为，从而．【点睛】本题是中档题，考查异面直线的公垂线的证明，向量法求二面角，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．20．下面给出了根据我国2021年~2021年水果人均占有量（单位：）和年份代码绘制的散点图和线性回归方程的残差图（2021年~2021年的年份代码分别为1~7）．（1）根据散点图分析与之间的相关关系；（2）根据散点图相应数据计算得，求关于的线性回归方程；（3）根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果．（精确到0．01）附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．【答案】(1) 正相关关系；(2) ．(3) 拟合效果较好．【解析】（1）根据散点图判断与之间的相关关系；（2）利用最小二乘法求线性回归方程；（3）根据残差图判断线性回归方程的拟合效果．【详解】（1）由散点图可以看出，点大致分布在某一直线的附近，且当由小变大时，也由小变大，从而与之间是正相关关系；（2）由题中数据可得，，从而，，从而所求关于的线性回归方程为．（3）由残差图可以看出，残差对应的点均匀地落在水平带状区域内，且宽度较窄，说明拟合效果较好．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查散点图与残差图，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题. 21．设中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为．为的右焦点，为上一点，轴，的半径为．（1）求和的方程；（2）若直线与交于两点，与交于两点，其中在第一象限，是否存在使？若存在，求的方程；若不存在，说明理由．【答案】(1) 的方程为．的方程为．(2) 满足题设条件的直线不存在．理由见解析【解析】（1）利用待定系数法求出椭圆与圆的方程；（2）若，则．联立方程，利用韦达定理可得，显然与题意矛盾，故不存在. 【详解】（1）设椭圆的方程为．由，从而得，从而，即．又椭圆过点，从而得，解得，，从而所求椭圆的方程为．所以，令，得，所以的方程为．（2）不存在，理由如下：若，则．联立，整理，得．设、，则．从而由，从而，从而，矛盾．从而满足题设条件的直线不存在．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．22．函数，曲线在点处的切线在轴上的截距为．（1）求；（2）讨论的单调性；（3）设，证明：．【答案】(1)(2) 在上单调递增．(3)证明见解析【解析】（1）由题意知切点坐标为，切线方程为：，结合条件列方程即可得到结果；（2）由（1）知，对求导，得，从而可知在上的单调性；（3）欲证，即证．只需证．不妨设，由此可得．因此，欲证，只需证．【详解】（1）由题意知切点坐标为．对求导，得，从而．所以切线方程为，令，得，解得．（2）由（1）知，从而，对求导，得，从而可知在上单调递增．（3）（方法一）欲证，即证．只需证．不妨设，由此可得．因此，欲证，只需证．由于不动点为1，下面研究与不动点的大小关系：，即与是异号的．由于，由此，得，．当为奇数时，，此时，．故只需证，即证．．当为偶数时，欲证，此时，．故只需证，即证．那么等价于证明不等式与成立．构造函数，则，则单调递增，由此可得．因此，．故不等式得证．（方法二）令，解得．从而，作商，得，所以，从而．所以．当为偶数时，；当为奇数时，．故无论为奇数还是偶数，．下只需证明．当时，有，满足题意；当时，．故只需证，即证．而当时，．故不等式得证．（方法三）要证，只需证，只需证．易知在上单调递减，且．若，则．此时，，只需证，只需证．此时，．由（2）知．若，则．此时，，只需证．只需证．此时，．由（2）知，．综上所述，成立．所以，．易知，，所以成立．故原不等式得证．【点睛】本题是数列与函数的综合问题，考查了数列递推关系的推导应用，不等式证明，切线的几何意义，以及函数单调性与数列的单调性，需要具备一定的基础知识和解题方法，属于难题．。
山东省百所名校2021届高三上学期12月联考数学试卷 Word版含解析
第二次质量监测联考数学一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2340A x x x =+->，{}12B x x =-<，则()RA B =（ ）A. {}11x x -<≤ B. {}13x x -<< C. {}13x x << D. {}11x x -<<【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A 、B ，利用补集和交集的定义可求得集合()A B R.【详解】因为{}{23404A x x x x x =+->=<-或}1x >，所以{}41RA x x =-≤≤.因为{}{}{}1221213B x x x x x x =-<=-<-<=-<<， 因此，(){}R11A B x x ⋂=-<≤.故选：A.2. 已知复数z 满足((2)55i z i +=-，则z =（ ） A. 33i - B. 13i -C. 13i +D. 33i +【答案】B 【解析】 【分析】 由条件可得552iz i-=+，根据复数的除法运算可得答案. 【详解】因为()255i z i +=-.所以()()()()()()552551213222i i i z i i i i i i ---===--=-++-. 故选：B3. 已知a ，b 都是实数，则“2211log log a b<”是“22a b >”的（ ） A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由由2211log log a b <，得110b a>>可推出22a b >，反之不成立，得出答案. 【详解】由2211log log a b <，得110b a>>，则0a b >>，从而22a b >，反之当22a b >时，取3,1a b =-=时，a 为负数，对数无意义，所以2211log log a b<不成立故“2211log <log a b”是“22a b >”的充分不必要条件.故选：C【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 4. 函数ln ||()e ex xx f x -=+的部分图象大致为（ ） A. B. C.D.【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性排除A 、C ，再通过特殊点排除D. 【详解】因为ln ln ()()x xx x x xf x f x e e e e----===++，所以f x （）是偶函数，所以f x （）的图象关于y 轴对称，排除A ，C ；因为10f=（），排除D . 故选：B.5. 点P 为抛物线2:2(0)C y px p =>的准线上一点，直线2x p =交抛物线C 于M ，N 两点，若PMN 的面积为20，则p =（ ）A. 1B.C. 2D.【答案】C 【解析】 【分析】求得,M N 两点的坐标，根据PMN 的面积列方程，解方程求得p 的值.【详解】由题意不妨设2222M p p N p p -（，）,（，），则PMN 的面积为1542022pp ⨯⨯=，解得2p =. 故选：C 6. 已知1sin ,123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则sin 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A. 29-B.29C. 79-D. 7 9【答案】D 【解析】 【分析】 设12παθ=-，则1,sin 123πθαα=+=，则sin 2sin 32]23[1πππθα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简，由余弦的二倍角公式可得答案. 【详解】设12παθ=-，则1,sin 123πθαα=+=， 从而2[]7sin 2sin 2sin 2cos 212sin 312329ππππθαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故选：D【点睛】关键点睛：本题考查三角函数中知值求值的问题，解答本题的关键是设12παθ=-，然后可得sin 2sin 32]23[1πππθα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，属于中档题. 7. 已知点P 是边长为2的菱形ABCD 内的一点(包含边界)，且120BAD ∠=︒，AP AB ⋅的取值范围是（ ） A. [2,4]- B. (2,4)-C. [2,2]-D. (2,2)-【答案】A 【解析】 【分析】如图建系，可求得A,B,C,D 的坐标，设(,)P x y ，则可得AP AB ⋅的表达式，根据x 的范围，即可求得答案.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则(00)(20)(13)(13)A B C D -，,，,，,，.设(,)P x y ，则12x -≤≤，故(,)(2[24]20)AP AB x y x ⋅=⋅=∈-，，，即AP AB ⋅的取值范围是[24]-，. 故选：A8. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为球心，21111D C B A 的交线长为（ ）A.2πB.22π C.2πD. π【答案】D 【解析】【分析】根据题意求出交线所在圆弧的圆心和半径，进而求得结论. 【详解】由题意知22112222AB AD ==+=.如图，在平面1111D C B A 内任取一点P ，使12A P =， 则221122AP AA A P =+=故以A 为球心，221111D C B A 的交线是以1A 为圆心，以2为半径的圆弧11B PD ，故该交线长为22ππ⨯=.故选：D.二、选择题：本大题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9. 已知向量(1,3),(2,1),(3,5),a b c ==-=-则（ ） A. (2)//a b c + B. (2)a b c +⊥ C. ||1034a c +=+ D. ||2||a c b +=【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算公式直接求解.【详解】由题意可得23542a b a c +=-+=-（,）,（,）.因为2a b c +=-，所以2//a b c +（），则A 正确，B 错误； 对于C ，D，因为2242a c b +=+==-=（（）2a c b +=，则C 错误，D 正确. 故选：AD.10. 已知实数x ，y 满足322,124,x y x y -<+<-<-<则（ ） A. x 的取值范围为(1,2)- B. y 的取值范围为(2,1)- C. x y+的取值范围为()3,3-D. x y -的取值范围为(1,3)-【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式的性质直接求解.【详解】因为124x y -<-<，所以2428x y -<-<.因为322x y -<+<，所以5510x -<<，则12x -<<，故A 正确；因为322x y -<+<，所以6244x y -<+<.因为124x y -<-<，所以421x y -<-+<，所以1055y -<<，所以21y -<<，故B 正确；因为322124x y x y -<+<-<-<，，所以9361142,2555555x y x y -<+<-<-<（）（），则22x y -<+<，故C 错误；因为322124x y x y -<+<-<-<，，所以213331222555555x y x y -<-+<-<-<（），（），则13x y -<-<，故D 正确. 故选：ABD.11. 已知函数()2sin()||2,fx x πωϕωϕ+⎛⎫=+∈<⎪⎝⎭N 的图象经过点A ，且()f x 在[0,2]π上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是（ ）A. 2ω=B. 6πϕ=C. ()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上单调递增 D. ()f x 在(0,2)π上有3个极小值点【答案】AC 【解析】 【分析】先根据函数图象过点(A 得3πϕ=，再根据函数在[0,2]π上有且仅有4个零点得11763ω≤<，进而得2ω=，故()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再讨论CD 选项即可得答案.【详解】解：因为点(A 在()f x 的图象上，所以2sin ϕ=，所以sin 2ϕ=. 因为2πϕ<，所以3πϕ=，则()()2sin 3f x x N πωω+⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭. 由02x π≤≤，得2333x πππωπω≤+≤+.因为()f x 在[0,2]π上有且仅有4个零点， 所以4253πππωπ≤+<，所以11763ω≤<. 因为N ω+∈，所以2ω=，则()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 正确，B 错误. 令222232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈（），解得51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈（）， 当0k =时，51212x ππ-≤≤.因为5,0,31212πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确. 由()f x 的图象易知()f x 在()0,2π上有2个极小值点，故D 错误.故选：AC【点睛】本题解题的关键在于根据整体换元思想，由函数()f x 在[0,2]π上有且仅有4个零点进而得4253πππωπ≤+<，进一步得2ω=，则()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据函数解析式求解即可，是中档题.12. 经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）A. 3a =B. 1b =C. m 的值可能是e -D. m 的值可能是1e- 【答案】ABC 【解析】 【分析】求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1e e xx xx e ex e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=， 因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+. 设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立）， 从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，故m e ≤-.故选：ABC.【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.三、填空题：本大题共4小题．13. 在等差数列{}n a 中，1242,8a a a =+=-，则数列{}n a 的公差为_________. 【答案】3- 【解析】 【分析】设数列{}n a 的公差为d .，根据等差数列下标和性质得到3a ，再根据n ma a d n m-=-计算可得；【详解】解：设数列{}n a 的公差为d .因为248a a +=-，所以34a =-，则31423312a a d ---===--. 故答案为：3-14. 将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_________.【答案】(8π+ 【解析】 【分析】先求出等腰直角三角形的直角边长，进而求出旋转体圆锥的底面半径和母线，再利用圆锥的表面积公式即可求出结果.【详解】因为等腰直角三角形的斜边长为4，所以直角边长为，由题意可知所得几何体是圆锥，其底面圆的半径r =4l ，则其表面积为(28r rl πππ+=+.故答案为：(8π+.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关圆锥的表面积的问题，正确解题的关键点是： （1）要确定旋转后所得到的几何体是圆锥；（2）要明确圆锥的各个量：底面圆的半径以及母线长； （3）要熟练掌握圆锥的表面积公式.15. 已知双曲线2218:8x y C -=的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，(0,4)A ，当MAF △的周长最小时，MAF △的面积为_________.【答案】12 【解析】 【分析】MAF △的周长为MA MF AF ++，其中AF =为定值，所以即求MA MF +，利用定义可得MF MF '=+，所以周长为MA MF '++A F M 、、三点共线时周长最短，利用面积分割求得面积.【详解】如图，设双曲线C 的右焦点为F '.由题意可得22,4040a F F '=-（，）,（，）. 因为点M 在右支上，所以242MFMF a '-==，所以42MF MF '=+，则MAF △的周长为8282122MA MF AF MA MF AF ''++=++≥+=，即当M 在M '处时，MAF △的周长最小，此时直线AF '的方程为4y x =-+.联立224188y x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得10y -=，则1M y '=，故MAF △的面积为111'84112222M FF OA FF y ''-=⨯⨯-=（）. 故答案为：12【点睛】本题考查双曲线数形结合求最值以及求三角形的面积，属于基础题.方法点睛：（1）双曲线求最值常用定义的方法，把到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离.（2）圆锥曲线中求三角形的面积经常采用面积分割的方法.16. 已知函数2()1f x x x =--，若关于x 的方程()|1|f x a x =+恰有两个实数根，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】{}(1,5)0⋃ 【解析】 【分析】根据题意，能判断出1x =-不是方程的实数根，从而得到1(1)31a x x =++-+，将方程有两个根转化为y a =与1(1)31y x x =++-+的图象恰有两个不同的交点，画出函数图象，观察图象得到结果【详解】由题意可得211x x a x --=+，显然1x =-不是方程的实数根， 则211(1)311x x a x x x --==++-++， 故关于x 的方程()1f x a x =+恰有两个实数根， 等价于y a =与1(1)31y x x =++-+的图象恰有两个不同的交点.画出1(1)31y x x =++-+的大致图象，如图所示，由图象可得(){}1,50a ∈⋃. 故答案为：{}(1,5)0⋃.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据方程根的个数求参数的取值范围的问题，解题方法如下：（1）观察式子，对其变形；（2）将方程的根的个数转化为图象交点个数来完成； （3）画函数图象，得到结果.四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，角, , A B C 所对的边分别为,,a b c .已知3B π=.（1）若4,3a c ==，求sin A 的值（2）若ABC的面积为ABC 周长的最小值.【答案】（1）13（2）12 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得b =sin A =（2）由题知16ac =，进而由余弦定理得222b a c ac =+-，再结合基本不等式得4b ≥，由于()223464a c b ac ac +=+≥=，进而得8a c +≥，故12a b c ++≥，当且仅当a c =是等号成立，进而得周长的最小值.【详解】解：（1）由余弦定理可得22212cos 169243132b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，则b =由正弦定理可得sin sin a b A B=，则4sin sin 13a B A b ===. （2）因为ABC的面积为1sin 2ac B ==，则16ac =. 由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-， 则216b ac ≥=（当且仅当a c =时，等号成立），即4b ≥.因为()22223b a c ac a c ac =+-=+-，所以()223464a c b ac ac +=+≥=，所以8a c +≥（当且仅当a c =时，等号成立）， 故12a b c ++≥，即ABC 周长的最小值为12.【点睛】本题第二问解题的关键在于根据余弦定理，结合基本不等式得22216b a c ac ac =+-≥=，()223464a c b ac ac +=+≥=，当且仅当a c =时，等号成立，进而求得答案.18. 在①1120(2)n n n a a a n +--+=≥且151,25a S ==，②235,n a S n tn ==+，③121,3a a ==，且122,,n n n S S S ++-成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，_________.若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和为n T . 【答案】选择见解析；21nn +. 【解析】 【分析】若选①，由1120n n n a a a +--+=得数列{}n a 是等差数列，进而得21n a n =-，11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，再根据裂项相消求和法求和即可；若选②，由33255a S S t =-=+=得0t =，进而根据,n n a S 之间的关系得21n a n =-，再根据裂项相消求和法求和即可；若选③，由122n n n S S S ++-，，成等差数列，得212n n a a ++-=.由于121,3a a ==，故数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，故21n a n =-，再根据裂项相消求和法求和即可. 【详解】解：若选①，因为1120n n n a a a +--+=，所以11n n n n a a a a +--=-，即数列{}n a 是等差数列因为15125a S ==，，所以1511545252a S a d =⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩. 解得112a d ==，， 故()1121n a a n d n =+-=-. 因为11n n n b a a +=，所以()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭.则1231111111123355721211n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎛⎫ ⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭11122121n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭ 若选②，因为2n S n tn =+，所以223233392224S t t S t t =+=+=+=+，，所以33255a S S t =-=+=，解得0t =， 则()()2211212n n n a S S n n n n -=-=--=-≥. 因为111a S ==满足上式，所以21n a n =-. 因为11n n n b a a +=，所以()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭. 则1231111111123355721211n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎛⎫ ⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭ 11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 若选③，因为122n n n S S S ++-，，成等差数列，所以1222n n n S S S ++=-+， 所以()2112n n n n S S S S +++---=，即212n n a a ++-=.因为121,3a a ==，所以212a a -=，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列， 故()1121n a a n d n =+-=-. 因11n n n b a a +=，所以()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭.则1231111111123355721211n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎛⎫ ⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭ 11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 【点睛】本题解题的关键在于根据递推关系（等差中项，,n n a S 之间的关系等）证明数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，进而得21n a n =-.考查运算求解能力，是中档题. 19. 如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，ACD ∆是边长为1的等边三角形.（1）求证：CD ⊥B 1D ；（2）若BC 3B —C 1D —B 1的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）6π【解析】 【分析】（1）根据计算，利用勾股定理逆定理得1CD DC ⊥;根据B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，得11CD B C ⊥,最后根据线面垂直判断定理以及性质定理证明结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积求二面角大小. 【详解】（1）因为ACD 是边长为1的等边三角形， 所以11111121,1,33CD A D AC DAC C D π===∠=∴=22211112CC CC C D CD CD DC =∴=+∴⊥因为B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，CD ⊂平面AA 1C 1C ，所以11CD B C ⊥ 因为111,DC B C 为平面B 1C 1D 内两相交直线，所以CD ⊥平面B 1C 1D 因为1B D ⊂平面B 1C 1D ,所以CD ⊥B 1D ；（2）以D 为坐标原点，1,,DC DC 过D 平行BC 直线为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则11(0,0,0),(3,0,0),(3,0,3),(0,13),D C B B设平面BC 1D 的一个法向量为1(,,)n x y z =，平面C 1DB 1的一个法向量为2111(,,)n x y z =由11100n DC n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得300,30x x y z ⎧=⎪∴=⎨+=⎪⎩令1,3z y =∴=-∴1(0,3,1)n =- 由212100n DC n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得300,330x x z x z ⎧=⎪∴==⎨+=⎪⎩令1,y =∴2(0,1,0)n = 12121212335cos ,,2126||||n n n n n n n n π⋅-∴<>===-∴<>=⨯因为二面角B —C 1D —B 1为锐二面角，所以二面角B —C 1D —B 1为6π【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理、利用空间向量求二面角，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.20. 已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式 （2）设()()23216g x f x x π⎛⎫=+-+⎪⎝⎭若关于x 的不等式2()(32)()230g x m g x m -+--≤恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）()2cos(2)3f x x π=+；（2）[11]2-，. 【解析】【分析】（1）由图求出A 、T 、ω和ϕ的值，即可写出()f x 的解析式；（2）由（1）可得()g x 的解析式，设()t g x =，问题等价于()0h t 在[3-，5]上恒成立，列出不等式组求出m 的取值范围． 【详解】解：（1）由图可知2A =，35346124T πππ=-=， 解得T π=，所以22Tπω==，所以()2cos(2)f x x ϕ=+； 因为()f x 的图象过点5(6π，2)，所以52cos(2)26πϕ⨯+=，解得523k πϕπ=-，k Z ∈；因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以()2cos(2)3f x x π=+；（2）由（1）可得()2cos(2)2)136g x x x ππ=++-+2cos(2))133x x ππ=++++4sin(2)136x ππ=+++ 4cos21x =+；设()t g x =，因为1cos21x -，所以3()5g x -； 又因为不等式2()(32)()230g x m g x m -+--恒成立， 即2()(32)230h t t m t m =-+--在[3-，5]上恒成立，则(3)0(5)0h h -⎧⎨⎩，即93(32)230255(32)230m m m m ++--⎧⎨-+--⎩，解得112m -， 所以m 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式恒成立问题，已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.21. 已知12,F F分别是椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左，右焦点，过点1F的直线l与椭圆C 交于A，B两点，点(2,1)M在椭圆C上，且当直线l垂直于x轴时，||2AB=.（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在实数t，使得1111AF BF t AF BF+=恒成立.若存在，求出t的值；若不存在，说明理由【答案】（1）22142x y+=；（2）存在；2t=.【解析】【分析】（1）根据题意得到关于,a b的方程组，求解出22,a b的值，则椭圆方程可求；（2）根据条件可得1111AF BFtAF BF+=，当直线l的斜率不存在时，直接计算即可；当直线l的斜率存在时，设2:l y k x，联立直线l与椭圆方程，根据韦达定理形式表示出t，由此确定出是否存在t满足条件.【详解】解：（1）由题意可得22222211b AB a ab ⎧==⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得224,2a b ==.故椭圆C 的标准方程为22142x y +=.（2）由（1）可知())12F F ，.当直线l 的斜率不存在时，2111b AF BF a===，则11112AF BF t AF BF +==. 当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则直线l的方程为(()()1122,,,,y k x A x y B x y =.联立(22142y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，整理得()222221440k x x k +++-=，则2212122244,2121k x x x x k k +=--=++，从而12221x x k -==+故2111224421k AF BF AB x x k ++==-=+由题意可得1112AF BF ==.则())()221112122211221k AF BF k x x x x k +=++++=+.因为1111AF BF t AF BF +=，所以()22112112442122121k AF BF k t AF BF k k +++===++. 综上，存在实数2t =，使得1111AF BF t AF BF +=恒成立.【点睛】易错点睛：利用直线与圆锥曲线联立求解相关问题的易错点： （1）假设直线方程的时候，要注意分析直线的斜率是否存在；（2）12x x -12y y -不仅可以求解弦长，同时还可以求解两点之间的距离.22. 已知函数121()(1)e (0)2x f x x a x ax x -=---+>. （1）讨论()f x 的单调性.（2）当2a ≤时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增； 当01a <<时，()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和1,上单调递增；当1a =时，()f x 在0,上单调递增；当1a >时，()f x 在()1,a 上单调递减，在(0,1),(,)a +∞上单调递增.（2）1,22e ⎛⎤-⎥⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）对()f x 求导，然后对a 分类讨论分别得出f x 所对应的x 的取值范围即为函数的单调增区间，fx 所对应的x 的取值范围即为函数的单调减区间．（2）结合（1）中的单调性结论对函数的最小值进行讨论.对于第四种情况，得出关于a 的不等式后，需要构造新的函数分析求解. 【详解】解：（1）因为121()(1)e (0)2x f x x a x ax x -=---+>，所以()1()(1)(0)x f x x a e x -'=-->. 令0fx ，得x a =或1x =.①当0a ≤时，由0fx，得1x >；由0fx，得01x <<.则()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增；②当01a <<时，由0fx，得0x a <<或1x >；由0fx ，得1<<a x .则()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和1,上单调递增.③当1a =时，0f x 恒成立，则()f x 在0,上单调递增.④当1a >时，由0fx，得01x <<或x a >；由0f x ，得1x a <<.则()f x 在()1,a 上单调递减，在(0,1)和(,)a +∞上单调递增. 综上，当0a ≤时，()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增；当01a <<时，()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和1,上单调递增；当1a =时，()f x 在0,上单调递增；当1a >时，()f x ()1,a 上单调递减，在(0,1)和(,)a +∞上单调递增.（2）①当0a ≤时，由（1）可知()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增，则()f x 有最小值()112f =-，故0a ≤不符合题意.②当01a <<时，由（1）可知()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和1,上单调递增，因为()f x 无最小值，所以()()01f f <，即11<2a e +--，解得112ea -<<； ③当1a =时，由（1）可知()f x 在0,上单调递增，所以()f x 无最小值，所以1a =符合题意；④当12a <≤时，由（1）可知()f x 在()1,a 上单调递减，在()()0,1,,a +∞上单调递增.因为()f x 无最小值，所以()()0f f a <，即2111<2a a a e e -+--，即121102a a e a e-+--<. 设()()1211122x x g x e x x e -+=--<≤，则()()1112x g x e x x e-'=--<≤设()()()1112x h x g x e x x e-'==--<≤，则()110x h x e -'=->在(]1,2上恒成立.故()h x 在(]1,2上单调递增，即()g x '在(]1,2上单调递增. 因为()()1110,220g g e e e''=-<=-->，所以存在唯一的(]01,2x ∈，使得()00g x '=. 故()g x 在()01,x 上单调递减，在(]0,2x 上单调递增.因为()()124310,22022e g g e e e e -=--=<=--<，所以()0g x <在(]1,2上恒成立， 即1211<02a a e a e-+--在(]1,2恒成立，即12a <≤符合题意.综上，实数a 的取值范围为1,22e ⎛⎤- ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查分类讨论思想，首先利用函数求导公式对函数求导，然后再利用导函数大于0或者小于0讨论函数单调性，分类时一般利用f x 有无解对参数进行分类．常见注意点如下：（1）对二次项系数的符号进行讨论； （2）导函数是否有零点进行讨论； （3）导函数中零点的大小进行讨论；（4）导函数的零点与定义域端点值的关系进行讨论等.。
2021年高三数学12月校际联合检测试题 理(含解析)
2021年高三数学12月校际联合检测试题理（含解析）【试卷综述】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.【题文】第I卷(共50分)【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B===，则等于A. B. C. D.【知识点】交、并、补集的混合运算．A1【答案】【解析】B 解析：,∴ ,又∵ ,∴.故选B.【思路点拨】利用集合的并集定义，求出；利用补集的定义求出．【题文】2.命题“对任意都有”的否定是A.对任意，都有B.不存在，使得C.存在，使得D.存在，使得【知识点】命题的否定.A2【答案】【解析】D 解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意都有”的否定是：存在，使得．故应选D．【思路点拨】根据全称命题的否定是特称命题即可。
【题文】3.设为平面，为直线，则的一个充分条件是A. B.C. D.【知识点】直线与平面垂直的判定．G5【答案】【解析】D 解析：对于选项A：，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；对于选项B：，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于选项C：，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于选项D：因为，所以，又因为所以.故选D【思路点拨】根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．【题文】4.已知是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则的值为A. B. C.6 D.【知识点】函数奇偶性的性质．B4【答案】【解析】B 解析：由是定义在上的奇函数得，,故选B.【思路点拨】由题设条件可先由函数在R上是奇函数求出参数m的值，求函数函数的解板式，再由奇函数的性质得到代入解析式即可求得所求的函数值，选出正确选项.【题文】5.设的图象是将函数向左平移个单位得到的，则等于A.1B.C.0D.【知识点】函数的值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．B1 C4【答案】【解析】D 解析：由向左平移个单位得到的是，则.故选D.【思路点拨】根据函数图象的平移首先得到函数的解析式，然后直接把代入即可得到答案．【题文】6.等差数列中的是函数的极值点，则等于A.2B.3C.4D.5【知识点】函数在某点取得极值的条件．B11【答案】【解析】A 解析：.因为，是函数的极值点,所以，是方程的两实数根,则.而为等差数列,所以,即,从而,选A.【思路点拨】利用导数即可得出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出．【题文】7.函数的图象大致为【知识点】函数的图象．B8【答案】【解析】A 解析：首先由为奇函数，得图象关于原点对称，排除C、D，又当时，知，选A.【思路点拨】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．【题文】8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于A.30B.12C.24D.4【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案】【解析】C 解析：由图可得几何体的直观图如右图，可得此几何体的体积等于×3×4×5-××3×4×3=24.【思路点拨】三视图复原的几何体是三棱柱去掉一个三棱锥的几何体，结合三视图的数据，求出体积即可.【题文】9.函数是定义在R上的偶函数，且满足时，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是A. B. C. D.【知识点】抽象函数及其应用．B10【答案】【解析】A 解析：由可得函数的周期为2，当时，，又为偶函数，则当时，，由得，作出和的图象，要使方程恰有三个不相等的实数根，则由图象:可得直线的斜率必须满足，由题意可得A（﹣1，0），B（1，2），C（3，2），则，．即有．故选A．【思路点拨】由可得函数的周期为2，当时，，又为偶函数，则当时，，由得，作出和的图象，要使方程恰有三个不相等的实数根，则由图象可得有三个交点，即必须满足，运用斜率公式即可．【题文】10.已知实数满足约束条件若，设表示向量在向量方向上射影的数量，则z的取值范围是A. B. C. D.【知识点】简单线性规划；平面向量数量积的运算．E5 F3【答案】【解析】C 解析：画出约束条件的可行域，由可行域知：时，向量在方向上的射影的数量最大，此时，所以向量在方向上的射影的数量为；当时，向量在方向上的射影的数量最小，此时，所以向量在方向上的射影的数量为.所以的取值范围是.【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用向量投影的定义计算z的表达式，利用数形结合即可得到结论.【题文】第II卷（共100分）【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.【题文】11.向量满足的夹角为60°，则___________.【知识点】平面向量的模的运算.F2【答案】【解析】解析：由得：, , .【思路点拨】先把已知条件平方，展开再利用向量的运算即可。
2021届山东省新高考高三上学期12月联合调研考试数学试卷及答案
2021届山东省新高考高三上学期12月联合调研考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)考试用时120分钟, 满分150分．注意事项：1. 答题前,考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置．2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效.3. 考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.已知集合4{|0}5xA xx-=<-, 集合{|35}B x x=<≤, 则A∩B =A.(3,6)B.[3,6)C.[4,5)D.(4,5)2.12i()3iz aa+=∈+R, 若z为实数,则a的值为A.23B.12C.13D.323.若非零向量m , n满足|m| =| n |,则“|3m2n | =| 2m +3n | ”是“m n”的A.充分不必要条件,B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知变量x,y之间的一组数据如下表：x 1 2 3 4 5y 3.4 7.5 9.1 13.8 m若 y关于x的线性回归方程为y=3x+1, 则m的值为A. 16B.16.2C.16.4D.16.65.“阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则异面直线AB 与CD 所成角的大小是 A.30°B.45°C.60°D. 120°6.为深入贯彻实施党中央布置的“精准扶贫”计划,某地方党委政府决 定从 4 名男党员干部和3 名女党员干部中选取 3 人参加西部扶贫,若选出的 3 人中既有男党员干部又有女党员干部,则不同的选取方案共有 A. 60 种B. 34 种C. 31 种D. 30 种7.已知函数 y =f ( x ) 的图像如图所示,则此函数可能是A. 2e e ()||2x xf x x x --=+-B. 2e e ()||2x xf x x x --=+-C. 2||2()e e x x x x f x -+-=-D. 2||2()e ex x x x f x -+-=-8.对于实数x , [ x ] 表示不超过x 的最大整数.已知数列{a n } 的通项公式1n a n n=++,前n 项和为S n , 则[S 1]+ [S 2]+…+ [S 40]= A.105B.120C.125D.130二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分9.新冠肺炎疫情的发生,我国的三大产业均受到不同程度的影响,其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020 年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据,如图所示：图1为国内三大产业比重,图2为第三产业中各行业比重．以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是A.在第三产业中,“批发和零售业” 与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产。
2021年高三数学12月联考试题 理(含解析)
2021年高三数学12月联考试题理（含解析）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第I卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2-x）}，则P∩Q=(1)设集合P={y|y =2cosx}，Q={x∈N|y =log5A.{x|-2≤x≤2)B.{x|-2≤x<2} C．{0,1,2} D.{0,1}(2)命题p：存在x∈[0，]，使sinx +cosx>；命题q：命题“x o∈(0，+∞)，lnx o=x o-1”的否定是 x∈(0，+∞)，lnx≠x-1，则四个命题(p) V(q)、pq、(p) q、p V（q）中，正确命题的个数为A.l B．2 C．3 D．4(3)已知数列{a n}的首项为2，且数列{a n}满足，数列{a n}的前n项的和为S n,则S xx为A.504B.588C.-588D.-504(4)在△ABC中，已知向量=(2，2)， =2，= -4，则△ABC的面积为A.4 B．5 C．2 D.3(5)定义在[-2，2]上的函数f(x)满足（x1- x2）[f(x1)-f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2-a>[(2a -2)，则实数a的范围为A.[一l,2)B.[0,2)C.[0,1)D.[一1,1)(6)设f(x)= sinx+cosx，则函数f(x)在点（-，0）处的切线方程为A． B．C． D.(7)已知函数y=Acos（ax+）+b（a>0，0<<）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是A．y=2cos（2x+）-1 B．y=2cos（x一）-1C．y=2cos（x+）-1 D．y=2cos（2x一）一1(8)已知S n是各项为正数的等比数列{a n}的前n项和，a2·a4 =16，S3 =7，则a8=A．32 B．64 C．128 D．256(9)已知函数f(x）=e x- 2ax，函数g（x）=-x3-ax2. 若不存在x1，x2∈R，使得f'(x1）=g'（x2），则实数a的取值范围为A．（-2,3) B．（-6,0) C.[-2,3] D．[-6,0](10)已知锐角△ABC中，角a+的终边过点P( sinB - cosA,cosB - sinA)，且cos（a+）=，则cos2a的值为A． B． C． D．(11)已知实数x，y满足，若目标函数z= ax+by +5（a>0，b>0）的最小值为2，则的最小值为A． B． C． D．(12)若y=ax+b为函数f(x）=图象的一条切线，则a+b的最小值为A．-4 B．-1 C．1 D．2第Ⅱ卷（非选择题共90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试卷上作答无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．(13)奇函数f(x）的周期为4，且x∈[0，2]，f(x)=2x-x2，则f(xx)+f(xx)+f(xx)的值为．(14)在平面直角坐标系内，已知B(-3，一3)，C（3，-3），且H(x，y)是曲线x2 +y2 =1任意一点，则的最大值为．(15)已知函数f(x）=sinx+cosx的图象关于x=对称，把函数f(x）的图象向右平移个单位，再将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在x∈[-，]上的单调递减区间为__ 。
2021年高三上学期12月月考数学试卷含解析
2021年高三上学期12月月考数学试卷含解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|，B={y|y=2x2，x∈R}，则A∩B=（）A． {x|﹣1≤x≤1} B． {x|x≥0} C． {x|0≤x≤1} D．φ2．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|a+2i|等于（） A． 2 B． 2 C． 4 D． 83．设函数，则的值为（）A． B． C． D．4．若的值（）A． B． C． D．5．已知一个等比数列的前三项的积为3，后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为（）A． 9 B． 10 C． 11 D． 126．已知x＞0，y＞0，且是3x与33y的等比中项，则+的最小值是（）A． 2 B． 2 C． 4 D． 27．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则角A的大小为（）A．或 B． C．或 D．8．已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．9．若x，y满足不等式，则2x+y的最小值为（）A．﹣4 B． 3 C． 4 D． 010．已知命题：“∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是（） A． [﹣3，+∞） B．（﹣3，+∞） C． [﹣8，+∞） D．（﹣8，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．已知等差数列{a n}满足a3+a7=10，则该数列的前9项和S9= ．12．已知=（1，2），=（1，1），且向量与+m垂直，则m= ．13．已知函数f（x）=sin2x+cos2x，则f（x）的对称中心坐标是．14．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．15．给出下列四个结论：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”②“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真；③已知直线l1：ax+2y﹣1=0，l1：x+by+2=0，则l1⊥l2的充要条件是；④对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）．其中正确结论的序号是（填上所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．17．已知向量=（2cosx，2sinx），向量=（cosx，cosx），函数f（x）=﹣．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间．18．数列{a n}的前n项的和为S n，对于任意的自然数a n＞0，（Ⅰ）求证：数列{a n}是等差数列，并求通项公式（Ⅱ）设，求和T n=b1+b2+…+b n．19．△ABC中，内角A、B．C所对边分别为a、b、c，己知A=，，b=1．（1）求a的长及B的大小；（2）若0＜x＜B，求函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣的值域．20．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：x+8（0＜x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？21．已知函数f（x）=e x﹣kx，其中k∈R；（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）求证：当k＞ln2﹣1且x＞0时，f（x）＞x2﹣3kx+1．xx学年山东省菏泽市曹县三桐中学高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|，B={y|y=2x2，x∈R}，则A∩B=（）A． {x|﹣1≤x≤1} B． {x|x≥0} C． {x|0≤x≤1} D．φ考点：函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：通过函数的定义域求出集合A，函数的值域求出集合B，然后求解交集即可．解答：解：因为集合A={x|={x|﹣1≤x≤1}，B={y|y=2x2，x∈R}={y|y≥0}，所以A∩B={x|0≤x≤1}．故选C．点评：本题考查函数的定义域与函数的值域，交集的求法，考查计算能力．2．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|a+2i|等于（）A． 2 B． 2 C． 4 D． 8考点：复数求模；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：先将z计算化简成代数形式，根据纯虚数的概念求出a，再代入|a+2i|计算即可．解答：解：z==．根据纯虚数的概念得出∴a=2．∴|a+2i|=|2+2i|==2故选B．点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，纯虚数的概念、复数的模．考查的均为复数中基本的运算与概念．3．设函数，则的值为（）A． B． C． D．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．专题：计算题．分析：分段函数的求值问题，必须分段考虑，由于，故利用下面一个式子求解．解答：解：由于，∴=．故选D．点评：本题考查分段函数的求值问题，“分段函数”是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，它是一个函数，解决分段函数的基本策略是：分段解决．4．若的值（）A． B． C． D．考点：二倍角的余弦；诱导公式的作用．专题：计算题．分析：利用诱导公式求得cos（α+）=，利用二倍角的余弦公式求得的值．解答：解：∵，∴cos（α+）=sin[﹣（α+）]=．∴=cos2（α+）=2﹣1=，故选A．点评：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．5．已知一个等比数列的前三项的积为3，后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为（）A． 9 B． 10 C． 11 D． 12考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由题意可得 a1a n=a1=3，再由所有项的积为a1•a1q•…=243=35①，倒序可得…•a1q•a1=35②，①②对应项相乘可得 =310，解得 n的值．解答：解：设等比数列的公比等于q，a1a2a3=3，且 a n﹣2a n﹣1a n=9，两式相乘可得 a1a n=a1=3．再由所有项的积为a1•a1q•…=243=35①，…•a1q•a1=35②，把①②对应项相乘可得 =35•35=310，解得 n=10，故选B．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，属于中档题．6．已知x＞0，y＞0，且是3x与33y的等比中项，则+的最小值是（）A． 2 B． 2 C． 4 D． 2考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由等比数列可得x+3y=1，可得+=（+）（x+3y）=2+，由基本不等式可得．解答：解：∵x＞0，y＞0，且是3x与33y的等比中项，∴3x•33y=3x+3y=3，即x+3y=1，∴+=（+）（x+3y）=2+≥2+2=4，当且仅当即x=3y=时取等号，∴+的最小值为：4故选：C点评：本题考查基本不等式，涉及等比数列的性质，属基础题．7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则角A的大小为（）A．或 B． C．或 D．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：先利用正弦定理将边转化为角，再切化弦，利用和角的正弦公式，化简即可求得角A．解答：解：∵∴∴∴∴∵角A是△ABC的内角∴A=故选D．点评：本题考查正弦定理的运用，考查和角的正弦公式，解题的关键是利用正弦定理将边转化为角．8．已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（） A． B．C． D．考点：函数的图象与图象变化；函数图象的作法．专题：计算题．分析：根据函数y=a x与y=log a x互为反函数，得到它们的图象关于直线直线y=x对称，从而对选项进行判断即得．解答：解：∵函数y=a x与y=log a x互为反函数，∴它们的图象关于直线y=x对称．再由函数y=a x的图象过（0，1），y=a x，的图象过（1，0），观察图象知，只有C正确．故选C．点评：本小题主要考查反函数、反函数的应用、对数函数、指数函数的图象等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．9．若x，y满足不等式，则2x+y的最小值为（）A．﹣4 B． 3 C． 4 D． 0考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，设z=2x+y，化为y=﹣2x+z，由图可知，当直线过A（﹣1，﹣2）时，z有最小值，等于2×（﹣1）﹣2=﹣4．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10．已知命题：“∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是（） A． [﹣3，+∞） B．（﹣3，+∞） C． [﹣8，+∞） D．（﹣8，+∞）考点：特称命题．专题：常规题型．分析：题中条件：““∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题”说明只要存在x∈[1，2]，保证x2+2x+a≥0即可，据二次函数的图象与性质得，只要在x=2处的函数值不小于0即可，从而问题解决．解答：解：设f（x）=x2+2x+a，要使∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0，据二次函数的图象与性质得：只要：f（2）≥0即可，∴22+2×2+a≥0，∴a≥﹣8．故选C．点评：本小题主要考查特称命题、特称命题的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．已知等差数列{a n}满足a3+a7=10，则该数列的前9项和S9= 45 ．考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由数列{a n}为等差数列，利用等差数列的性质得到a3+a7=2a5，由a3+a7的值，求出a5的值，然后利用等差数列的求和公式表示出数列的前9项和S9，利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．解答：解：∵数列{a n}为等差数列，∴a3+a7=2a5，又a3+a7=10，∴2a5=10，即a5=5，则该数列的前9项和S9==9a5=45．故答案为：45点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．12．已知=（1，2），=（1，1），且向量与+m垂直，则m= ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量垂直与数量积的关系即可得出．解答：解：∵向量=（1，2），=（1，1），∴+m=（1，2）+m（1，1）=（1+m，2+m）．∵与+m垂直，∴•（+m）=1+m+2（2+m）=0，解得m=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题．13．已知函数f（x）=sin2x+cos2x，则f（x）的对称中心坐标是（，0），k∈Z ．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用辅助角将函数进行化简，即可求函数的对称中心．解答：解：y=sin2x+cos2x=2sin（2x+），由2x+=kπ，解得x=，故f（x）的对称中心坐标为（，0），k∈Z故答案为：（，0），k∈Z点评：本题主要考查三角函数的性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．14．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．考点：函数的零点．专题：数形结合法．分析：先把原函数转化为函数f（x）=，再作出其图象，然后结合图象进行求解．解答：解：函数f（x）==，得到图象为：又函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，知f（x）=m有三个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．点评：本题考查函数的零点及其应用，解题时要注意数形结合思想的合理运用，15．给出下列四个结论：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”②“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真；③已知直线l1：ax+2y﹣1=0，l1：x+by+2=0，则l1⊥l2的充要条件是；④对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）．其中正确结论的序号是①④（填上所有正确结论的序号）考点：命题的真假判断与应用；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线垂直的判定．专题：综合题．分析：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”，可由命题的否定的书写规则进行判断；②“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真，可由不等式的运算规则进行判断；③l1⊥l2时，a+2b=0，只有当b≠0时，结论成立；④对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x），可由函数单调性与导数的关系进行判断．解答：解：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”，此是一个正确命题；②由于其逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，当m=0时不成立，故逆命题为真不正确；③l1⊥l2时，a+2b=0，只有当b≠0时，结论成立，故不正确；④对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x），由于两个函数是一奇一偶，且在x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，故当x＜0，f′（x）＞g′（x），成立，此命题是真命题．综上①④是正确命题故答案为①④点评：本题考查命题的否定，函数的单调性与导数的关系，及不等式关系的运算，涉及到的知识点较多，解题的关键是对每个命题涉及的知识熟练掌握，且能灵活运用它们作出判断．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．考点：等差数列与等比数列的综合；等差数列的前n项和．专题：综合题．分析：（1）设出公差d，由a1，a3，a9成等比数列得关于d的一元二次方程，解得d=1，d=0，{a n}是公差不为零的等差数列，d=1，再由a1=1，代入通项公式可求解；（2）由（1）知，d=1，又已知a1=1，{a n}是等差数列，选择含有首项a1和公差d等差数列的前n项和公式代入即可．解答：解：（1）由题设知公差d≠0，由a1=1，a1，a3，a9成等比数列，得（1+2d）2=1×（1+8d），即d2﹣d=0，…（4分）解得d=1，d=0（舍去），…（6分）故{a n}的通项a n=1+（n﹣1）×1=n．…（9分）（2）由（Ⅰ）及等差数列前n项和公式得…（14分）点评：本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式，已知数列为等差数列，求通项公式，求首项和公差即可；求前n项和时，有两个公式，结合已知，选择一个最易计算的公式．17．已知向量=（2cosx，2sinx），向量=（cosx，cosx），函数f（x）=﹣．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=+．即可得出函数f（x）的最小正周期．．（2）由，解得，k∈Z．即可得出函数f（x）的单调递增区间．解答：解：（1）函数f（x）=﹣===+．∴函数f（x）的最小正周期T==π．（2）由，解得，k∈Z．∴函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．点评：本题考查了向量的数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．数列{a n}的前n项的和为S n，对于任意的自然数a n＞0，（Ⅰ）求证：数列{a n}是等差数列，并求通项公式（Ⅱ）设，求和T n=b1+b2+…+b n．考点：数列的求和；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）令n=1求出首项，然后根据4a n=4S n﹣4S n﹣1进行化简得a n﹣a n﹣1=2，从而得到数列{a n}是等差数列，直接求出通项公式即可；（Ⅱ）确定数列通项，利用错位相减法，可求数列的和．解答：（Ⅰ）证明：∵4S1=4a1=（a1+1）2，∴a1=1．当n≥2时，4a n=4S n﹣4S n﹣1=（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2，∴2（a n+a n﹣1）=a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1=2，∴数列{a n}是等差数列，∴a n=2n﹣1；（Ⅱ）解：=∴T n=b1+b2+…+b n=++…+﹣﹣﹣①∴T n=++…++﹣﹣﹣②①﹣②T n=+2（++…+）﹣=∴T n=1﹣．点评：本题主要考查了数列的递推关系，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键．19．△ABC中，内角A、B．C所对边分别为a、b、c，己知A=，，b=1．（1）求a的长及B的大小；（2）若0＜x＜B，求函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣的值域．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用余弦定理列出关系式，把b，c，cosA的值代入求出a的值，利用等边对等角确定出B的度数即可；（2）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出f（x）的值域即可．解答：解：（1）∵△ABC中，A=，c=，b=1，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+3﹣3=1，即a=1，则A=B=；（2）f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），由0＜x＜，得到＜2x+＜，即＜sin（2x+）≤1，则函数的值域为（，2]．点评：此题考查了余弦定理，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．20．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：x+8（0＜x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？考点：利用导数研究函数的极值；函数模型的选择与应用．专题：计算题；应用题．分析：（I）把用的时间求出，在乘以每小时的耗油量y即可．（II）求出耗油量为h（x）与速度为x的关系式，再利用导函数求出h（x）的极小值判断出就是最小值即可．解答：解：（I）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h（x）升，依题意得，．令h'（x）=0，得x=80．当x∈（0，80）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；当x∈（80，120）时，h'（x）＞0，h（x）是增函数．∴当x=80时，h（x）取到极小值h（80）=11.25．因为h（x）在（0，120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．点评：本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．21．已知函数f（x）=e x﹣kx，其中k∈R；（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）求证：当k＞ln2﹣1且x＞0时，f（x）＞x2﹣3kx+1．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）若k=e，利用导数求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，只需转化为f（x）＞0对任意x ≥0成立即可．（Ⅲ）利用导数求函数的最值，利用导数证明不等式．解答：解：（Ⅰ）由k=e得f（x）=e x﹣ex，所以f'（x）=e x﹣e．由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的单调递增区间是（1，+∞），由f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，1）．（Ⅱ）由f（|﹣x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函数．于是f（|x|）＞0对任意x∈R成立等价于f（x）＞0对任意x≥0成立．由f'（x）=e x﹣k=0得x=lnk．①当k∈（0，1]时，f'（x）=e x﹣k＞1﹣k≥0（x＞0）．此时f（x）在[0，+∞）上单调递增．故f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．当x变化时f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （0，lnk） lnk （lnk，+∞）f'（x）﹣ 0 +f（x）单调递减极小值单调递增由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k﹣klnk．依题意，k﹣klnk＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．综合①，②得，实数k的取值范围是0＜k＜e．（Ⅲ）由题，f（x）＞x2﹣3kx+1，即e x﹣kx＞x2﹣3kx+1⇔e x﹣x2+2kx﹣1＞0记g（x）=e x﹣x2+2kx﹣1，则g'（x）=e x﹣2x+2k，记h（x）=e x﹣2x+2k则h'（x）=e x﹣2，得h'（x）＞0⇔e x＞2⇔x＞ln2因此，h（x）在（﹣∞，ln2）上递减，在（ln2，+∞）上递增；得h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2+2k；因为，k＞ln2﹣1，可得h（x）min=2﹣2ln2+2k＞0所以，g'（x）＞0，说明g（x）在R上递增，因此，当x＞0时有g（x）＞g（0）=0由上，e x﹣x2+2kx﹣1＞0，因此得f（x）＞x2﹣3kx+1；点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数的应用，考查学生的运算能力．33503 82DF 苟M36713 8F69 轩@*25189 6265 扥-b <33226 81CA 臊36351 8DFF 跿28230 6E46 湆。
山东省新高考质量测评联盟2021届高三数学上学期12月联合调研检测试题含解析
即 ，所以 ，
正切函数 在 为单调递增函数，
又由函数 ，可得 ，
当 和 时， ，当 时， ，
且当 时， ，作出两函数的大致图象，如下列图，
由图象可得，当 ，函数 与 的图象有两个交点，
所以D正确.
应当选：ABD.
点拨：利用导数研究函数的单调性〔区间〕的方法：
〔1〕当导函数不等式可解时，解不等式 或 ，求出函数的单调区间；
————
分析：
根据三角函数的定义，求出sinα，利用二倍角公式可得cos2α的值．
解答：由三角函数的定义，r ，
可得：sinα ，
可得：cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×〔 〕2 ．
故答案为 ．
点拨：此题考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于根底题．
14. 假如 的展开式中第5项为常数项，如此该常数项为______〔用数字表示〕．
故 ，
应当选：B.
点拨：思路点睛：对于数列中与取整函数有关的计算问题，可以根据取整函数的性质确定出满足条件的项的个数，从而便于数列和的计算.
二、选择题
9. 新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力．2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如下列图：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．以下关于我国上半年经济数据的说法正确的答案是〔〕
， ，如此 ，又 ，如此 ，故D正确.
应当选：BD
12. 函数 ，如此如下结论正确的答案是〔〕
A. 函数 在 上单调递减
B. 函数 在 上有极小值
C. 方程 在 上只有一个实根
D. 方程 在 上有两个实根
山东2024届高三12月全省大联考数学试题(解析版)
山东中学联盟2021级高三12月全省大联考数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅管把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.）1. 设集合{}14A x x =<<，2{|ln(23)}B x yx x ==−−，则A B = （ ） A. ()1,4 B. ()3,4C. ()1,3D. ()1,2【答案】B 【解析】【分析】集合2{|ln(23)}B x y x x ==−−表示的是函数的定义域，求出定义域后和集合A 求交集即可. 【详解】集合2{|ln(23)}B x y x x ==−−中函数成立，只需2230x x −−>， 得一元二次不等式的解集为(,1)(3,)B =−∞−+∞ ，所以(3,4)A B = . 故选：B. 2. 复数2i2iz −=+（其中i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数的四则运算法则计算化简，再求出共轭复数，得到共轭复数所在象限.【详解】因22i (2i)34i 2i (2i)(2-i)5z −−−===++， 故34i5z +=第一象限. 故选：A ．3. 若点,,A B C 不共线，则“BA 与BC的夹角为钝角”是“BA BC AC +< ”的（ ）在A. 充分不必要条件B. 充分必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先将不等式BA BC AC +< 转化为BA BC BA BC +<− ，平方后得到0BA BC ⋅<后，排除掉BA 与BC的方向相反即可.【详解】不等式BA BC AC +<等价于BA BC BA BC +<− ，两边平方可得：40BA BC ⋅< ，即0BA BC ⋅<，其中0BA BC ⋅< 当且仅当BA 与BC 的夹角为钝角或BA 与BC的方向相反， 由于点,,A B C 不共线，所以0BA BC ⋅< 当且仅当BA 与BC的夹角为钝角，故选：B .4. 地震级别常用里氏级M 表示，它与地震强度E 满足的关系为lg M E =.如中国汶川2008年地震是8.0级，中国玉树2010年地震是7.1级，则2008年汶川大地震强度是玉树2010年地震强度的（ ）倍（参考数值lg20.3≈） A. 3 B. 6C. 8D. 9【答案】C 【解析】【分析】利用地震级别M 与地震强度E 之间的关系式，代入由对数运算法则计算即可求得128E E ≈. 【详解】设中国汶川2008年地震强度为1E ，中国玉树2010年地震强度为2E ； 即可得128.0lg 7.1lg E E == ，两式相减可得11228.07.1lg lg lg E E E E −−，可得12lg0.9E E =，所以0.93lg 2lg8121010108E E =≈==， 因此2008年汶川大地震强度是玉树2010年地震强度的8倍. 故选：C5. 调和信号是指频率恒定的一种信号，三角函数性质可以表达调和信号的周期性，指数函数可用来描述信号的衰减.已知一个调和信号的函数为()sin2e 1x xf x =−，它的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数在()4,0−内的零点个数和奇偶性判断.【详解】解：令()0f x =，则sin 20x =，2π,Z x k k =∈，解得π,Z 2k x k ∈， 则在()4,0−内有π,π2−−两个零点，故排除选项A ，D ， 又()f x 不具有奇偶性，则图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，故排除选项C ， 故选：B6. 已知()3cos 5βα−=，1tan tan 2αβ=，则()cos2αβ+=（ ） A. 225−B.2325C.225D. 2325−【答案】D 【解析】【分析】利用三角恒等变换求解即可.【详解】()3cos cos cos sin sin 5βαβαβα−=+=， sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==，2sin sin cos cos αβαβ=. 所以12sin sin ,cos cos 55αβαβ==. 所以()()()22cos22cos 12cos cos sin sin 1αβαβαβαβ+=+−=−−123212525=×−=−. 故选：D7. 已知双曲线2221(0)2x y b b −=>，抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M 到直线1:4380l x y −+=和2:3l x =−的距离之和的最小值为（ ） A.115B.145C.165D.215【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，借助双曲线求出抛物线焦点F 的坐标，再结合抛物线定义及几何意义求解最值作答.【详解】双曲线2221(0)2x y b b−=>的渐近线0bx ±=，右焦点F ，=b =，因此抛物线的焦点为(2,0)F ，方程为28y x =，其准线为2x =−，由243+8=0=8x y y x− 消去x 并整理得：26160y y −+=，264160∆=−×<，即直线1l 与抛物线28y x =相离，过点F 作1FP l ⊥于点P ，交抛物线于点M ，过M 作2MQ l ⊥于点Q ，交直线2x =−于点N ，则有21||||||||||||||1||115MP MQMP MN NQ MP MF FP +=++=++=+==，在抛物线28y x =上任取点M ′，过M ′作1M P l ⊥′′于点P ′，作2M Q l ⊥′′于点Q ′，交准线于点N ′，连,M F FP ′′，如图，显然||||||||||||||1||||M P M Q M P M N N Q M P M F FP FP ′′′′′′′′′′′′′′+=++=++≥≥，当且仅当点M ′与点M 重合时取等号，所以抛物线上一动点M 到直线1:4380l x y −+=和2:3l x =−的距离之和的最小值为215. 故选：D【点睛】思路点睛：涉及抛物线上的点到定点与到焦点距离和或到定直线与准线距离和的最小值问题，利用抛物线定义转化求解即可.8. 已知函数()2e xf x =,()1g x x =+,对任意1R x ∈,存在()21,x ∈−+∞,使()()12f x g x =成立,则21x x −的最小值为（ ）A. 1ln22−B. 1C. 11ln222−+ D. 2ln2−+【答案】C 【解析】【分析】令()()120,f x g x m ==>将12,x x 用m 表示,从而可将21x x −构造为关于m 函数,再利用导数求出函数的最小值即可.【详解】由题意,令()()120,f x g x m ==>则122e ,1,x m x m =+=所以121ln ,1,2x m x m ==− 故2111ln .2x x m m −=−−令()()11ln 0,2h m m m m =−−>则()11,2h m m =−′令()0,h m ′=得1,2m = 所以当10,2m∈时,()()0,h m h m ′<单调递减; 当1,2m ∞∈+时,()()0,h m h m ′>单调递增.的所以当12m =时,()h m 有最小值11ln222−+,即21x x −的最小值为11ln222−+.故选：C .【点睛】本题考查导数的综合应用,利用导数研究函数的单调性与最值,化归转化思想,属中档题.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9. 已知()1210,0a b a b+=>>，则下列结论正确的是（ ）A. ab 的最小值为8B. a b +的最小值为3+C.21a b +的最大值为2 D.2214a b +的最小值为12【答案】ABD 【解析】【分析】由121a b+=得2a b ab +≥A 判断；由“1”的代换结合基本不等式即可对B 判断；由21322a b b +=−<即可对C 判断；由22222221214214142a b a b ab a b a b +=++×≤+++即可对D 判断；【详解】对A ：由121a b+=，得2a b ab +≥8ab ≥，当且仅当2,4a b ==时取等号，故A 正确；对B ：()12233a b a b a b a b b a+=++=++≥+，当且仅当2b ==+时取等号，故B 正确； 对C ：由121a b +=，得121a b =−，所以2132a b b+=−，因为0b >，所以322b −<，故C 错误；对D ：22222221214214142a b a b ab a b a b +=++×≤+++，令2214,0t t a b =+>，得21t ≥，解得12t ≥，当且仅当12a b=，即2,4a b ==时取等号，故D 正确. 故选：ABD.10. 已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）A. 函数()f x 的图象关于5,012−对称B. 函数()f x 在1,14的值域为 −C. 函数()f x 在73,62单调递减D. 要得到函数()()cos g x A x ωϕ=+的图象，只需将函数()f x 的图象向左平移14个单位 【答案】BCD 【解析】【分析】根据图象求解出()f x 的表达式，然后逐项判断即可求解. 【详解】由题中图可知2A =1113124=−=，得1T =，所以2π2πT ω==，所以()()2sin 2πf x x ϕ=+， 当112x =时，112sin 2π21212f ϕ =×+= ，即πsin 16ϕ+=，所以ππ2π62k ϕ+=+，k ∈Z ， 因为π2ϕ<，所以π3ϕ=，所以函数()π2sin 2π3f x x=+. 对A ：55ππ2sin 2π2sin 2121232f−=−×+=−=−，故A 错误；对B ：当1,14x∈时，π5π7π2π,363x+∈ ，所以()f x ∈− ，故B 正确；对C ：当73,62x∈时，π8π10π2π,333x+∈ ，此时()f x 单调递减，故C 正确；对D ：将函数()π2sin 2π3f x x=+的图象向左平移14个单位，则得到的新的函数解析式为 ()()1ππππ2sin 2π2sin 2π2cos 2π43323h x x x x g x=++=++=+=，故D 正确.故选：BCD.11. 如图，已知菱形ABCD 的边长为2，60ADC ∠=°，将ACD 沿AC 翻折为三棱锥−P ABC ，点P 为翻折过程中点D 的位置，则下列结论正确的是（ ）A. 无论点P 在何位置，总有AC PD ⊥B. 点P 存在两个位置，使得1P ABC V −=成立C. 当PB =ADD. 当2PB =时，M 为PB 上一点，则AM CM +的最小值为 【答案】AC 【解析】【分析】对于选项A ，设菱形ABCD 对角线的交点为O ，AC OP ⊥，AC OD ⊥，在旋转过程中一直成立，得AC ⊥平面OPD ，AC PD ⊥成立；对于选项B ，平面APC ⊥平面ADC 时，使得1P ABC V −=成立，不存在两个解；对于选项C ，当PB =易得平面APC ⊥平面ADC ，边AD 旋转所形成的曲面是“以A 为顶点，以OP 为半径的圆锥”的一部分，求解即可；对于选项D ，AM CM +取最小值时，由对称性，可以判断点M 为PB 中点，求解即可.【详解】选项A ，设菱形ABCD 对角线的交点为O ，如上图所示，无论点P 在何位置，总有AC OP ⊥，AC OD ⊥，因为AC OP ⊥，AC OD ⊥，OP ⊂平面OPD ，OD ⊂平面OPD ，OP OD O ∩=， 所以AC ⊥平面OPD ；又因为PD ⊂平面OPD ，且AC ⊥平面OPD ，所以AC PD ⊥成立，选项A 正确； 选项B ，点P 旋转到使得平面APC ⊥平面ADC 成立时，P ABC V −取得最大值，其中11||||||||136A P ABC CD V S OP AC OD OP −=⋅⋅=⋅⋅= ，使得1P ABC V −=成立，只有平面APC ⊥平面ADC 成立时的一个点，选项B 错误；选项C ，由于OP OD ==PB =OP OD ⊥，边AD 旋转所形成的曲面是“以A 为顶点，以OP 为半径的圆锥”的表面的14，其面积为112π242××，C 正确； 选项D ，当2PB =时，易得,PAB PCB 都为正三角形，AM CM +取最小值时，点M 为PB 中点，AM CM +的最小值为，D 不正确；故选：AC.12. 已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ，()()123f x g x ++−=，()()11f x g x −−−=，且()12g −=，()1g x −为偶函数，下列结论正确的是（ ）A. ()f x 的周期为4B. ()32g =C.20241()4048k g k ==∑D.20241()4048k f k ==∑【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.【详解】对A ：由于()1g x −为偶函数，图象关于y 轴对称，所以()g x 图象关于=1x −对称； 所以()()()()()()21111g x g x g x g x −=−+−=−−−=−所以()()()()1213f x g x f x g x ++−=++−=①，而()()11f x g x −−−=②，将两式相加得：()()114f x f x ++−=， 则()()24f x f x ++=③，所以()()()()()()4224244f x f x f x f x f x +=++=−+=−−=， 所以4是()f x 一个周期，故A 正确； 对B 、C 、D ：由A 项知令1x =，由③得()()134f f +=，由①()()()21223f g f +−=+=， 得()21f =，由②得()()()01021f g f −−=−=，()03f =则()()403f f ==，所以()()()()12348f f f f +++=，所以()202412024840484k f k ==×=∑， 故D 正确；由①令=1x −，得()()()01313f g g +=+=，()10g =， 由()()123f x g x ++−=，()()11f x g x −−−=，得()()33f x g x +−=，()()11f x g x −−−= 两式相减得()()312g x g x −+−−=， 即()()312g x g x −+−=，且()g x 关于()2,1−对称，()21g −=， 所以()()22g x g x ++=④，所以()()()()()()4222222g x g x g x g x g x +=++=−+=−−=， 所以()g x 是周期为4的周期函数，所以()()312g g =−=，故B 正确；由④令2x =，得()()242g g +=，所以()()()()12344g g g g +++=，所以的()202412024420244k g k==×=∑，故C 错误； 故选：ABD.【点睛】关键点睛：分别求出()g x ，()f x 的奇偶性及周期，从而求解.三、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知函数()2log ,0sin ,0x x f x x x > = −≤ ，则π4f f−=______. 【答案】12−##0.5− 【解析】【分析】先求出π4f−f 即可求解.【详解】由题意得ππsin 44f−=−−，所以2π1log 42f f f−==−. 故答案为：12−. 14. 已知圆C 上的点()2,0A 关于直线360x y +−=的对称点仍然在这个圆上，且圆C 的圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程是___________. 【答案】22(6)16x y −+= 【解析】【分析】由题意可知直线360x y +−=过圆心，进而求圆心和半径，即可得圆的方程. 【详解】由题意可知直线360x y +−=过圆心，且直线360x y +−=与x 轴的交点为(6,0)， 则(6,0)C ，可得4r CA ==，所以圆C 的标准方程是22(6)16x y −+=.故答案为：22(6)16x y −+=.15. 米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为4和2，侧棱长为______.【解析】【分析】根据棱台和球的性质得外接球的球心O 落在直线12O O 上，根据勾股定理列式求出球的半径，即可求解.【详解】由题意，米斗的示意图如下：设棱台上底面中心为1O ，下底面中心为2O ， 由棱台的性质可知，外接球的球心O 落在直线12O O 上，由题意该四棱台上下底面边长分别为4和2，侧棱长为则1O A =，2O B =，AB =所以12O O =设外接球的半径为R ，2OO h =，则1OO h =，则()(22211222OO O A R h R +=−+=，解得h =R =，所以该米斗的外接球的体积为34π3R =，. 16. 已知数列{}n a 满足132a =，()2*11n n n a a a n +=−+∈N ，数列1n a的前n 项和为nS，设x ∈R ，[]x 表示不大于x 的最大整数.则[]2023S =______.【答案】1 【解析】【分析】根据已知关系式可得()2110n n n a a a +−=−>，知数列{}n a 为递增数列；采用裂项相消法可求得1121n n S a +=−−，知20232024121S a =−−，由数列单调性可求得20242a >，由此可推导得到202312S <<，从而求得结果.【详解】因为()2111n nn n n a a a a a +−=−=−，则()11111111n n n n na a a a a +==−−−−， 即111111n n n a a a +=−−−， 可得121122311111111111111111−+=++⋅⋅⋅++=−+−+⋅⋅⋅+−−−−−−−nn n n n S a a a a a a a a a a 1111112111++=−=−−−−n n a a a ， 即20232024121S a =−−；又因为211n n n a a a +=−+，则()221211n n n n n a a a a a +−=−+=−，且132a =，则10n a −≠，可得10n n a a +−>，所以数列{}n a 为递增数列； 且1322a =<，22117124a a a =−+=<，2322371216a a a =−+=>， 即20242023432>>⋅⋅⋅>>>a a a a ，则20241011<<−a ，可得202411221<−<−a ，所以[]20231S =. 故答案为：1.【点睛】关键点睛：本题解题关键是能够将数列递推关系式进行变形，得到10n n a a +−>、111111n n n a a a +=−−−，从而确定2023S 的表达式.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知()()2cos cos 0f x x x x ωωωω=−>的最小正周期为π.（1）求2π3f 的值； （2）在ABC 中内角，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若3a c =，b =，()12f B =，求c 的值.【答案】（1）1− （2【解析】【分析】（1）由三角恒等变换公式将()f x 化简成正弦型函数，再根据周期求ω，最后代入解析式求2π3f的值.（2）由()12f B =得3B π=，再根据余弦定理求c. 【小问1详解】()2cos cos f x x x xωωω=−111cos2sin 22262x x x πωωω−−=−−由函数()f x 的最小正周期为π，即22ππω=，得1ω=， ()1sin 262f x x π =−− ，213f π=−. 【小问2详解】 由()12f B =得，sin 216B π−=， 角B 为三角形ABC 的内角，3Bπ∴=.3a c =，b =，1cos 2B =，由余弦定理222cos 2a c b B ac+−=， 得12=，即227c =，c ∴.18. 已知数列{}n a 是等差数列，其前n 和为n S ，2310a a +=，10110S =，数列{}n b 的前n 项和为n T 满足321n n T b =+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）把数列{}n a 和数列{}n b 中的相同项按从小到大的顺序组成新数列{}n c ，n M 是数列{}n c 的前n 项和，求n M .【答案】（1）2n a n =，()12n n b −=−（2）1443n n M +−=【解析】【分析】（1）根据等差数列定义即可求出2n a n =，再由321n n T b =+的关系式可得()12n n b −=−；（2）由（1）可知数列{}n c 是以4为首项，4为公比的等比数列，利用等比数列的前n 项和公式可得1443n n M +−=. 【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则2312310a a a d +=+=，1011045110S a d =+= 解得2d =，12a =，可得()()112212n a a n d n n =+−=+−=.因为321n n T b =+① 所以当2n ≥时11321n n T b −−=+② ①－②可得，12n n b b −=− 当1n =时，11b =.所以数列{}n b 是以1为首项，2−为公比的等比数列. 所以()12n n b −=−即2n a n =，()12n n b −=−【小问2详解】由（1）可知，数列{}n a 和数列{}n b 的相同项即为数列{}n b 的所有大于等于3的奇数项，即是22，42，62，82，102，122，…，即224n nn c ==， 可知数列{}n c 是以4为首项，4为公比的等比数列，所以()141444143n n nM +−−==−. 19. 设函数()e 1xf x ax =−−（1）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程. （2）讨论函数()f x 在区间[]0,1上零点的个数. 【答案】（1）()e 11y x =−− （2）答案见解析 【解析】【分析】（1）先求得导函数，()1e 1f ′=−是切线的斜率，利用点斜式方程求切线方程即可；（2）先对参数a 分类讨论研究函数的单调性，结合函数的最值和区间的边界值，利用零点存在性定理判断零点个数即可. 【小问1详解】因为()e 1xf x x =−−，所以()e 1xf x ′=−，则()1e 1f ′=−，()1e 2f =−所以，切线方程为()()()e 2e 11y x −−=−− 即()e 11y x =−− 【小问2详解】由（1）知，()e xf x a ′=−.①当1a ≤时，()f x ′在区间()0,1上大于零，()f x 在区间[]0,1上单调递增，且()00f =，所以()f x 在区间[]0,1上有一个零点.②当e a ≥时，()f x ′在区间()0,1上小于零，()f x 在区间[]0,1上单调递减，且()00f =，所以()f x 在区间[]0,1上有一个零点.③当1e a <<时，()f x ′在区间()0,ln a 上小于零，()f x ′在区间()ln ,1a 上大于零， 所以()f x 在区间[]0,ln a 上单调递减，在(]ln ,1a 上单调递增， 而()1e 1f a =−−.当e 10a −−≥，即1e 1a <≤−时，()f x 在区间[]0,1上有两个零点. 当e 10a −−<，即e 1e a −<<时，()f x 在区间[]0,1上有一个零点. 综上可知，当1a ≤或e 1a >−时，()f x 在[]0,1上有一个零点， 当1e 1a <≤−时，()f x 在区间[]0,1上有两个零点.20. 如图，在四棱锥P ABCD −中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ==ABCD 为直角梯形，其中BC AD ∥，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，12PF FD = ．（1）求证：PB 平面ACF ；（2）在线段PB 上是否存在一点H ，使得CH 与平面ACF PH 的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，PH =PH =【解析】【分析】（1）连接BD 交AC 于M ，由12BM BC MD AD ==，可证BM PF MD FC=，可得PB FM ∥，即可证得结论；（2）取AD 中点O ，则PO AD ⊥，结合已知条件可证得PO ⊥底面ABCD ，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求平面ACF 的一个法向量，设)01(PH PB λλ=≤≤，用向量法表示CH 与平面ACF所成角的正弦值得λ的方程，求解即可． 【小问1详解】 连接BD 交AC 于M ，BC AD ，12BM BC MD AD ∴==， 12PF FD = ，12PF FD ∴=， BM PF MD FD∴=，PB FM ∴∥， 又FM ⊂平面ACF ，PB ⊄平面ACF ，PB ∴ 平面ACF ． 【小问2详解】设线段PB 上存在一点H ，使得CH 与平面ACF， 即CH 与平面ACF，设)01(PH PB λλ=≤≤ ，取AD 中点O ，连接,OC OP ，,PA PD PO AD =∴⊥ ，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD AD =，PO ⊂侧面PAD ，PO ∴⊥底面ABCD ，∵,,222BC AD AB AD AD AB BC ⊥===∥，CO AD ∴⊥， 以O 为坐标原点，分别以,,OC OD OP 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()121,0,0,0,1,0,(0,,),0,0,1,1,1,033C A F P B −−，的则42(1,1,0),(,3,30)AC AF == ， 设平面ACF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,4233n AC x y n AF y z ⋅=+=⋅=+=令1y =，则1,2x z =−=−， ∴平面ACF 的一个法向量为()1,1,2n =−−，又(1,1,1)PB −−，())1,1,1(,,PH λλλλ∴=−−=−−，又()1,0,1CP =− ，(1,,1)CH CP PH λλλ∴+−−−+，设CH 与平面ACF 所成角θ，则sin cos ,n CH n CH n CHθ⋅===整理得23410λλ−+=，解得1λ=或13λ=， 当1λ=时，PH PB ==，当13λ=时，13PH PB ==故在线段PB 上存在一点H ，使得CH 与平面ACFPH =或PH =21.已知圆22:100C x y ++−=，点P 是圆C上的动点，点)F 是圆C 内一点，线段PF 的垂直平分线交CP 于点Q ，当点P 在圆C 上运动时点Q 的轨迹为E . （1）求E 的方程；（2）设M ，N 是曲线E 上的两点，直线MN 与曲线()2220x y bx +=>相切.证明：当MN=,,M N F 三点共线.【答案】（1）2213x y +=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据圆方程可求得()C ，再根据垂直平分线性质以及对称性可得QC QF +=>，即可求出E 的方程；（2）设出直线方程并与椭圆联立，利用韦达定理和点到直线距离可求得MN =时，直线方程为y x =y x =−+，恒过点F ，即可得出证明.【小问1详解】由22100x y ++−=，得(2212x y +=，故()C ，半径QC = 由题意知QP QF =，如下图所示：QC QF QC QP ∴+=+=>∴对Q 的轨迹是以C 、F 为焦点的椭圆.设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>则a =c =1b =所以椭圆方程为2213x y +=；【小问2详解】由（1）得曲线为()2210x y x +=>，表示右半圆，即为图中虚线圆的右半部分（不包括和y 轴交点）； 由题意可知直线MN 的斜率存在且不为0，由对称性可设直线():,0MN y kx m km =+<，()()1122,,,M x y N x y ，如下图所示：由直线MN 与曲线()2210x y x +=>1=，所以221m k =+， 联立2213y kx m x y =+ += 可得()222136330k x kmx m +++−=， ()()()222222Δ641333*********km k m k m k =−+−=−+=>， 所以122613km x x k +=−+，21223313m x x k−⋅=+，可得MN ====， 化简得()22310k −=，所以1k =±，所以1k m = =或1k m =− =:MN y x=或y x =−+，所以直线MN 过点)F ， 即可得,,M N F 三点共线.【点睛】关键点点睛：在求解,,MN F 三点共线时，由于已知)F ，因此可证明直线MN 过点F 即可；将问题转化为直线过定点并求出直线MN 方程即可得出结论. 22. 已知函数()2ln ,R a x f x x a x =+∈. （1）当12a =−时，求函数()f x 的极值； （2）若()f x 有两个极值点12x x ，，求证：()()12124f x f xx x +>+.【答案】22. 有极小值1,无极大值；23. 证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导函数研究函数的极值即可；（2）根据题意得出12x x ，是方程22ln 20x a x a −+=的两个根，结合函数表达式将问题转化为证12a x x >，利用极值点偏移构造函数()()a H x h x h x =−，判定其单调性计算即可. 【小问1详解】 当12a =−时，函数()()()22ln ln 10x x x f x x x f x x x+′−=−>⇒=， 易知()2ln 1g x x x =+−在定义域上单调递增，且()10g =， 所以当()0,1x ∈时，()()00g x f x ′<⇒<，即此时()f x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()()00g x f x ′>⇒>，即此时()f x 单调递增， 故()f x 在1x =时取得极小值，()11f =，无极大值；【小问2详解】由()()2ln a x f x x f x x =+⇒′= 令()0f x ′=，即22ln 20x a x a −+=，由题意可知12x x ，是方程22ln 20x a x a −+=的两个根， 则2112222ln 202ln 20x a x a x a x a −+= −+= ， 欲证()()12124f x f x x x +>+， 即证221212121212121212122ln 2ln 22224a x a x x a x a x x x x x x x x a x x x x x x ++++++++==+>++， 即证12a x x >，令()()()22222ln 20x a h x x a x a x h x x −=−+>⇒=′， 若0a ≤，()()0h x h x ′>⇒定义域上单调递增，不存在两个零点，舍去； 则0a >，可知在(x ∈时，()()0h x h x ′<⇒单调递减，在)x ∈+∞时，()()0h x h x ′>⇒单调递增，要符合题意则需()33ln 0e ,h a a a a ∞−<⇒∈+， 又0x →时，()0h x >，x →+∞时，()0h x >，此时不妨令120x x <<<，构造函数()()(0a H x h x h x x =−<< ()()222223222220a a x a x a a x H x a x x x x − −− ⇒=+⋅′=≥，即()H x 定义域内单调递增，即()()0a H x H h x h x <=⇒<， 所以()()121a h x h x h x =<，因为120x x <<<，所以1a x >，且在)x ∈+∞时，()h x 单调递增，故2121a x x x a x <⇒<，得证. 【点睛】本题关键在于先转化问题为证12a x x >，利用极值点偏移构造函数()()(0a H x h x h x x =−<< ，判定其单调性及最值得出()()121a h x h x h x =< 即可. 在。