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2015年河南省普通高中学业水平考试数学模拟试题二

2015年河南省普通高中学业水平考试数学模拟试题二
第Ⅰ卷（选择题 共45分）
一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求）
1、已知集合{}{}{}B C A B A U U ⋂===则,7,5,3,1,6,4,2,7,6,5,4,2,1等于
A {}6,4,2
B {}5,3,1
C {}5,4,2
D {}5,3
2、函数)1,0()(≠>=a a a x f x 在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a 等于
A 0.5
B 2
C 4
D 0.25
3、若过坐标原点的直线l 的斜率为3-，则在直线l 上的点是 A )3,1( B )1,3( C )1,3(- D )3,1(-
4、某建筑物的三视图如图所示，则此建筑物结构的形状是
A 圆锥
B 四棱柱
C 从上往下分别是圆锥和四棱柱
D 从上往下分别是圆锥和圆柱
5、直线02)32()1(:03)1(:21=-++-=--+y k x k l y k kx l 和
互相垂直，则k 的值是
A -3
B 0
C 0或-3
D 0或1
6、算法程序框图如图所示，最后输出的结果是
A 数列{}n 的第100项
B 数列{}n 的前99项和
C 数列{}n 的前100项和
D 数列{}n 的前101项和
7、抽样时，每次抽取的个体再放回总体的抽样为放回抽样，那么
在分层抽样、系统抽样、简单随机抽样三种抽样中，属放回抽样的有
A 3个
B 2个
C 1个
D 0个
8、袋内装有红、白、黑球分别为3、2、1个，从中任取两个，则互斥而不
对立的事件是
A 至少一个白球；都是白球
B 至少一个白球；至少一个黑球
C 至少一个白球；一个白球一个黑球
D 至少一个白球，红球、黑球各一个
9、已知ααπ
αααcos sin ,20,81
cos sin +<<=则的值是 A 23 B 41 C 23- D 25
10、已知正方形ABCD 的棱长为1，设,,,AB a AC c BC b a b c ===++ 则等于 A 0 B 2 C 22 D 3
11、0105cos 等于 A 32- B 462- C 462+ D 4
26- 12、在ABC ∆中，已知0120,6,4===C b a ，则A sin 的值是 A 1957 B 721 C 38
3 D 1957- 13、在等差数列{}92,0832823=++<a a a a a a n n 中，若，则其前10项和为
A -13
B -15
C -11
D -9
14、若R c b a ∈,,，给出下列命题：①若d b c a d c b a +>+>>则,,；②若d b c a d c b a ->->>则,,；③若bd ac d c b a >>>则,,；④若bc ac c b a >>>，则0,.其中正确命题的序号是
A ①②④
B ①④
C ①③④
D ②③
15、下表显示出函数值y 随自变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是
对数函数模型
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上)
16、已知幂函数)(x f y =的图像过点)2,2(，则=)9(f ______________. 17、圆心在直线y=2x 上，且与x 轴相切与点（-1，0）的圆的标准方程是__________________.
18、一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：
;5],50,40(;4],40,30(;3],30,20(;2],20,10(
.2],70,60(;4],60,50(，则样本在区间]50,10(上的频率是_____________.
19、设),5,3(),2,(-=-=x 且,的夹角为钝角，则x 的取值范围是___________.
20、在等比数列{},64,24),(05346*==-∈>a a a a N n a a n n 且中，，则{}n a 的前8项和是________.
三、解答题（本大题共5小题，共35分，解答应写出文字说明或演算步骤）
21、本小题满分6分
已知向量5
52sin ,(cos ),sin ,(cos =
-==ββαα，求)cos(βα-的值.
22、本小题满分6分
在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是1CC DC 和的中点.求证：ADF E D 平面⊥1
23、本小题8分已知R a ∈，解关于x 的不等式0)1)((<--x x a .
24、本小题7分
已知函数a bx ax x f +-=2)(2
（,a b R ∈ ）
(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，求方程()0f x =恰有两个不相等实根的概率；
(2)若b 从区间[0,2]中任取一个数，a 从区间[0,3]中任取一个数，求方程()0f x =没有实根的概率．
25、本小题8分 对于函数)(1
22)(R a a x f x ∈+-=. （1）用函数单调性的定义证明),()(+∞-∞在x f 上是增函数；
（2）是否存在实数a 使函数)(x f 为奇函数？
2015年河南省普通高中学业水平考试数学模拟试题二参考答案
一、选择题： ABDCC CDDDC BABBA
二、填空题： 16、3；17、4)2()1(22=+++y x ；18、0.7；19、310-
>x 且56≠x ；20、255 三、解答题：21、5
3；22、略； 23、第一步：将全体教师从1到118编号；
第二步：从118名教师随机剔除6名，重新编号；
第三步：在1-7名中，随机取一个号，设为k,依次取号，k,k+7,k+14,…,k+15*7,由此确定16名教师。

24、略 25、略
2015年河南省普通高中学业水平考试数学模拟试题二参考答案
一、选择题： ABDCC CDDDC BABBA
二、填空题： 16、3；17、4)2()1(22=+++y x ；18、0.7；19、310-
>x 且56≠x ；20、255 三、解答题：21、5
3；22、略； 23、第一步：将全体教师从1到118编号；
第二步：从118名教师随机剔除6名，重新编号；
第三步：在1-7名中，随机取一个号，设为k,依次取号，k,k+7,k+14,…,k+15*7,由此确定16名教师。

24、略 25、略
2015年河南省普通高中学业水平考试数学模拟试题二参考答案
一、选择题： ABDCC CDDDC BABBA
二、填空题： 16、3；17、4)2()1(22=+++y x ；18、0.7；19、310-
>x 且56≠x ；20、255 三、解答题：21、5
3；22、略； 23、第一步：将全体教师从1到118编号；
第二步：从118名教师随机剔除6名，重新编号；
第三步：在1-7名中，随机取一个号，设为k,依次取号，k,k+7,k+14,…,k+15*7,由此确定16名教师。

24、略 25、略
2015年河南省普通高中学业水平考试数学模拟试题二参考答案
一、选择题： ABDCC CDDDC BABBA
二、填空题： 16、3；17、4)2()1(22=+++y x ；18、0.7；19、310->x 且5
6≠x ；20、255 三、解答题：21、5
3；22、略； 23、第一步：将全体教师从1到118编号；
第二步：从118名教师随机剔除6名，重新编号；
第三步：在1-7名中，随机取一个号，设为k,依次取号，k,k+7,k+14,…,k+15*7,由此确定16名教师。

24、略 25、略。

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2015年高中数学学业水平考试专题综合检测模拟试卷(二)

2015年高中数学学业水平考试专题综合检测模拟试卷(二)

2 高中学业水平考试《数学》模拟试卷(二 )一、选择题 (本大题共 25 小题，第 1～ 15 题每题 2 分，第 16～ 25 题每题 3 分，共60 分．每题中只有一个选项是切合题意的，不选、多项选择、错选均不得分)1. 会合 M ＝{ a ， c ，d } ， N ＝ { b ， d } ，则 M ∩ N ＝ ()A. ?B.{ d } C. {} D. {}a ， c a ，b ，c ，d 2. 函数 y ＝ lg(1 －x)的定义域是 ( )A. { x | }B. { x |x<1 }C. { x | }D. {x |x>1 }x ≤ 1 x ≥ 13. 以下函数中，既是奇函数又是增函数的是( )311xA. y ＝ xB. y ＝ xC. y ＝ log 3xD. y ＝(2)4. 以下函数中只有一个零点的是 ( )－ 1B. y ＝ x 2－ 1C. y ＝2xD. y ＝ lg xA. y ＝ x5. 已知平面 α和直线 a ， b ， c ，以下条件中，能使 a ∥ b 的是 ()A. a ∥ α， b ∥ αB. a ⊥c ， b ⊥ cC. a ⊥ c ， c ⊥ α ，b ∥ αD. a ⊥ α，b ⊥ α(第 6题)6. 某长方体的正 (主 )视图、侧 ( 左)视图如下图，则该长方体的俯视图的面积是 ( )A. 6B. 8C. 12D. 167. 点 P(4， a)到直线 4x － 3y － 1＝0 的距离等于 3，则实数 a 的值是 ()1 A.2或 7B.0或 10C.7D.108. 圆 x 2＋ y 2－ 2x ＝0 与圆 x 2＋y 2＋ 4y ＝ 0 的地点关系是 ()A. 相离B. 外切C. 订交D. 内切9. 若直线 l 经过第二象限和第四象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是()π π πA.[0，2) ，π ) C. (， π ) D. (0 ，π )B.[ 2210. 已知向量a ＝( x ， 1)，b ＝ (8， 4)，且 a ∥ b ，则 x 的值是 () 1 1A. 2B. 2C. －2D. －211.已知 cos θ＝－πθ等于 ( )3， θ∈ (， π )，则 tan524343A. 3B. 4C. －3D. －412. 函数 y ＝ 2cos x ， x ∈R 的一个单一递加区间是 ()π π π 3πA. (－ ， 2 )B. (0， π ) ，2 C.(2 2 ) D. ( π ， 2π )x 2 y 213. 椭圆 25＋ 9 ＝ 1 的焦点坐标是 ( )A. ( － 3， 0)， (3， 0)B. (－ 4，0)，(4， 0)C. (0，－ 4)， (0， 4)D. (0 ，－ 3)， (0， 3)14. sin 15 cos °75 ＋°cos 15 sin ° 75 等°于 ()13A. 0B. 2C. 2D. 1π15. 为了获得函数 y ＝ sin(2x － 3 )(x ∈ R )的图象，只要把函数 y ＝ sin 2x 的图象上全部的点 ()π个单位长度B. 向右平移 π个单位长度A. 向右平移 36π个单位长度D. 向左平移 π个单位长度C. 向左平移 3 6 16. 在△ ABC 中，若 a ＝ 5 2， c ＝ 10，∠ A ＝ 30°，则∠ B 等于 () A. 105 °B. 60 或° 120 ° C. 15 °D. 105 或° 15°17. 在△ ABC 中， a ＋ b ＝ 13，ab ＝ 40，∠ C ＝60°，则 c 等于 ( )A.129 B. 11 C. 69 D. 718. 不等式 4x 2－ 4x ＋ 1≥ 0 的解集为 ()A.1 B.x x ≥1C.RD. ?22y ≥ 1，19. 当 x ，y 知足条件x － y ≥ 0， 时，目标函数 z ＝x ＋ y 的最小值是 ()x ＋ 2y － 6≤0A. 0B. 2C. 4D. 520. 在等比数列 { a n } 中， S n 表示数列的前n 项和．若 a 3＝ 2S 2＋ 1， a 4＝ 2S 3＋ 1，则公比q 的值等于 ()A. 3B. －3C. －1D.121. 假如若干个函数的图象经过平移后可以重合，则它们为“互为生成”函数，以下函数：()① f 1 (x)＝ sinx ＋ cosx ；② f 2 (x)＝ 2sinx ＋ 2；③ f 3 (x)＝ sinx ；④ f 4 (x)＝ 2(sinx ＋ cosx)．此中“互为生成”函数有 A. ①②B. ①③C. ②④D. ①②④22. 在空间直角坐标系中，设A(1，2，a)，B(2，3，4)，若 |AB|＝3，则实数 a 的值是()A.3 或 5B. －3或－5C.3或－5D. －3或 523. 设 x ∈R ，则 “x>1”是 “x 2>x ”的 ( ) A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足又不用要条件24. 已知 F 1，F 2 是双曲线x 2－ y 2＝ 1 的焦点，点 P 在双曲线上，若点 P 到焦点 F 1 的距16 20离等于 9，则点 P 到焦点 F 2 的距离为 ()A. 1B. 17C.1或 17D. 1625.x 2－ y 2＝ 1 的一条渐近线垂直，则实数k 的值是 ()直线 y ＝ kx ＋ 1 与双曲线 169A. 4或－ 4B. 5或－ 5C. 3或－34或－ 45 5 444 4 D. 3 3二、填空题 (本大题共 5小题，每题 2 分，共 10 分)26. 已知奇函数 f(x)的定义域是 R ，且当 x ∈ [1，5]时，f(x)＝ x 3＋ 1，则 f(－2) ＝________．27. 过点 (0 ，1)且与直线 3x ＋ 5y － 7＝ 0 垂直的直线方程是 ____________ ．π128. 函数 y ＝ 2sin( 3 x ＋ 2)的最小正周期是 ________．29. 若 x ，y 都是正实数，且 x ＋ y ＝ 20，则 xy 的最大值是 ________．x 2 y 230. 过椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的左焦点 F 1 作 x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2 为右焦点． 若∠ F 1PF 2＝ 60°，则椭圆的离心率为 ________．三、解答题 (本大题共 4 小题，第 31， 32 题每题 7 分，第 33， 34 题每题 8 分，共 30分 )131. (此题 7 分 )已知 a ＝ (cos 2α，sin α－ 1)，b ＝ (1，2sin α )，且 a ·b ＝－ 5，求 sin α的值．32. (此题 7 分，有 A 、 B 两题，任选此中一题达成，两题都做，以A 题计分 )(A) 在四棱锥 S － ABCD 中，侧棱 SD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面， E 是 SB 的中点． 求证： (1)SD ∥平面 EAC ； (2)AC ⊥ SB.(B)如图，四边形 ABCD 是正方形， PD ⊥平面 ABCD ， PD＝DC .(1) 求证： AC⊥ PB；(2)求二面角 P－ BC－ A 的大小．33.(此题 8 分 )已知抛物线 y2＝－ x 与直线 y＝ k(x＋ 1)订交于 A，B 两点．(1)求证： OA⊥ OB；(2) 当△ AOB 的面积等于10时，求 k 的值．34. (此题 8 分 )已知奇函数x＋ b的定义域为1. f( x)＝2R ，f(1)＝x ＋ a2(1)务实数 a，b 的值；(2)求证：函数 f(x)在区间 (－ 1， 1)上为增函数．2 2014 高中学业水平考试《数学》模拟试卷(二 )1. B2. B3.A4.D5.D6.B7. C8. C9. A 10. A 11. D 12. B 13. D 14. A15. B 16. D 17. D 18. C 19. B 20. A21. C 22. A 23. AF 1 的最小值为10，所以，点24. B [ 提示：假定 F 1 为左焦点，则双曲线右支上的点到 P 必在双曲线左支上，所以 P 到焦点 F 2 的距离为 9＋ 8＝ 17.]25. D 26. － 9 27. 5x － 3y ＋ 3＝ 0 28. 6 29. 10030.3 [ 提示：由题意，在 Rt △ PF 1F 2 中， |PF 1 |＝ 23c ，|PF 2|＝43c ，所以 23c33 33＋ 4c ＝ 333c ＝ 2a ，得 a3 .]12231. 解：a ·b ＝－ 5cos 2α＋ 2sin α (sin α－ 1)＝ 1－ 2sin α ＋ 2sin α － 2sin α ＝ 1－ 2sinα ＝－ 1，∴ sin α ＝ 3.5 532. (A) 证明： (1) 连结 BD 交 AC 于点 O ，连结 EO ，则 O 是 BD 的中点，∴ EO ∥ SD.∵ EO?平面 EAC ，∴ SD ∥平面 EAC. (2)∵ SD ⊥平面 ABCD ，∴ SD ⊥ AC ，又 BD ⊥ AC ， SD ∩ BD ＝ D ，∴ AC ⊥平面 SDB ，∴ AC ⊥ SB.(B)(1) ∵PD ⊥平面 ABCD ，∴ PD ⊥ AC.又∵ BD ⊥ AC ，PD ∩ BD ＝ D ，∴AC ⊥平面 PDB ，∴ AC ⊥ PB. (2) 以射线 DC ，DA ，DP 分别为 x ，y ，z 轴正方向，成立空间直角坐标系，令 AD→ →＝ 1，则 CB ＝ (0，1，0)，PC ＝ (1，0，－ 1)，∴平面 PBC 的一个法向量为 (1，0， 1)．又∵平面 ABCD 的一个法向量为 (0，0， 1)，∴ cos θ＝1 ＝2，∴二面角 P －BC －A 的大小为 45°.2 233. 解：(1) 设 A(x 1 ，y 1 ), B(x 2，y 2)， y 2＝－ x? ky 2＋ y － k ＝ 0? y 1＋ y 2＝－ 1，y 1·y 2y ＝ k （x ＋ 1） k2→ → (2)直线 y ＝ k(x＝－ 1，∴ x 1· x 2＝ (y 1y 2) ＝ 1，∴ x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0，∴ OA · OB ＝ 0，即 OA ⊥ OB. 1 1 2＝ 1 1 1 ＋ 1)恒过定点 (－ 1， 0)，∴ S △AOB ＝ |y 1－ y 2|＝ 2（ y 1＋ y 2） － 4y 1y 2 2 2＋ 4＝ 10? k ＝ ± .2 k6 34. 1 ＝ 1，∴ a ＝ 1.解： (1) 由题意， f(0) ＝ 0，∴ b ＝ 0， f(1) ＝1＋ a 2(2) 证 明 ： 设 x 1 ， x 2 ∈ ( － 1 ， 1) ， 且 x 1<x 2 ， 则 f(x 1) － f(x 2) ＝ x 1 x 1 x 22＋ 1 －x 2 2＋1＝x 1（ x 22＋ 1）－ x 2（ x 12＋ 1） x 1 x 22－ x 2x 12＋ x 1－ x 2（ x 2＋ 1）（ x 2＋ 1） ＝ （ x 2＋ 1）（ x 2＋ 1）1 21 2（ 1－ x 1x 2）（ x 1－ x 2）22＝ （ x 2 ＋ 1）（ x 2＋ 1） .∵ x 1x 2∈ ( － 1，1)，∴ 1－ x 1x 2>0， x 1－ x 2<0， x 1 ＋ 1>0 ， x 2 ＋1 21>0 ，∴ f(x 1)－ f(x 2)<0，即 f(x 1)< f(x 2)，∴ f(x)在区间 (－1， 1)上为增函数．。

数学_2015年河南省郑州市高考数学二模试卷(文科)(含答案)

数学_2015年河南省郑州市高考数学二模试卷(文科)(含答案)

2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）一.选择题 1. 已知复数z =1+2i 2−i（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A −1B 0C 1D i2. 集合U ＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，A ＝{2, 3}，B ＝{x ∈Z|x 2−6x +5<0}，则∁U (A ∪B)＝（ ）A {1, 5, 6}B {1, 4, 5, 6}C {2, 3, 4}D {1, 6}3. “a ＝1“是“直线ax +y +1＝0与直线(a +2)x −3y −2＝0垂直”的（ ）A 充要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分也不必要条件4. 已知甲，乙两组数据如茎叶图所示，若他们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m ，n 的比值mn =( )A 1B 13 C 38 D 295. 将函数f(x)＝cosx −√3sinx(x ∈R)的图象向左平移a(a >0)个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则a 的最小值是（ ） A π12B π6C π3D 5π66. 已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30∘C ，则该双曲线的标准方程为（ ）A x 29−y 227=1 B y 29−x 227=1 C y 212−x 224=1 D y 224−x 212=17. 已知a ，b ，c 分别是△内角A ，B ，C 的对边，且(b −c)(sinB +sinC)＝(a −√3c)⋅sinA ，则角B 的大小为（ ）A 30∘B 45∘C 60∘D 120∘8. 执行如图所示的程序图，输出的S 值是（ ）A √22 B −1 C 0 D −1−√229. 若正数a ，b 满足2+log 2a ＝3+log 3b ＝log 6(a +b)，则1a +1b 的值为（ ）A 36B 72C 108D 17210. 如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（ ）A 8πB 16πC 32πD 64π11. 已知函数f(x)={x +2,x >ax 2+5x +2,x ≤a ，函数g(x)＝f(x)−2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A [−1, 1)B [0, 2]C [−2, 2)D [−1, 2) 12. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两焦点分别是F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于P ，Q 两点，若|PF 2|＝|F 1F 2|，且2|PF 1|＝3|QF 1|，则椭圆的离心率为（ ） A 35 B 45 C 34 D 3√25二.填空题13. 设等比数列{a n }的前n 项和为S ，若27a 3−a 4=0，则S4S 5=________．14. 如图，y ＝f(x)是可导函数，直线l:y ＝kx +2是曲线y ＝f(x)在x ＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________．15. 已知实数x ，y 满足{2x +y ≥0x −y ≥00≤x ≤a ，设b ＝x −2y ，若b 的最小值为−2，则b 的最大值为________．16. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2BC ＝4，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE ．若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻转过程中，正确的命题是________． ①|BM|是定值； ②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE ⊥A 1C ；④一定存在某个位置，使MB // 平面A 1DE ．三.解答题17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −2． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =log 2a 1+log 2a 2+...+log 2a n ，求使(n −8)b n ≥nk 对任意n ∈N ∗恒成立的实数k 的取值范围． 18.最近高考改革方案已在上海和江苏开始实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z =2y ．(1)现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？(2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少有一名教师被选出的概率．19. 如图，已知三棱柱ABC −ABC 侧棱柱垂直于底面，AB ＝AC ，∠BAC ＝90∘，点M ，N 分别为A′B 和B′C′的中点．（1）证明：MN // 平面AA′C′C ；（2）设AB ＝λAA′，当λ为何值时，CN ⊥平面A′MN ，试证明你的结论． 20. 设椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2为椭圆C 左右焦点，B 为短轴端点，且S △BF 1F 2=4，离心率为√22，O 为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点M 、N ，且满足|OM →+ON →|＝|OM →−ON →|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由 21. 已知函数f(x)=ax −1+lnx ，其中a 为常数．(1)当a ∈(−∞, −1e )时，若f(x)在区间(0, e)上的最大值为−4，求a 的值；(2)当a =−1e 时，若函数g(x)=|f(x)|−lnx x−b2存在零点，求实数b 的取值范围．四.选做题：选修4-1：集合证明选讲22. 如图，已知圆O 是△ABC 的外接圆，AB ＝BC ，AD 是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径．过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ． (Ⅰ)求证：AC ⋅BC ＝AD ⋅AE ； (Ⅱ)若AF ＝2，CF ＝2√2，求AE 的长．选做题：4-4：坐标系与参数方程23. 在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为{x =√3cosα+sinαy =2√3sinαcosα−2sin 2α+2（α为参数），若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=√22t （t 为参数）． (Ⅰ)求曲线M 和N 的直角坐标方程；(Ⅱ)若曲线N 与曲线M 有公共点，求t 的取值范围．不等式选讲24. 已知函数f(x)＝|3x +2|． (Ⅰ)解不等式f(x)<4−|x −1|；(Ⅱ)已知m >0，n >0，m +n ＝1，若对任意的x ∈R ，m >0，n >0不等式|x −a|−f(x)≤1m+1n(a >0)恒成立，求正数a 的取值范围．2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）答案1. C2. A3. B4. C5. B6. B7. A8. D9. C10.11. D12. A13. 2657271945314. 015. 1016. ①②④17. 解：(1)由S n=2a n−2，当n=1时，求得：a1=2，当n≥2时，a n=S n−S n−1=2a n−2a n−1，所以：a na n−1=2（常数），所以：数列{a n}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列．所以：a n=2⋅2n−1=2n．(2)已知：b n=log2a1+log2a2+...+log2a n，=1+2+3+...+n=n(n+1)2，由于(n−8)b n≥nk对任意n∈N∗恒成立，所以(n−8)(n+1)2≥k对任意的n∈N∗恒成立．设c n=(n−8)(n+1)2=(n−72)2−8142，又n∈N∗，故当n=3或4时，c n取最小值为−10．所以：k≤−10．18. 解：(1)由题意x500=0.3，解得x=150，所以y+z=60；又因为z=2y，所以y=20，z=40，则应抽取的教师人数为50500×20=2，应抽取的学生人数为50500×40=4；(2)所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a、b，4名学生记为1，2，3，4，随机选出三人的不同选法有(a、b、1)，(a、b、2)，(a、b、3)，(a、b、4)，(a、1、2)，(a、1、3)，(a、1、4)，(a、2、3)，(a、2、4)，(a、3、4)，(b、1、2)，(b、1、3)，(b、1、4)，(b、2、3)，(b、2、4)，(b、3、4)，(1、2、3)，(1、2、4)，(1、3、4)，(2、3、4)共20种，至少有一名教师的选法有(a、b、1)，(a、b、2)，(a、b、3)，(a、b、4)，(a、1、2)，(a、1、3)，(a、1、4)，(a、2、3)，(a、2、4)，(a、3、4)，(b 、1、2)，(b 、1、3)，(b 、1、4)，(b 、2、3)，(b 、2、4)，(b 、3、4)共16种， 所以至少有一名教师被选出的概率为P =1620=45．19. 证明：设A′B′的中点为E ，连接EM ，EN ， ∵ 点M ，N 分别为A′B 和B′C′的中点， ∴ NE // A′C′，ME // AA′，又∵ A′C′⊂平面ACC′A′，AA′⊂平面ACC′A′， ∴ NE // 平面ACC′A′，ME // 平面ACC′A′， ∵ NE ∩ME ＝E ，∴ 面EMN // 面ACC′A′， ∵ MN ⊂面EMN ， ∴ MN // 面ACC′A′；连接BN ，设AA′＝a ，AB ＝λAA′＝λa ，由题意知，BC =√2λa ，BN ＝CN =√C ′C 2+C ′N 2=√a 2+12λ2a 2，∵ 三棱柱ABC −A′B′C′侧棱垂直于底面， ∴ 面A′B′C′⊥面BB′C′C ，∵ AB ＝AC ，∠BAC ＝90∘点N 为B′C′的中点， ∴ A′N ⊥平面BB′C′C ，∴ CN ⊥A′N ，要使CN ⊥平面A′MN ，只需CN ⊥BN 即可，∴ CN 2+BN 2＝BC 2，即2(a 2+12λ2a 2)=2λ2a 2，∴ λ=√2， 则λ=√2时，CN ⊥平面A′MN ．20. （1）∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 由题意可得，S △BF 1F 2=12⋅2c ⋅b ＝4，e =ca =√22，且a 2＝b 2+c 2；联立解得，{a 2=8b 2=4；故椭圆C 的方程为x 28+y 24=1；（2）假设存在圆心在原点的圆x 2+y 2＝r 2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点M 、N ， ∵ |OM →+ON →|＝|OM →−ON →|， ∴ OM →⋅ON →=0；设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y ＝kx +m ， 解方程组{y =kx +m x 28+y 24=1得，(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8＝0，则△＝(4km)2−4(1+2k 2)(2m 2−8)＝8(8k 2−m 2+4)>0； 即8k 2−m 2+4>0； ∴ x 1+x 2=−4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2；y 1y 2＝(kx 1+m)(kx 2+m)＝k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−8k 21+2k 2；要使OM →⋅ON →=0， 故x 1x 2+y 1y 2＝0； 即2m 2−81+2k 2+m 2−8k 21+2k 2=0；所以3m 2−8k 2−8＝0，所以3m 2−8≥0且8k 2−m 2+4>0； 解得m ≥2√63或m ≤−2√63； 因为直线y ＝kx +m 为圆心在原点的圆的一条切线， 所以圆的半径为r =√1+k 2，r 2=m 21+k 2=83(1+k 2)1+k 2=83；故r =2√63； 即所求圆的方程为x 2+y 2=83； 此时圆的切线y ＝kx +m 都满足m ≥2√63或m ≤−2√63； 而当切线的斜率不存在时切线为x ＝±2√63与椭圆x 28+y 24=1的两个交点为(2√63, ±2√63)，(−2√63, ±2√63)； 满足OM →⋅ON →=0，综上所述，存在圆心在原点的圆x 2+y 2=83满足条件．21. 解：(1)由题意令f′(x)=a +1x=0，解得x =−1a．∵ a ∈(−∞, −1e )，∴ 0<−1a <e ， 令f ′(x)>0，解得0<x <−1a ；令f ′(x)<0，解得−1a <x <e ，∴ 函数在(0, −1a )上单调递增，在(−1a , e)上单调递减， ∴ x =−1a 时，函数取得最大值，∴ −1−1+ln(−1a)=−4，∴ a =−e 2． (2)由题意，|f(x)|=lnx x+b2有实数根．当a =−1e时，f(x)=−x e−1+lnx ，f′(x)=−x−e ex，0<x <e 时，f′(x)>0，x >e 时，f′(x)<0， ∴ f(x)的单调增区间为(0, e)，减区间为(e, +∞)， ∴ f(x)max =f(e)=−1， ∴ |f(x)|≥1， 令ℎ(x)=lnx x+b 2，则ℎ′(x)=1−lnx x 2，0<x <e 时，ℎ′(x)>0，x >e 时，ℎ′(x)<0， ∴ ℎ(x)的单调增区间为(0, e)，减区间为(e, +∞)， ∴ ℎ(x)max =ℎ(e)=1e +b2， ∵ |f(x)|=lnx x+b2有实数根．∴ ℎ(x)max =ℎ(e)=1e+b 2≥1， ∴ b ≥2−2e ．22. 证明：(I)如图所示，连接BE ． ∵ AE 是⊙O 的直径，∴ ∠ABE ＝90∘．又∠E 与∠ACB 都是AB̂所对的圆周角， ∴ ∠E ＝∠ACB ．∵ AD ⊥BC ，∠ADC ＝90∘． ∴ △ABE ∽△ADC ， ∴ AB:AD ＝AE:AC ，∴ AB ⋅AC ＝AD ⋅AE ． 又AB ＝BC ，∴ BC ⋅AC ＝AD ⋅AE ． (II)∵ CF 是⊙O 的切线， ∴ CF 2＝AF ⋅BF ，∵ AF ＝2，CF ＝2√2，∴ (2√2)2＝2BF ，解得BF ＝4． ∴ AB ＝BF −AF ＝2．∵ ∠ACF ＝∠FBC ，∠CFB ＝∠AFC ， ∴ △AFC ∽△CFB ， ∴ AF:FC ＝AC:BC ， ∴ AC =AF⋅BC CF=√2．∴ cos∠ACD =√24， ∴ sin∠ACD =√144=sin∠AEB ，∴ AE =ABsin∠AEB=4√14723. （1）由x =√3cosα+sinα，得x 2＝2cos 2α+2√3sinαcosα+1， 所以曲线M 可化为y ＝x 2−1，x ∈[−2, 2]，由ρsin(θ+π4)=√22t ， 得√22ρsinθ+√22ρcosθ=√22t ， 所以ρsinθ+ρcosθ＝t ， 所以N 可化为x +y ＝t ，（2）若曲线N 与曲线M 有公共点，则当直线N 过点(2, 3)时，满足要求，此时t ＝5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立{x +y =t y =x 2−1 得x 2+x −1−t ＝0， △＝1+4(1+t)＝0，解得t =−54，综上可得t 的取值范围−54≤t ≤5．24. （1）不等式f(x)<4−|x −1|，即|3x +2|+|x −1|<4，∴ {x <−23−3x −2−x +1<4 ①，或{−23≤x <13x +2+1−x <4 ②，或 {x ≥13x +2+x −1<4 ③．解①求得−54<x <−23，解②求得−23≤x <12，解③求得x ∈⌀． 综上可得，不等式的解集为(−54, 12)．（2）已知m+n＝1(m, n>0)，∴ 1m +1n=(m+n)(1m+1n)＝2+nm+mn≥2+2＝4，当且仅当m＝n=12时，取等号．再根据|x−a|−f(x)≤1m +1n(a>0)恒成立，可得|x−a|−f(x)≤4，即|x−a|−|3x+2|≤4．设g(x)＝|x−a|−|3x+2|={2x+2+a,x<−23−4x−2+a,−23≤x≤a−2x−2−a,x>a ，故函数g(x)的最大值为g(−23)=23+a，再由23+a≤4，求得0<a≤103．。

河南省开封市2015届高三数学二模试卷(文科) Word版含解析

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河南省开封市2015届高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合U={1，2，3，4，5，6}，N={1，4，5}，M={2，3，4}，则N∩（?UM）=( ) A．{1，4，5} B．{1，5} C．{4} D．{1，2，3，4，5} 2．已知复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i（a∈R），则“a=1”是“z为纯虚数”的( ) A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分又非必要条件 3．若向量=（1，2），=（﹣3，4），则（?）?（+）等于( ) A．20 B．（﹣10，30）C．54 D．（﹣8，24） 4．过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（ y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是( ) A．x﹣2y+3=0 B．2x+y﹣4=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣3=0 5．某几何体的三视图如图所示，侧视图、俯视图都是边长为1 的正方形，则此几何体的外接球的表面积为( ) A．3πB．4πC．2πD． 6．若，，，则cos（α+β）的值等于( ) A．B．C．D． 7．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃）： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24； ③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.2． 则肯定进入夏季的地区有( ) A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个 8．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 9．若函数，则f（x）的最大值是( ) A．1 B．2 C．D． 10．三棱锥S﹣ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，则以下结论中： ①异面直线SB与AC所成的角为90°． ②直线SB⊥平面ABC； ③平面SBC⊥平面SAC； ④点C到平面SAB的距离是a． 其中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，双曲线C2的方程为=1，C1与C2的离心率之积为，则C1、C2的离心率分别为( ) A．，3 B．C．，2 D． 12．已知函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf ′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）?f（30.3），b=（logπ3）?f（log π3），c=（log3）?f（log3），则 a，b，c的大小关系是( ) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．设实数x、y 满足，则z=2x+3y﹣1的最大值是__________． 14．若函数f（x）=1oga（x+﹣1）（a＞0且a≠1）的定义域为（0，+∞），则实数a的取值范围是__________． 15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=π，sinA=，c﹣a=5﹣，则b=__________． 16．已知，是单位向量，?=0，若向量与向量、共面，且满足|﹣﹣|=1，则||的取值范围是__________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17．等差数列{an}中公差d≠0，a1=3，a1、a4、a13成等比数列． （Ⅰ）求an； （Ⅱ）设{an}的前n项和为Sn，求：． 18．某种产品按质量标准分成五个等级，等级编号x依次为1，2，3，4，5，现从一批产品中随机抽取20件，对其等级编号进行统计分析，得到频率分布表如下： x 1 2 3 4 5 频率 a 0.3 0.35 b c （1）若所抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有2件，等级编辑为5的恰有4件，求a，b，c的值． （2）在（1）的条件下，将等级编辑为4的2件产品记为x1、x2，等级编辑为5的4件产品记为y1，y2，y3，y4，现从x1、x2，y1，y2，y3，y4，这6件产品中任取两件（假定每件产品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率． 19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC． （Ⅰ）求证：AC⊥BB1； （Ⅱ）若P是棱B1C1的中点，求平面PAB将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成的两部分体积之比．撸啊． 20．已知函数f（x）=[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]ex（其中a∈R）． （Ⅰ）若x=0为f（x）的极值点，求a的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，解不等式． 21．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线于点M，当|FD|=2时，∠AFD=60°． （1）求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程； （2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x1值． 【选修4-1：几何证明选讲】 22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC 边的中点，连接OD交圆O于点M． （1）求证：O、B、D、E四点共圆； （2）求证：2DE2=DM?AC+DM?AB． 【选修4-4：坐标系与参数方程】 23．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）． （1）求直线I被曲线C所截得的弦长； （2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值． 【选修4-5：不等式选讲】 24．已知函数f（x）=|x﹣1| （Ⅰ）解不等式f（2x）+f（x+4）≥8； （Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：． 河南省开封市2015届高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合U={1，2，3，4，5，6}，N={1，4，5}，M={2，3，4}，则N∩（?UM）=( ) A．{1，4，5} B．{1，5} C．{4} D．{1，2，3，4，5} 考点：交、并、补集的混合运算． 专题：集合． 分析：根据集合的基本运算求解即可． 解答：解：∵U={1，2，3，4，5，6}，N={1，4，5}，M={2，3，4}， ∴N∩（?UM）={1，4，5}∩{1，5，6}={1，5}， 故选：B 点评：本题主要考查集合关系的应用，比较基础． 2．已知复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i（a∈R），则“a=1”是 “z为纯虚数”的( ) A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分又非必要条件 考点：复数的基本概念． 专题：计算题． 分析：当a=1时，复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i=﹣i，是一个纯虚数；当z为纯虚数时，a=±1，不能推出a=1． 解答：解：当a=1时，复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i=﹣i，是一个纯虚数． 当复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i=﹣i是一个纯虚数时，a2﹣1=0 且a﹣2≠0，a=±1，故不能推出a=1． 故“a=1”是“z为纯虚数”的充分非必要条件，故选A． 点评：本题考查复数的基本概念，充分条件、必要条件的定义，是一道基础题． 3．若向量=（1，2），=（﹣3，4），则（?）?（+）等于( ) A．20 B．（﹣10，30）C．54 D．（﹣8，24） 考点：平面向量数量积的运算． 专题：计算题． 分析：根据所给的条件，首先要写出两个向量的数量积和两个向量的和的坐标，再进行数乘运算，本题是一个实数和一个向量的积的运算． 解答：解：∵， ， ∴． 故选B． 点评：本题考查向量的数量积，考查向量的和的运算，考查向量的数乘运算，是一个基础题，没有易错点，是一个送分题目． 4．过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（ y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是( ) A．x﹣2y+3=0 B．2x+y﹣4=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣3=0 考点：直线与圆相交的性质． 专题：计算题；直线与圆． 分析：当直线AB与直线CM垂直时，∠ACB最小，由M与C的坐标求出直线CM的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线AB的斜率，由M坐标与求出的斜率即可得出此时直线l的方程． 解答：解：将圆的方程化为标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25， ∴圆心坐标C为（3，4）， ∵M（1，2）， ∴kCM==1， ∴kAB=﹣1， 则此时直线l的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+y﹣3=0． 故选：D． 点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．根据题意得出当直线AB与直线CM垂直时∠ACB最小是解本题的关键． 5．某几何体的三视图如图所示，侧视图、俯视图都是边长为1 的正方形，则此几何体的外接球的表面积为( ) A．3πB．4πC．2πD． 考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离． 分析：如图所示，该几何体是一个直三棱柱，其左侧面与底侧面都是边长为1的正方形且相互垂直，其外接球的直径2R=，即可得出． 解答：解：如图所示，该几何体是一个直三棱柱，其左侧面与底侧面都是边长为1的正方形且相互垂直， 其外接球的直径2R=， ∴外接球的表面积S==3π． 故选：A． 点评：本题考查了三棱柱的三视图及其外接球的表面积，属于基础题． 6．若，，，则cos（α+β）的值等于( ) A．B．C．D． 考点：两角和与差的余弦函数． 分析：先根据α、β的范围确定、的范围，再由所给的三角函数值确定α+β的大小，进而可得答案． 解答：解：由， 则，， 又，， 所以， 解得，所以cos（α+β）=， 故选B． 点评：本题主要考查求三角函数值的问题，这里一定要注意角的取值范围． 7．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃）： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24； ③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.2． 则肯定进入夏季的地区有( ) A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个 考点：众数、中位数、平均数． 专题：概率与统计． 分析：根据数据的特点进行估计出甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案． 解答：解：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22， 根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22，22，24，25，26． 其连续5天的日平均温度均不低于22． ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24．当5个数据为19，20，27，27，27可知其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定． ③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，则取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22． 则肯定进入夏季的地区有甲、丙三地． 故选：C． 点评：本题考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，简单的合情推理，解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答、取特值即可． 8．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 考点：选择结构． 专题：图表型；分类讨论． 分析：由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分x≤2，2＜x≤5，x＞5三种情况分别讨论，满足输入的x值与输出的y值相等的情况，即可得到答案． 解答：解：当x≤2时，由x2=x得：x=0，1满足条件； 当2＜x≤5时，由2x﹣3=x得：x=3，满足条件； 当x＞5时，由=x得：x=±1，不满足条件， 故这样的x值有3个． 故选C． 点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，我们要先分析流程图（或伪代码）判断其功能，并将其转化为数学问题，建立数学模型后，用数学的方法解答即可得到答案． 9．若函数，则f（x）的最大值是( ) A．1 B．2 C．D． 考点：同角三角函数基本关系的运用． 分析：先对函数f（x）=（1+tanx）cosx进行化简，再根据x的范围求最大值． 解答：解：f（x）=（1+tanx）cosx=cosx+sinx=2sin（x+） ∵0≤x，∴≤x+ ∴f（x）∈[1，2] 故选B． 点评：本题主要考查三角函数求最值问题．一般都是先将函数式进行化简再求值，这里一定要注意角的取值范围． 10．三棱锥S﹣ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，则以下结论中： ①异面直线SB与AC所成的角为90°． ②直线SB⊥平面ABC； ③平面SBC⊥平面SAC； ④点C到平面SAB的距离是a． 其中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 考点：平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角． 专题：空间位置关系与距离． 分析：由条件根据异面直线所成的角，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，平面和平面垂直的判定定理，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 解答：解：由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，故①正确； 再根据SB⊥AC、SB⊥AB，可得SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，故②③正确； 取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离a，④正确， 故选：D． 点评：本题主要考查异面直线所成的角，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，平面和平面垂直的判定定理的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题． 11．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，双曲线C2的方程为=1，C1与C2的离心率之积为，则C1、C2的离心率分别为( ) A．，3 B．C．，2 D． 考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程． 解答：解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，C1的离心率为：， 双曲线C2的方程为=1，C2的离心率为：， ∵C1与C2的离心率之积为， ∴=， ∴（）2=，， 则C1的离心率==则C2的离心率：==故选：B． 点评：本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查． 12．已知函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf ′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）?f（30.3），b=（logπ3）?f（log π3），c=（log3）?f（log3），则 a，b，c的大小关系是( ) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b 考点：函数单调性的性质；导数的运算；不等式比较大小． 专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：由函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，知f（x）为奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立，所以xf（x）为减函数，由此能判断a，b，c的大小关系． 解答：解：∵当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，即：（xf（x））′＜0， ∴xf（x）在（﹣∞，0）上是减函数． 又∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称， ∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称， ∴函数y=f（x）是定义在R上的奇函数 ∴xf（x）是定义在R上的偶函数 ∴xf（x）在（0，+∞）上是增函数． 又∵30.3＞1＞log23＞0＞=﹣2， 2=﹣， ∴（﹣）f（﹣）＞30.3?f（30.3）＞（logπ3）?f（logπ3），即（）f（）＞30.3?f （30.3）＞（logπ3）?f（logπ3） 即：c＞a＞b 故选B． 点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的合理运用． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．设实数x、y 满足，则z=2x+3y﹣1的最大值是9． 考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 解答：解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分）， 由z=2x+3y﹣1，得y=+， 平移直线y=+，由图象可知当直线y=+， 经过点B时，直线y=+截距最大，此时z最大． 由，解得， 即B（2，2）． 此时z的最大值为z=2×2+3×2﹣1=9， 故答案为：9． 点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 14．若函数f（x）=1oga（x+﹣1）（a＞0且a≠1）的定义域为（0，+∞），则实数a的取值范围是a＞，a≠1． 考点：对数函数的图像与性质． 专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：函数f（x）=1oga（x+﹣1）（a＞0且a≠1）的定义域为（0，+∞）可化为x+﹣1＞0在（0，+∞）上恒成立；从而得到2＞1；从而解得． 解答：解：由题意，x+﹣1＞0在（0，+∞）上恒成立， 而x+≥2； （当且仅当x=，即x=时，等号成立） 故2＞1； 故a＞，a≠1； 故答案为：a＞，a≠1． 点评：本题考查了基本不等式的应用及恒成立问题，属于基础题． 15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=π，sinA=，c﹣a=5﹣，则b=． 考点：余弦定理；正弦定理． 专题：计算题；解三角形． 分析：由已知可求得cosA，sinB，sinC，由正弦定理得=，又因为c﹣a=5﹣，从而可求得a，即可由正弦定理求b=的值． 解答：解：因为C=π，sinA=， 所以cosA==， 由三角形内角和得B=， 所以sinB=sin（）=sincosA﹣cossinA==， 已知C=，所以sinC=， 由正弦定理得=， 又因为c﹣a=5﹣， 所以c=5，a=， 由sinB=， 所以b===， 故答案为：． 点评：本题主要考查了正弦定理、两角差的正弦公式的应用，属于基本知识的考查． 16．已知，是单位向量，?=0，若向量与向量、共面，且满足|﹣﹣|=1，则||的取值范围是[﹣1，+1]． 考点：平面向量数量积的运算． 专题：计算题；平面向量及应用． 分析：由，是单位向量，?=0．可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），由向量满足|﹣+|=1，可得（x﹣1）2+（y+1）2=1．其圆心C（1，﹣1），半径r=1．利用|OC|﹣r≤||=≤|OC|+r即可得出． 解答：解：由，是单位向量，?=0， 可设=（1，0），=（0，1），=（x，y）， ∵向量满足|﹣+|=1， ∴|（x﹣1，y+1）|=1， ∴=1，即（x﹣1）2+（y+1）2=1． 其圆心C（1，﹣1），半径r=1． ∴|OC|=． ∴﹣1≤||=≤+1． ∴||的取值范围是[﹣1，+1]． 故答案为：[﹣1，+1]． 点评：本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17．等差数列{an}中公差d≠0，a1=3，a1、a4、a13成等比数列． （Ⅰ）求an； （Ⅱ）设{an}的前n项和为Sn，求：． 考点：数列的求和；等比数列的通项公式；等比数列的性质． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（I）a1、a4、a13成等比数列．可得，利用等差数列的通项公式可得（3+3d）2=3（3+12d），解出即可． （II）由（I）可得：Sn==n（n+2），．利用“裂项求和”即可得出． 解答：解：（I）∵a1、a4、a13成等比数列． ∴， ∴（3+3d）2=3（3+12d）， 化为d2﹣2d=0，d≠0， 解得d=2． ∴an=3+2（n﹣1）=2n+1． （II）由（I）可得：Sn==n（n+2）， ∴． ∴=++…+=．=﹣． 点评：本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了计算能力，属于基础题． 18．某种产品按质量标准分成五个等级，等级编号x依次为1，2，3，4，5，现从一批产品中随机抽取20件，对其等级编号进行统计分析，得到频率分布表如下： x 1 2 3 4 5 频率 a 0.3 0.35 b c （1）若所抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有2件，等级编辑为5的恰有4件，求a，b，c的值． （2）在（1）的条件下，将等级编辑为4的2件产品记为x1、x2，等级编辑为5的4件产品记为y1，y2，y3，y4，现从x1、x2，y1，y2，y3，y4，这6件产品中任取两件（假定每件产品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率． 考点：古典概型及其概率计算公式． 专题：概率与统计． 分析：（1）由频率分布表得a+0.3+0.35+b+c=1，b==0.1，c==0.2，由此能求出结果． （2）从产品x1，x2，y1，y2，y3，y4中任取两件，所有可能的结果共15个，利用列举法能写出所有可能结果，设A表示“从x1、x2，y1，y2，y3，y4，这6件产品中任取两件这两件产品的等级编号恰好相同”A包含的基本事件7个，由此能求出结果． 解答：解：（1）由频率分布表得a+0.3+0.35+b+c=1， 即a+b+c=0.35， ∵抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有2件， ∴b==0.1， 等级编号为5的恰有4件，∴c==0.2， ∴a=0.35﹣b﹣c=0.05． 故a=0.05，b=0.10，c=0.20． （2）从产品x1，x2，y1，y2，y3，y4中任取两件， 所有可能的结果为： {x1，x2}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x1，y3}，{x1，y4}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x2，y3}， {x2，y4}，{y1，y2}，{y1，y3}，{y1，y4}，{y2，y3}，{y2，y4}，{y3，y4}，共15个． 设A表示“从x1、x2，y1，y2，y3，y4，这6件产品中任取两件这两件产品的等级编号恰好相同” 则A包含的基本事件为： {x1，x2}，{y1，y2}，{y1，y3}，{y1，y4}，{y2，y3}，{y2，y4}，{y3，y4}，共7个， 故所求概率为：p=． 点评：本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要注意列举法的合理运用． 19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC． （Ⅰ）求证：AC⊥BB1； （Ⅱ）若P是棱B1C1的中点，求平面PAB将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成的两部分体积之比．撸啊． 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系． 专题：空间位置关系与距离． 分析：（Ⅰ）由已知得平面ABB1A1⊥平面ABC，从而AB⊥AC，进而AC⊥平面ABB1A1，由此能证明AC⊥BB1． （Ⅱ）设平面PAB与棱A1C1交于Q，连结AQ，PQ，将棱台C1PQ﹣ABC还原为棱锥S﹣ABC，由此能求出平面PAB将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成的两部分体积之比． 解答：（Ⅰ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中， ∵A1B⊥平面ABC，A1B?平面ABB1， ∴平面ABB1A1⊥平面ABC， ∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB，AB⊥AC， ∴AC⊥平面ABB1A1， ∴AC⊥BB1． （Ⅱ）解：设平面PAB与棱A1C1交于Q， ∵P为棱B1C1的中点，∴Q为棱A1C1的中点， 连结AQ，PQ， 设三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为S，高为h，体积为V， 则Sh=V， 如图，将棱台C1PQ﹣ABC还原为棱锥S﹣ABC， 解得=V，=V﹣=， ∴平面PAB将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成的两部分体积之比为：=． 点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查两个几何体的体积之比的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 20．已知函数f（x）=[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]ex（其中a∈R）． （Ⅰ）若x=0为f（x）的极值点，求a的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，解不等式． 考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用． 分析：（Ⅰ）求导f′（x）=[ax2+（a2+1）x+a]ex，从而可得a=0； （Ⅱ）当a=0时，不等式可化为（x﹣1）ex＞（x﹣1）（x2+x+1），即（x﹣1）（ex﹣（x2+x+1））＞0，令g（x）=ex﹣（x2+x+1），h（x）=g′（x）=ex﹣x﹣1，从而由导数解不等式． 解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]ex． ∴f′（x）=[ax2+（a2+1）x+a]ex， ∵x=0为f（x）的极值点， ∴f′（0）=a?e0=0， ∴a=0； 经检验成立； （Ⅱ）当a=0时，不等式可化为 （x﹣1）ex＞（x﹣1）（x2+x+1）， 即（x﹣1）（ex﹣（x2+x+1））＞0， 令g（x）=ex﹣（x2+x+1），h（x）=g′（x）=ex﹣x﹣1， h′（x）=ex﹣1； 当x＞0时，h′（x）=ex﹣1＞0，当x＜0时，h′（x）=ex﹣1＜0； 故h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， 所以h（x）＞h（0）=0； 故g（x）在R上单调递增，且g（0）=0； 故ex﹣（x2+x+1）＞0，x＞0； ex﹣（x2+x+1）＜0，x＜0； 所以原不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}． 点评：本题考查了导数的综合应用及不等式的解法的应用，属于中档题． 21．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线于点M，当|FD|=2时，∠AFD=60°． （1）求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程； （2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x1值． 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程． 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：（1）设，则A处的切线方程为，即可得到得D，Q的坐标，利用两点间的距离公式即可得到|FQ|=|AF|．由点A，Q，D的坐标可知：D为线段AQ的中点，利用等腰三角形的性质可得FD⊥AQ，可得|AF|，利用两点间的距离概率及点A满足抛物线的方程即可得出． （2）设B（x2，y2）（x2＜0），则B处的切线方程为，与切线l1的方程联立即可得到点P 的坐标，同理求出点M，N的坐标．进而得到三角形PMN的面积（h为点P到MN的距离），利用表达式及其导数即可得到最小值，即可得出x1的值． 解答：解：（1）设，则A处的切线方程为， 可得：， ∴； ∴△AFQ为等腰三角形． 由点A，Q，D的坐标可知：D为线段AQ的中点， ∴|AF|=4，得： ∴p=2，C：x2=4y． （2）设B（x2，y2）（x2＜0），则B处的切线方程为 联立得到点P，联立得到点M． 同理， 设h为点P到MN的距离，则==① 设AB的方程为y=kx+b，则b＞0， 由得到x2﹣4kx﹣4b=0， 得代入①得：S△==， 要使面积最小，则应k=0，得到② 令，得=，则=， 所以当时，S（t）单调递减；当时，S（t）单调递增， 所以当时，S取到最小值为，此时，k=0， 所以，解得． 故△PMN面积取得最小值时的x1值为． 点评：本题综合考查了利用导数的几何意义得到抛物线的切线的斜率、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、等腰三角形的性质、利用导数研究函数的单调性、极值与最值等知识与方法，熟练掌握其解题模式是解题的关键． 【选修4-1：几何证明选讲】 22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC 边的中点，连接OD交圆O于点M． （1）求证：O、B、D、E四点共圆； （2）求证：2DE2=DM?AC+DM?AB． 考点：与圆有关的比例线段． 专题：证明题；直线与圆． 分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆； （2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM?DH，再将DH分解为DO+OH，并利用 OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM?AC+DM?AB成立． 解答：解：（1）连接BE、OE，则 ∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC， 又∵D是BC的中点， ∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD． 又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB． 可得∠OED=∠OBD=90°， 因此，O、B、D、E四点共圆； （2）延长DO交圆O于点H， ∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线． 可得DE2=DM?DH=DM?（DO+OH）=DM?DO+DM?OH． ∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=， ∴，化简得2DE2=DM?AC+DM?AB． 点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题． 【选修4-4：坐标系与参数方程】 23．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）． （1）求直线I被曲线C所截得的弦长； （2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值． 考点：参数方程化成普通方程． 专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程． 分析：（1）将曲线C化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长． （2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值． 解答：解：（1）直线I的参数方程为（t为参数），消去t， 可得，3x+4y+1=0； 由于ρ=cos（θ+）=（）， 即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，则有x2+y2﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为r=， 圆心到直线的距离d==， 故弦长为2=2=； （2）可设圆的参数方程为：（θ为参数）， 则设M（，）， 则x+y==sin（）， 由于θ∈R，则x+y的最大值为1． 点评：本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 【选修4-5：不等式选讲】 24．已知函数f（x）=|x﹣1| （Ⅰ）解不等式f（2x）+f（x+4）≥8； （Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：． 考点：绝对值不等式的解法． 专题：不等式的解法及应用；推理和证明． 分析：（Ⅰ）依题意，f（2x）+f（x+4）=|2x﹣1|+|x+3|=，利用分段函数分段解不等式f （2x）+f（x+4）≥8，即可求得其解集． （Ⅱ）|a|＜1，|b|＜1，?f（ab）＞|a|f（）?|ab﹣1|＞|a﹣b|，要证该不等式成立，只需证明|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0即可． 解答：（Ⅰ）解：f（2x）+f（x+4）=|2x﹣1|+|x+3|=， 当x＜﹣3时，由﹣3x﹣2≥8，解得x≤﹣； 当﹣3时，由﹣x+4≥8，解得x∈?； 当x≥时，由3x+2≥8，解得x≥2…4分 所以，不等式f（2x）+f（x+4）≥8的解集为{x|x≤﹣或x≥2}…5分； （Ⅱ）证明：等价于f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|， 因为|a|＜1，|b|＜1， 所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0， 所以，|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立…10分． 点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考运算及推理、证明能力，属于中档题．。

河南省平顶山市2015年中考数学二模试卷及答案

河南省平顶山市2015年中考数学二模试卷及答案

河南省平顶山市2015年中考数学二模试卷一、选择题1．﹣的倒数是（）A．﹣B．3 C．D．﹣32．下列计算正确的是（）A．2a+3b=5ab B．（﹣1）0=1 C．（ab3）2=ab6 D．（x+2）2=x2+43．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．一个几何体的三视图如图，则该几何体是（）A．B．C．D．5．某班的9名学生的体重分别是（单位：千克）：70，67，65，63，61，59，59，57，59，这组数据的众数和中位数是（）A．59，61 B．59，63 C．59，65 D．57，616．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是（）A．44° B．54° C．72° D．53°7．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是（）A．y1＞0＞y2 B．y1＞y2＞0 C．0＞y1＞y2 D．y2＞0＞y18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题9．比﹣2大5的数是．10．已知，a＜b，且a、b是两个连续的整数，则|a+b|=．11．如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B，C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹的角为25°，则∠α的度数为度．12．不等式组的非负整数解是．13．如图是某市7月1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大地200表示空气重度污染，某人随机选择7月1日至7月8日中的某一天到达该市，连续停留3天，则此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是．14．如图，AB半圆的直径，点O为圆心，OA=5，弦AC=8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE．设∠BEC=α，则tanα的值为．15．如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于．三、解答题：16．化简求值：，其中a=，b=．17．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C 重合，得△GFC．（1）求证：BE=DG；若∠B=60°，当BC=AB时，四边形ABFG是菱形；（3）若∠B=60°，当BC=AB时，四边形AECG是正方形．18．2014年6月，某中学以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图①和图②提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？请把折线统计图（图①）补充完整；（3）如果这所中学共有学生1800名，那么请你估计最喜爱科普类书箱的学生人数．19．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）20．如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y=图象的两支上，且PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E、F．已知B（1，3）．（1）k=；试说明AE=BF；（3）当四边形ABCD的面积为时，求点P的坐标．21．目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：进价（元/只）售价（元/只）甲型25 30乙型45 60（1）如何进货，进货款恰好为46000元？如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，此时利润为多少元？22．（1）操作发现：如图①，在Rt△ABC中，∠C=2∠B=90°，点D是BC上一点，沿AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处．请写出AB、AC、CD之间的关系；问题解决：如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；（3）类比探究：如图③，在四边形ABCD中，∠B=120°，∠D=90°，AB=BC，AD=DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的F处，若BC=，直接写出DE的长．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．河南省平顶山市2015年中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．﹣的倒数是（）A．﹣B．3 C．D．﹣3考点：倒数．分析：根据倒数的定义即可得出答案．解答：解：﹣的倒数是﹣3；故选D．点评：此题主要考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．下列计算正确的是（）A．2a+3b=5ab B．（﹣1）0=1 C．（ab3）2=ab6 D．（x+2）2=x2+4考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；零指数幂．分析：根据同类项合并，0指数幂，幂的乘方和积的乘法法则以及完全平方公式分别计算结果即可判断正误．解答：解：A、不是同类项，不能合并，错误；B、（﹣1）0=1，正确；C、（ab3）2=a2b6，错误；D、（x+2）2=x2+4x+4，错误；故选B．点评：此题考查同类项合并，0指数幂，幂的乘方和积的乘法法则以及完全平方公式，涉及的知识点较多．需要一一掌握才能熟练、准确的解题．3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．解答：解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项错误；B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故B 选项错误；C、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项错误；D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故D选项正确．故选：D．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．4．一个几何体的三视图如图，则该几何体是（）A．B．C．D．考点：由三视图判断几何体．专题：几何图形问题．分析：由空间几何体的三视图可以得到空间几何体的直观图．解答：解：由三视图可知，该组合体的上部分为圆台，下部分为圆柱，故选：D．点评：本题主要考查三视图的识别和判断，要求掌握常见空间几何体的三视图，比较基础．5．某班的9名学生的体重分别是（单位：千克）：70，67，65，63，61，59，59，57，59，这组数据的众数和中位数是（）A．59，61 B．59，63 C．59，65 D．57，61考点：众数；中位数．分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．解答：解：从小到大排列此数据为：57、59、59、59、61、63、65、67、70，数据59出现了三次最多为众数，61处在第5位为中位数．所以本题这组数据的众数是59，中位数是61．故选A．点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．6．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是（）A．44° B．54° C．72° D．53°考点：圆周角定理；平行四边形的性质．专题：计算题．分析：首先根据直径所对的圆周角为直角得到∠BAE=90°，然后利用四边形ABCD是平行四边形，∠E=36°，得到∠BEA=∠DAE=36°，从而得到∠BAD=126°，求得到∠ADC=54°．解答：解：∵BE是直径，∴∠BAE=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∠E=36°，∴∠BEA=∠DAE=36°，∴∠BAD=126°，∴∠ADC=54°，故选：B．点评：本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质，解题的关键是认真审题，发现图形中的圆周角．7．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是（）A．y1＞0＞y2 B．y1＞y2＞0 C．0＞y1＞y2 D．y2＞0＞y1考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：先根据反比例函数y=中k=5＞0可判断出此函数图象在一、三象限，再根据x1＜0＜x2，可判断出A、B两点所在的象限，根据各象限内点的坐标特点即可判断出y1与y2的大小关系．解答：解：∵反比例函数y=中k=5＞0，∴此函数图象在一、三象限，∵x1＞0＞x2，∴A（x1，y1）在第一象限；点B（x2，y2）在第三象限，∴y1＞0＞y2，故选A．点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及各象限内点的坐标特点，先根据k＜0判断出该函数图象所在象限是解答此题的关键．8．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：数形结合．分析：分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．解答：解：当点Q在AC上时，∵∠A=30°，AP=x，∴PQ=xtan30°=，∴y=×AP×PQ=×x×=x2；当点Q在BC上时，如下图所示：∵AP=x，AB=16，∠A=30°，∴BP=16﹣x，∠B=60°，∴PQ=BP•tan60°=（16﹣x）．∴==．∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．故选：B．点评：本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．二、填空题9．比﹣2大5的数是3．考点：有理数的加法．分析：根据题意列出算式，计算即可得到结果．解答：解：根据题意得：﹣2+5=3，故答案为：3．点评：此题考查了有理数的加法与减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．已知，a＜b，且a、b是两个连续的整数，则|a+b|=9．考点：估算无理数的大小．分析：先估算出的取值范围，再求出a，b的值，进而可得出结论．解答：解：∵16＜23＜5，∴4＜5．∵a、b是两个连续的整数，∴a=4，b=5，∴a+b=4+5=9．故答案为：9．点评：本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键．11．如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B，C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹的角为25°，则∠α的度数为35度．考点：平行线的性质；等边三角形的性质．分析：先根据m∥n求出∠BCD的度数，再由△ABC是等边三角形求出∠ACB的度数，根据l∥m 即可得出结论．解答：解：∵m∥n，边BC与直线n所夹的角为25°，∴∠BCD=25°．∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACD=60°﹣25°=35°．∵l∥m，∴∠α=∠ACD=35°．故答案为：35．点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．12．不等式组的非负整数解是0．考点：一元一次不等式组的整数解．分析：先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其非负整数解即可．解答：解：由不等式1﹣x＞0得x＜1，由不等式3x＞2x﹣4得x＞﹣4，所以其解集为﹣4＜x＜1，则不等式组的非负整数解是0．故答案为：0．点评：考查不等式组的解法及非负整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．13．如图是某市7月1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大地200表示空气重度污染，某人随机选择7月1日至7月8日中的某一天到达该市，连续停留3天，则此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是．考点：概率公式；折线统计图．分析：由折线统计图可得7月1日至7月3日3天优良；7月2日至7月4日2天优良；7月3日至7月5日1天优良；7月4日至7月6日0天优良；7月5日至7月7日1天优良；7月6日至7月8日1天优良；7月7日至7月9日1天优良；7月8日至7月10日0天优良；继而利用概率公式即可求得答案．解答：解：∵7月1日至7月3日3天优良；7月2日至7月4日2天优良；7月3日至7月5日1天优良；7月4日至7月6日0天优良；7月5日至7月7日1天优良；7月6日至7月8日1天优良；7月7日至7月9日1天优良；7月8日至7月10日0天优良；∴此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是：=．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．如图，AB半圆的直径，点O为圆心，OA=5，弦AC=8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE．设∠BEC=α，则tanα的值为．考点：圆周角定理；垂径定理；解直角三角形．分析：首先连接BC，由AB半圆的直径，可得∠C=90°，然后由勾股定理求得BC的长，又由OD⊥AC，利用垂径定理可求得CE的长，继而求得答案．解答：解：连接BC，∵AB半圆的直径，OA=5，∴∠C=90°，AB=2OA=10，∵弦AC=8，∴BC==6，∵OD⊥AC，∴CE=AC=4，∴tanα===．故答案为：．点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．15．如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于4或8．考点：平移的性质；解一元二次方程-因式分解法；平行四边形的判定与性质；正方形的性质．专题：几何动点问题．分析：根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=12﹣x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．解答：解：设AC交A′B′于H，∵∠A=45°，∠D=90°∴△A′HA是等腰直角三角形设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=12﹣x∴x•（12﹣x）=32∴x=4或8，即AA′=4或8cm．故答案为：4或8．点评：考查了平移的性质及一元二次方程的解法等知识，解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．三、解答题：16．化简求值：，其中a=，b=．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=÷=•=，当a=，b=时，原式==﹣6．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C 重合，得△GFC．（1）求证：BE=DG；若∠B=60°，当BC=AB时，四边形ABFG是菱形；（3）若∠B=60°，当BC=AB时，四边形AECG是正方形．考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定．分析：（1）根据平移的性质，可得：BE=FC，再证明Rt△ABE≌Rt△CDG可得：DG=FC；即可得到BE=DG；要使四边形ABFG是菱形，须使AB=BF；根据条件找到满足AB=BF时，BC与AB的数量关系即可；（3）当四边形AECG是正方形时，AE=EC，由AE=AB，可得EC=AB，再有BE=AB可得BC=AB．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD．∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成，∴CG⊥AD．AE=CG∴∠AEB=∠CGD=90°．∵在Rt△ABE与Rt△CDG中，，∴Rt△ABE≌Rt△CDG（HL），∴BE=DG．解：当BC=AB时，四边形ABFG是菱形．证明：∵AB∥GF，AG∥BF，∴四边形ABFG是平行四边形．∵Rt△ABE中，∠B=60°，∴∠BAE=30°，∴BE=AB（直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半），∵BE=CF，BC=AB，∴EF=AB．∴AB=BF．∴四边形ABFG是菱形．故答案是：；（3）解：BC=AB时，四边形AECG是正方形．∵AE⊥BC，GC⊥CB，∴AE∥GC，∠AEC=90°，∵AG∥CE，∴四边形AECG是矩形，当AE=EC时，矩形AECG是正方形，∵∠B=60°，∴EC=AE=AB•sin60°=AB，BE=AB，∴BC=AB．故答案是：．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，正方形的判定，菱形的判定，以及直角三角形的性质．关键是熟练掌握菱形的判定定理，以及平行四边形的性质．18．2014年6月，某中学以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图①和图②提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？请把折线统计图（图①）补充完整；（3）如果这所中学共有学生1800名，那么请你估计最喜爱科普类书箱的学生人数．考点：折线统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）用文学的人数除以所占的百分比计算即可得解；根据所占的百分比求出艺术和其它的人数，然后补全折线图即可；（3）用总人数乘以科普所占的百分比，计算即可得解．解答：解：（1）90÷30%=300（名），故一共调查了300名学生；艺术的人数：300×20%=60名，其它的人数：300×10%=30名；折线图补充如右图；（3）1800×=480（名）．答：1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生为480名．点评：本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用，折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况，扇形统计图中每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．也考查了利用样本估计总体．19．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，根据三角函数得到OB，在Rt△CDO中，根据三角函数得到OD，再根据BD=OD﹣OB，得到关于x的方程，解方程即可求解．解答：解：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，cos∠ABO=，∴OB=AB•cos∠ABO=x•cos60°=x．在Rt△CDO中，cos∠CDO=，∴OD=CD•cos∠CDO=x•cos51°18′≈0.625x．∵BD=OD﹣OB，∴0.625x﹣x=1，解得x=8．故梯子的长是8米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．20．如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y=图象的两支上，且PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E、F．已知B（1，3）．（1）k=3；试说明AE=BF；（3）当四边形ABCD的面积为时，求点P的坐标．考点：反比例函数综合题．专题：综合题；压轴题．分析：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=3；设A点坐标为（a，），易得D点坐标为（0，），P点坐标为（1，），C点坐标为（1，0），根据图形与坐标的关系得到PB=3﹣，PC=﹣，PA=1﹣a，PD=1，则可计算出==，加上∠CPD=∠BPA，根据相似的判定得到△PCD∽△PBA，则∠PCD=∠PBA，于是判断CD∥BA，根据平行四边形的判定方法易得四边形BCDF、ADCE都是平行四边形，所以BF=CD，AE=CD，则BF=AE，于是有AE=BF；（3）利用四边形ABCD的面积=S△PAB﹣S△PCD，和三角形面积公式得到•（3﹣）•（1﹣a）﹣•1•（﹣）=，整理得a+=0，然后解方程求出a的值，再写出P点坐标．解答：解：（1）把B（1，3）代入y=得k=1×3=3；故答案为：3；反比例函数解析式为y=，设A点坐标为（a，），∵PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，∴D点坐标为（0，），P点坐标为（1，），C点坐标为（1，0），∴PB=3﹣，PC=﹣，PA=1﹣a，PD=1，∴==，=，∴=，而∠CPD=∠BPA，∴△PCD∽△PBA，∴∠PCD=∠PBA，∴CD∥BA，而BC∥DF，AD∥EC，∴四边形BCDF、ADCE都是平行四边形，∴BF=CD，AE=CD，∴BF=AE，（3）∵四边形ABCD的面积=S△PAB﹣S△PCD，∴•（3﹣）•（1﹣a）﹣•1•（﹣）=，整理得a+=0，解得a=﹣，∴P点坐标为（1，﹣2）．点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、图形与坐标和平行四边形的判定与性质；会利用三角形相似的知识证明角相等，从而证明直线平行．21．目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：进价（元/只）售价（元/只）甲型25 30乙型45 60（1）如何进货，进货款恰好为46000元？如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，此时利润为多少元？考点：一次函数的应用；一元一次方程的应用．专题：销售问题．分析：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200﹣x）只，根据两种节能灯的总价为46000元建立方程求出其解即可；设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200﹣a）只，商场的获利为y元，由销售问题的数量关系建立y与a的解析式就可以求出结论．解答：解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200﹣x）只，由题意，得25x+45（1200﹣x）=46000，解得：x=400．∴购进乙型节能灯1200﹣400=800（只）．答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元；设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200﹣a）只，商场的获利为y元，由题意，得y=（30﹣25）a+（60﹣45）（1200﹣a），y=﹣10a+18000．∵商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，∴﹣10a+18000≤[25a+45（1200﹣a）]×30%，∴a≥450．∵y=﹣10a+18000，∴k=﹣10＜0，∴y随a的增大而减小，∴a=450时，y最大=13500元．∴商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元．点评：本题考查了单价×数量=总价的运用，列了一元一次方程解实际问题的运用，一次函数的解析式的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．22．（1）操作发现：如图①，在Rt△ABC中，∠C=2∠B=90°，点D是BC上一点，沿AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处．请写出AB、AC、CD之间的关系AB=AC+CD；问题解决：如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；（3）类比探究：如图③，在四边形ABCD中，∠B=120°，∠D=90°，AB=BC，AD=DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的F处，若BC=，直接写出DE的长．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：（1）如图①，设CD=t，由∠C=2∠B=90°易得△ABC为等腰直角三角形，则AC=BC，AB=AC，再根据折叠的性质得DC=DE，∠AED=∠C=90°，又可判断△BDE为等腰直角三角形，所以BD=DE，则BD=t，AC=BC=t+t=（+1）t，AB=•（+1）t=t，从而得到AB=AC+CD；如图②，根据折叠的性质得DC=DE，∠AED=∠C，AE=AC，而∠C=2∠B，则∠AED=2∠B，根据三角形外角性质得∠AED=∠B+∠BDE，所以∠B=∠BD E，则EB=ED，所以ED=CD，于是得到AB=AE+BE=AC+CD；（3）作BH⊥AC于H，如图③，设DE=x，利用（1）的结论得AC=x，根据等腰三角形的性质由BA=BC，∠CBA=120°得到∠BCA=∠BAC=30°，且CH=AH=AC=x，在Rt△BCH中，利用30度的余弦得cos30°==，即x=，然后解方程求出x即可．解答：解：（1）如图①，设CD=t，∵∠C=2∠B=90°，∴∠B=45°，∠BAC=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AC=BC，AB=AC，∵AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处，∴DC=DE，∠AED=∠C=90°，∴△BDE为等腰直角三角形，∴BD=DE，∴BD=t，∴AC=BC=t+t=（+1）t，∴AB=•（+1）t=t，∴AB=AC+CD；故答案为AB=AC+CD；AB=AC+CD．理由如下：如图②，∵AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处，∴DC=DE，∠AED=∠C，AE=AC，∵∠C=2∠B，∴∠AED=2∠B，而∠AED=∠B+∠BDE，∴∠B=∠BDE，∴EB=ED，∴ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；（3）作BH⊥AC于H，如图③，设DE=x，由（1）的结论得AC=x，∵BA=BC，∠CBA=120°，∴∠BCA=∠BAC=30°，∵BH⊥AC，∴CH=AH=AC=x，在Rt△BCH中，cos30°==，∴x=，解得x=，即DE的长为．点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了等腰三角形的性质和解直角三角形．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）将A（1，0），B（0，4）代入y=﹣x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；由E（m，0），B（0，4），得出P（m，﹣m2﹣m+4），G（m，4），则PG=﹣m2﹣m+4﹣4=﹣m2﹣m，点P在直线BC上方时，故需要求出m的取值范围；（3）先由抛物线的解析式求出D（﹣3，0），则当点P在直线BC上方时，﹣2＜m＜0．再运用待定系数法求出直线BD的解析式为y=x+4，于是得出H（m，m+4）．当以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似时，由于∠PGB=∠DEH=90°，所以分两种情况进行讨论：①△BGP∽△DEH；②△PGB∽△DEH．都可以根据相似三角形对应边成比例列出比例关系式，进而求出m的值．解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+4；∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，∴P（m，﹣m2﹣m+4），G（m，4），∴PG=﹣m2﹣m+4﹣4=﹣m2﹣m；点P在直线BC上方时，故需要求出抛物线与直线BC的交点，令4=﹣m2﹣m+4，解得m=﹣2或0，即m的取值范围：﹣2＜m＜0，PG的长度为：﹣m2﹣m（﹣2＜m＜0）；（3）在的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似．∵y=﹣x2﹣x+4，∴当y=0时，﹣x2﹣x+4=0，解得x=1或﹣3，∴D（﹣3，0）．当点P在直线BC上方时，﹣2＜m＜0．设直线BD的解析式为y=kx+4，将D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，解得k=，∴直线BD的解析式为y=x+4，∴H（m，m+4）．分两种情况：①如果△BGP∽△DEH，那么=，即=，解得m=﹣3或﹣1，由﹣2＜m＜0，故m=﹣1；②如果△PGB∽△DEH，那么=，即=，由﹣2＜m＜0，解得m=﹣．综上所述，在的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或﹣．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，线段的表示，相似三角形的性质等知识，综合性较强，难度较大．运用数形结合、方程思想及分类讨论是解题的关键．。

2015届河南省平顶山市中考二模数学试卷(带解析)

2015届河南省平顶山市中考二模数学试卷(带解析)

绝密★启用前2015届河南省平顶山市中考二模数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：123分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是反比例函数y=图象上的点，若x 1＞0＞x 2，则一定成立的是（ ） A ．y 1＞0＞y 2B ．y 1＞y 2＞0C ．0＞y 1＞y 2D ．y 2＞0＞y 1【答案】A ． 【解析】试题分析：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及各象限内点的坐标特点，先根据k ＜0判断出该函数图象所在象限是解答此题的关键．先根据反比例函数y=中k=5＞0可判断出此函数图象在一、三象限，再根据x 1＜0＜x 2，可判断出A 、B 两点所在的象限，根据各象限内点的坐标特点即可判断出y 1与y 2的大小关系．∵反比例函数y=中k=5＞0，∴此函数图象在一、三象限，∵x 1＞0＞x 2，∴A （x 1，y 1）在第一象限；点B （x 2，y 2）在第三象限，∴y 1＞0＞y 2． 故选：A ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．试卷第2页，共19页2、如图，▱ABCD 的顶点A 、B 、D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连接AE ，∠E=36°，则∠ADC 的度数是（ ）A ．44°B ．54°C ．72°D ．53°【答案】B ． 【解析】试题分析：本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质，解题的关键是认真审题，发现图形中的圆周角．首先根据直径所对的圆周角为直角得到∠BAE=90°，然后利用四边形ABCD 是平行四边形，∠E=36°，得到∠B=54°，从而得到∠ADC=54°．∵BE 是直径，∴∠BAE=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠E=36°，∴∠B=54°，∴∠ADC=∠B=54°． 故选：B ．考点：圆周角定理；平行四边形的性质．3、某班的9名学生的体重分别是（单位：千克）：70，67，65，63，61，59，59，57，59，这组数据的众数和中位数是（ ） A ．59，61B ．59，63C ．59，65D ．57，61【答案】A ． 【解析】试题分析：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．从小到大排列此数据为：57、59、59、59、61、63、65、67、70，数据59出现了三次最多为众数，61处在第5位为中位数．所以本题这组数据的众数是59，中位数是61． 故选:A ．考点：众数；中位数．4、一个几何体的三视图如图，则该几何体是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】试题分析：本题主要考查三视图的识别和判断，要求掌握常见空间几何体的三视图，比较基础．由空间几何体的三视图可以得到空间几何体的直观图．由三视图可知，该组合体的上部分为圆台，下部分为圆柱，故选：D．考点：由三视图判断几何体．5、下列计算正确的是（）A．2a+3b=5ab B．（﹣1）0=1C．（ab3）2=ab6D．（x+2）2=x2+4【答案】B．【解析】试题分析：根据同类项合并，0指数幂，幂的乘方和积的乘法法则以及完全平方公式分别计算结果即可判断正误．A、不是同类项，不能合并，错误；B、（﹣1）0=1，正确；C、（ab3）2=a2b6，错误；D、（x+2）2=x2+4x+4，错误．故选:B．考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；零指数幂．6、﹣的倒数是（）A．﹣B．3C．D．﹣3【答案】D．【解析】试题分析：此题主要考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．根据倒数的定义即可得出答案．试卷第4页，共19页故选：D ． 考点：倒数．7、下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D ． 【解析】试题分析：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．A 、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故A 选项错误；B 、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故B 选项错误；C 、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故C 选项错误；D 、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故D 选项正确． 故选：D ．考点:中心对称图形；轴对称图形．8、如图，△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P 是斜边AB 上一点．过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ，设AP=x ，△APQ 的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为（ ）【答案】B ． 【解析】试题分析：本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q 在BC 上这种情况．分点Q 在AC 上和BC 上两种情况进行讨论即可．当点Q 在AC 上时，∵∠A=30°，AP=x ，∴PQ=xtan30°=，∴y=×AP×PQ=×x×=x 2；当点Q在BC 上时，如下图所示：∵AP=x ，AB=16，∠A=30°，∴BP=16﹣x ，∠B=60°，∴PQ=BP•tan60°=（16﹣x ）．∴==．∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下． 故选：B ．考点：动点问题的函数图象．试卷第6页，共19页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、如图，将边长为12的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于 ．【答案】4或8． 【解析】试题分析：考查了平移的性质及一元二次方程的解法等知识，解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H 与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x ，则阴影部分的底长为x ，高A′D=12﹣x ，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．设AC 交A′B′于H ，∵∠A=45°，∠D=90°,∴△A′HA 是等腰直角三角形．设AA′=x ，则阴影部分的底长为x ，高A′D=12﹣x,∴x•（12﹣x ）=32,∴x=4或8，即AA′=4或8cm ． 故答案为：4或8．考点：平移的性质；解一元二次方程-因式分解法；平行四边形的判定与性质；正方形的性质．10、如图，AB 半圆的直径，点O 为圆心，OA=5，弦AC=8，OD ⊥AC ，垂足为E ，交⊙O 于D ，连接BE ．设∠BEC=α，则tanα的值为 ．【答案】． 【解析】试题分析：此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．首先连接BC ，由AB 半圆的直径，可得∠C=90°，然后由勾股定理求得BC 的长，又由OD ⊥AC ，利用垂径定理可求得CE 的长，继而求得答案．连接BC ，∵AB 半圆的直径，OA=5，∴∠C=90°，AB=2OA=10，∵弦AC=8，∴BC==6，∵OD ⊥AC ，∴CE=AC=4，∴tanα===．故答案为：．考点：圆周角定理；垂径定理；解直角三角形．11、不等式组的非负整数解是 ．【答案】0． 【解析】试题分析：考查不等式组的解法及非负整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其非负整数解即可．由不等式1﹣x ＞0得x ＜1，由不等式3x ＞2x ﹣4得x ＞﹣4，所以其解集为﹣4＜x ＜1，则不等式组的非负整数解是0．故答案为：0．考点：一元一次不等式组的整数解．试卷第8页，共19页12、如图，直线l ∥m ∥n ，等边△ABC 的顶点B ，C 分别在直线n 和m 上，边BC 与直线n 所夹的角为25°，则∠α的度数为 度．【答案】35． 【解析】试题分析：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．先根据m ∥n 求出∠BCD 的度数，再由△ABC 是等边三角形求出∠ACB 的度数，根据l ∥m 即可得出结论．∵m ∥n ，边BC 与直线n 所夹的角为25°，∴∠BCD=25°．∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACD=60°﹣25°=35°．∵l ∥m ，∴∠α=∠ACD=35°． 故答案为：35．考点：平行线的性质；等边三角形的性质． 13、已知，，且a 、b 是两个连续的整数，则|a+b|= ．【答案】９． 【解析】试题分析：本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键．先估算出的取值范围，再求出a ，b 的值，进而可得出结论．∵16＜23＜5，∴4＜5．∵a 、b 是两个连续的整数，∴a=4，b=5，∴a+b=4+5=9．故答案为：9．考点：估算无理数的大小． 14、比﹣2大5的数是 ．【答案】3．【解析】试题分析：此题考查了有理数的加法与减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据题意列出算式，计算即可得到结果．根据题意得：﹣2+5=3． 故答案为：３考点：有理数的加法．15、如图是某市7月1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大地200表示空气重度污染，某人随机选择7月1日至7月8日中的某一天到达该市，连续停留3天，则此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是 ．【答案】． 【解析】试题分析：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．由折线统计图可得7月1日至7月3日3天优良；7月2日至7月4日2天优良；7月3日至7月5日1天优良；7月4日至7月6日0天优良；7月5日至7月7日1天优良；7月6日至7月8日1天优良；7月7日至7月9日1天优良；7月8日至7月10日0天优良；继而利用概率公式即可求得答案．∵7月1日至7月3日3天优良；7月2日至7月4日2天优良；7月3日至7月5日1天优良；7月4日至7月6日0天优良；7月5日至7月7日1天优良；7月6日至7月8日1天优良；7月7日至7月9日1天优良；7月8日至7月10日0天优良；∴此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是：=． 故答案为：．考点：概率公式；折线统计图．三、计算题（题型注释）16、（8分）化简求值：，其中a=，b=．【答案】﹣6．试卷第10页，共19页【解析】试题分析：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a 与b 的值代入计算即可求出值．试题解析：原式=÷=•=，当a=，b=时，原式==﹣6．考点：分式的化简求值．四、解答题（题型注释）17、（10分）（1）操作发现：如图①，在Rt △ABC 中，∠C=2∠B=90°，点D 是BC 上一点，沿AD 折叠△ADC ，使得点C 恰好落在AB 上的点E 处．请写出AB 、AC 、CD 之间的关系 ； （2）问题解决：如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB 、AC 、CD 之间的关系，并证明你的结论； （3）类比探究：如图③，在四边形ABCD 中，∠B=120°，∠D=90°，AB=BC ，AD=DC ，连接AC ，点E 是CD 上一点，沿AE 折叠，使得点D 正好落在AC 上的F 处，若BC=，直接写出DE 的长．【答案】（1）AB=AC+CD ；（2）AB=AC+CD ；证明见试题解析；（3）DE 的长为．【解析】试题分析：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了等腰三角形的性质和解直角三角形．（1）如图①，设CD=t ，由∠C=2∠B=90°易得△ABC 为等腰直角三角形，则AC=BC ，AB=AC ，再根据折叠的性质得DC=DE ，∠AED=∠C=90°，又可判断△BDE 为等腰直角三角形，所以BD=DE ，则BD=t ，AC=BC=t+t=（+1）t ，AB=•（+1）t=t ，从而得到AB=AC+CD ；（2）如图②，根据折叠的性质得DC=DE ，∠AED=∠C ，AE=AC ，而∠C=2∠B ，则∠AED=2∠B ，根据三角形外角性质得∠AED=∠B+∠BDE ，所以∠B=∠BDE ，则EB=ED ，所以ED=CD ，于是得到AB=AE+BE=AC+CD ；（3）作BH ⊥AC 于H ，如图③，设DE=x ，利用（1）的结论得AC=x ，根据等腰三角形的性质由BA=BC ，∠CBA=120°得到∠BCA=∠BAC=30°，且CH=AH=AC=x ，在Rt △BCH 中，利用30度的余弦得cos30°==，即x=，然后解方程求出x 即可．试题解析：（1）如图①，设CD=t ，∵∠C=2∠B=90°，∴∠B=45°，∠BAC=45°，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴AC=BC ，AB=AC ，∵AD 折叠△ADC ，使得点C 恰好落在AB 上的点E 处，∴DC=DE ，∠AED=∠C=90°， ∴△BDE 为等腰直角三角形，∴BD=DE ，∴BD=t ，∴AC=BC=t+t=（+1）t ，∴AB=•（+1）t=t ，∴AB=AC+CD ；（2）AB=AC+CD ．理由如下：如图②，∵AD 折叠△ADC ，使得点C 恰好落在AB 上的点E 处，∴DC=DE ，∠AED=∠C ，AE=AC ，∵∠C=2∠B ，∴∠AED=2∠B ，而∠AED=∠B+∠BDE ，∴∠B=∠BDE ，∴EB=ED ， ∴ED=CD ，∴AB=AE+BE=AC+CD ；（3）作BH ⊥AC 于H ，如图③，设DE=x ，由（1）的结论得AC=x ，∵BA=BC ，∠CBA=120°，∴∠BCA=∠BAC=30°，∵BH ⊥AC ，∴CH=AH=AC=x ，在Rt △BCH 中，cos30°==， ∴x=，解得x=，即DE 的长为．考点：翻折变换（折叠问题）．试卷第12页，共19页18、目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广节能灯，为响应号召，某商场计划购进甲、乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：(1)如何进货，进货款恰好为46000元？(2)如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，此时利润为多少元？【答案】（1）购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元；（2）商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元． 【解析】试题分析：本题考查了单价×数量=总价的运用，列了一元一次方程解实际问题的运用，一次函数的解析式的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．（1）设商场购进甲型节能灯x 只，则购进乙型节能灯（1200﹣x ）只，根据两种节能灯的总价为46000元建立方程求出其解即可；（2）设商场购进甲型节能灯a 只，则购进乙型节能灯（1200﹣a ）只，商场的获利为y 元，由销售问题的数量关系建立y 与a 的解析式就可以求出结论．试题解析：（1）设商场购进甲型节能灯x 只，则购进乙型节能灯（1200﹣x ）只，由题意，得：25x+45（1200﹣x ）=46000，解得：x=400．∴购进乙型节能灯1200﹣400=800（只）．答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元； （2）设商场购进甲型节能灯a 只，则购进乙型节能灯（1200﹣a ）只，商场的获利为y 元，由题意，得：y=（30﹣25）a+（60﹣45）（1200﹣a ），y=﹣10a+18000．∵商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，∴﹣10a+18000≤[25a+45（1200﹣a ）]×30%，∴a≥450．∵y=﹣10a+18000，∴k=﹣10＜0，∴y 随a 的增大而减小，∴a=450时，y 最大=13500元．∴商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元．考点：一次函数的应用；一元一次方程的应用．19、（8分）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O ）的墙上，当梯子位于AB 位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m （即BD=1m ）到达CD 位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0．780，cos51°18′≈0．625，tan51°18′≈1．248）【答案】梯子的长是8米． 【解析】试题分析：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．设梯子的长为xm ．在Rt △ABO 中，根据三角函数得到OB ，在Rt △CDO 中，根据三角函数得到OD ，再根据BD=OD ﹣OB ，得到关于x 的方程，解方程即可求解．试题解析：设梯子的长为xm ．在Rt △ABO 中，cos ∠ABO=，∴OB=AB•cos ∠ABO=x•cos60°=x ．在Rt △CDO 中，cos ∠CDO=，∴OD=CD•cos ∠CDO=x•cos51°18′≈0．625x ．∵BD=OD ﹣OB ，∴0．625x ﹣x=1，解得x=8．故梯子的长是8米． 考点：解直角三角形的应用．20、（8分）2014年6月，某中学以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图①和图②提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？试卷第14页，共19页（2）请把折线统计图（图①）补充完整；（3）如果这所中学共有学生1800名，那么请你估计最喜爱科普类书箱的学生人数．【答案】(1)一共调查了300名学生；(2)补图见试题解析；（3）1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生为480名． 【解析】试题分析：本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用，折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况，扇形统计图中每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．也考查了利用样本估计总体．（1）用文学的人数除以所占的百分比计算即可得解；（2）根据所占的百分比求出艺术和其它的人数，然后补全折线图即可；（3）用总人数乘以科普所占的百分比，计算即可得解．试题解析：（1）90÷30%=300（名），故一共调查了300名学生；艺术的人数：300×20%=60名，其它的人数：300×10%=30名；折线图补充如下图； （3）1800×=480（名）．答：1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生为480名．考点：折线统计图；用样本估计总体；扇形统计图．21、（10分）如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△GFC ．（1）求证：BE=DG ；（2）若∠B=60°，当BC= AB 时，四边形ABFG 是菱形； （3）若∠B=60°，当BC= AB 时，四边形AECG 是正方形．【答案】(1)证明见试题解析；(2)；(3)．【解析】试题分析：此题主要考查了平行四边形的性质，正方形的判定，菱形的判定，以及直角三角形的性质．关键是熟练掌握菱形的判定定理，以及平行四边形的性质．（1）根据平移的性质，可得：BE=FC ，再证明Rt △ABE ≌Rt △CDG 可得：DG=FC ；即可得到BE=DG ；要使四边形ABFG 是菱形，须使AB=BF ；根据条件找到满足AB=BF 时，BC 与AB 的数量关系即可；（3）当四边形AECG 是正方形时，AE=EC ，由AE=AB ，可得EC=AB ，再有BE=AB 可得BC=AB ．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB=CD ．∵AE 是BC 边上的高，且CG 是由AE 沿BC 方向平移而成，∴CG ⊥AD ．AE=CG ∴∠AEB=∠CGD=90°．∵在Rt △ABE 与Rt △CDG 中，，∴Rt △ABE ≌Rt △CDG （HL ），∴BE=DG ．当BC=AB 时，四边形ABFG 是菱形．证明：∵AB ∥GF ，AG ∥BF ，∴四边形ABFG 是平行四边形．∵Rt △ABE 中，∠B=60°，∴∠BAE=30°，∴BE=AB （直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半），∵BE=CF ，BC=AB ，∴EF=AB ．∴AB=BF ．∴四边形ABFG 是菱形． （3）解：BC=AB 时，四边形AECG 是正方形．∵AE ⊥BC ，GC ⊥CB ，∴AE ∥GC ，∠AEC=90°，∵AG ∥CE ，∴四边形AECG 是矩形，当AE=EC 时，矩形AECG 是正方形，∵∠B=60°，∴EC=AE=AB•sin60°=AB ，BE=AB ，∴BC=AB ．考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定． 22、（10分）如图，将透明三角形纸片PAB 的直角顶点P 落在第四象限，顶点A 、B 分别落在反比例函数y=图象的两支上，且PB ⊥x 于点C ，PA ⊥y 于点D ，AB 分别与x 轴，y 轴相交于点E 、F ．已知B （1，3）．试卷第16页，共19页（1）k= ；（2）试说明AE=BF ； （3）当四边形ABCD 的面积为时，求点P 的坐标．【答案】（1）k=3；（2）证明见试题解析；（3）P 点坐标为（1，﹣2）． 【解析】试题分析：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、图形与坐标和平行四边形的判定与性质；会利用三角形相似的知识证明角相等，从而证明直线平行．（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=3；（2）设A 点坐标为（a ，），易得D 点坐标为（0，），P 点坐标为（1，），C 点坐标为（1，0），根据图形与坐标的关系得到PB=3﹣，PC=﹣，PA=1﹣a ，PD=1，则可计算出==，加上∠CPD=∠BPA ，根据相似的判定得到△PCD ∽△PBA ，则∠PCD=∠PBA ，于是判断CD ∥BA ，根据平行四边形的判定方法易得四边形BCDF 、ADCE 都是平行四边形，所以BF=CD ，AE=CD ，则BF=AE ，于是有AE=BF ；（3）利用四边形ABCD 的面积=S △PAB ﹣S △PCD ，和三角形面积公式得到•（3﹣）•（1﹣a ）﹣•1•（﹣）=，整理得a+=0，然后解方程求出a 的值，再写出P 点坐标． 试题解析：（1）把B （1，3）代入y=得k=1×3=3；（2）反比例函数解析式为y=，设A 点坐标为（a ，），∵PB ⊥x 于点C ，PA ⊥y 于点D ，∴D 点坐标为（0，），P 点坐标为（1，），C 点坐标为（1，0），∴PB=3﹣，PC=﹣，PA=1﹣a ，PD=1，∴==，=，∴=，而∠CPD=∠BPA ，∴△PCD ∽△PBA ，∴∠PCD=∠PBA ，∴CD ∥BA ，而BC ∥DF ，AD ∥EC ，∴四边形BCDF 、ADCE 都是平行四边形，∴BF=CD ，AE=CD ，∴BF=AE ． （3）∵四边形ABCD 的面积=S △PAB ﹣S △PCD ，∴•（3﹣）•（1﹣a ）﹣•1•（﹣）=，整理得a+=0，解得a=﹣，∴P 点坐标为（1，﹣2）．考点：反比例函数综合题．23、（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A 、D 两点，与y 轴交于点B ，四边形OBCD 是矩形，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，4），已知点E （m ，0）是线段DO 上的动点，过点E 作PE ⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，交BD 于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 在直线BC 上方时，请用含m 的代数式表示PG 的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣x+4；（2）PG 的长度为：﹣m 2﹣m （﹣2＜m ＜0）；（3）在（2）的条件下，存在点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似，此时m 的值为﹣1或﹣．试卷第18页，共19页【解析】试题分析：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，线段的表示，相似三角形的性质等知识，综合性较强，难度较大．运用数形结合、方程思想及分类讨论是解题的关键．（1）将A （1，0），B （0，4）代入y=﹣x 2+bx+c ，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由E （m ，0），B （0，4），得出P （m ，﹣m 2﹣m+4），G （m ，4），则PG=﹣m 2﹣m+4﹣4=﹣m 2﹣m ，点P 在直线BC 上方时，故需要求出m 的取值范围；（3）先由抛物线的解析式求出D （﹣3，0），则当点P 在直线BC 上方时，﹣2＜m ＜0．再运用待定系数法求出直线BD 的解析式为y=x+4，于是得出H （m ，m+4）．当以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似时，由于∠PGB=∠DEH=90°，所以分两种情况进行讨论：①△BGP ∽△DEH ；②△PGB ∽△DEH ．都可以根据相似三角形对应边成比例列出比例关系式，进而求出m 的值．试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣x+4；（2）∵E （m ，0），B （0，4），PE ⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，∴P （m ，﹣m 2﹣m+4），G （m ，4），∴PG=﹣m 2﹣m+4﹣4=﹣m 2﹣m ；点P 在直线BC 上方时，故需要求出抛物线与直线BC 的交点，令4=﹣m 2﹣m+4，解得m=﹣2或0，即m 的取值范围：﹣2＜m ＜0，PG 的长度为：﹣m 2﹣m （﹣2＜m ＜0）； 在（2）的条件下，存在点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似．∵y=﹣x 2﹣x+4，∴当y=0时，﹣x 2﹣x+4=0，解得x=1或﹣3，∴D （﹣3，0）．当点P 在直线BC 上方时，﹣2＜m ＜0．设直线BD 的解析式为y=kx+4，将D （﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，解得k=，∴直线BD 的解析式为y=x+4，∴H （m ，m+4）．分两种情况：①如果△BGP ∽△DEH ，那么=，即=，解得m=﹣3或﹣1，由﹣2＜m ＜0，故m=﹣1；②如果△PGB ∽△DEH ，那么=，即=，由﹣2＜m ＜0，解得m=﹣．综上所述，在（2）的条件下，存在点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似，此时m 的值为﹣1或﹣．考点：二次函数综合题．。

2015年河南省开封市高考数学二模试卷(理科)

2015年河南省开封市高考数学二模试卷(理科)

2015年河南省开封市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设全集U=R，集合M={x|y=lg（x2-1）}，N={x|0＜x＜2}，则N∩（∁U M）=（）A.{x|-2≤x＜1}B.{x|0＜x≤1}C.{x|-1≤x≤1}D.{x|x＜1}【答案】B【解析】解：∵全集U=R，集合M={x|y=lg（x2-1）}={x|x＜-1或x＞1}，∴C U M={x|-1≤x≤1}，∵集合N={x|0＜x＜2}，∴N∩（∁U M）={x|0＜x≤1}．故选B．由全集U=R，集合M={x|y=lg（x2-1）}={x|x＜-1或x＞1}，先求出C U M，再由集合N 能够求出N∩（∁U M）．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.若（1+2ai）i=1-bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（）A.+iB.5C.D.【答案】D【解析】解：∵（1+2ai）i=1-bi，∴-2a+i=1-bi，∴-2a=1，1=-b，解得a=-，b=-1．则|a+bi|=|--i|===．故选：D．利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，属于基础题．3.下列有关命题的说法正确的是（）A.命题“∀x∈R，均有x2-x+1＞0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02-x0+1＜0”B.在△ABC 中，“sin A＞sin B”是“A＞B”成立的充要条件C.线性回归方程y=+a对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1）、（x2，y2）、…，（x n，y n）中的一个D.在2×2列联表中，ad-bc的值越接近0，说明两个分类变量有关的可能性就越大【答案】B【解析】解：对于A，命题“∀x∈R，均有x2-x+1＞0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02-x0+1≤0”，故A错误；对于B，在△ABC中，由正弦定理知，sin A＞sin B⇔a＞b，又a＞b⇔A＞B，所以在△ABC中，“sin A＞sin B”是“A＞B”成立的充要条件，B正确；对于C，线性回归方程y=+a对应的直线不一定经过其样本数据点（x1，y1）、（x2，y2）、…，（x n，y n）中的一个，故C错误；对于D，在2×2列联表中，ad-bc的值越接近0，说明两个分类变量有关的可能性就越小，故D错误．综上所述，A、B、C、D四个选项中，只有B正确，故选：B．A，写出命题“∀x∈R，均有x2-x+1＞0”的否定，可判断A；B，在△ABC中，利用正弦定理可知sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，可判断B；C，线性回归方程y=+a对应的直线不一定经过其样本数据点（x1，y1）、（x2，y2）、…，（x n，y n）中的任何一个，可判断C；D，在2×2列联表中，ad-bc的值越接近0，说明两个分类变量有关的可能性就越小，可判断D．本题考查命题的真假判断与应用，着重考查命题的否定、充分必要条件、线性回归方程及列联表的理解与应用，属于中档题．4.已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，双曲线C2的方程为=1，C1与C2的离心率之积为，则C1、C2的离心率分别为（）A.，3B.，C.，2D.，【答案】B【解析】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴=，∴（）2=，，则C1的离心率==则C2的离心率：==故选：B．求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解离心率．本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．5.某几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此几何体的外接球的表面积为（）A.3πB.4πC.2πD.【答案】A【解析】解：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥．因此此几何体的外接球的直径2R=正方体的对角线，其表面积S=4πR2=3π．故选：A．如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥．因此此几何体的外接球的直径2R=正方体的对角线，利用球的表面积计算公式即可得出．本题考查了正方体的内接正四棱锥、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果，，，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】解：由图知，T=2×=π，∴ω=2，因为函数的图象经过（-，），0=sin（-+ϕ）∵＜，所以ϕ=，∴，，所以．故选C．通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f（x1+x2）即可．本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力．7.给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：当x≤2时，由x2=x得：x=0，1满足条件；当2＜x≤5时，由2x-3=x得：x=3，满足条件；当x＞5时，由=x得：x=±1，不满足条件，故这样的x值有3个．故选C．由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分x≤2，2＜x≤5，x＞5三种情况分别讨论，满足输入的x值与输出的y值相等的情况，即可得到答案．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，我们要先分析流程图（或伪代码）判断其功能，并将其转化为数学问题，建立数学模型后，用数学的方法解答即可得到答案．8.有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是（）A.12 B.24 C.36 D.48【答案】B【解析】解：由题意，第一步将黄1与黄2绑定，两者的站法有2种，第二步将此两菊花看作一个整体，与除白1，白2之外的一菊花看作两个元素做一个全排列有A22种站法，此时隔开了三个空，第三步将白1，白2两菊花插入三个空，排法种数为A32则不同的排法种数为2×A22×A32=2×2×6=24．故选B．由题设中的条件知，可以先把黄1与黄2必须相邻，可先将两者绑定，又白1与白2不相邻，可把黄1与黄2看作是一盆菊花，与白1白2之外的菊花作一个全排列，由于此两个元素隔开了三个空，再由插空法将白1白2菊花插入三个空，由分析过程知，此题应分为三步完成，由计数原理计算出结果即可．本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是本题中所用到的绑定，与插空，不同的计数问题中所采用的技巧，将这些技巧与具体的背景结合起来，熟练掌握这些技巧．9.若sinθ+cosθ=，则tan（θ+）的值是（）A.1B.--2C.-1+D.--3【答案】B【解析】解：∵sinθ+cosθ=（sinθ+cosθ）=sin（θ+）=，∴sin（θ+）=1，∴θ+=2kπ+（k∈Z）．∴θ=2kπ+（k∈Z）．∴tan（θ+）=tan（+）====-2-．故选：B．利用三角恒等变换可得sinθ+cosθ=sin（θ+）=，于是得：θ=2kπ+（k∈Z），再利用两角和的正切计算即可．本题考查三角恒等变换的应用与两角和与差的正切函数，求得θ=2kπ+（k∈Z）是关键，考查化归思想与运算求解能力，属于中档题．10.三棱锥S-ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB与AC所成的角为90°．②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是a．其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】解：由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，故①正确；再根据SB⊥AC、SB⊥AB，可得SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，故②③正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离a，④正确，故选：D．由条件根据异面直线所成的角，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，平面和平面垂直的判定定理，判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查异面直线所成的角，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，平面和平面垂直的判定定理的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．11.设实数x 、y 满足， ，则z =max {2x +3y -1，x +2y +2}的取值范围是（ ）A.[2，5]B.[2，9]C.[5，9]D.[-1，9] 【答案】 B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 2x +3y -1-（x +2y +2）=x +y -3，即z =max {2x +3y -1，x +2y +2}= ， ， ＜，其中直线x +y -3=0过A ，C 点． 在直线x +y -3=0的上方，平移直线z =2x +3y -1（红线），当直线z =2x +3y -1经过点B （2，2）时， 直线z =2x +3y -1的截距最大，此时z 取得最大值为z =2×2+3×2-1=9．在直线x +y -3=0的下方，平移直线z =x +2y +2（蓝线），当直线z =x +2y +2经过点O （0，0）时， 直线z =x +2y +2的截距最小， 此时z 取得最小值为z =0+2=2． 即2≤z ≤9， 故选：B ．作出不等式组对应的平面区域，利用作差法求出z 的表达式，然后根据平移，根据数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义确定对应的直线方程是截距本题的关键．难度较大．12.已知函数y =f （x -1）的图象关于点（1，0）对称，且当x ∈（-∞，0）时，f （x ）+xf ′（x ）＜0成立（其中f ′（x ）是f （x ）的导函数），若a =（30.3）•f （30.3），b =（log π3）•f （log π3），c =（log 3）•f （log 3），则 a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.a ＞b ＞cB.c ＞a ＞bC.c ＞b ＞aD.a ＞c ＞b 【答案】 B【解析】解：∵当x ∈（-∞，0）时不等式f （x ）+xf ′（x ）＜0成立，即：（xf （x ））′＜0， ∴xf （x ）在 （-∞，0）上是减函数．又∵函数y =f （x -1）的图象关于点（1，0）对称， ∴函数y =f （x ）的图象关于点（0，0）对称， ∴函数y =f （x ）是定义在R 上的奇函数 ∴xf （x ）是定义在R 上的偶函数∴xf （x ）在 （0，+∞）上是增函数．又∵30.3＞1＞log23＞0＞=-2，2=-＞＞＞＞，∴（-）f（-）＞30.3•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3），即（）f（）＞30.3•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3）即：c＞a＞b故选B．由函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，知f（x）为奇函数，当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立，所以xf（x）为减函数，由此能判断a，b，c的大小关系．本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的合理运用．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设a=dx，则二项式展开式中的常数项为______ ．【答案】15【解析】解：a=dx=lnx=1，∴二项式=的展开式中的通项公式为T r+1=•（-1）r•x12-3r，令12-3r=0，求得r=4，故展开式中的常数项为=15，故答案为：15．求出a，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=π，sin A=，c-a=5-，则b=______ ．【答案】【解析】解：因为C=π，sin A=，所以cos A==，由三角形内角和得B=，所以sin B=sin（）=sin cos A-cos sin A==，已知C=，所以sin C=，由正弦定理得=，又因为c-a=5-，所以c=5，a=，由sin B=，所以b===，故答案为：．由已知可求得cos A，sin B，sin C，由正弦定理得=，又因为c-a=5-，从而可求得a，即可由正弦定理求b=的值．本题主要考查了正弦定理、两角差的正弦公式的应用，属于基本知识的考查．15.若函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a的取值范围是______ ．【答案】（0，1）∪（1，4]【解析】解：函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，其真数在实数集上恒为正，即＞恒成立，即存在x∈R使得≤4，又a＞0且a≠1故可求的最小值，令其小于等于4∵∴4，解得a≤4，故实数a的取值范围是（0，1）∪（1，4]故应填（0，1）∪（1，4]函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则其真数在实数集上恒为正，将这一关系转化为不等式求解参数的范围即可．考查存在性问题的转化，请读者与恒成立问题作比较，找出二者逻辑关系上的不同．16.已知，是单位向量，•=0，若向量与向量、共面，且满足|--|=1，则||的取值范围是______ ．【答案】[-1，+1]【解析】解：由，是单位向量，•=0，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），∵向量满足|-+|=1，∴|（x-1，y+1）|=1，∴=1，即（x-1）2+（y+1）2=1．其圆心C（1，-1），半径r=1．∴|OC|=．∴-1≤||=≤+1．∴||的取值范围是[-1，+1]．故答案为：[-1，+1]．由，是单位向量，•=0．可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），由向量满足|-+|=1，可得（x-1）2+（y+1）2=1．其圆心C（1，-1），半径r=1．利用|OC|-r≤||=≤|OC|+r即可得出．本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.等差数列{a n}中公差d≠0，a1=3，a1、a4、a13成等比数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设{a n}的前n项和为S n，求：．【答案】解：（I）∵a1、a4、a13成等比数列．∴，∴（3+3d）2=3（3+12d），化为d2-2d=0，d≠0，解得d=2．∴a n=3+2（n-1）=2n+1．（II）由（I）可得：S n==n（n+2），∴．∴=++…+=．=-．【解析】（I）a1、a4、a13成等比数列．可得，利用等差数列的通项公式可得（3+3d）2=3（3+12d），解出即可．（II）由（I）可得：S n==n（n+2），．利用“裂项求和”即可得出．本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了计算能力，属于基础题．18.某公司开发一新产品有甲、乙两种型号，现分别对这两种型号产品进行质量检测，从它们的检测数据中随机抽取8次（数值越大产品质量越好），记录如下：甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5（Ⅰ）画出甲、乙两产品数据的茎叶图；（Ⅱ）现要从甲、乙中选一种型号产品投入生产，从统计学角度，你认为生产哪种型号产品合适？简单说明理由；（Ⅲ）若将频率视为概率，对产品乙今后的三次检测数据进行预测，记这三次数据中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及期望Eξ．【答案】解：（Ⅰ）由已知作出甲、乙两产品数据的茎叶图如图：（Ⅱ）甲=（8.3+9.0+7.9+7.8+9.4+8.9+8.4+8.3）=8.5，=（9.2+9.5+8.0+7.5+8.2+8.1+9.0+8.5）=8.5，乙=[（8.3-8.5）2+（9.0-8.5）2+（7.9-8.5）2+（7.8-8.5）2+（9.4-8.5）2+（8.9-8.5）甲2+（8.4-8.5）2+（8.3-8.5）2]=0.27，=[（9.2-8.5）2+（9.5-8.5）2+（8.0-8.5）2+（7.5-8.5）2+（8.2-8.5）2+（8.1-8.5）乙2+（9.0-8.5）2+（8.5-8.5）2]=0.405，∵甲=乙，甲＜乙，∴甲和乙的质量数值的平均数相同，但甲的方差较小，说明甲的数据更加稳定，故生产甲产品合适．（Ⅲ）依题意，乙不低于8.5分的频率为，ξ的可能取值为0，1，2，3，则ξ～B（3，），∴P（ξ=0）=（）3=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：∴Eξ==．【解析】（Ⅰ）由已知数据能作出甲、乙两产品数据的茎叶图．（Ⅱ）分别求出甲，乙，甲，乙，得到甲=乙，甲＜乙，这说明甲的数据更加稳定，故生产甲产品合适．（Ⅲ）依题意，乙不低于8.5分的频率为，ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ～B（3，），由此能求本题主要考查茎叶图、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AC⊥BB1，AB=A1B=AC=1，BB1=．（Ⅰ）求证：A1B⊥平面ABC；（Ⅱ）若P是棱B1C1的中点，求二面角P-AB-A1的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明：∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AC⊥BB1，又AB∩BB1=B，∴AC⊥平面ABB1A1，又A1B⊂平面ABB1A1，∴AC⊥A1B，∵AB=A1B=AC=1，BB1=，∴，∴A1B⊥AB，又AC∩AB=A，∴A1B⊥平面ABC．（Ⅱ）解：以A1C1，A1B1，BA1所在直线为x，y，z轴建立如图A1-xyz直角坐标系，A1（0，0，0），P（，，0），B（0，0，-1），==（0，1，0），=（-，-，-1），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则•=0，即y=0，•=（x，y，z）•（-，-，-1）=0，即-x-z=0，取z=1，x=-2，∴=（-2，0，1），设平面ABA1B1的法向量=（1，0，0），cos＜，＞=||==．∴二面角P-AB-A1的余弦值为．【解析】（Ⅰ）由已知得AC⊥平面ABB1A1，从而AC⊥A1B，由勾股定理得A1B⊥AB，从而能证明A1B⊥平面ABC．（Ⅱ）以B为原点，以BC，BA，BB1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AB-A1的余弦值．本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.已知函数f（x）=[ax2+（a-1）2x+a-（a-1）2]e x（其中a∈R）．（Ⅰ）若x=0为f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，解不等式＞．【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=[ax2+（a-1）2x+a-（a-1）2]e x．∴f′（x）=[ax2+（a2+1）x+a]e x，∵x=0为f（x）的极值点，∴f′（0）=a•e0=0，∴a=0；经检验成立；（Ⅱ）当a=0时，不等式＞可化为（x-1）e x＞（x-1）（x2+x+1），即（x-1）（e x-（x2+x+1））＞0，令g（x）=e x-（x2+x+1），h（x）=g′（x）=e x-x-1，h′（x）=e x-1；当x＞0时，h′（x）=e x-1＞0，当x＜0时，h′（x）=e x-1＜0；故h（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，所以h（x）＞h（0）=0；故g（x）在R上单调递增，且g（0）=0；故e x-（x2+x+1）＞0，x＞0；e x-（x2+x+1）＜0，x＜0；所以原不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}．【解析】（Ⅰ）求导f′（x）=[ax2+（a2+1）x+a]e x，从而可得a=0；（Ⅱ）当a=0时，不等式＞可化为（x-1）e x＞（x-1）（x2+x+1），即（x-1）（e x-（x2+x+1））＞0，令g（x）=e x-（x2+x+1），h（x）=g′（x）=e x-x-1，从而由导数解不等式．本题考查了导数的综合应用及不等式的解法的应用，属于中档题．21.已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线：于点M，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（1）求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x1值．【答案】解：（1）设，，则A处的切线方程为：，可得：，，，∴；∴△AFQ为等腰三角形．由点A，Q，D的坐标可知：D为线段AQ的中点，∴|AF|=4，得：∴p=2，C：x2=4y．（2）设B（x2，y2）（x2＜0），则B处的切线方程为联立得到点P，，联立得到点M，．同理，，设h为点P到MN的距离，则==①设AB的方程为y=kx+b，则b＞0，由得到x2-4kx-4b=0，得代入①得：S△==，要使面积最小，则应k=0，得到②令，得=，则′=，所以当，时，S（t）单调递减；当，∞时，S（t）单调递增，所以当时，S取到最小值为，此时，k=0，所以，解得．故△PMN面积取得最小值时的x1值为．【解析】（1）设，，则A处的切线方程为：，即可得到得D，Q的坐标，利用两点间的距离公式即可得到|FQ|=|AF|．由点A，Q，D的坐标可知：D为线段AQ 的中点，利用等腰三角形的性质可得FD⊥AQ，可得|AF|，利用两点间的距离公式及点A满足抛物线的方程即可得出．（2）设B（x2，y2）（x2＜0），则B处的切线方程为，与切线l1的方程联立即可得到点P的坐标，同理求出点M，N的坐标．进而得到三角形PMN的面积（h为点P到MN的距离），利用表达式及其导数即可得到最小值，即可得出x1的值．本题综合考查了利用导数的几何意义得到抛物线的切线的斜率、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、等腰三角形的性质、利用导数研究函数的单调性、极值与最值等知识与方法，熟练掌握其解题模式是解题的关键．22.如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．【答案】解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是R t△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．【解析】（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．23.在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．【答案】解：（1）直线I的参数方程为（t为参数），消去t，可得，3x+4y+1=0；由于ρ=cos（θ+）=（），即有ρ2=ρcosθ-ρsinθ，则有x2+y2-x+y=0，其圆心为（，-），半径为r=，圆心到直线的距离d==，故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M（，），则x+y==sin（），由于θ∈R，则x+y的最大值为1．【解析】（1）将曲线C化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长．（2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值．本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题．24.已知函数f（x）=|x-1|（Ⅰ）解不等式f（2x）+f（x+4）≥8；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：＞．【答案】（Ⅰ）解：f（2x）+f（x+4）=|2x-1|+|x+3|=，＜，＜，，当x＜-3时，由-3x-2≥8，解得x≤-；当-3＜时，由-x+4≥8，解得x∈∅；当x≥时，由3x+2≥8，解得x≥2…4分所以，不等式f（2x）+f（x+4）≥8的解集为{x|x≤-或x≥2}…5分；（Ⅱ）证明：＞等价于f（ab）＞|a|f（），即|ab-1|＞|a-b|，因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab-1|2-|a-b|2=（a2b2-2ab+1）-（a2-2ab+b2）=（a2-1）（b2-1）＞0，所以，|ab-1|＞|a-b|，故所证不等式成立…10分．【解析】（Ⅰ）依题意，f（2x）+f（x+4）=|2x-1|+|x+3|=，＜，＜，，利用分段函数分段解不等式f（2x）+f（x+4）≥8，即可求得其解集．（Ⅱ）|a|＜1，|b|＜1，＞⇔f（ab）＞|a|f（）⇔|ab-1|＞|a-b|，要证该不等式成立，只需证明|ab-1|2-|a-b|2＞0即可．本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考运算及推理、证明能力，属于中档题．。

2015年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)

2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设i是虚数单位，复数z=，则|z|=（）A.1B.C.D.2【答案】B【解析】解：∵z===i（1-i）=i+1，则|z|=．故选：B．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．2.集合U={0，1，2，3，4}，A={1，2}，B={x∈Z|x2-5x+4＜0}，则∁U（A∪B）=（）A.{0，1，3，4}B.{1，2，3}C.{0，4}D.{0}【答案】C【解析】解：集合B中的不等式x2-5x+4＜0，变形得：（x-1）（x-4）＜0，解得：1＜x＜4，∴B={2，3}，∵A={1，2}，∴A∪B={1，2，3}，∵集合U={0，1，2，3，4}，∴∁∪（A∪B）={0，4}．故选：C．求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．3.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值=（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】解：根据茎叶图，得；乙的中位数是33，∴甲的中位数也是33，即m=3；甲的平均数是甲=（27+39+33）=33，乙的平均数是乙=（20+n+32+34+38）=33，∴n=8；∴=．故选：D．根据茎叶图，利用中位数相等，求出m的值，再利用平均数相等，求出n的值即可．本题考查了中位数与平均数的计算问题，是基础题目．4.某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A.3种B.6种C.9种D.18种【答案】C【解析】解：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C21C32种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C22C31种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C21C32+C22C31=6+3=9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A 类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．5.如图，y=f（x）是可导函数，直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，令g（x）=xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）=（）A.-1B.0C.2D.4【答案】B【解析】解：∵直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，∴f（3）=1，又点（3，1）在直线L上，∴3k+2=1，从而k=，∴f′（3）=k=，∵g（x）=xf（x），∴g′（x）=f（x）+xf′（x）则g′（3）=f（3）+3f′（3）=1+3×（）=0，先从图中求出切线过的点，再求出直线L的方程，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率，最后结合导数的概念求出g′（3）的值．本题考查导数的几何意义，曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率．6.有四个关于三角函数的命题：p1：sinx=siny⇒x+y=π或x=y；p2：∀x∈R，sin2+cos2=1；p3：x，y∈R，cos（x-y）=cosx-cosy；p4：∀x∈[0，]，=cosx．其中真命题是（）A.p1，p2B.p2，p3C.p1，p4D.p2，p4【答案】D【解析】解：p1：若sinx=siny⇒x+y=π+2kπ或x=y+2kπ，k∈Z，故错误；p2：根据同角三角函数基本关系的平方关系，可得：∀x∈R，sin2+cos2=1，故正确；p3：x，y∈R，cos（x-y）=cosxcosy+sinxsiny，与cosx-cosy不一定相等，故错误；p4：∀x∈[0，]，==|cosx|=cosx，故正确．故选：D．根据三角函数的定义及周期性，可判断p1；根据同角三角函数基本关系的平方关系，可判断p2；根据两角差的余弦公式，可判断p3；根据二倍解的余弦公式，及根式的运算性质，可判断p4．本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，全（特）称命题，三角函数，属于基础题．7.若实数x、y满足且z=2x+y的最小值为4，则实数b的值为（）A.1B.2C.D.3【答案】D【解析】解：作出不等式组对于的平面区域如图：∵z=2x+y的最小值为4，即2x+y=4，且y=-2x+z，则直线y=-2x+z的截距最小时，z也取得最小值，则不等式组对应的平面区域在直线y=-2x+z的上方，由；，解得，即A（1，2），此时A也在直线y=-x+b上，即2=-1+b，故选：D作出不等式组对于的平面区域，根据z=2x+y的最小值为4，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．8.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A.8πB.16πC.32πD.64π【答案】C【解析】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r=2，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：R==2，故外接球的表面积S=4πR2=32π，故选：C由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9.已知函数f（x）=，＞，函数g（x）=f（x）-2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A.[-1，3）B.[-3，-1]C.[-3，3）D.[-1，1）【答案】A【解析】解：∵f（x）=，＞，，∴g（x）=f（x）-2x=，＞，，而方程-x+3=0的解为3，方程x2+4x+3=0的解为-1，-3；若函数g（x）=f（x）-2x恰有三个不同的零点，则＞，解得，-1≤a＜3实数a的取值范围是[-1，3）．故选：A．化简g（x）=f（x）-2x=，＞，，而方程-x+3=0的解为3，方程x2+4x+3=0的解为-1，-3；从而可得＞，从而解得．本题考查了分段函数的化简与函数零点的判断，属于基础题．10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin（B+A）+sin（B-A）=2sin2A，且c=，C=，则△ABC的面积是（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】解：∵在△ABC中，C=，∴B=-A，B-A=-2A，∵sin（B+A）+sin（B-A）=2sin2A∴sin C+sin（-2A）=2sin2A，即sin C+cos2A+sin2A=2sin2A，整理得：sin（2A-）=sin C=，∴sin（2A-）=，又A∈（0，），∴2A-=，解得A=，当A=时，B=，tan C===，解得a=，∴S△ABC=acsin B=××=；故选：B依题意，可求得B-A=-2A，利用两角差的正弦可求得sin（2A-）=，又A∈（0，），可求得A=，即可求得△ABC的面积本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦、余弦公式，二倍角公式的应用，属于中档题11.如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A.|BM|是定值B.点M在某个球面上运动C.存在某个位置，使DE⊥A1CD.存在某个位置，使MB∥平面A1DE【答案】C【解析】解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确由∠A1DE=∠MFB，MF=A1D=定值，FB=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故A正确．∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故B正确，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确．故选：C．取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A1DE，可得D正确；由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，可得A，B正确．A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得C 不正确．掌握线面、面面平行与垂直的判定和性质定理及线面角、二面角的定义及求法是解题的关键．12.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】设P到右准线的距离为d；过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分别交l于P1，Q1；∵，3|PF2|=2|QF2|；∴，；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，则：；∴解得d=；∵根据双曲线的定义，|PF1|-|PF2|=2a，∴|PF2|=2c-2a；∴根据双曲线的第二定义，；整理成：；∴解得，或（舍去）；即该双曲线的离心率为．故选A．先作出图形，并作出双曲线的右准线l，设P到l的距离为d，根据双曲线的第二定义即可求出Q到l的距离为．过Q作l的垂线QQ1，而过P作QQ1的垂线PM，交x轴于N，在△PMQ中有，这样即可求得d=，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF2|=2c-2a，所以根据双曲线的第二定义即可得到，进一步可整理成，这样解关于的方程即可．考查双曲线的第二定义，双曲线的准线方程，双曲线的焦距、焦点的概念，以及对双曲线的定义的运用，双曲线的离心率的概念，相似三角形的比例关系．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知点A（-1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为______ ．【答案】2【解析】解：由已知得到=（1，2），=（4，3），所以向量在方向上的投影为==2；故答案为：2．首先分别求出，的坐标，然后利用向量的数量积公式求投影．本题考查了有向线段的坐标表示以及利用向量的数量积求向量的投影；属于基础题．14.已知实数m是2和8的等比中项，则抛物线y=mx2的焦点坐标为______ ．【答案】（0，±）【解析】解：∵实数m是2和8的等比中项，∴m2=16，m=±4，由y=mx2，得，若m=4，则，即2p=，，焦点坐标为（0，）；若m=-4，则，即2p=，，焦点坐标为（0，-）．∴抛物线y=mx2的焦点坐标为：（0，±）．故答案为：（0，±）．由等比中项概念求得m的值，代入抛物线方程，分m=4和m=-4求得抛物线的焦点坐标．本题考查了等比中项的概念，考查了抛物线的简单几何性质，属中档题．15.执行如图所示的程序框图，输出的S值是______ ．【答案】-1-【解析】解：模拟程序框图的运行过程，如下；n=1，s=0，s=0+cos=；n=2，n≥2015？，否，s=+cos=；n=3，n≥2015？，否，s=+cos=0；n=4，n≥2015？，否，s=0+cosπ=-1；n=5，n≥2015？，否，s=-1+cos=-1-；n=6，n≥2015？，否，s=-1-+cos=-1-；n=7，n≥2015？，否，s=-1-+cos=-1；n=8，n≥2015？，否，s=-1+cos2π=0；n=9，n≥2015？，否，s=0+cos=；…；s的值是随n的变化而改变的，且周期为8，又2015=251×8+7，此时终止循环，∴输出的s值与n=6时相同，为s=-1-．故答案为：-1-．模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是s=cos+cos+cos+cos+cos+…+cos的值，由此求出结果即可．本题考查了程序框图的应用问题，也考查了余弦函数求值的应用问题，是基础题目．16.已知偶函数y=f（x）对于任意的x∈[0，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式中成立的有______ ．（1）f（-）＜f（）（2）f（-）＞f（-）（3）f（0）＜f（-）（4）f（）＜f（）【答案】（2）（3）（4）【解析】解：∵偶函数y=f（x）对于任意的x∈[0，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0∴g（x）=，g′（x）=′＞0，∴x∈[0，），g（x）=是单调递增，且是偶函数，∴g（-）=g（），g（-）=g（），∵g（）＜g（），∴，即f（＞f（），（1）化简得出f（-）=f（）＞f（），所以（1）不正确．（2）化简f（-）＞f（-），得出f（）＞f（），所以（2）正确．又根据g（x）单调性可知：g（）＞g（0），∴＞，∴f（0）＜f（），∵偶函数y=f（x）∴即f（0）＜f（-），所以（3）正确．∵根据g（x）单调性可知g（）＞g（），∴，f（）＞f（）．所以（4）正确．故答案为：（2）（3）（4）运用g′（x）=′＞0，构造函数g（x）=是单调递增，且是偶函数，根据奇偶性，单调性比较大小．运用得出f（＞f（），可以分析（1），（2），根据单调性得出g（）＞g（0），g（）＞g（），判断（3）（4）．本题考查了运用导数判断函数的单调性，结合三角函数，偶函数性质，判断函数值的大小比较，关键根据式子确定是哪个函数值，属于中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1=1，且a3，a4+，a11成等比数列．（Ⅰ）求a n的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：（Ⅰ）设等差数列公差为d，由题意知d＞0，∵a3，，a11成等比数列，∴（）2=a3a11，∴，即44d2-36d-45=0，解得或（舍去），所以；（Ⅱ）因为b n===，所以数列{b n}的前n项和T n==．【解析】（Ⅰ）由题意知（）2=a3a11，从而可得公差，所以；（Ⅱ）将b n=列项为，求和即得T n的值．本题考查数列的通项公式及求前n项和，解题时要认真审题，仔细解答，采用裂项相消法是解题的关键，属中档题．18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC=60°，∠BCA=90°．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）已知点E是AB的中点，BC=AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连接A1O，由于平面ABC⊥平面AA1C1C，A1O⊥AC，所以：A1O⊥平面ABC，所以：A1O⊥BC，又BC⊥AC，所以：BC⊥平面A1AC，又AC1⊥A1C，A1C为A1B的射影，所以：A1B⊥AC1．（Ⅱ）以O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，A（0，-1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，），则：，，，，，，设=（x，y，z）是平面ABB1A1的法向量，所以：，求得：，，，由E（1，0，0）求得：，，，直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值sinθ=cos＜，＞=．【解析】（Ⅰ）首先利用面面垂直转化成线面垂直，进一步得出线线垂直．（Ⅱ）根据两两垂直的关系，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进一步利用向量的夹角余弦公式求出线面的夹角的正弦值．本题考查的知识要点：线面垂直与面面垂直与线线垂直之间的转化，空间直角坐标系，法向量的应用，线面的夹角的应用，主要考查学生的空间想象能力．19.某商场每天（开始营业时）以每件150元的价格购入A商品若干件（A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商店对没卖出的A商品以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验，4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完后，当天不再购进A商品）．该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．（其中x+y=70）不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少？（Ⅱ）若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围．【答案】解：（1）恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是A，则P（A）==；（2）设销售A商品获得利润为X，（单位，元），以题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件，当购进A商品4件时，EX=150×4=600，当购进A商品5件时，EX=（150×4-50）×0.3+150×5×0.7=690，当购进A商品6件时，EX=（150×4-2×50）×0.3+（150×5-50）×+150×6×=780-2x，由题意780-2x≤690，解得x≥45，又知x≤100-30=70，所以x的取值范围为[45，70]．x∈N*．【解析】（1）根据排列组合，可以求出总的事件的个数和满足条件的基本事件的个数，根据概率公式计算即可；（2）设销售A商品获得利润为X，则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件，分别求出其利润，根据题意列出不等式解得即可．本题考查了古典概型概率问题，以及数学期望的问题，属于中档题．20.设椭圆C：+=1（a＞b＞0），F1、F2为左右焦点，B为短轴端点，且S=4，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|+|=|-|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0），由题意可得，=•2c•b=4，e==，且a2=b2+c2；联立解得，；故椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆x2+y2=r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，∵|+|=|-|，∴•=0；设M（x1，y1），N（x2，y2），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y=kx+m，解方程组得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，则△=（4km）2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）＞0；即8k2-m2+4＞0；∴x1+x2=-，x1x2=；y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=；要使•=0，故x1x2+y1y2=0；即+=0；所以3m2-8k2-8=0，所以3m2-8≥0且8k2-m2+4＞0；解得m≥或m≤-；因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r=，r2===；故r=；即所求圆的方程为x2+y2=；此时圆的切线y=kx+m都满足m≥或m≤-；而当切线的斜率不存在时切线为x=±与椭圆+=1的两个交点为（，±），（-，±）；满足•=0，综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=满足条件．【解析】（Ⅰ）由题意可得方程=•2c•b=4，e==，且a2=b2+c2；从而联立解出椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆x2+y2=r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，则可得•=0；再设M（x1，y1），N（x2，y2），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y=kx+m，联立方程组可得x1+x2=-，x1x2=；y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=；从而再由x1x2+y1y2=0可得3m2-8k2-8=0，从而可解得m≥或m≤-；从而解出所求圆的方程为x2+y2=；再验证当切线的斜率不存在时也成立即可．本题考查了圆锥曲线的应用，化简很复杂，应用到了根与系数的关系以简化运算，属于难题．21.已知函数f（x）=ax+ln（x-1），其中a为常数．（Ⅰ）试讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=时，存在x使得不等式|f（x）|-≤成立，求b的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）由已知易得函数f（x）的定义域为：{x|x＞1}，f′（x）=a+=，当a≥0时，f′（x）＞0在定义域内恒成立，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），当a＜0时，由f′（x）=0得x=1-＞，当x∈（1，1-）时，f′（x）＞0，当x∈（1-，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）的单调递增区间为（1，1-），递减区间为（1-，+∞）；（Ⅱ）由（I）知当a=时，f（x）=x+ln（x-1），且f（x）的单调增区间为（1，e），单调减区间为（e，+∞），所以f（x）max=f（e）=+ln（e-1）＜0，所以|f（x）|≥-f（e）=恒成立，（当x=e时取等号）令，则′，当1＜x＜e时，g（x）＞0；当x＞e时，g（x）＜0，从而g（x）在区间（1，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减，所以g（x）max=g（e）=，所以，存在x使得不等式|f（x）|-≤成立，只需-≤，即：b≥-2ln（e-1）．【解析】（Ⅰ）先求函数f（x）的定义域及f′（x）=，再分a≥0时、a＜0时两种情况考虑即可；（Ⅱ）由（I）可得f（x）max=+ln（e-1）＜0，令，求出g（x）的单调区间，从而可得g（x）max=g（e）=，所以原不等式成立只需-≤，解之即可．本题主要考查函数的单调性及与不等式的综合，比较复杂的函数的单调性，一般用导数来研究，将其转化为函数方程不等式综合问题解决，研究不等式时一定要先确定函数的单调性才能求解．22.如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．【答案】证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E=∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC=90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD=AE：AC，∴AB•AC=AD•AE．又AB=BC，∴BC•AC=AD•AE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2=AF•BF，∵AF=2，CF=2，∴（2）2=2BF，解得BF=4．∴AB=BF-AF=2．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC=AC：BC，∴AC==．∴cos∠ACD=，∴sin∠ACD==sin∠AEB，=∴AE=∠【解析】（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E与∠ACB 都是所对的圆周角，可得∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（II）利用切割线定理可得CF2=AF•BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sin∠ACD=sin∠AEB，AE=，即可得出答案．∠本题考查了圆的性质、三角形相似、切割线定理，属于中档题．23.在直角坐标系x O y中，曲线M的参数方程为（α为参数），若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin（θ+）=t（t为参数）．（Ⅰ）求曲线M和N的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．【答案】解：（1）由x=，得x2=2cos2α，所以曲线M可化为y=x2-1，x∈[-2，2]，由ρsin（）=t，得ρsinθρcosθ=t，所以ρsinθ+ρcosθ=t，所以N可化为x+y=t，（2）若曲线N与曲线M有公共点，则当直线N过点（2，3）时，满足要求，此时t=5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立得x2+x-1-t=0，△=1+4（1+t）=0，解得t=，综上可得t的取值范围≤t≤5．【解析】（1）平方得x2=2cos2α，代入第二个式子化简得出ρsinθ+ρcosθ=t，根据y=ρsinθ，x=ρcosθ，化简得出x+y=t．（2）t=5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立利用判别式问题求解．本题考查了参数方程的与普通方程的转化问题，曲线的公共点问题，利用方程有解问题，转化为判别式求解，思路简单，属于中档题．24.已知函数f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4-|x-1|；（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），若|x-a|-f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4-|x-1|，即|3x+2|+|x-1|＜4，∴＜＜①，或＜＜②，或＜③．解①求得-＜x＜-，解②求得-≤x＜，解③求得x∈∅．综上可得，不等式的解集为（-，）．（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），∴+=（m+n）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当m=n=时，取等号．再根据|x-a|-f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x-a|-f（x）≤4，即|x-a|-|3x+2|≤4．设g（x）=|x-a|-|3x+2|=，＜，，＞，故函数g（x）的最大值为g（-）=+a，再由+a≤4，求得0＜a≤．【解析】（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得+≥4，结合题意可得|x-a|-|3x+2|≤4恒成立．令g（x）=|x-a|-|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2015年河南省六市高考数学二模试卷(文科)

2015年河南省六市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2-3x＜0}，若A∩B≠∅，则b等于（）A.1B.2C.3D.1或2【答案】D【解析】解：∵集合B={x∈Z|x2-3x＜0}={1，2}，集合A={0，b}，若A∩B≠∅，则b=1或b=2，故选：D．解不等式求出集合B，进而根据A∩B≠∅，可得b值．本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2.若复数z满足（2-i）z=|1+2i|，则z的虚部为（）A.-B.C.D.-【答案】B【解析】解：设复数z=a+bi（a，b∈R），∵复数z满足（2-i）z=|1+2i|，∴（2-i）（a+bi）=，∴2a+b+（2b-a）i=，∴，解得．故选：B．设复数z=a+bi（a，b∈R），由于复数z满足（2-i）z=|1+2i|，可得2a+b+（2b-a）i=，利用复数相等即可得出．本题考查了复数的运算和相等，属于基础题．3.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在（-∞，0）上单调递增的函数是（）A.f（x）=x2B.f（x）=-log2|x|C.f（x）=3|x|D.f（x）=sinx【答案】B【解析】解：A．f（x）=x2是偶函数，在（-∞，0）上单调递减，不满足条件．B．f（x）=-log2|x|是偶函数，在（-∞，0）上单调递增，满足条件．C．f（x）=3|x|是偶函数，在（-∞，0）上单调递减，不满足条件．D．f（x）=sinx是奇函数，不满足条件．故选：B根据函数奇偶性和单调性的定义和性质分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，比较基础．4.下列有关命题的说法正确的是（）A.命题“∀x∈R，均有x2-x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2-x+1＜0”B.“x=3”是“2x2-7x+3=0”成立的充分不必要条件C.若“p∧（￢q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题D.存在m∈R，使f（x）=（m-1）-4m+3是幂函数，且在（0，+∞）上是递增的【答案】B【解析】解：对于A，命题“∀x∈R，均有x2-x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2-x+1＜0”，不满足特称命题与全称命题的否定关系，所以A不正确；对于B，“x=3”可以推出“2x2-7x+3=0”成立，但是2x2-7x+3=0，不一定有x=3，所以“x=3”是“2x2-7x+3=0”成立的充分不必要条件，所以B正确．对于C，若“p∧（￢q）”为真命题，说明P，￢q是真命题，则“p∧q”也为假命题，所以C不正确；对于D，存在m∈R，使f（x）=（m-1）-4m+3是幂函数，可得m=2，函数化为：f （x）=x0=1，所函数在（0，+∞）上是递增的是错误的，所以D不正确；故选：B．利用命题的否定判断A的正误；利用充要条件判断B的正误；利用命题的真假判断C 的正误；幂函数的定义判断D的正误；本题考查命题的真假的判断，命题的否定、充要条件、复合命题的真假以及幂函数的性质的应用，基本知识的考查．5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为100，则输出S的值为（）A.-1050B.5050C.-5050D.-4950【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可知：s=0，k=1满足条件k≤100，不满足条件k是偶数，s=12，k=2满足条件k≤100，满足条件k是偶数，s=12-22，k=3…该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=12-22+32-42+…+992-1002的值，∵S=12-22+32-42+…+992-1002=（1-2）（1+2）+（3-4）（3+4）+…+（99-100）（99+100）=-（1+2+3+4+…+99+100）=-=-5050，故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6.某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（）A.3+3B.8+3C.6+6D.8+6【答案】B【解析】解：由已知中三视图可得该几何体为一个棱台，下底面为边长为2的正方形，面积为4；上底面为边长为1的正方形，面积为1；左侧面和后侧面是上底为1，下底为2，高为1的梯形，每个面的面积为右侧面和前侧面是上底为1，下底为2，高为的梯形，每个面的面积为故该几何体的表面积为4+1+2×+2×=8+3故选：B由已知中三视图可得该几何体为一个棱台，根据已知分析各个面的形状，求出面积后，相加可得该几何体的表面积本题考查的知识点是由三视图，求表面积，其中根据已知分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．7.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S m-1=5，S m=-11，S m+1=21，则m=（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】解：在等比数列中，∵S m-1=5，S m=-11，S m+1=21，∴a m=S m-S m-1=-11-5=-16，a m+1=S m+1-S m=21-（-11）=32，则公比q=，∵S m=-11，∴，①又，②两式联立解得m=5，a1=-1，故选：C．根据等比数列的通项公式和前n项和公式，建立方程组即可解得m的值．本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式的计算和应用，考查学生的计算能力．8.过点M（1，2）的直线l与圆C：（x-3）2+（y-4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是（）A.x-2y+3=0B.2x+y-4=0C.x-y+1=0D.x+y-3=0【答案】D【解析】解：将圆的方程化为标准方程为（x-3）2+（y-4）2=25，∴圆心坐标C为（3，4），∵M（1，2），∴k CM==1，∴k AB=-1，则此时直线l的方程为y-2=-（x-1），即x+y-3=0．故选：D．当直线AB与直线CM垂直时，∠ACB最小，由M与C的坐标求出直线CM的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出直线AB的斜率，由M坐标与求出的斜率即可得出此时直线l的方程．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r 时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．根据题意得出当直线AB与直线CM垂直时∠ACB最小是解本题的关键．9.定义式子运算为=a1a4-a2a3将函数f（x）=的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题意可知f（x）=cosx-sinx=2cos（x+）将函数f（x）的图象向左平移n（n＞0）个单位后得到y=2cos（x+n+）为偶函数∴2cos（-x+n+）=2cos（x+n+）∴cosxcos（n+）+sinxsin（n+）=cosxcos（n+）-sinxsin（n+）∴sinxsin（n+）=-sinxsin（n+）∴sinxsin（n+）=0∴sin（n+）=0∴n+=kπ∴n=-+kπn大于0的最小值等于故选C．先根据题意确定函数f（x）的解析式，然后根据左加右减的原则得到平移后的解析式，再根据偶函数的性质可确定n的值．本题主要考查两角和与差的余弦公式、三角函数的奇偶性和平移变换．平移时根据左加右减上加下减的原则进行平移．10.已知函数f（x）=x3+ax2+cx，g（x）=ax2+2ax+c，a≠0，则它们的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为f（x）=，f′（x）=ax2+2ax+c，则函数f′（x）即g（x）图象的对称轴为x=-1，故可排除A，D；由选项C的图象可知，当x＞0时，f'（x）＞0，故函数在（0，+∞）上单调递增，但图象中函数f（x）在（0，+∞）上不具有单调性，故排除C．本题应选B．故选：B．求出函数f（x）的导数，判断导函数的对称轴，排除选项，利用函数的单调性排除C，推出结果．本题考查函数的图象的判断，导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．11.已知抛物线的方程为y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若S△AOF=3S△BOF（O为坐标原点），则|AB|=（）A. B. C. D.4【答案】A【解析】解：设直线的AB的倾斜角为锐角，∵S△AOF=3S△BOF，∴y A=-3y B，∴设AB的方程为x=my+1，与y2=4x联立消去x得，y2-4my-4=0，∴y A+y B=4m，y A y B=-4．∴+==-2==-3-，∴m2=，∴|AB|=•=．故选：A．根据对称性可设直线的AB的倾斜角为锐角，利用S△AOF=3S△BOF，求得y A=-3y B，设出直线AB的方，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出y A+y B和y A y B，进而求得利用+，求得m，最后利用斜率和A，B的坐标求得|AB|．本题主要考查了抛物线的概念和性质，直线和抛物线的综合问题．要注意解题中出了常规的联立方程，用一元二次方程根与系数的关系表示外，还可考虑运用某些几何性质．12.设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f （x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（-2015）+f（-2014）+f（-2013）+…+f（2014）+f（2015）=（）A.0B.2014C.4028D.4031【答案】D【解析】解：∵f（x）=x3+sinx+1，∴f′（x）=3x2-cosx，f''（x）=6x+sinx又∵f''（0）=0而f（x）+f（-x）=x3+sinx+1+-x3-sinx+1=2，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，∴f（-2015）+f（-2014）+f（-2013）+…+f（2014）+f（2015）=2×2015+f（0）=4030+1=4031．故选：D．函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，再利用倒序相加，即可得到结论本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，是解题的关键．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知向量=（，1），=（0，-1），=（t，），若-2与共线，则t= ______ ．【答案】1【解析】解：∵=（，1），=（0，-1），∴-2=，，，，又=（t，），且-2与共线，则，解得：t=1．故答案为：1．由向量减法的坐标运算及数乘运算求得若-2的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求得t的值．平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2-a2b1=0，是基础题．14.设x，y满足，则z=2x-y的最大值为3，则m= ______ ．【答案】【解析】解：由z=2x-y，得y=2x-z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x-z，由平移可知当直线y=2x-z，经过点A时，直线y=2x-z的截距最小，此时z取得最大值3，由，解得，即A（，）．将A的坐标代入x-y+m=0，得m=y-x=-=，故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合z=2x-y的最大值为3，利用数形结合即可得到结论．．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15.一个所有棱长均为的正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面的中心）的顶点与底面的三个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为______ ．【答案】【解析】解：正三棱锥的边长为，则该正三棱锥所在的正方体也为外接球的内接几何体．所以正方体的体对角线为外接球的直径．正方体的边长为1，所以所求球的半径为：r=，所以球的体积为：V球=．故答案为：求出正四棱锥底面对角线的长，判断底面对角线长，就是球的直径，即可求出球的体积．本题是中档题，考查空间想象能力，注意正三棱锥和正方体的转化，正方体额对角线的长是球的直径是解题的关键点，考查计算能力．16.对正整数n，设曲线y=x n（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则数列的前n项和的公式是______ ．【答案】2n+1-2【解析】解：y′=nx n-1-（n+1）x n，曲线y=x n（1-x）在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-（n+1）2n切点为（2，-2n），所以切线方程为y+2n=k（x-2），令x=0得a n=（n+1）2n，令b n=．数列的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2．故答案为：2n+1-2．欲求数列的前n项和，必须求出在点（1，1）处的切线方程，须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率即得直线方程进而得到切线与y轴交点的纵坐标．最后利用等比数列的求和公式计算，从而问题解决．本题考查应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前n项和的公式．解后反思：应用导数求曲线切线的斜率时，要首先判定所经过的点为切点．否则容易出错．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知函数f（x）=cosxcos（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（c）=-，a=2，且△ABC 的面积为2，求边长c的值．【答案】解：（1）化简可得f（x）=cosxcos（x+）=cosx（cosx-sinx）=cos2x-sinxcosx=-sin2x=cos（2x+）+，∴f（x）的最小正周期T==π；（2）由题意可得f（C）=cos（2C+）+=-，∴cos（2C+）=-1，∴C=，又∵△ABC的面积S=absin C=ab=2，∴ab=8，∴b===4，由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=12，∴c=2【解析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=cos（2x+）+，由周期公式可得；（2）结合（1）可得C=，由题意和面积公式可得ab的值，进而由余弦定理可得c值．本题考查余弦定理，涉及三角函数的周期性和三角形的面积公式，属中档题．18.某市一水电站的年发电量y（单位：亿千瓦时）与该市的年降雨量x（单位：毫米）有如下统计数据：（Ⅰ）若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率；（Ⅱ）由表中数据求得线性回归方程为=0.004x+．该水电站计划2015年的发电量不低于9.0亿千瓦时，现由气象部门获悉2015年的降雨量约为1800毫米，请你预测2015年能否完成发电任务，若不能，缺口约为多少亿千瓦时？【答案】解：（I）从统计的5年发电量中任取2年的基本事件为（7.4，7.0），（7.4，9.2），（7.4，7.9），（7.4，10.0），（7.0，9.2），（7.0，7.9），（7.0，10.0），（9.2，7.9），（9.2，10.0），（7.9，10.0）共10个．（3分）其中2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的基本事件为（7.4，7.0），（7.4，7.9），（7.0，7.9），共3个．（5分）所以这2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率．（6分）（II）∵，（7分）．（8分）又直线过点，，（9分）∴，解得，∴．（10分）当x=1800时，＜，（11分）所以不能完成发电任务，缺口量为0.3（亿千瓦时）．（12分）【解析】（Ⅰ）确定从统计的5年发电量中任取2年的基本事件、2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的基本事件，即可求出这2年的发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率；（Ⅱ）先求出线性回归方程，再令x=1800，即可得出结论．本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．19.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1-A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．【答案】解：（Ⅰ）如下图所示：连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直棱柱，∴B1B⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴B1B⊥AC，∴AC⊥平面B1BDD1．∵D1E⊂平面B1BDD1，∴AC⊥D1E．（Ⅱ）∵，EB1⊥平面A1B1C1D1，∴．∵，∴．∴EB1=2．∵AD∥A1D1，∴∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角．在R t△EB1D1中，求得．∵D1A1⊥平面A1ABB1，∴D1A1⊥A1E．在R t△EB1D1中，得∠，∴∠A1D1E=60°．∴异面直线AD，D1E所成的角为60°．【解析】（Ⅰ）首先，连结BD，可以首先，证明AC⊥平面B1BDD1，然后，得到AC⊥D1E；（Ⅱ）首先，可以得到∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角，然后，根据，求解得到，∠A1D1E=60°．本题重点考查了线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成的角等知识，属于中档题．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点所围成菱形的面积为8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知直线L：y=kx+m与椭圆C交于两个不同点A（x1，x2）和B（x2，y2），O为坐标原点，且k OA•k OB=-，求y1，y2的取值范围．【答案】解：（I）由已知可得e==，•2a•2b=8，又a2=b2+c2，解得c=2，b=2，a2=8．∴椭圆的方程为+=1．（II）直线L：y=kx+m与椭圆C交于两个不同点A（x1，x2）和B（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）＞0，化为8k2+4＞m2，①∴x1+x2=，x1x2=．∵满足k OA•k OB=-，∴=-．∴y1y2=-x1x2=-•=-，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2•+km•+m2=．∴-=．∴4k2+2=m2，即有y1y2=-=-=-2，则y1y2∈（-2，2]．【解析】（I）利用菱形的面积和椭圆的性质即可得出；（II）联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，以及直线的斜率公式，化简整理，即可得到y1y2的范围．本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线的斜率公式、菱形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．21.已知函数f（x）=-1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）证明：∀n∈N*，不等式ln（）e＜．【答案】解：（1）函数f（x）的定义域是：（0，+∞）由已知′令f′（x）=0得，1-lnx=0，∴x=e∵当0＜x＜e时，′＞，当x＞e时，′＜∴函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，（2）由（1）知函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减故①当0＜2m≤e即＜时，f（x）在[m，2m]上单调递增∴，②当m≥e时，f（x）在[m，2m]上单调递减∴，③当m＜e＜2m，即＜＜时∴．（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，，∴在（0，+∞）上恒有，即且当x=e时“=”成立，∴对∀x∈（0，+∞）恒有，∵＞，，∴＜＜即对∀n∈N*，不等式＜恒成立．【解析】（1）利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键，利用导函数的正负确定出函数的单调性；（2）利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题，注意分类讨论思想的运用；（3）利用导数作为工具完成该不等式的证明，注意应用函数的最值性质．此题是个中档题．本题考查导数在函数中的应用问题，考查函数的定义域思想，考查导数的计算，考查导数与函数单调性的关系，考查函数的最值与导数的关系，体现了等价转化的数学思想和分类讨论的思想，同时考查了学生的计算能力．22.如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E．（1）求证：AB2=DE•BC；（2）若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．【答案】解：（1）∵AD∥BC∴AB=DC，∠EDC=∠BCD，又PC与⊙O相切，∴∠ECD=∠DBC，∴△CDE∽△BCD，∴，∴CD2=DE•BC，即AB2=DE•BC．（2）由（1）知，，∵△PDE∽△PBC，∴．又∵PB-PD=9，∴，．∴．∴．【解析】对于（1）求证：AB2=DE•BC，根据题目可以判断出梯形为等腰梯形，故AB=CD，然后根据角的相等证△CDE相似于△BCD，根据相似的性质即可得到答案．对于（2）由BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．根据弦切公式可得PC2=PD•PB，然后根据相似三角形边成比例的性质求出PD和PB代入即可求得答案．此题主要考查由相似三角形的性质解三角形的一系列问题，其中应用到弦切公式，题目属于平面几何的问题，涵盖的知识点比较多，有一定的技巧性，属于中档题目．23.在直角坐标系x O y中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【答案】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x-1）2+y2=1，∴ρ2-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1-ρ2|=2．∴|PQ|=2．【解析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1-ρ2|即可得出．本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24.设函数f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．（I）求a；（Ⅱ）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求+的最小值．【答案】解：（I）函数f（x）=|x+1|+|x|=，＜，，＞，当x∈（-∞，0]时，f（x）单调递减；当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，所以当x=0时，f（x）的最小值a=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，由m2+n2≥2mn，得mn≤，∴≥2故有+≥2≥2，当且仅当m=n=时取等号．所以+的最小值为2．【解析】（I）化简函数的解析式，再利用函数的单调性求得函数的最小值，再根据函数的最小值为a，求得a的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，利用基本不等式求得≥2，再利用基本不等式求得+的最小值．本题主要考查带有绝对值的函数，利用函数的单调性求函数的最值，基本不等式的应用，属于中档题．。

河南省六市高考数学二模试卷 文(含解析)

河南省六市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠∅，则b等于( )A．1 B．2 C．3 D．1或22．若复数z满足（2﹣i）z=|1+2i|，则z的虚部为( )A．﹣B．C．D．﹣3．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的函数是( ) A．f（x）=x2B．f（x）=﹣log2|x| C．f（x）=3|x|D．f（x）=sinx4．下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”B．“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件C．若“p∧（￢q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题D．存在m∈R，使f（x）=（m﹣1）﹣4m+3是幂函数，且在（0，+∞）上是递增的5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为100，则输出S的值为( )A．﹣1050 B．5050 C．﹣5050 D．﹣49506．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为( )A．3+3B．8+3C．6+6D．8+67．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=5，S m=﹣11，S m+1=21，则m=( )A．3 B．4 C．5 D．68．过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（ y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是( )A．x﹣2y+3=0 B．2x+y﹣4=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣3=09．定义式子运算为=a1a4﹣a2a3将函数f（x）=的图象向左平移n（n ＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为( )A．B．C．D．10．已知函数f（x）=+2ax+c，a≠0，则它们的图象可能是( )A．B．C．D．11．已知抛物线的方程为y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若S△AOF=3S△BOF （O为坐标原点），则|AB|=( )A．B．C．D．412．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f+f=( )A．0 B．2014 C．4028 D．4031二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t=__________．14．设x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为3，则m=__________．15．一个所有棱长均为的正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面的中心）的顶点与底面的三个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为__________．16．对正整数n，设曲线y=x n（1﹣x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则数列的前n项和的公式是__________．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知函数f（x）=cosxcosx（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（c）=﹣，a=2，且△ABC 的面积为2，求边长c的值．18．某市一水电站的年发电量y（单位：亿千瓦时）与该市的年降雨量x（单位：毫米）有如下统计数据：2010年2011年2012年2013年2014年降雨量x（毫米）1500 1400 1900 16002100发电量y（亿千瓦时）7.4 7.0 9.2 7.9 10.0 （Ⅰ）若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率；（Ⅱ）由表中数据求得线性回归方程为=0.004x+．该水电站计划的发电量不低于9.0亿千瓦时，现由气象部门获悉的降雨量约为1800毫米，请你预测能否完成发电任务，若不能，缺口约为多少亿千瓦时？19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B 上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点所围成菱形的面积为8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知直线L：y=kx+m与椭圆C交于两个不同点A（x1，x2）和B（x2，y2），O为坐标原点，且k OA•k OB=﹣，求y1，y2的取值范围．21．已知函数f（x）=﹣1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）证明：∀n∈N*，不等式ln（）e＜．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E．（1）求证：AB2=DE•BC；（2）若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．（I）求a；（Ⅱ）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求+的最小值．河南省六市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠∅，则b等于( ) A．1 B．2 C．3 D．1或2考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解不等式求出集合B，进而根据A∩B≠∅，可得b值．解答：解：∵集合B={x∈Z|x2﹣3x＜0}={1，2}，集合A={0，b}，若A∩B≠∅，则b=1或b=2，故选：D．点评：本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．若复数z满足（2﹣i）z=|1+2i|，则z的虚部为( )A．﹣B．C．D．﹣考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：设复数z=a+bi（a，b∈R），由于复数z满足（2﹣i）z=|1+2i|，可得2a+b+（2b﹣a）i=，利用复数相等即可得出．解答：解：设复数z=a+bi（a，b∈R），∵复数z满足（2﹣i）z=|1+2i|，∴（2﹣i）（a+bi）=，∴2a+b+（2b﹣a）i=，∴，解得．故选：B．点评：本题考查了复数的运算和相等，属于基础题．3．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的函数是( ) A．f（x）=x2B．f（x）=﹣log2|x| C．f（x）=3|x| D．f（x）=sinx考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性的定义和性质分别进行判断即可．解答：解：A．f（x）=x2是偶函数，在（﹣∞，0）上单调递减，不满足条件．B．f（x）=﹣log2|x|是偶函数，在（﹣∞，0）上单调递增，满足条件．C．f（x）=3|x|是偶函数，在（﹣∞，0）上单调递减，不满足条件．D．f（x）=sinx是奇函数，不满足条件．故选：B点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，比较基础．4．下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”B．“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件C．若“p∧（￢q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题D．存在m∈R，使f（x）=（m﹣1）﹣4m+3是幂函数，且在（0，+∞）上是递增的考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用命题的否定判断A的正误；利用充要条件判断B的正误；利用命题的真假判断C 的正误；幂函数的定义判断D的正误；解答：解：对于A，命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”，不满足特称命题与全称命题的否定关系，所以A不正确；对于B，“x=3”可以推出“2x2﹣7x+3=0”成立，但是2x2﹣7x+3=0，不一定有x=3，所以“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件，所以B正确．对于C，若“p∧（￢q）”为真命题，说明P，￢q是真命题，则“p∧q”也为假命题，所以C不正确；对于D，存在m∈R，使f（x）=（m﹣1）﹣4m+3是幂函数，可得m=2，函数化为：f（x）=x0=1，所函数在（0，+∞）上是递增的是错误的，所以D不正确；故选：B．点评：本题考查命题的真假的判断，命题的否定、充要条件、复合命题的真假以及幂函数的性质的应用，基本知识的考查．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为100，则输出S的值为( )A．﹣1050 B．5050 C．﹣5050 D．﹣4950考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：由已知的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=12﹣22+32﹣42+…+992﹣1002的值，∵S=12﹣22+32﹣42+…+992﹣1002=（1﹣2）（1+2）+（3﹣4）（3+4）+…+（99﹣100）（99+100）=﹣（1+2+3+4+…+99+100）=﹣=﹣5050，故选：C．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为( )A．3+3B．8+3C．6+6D．8+6考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中三视图可得该几何体为一个棱台，根据已知分析各个面的形状，求出面积后，相加可得该几何体的表面积解答：解：由已知中三视图可得该几何体为一个棱台，下底面为边长为2的正方形，面积为4；上底面为边长为1的正方形，面积为1；左侧面和后侧面是上底为1，下底为2，高为1的梯形，每个面的面积为右侧面和前侧面是上底为1，下底为2，高为的梯形，每个面的面积为故该几何体的表面积为4+1+2×+2×=8+3故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图，求表面积，其中根据已知分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．7．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=5，S m=﹣11，S m+1=21，则m=( ) A．3 B．4 C．5 D．6考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的通项公式和前n项和公式，建立方程组即可解得m的值．解答：解：在等比数列中，∵S m﹣1=5，S m=﹣11，S m+1=21，∴a m=S m﹣S m﹣1=﹣11﹣5=﹣16，a m+1=S m+1﹣S m=21﹣（﹣11）=32，则公比q=，∵S m=﹣11，∴，①又，②两式联立解得m=5，a1=﹣1，故选：C．点评：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式的计算和应用，考查学生的计算能力．8．过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（ y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是( )A．x﹣2y+3=0 B．2x+y﹣4=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣3=0考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：当直线AB与直线CM垂直时，∠ACB最小，由M与C的坐标求出直线CM的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线AB的斜率，由M坐标与求出的斜率即可得出此时直线l的方程．解答：解：将圆的方程化为标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∴圆心坐标C为（3，4），∵M（1，2），∴k CM==1，∴k AB=﹣1，则此时直线l的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+y﹣3=0．故选：D．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r 时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．根据题意得出当直线AB与直线CM垂直时∠ACB最小是解本题的关键．9．定义式子运算为=a1a4﹣a2a3将函数f（x）=的图象向左平移n（n ＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为( ) A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二阶矩阵．专题：计算题；压轴题．分析：先根据题意确定函数f（x）的解析式，然后根据左加右减的原则得到平移后的解析式，再根据偶函数的性质可确定n的值．解答：解：由题意可知f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+）将函数f（x）的图象向左平移n（n＞0）个单位后得到y=2cos（x+n+）为偶函数∴2cos（﹣x+n+）=2cos（x+n+）∴cosxcos（n+）+sinxsin（n+）=cosxcos（n+）﹣sinxsin（n+）∴sinxsin（n+）=﹣sinxsin（n+）∴sinxsin（n+）=0∴sin（n+）=0∴n+=kπ∴n=﹣+kπn大于0的最小值等于故选C．点评：本题主要考查两角和与差的余弦公式、三角函数的奇偶性和平移变换．平移时根据左加右减上加下减的原则进行平移．10．已知函数f（x）=+2ax+c，a≠0，则它们的图象可能是( )A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数f（x）的导数，判断导函数的对称轴，排除选项，利用函数的单调性排除C，推出结果．解答：解：因为f（x）=，f′（x）=ax2+2ax+c，则函数f′（x）即g（x）图象的对称轴为x=﹣1，故可排除A，D；由选项C的图象可知，当x＞0时，f'（x）＞0，故函数在（0，+∞）上单调递增，但图象中函数f（x）在（0，+∞）上不具有单调性，故排除C．本题应选B．故选：B．点评：本题考查函数的图象的判断，导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．11．已知抛物线的方程为y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若S△AOF=3S△BOF （O为坐标原点），则|AB|=( )A．B．C．D．4考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据对称性可设直线的AB的倾斜角为锐角，利用S△AOF=3S△BOF，求得y A=﹣3y B，设出直线AB的方，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出y A+y B和y A y B，进而求得利用+，求得m，最后利用斜率和A，B的坐标求得|AB|．解答：解：设直线的AB的倾斜角为锐角，∵S△AOF=3S△BOF，∴y A=﹣3y B，∴设AB的方程为x=my+1，与y2=4x联立消去x得，y2﹣4my﹣4=0，∴y A+y B=4m，y A y B=﹣4．∴+==﹣2==﹣3﹣，∴m2=，∴|AB|=•=．故选：A．点评：本题主要考查了抛物线的概念和性质，直线和抛物线的综合问题．要注意解题中出了常规的联立方程，用一元二次方程根与系数的关系表示外，还可考虑运用某些几何性质．12．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f+f=( )A．0 B．2014 C．4028 D．4031考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，再利用倒序相加，即可得到结论解答：解：∵f（x）=x3+sinx+1，∴f′（x）=3x2﹣cosx，f''（x）=6x+sinx又∵f''（0）=0而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+1+﹣x3﹣sinx+1=2，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，∴f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f+f=2×2015+f（0）=4030+1=4031．故选：D．点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，是解题的关键．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t=1．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：由向量减法的坐标运算及数乘运算求得若﹣2的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求得t的值．解答：解：∵=（，1），=（0，﹣1），∴﹣2=，又=（t，），且﹣2与共线，则，解得：t=1．故答案为：1．点评：平行问题是一个重要的知识点，在2015届高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0，是基础题．14．设x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为3，则m=．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合z=2x﹣y的最大值为3，利用数形结合即可得到结论．．解答：解：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x﹣z，由平移可知当直线y=2x﹣z，经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z取得最大值3，由，解得，即A（，）．将A的坐标代入x﹣y+m=0，得m=y﹣x=﹣=，故答案为：．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．一个所有棱长均为的正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面的中心）的顶点与底面的三个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为．考点：球内接多面体．专题：立体几何．分析：求出正四棱锥底面对角线的长，判断底面对角线长，就是球的直径，即可求出球的体积．解答：解：正三棱锥的边长为，则该正三棱锥所在的正方体也为外接球的内接几何体．所以正方体的体对角线为外接球的直径．正方体的边长为1，所以所求球的半径为：r=，所以球的体积为：V球=．故答案为：点评：本题是中档题，考查空间想象能力，注意正三棱锥和正方体的转化，正方体额对角线的长是球的直径是解题的关键点，考查计算能力．16．对正整数n，设曲线y=x n（1﹣x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则数列的前n项和的公式是2n+1﹣2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．专题：计算题；压轴题．分析：欲求数列的前n项和，必须求出在点（1，1）处的切线方程，须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率即得直线方程进而得到切线与y轴交点的纵坐标．最后利用等比数列的求和公式计算，从而问题解决．解答：解：y′=nx n﹣1﹣（n+1）x n，曲线y=x n（1﹣x）在x=2处的切线的斜率为k=n2n﹣1﹣（n+1）2n切点为（2，﹣2n），所以切线方程为y+2n=k（x﹣2），令x=0得a n=（n+1）2n，令b n=．数列的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1﹣2．故答案为：2n+1﹣2．点评：本题考查应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前n项和的公式．解后反思：应用导数求曲线切线的斜率时，要首先判定所经过的点为切点．否则容易出错．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知函数f（x）=cosxcosx（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（c）=﹣，a=2，且△ABC 的面积为2，求边长c的值．考点：余弦定理；三角函数的周期性及其求法．专题：解三角形．分析：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=cos（2x+）+，由周期公式可得；（2）结合（1）可得C=，由题意和面积公式可得ab的值，进而由余弦定理可得c值．解答：解：（1）化简可得f（x）=cosxcosx（x+）=cosx（cosx﹣sinx）=cos2x﹣sinxcosx=﹣sin2x=cos（2x+）+，∴f（x）的最小正周期T==π；（2）由题意可得f（C）=cos（2C+）+=﹣，∴cos（2C+）=﹣1，∴C=，又∵△ABC的面积S=absinC=ab=2，∴ab=8，∴b===4，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC=12，∴c=2点评：本题考查余弦定理，涉及三角函数的周期性和三角形的面积公式，属中档题．18．某市一水电站的年发电量y（单位：亿千瓦时）与该市的年降雨量x（单位：毫米）有如下统计数据：2010年2011年2012年2013年2014年降雨量x（毫米）1500 1400 1900 16002100发电量y（亿千瓦时）7.4 7.0 9.2 7.9 10.0 （Ⅰ）若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率；（Ⅱ）由表中数据求得线性回归方程为=0.004x+．该水电站计划的发电量不低于9.0亿千瓦时，现由气象部门获悉的降雨量约为1800毫米，请你预测能否完成发电任务，若不能，缺口约为多少亿千瓦时？考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）确定从统计的5年发电量中任取2年的基本事件、2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的基本事件，即可求出这2年的发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率；（Ⅱ）先求出线性回归方程，再令x=1800，即可得出结论．解答：解：（ I）从统计的5年发电量中任取2年的基本事件为（7.4，7.0），（7.4，9.2），（7.4，7.9），（7.4，10.0），（7.0，9. 2），（7.0，7.9），（7.0，10.0），（9.2，7.9），（9.2，10.0），（7.9，10.0）共10个．其中2年发电量都低于8. 0（亿千瓦时）的基本事件为（7.4，7.0），（7.4，7.9），（7.0，7.9），共3个．所以这2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率．（ II）∵，．又直线过点，∴，解得，∴．当x=1800时，，所以不能完成发电任务，缺口量为0.3（亿千瓦时）．点评：本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B 上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．考点：异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）首先，连结BD，可以首先，证明AC⊥平面B1BDD1，然后，得到AC⊥D1E；（Ⅱ）首先，可以得到∠A 1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角，然后，根据，求解得到，∠A1D1E=60°．解答：解：（Ⅰ）如下图所示：连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是直棱柱，∴B1B⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴B1B⊥AC，∴AC⊥平面B1BDD1．∵D1E⊂平面B1BDD1，∴AC⊥D1E．（Ⅱ）∵，EB 1⊥平面A1B1C1D1，∴．∵，∴．∴EB1=2．∵AD∥A1D1，∴∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角．在Rt△EB 1D1中，求得．∵D1A1⊥平面A1ABB1，∴D1A1⊥A1E．在Rt△EB1D1中，得，∴∠A1D1E=60°．∴异面直线AD，D1E所成的角为60°．点评：本题重点考查了线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成的角等知识，属于中档题．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点所围成菱形的面积为8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知直线L：y=kx+m与椭圆C交于两个不同点A（x1，x2）和B（x2，y2），O为坐标原点，且k OA•k OB=﹣，求y1，y2的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）利用菱形的面积和椭圆的性质即可得出；（II）联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，以及直线的斜率公式，化简整理，即可得到y1y2的范围．解答：解：（I）由已知可得e==，•2a•2b=8，又a2=b2+c2，解得c=2，b=2，a2=8．∴椭圆的方程为+=1．（II）直线L：y=kx+m与椭圆C交于两个不同点A（x1，x2）和B（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）＞0，化为8k2+4＞m2，①∴x1+x2=，x1x2=．∵满足k OA•k OB=﹣，∴=﹣．∴y1y2=﹣x1x2=﹣•=﹣，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2•+km•+m2=．∴﹣=．∴4k2+2=m2，即有y1y2=﹣=﹣=﹣2，则y1y2∈（﹣2，2]．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线的斜率公式、菱形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=﹣1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）证明：∀n∈N*，不等式ln（）e＜．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；综合题；分类讨论；转化思想．分析：（1）利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键，利用导函数的正负确定出函数的单调性；（2）利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题，注意分类讨论思想的运用；（3）利用导数作为工具完成该不等式的证明，注意应用函数的最值性质．解答：解：（1）函数f（x）的定义域是：（0，+∞）由已知令f′（x）=0得，1﹣lnx=0，∴x=e∵当0＜x＜e时，，当x＞e时，∴函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，（2）由（1）知函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减故①当0＜2m≤e即时，f（x）在[m，2m]上单调递增∴，②当m≥e时，f（x）在[m，2m]上单调递减∴，③当m＜e＜2m，即时∴．（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，，∴在（0，+∞）上恒有，即且当x=e时“=”成立，∴对∀x∈（0，+∞）恒有，∵，∴即对∀n∈N*，不等式恒成立．点评：此题是个中档题．本题考查导数在函数中的应用问题，考查函数的定义域思想，考查导数的计算，考查导数与函数单调性的关系，考查函数的最值与导数的关系，体现了等价转化的数学思想和分类讨论的思想，同时考查了学生的计算能力．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E．（1）求证：AB2=DE•BC；（2）若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．考点：相似三角形的判定；相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题；证明题．分析：对于（1）求证：AB2=D E•BC，根据题目可以判断出梯形为等腰梯形，故AB=CD，然后根据角的相等证△CDE相似于△BCD，根据相似的性质即可得到答案．对于（2）由BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．根据弦切公式可得PC2=PD•PB，然后根据相似三角形边成比例的性质求出PD和PB代入即可求得答案．解答：解：（1）∵AD∥BC∴AB=DC，∠EDC=∠BCD，又PC与⊙O相切，∴∠ECD=∠DBC，∴△CDE∽△BCD，∴，∴CD2=DE•BC，即AB2=DE•BC．（2）由（1）知，，∵△PDE∽△PBC，∴．又∵PB﹣PD=9，∴．∴．∴．点评：此题主要考查由相似三角形的性质解三角形的一系列问题，其中应用到弦切公式，题目属于平面几何的问题，涵盖的知识点比较多，有一定的技巧性，属于中档题目．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．解答：解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．点评：本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．（I）求a；（Ⅱ）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求+的最小值．考点：绝对值三角不等式；基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）化简函数的解析式，再利用函数的单调性求得函数的最小值，再根据函数的最小值为a，求得a的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，利用基本不等式求得≥2，再利用基本不等式求得+的最小值．解答：解：（I）函数f（x）=|x+1|+|x|=，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）单调递减；当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，所以当x=0时，f（x）的最小值a=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，由m2+n2≥2mn，得mn≤，∴≥2故有+≥2≥2，当且仅当m=n=时取等号．所以+的最小值为2．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，利用函数的单调性求函数的最值，基本不等式的应用，属于中档题．。

2015年河南省洛阳市高考数学二模试卷(文科)

2015年河南省洛阳市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则复数z的实部与虚部之和为（）A.0B.1C.2D.4【答案】A【解析】解：由zi=1+i，得，∴复数z的实部与虚部分别为1和-1，和为0．故选：A．把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.已知集合A={1，m2+1}，B={2，4}，则“m=”是“A∩B={4}”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：若A∩B={4}，则m2+1=4，即m2=3，解得m=或m=-，故“m=”是“A∩B={4}”的充分不必要条件，故选：A根据充分条件和必要条件的定义结合集合关系进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据集合的基本关系是解决本题的关键．3.若a∈[0，2π），则满足=sina+cosa的a的取值范围是（）A.[0，]B.[0，π]C.[0，]D.[0，]∪[，2π）【答案】D【解析】解：∵==|sina+cosa|=|sin（）|=sina+cosa=sin （），即有：|sin（）|=sin（），∴可解得：2kπ≤≤2kπ+π，k∈Z，即有：2kπ≤α≤2kπ+，k∈Z，∵a∈[0，2π），∴可解得a的取值范围是[0，]∪[，2π）．故选：D．由三角函数中的恒等变换应用化简等式等价于：|sin（）|=sin（），由正弦函数的图象和性质即可解得a的取值范围．本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．4.曲线f（x）=在点（1，f（1））处切线的倾斜角为，则实数a=（）A.1B.-1C.7D.-7【答案】C【解析】解：f（x）=的导数为f′（x）=，则f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为k=，切线的倾斜角为，即有k=-1，由=-1，解得a=7．故选：C．求出函数的导数，求得f（x）在点（1，f（1））处切线斜率，由斜率公式可得k=-1，解方程可得a=7．本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．5.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若|AF|=5，则|BF|=（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】解：抛物线的焦点F（1，0），准线方程为x=-1，设A（x，y），则|AF|=x+1=5，故x=4，此时y=4，即A（4，4），则直线AF的方程为，即y=（x-1），代入y2=4x得4x2-17x+4=0，解得x=4（舍）或x=，则|BF|=+1=，故选：C根据抛物线的定义，结合|AF|=5，求出A的坐标，然后求出AF的方程求出B点的横坐标即可得到结论．本题主要考查抛物线的弦长的计算，根据抛物线的定义是解决本题的关键．6.已知圆C：x2+y2=4，若点P（x0，y0）在圆C外，则直线l：x0x+y0y=4与圆C的位置关系为（）A.相离B.相切C.相交D.不能确定【答案】C【解析】解：由点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=4外，可得x02+y02＞4，求得圆心C（0，0）到直线l：x0x+y0y=4的距离d=＜=2，故直线和圆C相交，故选：C．由条件可得得x02+y02＞4，再利用点到直线的距离公式求得圆心C（0，0）到直线l的距离d小于半径，可得结论．本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．7.执行如图的程序，若输入的x=2，则输出的所有x的值的和为（）A.6B.21C.101D.126【答案】D【解析】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是输出[2，100]区间上，所有函数值为整数的x．因为可求满足条件的x分别是：2，4，8，16，32，64故输出的所有x的值的和为：2+4+8+16+32+64=126．故选：D．模拟执行程序，可得程序框图的功能是输出[2，100]区间上，所有函数值为整数的x，分别求出满足条件的x，相加求和即可得解．本题主要考查了程序框图和算法，模拟执行程序正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．8.已知不等式表示的平面区域的面积为2，则的最小值为（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，其中A（0，2），B（2，0），则△OAB的面积S=，即m=0又z==1+，设k=，其中的几何意义是可行域内的点与点D（-1，-1）构成的直线的斜率问题．由图象可知DB的斜率最小，此时k==，则的最小值1+=．故选：B．先根据面积为2求出m值，又z==1+，设k=，利用k的几何意义，结合数形结合即可得到结论．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．利用数形结合是解决本题的关键．9.若函数y=f（2x+1）是偶函数，则函数y=f（2x）的图象的对称轴方程是（）A.x=-1B.x=-C.x=D.x=1【答案】C【解析】解：∵函数y=f（2x+1）是偶函数，∴f（-2x+1）=f（2x+1），∴函数y=f（2x）的图象的对称轴方程是2x=1，解得x=．故选：C．利用偶函数的定义、函数的对称性即可得出．本题考查了偶函数的定义、函数的对称性，属于基础题．10.已知P是△ABC所在平面内一点，若=-，则△PBC与△ABC的面积的比为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：在线段AB上取D使AD=AB，则=，过A作直线l使l∥BC，在l上取点E使=，过D作l的平行线，过E作AB的平行线，设交点为P，则由平行四边形法则可得=-，设△PBC的高线为h，△ABC的高线k，由三角形相似可得h：k=1：3，∵△PBC与△ABC有公共的底边BC，∴△PBC与△ABC的面积的比为1：3，故选：A由题意作出图形，由三角形的相似和面积公式可得．本题考查平面向量基本定理，涉及三角形的面积和相似，属基础题．11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A.1B.C.D.2【答案】D【解析】解：由题意，几何体为有一侧棱垂直于底面的三棱锥，有3个面是全等的等腰直角三角形，面积为=2，另一侧面是等边三角形，边长为2，面积为=2，所以该几何体的各个面中最大面的面积为2，故选：D．由题意，几何体为有一侧棱垂直于底面的三棱锥，有3个面是全等的等腰直角三角形，面积为=2，另一侧面是等边三角形，边长为2，求出面积，即可得出结论．本题考查三视图，考查学生的计算能力，确定几何体的形状是关键．12.已知函数f（x）=，，＞若方程f（x）-kx=1有两个不同实根，则实数k的取值范围为（）A.（，e）B.（，1）∪（1，e-1]C.（，1）∪（1，e）D.（，e-1]【答案】B【解析】解：方程f（x）-kx=1有两个不同实根可化为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，当x＞1时，f（x）=f（x-1），周期性变化；函数y=kx+1的图象恒过点（0，1）；作函数f（x）与函数y=kx+1的图象如下，C（0，1），B（2，e），A（1，e）；故k AC=e-1，k BC=；在点C处的切线的斜率k=e0=1；结合图象可得，实数k的取值范围为（，1）∪（1，e-1]；故选B．方程f（x）-kx=1有两个不同实根可化为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，作函数f（x）与函数y=kx+1的图象，结合函数的图象求解．本题考查了方程的根与函数的图象之间的关系应用及学生的作图能力，同时考查了导数的几何意义的应用，属于中档题．二、填空题(本大题共3小题，共15.0分)13.双曲线-=1（b＞0）的离心率为，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为______ ．【答案】2【解析】解：双曲线-=1（b＞0）的离心率为，即有e==，解得b=2，即双曲线的方程为y2-x2=4，即焦点为（0，±2），渐近线方程为y=±x，则双曲线的焦点到渐近线的距离为d==2．故答案为：2．运用离心率公式，计算可得b=2，即有双曲线的方程和焦点坐标及渐近线方程，再由点到直线的距离公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率公式和渐近线方程的运用，同时考查点到直线的距离公式，属于基础题．14.等比数列{a n}中，a1=1，a10=2，则log2a1+log2a2+…+log2a10= ______ ．【答案】5【解析】解：由题意得，等比数列{a n}各项均为正数，且a1a10=2，根据对数的运算性质和等比数列的性质得，log2a1+log2a2+…+log2a10=log2（a1a2a3…a9a10）=log2（a1a10）5=log2（2）5=5，故答案为：5．由题意可得a1a10=2，根据对数的运算性质、等比数列的性质，把要求的式子化为log2（a1a2…a10）=log2（a1a10）5，代入即可求出结果．本题主要考查等比数列的性质，以及对数的运算性质的应用，属于中档题．15.已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=2，若三棱锥D-ABC体积的最大值为3，则球O的表面积为______ ．【答案】16π【解析】解：∵AB=BC=，AC=2，∴AB⊥BC，S△ABC=3，∵三棱锥D-ABC的体积的最大值为3，∴D到平面ABC的最大距离为3，设球的半径为R，则2=3×（2R-3），∴R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故答案为：16π．确定AB⊥AC，S△ABC=3，利用三棱锥D-ABC的体积的最大值为3，可得D到平面ABC 的最大距离为3，再利用射影定理，即可求出球的半径，即可求出球O的表面积．本题考查球的半径，考查体积的计算，确定D到平面ABC的最大距离为3是关键．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)16.在△ABC中，已知sin（A+B）=sin B+sin（A-B）．（1）求∠A；（2）若•=20，求||的最小值．【答案】解：（1）原式可化为：sin B=sin（A+B）-sin（A-B）=sin A cos B+cos A sin B-sin A cos B+cos A sin B=2cos A sin B，∵B∈（0，π），∴sin B＞0，∴cos A=，∴∠A=60°．（2）∵•=20，∴AB•AC•cos∠A=20，AB•AC=40．则||=BC=°≥==2，当且仅当AB=AC时，取等号，即△ABC为等边三角形时，||取得最小值为2．【解析】（1）将已知等式移项变形并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后根据sin B不为0，得出cos A的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．（2）由条件利用两个向量数量积的定义求得AB•AC=40，再利用余弦定理、基本不等式，求得||的最小值．此题考查了两角和与差的正弦函数公式、平面向量的数量积运算法则，以及余弦定理、基本不等式的应用，熟练掌握公式及法则是解本题的关键，属于中档题．17.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=2AB=4，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB，现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．（1）若BE=1，是否在折叠后的线段AL上存在一点P，且=λ，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．（2）求三棱锥A-CDF的体积的最大值，并求此时点F到平面ACD的距离．【答案】解：（1）存在P，使得CP∥平面ABEF，此时λ=．证明：当λ=，此时=，过P作MP∥FD，与AF交M，则=，又FD=5，故MP=3，∵EC=3，MP∥FD∥EC，∴MP∥EC，且MP=EC，故四边形MPCE为平行四边形，∴PC∥ME，∵CP⊄平面ABEF，ME⊂平面ABEF，∴CP∥平面ABEF成立．（Ⅱ）∵平面ABEF⊥平面EFDC，ABEF∩平面EFDC=EF，AF⊥EF，∴AF⊥平面EFDC，∵BE=x，∴AF=x，（0＜x＜4），FD=6-x，故三棱锥A-CDF的体积V=x×==3，∴x=3时，三棱锥A-CDF的体积V有最大值，最大值为3．建立如图所示的空间直角坐标系，则F（0，0，0），A（0，0，3），C（2，1，0），D （0，3，0）．=（0，3，-3），=（-2，2，0），=（0，0，3）．设平面ACD的法向量为=（x，y，z），则，∴，取y=1，则x=1，z=1，∴=（1，1，1）．∴点F到平面ACD的距离d===．【解析】（1）存在P，使得CP∥平面ABEF，此时λ=．当λ=，此时=，过P作MP∥FD，与AF交M，则=，可证：四边形MPCE为平行四边形，得到PC∥ME，因此CP∥平面ABEF成立．（Ⅱ）利用面面垂直的性质定理可得：AF⊥EF，因此AF⊥平面EFDC，设BE=x，则AF=x，（0＜x＜4），FD=6-x，故三棱锥A-CDF的体积V=x×，利于基本不等式的性质即可得出．建立如图所示的空间直角坐标系，设平面ACD的法向量为=（x，y，z），则，点F到平面ACD的距离d=．本题考查了线面面面平行与垂直的判定与性质定理、平行四边形的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、基本不等式的性质、点到平面的距离的向量表示，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.设M是焦距为2的椭圆E：+=1（a＞b＞0）上一点，A、B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=-．（1）求椭圆E的方程；（2）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）上点N（x0，y0）处切线方程为+=1，若P是直线x=2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C、D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）解：设A（-a，0），B（a，0），M（m，n），则+=1，即n2=b2•，由k1k2=-，即•=-，即有=-，即为a2=2b2，又c2=a2-b2=1，解得a2=2，b2=1．即有椭圆E的方程为+y2=1；（2）证明：设点P（2，t），切点C（x1，y1），D（x2，y2），则两切线方程PC，PD分别为：+y1y=1，+y2y=1，由于P点在切线PC，PD上，故P（2，t）满足+y1y=1，+y2y=1，得：x1+y1t=1，x2+y2t=1，故C（x1，y1），D（x2，y2）均满足方程x+ty=1，即x+ty=1为CD的直线方程．令y=0，则x=1，故CD过定点（1，0）．【解析】（1）设A（-a，0），B（a，0），M（m，n），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理，注意整体代入，解方程即可求得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设点P（2，t），切点C（x1，y1），D（x2，y2），运用椭圆上一点的切线方程，再代入P点，可得直线CD的方程，再令y=0，即可得到定点．本题主要考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，导数的几何意义等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．解题时要注意运算能力的培养．19.已知f（x）=xe x-ax2-x．（1）若f（x）在（-∞，-1]上递增，[-1，0]上递减，求f（x）的极小值；（2）若x≥0时，恒有f（x）≥0，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）∵f（x）=xe x-ax2-x，∴f′（x）=e x+xe x-2ax-1，又∵f（x）在（-∞，-1]上递增，[-1，0]上递减，∴f′（-1）=e-1-e-1+2a-1=0，故2a=1，故f′（x）=e x+xe x-x-1=（x+1）（e x-1），故f（x）在（-∞，-1]，[0，+∞）上递增，[-1，0]上递减；故f（x）在x=0处取得极小值f（0）=0；（2）当x=0时，f（0）=0恒成立，故x≥0时，恒有f（x）≥0可化为x＞0时，恒有f（x）≥0；即x＞0时，xe x-ax2-x≥0恒成立，即a≤在x＞0时恒成立，令g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=xe x-e x+1，则h′（x）=xe x＞0，故h（x）在（0，+∞）上是增函数，故h（x）＞h（0）=0，故g′（x）=＞0，故g（x）在（0，+∞）上是增函数，而g（x）==e x=1；故a≤1．【解析】（1）先求导f′（x）=e x+xe x-2ax-1，再由题意可得f′（-1）=e-1-e-1+2a-1=0，从而求得2a=1，从而化简f′（x）=e x+xe x-x-1=（x+1）（e x-1），从而确定极小值点及极小值．（2）当x=0时，f（0）=0恒成立，从而化恒成立问题为x＞0时，恒有f（x）≥0；即a≤在x＞0时恒成立，从而令g（x）=，求导确定函数的单调性，再由洛比塔法则求出g（x）==e x=1；从而求实数a的取值范围．本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了构造函数的思想应用及洛比塔法则的应用，属于难题．20.如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，点P在线段BA延长线上，T是⊙O1上一点，PT⊥O2T，过P的直线交⊙O1于C，D两点（1）求证：=（2）若⊙O1与⊙O2的半径分别为4，3，其圆心距O1O2=5，PT=，求PA的长．【答案】（1）证明：∵PT⊥O2T，∴PT是⊙O2的切线，∴PT2=PA•PB，∵过P的直线交⊙O1于C，D两点∴PC•PD=PA•PB，∴PT2=PC•PD，∴=；（2）解：连接O1A，O2A，∵⊙O1与⊙O2的半径分别为4，3，其圆心距O1O2=5，∴O1O22=O1A2+O2A2，∴∠O1AO2=90°，设R t△O1AO2斜边长为h，则h==，AB=2h=，∵PT2=PA•PB，PT=，∴PA（PA+）=（）2，∴PA=．【解析】（1）利用切割线定理，即可证明；（2）证明∠O1AO2=90°，再利用切割线定理，即可求解．本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，正确运用切割线定理是关键．21.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为：（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）已知点M是曲线C1上任意一点，点N是曲线C2上任意一点，求|MN|的取值范围．【答案】解：（1）由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，∴（x-1）2+y2=1，（2）设点M（4cosφ，3sinφ），则|MC2|-1≤|MN|≤|MC2|+1，|MC2|2=（4cosφ-1）2+9sin2φ=7cos2φ-8cosφ+10，当cosφ=-1时，得|MC2|2max=25，|MC2|max=5，当cosφ=时，得|MC2|2min=，|MC2|min=，∴|MC2|-1≤|MN|≤|MC2|+1≤5+1，∴|MN|的取值范围[，6]．【解析】（1）直接根据极坐标和直角坐标互化公式求解即可；（2）利用已知，得到|MC2|-1≤|MN|≤|MC2|+1，然后，得到|MC2|2=（4cosφ-1）2+9sin2φ=7cos2φ-8cosφ+10，借助于三角函数的取值情况进行求解即可．本题重点考查极坐标和直角坐标的互化公式、距离问题处理思路和方法等知识，属于中档题．22.已知a，b∈R，a+b=1，x1•x2∈R．（1）求++的最小值；（2）求证：（ax1+bx2）（ax2+bx1）＞x1x2．【答案】（1）解：∵a，b∈R，a+b=1，x1，x2∈R，∴++≥3=3≥3=6，当且仅当a=b=0.5，x1=x2=1时，++的最小值为6；（2）证明：（ax1+bx2）（ax2+bx1）=（a2+b2）x1x2+ab（x12+x22）≥（a2+b2）x1x2+2abx1x2=（a+b）2x1x2≥x1x2．【解析】（1）利用基本不等式，即可求出++的最小值；（2）展开，利用基本不等式可得结论．本题考查基本不等式的运用，考查最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

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