分式运算典型例题精解

__________ 时，分式

—有意义.

3

错解： x 3时原分式有意义.

【基础精讲】 、分式的概念

1、正确理解分式的概念:

2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零

（2）不要随意用“或”与“且”。

例如当x _______ 时，分式坨）有意义？

错解：由分母;;1 一，得，

3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制.

当x_时，分式——1

有意义.当x _时，分式——1

无意义.当x_时，分式 ------------------------- 1

值为0.

- x —1 - x —1 — x —1

二、分式的基本性质：

1、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变

（1）分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程 基础，因此，我们要正确

理解分式的基本性质，并能熟练的运用它.理解分式的基本 性质时，必须注意： ① 分式的基本性质中的 A 、B 、M 表示的都是整式.

② 在分式的基本性质中，

M 0.

③ 分子、分母必须“同时”乘以

皿俨0），不要只乘分子（或分母）.

④ 性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分 式的值是相等的。但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的. ⑵注意：

①根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分

分式性质及运算

1 【例1】有理式（1）-; x

（4）专；（5）古；（6）

1

丄中，属于整式的有:

；属于分式的有:

（1）例如，当x 为

【例

4】

如果把分式

a b c

亘中的

2x y

X ,

y 都扩大 3倍，那么分式的值一定 A.扩大3倍 2、约分

约分是约去分式的分子与分母的最大公约式 式化为最简分式或整式，根据是分式的基本性质

2 b 2

5】(1)化简的结果为()A.

a 2 ab

【例

(2)

化简

B.

扩大9倍

C.

扩大6倍

D.

不变

,约分过程实际是作除法 ,目的在于把分

(3) 化简

3、通分

*的结果()

2

△ 6

2LJ.的结果是()

2x 6

A.—

2

B

.

C. D.

B.

x 2 9 2

C.

x 2 9 2

D.

3

通分的依据是分式的基本性质， 法确定：

(1) 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；

(2) 最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幕的积 三、分式

的运算

1、分式运算时注意：

通分的关键是确定最简公分母

.最简公分母由下面的方

(1)注意运算顺序.例如，计算

(3 a)

，应按照同一级运算从左到存依次

3 a

计算的法则进行.错解：原式 二(1 a) 1 (1 a)2

x x

x 1

不能去分母

［，出现了这样的解题错误：原式 ,不要同解方程的去分母相混淆;

式的值不变.

②分式的基本性质是一切分式运算的基础 ，分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于

零的整式，而不能同时加上(或减去)同一个整式

【例3】下列变形正确的是(

).

(2)通分时不能丢掉分母.例如，计算 =x x 1

1 .分式通分是等值变形,

(4)最后的运算结果应化为最简分式.

解：原式=x 2 3x 2

x 2 5x 6

x 2 4x 3

x 1

T"2

2、分式的乘除

注意分式的乘除法应用关键是理解其法则

(1) 先把除法变为乘法；

(2) 接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然

后同其它分式进行约分；

(3) 再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘； (4) 最后还应检查相乘后的分式 是否为最简分式.

3、 加减的加减

1) 同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。 2) 异分母分式加减法则：

运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分 ，化为分母相同；

③按同分母分式运算

法则进行；④注意结果可否化简，

化为最简• 4、 分式的混合运算

注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运 算，遇有括号，先算括号内的 •如果分式的分子或分母中含有多项式，并且

能分解因式,

可先分解因式

，能约分的先约分，再进行运算

•

【例6】计算： ( 1)

a 2

4

a 2

1 ； 2

(2)厶 x 2 ；

；

a 2

a 2

x 2

2 (3) 1 2

x 1 x 4 (4)

已知丄丄

3

，则代数式

2x

14xy 2y 的值

x x 2

x 22x

x y x 2xy y

【分类解析】

一、分式运算的几种技巧

x 1 x2 2x

1、先约分后通分技巧例 1计算x

2

3x 2 + X 2

4 分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算

x 1 x(x 2) 1 x

解：原式=(x 1)(x 2) + (x 2)(x 2) = x 2 +

x 2

2 2

x 2 3x 3 x 2

5x 7

1

2、分离整数技巧例2计算x 2

3x 2 -x 2 5x 6 -x 2 4x 3

分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。

2 2

(x 3x 2) 1 (x 5x 6) 1

____ 1