数项级数敛散性的判别法毕业论文
浅谈正项级数与交错级数敛散性的判别方法 毕业论文
浅谈正项级数与交错级数敛散性的判别方法摘要：级数的敛散性在数学分析占有比较重要的版块，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。
数项级数敛散性的判别是一个重要而有趣的数学课题。
本文在已有文献的基础上，先对数项级数各种重要的敛散性判别方法作简单、系统的归纳，然后在已有判别方法的基础上推广了几种新的判别方法，这些推广的新的判别法降低了原判别法的使用要求，使其更具一般性，适应性更广。
关键词：正项级数；交错级数；敛散性On the Positive Series and Alternating Series Criterion for Convergence andDivergenceAbstract: Convergence and Divergence of Series in mathematical analysisplays the more important pages, determine the convergence of series as a series of issues are often the most important issue. Convergence and Divergence of a number of the discriminant is an important and interesting mathematical topics. In this paper, based on the literature, the first of several series of various important Criterion for Convergence and Divergence of a simple system of induction, then discrimination method has been popularized on the basis of several new discrimination method, which promotion of the new Criterion Criterion reduce the use of the original request, to make it more general, wider adaptability.Keywords:Positive series; Alternating series; Convergence and divergence1 引言数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。
数项级数敛散性的判别法
的一般项作为无穷小量的阶，对于
，如果 是与 同阶或
比 高阶的无穷小（
），而级数 收敛，则级数 收
敛；如果 是与 同阶或比 低阶的无穷小（ 或
），而
发散，则 发散。
例２、判断级数的收敛性：（１）
；（２）
。
解：（１）
，而级数
收敛，所
以原级数收敛。
（２）
，而
发散，所以原级数发散。
注意：①为顺利使用比较判别法，必须记住一些已知敛散性的级 数，如几何级数、调和级数、Ｐ－级数等，将它们选作比较标准的级数
，这样才能方便地使用比较判别法；②应用上，比较判别法的极 限形式应用更广泛。
３ 利用比值法或根值法判别正项级数的敛散性
比较判别法的缺点是必须要找到一个已知敛散性的级数
，
进行比较判别，一般来说要找到这样的级数
并非易事，这给解
题带来很大麻烦。能不能从级数
本身出发，寻找判断它敛散性
的方法呢？这就是比值判别法与根值判别法［１］。当一般项中出现阶乘 时，往往采用比值判别法；当一般项中出现 次幂的形式时，可考虑 根值判别法。
关键词 数项级数 收敛 发散 判别法
级数是高等数学中的重要内容之一，级数理论是分析学的一个分 支，在理论和实际应用中都处于十分重要的地位：一方面，我们能用 级数表示许多常用的非初等函数，也可以将函数表示为级数，从而借 助级数深入研究函数的性质；另一方面，我们也常应用级数求解微分 方程以及数值计算。级数不仅是高等数学中的教学重点，也是学生考 研的重要知识点，但是学生初次接触到级数，由于概念抽象、定理又 多，感觉难于理解，尤其不知道如何判别级数的敛散性，这很不利于 今后的进一步学习。基于此，本文着重讨论了判定级数敛散性的各种 常用方法，以及各判别方法的特点、区别与联系。
函数项级数敛散性的判别方法及其应用毕业论文
函数项级数敛散性的判别办法及其应用Discrimination Methods of Convergence and Divergence of Series of Functions and ItsApplication专业:数学与应用数学作者:指点先生:二○一五年蒲月摘要本文介绍了函数项级数敛散性判别法,如柯西判别法.阿贝尔判别法.达朗贝尔判别法和它们的极限情势,以及多种特别函数项级数敛散性的判别办法.然后介绍了这些判别法在现实解题中的应用. 本文探讨和总结了一些判别函数项级数敛散性的办法,为往后处理函数项级数敛散性的判别供给理论基本.症结词: 函数项级数; 一致收敛; 判别法;AbstractThis paper introduces discriminationmethods of convergence and divergence of series of functions, such as Cauchy criterion, Abel discrimination method, Darren Bell discrimina- tion method and their respective forms,and series of discrimination methodsof convergence and divergence of a variety of special functions. Then the paper introduces these disctimina- tion methods in the application of the practical problems. This paper discusses and summari- zesdiscrimination methods of convergence and divergence of series of functions ,which pro- vide theory for practical problems.Keywords: series of functions, uniform convergence, discrimination method目录0引言11准备常识12函数项级数敛散性的判别办法23判别法的一些应用 (6)申谢11参考文献121()(),,1,2,...nn k k s x u x x E n ==∈=∑0 引言函数项级数在现代工程技巧方面有着广泛的应用,它在数学剖析中也具有主要地位,是进修数学剖析的重难点地点,,就必须要先研讨它的敛散性,而这项工作往往是比较艰苦的.书本上介绍了一些判别函数项级数敛散性的根本办法,但是这些办法往往只能解决一些比较通例的问题.是以对于不合类型的函数项级数,往往须要追求不合的办法来判别其敛散性.今朝已经有很多学者们在判别函数项级数敛散性方面做出了很多进献,但很多都具有其本身的局限性.本文从三个层面睁开阐述:起首阐述函数列.函数项级数的界说及其敛散性的概念.然后分离列出函数项级数敛散性的一些罕有判别法以及在这些判别法上推出的一些定理. 最后用一些现实例题来验证这些判别法.1 准备常识设12,,,,n f f f 为一列界说在统一数集D 上的函数,称为界说在D ()n f x 或n f ,1,2,...n =.界说[1]1 设函数列{}n f 与函数f 界说在统一数集D 上,若对任给的正数ε,总消失某一正整数N ,使得当n N >时,对一切x D ∈,都有()()n f x f x ε-<,那么称函数列{}n f 在D 上一致收敛于f ,记作()()n f x f x ⇒()n →∞,x D ∈.设{()}n u x 为界说在数集D 上的一个函数列,则D x x u x u x u n∈++++,)()()(21称为界说在D 上的函数项级数,简记为()n u x ∑,并称为函数项级数的部分和函数列.界说[1]2 若函数项级数)(1x u n n ∑∞=的部分和函数列{})(x S n 在数集D 上一致收敛于)(x S ,则称函数项级数)(1x u n n ∑∞=在D 上一致收敛于)(x S 或称)(1x u n n ∑∞=在D 上一致收敛.2 函数项级数敛散性的判别办法定理]1[1（柯西一致收敛准则）函数项级数)(x u n ∑在数集D 上一致收敛的充要前提：对于随意率性的正数ε,总消失个某正整数N ,使得当N n >时,对一切D x ∈和一切正整数p 都有 |)()(x s x s n p n -+|<ε或 |)()()(21x u x u x u p n n n ++++++ |<ε.柯西收敛准则和界说是数学剖析中断定一致收敛的经常应用办法,我们还可以根据级数各项的特点去剖断其敛散性.下面评论辩论界说在区间I 上形如++++=∑)()()()()()()()(2211x v x u x v x u x v x u x v x un n n n（）的函数项级数敛散性的判别.推论1（柯西准则逆否命题）函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛的充要前提为0o ε∃>,+∈∀N N ,N n o >∃,D x ∈'∃,+∈N p 使得()opn n k kx u ε≥'∑++=1.这里最症结的是要找出o x 与o n 及p 之间的关系,然后凑出o ε,此类型标题也有一个轻便办法,即取1=p 能实用于很多题型．这种做法比较实用,优先斟酌．推论2函数列(){}x u n 在数集D 上非一致收敛于0,那么函数项级数()∑x u n 在数集D 上非一致收敛．推论3[]9假如函数项级数()∑x u n 在区间D 上逐点收敛,并在区间D 中消失点列{}n x ,使()0lim ≠∞→n n n x u ,有函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛．定理2[1]（M 判别法）设界说在数集D 上的函数项级数()x u n ∑,∑M n 为收敛的正项级数,假如对一切D x ∈,有(),,2,1, =≤n x M u n n 那么函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛.定理3[1]（阿贝尔判别法）设 (1))(x u n ∑在区间I 上一致收敛; (2)对于每一个)}({,x v I x n ∈是单调的;(3))}({x v n 在I 上一致有界,即对随意率性I x ∈和正整数n ,消失正数M ,使,|)(|M x v n ≤ 那么原级数在I 上一致收敛. 定理4[1]（狄利克雷判别法）（1）∑)(x u n 的部分和函数列)()(1x u x U nk k n ∑==)2,1( =n 在I 上一致有界;（2）对于每一个{})(,x v I x n ∈是单调的; （3）在I 上)(0)(∞→⇒n x v n , 则级数()在I 上一致收敛.定理5（比式判别法）设()n u x 是界说在数集D 上的函数列,且()0n u x >, ,2,1=n 记)()()(1x u x u x q n n n +=,消失正整数N 和实数M q ,使得()1n q x q ≤<,()N u x M ≤对随意率性的N n >,x D ∈成立,那么函数项级数1()n n u x ∞=∑在D 上一致收敛.此定理的极限情势为：设)(x u n 为数集D 上的正函数列,)()()(1x u x u x q n n n +=,因为lim ()()1n n q x q x q →∞=≤<,且)(x u n 在D 上一致有界,则函数项级数)(1x un n∑∞=在D 上一致收敛.定理6[5]（根式判别法）设)(x u n 为界说在数集D 上的函数列,若消失正整数N ,使1|)(|<≤q x u nn ,对∀N n >,D x ∈成立,那么函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛.该定理的极限情势为：设)(1x u n n ∑∞-为数集D 上的函数列,()1n q x q =≤<,对D x ∈∀成立,有函数项级数在D 上一致收敛定理7[5](对数判别法)设)(x u n 为界说在数集D 上正的函数列,若消失ln ()lim()ln n n u x p x n→∞-=那么(1)若对∀x D ∈,()1p x p >>,则函数项级数)(1x u n n ∑∞=在D 非一致收敛;(2)若对∀x D ∈,()1p x p <<,则函数项级数)(1x u n n ∑∞=在D 上非一致收敛;定理8（端点判别法）设()n u x 在[,]a b 上单调(1,2,...)n =,若(),()n n u a u b ∑∑绝对收敛,则()n u x ∑在[,]a b 绝对且一致收敛.定理9（双方夹判别法）对任给天然数n 和x D ∈,都有)()()(x w x v x u n n n ≤≤成立且)(),(11x w x un n n n∑∑∞=∞=均在点集D 上一致收敛于()s x ,则1()n n v x ∞=∑在点集D 一致收敛于()s x .定理10(Dini 定理,单调判别法)设级数)(1x u n n ∑∞=的每一项在有界闭区间[,]a b 上持续且非负,假如它的和函数()S x 也在[,]a b 上持续,那么该级数在[,]a b 上一致收敛.定理11[9]（导数判别法）设函数列{()n u x }在闭区间[,]a b 上持续可微,且消失一点0x ∈[,]a b 使得)(1x u n n ∑∞=在点0x 收敛;1'()n n u x ∞=∑在[,]a b 上一致收敛,则)(1x u n n ∑∞=在[,]a b 上一致收敛.引理1若持续函数列(){}x f n 在区间D 上一致收敛于()x f ,则D x ∈∀0,{}D x n ⊂∀,0lim x x n n =∞→,有()()0lim x f x f n n n =∞→定理12[7](应用一致收敛函数列的性质) 持续函数项级数()∑x u n 在区间D 上逐点收于)(x S ,且D x ∈∃0,{}D x n ⊂∃,0lim x x n n =∞→,有()()0lim x S x S n n n ≠∞→,则函数项级数()∑x u n在区间D 上非一致收敛于)(x S ．推论 设持续函数列(){}x S n 在区间D 上逐点收敛,且在D 中消失数列{}n a 和{}n b 知足前提①0lim lim x b a n n n n ==∞→∞→()D x ∈0;②()A a S n n n =∞→lim ,()B b S n n n =∞→lim ,而B A ≠则(){}x S n 在D 上非一致收敛．定理13[6](应用端点发散性) 函数项级数()∑x u n 界说在(]b a ,（或()+∞,a ）上．对+∈∀N n ,函数()x u n 都在a x =处右持续,但级数()∑a u n 发散,则函数项级数()∑x u n 在(]b a ,（或()+∞,a ）上非一致收敛.（注:在()a ,∞-（或[)a c ,）内也有响应结论.）定理14[6] (应用和函数的持续性) 若持续函数项级数()∑x u n 在区间D 上逐点收敛于和函数)(x S ,且D x ∈∃0,)(x S 在0x x =处间断,则()∑x u n 在区间D 上非一致收敛于和函数)(x S ．定理15设对随意率性天然数n ,函数()x u n 在区间D 上都是单调增长（或单调削减）的,假如消失数列{}D x n ⊂,使得级数()∑n n x u 发散,则函数项级数()∑x u n 在D 上非一致收敛．总之,函数项级数敛散性的判别办法有很多,对于不合类型的级数,可应用不合种办法来判别它敛的敛散性.由此可见,闇练控制函数项级数敛散性的判别办法,对于研讨函数项级数的性质起着主要感化．3判别办法的一些应用例1评论辩论∑∞=1n n x 在[]r r ,-）10(<<r 和)1,1(-上的敛散性．解易知∑∞=1n n x 在)1,1(-内收敛于xx-1．对任给0>ε,当N n >且r x r ≤≤-时,恒有 ε<-=--+=∑xxx xx n nk k 1111只需当N n >时,有ε<-+rr n 11由此,只需()r r n lg 1lg 1ε->+,可得()r r n lg 1lg ε->. 所以, 即可取()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=r r N lg 1lg ε．按照界说,∑∞=1n n x 在[]r r ,-上一致收敛于xx-1． 取e 20=ε,对任给天然数N ,总消失N N n >+=10及()1,1210-∈++=N N x ,使得 ε21111111010001>⎪⎭⎫⎝⎛+++=-=--++=∑N n n k k N N x x x x xo o, 成立,根据界说,∑∞=1n n x 在)1,1(-内非一致收敛．例2证实函数项级数()()[]∑∞=-++-22222121n n x n xn,在所给区间[]1,1-=D 上一致收敛.解因是以,0,ε∀>取11+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ,当n N >时,对所有[1,1]x ∈-,和所有天然数p ,有 那么根据柯西准则可得 此级数在[1,1]-上一致收敛.例3 评论辩论∑nnxsin 在[]π2,0=D 上的一致收敛性． 2222112|()()|||()[(1)]n pn p n k n kS x S x xk x k ++=+--=++-∑2222111|()|(1)n pk n x k x k +=+=-++-∑2222221111||()x n p x n x n n=-<≤++++|()()|n p n S x S x ε+-<解 取21sin 310=ε,+∈∀N N ,N n >∃0,10+=n p ,()[]π2,012100∈+=n x ,使()()()()()1212sin121122sin 21121sin 11000000000000++++++++++++=-+n n n n n n n n n x s x s n p n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++>121211121sin 000n n n 21sin 31>0ε= 由柯西一致收敛准则推论1,可知∑nnxsin 在[]π2,0=D 上非一致收敛． 例4设()()()()12sin 1212cos+⋅++=n n x n n n x u n ,()∞∞-∈,x ．评论辩论函数项级数()∑x u n的敛散性．解取()12+=n n x n ,则()()1sin 12cos lim 0lim +=-∞→∞→n x u n n n n此极限不消失,是以(){}x u n 在界说域内不一致收敛于0.由柯西一致收敛准则推论2, 有()∑x u n 在()∞∞-∈,x 内非一致收敛．例5评论辩论∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n x n x e n 11在()+∞,0上的一致收敛性．解因为()0,,0>∃+∞∈∀a x 使a x ≤,有a x nx e n a e n x n x e n 222211≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-由柯西一致收敛准则推论3,可知∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-nx n x e n 11在()+∞,0上非一致收敛． 例6221)1(n nx n n+-∑∞=在有穷区间上是一致收敛的.解对任何有穷区间I ,10M ∃>,使得对一切1M x ≤,有nn n1)1(1∑∞=-,对I x ∈一致收敛n nx n n x n n x I x 1,222222+=+=+∈∀ 又112122+≤+M n nx 等于一致有界的由阿贝尔判别法可知此级数一致收敛.例71n n x ∞=∑在[,]b b -上一致收敛（01b <<）.||x ==1b q ≤=<,由根式判别法可剖断此级数一致收敛 例83311ln(1)n n x n∞=+∑在[2,)+∞上非一致收敛. 解根据对数判别法有()()n x n n n x n n nn n x n u ln 1ln 1ln lim ln 1ln 1ln lim ln ln lim333⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-∞→∞→∞→()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=∞→n x n n ln 1ln 3lim 3 ()⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--<∞→∞→n x n x n n n ln ln lim ln ln 3lim 3 10ln 2ln lim <=<⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤∞→p n n 可知此级数在界说域上非一致收敛.例9 评论辩论∑+221x n x在()+∞∞-,上一致收敛性．解 易知()∑x u n 在()+∞∞-,上逐点收敛,并且在()+∞∞-,上每一项都持续,取() ,2,11==n n x n ,则0lim =∞→n n x ．再设()221xk x x u k +=,由定积分界说知 ()()∑∑=∞→=∞→+=nk nk nn n k n k n x u 12111lim lim()∑=∞→+=n k n k n n 12111limdx x ⎰+=1021110arctgx = 4π=()00=≠s由定理12知,∑+221xn x在()+∞∞-,上非一致收敛． 例10 评论辩论()n n n x x x S 2-=,() ,2,1=n 在[]1,0上的一致收敛性． 解(){}x S n 这个持续函数列在[]1,0上逐点收,先取1=n a ,() ,2,1=n ,则1lim =∞→n n a ,有()()011lim lim 2=-=∞→∞→n n n n n n a S ;又取nn b 21=,() ,2,1=n ,则1lim =∞←n n b 且()214121lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→∞→n n n n b S . 根据定理12的推论可知,持续函数列(){}x S n 在[]1,0上非一致收敛．例11 评论辩论函数项级数∑∞=11n x n 在()∞+.1上一致收敛性． 解 易知函数项级数∑∞=11n xn在()∞+.1逐点收敛,并且每一项在1=x 处是持续的,而∑∞==11n x n n 在1=x 处是发散的,由定理13知,∑∞=11n x n在()∞+.1上非一致收敛．例12 评论辩论函数项级数()∑-n x x 1在[]1,0上敛散性. 解 此函数项级数的部分和为()()()()[)⎩⎨⎧=∈-=+++-=-=+=∑1,01,0,11121x x x x x x x x x x x S n nnk kn ,即得()[)⎩⎨⎧=∈=∞→1,01,0,lim x x x x S n n ,知和函数)(x S 在1=x 处不持续．由定理14知,该函数项级数在[]1,0上非一致收敛．例13证()∑+nx n 11在()+∞,0内非一致收敛．解 对+∈∀N n ,显然()()nx n x u n +=11在区间()+∞,0内都是单调减小的,其次,取n x n 1=,级数()∑∑=nx u n n 21发散,由定理15得证． 致 谢起首,在此感激先生的悉心指点和忘我帮忙,在论文的选题.构想.写作以及修正的进程中,每次陶先生都诲人不倦地指点.核阅,给我的论文指出很多珍贵的看法.再次, 感激学院的列位先生和引导,感激您们的栽培,感激你们为我的研讨供给一个优越的情况,感激您们在生涯和工作中给我的知道和帮忙. 最后,感激与我同组的同窗在全部进程中给我的帮忙.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学剖析(第三版)[M]. 北京:高级教导出版社, 2006. 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数项级数敛散性的判别法毕业论文
数项级数敛散性的判别法毕业论文关于数项级数敛散性的判别法摘要：级数是数学分析中的主要内容之一.我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种,如柯西(Cauchy)判别法、达朗贝尔（D ’Alembert ）判别法、拉阿贝(Raabe)判别法、高斯(Gauss)判别法、狄里克莱(Dirichlet)判别法、莱布尼兹(Leibniz)判别法、阿贝尔(Abel)判别法等.对数项级数敛散性判别法进行归纳,使之系统化. 关键词：数项级数; 正项级数 ; 变号级数; 敛散性; 判别法1引言 设数项级数++++=∑∞=n n na a a a211的n 项部分和为:12n S a a =+++1nni i a a ==∑若n 项部分和数列{}n S 收敛,即存在一个实数S,使lim n n S S →∞=.则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S 为级数的和.可见，无穷级数是否收敛，取决于lim n n S →∞是否存在.从而由数列的柯西(Cauchy )收敛准则,可得到级数的柯西(Cauchy )收敛准则[1]:数项级数1nn a ∞=∑收敛0,N N ε+⇔∀>∃∈,对,n N p N +∀>∀∈有12n n n p a a a ε++++++<.2 正项级数敛散性判别法设数项级数1nn a ∞=∑为正项级数(na ≥0).则级数的n 项部分和数列{}nS 单调递增,由数列的单调有界公理,有定理2.1[1]正项级数1n n u ∞=∑收敛⇔它的部分和数列{}n S 有上界.由定理2.1可推得 定理2.2[2]：设两个正项级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑,存在常数c 0>及正整数N ，当n ＞N 时有n u ≤c n v ,则（i ）若级数1n n u ∞=∑收敛，则级数1n n v ∞=∑也收敛；（ii ）若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑也发散.一般常及其极限形式:定理2.2’（比较判别法的极限形式）[2]：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是两个正项级数且有limnn nu v →∞=λ， （i ）若0＜λ＜＋∞，则两个级数同时敛散；（ii ）若 λ＝0，级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑也收敛；（iii ）若 λ＝＋∞，级数1n n v ∞=∑发散，则级数1n n u ∞=∑也发散.由比较判别法可推得:定理2.3（达朗贝尔判别法也称比值判别法，D ’Alembert ）[3]：设1n n u ∞=∑是一个正项级数，则有（i ）若存在0＜q ＜１及自然数N ，使当n ≥N 时有1n n u u +≤q ，则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ）若存在自然数N ，使当n ≥N 时有1n n u u +≥１，则级数1n n u ∞=∑发散.定理2.3’（达朗贝尔判别法也称比值判别法的极限形式）[3]：设1n n u ∞=∑是一个正项级数，（i ）若lim n →∞1n n u u +＝r ＜１，则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ）若lim n →∞1n nu u +＝r ＞１则级数1n n u ∞=∑发散.定理2.4（柯西判别法也称根式判别法）[4]：设1n n u ∞=∑是一个正项级数，则有（i ）若存在0＜q ＜１及自然数N ，使当n ≥N n n u ≤q ，则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ）若存在自然数列的子列{}i n n n u ≥１，则级数1n n u ∞=∑发散.定理2.4’（根式判别法的极限形式）[5]：设1n n u ∞=∑是一个正项级数，（i ）lim n →∞n n u ＝r ＜１，则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ）lim n →∞n n u r ＞１，则级数1n n u ∞=∑发散.注意：在比值判别法和根式判别法的极限形式中，对r=1的情形都未论及.实际上，当lim n →∞1n nu u +=1或lim n →∞n n u 时，无法使用这两个判别法来判别敛散性.如级数11n n ∞=∑和211n n ∞=∑，都有11lim lim 111n n nn n n→∞→∞+==+， 2221(1)lim lim 111n n n n n n→∞→∞+⎛⎫== ⎪+⎝⎭， 1lim 1nn n =，211n n n=.但前者发散而后者收敛.此外，定理2.3和定理2.4中关于收敛的条件1n nu u +≤q n n u ≤q ＜１也不能放宽到1n n u u +n n u ＜１.例如，对调和级数11n n∞=∑，有 1n n u u +=1nn +n n u 1n n但级数却是发散的.对于严格正项级数,比较判别法、比式判别法及根式判别法用上（下）极限形式更为方便. 定理2.5[2]设∑∞=1n n a 为严格正项级数.10若∑∞=1n n b 是收敛的严格正项级数,使+∞<∞→nnn b a lim ,则级数∑∞=1n n a 收敛. 20若∑∞=1n n b 为发散的严格正项级数,使0lim >∞→nnn b a ,(可取)∞+,则级数∑∞=1n n a 发散. 定理2.6[2]设∑∞=1n n a 为严格正项级数.10若1lim1<=+∞→q a a nn n ,则级数∑∞=1n n a 收敛. 20若1lim1>=+∞→q a a nn n ,则级数∑∞=1n n a 发散.定理2.7[2]设∑∞=1n n a 为正项级数,且q a n n n =∞→lim ,则10当1<q 时,级数∑∞=1n n a 收敛.20当1>q 时,级数∑∞=1n n a 发散.我们知道,广义调和级数(p-级数)∑∞=11n pn当1>p 时收敛,而当1≤p 时发散.因此,取p-级数作为比较的标准,可得到较比式判别法更为精细而又应用方便的判别法,即定理2.8（拉阿贝判别法，Raabe ）[3]：设∑∞=1n n u 是正项级数并记11,n n n u R n u +⎛⎫=- ⎪⎝⎭（i ）若存在1q >及自然数N ，使当n ≥N 时有,n R q ≥则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ）若存在自然数N ，使当n ≥N 时有1,n R ≤则级数1n n u ∞=∑发散.定理2.8’（拉阿贝判别法的极限形式）[8]：设1n n u ∞=∑是正项级数且有r u u n n n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→1lim 1， 则 (1)当1>r 时,级数1n n u ∞=∑收敛；(2)当1<r 时，则级数1n n u ∞=∑发散.考虑到级数与无穷积分的关系,可得 定理2.9（积分判别法）[4]：设函数()f x 在区间),1[+∞上非负且递减，)(n f u n =，1,2,n =，则级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是极限⎰+∞→xx dt t f 1)(lim存在.证：由于0)(≥x f ,知⎰=xdt t f x F 1)()(单调递增.因此极限⎰+∞→+∞→=xx x dt t f x F 1)(lim)(lim 存在)(x F ⇔在),1[+∞有界.(充分性)设⎰+∞→xx dt t f 1)(lim存在,则存在0>M ,使M dt t f x x≤+∞∈∀⎰1)(),,1[级数∑∞=1n n u 的部分和)()2()1(21n f f f u u u S n n +++=+++=⎰⎰⎰-++++≤nn dt t f dt t f dt t f f 13221)()()()1(M f dt t f f n+≤+=⎰)1()()1(1.即部分和数列有上界.所以级数∑∞=1n n u 收敛.(必要性)设正项级数∑∞=1n n u 收敛,则它的部分和有上界,即存在+∈∀>N n M ,0有M S n ≤.从而对),1[+∞∈∀x ,令1][+=x n ,则 ⎰⎰⎰⎰⎰-+++=≤n n nxdt t f dt t f dt t f dt t f dt t f 1322111)()()()()(M S n f f f n ≤=-+++≤-1)1()2()1( . 故极限⎰+∞→xx dt t f 1)(lim存在.由此我们得到两个重要的结论[6]： （1）p 级数11p n n ∞=∑收敛⇔1;p > （2）级数21ln pn n n∞=∑收敛⇔ 1.p > 证：两个结论的证法是类似的，所以下面只证明结论（1） 在p 级数一般项中，把n 换为x ，得到函数()f x =1(1).p x x≥ 我们知道，这个函数的广义积分收敛⇔ 1.p >因此根据正项级数的广义积分判定法，结论（1）成立.还是以p-级数为比较标准,可得定理2.10（阶的估计法）[3]：设1n n u ∞=∑为正项级数⎪⎭⎫⎝⎛=p n n O u 1)(∞→n ,即n u 与p n 1当∞→n 是同阶无穷小.则(1)当1>p 时,级数1n n u ∞=∑收敛；(2)当1≤p 时,级数1n n u ∞=∑发散.把比较判别法和比式判别法结合,又可得定理2.11（比值比较判别法）[7]：设级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数且存在自然数N ，使当n≥N 时有11n n n nu v u v ++≤, 则有（i ）若1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑也收敛；（ii ） 若1n n u ∞=∑发散，则1n n v ∞=∑也发散.证：当n ≥N 时，由已知有12121111n N N n N N n n N N N n N N n Nu u u u v vv v u u u u v v v v +++++-+-=≤=. 由此可得,.N N n n n n N Nu vu v u v v u ≤≤ 再由比较判别法即知定理结论成立. 较比式判别法更为精细的判别法是定理2.12[3]（高斯判别法，Gauss ）：设1n n u ∞=∑是正项级数且满足 11,ln ln n n u u v o u n n n n n λ+⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭则有（i ）若1λ>或者1λ=，1u >或者1,1u v λ==>，则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ） 若1λ<或者1λ=，1u <或者1,1u v λ==<，则级数1n n u ∞=∑发散.定理2.12’[9]（高斯推论）：设1n n u ∞=∑是正项级数且满足211,n n u uO u n n λ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭则有（i ）若1λ>或1λ=，1u >，则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ）若1λ<或1λ=，1u ≤，则级数1n n u ∞=∑`发散.3 一般项级数敛散性判别法我们经常遇到一些级数，它们并不是都为非负，如交错级数等，对于这一类的级数我们不能再套用上述的正项级数的判别法来判断它们的敛散性了.根据柯西收敛原理，级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件是：对任给的0ε>，存在N ，只要n N >，对任意正整数p ，有12.n n n p u u u ε++++++<在研究一般项级数的判别法前我引进绝对收敛与条件收敛的概念. 定义[4]：若级数1n n u ∞=∑收敛，则称级数1n n u ∞=∑是绝对收敛的；若级数1n n u ∞=∑收敛，但级数1n n u ∞=∑发散，则称级数1n n u ∞=∑是条件收敛的.由柯西收敛准则,有 定理3.1[4]若级数∑∞=1||n n u 收敛,则级数∑∞=1n n u 收敛.要判别级数∑∞=1||n n u 敛散性,可用上述介绍的正项级数敛散性的判别方法去判断.定理3.2[6]（分部求和判别法）:对级数1,n n n u p ∞=∑用n A 表示级数1n n u ∞=∑的部分和,即 1nn k k A u ==∑.如果极限lim n n n A p →∞存在,那么下面两个级数有相同的收敛性:1,nn n up ∞=∑11().n n n n A p p ∞+=-∑这个判别法的特点是:把因子1,2,,,n u u u 分离出来,求出部分和n A ,再研究级数11()n n n n A pp ∞+=-∑的收敛性(前提是极限lim n n n A p →∞存在.)证明：先分析级数1n n n u p ∞=∑的部分和.为此分析乘积k k u p ;用增减项的办法,可以看出,11111()()k k k k k k k k k k k k u p A A p A p A p p A p -----=-=---.由此得到1111()()k k k k k k k k k u p A p A p A p p ----=---.让k 从1变到n,对等式的各项求和,110011()(0,0)nnkk n n k k k k k up A p A p p A p --===--==∑∑.这个等式可以改写为1111()nn kk n n k k k k k up A p A p p -+===--∑∑.(这叫做阿贝尔分部求和公式.)现在令n →∞,考察极限1lim nk k n k u p →∞=∑.由阿贝尔分部求和公式可以看出:因为极限lim n n n A p →∞存在,所以1lim n k k n k u p →∞=∑存在111lim ()n k k k n k A p p -+→∞=⇔-∑存在.这个结论的级数语言是:111()k k n n n n n up A p p ∞∞+==⇔-∑∑收敛收敛. 这样就证明完成了证明.对于最特殊的变号级数—交错级数,有定理 3.3[10]（莱布尼兹判别法）:对于交错级数,如果一般项的绝对值组成的数列单调递减趋向于0(当n →∞),那么交错级数收敛.对于一般项级数,则有定理3.4[10]（狄利克雷判别法）: 对级数1,n n n u p ∞=∑用n A 表示级数1n n u ∞=∑的部分和,即 1nn k k A u ==∑.如果{}n A 是有界数列,并且数列{}n p 单调递减趋向于0,那么级数1,n n n u p ∞=∑收敛.证明: 由条件可知, lim n n n A p →∞=0.因此根据分部求和判别法, 下面两个级数有相同的收敛性: 1,n n n up ∞=∑11().n n n n A p p ∞+=-∑ 以下只需验证:后一个级数是绝对收敛的.实际上,数列{}n A 是有界的,不妨设()n A A n ≤∀.这样一来,11()()n n n n n A p p A p p ++-≤-.另外,1111111()lim ()lim()nn n k k n n n n k pp p p p p p ∞+++→∞→∞==-=-=-=∑∑ 因此根据控制收敛判别法,级数11()n n n n A p p ∞+=-∑收敛.定理3.5(阿贝尔Aebel 判别法)[4]设数列}{n a 单调有界,级数∑∞=1n n b 收敛,则级数∑∞=1n n n b a 收敛.主要参考文献：[1]刘玉琏,傅沛仁等. 数学分析讲义(第三版). 北京: 高等教育出版社, 2003[2]罗仕乐 . 数学分析续论 . 韶关学院数学系选修课程. 2003.8[3]李成章,黄玉民. 数学分析（上册）.北京: 科学出版社,1999.5[4]邓东皋, 尹小玲. 数学分析简明教程.北京: 高等教育出版社, 2000.6[5]张筑生. 数学分析新讲.北京: 北京大学出版社, 2002.2[6]丁晓庆. 工科数学分析（下册）.北京: 科学出版社,2002.9[7]R.柯朗, F.约翰. 微积分和数学分析引论.北京: 科学出版社, 2002.5[8]朱时. 数学分析札记 .贵州: 贵州教育出版社, 1996.5[9][美] 约翰鲍逊等,邓永录译. 现在数学分析基础.广东:中山大学出版社, 1995.2[10] 王昆扬. 数学分析专题研究.北京: 高等教育出版社, 2001.6The law of differentiating about the fact that several items of progression disappear and dispersingLiu Xianyang(Department of Mathematics，Shaoguan University，00 mathematics and applied mathematics undergraduate course. ,Shaoguan 512005，GuangDong)Abstract:One of the main content while analyzing that progression is mathematics. That the several a item ofprogressions of study disappear and disperse to differentiate law have a lot of kinds we, If Cauchy differentiate law, D'Alembert differentiate law, Raabe differentiate , Gauss differentiate law, Dirichlet differentiate law, Leibniz differentiate law, Abel differentiate law, etc. law. That items of progression disappear and disperse to differentiate law sum up, systematize it logarithm.Keywords：Several items of progression ; A progression ; Turn into number progression ; Hold back the scattered quality ; Differentiate law ization.。
陈雨涵《正项级数敛散性判别法的比较及其应用》(毕业论文)
《正项级数判别法的知道及其应用》毕业论文目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1正项级数相关概念 (2)1.1正项级数的定义 (2)1.2正项级数敛散性判别的充要条件 (2)2正项级数敛散性判别法 (2)2.1判别级数发散的简单方法 (2)2.2比较判别法 (3)2.2.1定理及其极限形式 (3)2.2.2活用比较判别法 (3)2.3柯西判别法 (4)2.3.1定理及其极限形式 (4)2.3.2活用柯西判别法 (5)2.4达朗贝尔判别法 (5)2.4.1定理及其极限形式 (5)2.4.2活用达朗贝尔判别法 (6)2.5积分判别法 (6)2.5.1定理 (6)2．5.2活用积分判别法 (6)2.6拉贝判别法 (6)2.6.1定理及其极限形式 (7)2.6.2活用拉贝判别法 (7)2.7其他判别法 (8)3判别方法的比较 (9)3.1不同方法的比较及应用 (10)3.2判别正项级数敛散性方法的总结 (11)致谢 (12)参考文献 (12)正项级数敛散性判别法的比较及其应用数学与应用数学 xx 指导教师 xx摘要：正项级数是级数内容中的一种重要级数,它的敛散性是其基本性质.正项级数敛散性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，才能事半功倍. 关键词：正项级数；收敛；方法；比较；应用Positive Series Convergence Criterion of Comparison and ItsApplicationMathematics and Applied Mathematics LiQinglinTutor LiPingrunAbstract ：Positive series is a series of important theoretical component and its convergence is the core issue of series theory .Although positive series convergence judgment methods more ,there still have to use the skills, summarized convergence of positive series to determine some of the typical method to compare the different characteristics of these methods, summed up the typical positive series, according to the characteristics of different subject analysis to determine to choose suitable methods to judge, to maximize savings in time and increase efficiency. Key words: positive series ; convergence; methods; compar e ；application引言 我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理,但书上往往只是对定理本身做一个证明，然后举几个简单应用的例子就好了，没有做过多的分析.但是,我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性.因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢，定理与定理之间会有些什么联系和区别呢，做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢? 这就是本文所要讨论的.1 正项级数相关概念1.1正项级数的定义如果级数1nn x ∞=∑的各项都是非负实数，即0,1,2,,nx n ≥= 则称此级数为正项级数1.2正项级数敛散性判别的充要条件正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加,从而有正项级数敛散性的基本判别定理:定理1 正项级数∑∞=1n nu 收敛⇔它的部分和数列{}n s 有上界.证明 由于),2,1(0 =>i u i,所以{}n s 是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证.例 级数221ln (1)(1)n n nn n n∞=⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦∑是正项级数。
函数项级数敛散性的判别方法及其应用毕业论文资料
函数项级数敛散性的判别方法及其应用Discrimination Methods of Convergence and Divergence of Series of Functions and ItsApplication专业:数学与应用数学作者:指导老师:二○一五年五月摘要本文介绍了函数项级数敛散性判别法，如柯西判别法、阿贝尔判别法、达朗贝尔判别法和它们的极限形式，以及多种特殊函数项级数敛散性的判别方法. 然后介绍了这些判别法在实际解题中的应用. 本文探究和总结了一些判别函数项级数敛散性的方法, 为今后处理函数项级数敛散性的判别提供理论基础.关键词: 函数项级数; 一致收敛; 判别法;AbstractThis paper introduces discrimination methods of convergence and divergence of series of functions, such as Cauchy criterion, Abel discrimination method, Darren Bell discrimina- tion method and their respective forms, and series of discrimination methods of convergence and divergence of a variety of special functions. Then the paper introduces these disctimina- tion methods in the application of the practical problems. This paper discusses and summari- zes discrimination methods of convergence and divergence of series of functions ,which pro- vide theory for practical problems.Keywords: series of functions, uniform convergence, discrimination method目录0引言 (1)1预备知识 (1)2函数项级数敛散性的判别方法 (2)3判别法的一些应用 (6)致谢 (11)参考文献 (12)0 引言函数项级数在现代工程技术方面有着普遍的应用,它在数学分析中也具有重要地位,是学习数学分析的重难点所在,不易被掌握和应用.而我们要理解和掌握函数项级数,就必须要先研究它的敛散性,而这项工作往往是比较困难的.书本上介绍了一些判别函数项级数敛散性的基本方法,但是这些方法往往只能解决一些比较常规的问题.因此对于不同类型的函数项级数,往往需要寻求不同的方法来判别其敛散性.目前已经有许多学者们在判别函数项级数敛散性方面做出了很多贡献,但很多都具有其本身的局限性.本文从三个层面展开论述:首先论述函数列、函数项级数的定义及其敛散性的概念.然后分别列出函数项级数敛散性的一些常见判别法以及在这些判别法上推出的一些定理. 最后用一些实际例题来验证这些判别法.1 预备知识设12,,,,n f f f L L 为一列定义在同一数集D 上的函数,称为定义在D 上的函数列.该函数也可简单地写作()n f x 或 n f ,1,2,...n =.定义[1]1 设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上,若对任给的正数ε,总存在某一正整数N ,使得当n N >时,对一切x D ∈,都有()()n f x f x ε-<, 那么称函数列{}n f 在D 上一致收敛于f ,记作()()n f x f x ⇒ ()n →∞,x D ∈.设{()}n u x 为定义在数集D 上的一个函数列,则D x x u x u x u n∈++++,)()()(21ΛΛ称为定义在D 上的函数项级数,简记为()n u x ∑,并称1()(),,1,2,...nn k k s x u x x E n ==∈=∑为函数项级数的部分和函数列.定义[1]2 若函数项级数)(1x u n n ∑∞=的部分和函数列{})(x S n 在数集D 上一致收敛于)(x S ,则称函数项级数)(1x u n n ∑∞=在D 上一致收敛于)(x S 或称)(1x u n n ∑∞=在D 上一致收敛.2 函数项级数敛散性的判别方法定理]1[1（柯西一致收敛准则）函数项级数)(x u n ∑在数集D 上一致收敛的充要条件：对于任意的正数ε,总存在个某正整数N ,使得当N n >时,对一切D x ∈和一切正整数p 都有 |)()(x s x s n p n -+|<ε或 |)()()(21x u x u x u p n n n ++++++Λ|<ε.柯西收敛准则和定义是数学分析中判断一致收敛的常用方法，我们还可以根据级数各项的特征去判定其敛散性.下面讨论定义在区间I 上形如ΛΛ++++=∑)()()()()()()()(2211x v x u x v x u x v x u x v x un n n n（2.1）的函数项级数敛散性的判别.推论1（柯西准则逆否命题）函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛的充要条件为0o ε∃>，+∈∀N N ,N n o >∃,D x ∈'∃，+∈N p 使得()opn n k kx u ε≥'∑++=1.这里最关键的是要找出o x 与o n 及p 之间的关系，然后凑出o ε，此类型题目也有一个简便方法，即取1=p 能适用于许多题型．这种做法比较实用，优先考虑．推论2 函数列(){}x u n 在数集D 上非一致收敛于0，那么函数项级数()∑x u n 在数集D 上非一致收敛．推论3[]9 如果函数项级数()∑x u n 在区间D 上逐点收敛，并在区间D 中存在点列{}n x ，使()0lim ≠∞→n n n x u ，有函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛．定理2[1]（M 判别法）设定义在数集D 上的函数项级数()x u n ∑, ∑M n 为收敛的正项级数,如果对一切D x ∈,有(),,2,1,Λ=≤n x M u n n 那么函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛.定理3[1]（阿贝尔判别法）设 (1))(x u n ∑在区间I 上一致收敛; (2)对于每一个)}({,x v I x n ∈是单调的；(3))}({x v n 在I 上一致有界,即对任意I x ∈和正整数n ,存在正数M ,使,|)(|M x v n ≤ 那么原级数在I 上一致收敛. 定理4[1]（狄利克雷判别法）（1）∑)(x u n 的部分和函数列)()(1x u x U nk k n ∑== )2,1(Λ=n 在I 上一致有界；（2）对于每一个{})(,x v I x n ∈是单调的； （3）在I 上)(0)(∞→⇒n x v n , 则级数(2.1)在I 上一致收敛.定理5（比式判别法） 设()n u x 是定义在数集D 上的函数列,且()0n u x >,Λ,2,1=n 记)()()(1x u x u x q n n n +=，存在正整数N 和实数M q ,使得()1n q x q ≤<,()N u x M ≤对任意的N n >, x D ∈成立,那么函数项级数1()n n u x ∞=∑在D 上一致收敛.此定理的极限形式为：设)(x u n 为数集D 上的正函数列,)()()(1x u x u x q n n n +=,因为lim ()()1n n q x q x q →∞=≤<,且)(x u n 在D 上一致有界,则函数项级数)(1x un n∑∞=在D 上一致收敛.定理6[5]（根式判别法）设)(x u n 为定义在数集D 上的函数列,若存在正整数N ,使1|)(|<≤q x u nn ,对∀N n > ,D x ∈ 成立，那么函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛.该定理的极限形式为：设)(1x u n n ∑∞-为数集D上的函数列，()1n q x q =≤<,对D x ∈∀成立,有函数项级数在D 上一致收敛定理7[5](对数判别法) 设)(x u n 为定义在数集D 上正的函数列,若存在ln ()lim()ln n n u x p x n→∞-=那么(1)若对∀x D ∈,()1p x p >>，则函数项级数)(1x u n n ∑∞=在D 非一致收敛；(2)若对∀x D ∈,()1p x p <<，则函数项级数)(1x u n n ∑∞=在D 上非一致收敛；定理8（端点判别法）设()n u x 在[,]a b 上单调(1,2,...)n =，若(),()n n u a u b ∑∑绝对收敛，则()n u x ∑在[,]a b 绝对且一致收敛。
关于数项级数敛散性的判定
关于数项级数敛散性的判定摘要：就数项级数敛散性的判定进行了深入细致的分析、探究与总结，重点论述了正项级数及一般项级数的敛散性判别方法，提出了数项级数敛散性判定的一般步骤，以及判定过程中需要注意的一些问题。
使得对数项级数敛散性的知识有了更深的认识，提高了解题能力。
关键词：数项级数；正项级数；交错级数；一般项级数；敛散性 引言：无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是研究“ 无穷项相加” 的理论 ，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。
如今，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的有力工具，而应用的前提是级数收敛，所以其收敛性的判别就显得十分重要，判断级数敛散的理论和方法很多，本文的根本目的是对数项级数敛散性的判定进行深入的研究与总结。
1.预备知识： 1.1级数的定义及性质定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式......21++++n u u u称为数项级数。
其中n u 称为该数项级数的通项。
数项级数的前n 项之和记为：∑=+++==nk n k n u u u u S 121...。
称为数项级数第n 个部分和。
定义2：若数项级数的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称数项级数收敛。
若{}n S 是发散数列，则称数项级数发散。
即：n n S ∞→lim 不存在或为∞。
性质：（1）级数收敛的柯西准则：级数收敛的充要条件：0>∀ε，0>∃N ,使得当N m >以及对任意正整数P ，都有 ε<++++++p m m m u u u (21)推论：级数收敛的必要条件：若级数收敛，则0lim =∞→n n u 。
（2）设有两收敛级数n u s ∑=，n v ∑=σ，则其和与差)(n n v u ±∑也收敛，并且σ±=±∑s v un n)(。
正项级数敛散性的探究毕业论文
唐山师范学院本科毕业论文题目正项级数敛散性的探究年级11数本1班专业数学与应用数学系别数学与信息科学系唐山师范学院数学与信息科学系2015年 4月郑重声明本人的毕业论文（设计）是在指导教师胡洪池的指导下独立撰写完成的. 如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为 , 本人愿意承担由此产生的各种后果 , 直至法律责任 , 并愿意通过网络接受公众的监督 . 特此郑重声明 .毕业论文（设计）作者（签名）：2015年4 月28 日目录标题 ..................................................................1中文摘要 ..............................................................1 1引言 (1)2正项级数敛散性的基础判别法 (1)3正项级数其他一些判别法的探究 (3)3.1 以 p 级数1为比较级数建立的其他判别法 (3)n 1n p3.2以级数n15 2n(ln n) p为比较级数建立的其他判别法.......................4一些正项级数敛散性判别法之间强弱性的比较. (8)4.1 以 p 级数n 11为比较级数建立的判别法之间强弱性的比较8 n p4.2以 p 级数1建立的判别法与以等比级数aq n建立的判别法的比较 (9)n 1n p n04.3以级数1p为比较级数建立的判别法之间强弱性的比较 . (10)2 n(ln n)n4.4以级数1p建立的判别法与以 p 级数12 n(ln n)n 1 np建立的判别法的比较 . 11 n5比较级数的敛散速度与正项级数判别法强弱性的关系 (12)6结束语 (14)参考文献 .............................................................15致谢 .................................................................16外文页 ...............................................................17正项级数敛散性的探究摘要：本文将通过回顾梳理关于正项级数的基础判别法，进一步讨论通过变换比较级数得到几个其他的使用范围更广的判别法，并且通过比较这些正项级数的判别法的应用范围及使用条件来得到他们之间强弱性的结论 , 最终给出判别正项级数敛散性的判别法在强弱比较上的一般结果：找不到收敛的最慢的级数，也就是说无最终判别法.关键字：正项级数敛散性判别法强弱比较To explore The Convergence and Divergenceof Positive Term SeriesAbstract This article will comb through the review on the basis of positiveseries discriminant method,further discussion by comparing transformationseries to get a few other criterion used is wider,and by comparing the criterionof positive series application scope and conditions of use to get the conclusionof weak sex between them,finally gives discriminant criterion of in positiveseries divergence on strength more general results:can not find the slowconvergence of the series,that is said,no final criterion.Key words Positive term series Convergence and divergenceDiscriminance Weak sex comparative1引言数项级数是数的加法从有限和到无限和的自然推广，判断级数敛散性的问题是级数的首要问题.其中正项级数尤为重要和特殊，在研究其他数项级数的敛散性问题时，常常归结为研究正项级数的敛散性 . 通过研究我们知道正项级数的敛散性判别法基本上都是用某些已知敛散性的正项级数作为比较级数来建立的，并且得到结论：相应于敛散速度慢的标准级数的判别法比相应于敛散速度快的标准级数的判别法使用范围更广. 甚至于，即使是以同一正项级数为比较级数的两个判别法的强弱性也不尽相同 . 并且，每种判别法又都有它的局限性，即判别法失效的问题. 在比较级数的选择上，通过研究我们知道，没有收敛的最慢的收敛级数，所以任何判别法都只能解决一部分级数收敛的问题，因此可以不断的发现新的，相对使用范围更广的判别正项级数敛散性的方法，我将结合自己对近年来人们提出的正项级数的判别法及其强弱性的简单理解和思考，对其做一个深入的探讨和总结.2正项级数敛散性的基础判别法基础判别法指的是通过比较通项来判敛的比较原则；以等比级数为比较级数建立的比式判别法、根式判别法；以及通过广义积分建立的积分判别法.定理 2.1( 比较原则 ) ：设u n 和 v n 是两个正项级数， 如果存在某正数 N ，（ 1）对一切 n N都有 u n v n ，则（ 1）若级数 v n 收敛，则级数u n 也收敛；（2）若级数u n 发散，则级数v n也发散 .推论：设u n 和v n 是两个正项级数，若 limu nl ，则：nv n（1） 当 0 l时，级数u n 和 v n 同时收敛或同时发散；（2） 当 l =0 时且级数 v n 收敛时，级数u n 也收敛； （3）当 l =且级数v n 发散时，级数u n 也发散 .利用级数收敛的定义已经知道了等比级数aq n ( a 0) 的敛散性，接下来的两个判别n 0法是以等比级数为比较级数建立的判别法.定理 2.2（比式判别法） ：设u n 为正项级数， 且存在某正整数 N 0 及常数 q(0 q 1) ，u n 1q ，则级数 u n 收敛 .（ 2）若对一切 n N 0 成 （ 1） 若对一切 n N 0 ，成立不等式u n立不等式u n 11，则级数u发散 .u nn推论：若u n 为正项级数，且 limu n 1q ，则（ 1）当 q 1时，级数u n 收敛；nu n（ 2）当 q 1 时，级数u n 发散 .定理 2.3 （根式判别法）：设u n 为正项级数，且存在某正数 N 0 及常数 l , （1）若对一切 n> N 0 ，成立不等式nu n l 1 ，则级数u n 收敛；（ 2）若对一切 n> N 0 ，成立不等式 n u n 1，则级数u n 发散 .推论：设u n 为正项级数， 且 lim n u nl ，则（ 1）当 l 1时，级数u n 收敛；（ 2）n当 l1时，级数u n 发散 .尽管比式判别法和根式判别法都是以等比级数为标准级数建立起来的，但是通过研究我们知道若 limu n 1q ，则必有 lim n u nq ，即说明根式判别法较之比式判别法更有效.nu nn2 ( 1)n如例：讨论级数2n的敛散性 .如果用根式判别法，有lim nu n lim n2 ( 1)n1，可知该级数时收敛的；若用比22nn31u 2n3 ，而 lim u 2 n 11，因此比式判别法式判别法，有 limlim22mlim 22 m 1nu2n 1n12nu 2nn3 622m 122m对于此问题失效了 .但是，这两个判别法仍有局限性，当出现“q 1 ”和“ l 1 ”时，这两个判别法就失效了 . 例如考察1 和 1这两个级数， 不论用比式判别法的极限形式还是根式判别法的nn 21是发散的，1时收敛的 .极限形式，可以发现他们的极限都是1，然而nn 2接下来的判别法是利用非负函数的单调性和积分的性质， 以反常积分为比较级数建立的积分判别法 .定理 2.4 （积分判别法）：设f (x) 为 1，上非负减函数，那么正项级数f (n) 与反常积分（fx ）dx 同时收敛或同时发散 .13 正项级数其他一些判别法的探究在上一节中，已经介绍了一些判别正项级数敛散性的基础判别法. 在这一节中，将继续通过变换比较级数的思想，再得到一些其他的判别正项级数敛散性的判别法.3.1 以 p 级数1 为比较级数建立的其他判别法n 1n p对于 p 级数1，设 f ( x)1 1 f ( x) 在n pp ，则 f (n)p ，可见不论 p 取何值，函数n 1xn1，上是一个非负减函数 . 那么由积分判别法可知：1p 与1 1p dx 是同时收敛或同n 1nx时发散的 . 由于无穷积分1p 1时发散 . 所以 p 级数11x p dx 当 p 1时是收敛的，当 n 1n p当 p1时收敛；当 p1时发散 .这一节中介绍三个以 p 级数为比较级数建立的判别法， 分别是拉贝判别法、 对数判别法和双比值判别法 .定理 3.1.1: （拉贝判别法） ：设u n 为正项级数， 且存在某正整数 N 0 及常数 r ，（ 1）若对一切 n> N 0 ，成立不等式 （n1-u n1） r>1，则级数 u n 收敛；（ 2）若对一切 n> N 0 ，u n成立不等式 （u n 1） 1 ，则级数 u n 发散 .n 1-u n推论：设u 为正项级数，且极限（1-un 1）=r 存在，则（ 1）当 r1 时，级nlim nu nn数u n 收敛；（ 2）当 r 1时，级数 u n 发散 .例 3.1.1：讨论级数1 3 （2n 1）1 的敛散性 .2 4 (2n)2n 1解：因为un 1n 1(2n)!! ( 2n 1)!! 2n 1n 1(2n 1)!! ( 2n 2)!! 2n 3u nn 1(2n 1) 2n( 6n 5)3 2)(2n 3)(2n 2)(2n3)2(2n所以由拉贝判别法可知级数收敛.ln1定理 3.1.2（对数判别法）：设正项级数a n 若 lima n q ，当 q 1 时，级数 a nln nn 1nn 1收敛；当 q1时，级数a n 发散 .n 1证明：当 q1时，可取0 ，使 q10 ，故存在自然数N ，使得当 n N 时，ln1a n 111 0，由此推知a n1(nN) ，从而a n 收敛， 同理可有0 ，故n1ln na nnn 1以考虑当 q1的情况 .推论：设正项级数a n ，且 lim n ln a nl ，则（ 1）当 l1时，级数收敛；（ 2）n 1nan 1当 l1时，级数发散 .证明：当 l 1 时，则存在 p1，使得 lp 1，由 lim n lna nl 知对 =l p0 存na n 1N 时，有 na nl l p pn在正整数 N ，使得当 n，由数列单调递增且() 11an 1nn1趋于 e 知对一切正整数n 有 1 e . 于是当 n N 时有 nnpppa n1 1n1 1a n 1 n n p ，而级数 n p 当 p 1时收a n 1nna nn 1(n 1) pn 1敛，所以级数n 1a n 收敛 .例 3.1.2 ：讨论级数n!( x 0) 的敛散性 .n 1 (x 1)( x 2) ( x n)解：anx n 1 1x ， lim n ln a nlim nln 1xx ，由对数判别a n 1n 1n 1 na n 1 nn 1法知当 x 1 时级数收敛；当x 1时级数发散；当 x1 时，由于级数1 是发散的，n 1所以原级数发散 .定理 3.1.3 （双比值判别法） ：设正项级数a n ，若 lima2 nlima2 n 1 l ，则当 l1n 1na nnan 12时级数a n 收敛；当 l1 时级数a n 发散 .2n 1n 1证明：当 l1 ，使得 l1 ，根据极限定义， 应有正整数 N ，时，可以选取正数r22使得当 nN 时，有a 2 nlr1 与 a2 n 1 lr1 ，又因为 0 r 1 ，可选a n2 a n 122实数 s 1，使得 r111b n112s 2 ，令 b nn s，则n 1n 1 n s，（因为s 1，级数n 1n s收s敛）且 imlb 2n 1iml n 11s，由极限的基本性质， 对充分大的 n 有b 2 n 1r 成立， nb n1n2n1 2b n1又因为 0r1b2 n 1b2 n 1 ra 2 n 1 2s，故有s ，对充分大的 n ，有下面的不等式成立an 1b n2bn 1和b2n1 ra2n，那么可知级数a n 收敛 .b n2sa nn 1例 3.1.3 ：讨论级数n 2的敛散性 .n 1e na2 n(2n)2 e n44解：e 2 n n 2 e 2 n n e ( 2 1) na n1 2 2 1a 2n 1(2n 1)2 e n 12 12 1 nnnan 12n121 n11 1e(n 1)1e 2n 1 n 1121nnenn故lima2 nlima2 n 11，由双比值判别法知级数收敛 .na n na n 123.2 以级数1为比较级数建立的其他判别法n 2n(ln n) p111p 取何值，对于级数n 2n(ln n) p ，设 f ( x)x(ln x) p，则f (n)n(ln n) p，可见不论函数 f ( x)1在 1，上都是非负减函数， 那么由积分判别法可知，1 与x(ln x) pn 2n(ln n) p1则1p dx 同时收敛或同时发散x(ln x)dx1p dx limu1x(ln x) 1x(ln x) pu. 令 t ln x ，此时无穷积分的上下限分别为0 和 ln u ，limln u dtlim(ln u)1 pt p1 p，此时 ln u 是趋向于uu的，所以当p时无穷积分1 p dx 收敛于 0，当 p 1 时1 p dx 发散，当11x(ln x)1x(ln x)p 1时，无穷积分也是发散的，所以，当p 1时级数1收敛，当 p 1时级数 n 2 n(ln n) p1发散 .n 2n(ln n) p本节中给出的三个常用的判别法，都是以1为比较级数建立起来的，它们分n 2n(ln n) p 别是新判别法、高斯判别法和拟对数判别法.定理 3.2.1 （新判别法）：设给定正项级数a n ，如果n 2lim ln n a n 1 lim ln n a n 1 1 r ln 2 2a 2 nln 2 2a 2 n 1 nnlim ln na n1 lim ln n a n11 r ln2 2a 2 nln 22a2 n 1nn，，则当 r 1时级数a n 收敛；当 r 1时级数a n 发散 .n 2n 2该定理的证明过程十分冗长复杂，由于篇幅所限，这里不再赘述.例 3.2.1：讨论级数1的敛散性 .( 1)nn 2ln(ln n )n3n证明：a n 3 ln ln( 2n)1 32 nln n2a 2 n1 ， n 为奇数；a n1 ln ln( 2n )1 32nln n2a 2 n11ln( 2n )1， n 为偶数 .an 12a 2 n 1an 12a2 n 1最终得到12n 12(n 31) 12n 12(n 31)limln na n n ln 2 2a 2n2n 1 n lnln n1 1，n 为奇数；1 1 ln ln( 2n )2n 1 n 1 ln n1，n 为偶数 .1limln nan 11 ln 3 且n ln 2 2a 2n 1limln na n1 limln nan 11 ln 3 ，由定理 3.2.1 nln 22a 2 nnln 22a 2 n1可知级数收敛 .定理 3.2.2 （高斯判别法）：设正项级数a n ，如果 lim (ln n) n 1an 11r，n 2na n则当 r1时，级数a n 收敛；当 r1时，级数a n 发散 .n 1n 1证明：若 r 1，则存在 s 1，使 rS 1，且存在自然数 N ，当 nN 时，有(ln n)n 1an 11s ，即an 11 11. 另外，记 b n 1 (s m 1) ，a na nnn(ln n)n(ln n) m则 b n 11 11 o1 ，故 an 1b n 1 ，从而由 b n 收敛，推知a n 收敛 .b nnn(ln n) n ln na nb n n 2 n2例 3.2.2 ：讨论级数10) 的敛散性 .( xn 1 (x 1)( x 2) ( x n)解：因为 n 1a n1n 1n 1nx，所以a nx n1x n1n 1an 11nx 1(x 1) n x1，这样的话a nx n 1x n 1lim (ln n) n 1a n 11lim (ln n)( x1)nx 1，由高斯判别法可知级数na nnxn11( x 0) 收敛.n 1 (x 1)( x 2) (x n)1ln定理 3.2.3 （拟对数判别法） ：设a n 是正项级数， 如果 lim na nq ，则当 q 1ln(ln n)n 2n时级数收敛；当q 1 时级数发散 .证明：当 q 1时，可取0 ，使得 q 1，由极限的保号性可知，存在自然数N ，1ln11当 nN 时，总有na n1，即 lnln(ln n) 1 ，所以(ln n) 1 ，由此ln(ln n)na nna n1，从而由1的收敛性及比较判别法知a n 收敛 . 当 q 1可得 a n2 n(ln n)1n(ln n)1nn 2ln1na n11时，存在自然数N ，对一切 n N 总有1于是 a n，而发散，n ln n n 2nln nln(ln n)从而a n 发散 .n 2例 3.2.3 ：讨论级数1(a1)的敛散性 .n 2na ( 1) nln(ln n)1)n解： lim(( ln(ln n)) ln a ln a ，由拟对数判别法，当a e 时 ln a 1 ，级数nln(ln n)1(a1) 收敛；当 a e 时 lna1 ，级数1( a 1) 发散 .( 1)nln(ln n)2na ( 1)nln(ln n )n 2nan4 一些正项级数敛散性判别法之间强弱性的比较在上一节中，分别以 p 级数1和级数1 作为比较级数，又给出了判别正n 1 npn 2 n(ln n) p项级数敛散性的拉贝、对数、双比值、高斯、拟对数判别法以及新的判别法，自然会让人思 考这些新判别法相互之间的强弱关系，在这一节中，将具体给出这些判别法间强弱性的比较.4.1 以级数1 为比较级数建立的判别法之间强弱性的比较n 1n p4.1.1 双比值判别法与拉贝判别法的比较命题 4.1.1 ：能用拉贝判别法判别的正项级数一定能用双比值判别法来判断，但反过来不成立，由此说明双比值判别法要强于拉贝判别法. 如下例：例 4.1.1 ：设有正项级数2 n ( 1) n，讨论其敛散性 .n 1解： lima 2 n( 1) n，且 lima 2n 1( 1)n 1lim 2 n 1 0 lim 2n 1 0 所以由双比值判别法知正na nn2nan 1n2n项级数2 n ( 1)n收敛 . 但是a n 12( 1)n 1 ，当 n 为奇数时，值为1，当 n 为偶数时，值a 28为 2，故极限 lim n 1a n 1不存在，因此不能用拉贝判别法来判断敛散性.na n4.1.2 对数判别法与拉贝判别法的比较命题 4.1.2 ：能用拉贝判别法判别的正项级数一定能用对数判别法判别，但反过来不成立，由此说明对数判别法要强于拉贝判别法. 如下例：例 4.1.2 ：设有正项级数3 ( 1)nln n，讨论其敛散性 .n 11ln( 1)nln n ln 3解： lima nlim，故级数3 ( 1)nln n收敛 . 但是，ln nln nln 3 1nnn1当 n 为奇数时，a n 12 lnn ；当 n 为偶数时，a n2 ln nn 11n1.故有33a na nlim n 1an 1，且 lim n1an 1，可见用拉贝判别法并不能判别级数n a nna n3 ( 1)nln n的敛散性 .n 14.1.3 对数判别法与双比值判别法的比较命题 4.1.3 ：能用双比值判别法判别的正项级数也一定能用对数判别法来判别，但反过来不成立，由此说明对数判别法要强于双比值判别法. 如下例：n例 4.1.3 ：讨论级数a ln n ( 1) (a 1) 的敛散性 .n 1解：当 n 为奇数时，a 2 naa n aln 2n ( 1)2 na ln 2 2 ；当 n 为偶数时，ln n ( 1)na 2n a a n aln 2 n ( 1)2 nln n ( 1)n aln 2. 故 lim a 2 n 不存在，从而双比值判别法失效，但是 n a nln 1ln aln n 1(ln n ( 1)n ) ln a ，由对数判别法可知：当lima na时，limlimenln n n ln nnln nln a 1 ，级数a ln n ( 1)n(a1) 收敛；当 a e 时， ln a 1 ，级数 a ln n ( 1)n (a 1) 发n1n 1散；当 ae时，a ln n ( 1)ne ln n ( 1)n为调和级数，故级数发散 .n 1n 1可见，例 4.1.3 是例 4.1.2 的一般形式， 但是不论用双比值判别法还是拉贝判别法都无法解决，显示出对数判别法的优越性.4.2 以 p 级数1 建立的判别法与以等比级数 aq n 建立的判别法的比较n 1 n pn 0关于两个正项级数敛散快慢比较的问题（同收敛或同发散），在许多著作中，通常都有这样一个定义：设正项级数a n 和b n 都收敛，如果 lim a n0 ，就称b n 比a n 收敛较慢；b nn设正项级数a n 和b n 都发散，如果 lim b n0 ，就称b n 比a n 发散较慢 .a nn所以，根据这个定义，我们来比较一下等比级数和p 级数的收敛快慢：设 a n rn1 ，则 lima nlimn plimpn p 1，如此连续， b np1 n1 n1nnb n n(r ) n ( r) ln(r )使用洛必达法则，可以发现该极限值为 0，那么，由上述定义可是， p 级数要比等比级数收敛较慢， 这样便说明了以 p 级数为比较级数建立起来的拉贝判别法， 要比以等比级数为比较级数建立的比式、根式判别法更加优越. 但是，尽管以 p 级数为比较级数建立的拉贝判别法相对比式判别法和根式判别法的使用范围变得广泛了，但当出现“r 1 ”时仍不能判断敛散性，所以，拉贝判别法也是有它的局限性的.1 3 （2n 1）s如例：讨论级数，当 s 1,2,3 时的敛散性 .2 4 (2n)1 3 (2n 1)(2n 1)s先用比式判别法： limu n12 4 (2n)(2n 2)2n 1snu n1 3 (2n 1)2n 22 4(2n)s，此时无论 s 为1,2,3 中的何值，该极限都是1，那么比值判别法失效了 .再用拉贝判别法：当s 1 时， n 1u n 1 n 1 2n 1n 1，级数发散；u n2n 22n 22un 12n 12n(4n 3)当 s1，所以可知此时拉贝判别法失 2 时， n 1n 1( 2n 2)2 u n2n 233，由拉贝判别法效；当 s 3时， n 1u n 1n 12n 1 n(12n 2 18n7)u n2n 2( 2n 2)32可知该级数收敛 .4.3 以级数1为比较级数建立的判别法之间强弱性的比较n 2 n(ln n)p4.3.1 新判别法与高斯判别法的比较在第三节中，介绍了一种以级数1为比较级数建立的新判别法，这里我们把 n 2n(ln n) p命题 4.2.1 ：凡是能用高斯判别法判别敛散性的正项级数都能用这种新方法来判别敛散性，但反过来不成立，由此可知新判别法要强于高斯判别法. 如下例：例 4.2.1 ：讨论级数1的敛散性 .( 1)nn 2ln(ln n )3nna nn 1 11 ln ln( n 1)证明：由于3n 1 nln n，当 n 为奇数时；a n 1 na nn 1 1 1 ln ln(ln n)3 n 1 nln n，当 n 为偶数时 .a n 1 n因此可求得：lim (ln n) na n 1 1 且 lim (ln n) na n 1 1a na n 1n1n于是可见高斯判别法已经失效，但是， a n 3ln ln( 2n) 1 32 nln n2a 2 n1 ， n 为奇数；a n1 ln ln( 2n )1， n 为偶数 .1 3 2nln n2a 2 n11ln( 2n )a n 12a2 n 1a n 1 2a 2 n 1最终得到1 2n 1 32(n 1)12n 12(n 31)limln na n n ln 2 2a 2nln， n 为奇数；2n 1 n1ln n11 1 ln ln( 2n )2n 1 n 1 ln n1， n 为偶数 .1limln nan 11 ln 3 且n ln 2 2a 2n1limln na n1 limln nan 11 ln 3 ，由定理 4.2.1 可知级数收敛 .n ln 2 2a 2 nnln 2 2a 2 n14.3.2 ：拟对数判别法和高斯判别法的比较命题 4.2.2 ：能用对数判别法判别敛散性的正项级数也一定能用拟对数判别法来判别敛散性，但反过来不成立，由此可知拟对数判别法要强于对数判别法. 如下例：例 4.2.2：讨论正项级数1的敛散性 .n 2n 5( 1) nln(ln n)解：由于 ( 1)nln(ln n ) ln 5ln 5 1，由拟对数判别法知级数1limln(ln n)( 1) nln(ln n )nn2n 5收敛 .当 n 为奇数时，a nn 2 lnln n ；当 n 为偶数时，a n 1n 2 lnln n1ln( n 1)ln( n 1) ，n 3 3a n1a n n 1因此， lim (ln n) n 1a n11且 lim (ln n) n 1a n 11，可见，用高斯na nna n可见，例 4.2.2 是例 3.2.3 的一种特殊情况，它又一次说明了拟对数判别法的优越性.4.4 以级数1 建立的判别法与以 p 级数1 建立的判别法的比较n 2 n(ln n) pn 1 n p我们探讨 p 级数1 和级数 1 的收敛快慢：n 1 n p n 2 n(ln n) p设b n1， c n1，就 qp 1 的情形证明，先假设 qN ，于是有n p n(ln n) pb n n(ln n)q(ln n)qq(ln n)q 1 n 1，不断使用洛必达法则可得limlimplimp 1limp 2nc nnnnn n( p 1) n该极限为 0；若 qp 1 ，而 q N，此时有 0b n lim (ln n) qlim (ln n) q1limp 1p 10 ，nc nnn nn同样可求得极限为 0，这就说明了级数1 比 p 级数1收敛较慢 . 这样便说明了n2 n(ln n) pn1 np1p 级以级数 n 2 n(ln n) p 为比较级数建立的新判别法、高斯判别法和拟对数判别法，要比以 数1 为比较级数建立的拉贝判别法，双比值判别法和对数判别法要更加优越 .n 1 n p5 比较级数的敛散速度与正项级数判别法强弱性的关系在前面的讨论中，给出了以等比级数为比较级数建立的比式判别法，根式判别法；以p级数1为比较级数给出的拉贝判别法，双比值判别法和对数判别法；还有以级数n 1n p1为比较级数给出的新判别法， 高斯判别法和拟对数判别法 . 并且，将他们之间的n2 n(ln n)p强弱关系进行了比较，得到了一系列有用的结论，从中知道，由于级数 1比 p 级n 2 n(ln n) p数1 收敛的速度较慢，而 p 级数1比等比级数收敛的速度又慢，所以以级数 n 1 n p n 1 n p1 为比较级数建立的判别法相对于其他判别法使用范围更广，但并不是用这三个 n 2n(ln n) p判别法可以解决所有正项级数的敛散性问题， 这一节来讨论比较级数的敛散速度与正项级数判别法强弱性的关系 .1p 1时级数是考察级数n 1nln n(ln ln n) p，同样可以通过积分判别法说明这个级数当收敛的；当 p1时级数发散. 下面我们说明这个级数比级数1n 2n(ln n) p收敛速度较慢：设 a n1( p 1)，b n1q (q 1)，则n(ln n)p n ln n(ln ln n)lim a n n ln n(ln ln n)qlim(ln ln n) q，令 t ln n ，则 t，原式为b nlimn(ln n)p(ln n)p1n n n(ln t)q p(ln t )q 11p(ln t)q1lim lim t lim如此一直使用洛必达法则，便可t p 1( p 1)t p2( p1)t p1t t t得到这个极限为0，所以级数1要比级数1收敛速度慢 . 如果以n1n ln n(ln ln n)p n 2 n(ln n)p1级数n 1n ln n(ln ln n) p为比较级数得到了新的判别法，那么新的判别法一定比高斯判别法，拟对数判别法更优越 .沿此思路继续下去，级数1所建立的判别法使用范围便会更n1nln nln ln n(ln ln ln n)p广，这一过程可以一直继续下去. 下面我们证明没有收敛的最慢的级数：设a n是收敛的最慢的正项级数，构造级数a n，其中 r n 1是a n的第 n 1个rn 1n 1余式，即r n 1 a n a n 1 a n 2，正项级数a n是收敛的，由积分中值定理，有rn 1n 1rn 1 2 r n 1r nr n n dx a n a n rn , r n 1，故有xrn 12r k 1r k 2 r0r n 2 r0 (n)k 1n a n可见级数 2r k 1r k收敛，由比较原则可知，级数也收敛 .r n 1k1n 1其次，由 lim a n lim rn 10 可知级数a n较a n收敛的慢.a nn nn 1r n 1rn 1同理可证，也没有发散的最慢的正项级数. 这样，便说明了如果正项级数的判别法时以某一个收敛的级数为比较级数建立的，那么无论它的使用范围再广泛，也有它不能判别的正项级数，只有那些级数的通项收敛于0 的速度比这一作为标准的级数收敛于0 的速度快时，判别法才有效，但是，如上面讨论，我们可以沿这一思路，不断得到使用范围更广泛的新判别法，以解决更多的问题.6结束语以上对正项级数的讨论便是我本篇论文的全部内容，文章系统地梳理总结了一系列判别正项级数的判别法，它们有严格的分类标准，为我们提供了更多的思考解决正项级数敛散性问题的方法，另外，这些判别法的使用范围也不尽相同，通过对比以同一比较级数、不同比较级数建立的判别法，得到了它们之间强弱性的关系，并且得到了比较级数的收敛速度于正项级数判别法强弱性的关系，说明了不存在收敛的最慢的级数这一事实. 再去解决正项级数敛散性的问题，选择判别法时，便有了优先考虑，先主后次的指导方法.参考文献：[1]华东师范大学数学系编著 . 数学分析第四版 [M]. 北京 : 高等教育出版社， 2010[2]复旦大学数学系编著 . 数学分析第二版 [M]. 上海：复旦大学出版社， 2006[3]刘红玉 . 正项级数敛散性判别法的综合探究[J] ．安徽广播电视大学学报， 2013.9[4]杨钟玄 . 正项级数敛散性的又一新判别法[J]. 贵州师范大学学报， 2005.11[5]杨钟玄 . 对正项级数敛散性判别法的关系的一些探讨[J]. 新疆大学学报， 2002.8[6]高军 . 谈谈几种正项级数敛散性判别法的比较[J].数学通报， 1994.12[7]丁勇 . 几种正项级数敛散性判别法的比较[J] ．数学通报， 1998.11[8]朱江红，高红亚 . 几种正项级数敛散性判别法的强弱性比较[J]. 沧州师范专科学校学报，2004.6[9]李铁烽 . 正项级数敛散性的一种新的比值判别法[J]. 数学通报， 1990.1[10]俞文辉 . 级数的收敛速度与正项级数判别法的关系[J]. 江西科技师范学院学报， 2005.8致谢本论文的研究工作是在胡洪池老师的精心指导和帮助下完成的. 无论是论文题目的选择还是论文的结构框架与文字推敲, 胡老师始终都给予细心的指导, 提出了宝贵的意见. 这些都使得本人深受启发、受益匪浅 . 在这个过程中胡老师一丝不苟的作风, 严谨求实的态度, 踏踏实实的精神对我影响深远 . 使我学到了扎实、宽广的专业知识, 树立了远大的学术目标 , 掌握了基本的研究方法.在此我要向胡老师致以衷心的感谢和深深的谢意.本论文的顺利完成 , 离不开各位老师、同学和朋友的关心和帮助 . 在此 , 向所有关心和帮助过我的老师、同学和朋友表示由衷的谢意 .最后 , 衷心地感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位专家、老师.。
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数项级数敛散性的判别法毕业论文关于数项级数敛散性的判别法摘要：级数是数学分析中的主要内容之一.我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种,如柯西(Cauchy)判别法、达朗贝尔（D ’Alembert ）判别法、拉阿贝(Raabe)判别法、高斯(Gauss)判别法、狄里克莱(Dirichlet)判别法、莱布尼兹(Leibniz)判别法、阿贝尔(Abel)判别法等.对数项级数敛散性判别法进行归纳,使之系统化. 关键词：数项级数; 正项级数 ; 变号级数; 敛散性; 判别法1引言 设数项级数++++=∑∞=n n na a a a211的n 项部分和为:12n S a a =+++1nni i a a ==∑若n 项部分和数列{}n S 收敛,即存在一个实数S,使lim n n S S →∞=.则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S 为级数的和.可见，无穷级数是否收敛，取决于lim n n S →∞是否存在.从而由数列的柯西(Cauchy )收敛准则,可得到级数的柯西(Cauchy )收敛准则[1]:数项级数1nn a ∞=∑收敛0,N N ε+⇔∀>∃∈,对,n N p N +∀>∀∈有12n n n p a a a ε++++++<.2 正项级数敛散性判别法设数项级数1nn a ∞=∑为正项级数(na ≥0).则级数的n 项部分和数列{}nS 单调递增,由数列的单调有界公理,有定理2.1[1]正项级数1n n u ∞=∑收敛⇔它的部分和数列{}n S 有上界.由定理2.1可推得 定理2.2[2]：设两个正项级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑,存在常数c 0>及正整数N ，当n ＞N 时有n u ≤c n v ,则（i ）若级数1n n u ∞=∑收敛，则级数1n n v ∞=∑也收敛；（ii ）若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑也发散.一般常及其极限形式:定理2.2’（比较判别法的极限形式）[2]：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是两个正项级数且有limnn nu v →∞=λ， （i ）若0＜λ＜＋∞，则两个级数同时敛散；（ii ）若 λ＝0，级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑也收敛；（iii ）若 λ＝＋∞，级数1n n v ∞=∑发散，则级数1n n u ∞=∑也发散.由比较判别法可推得:11lim lim 111n n nn n n→∞→∞+==+， 2221(1)lim lim 111n n n n n n→∞→∞+⎛⎫== ⎪+⎝⎭，lim 1n =，1n =.但前者发散而后者收敛.此外，定理2.3和定理2.4中关于收敛的条件1n nu u +≤q≤q ＜１也不能放宽到1n n u u +＜１.例如，对调和级数11n n∞=∑，有 1n n u u +=1nn +但级数却是发散的.对于严格正项级数,比较判别法、比式判别法及根式判别法用上（下）极限形式更为方便. 定理2.5[2]设∑∞=1n n a 为严格正项级数.10若∑∞=1n n b 是收敛的严格正项级数,使+∞<∞→nnn b a lim ,则级数∑∞=1n n a 收敛. 20若∑∞=1n n b 为发散的严格正项级数,使0lim >∞→nnn b a ,(可取)∞+,则级数∑∞=1n n a 发散. 定理2.6[2]设∑∞=1n n a 为严格正项级数.10若1lim1<=+∞→q a a nn n ,则级数∑∞=1n n a 收敛. 20若1lim1>=+∞→q a a nn n ,则级数∑∞=1n n a 发散.定理2.7[2]设∑∞=1n n a 为正项级数,且q a n n n =∞→lim ,则10当1<q 时,级数∑∞=1n n a 收敛.20当1>q 时,级数∑∞=1n n a 发散.我们知道,广义调和级数(p-级数)∑∞=11n pn当1>p 时收敛,而当1≤p 时发散.因此,取p-级数作为比较的标准,可得到较比式判别法更为精细而又应用方便的判别法,即定理2.8（拉阿贝判别法，Raabe ）[3]：设∑∞=1n n u 是正项级数并记11,n n n u R n u +⎛⎫=- ⎪⎝⎭（i ）若存在1q >及自然数N ，使当n ≥N 时有,n R q ≥则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ）若存在自然数N ，使当n ≥N 时有1,n R ≤则级数1n n u ∞=∑发散.定理2.8’（拉阿贝判别法的极限形式）[8]：设1n n u ∞=∑是正项级数且有r u u n n n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→1lim 1， 则 (1)当1>r 时,级数1n n u ∞=∑收敛；(2)当1<r 时，则级数1n n u ∞=∑发散.考虑到级数与无穷积分的关系,可得 定理2.9（积分判别法）[4]：设函数()f x 在区间),1[+∞上非负且递减，)(n f u n =，1,2,n =，则级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是极限⎰+∞→xx dt t f 1)(lim存在.证：由于0)(≥x f ,知⎰=xdt t f x F 1)()(单调递增.因此极限⎰+∞→+∞→=xx x dt t f x F 1)(lim)(lim 存在)(x F ⇔在),1[+∞有界.(充分性)设⎰+∞→xx dt t f 1)(lim存在,则存在0>M ,使M dt t f x x≤+∞∈∀⎰1)(),,1[级数∑∞=1n n u 的部分和)()2()1(21n f f f u u u S n n +++=+++=⎰⎰⎰-++++≤nn dt t f dt t f dt t f f 13221)()()()1(M f dt t f f n+≤+=⎰)1()()1(1.即部分和数列有上界.所以级数∑∞=1n n u 收敛.(必要性)设正项级数∑∞=1n n u 收敛,则它的部分和有上界,即存在+∈∀>N n M ,0有M S n ≤.从而对),1[+∞∈∀x ,令1][+=x n ,则 ⎰⎰⎰⎰⎰-+++=≤n n nxdt t f dt t f dt t f dt t f dt t f 1322111)()()()()(M S n f f f n ≤=-+++≤-1)1()2()1( . 故极限⎰+∞→xx dt t f 1)(lim存在.由此我们得到两个重要的结论[6]： （1）p 级数11p n n ∞=∑收敛⇔1;p > （2）级数21ln pn n n∞=∑收敛⇔ 1.p > 证：两个结论的证法是类似的，所以下面只证明结论（1） 在p 级数一般项中，把n 换为x ，得到函数()f x =1(1).p x x≥ 我们知道，这个函数的广义积分收敛⇔ 1.p >因此根据正项级数的广义积分判定法，结论（1）成立.还是以p-级数为比较标准,可得定理2.10（阶的估计法）[3]：设1n n u ∞=∑为正项级数⎪⎭⎫⎝⎛=p n n O u 1)(∞→n ,即n u 与p n 1当∞→n 是同阶无穷小.则(1)当1>p 时,级数1n n u ∞=∑收敛；(2)当1≤p 时,级数1n n u ∞=∑发散.把比较判别法和比式判别法结合,又可得定理2.11（比值比较判别法）[7]：设级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数且存在自然数N ，使当n≥N 时有11n n n nu v u v ++≤, 则有（i ）若1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑也收敛；（ii ） 若1n n u ∞=∑发散，则1n n v ∞=∑也发散.证：当n ≥N 时，由已知有12121111n N N n N N n n N N N n N N n Nu u u u v vv v u u u u v v v v +++++-+-=≤=. 由此可得,.N N n n n n N Nu vu v u v v u ≤≤ 再由比较判别法即知定理结论成立. 较比式判别法更为精细的判别法是定理2.12[3]（高斯判别法，Gauss ）：设1n n u ∞=∑是正项级数且满足 11,ln ln n n u u v o u n n n n n λ+⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭则有（i ）若1λ>或者1λ=，1u >或者1,1u v λ==>，则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ） 若1λ<或者1λ=，1u <或者1,1u v λ==<，则级数1n n u ∞=∑发散.定理2.12’[9]（高斯推论）：设1n n u ∞=∑是正项级数且满足211,n n u uO u n n λ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭则有（i ）若1λ>或1λ=，1u >，则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ）若1λ<或1λ=，1u ≤，则级数1n n u ∞=∑`发散.3 一般项级数敛散性判别法我们经常遇到一些级数，它们并不是都为非负，如交错级数等，对于这一类的级数我们不能再套用上述的正项级数的判别法来判断它们的敛散性了.根据柯西收敛原理，级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件是：对任给的0ε>，存在N ，只要n N >，对任意正整数p ，有12.n n n p u u u ε++++++<在研究一般项级数的判别法前我引进绝对收敛与条件收敛的概念. 定义[4]：若级数1n n u ∞=∑收敛，则称级数1n n u ∞=∑是绝对收敛的；若级数1n n u ∞=∑收敛，但级数1n n u ∞=∑发散，则称级数1n n u ∞=∑是条件收敛的.由柯西收敛准则,有 定理3.1[4]若级数∑∞=1||n n u 收敛,则级数∑∞=1n n u 收敛.要判别级数∑∞=1||n n u 敛散性,可用上述介绍的正项级数敛散性的判别方法去判断.定理3.2[6]（分部求和判别法）:对级数1,n n n u p ∞=∑用n A 表示级数1n n u ∞=∑的部分和,即 1nn k k A u ==∑.如果极限lim n n n A p →∞存在,那么下面两个级数有相同的收敛性:1,nn n up ∞=∑11().n n n n A p p ∞+=-∑这个判别法的特点是:把因子1,2,,,n u u u 分离出来,求出部分和n A ,再研究级数11()n n n n A pp ∞+=-∑的收敛性(前提是极限lim n n n A p →∞存在.)证明：先分析级数1n n n u p ∞=∑的部分和.为此分析乘积k k u p ;用增减项的办法,可以看出,11111()()k k k k k k k k k k k k u p A A p A p A p p A p -----=-=---.由此得到1111()()k k k k k k k k k u p A p A p A p p ----=---.让k 从1变到n,对等式的各项求和,110011()(0,0)nnkk n n k k k k k up A p A p p A p --===--==∑∑.这个等式可以改写为1111()nn kk n n k k k k k up A p A p p -+===--∑∑.(这叫做阿贝尔分部求和公式.)现在令n →∞,考察极限1lim nk k n k u p →∞=∑.由阿贝尔分部求和公式可以看出:因为极限lim n n n A p →∞存在,所以1lim n k k n k u p →∞=∑存在111lim ()n k k k n k A p p -+→∞=⇔-∑存在.这个结论的级数语言是:111()k k n n n n n up A p p ∞∞+==⇔-∑∑收敛收敛. 这样就证明完成了证明.对于最特殊的变号级数—交错级数,有定理 3.3[10]（莱布尼兹判别法）:对于交错级数,如果一般项的绝对值组成的数列单调递减趋向于0(当n →∞),那么交错级数收敛.对于一般项级数,则有定理3.4[10]（狄利克雷判别法）: 对级数1,n n n u p ∞=∑用n A 表示级数1n n u ∞=∑的部分和,即 1nn k k A u ==∑.如果{}n A 是有界数列,并且数列{}n p 单调递减趋向于0,那么级数1,n n n u p ∞=∑收敛.证明: 由条件可知, lim n n n A p →∞=0.因此根据分部求和判别法, 下面两个级数有相同的收敛性: 1,n n n up ∞=∑11().n n n n A p p ∞+=-∑ 以下只需验证:后一个级数是绝对收敛的.实际上,数列{}n A 是有界的,不妨设()n A A n ≤∀.这样一来,11()()n n n n n A p p A p p ++-≤-.另外,1111111()lim ()lim()nn n k k n n n n k pp p p p p p ∞+++→∞→∞==-=-=-=∑∑ 因此根据控制收敛判别法,级数11()n n n n A p p ∞+=-∑收敛.定理3.5(阿贝尔Aebel 判别法)[4]设数列}{n a 单调有界,级数∑∞=1n n b 收敛,则级数∑∞=1n n n b a 收敛.主要参考文献：[1]刘玉琏,傅沛仁等. 数学分析讲义(第三版). 北京: 高等教育出版社, 2003[2]罗仕乐 . 数学分析续论 . 韶关学院数学系选修课程. 2003.8[3]李成章,黄玉民. 数学分析（上册）.北京: 科学出版社,1999.5[4]邓东皋, 尹小玲. 数学分析简明教程.北京: 高等教育出版社, 2000.6[5]张筑生. 数学分析新讲.北京: 北京大学出版社, 2002.2[6]丁晓庆. 工科数学分析（下册）.北京: 科学出版社,2002.9[7]R.柯朗, F.约翰. 微积分和数学分析引论.北京: 科学出版社, 2002.5[8]朱时. 数学分析札记 .贵州: 贵州教育出版社, 1996.5[9][美] 约翰鲍逊等,邓永录译. 现在数学分析基础.广东:中山大学出版社, 1995.2[10] 王昆扬. 数学分析专题研究.北京: 高等教育出版社, 2001.6The law of differentiating about the fact that several items of progression disappear and dispersingLiu Xianyang(Department of Mathematics，Shaoguan University，00 mathematics and applied mathematics undergraduate course. ,Shaoguan 512005，GuangDong)Abstract:One of the main content while analyzing that progression is mathematics. That the several a item ofprogressions of study disappear and disperse to differentiate law have a lot of kinds we, If Cauchy differentiate law, D'Alembert differentiate law, Raabe differentiate , Gauss differentiate law, Dirichlet differentiate law, Leibniz differentiate law, Abel differentiate law, etc. law. That items of progression disappear and disperse to differentiate law sum up, systematize it logarithm.Keywords：Several items of progression ; A progression ; Turn into number progression ; Hold back the scattered quality ; Differentiate law ization.。