概率论第五章 习题解答
第五章 数理统计的基础知识
I 教学基本要求
1、理解总体、个体、样本、统计量、样本均值和样本方差的概念，会根据样本数据计算样本均值和样本方差；
2、了解经验分布函数的概念，了解直方图、茎叶图的作法；
3、了解2χ分布、t 分布、F 分布的定义，会查表计算分位数；
4、了解正态总体的常用抽样分布.
II 习题解答
A 组
1、某学校学生会进行问卷调查了解大学生使用手机的情况，该项研究中总体和样本各是什么？
解：该项研究中总体是该学校全体大学生；样本是该学校被问卷调查的大学生.
2、为了解经济系管理专业本科毕业生工作后的就业情况，调查了某地区30名2010年毕业的管理专业本科生工作后的月薪情况.该项研究中总体和样本各是什么？样本容量是多少？
解：总体是该地区2010年毕业的经济系管理专业本科生的月薪；样本是被调查的30名2010年毕业的经济系管理专业本科生的月薪；样本容量是30.
3、某厂生产的晶体管的使用寿命服从指数分布，为了解其平均寿命，从中抽出n 件产品检测，什么是总体、样本？样本的分布是什么？
解：总体是该厂生产的晶体管的寿命，其分布是指数分布()E λ；样本是从该厂抽出的
n 个晶体管的寿命；记第i 个晶体管的寿命为i x ，则~()i x E λ(1
,2,,)i n =，样本的分布为
∑==-=-∏n
i i
i
x n
n
i x e
e
1
1
λ
λλλ.
4、某工厂通过抽样调查得到5名工人一周内生产的产品数为149、156、160、138、149.
求样本均值和样本方差？
解：样本均值
5111
(149156160138149)150.455
i i x x ===++++=∑；
样本方差
52
21
1()51i i s x x ==--∑ 2221
[(149150.4)(156150.4)(149150.4)]70.34
=-+-++-=.
5、假设某地区30名2010年毕业的管理专业本科生工作后的月薪数据如下： 1909 2086 2120 1999 2320 2091 2071 2081 2132 2336 2572 1825 1914 1992 2232 1950 1775 2203 2025 2096 2224 2044 1871 2164 1971 1950 1866 1738 1967 1808 作频率分布表(分6组)以及画出频率直方图？
解：最大值为2572，最小值为1738，组距近似为1406
1738
2572≈-=d ，其频数频
6、设总体2
~(,)X N μσ，假如要以0.9606的概率保证偏差||0.1x μ-<，问当
20.25σ=时，样本容量应取多大？
解：设样本容量为n ，则2
~(,
)x N n
σμ，于是
(||0.1)210.9606x p x p μ-<=<=Φ-=
1735
1875
2015
2155 2295 2435 x
2575
(
0.98035
?Φ= 查正态分布表得
06.25
≈n
，从而106.09n ≈，故n 取106. 7、从一个正态总体),(~2σμN X 中抽取容量为10的样本，且(||4)0.02p x μ->=，求σ？
解：因为2
~(,
)x N n
σμ，故
(||4)|2[10.02
x p x p μ->=>=-Φ=
0.99
?Φ=，查正态分布表得
33.210
4
=σ，解得 5.43σ=.
8、设在总体),(~2σμN X 抽取一个容量为16的样本，这里μ、2
σ均未知，求
2
2
(
1.664)s p σ≤？
解：因为
2
22
(1)~(1)n s n χσ--及16n =，所以
2
2
2
215(
1.664)(24.96)0.95s s p p σσ
≤=≤=.
9、设总体~(,16)X N μ，1x 、2x 、…、10x 为取自该总体的样本，已知2
()0.1p s a >=，
求常数a ？
解：因为
2
22
(1)~(1)n s n χσ--、10n =、4σ=，所以
22
99()1()0.11616s p s a p a >=-≤=，即299()0.91616
s p a ≤=
查自由度为9的2
χ分布表得，
9
14.68416
a =，所以26.105a =. 10、设总体),(~2
σμN X ，1x 、2x 、…、n x 为取自该总体的样本，求：
(1) 2
2
(())p x n σμ-≤；(2) 当样本容量很大时，2
2
2(())s p x n
μ-≤；(3) 当样本容量
等于6时，2
2
2(())3
s p x μ-≤？ 解：(1) 2
22
2()(())(1)x p x p n n σμμσ--≤=≤，易知22
2
()~(1)x n
μχσ-，查自由度为1的2χ分布表，得2
2
(())0.6826p x n
σμ-≤
=；
(2) 当样本容量很大时，22()x s n
μ-近似服从)1(2
χ，所以
22
2
22()(())(2)0.8426s x p x p n s n
μμ--≤=≤=；
(3) 因为当样本容量等于6
~(5)x t ，所以
22
22(())4)(|2)0.93S x x p x p p μ-≤=≤=≤=.
11、设1x 、2x 、…、10x 为取自总体~(0,0.09)X N 的样本，求10
2
1
( 1.44)i
i p x
=>∑？
解：因为
10
2
21(
)~(10)0.3i i x χ=∑，所以
101010
2
222
1111.44( 1.44)(())1(()16)0.10.30.30.3i i i i i i x x p x p p ===>=>=-≤=∑∑∑ 查自由度为10的2
χ分布表得，10
21(()16)0.90.3
i i x p =≤=∑.
12、设1x 、2x 、…、n x 是取自总体2
~(,)X N μσ的样本，x 为样本均值，又记
2
21
11()1n i i s x x n ==--∑、22211()n i i s x x n ==-∑、22311()1n i i s x n μ==--∑、2
2411()n i i s x n μ==-∑，则服从分布(1)t n -的随机变量T =__ _____ .
x B
x C
x D
x
解：
~(0,1)x N 、2222~(1)ns n χσ-，又x 与2
2s 独立，故
~(1)x x t n =-.
13、若~()T t n ，则2
T 服从什么分布？
解：
设T =
~(0,1)X N 、2~()Y n χ，且X 和Y 独立，则 22~(1)X χ，且2X 和Y 独立，从而
2
2
~(1,)/X T F n Y n
=.
B 组
1、设1x 、2x 、…、9x 为取自总体~(0,4)X N 的样本，求常数a 、b 、c 使得
222
123456789
()()()Q a x x b x x x c x x x x =++++++++服从2χ分布，并求其自由度？ 解：
~(0,1)N
~(0,1)N
~(0,1)N 且三者独立，故
222
2~(3)χ++，从而 18a =、112b =、116
c =.
2、设有k 个正态总体2~(,)i i X N μσ，从第i 个总体中抽取容量为i n 的样本1i x 、
2i x 、…、i in x ，且各组样本间相互独立，记1
1
i
n i ij
j i
x x
n ==
∑(1,2,,)i k =、
12k n n n n =++
+，求22
11
1
()i
n k ij
i i j W x
x σ===
-∑∑的分布？
解：因为2
2
1
2
2
2
()(1)~(1)i
n ij
i j i i i x
x n s W n χσ
σ
=--==
-∑，且
2
2
(1)i i n s σ
-(1,2,,)i k =相
互独立，故
2
2
11
1
()i
n k ij
i i j W x
x σ===
-∑∑2
2
1
(1)k
i i i n s σ=-=∑
2
1
~((1))k
i i n χ=-∑，而
1
1
(1)k
k
i
i
i i n n k n k ==-=-=-∑∑，故22
2
11
1
()~()i
n k ij i
i j W x
x n k χσ===--∑∑. 3、设随机变量X 、Y 相互独立且都服从标准正态分布，而1x 、2x 、…、9x 和1y 、2y 、…、9y 分别是取自总体X 、
Y 的相互独立的简单随机样本，
求统计量Z =
分布？
解：因为129
~(0,9)
x x x N +++，故129
~(0,1)3
x x x N ++
+，而
2222129~(9)y y y χ+++，又因129x x x +++与222129y y y +++独立，所
以
~(9)
Z t =
. 4、设总体2
~(,)X N μσ，从中取出样本1x 、2x 、…、n x 、1n x +，记11n
n i i x x n ==∑、
22
11()1n n
i n
i s x x n ==--∑
~(1)t n -. 证明：因为2
1~(,)n x N u σ+，2
11~(,)n n i i x x N n n
σμ==∑，且1n x +与n x 独立，故
2
1(1)~(0,)n n n x x N n σ++-，又因222
(1)~(1)n n s n χσ
--且2n s 与1n n s x +-独立，故
~(1)t n -.
5、设总体~(0,4)X N ，而1x 、2x 、…、15x 为取自该总体的样本，则随机变量
222
1210
222
1112152()
x x x Y x x x +++=+++服从的分布？ 解：因为~(0,1)2i x N ，故
2
2~(1)4
i x χ(1,2,,15)i =，再由1x 、2x 、…、15x 独立，
故
22
22
1210
~(10)4
x x x χ+++、
2222111215
~(5)4
x x x χ++
+，所以
222
1210
222
1210222222
111215*********~(10,5)2()
5
4
x x x x x x Y F x x x x x x ++++++==++++++. 6、设总体~(0,1)X N ，1x 、2x 、…、n x 为取自该总体的样本，求
5
2126(1)
5
i
i n
i
i x n V x
===-∑∑(5)n >的分布？
解：因为
5
22
1
~(5)i
i x
χ=∑、22
6~(5)n
i
i x n χ=-∑，且5
21
i
i x =∑与
26
n
i
i x
=∑独立，故
5
5
221
1226
65
(1)~(5,5)5
(5)
i
i
i i n
n
i
i
i i x
x n V F n x
n x
=====-=--∑∑∑∑.
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
第一章概率论习题解答附件
教 案 概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics ) Exercise 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用1A 、2A 、 3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标” ，试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件： （1）只击中第一枪； （2）只击中一枪； （3）三枪都没击中； （4）至少击中一枪。 Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成 1A 32A A 。 （2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A . （3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 123A A A . （4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A . Exercise 1.2 设事件B A ,的概率分别为 21,31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值： （１）A 与B 互斥； （２）；B A ? （３）81)(=AB P ． Solution 由性质（5），)(A B P =)()(AB P B P -. （1） 因为A 与B 互斥，所以φ=AB ，)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)= 21 （2） 因为；B A ?所以)(A B P =)()(AB P B P -=)()(A P B P -= 6 13121=-
《概率论》期末考试试题(A卷答案)
《概率论》期末考试试题（A卷答案） 考试时间：120分钟（2005年07月） 班级姓名成绩 1.设甲、乙两人在同样条件下各生产100天，在一天中出现废品的概率分布分别如下： 求甲、乙两人生产废品的数学期望，比较甲、乙两人谁的技术高？（） A甲好B乙好C一样好D无法确定 2.某厂产品的合格率为96%,合格品中一级品率为75％。从产品中任取一件为一级品的概率是多少？（） A 0.72 B 0.24 C 0.03 D 0.01 3. 任一随机事件A的概率P(A)的取值在（） A （0，1） B [0,1] C [-1,0] D (0,∞) 4.已知P（A）＝1，P（B）＝0，则（） A. A为必然事件，B为不可能事件 B. A为必然事件，B不是不可能事件 C. A不必为必然事件，B为不可能事件 D. A不一定是必然事件，B不一定是不可能事件 5. 设A、B两个任意随机事件，则= A P （） (B ) A. P（A）+ P（B） B. P（A）－P（B）+ P（AB） C. P（A）+ P（B）－P（AB） D. P（AB）－P（A）－P（B） 6.若已知φ A ，且已知P（A）＝0，则（） B = A.A与B独立 B. A与B不独立
C.不一定 D.只有当φ=A ，φ=B 时，A 、B 才独立 7.已知X ～B （n ，p ），则D （X ）＝（ ） A.np B.p （1－p ） C.n （1－p ） D.np （1－p ） 8.设),(~2σμN X ，将X 转化为标准正态分布，转化公式Z ＝（ ） A. 2 σ μ -x B. σ μ -x C. σ μ +x D. μ σ -x 9. 设),(~2 σμN X ，P (a ≤x ≤b )=( ) A.()()a b φφ- B.?? ? ??--??? ??-σμφσμφa b C.??? ??-+??? ??-σμφσμφa b D.?? ? ??--??? ??-σμφσμφb a 10. )1,0(~N X ,P (X ≤2）＝（ ） A.0.6826 B.0.9545 C.0.9973 D.0.5 二、 多项选择题（3*8=24分） 1. 设A 、B 是两个独立随机事件，则（ ） A.)()()(B P A P B A P ?= B. )()|(A P B A P = C. )()|(B P A B P = D. )()()(B P A P B A P += E. )()|()(B P B A P B A P ?= 2. 离散型随机变量的概率分布具有性质（ ）
概率论与数理统计习题及答案__第一章
《概率论与数理统计》习题及答案 第 一 章 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况， A =‘甲盒中至少有一球’ ； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不少于3台’ 。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)
<概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率
为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，
第一章 概率论的基本概念习题答案
第三章 多维随机变量及其分布习题答案 3. 220,(1)(1),4,(,),0.5940, x y x y e e c F x y --<<+∞?--==? ? 其它 . 4. 2012.4(2),()0,X x x x f x ≤≤?-=??，其它201 2.4(34),()0,Y y y y y f y ≤≤?-+=? ? 其它. 5. ???=,0,4),(y x f ,),(其它G y x ∈???+=,0,48)(x x f X ,05.0其它<≤-x ?? ?-=, 0,22)(y y f Y 其它10<≤y . 6. (1) (|)(1),0,1,;,m m n m n P Y m X n C p p n m n -===-=≤否则(|)0P Y m X n ===; (2)(,)(1)/!,0,1,;,m m n m n n P Y m X n C p p e n n m n λλ--===-=≤否则(|)0P Y m X n ===. 7. 10. ⑴0y ≥时|0 ,(|)0 0,x X Y x e f x y x -≥?=?
11. ⑴放回抽样 ⑵ 不放回抽样 X 的条件分布律与上相同，再结合联合分布律可以看出: 放回抽样时独立，不放回抽样时不独立。 12. 1c = ; 当10x -<<时，|1/2,||(|)0, Y X x y x f y x -<-?=? ? 其它 ; 当| |1y <时，|1/(1||),1|| (|)0,X Y y x y f x y --<<-?=? ? 其它 . 13. ⑴ (2|2)5/16,(3|0)1/5P X Y P Y X ====== ； ⑶ ⑷ . ;0.375 . 16. ? ? ?<≥-=--00 ,0,)1()(6/3/z z e e z f z z Z . 17. ⑴(2)30 3!,()00,t T t t e f t t ->?=?≤? ；⑵(3)50()00,t T t t e f t t ->?=?≤?.
概率论第一章习题解答
00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质； 3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题； 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量. 解：(1) {2,3, ,12}Ω=； (2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=； (3) {0,1,2, }Ω=； (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解：(1) ()()ABC ABC ； (2) A B C ； (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A B ；(3) ()A B C ；(4) ABC . 解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”；
(3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”； (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？ 解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则 {(0,0),(1,1)}A =，从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率： (1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？ 解：从52张扑克中任取4张，有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413 C 种取法，于是413 452 ()C p A C =； (2) 设B 为“同花”，则B 有413 4C 种取法，于是413 452 4()C p B C =； (3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有4 13种取法，于是4 452 13()p C C =； (4) 设D 为“同色”，则D 有426 2C 种取法，于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？ 解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有12 3种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有硬币”，则A 有12 2种结果，于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？ 解：从两个袋中各任取一球，有11 810C C ?种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法，于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？ 解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？
概率论和数理统计期末考试题库完整
数理统计练习 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B |A)=0.8，则P (A+B)=__ 0.7 __。 2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为 81 80，则此射手的命中率32。 3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)] ([)(X E X D 1/3 。 4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ___1____。 5、一次试验的成 功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时 ，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。 6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(2 22121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(2 11σμN 。 7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (X )=3 4。 8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。 9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。 10、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)?()?(2 1θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。 2、设X ~B (2,p )，Y ~B (3,p )，且P {X ≥ 1}=9 5，则P {Y ≥ 1}=27 19。 3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。 4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5、设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α=0.6 。 6、利用正态分布的结论，有 ? ∞ +∞ ---=+-dx e x x x 2 )2(22 )44(21 π 1 。
概率论与数理统计第一章测试题
第一章 随机事件和概率 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．设随机事件A 与B 互不相容，且()(),P A p P B q ==，则A 与B 中恰有一个发生的概率等于（ ） .A p q + .B p q pq +- .C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+- 6．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 7．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 8．设()0.6,()0.8,()0.8P A P B P B A ===，则下列结论中正确的是（ ） .A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆
概率论与数理统计期末考试试题及答案
《概率论与数理统计》期末考试试题(A) 专业、班级: 姓名: 学号: 十二总成绩 、单项选择题(每题3分共18分) 1. D 2 . A 3 . B 4 . A 5 . (1) (2)设随机变量X其概率分布为X -1 0 1 2 P 则 P{X 1.5}() (A) (B) 1 (C) 0 (D) 设事件A与A同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是( (A) P (A) P(A I A2) (B) P(A) P(A i) P(A2) (C) P(A) P(A1 A2) (D) P(A) P(A i) P(A2) 设随机变量X~N( 3, 1), Y ?N(2, 1),且X 与Y相互独 7,贝y z~(). (A) N(0, 5); (B) N(0, 3); (C) N(0, 46); (D) N(0, 54).
(5)设 X1X2, 未知，贝U( n (A) X i2 i 1 ,X n为正态总体N(, )是一个统计量。 (B) (C) X (D) (6)设样本X i,X2, 为H o： (A)U (C) 2)的一个简单随机样本，其中2, ,X n来自总体X ~ N( 0( 0已知) (n 1)S2 2 二、填空题(每空3分 xe x 1. P(B) 2. f(x) 0 (1) 如果P(A) 0, P(B) H1 ： (B) (D) 共15分) 0, P(A B) 设随机变量X的分布函数为 F(x) 则X的密度函数f(x) 3e P(A) n (X i ) i 1 2), 2未知。统计假设 则所用统计量为( 3 . 1 4. 则P(BA) 0, 1 (1 x)e x, x 0, 0. n (X i 1 P(X 设总体X和丫相互独立，且都服从N(0,1) , X1,X2, 样本，丫1,丫2, Y9是来自总体丫的样本，则统计量 服从分布(要求给出自由度)。t(9 ) 2) )2 X9是来自总体X的 X1 U肩
《概率论》期末考试试题
《概率论》期末考试试题 1. 一本书共有1,000,000个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为0.0001, 校对时每个排版错误被改正的概率为0.9, 求在校对后错误不多于15个的概率. 2. 某赌庄有资产100,000元. 另有一赌徒拥有无穷大的赌资, 试图使该赌庄破产. 他每次压注1000元, 每次赢钱的概率为0.49而输钱的概率为0.51. 问该赌徒能使赌庄破产的概率为多大? 3. 考虑[0,∞]上的Poisson 过程, 参数为λ. T 是与该Poisson 过程独立的随机变量,服从参数为μ的指数分布. 以T N 表示[0,T ]中Poisson 过程的增量, 求T N 的概率分布. 4. 设ξ1ξ2……ξn 是独立同分布随机变量, 且三阶中心矩等于零, 四阶矩存在，求∑==n k k n 11ξξ和21)(1ξξ-∑=n k k n 的相关系数. 5. 设X 是连续型随机变量,密度函数f X (x)= (1/2)exp(-|x|), -∞< x < ∞. a. 证明特征函数φX (t) = 1/(1+t 2). b. 利用上述结果和逆转公式来证明 dt t e dt t e e ixt ixt x ) 1(1)1(122||+=+= ??∞∞-∞ ∞---ππ 6. 设随机变量序列ξn 依概率收敛于非零常数a, 而且ξn ≠0. 证明1/ξn 依概率收敛于1/a. 7. 假设X 与Y 是连续型随机变量.记Var[Y|X=x]为给定X=x 的条件下Y 的方差. 如果E[Y|X=x]=μ与X 无关, 证明EY=μ而且VarY=?∞ ∞-=dx x f x X Y Var X )(]|[. 8. 设{ξn }为独立随机变量序列, 且ξn 服从( -n, n)上的均匀分布, 证明对{ξn }中心极限定理成立. 9. 设X,Y 和Z 的数学期望均为0, 方差均为1. 设X 与Y 的相关系数为ρ1, Y 与Z 的相关系数为ρ2, X 与Z 的相关系数为ρ3. 证明 213ρρρ≥211ρ--22 1ρ-. 10. 用概率方法证明如下Weierstrass 定理:对区间[0,1]上任何连续函数f(x), 必存在多项式序列{b n (x)}, 使在区间[0,1]上一致地有b n (x) → f(x). 附: 常用正态分布函数值: Φ(1.28)= 0.9, Φ(2)= 0.977, Φ(2.33)= 0.99, Φ(2.58)= 0.995 Φ(1.64)= 0.95, Φ(1.96)= 0.975,
概率论与数理统计考试题及答案
一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =U ________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===L 则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为 21011811515515 k X p -- 则2Y X =的分布律是 . 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则 =λ . 8、设129,,,X X X L 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 9、设总体()~10,X b p ,12,,,n X X X L 是来自总体X 的样本,则参数p 的矩估计量为 . 10、设123,,X X X 是来自总体X 的样本,12311 ?23 X X X μ λ=++是()E X μ=的无偏估计,则 λ= . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12 件是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率.
三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 , 03()2,342 0, kx x x f x x ≤
概率论第一章习题详解
第一章 概率论的基本概念 习题一 随机试验、随机事件 一、判断题 下列各题中的A 、B 、C 均表示事件，?表示不可能事件 1、() A B B A -= （ 否 ） 解：()A B B A B -=,只有当 ()B A A B B A ??-=时 2、A BC ABC = （ 否 ） 解：ABC A B C = 3、() AB AB =? （ 是 ） 解：()()() AB AB AA BB A ==?=? 4、若,A C B C A B ==则 （ 否 ） 显然,A C C B C A B ==≠但 5、若,A B A AB ?=则 （ 是 ） 6、若,,AB C A BC =??=?则 （ 是 ） 7、袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则 （1）事件“含有红球”为必然事件； （ 是 ） （2）事件“不含白球”为不可能事件； （ 否 ） （3）事件“含有白球”为随机事件。 （ 是 ） 8、互斥事件必为互逆事件 （ 否 ） 解： 互斥事件：A B =? 互逆事件：A B A B =?=Ω且 二、填空题 1、一次掷两颗骰子， （1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为 (){},,1,2,3,4,5,6m n m n Ω== ； （2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为 {}2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12Ω= .
2、化简事件()()()A B A B A B =AB . 解： ()()()()()()()()()()()()()() ()() () A B A B A B A B A B A A B B A B AA BA AB BB A B BA AB A B BA AB A B BA A B A B B ??=?? ??=????=??=??==()()() () A A B A B BA AB ?? ???? ?? =?= 3、设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 表示下列事件： （1） A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ABC ； （2） A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ABC ； （3） A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 A ； （4） A ，B ，C 都发生或都不发生可表示为 ABC ABC ； （5） A ，B ，C 中至少有一个发生可表示为 A B C ； （6） A ，B ，C 中至多有一个发生可表示为 ABC ABC ABC ABC ； （7） A ，B ，C 中恰有一个发生可表示为 ABC ABC ABC ； （8） A ，B ，C 中至少有两个发生可表示为 AB AC BC ； （9） A ，B ，C 中至多有两个发生可表示为 ABC ； （10） A ，B ，C 中恰有两个发生可表示为 ABC ABC ABC . 三、选择题 1、对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ B ） A 、A 与D 是互不相容的 B 、A 与 C 是相容的 C 、B 与C 是相容的 D 、B 与D 是相互对立的事件 2、下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ A ） A 、ABC A = B 、A B C A = C 、BC A ? D 、A B C ? 解：ABC A A BC =??? A 发生则B 与C 同时发生 四、写出下列随机试验的样本空间 1、记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）； 2、一个口袋中有5个外形相同的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球；
概率论第一章作业题
第一章 随机事件及其概率 1．填空题 （1）若，则 }9,6,4,2{ },8,4,2,1{==B A =∪B A ；=∩B A 。 （2）若是四个事件，则四个事件至少发生一个可表示为 D C B A ,,,； 四个事件恰好发生两个可表示为 。 （3）有三个人，每个都以相同的概率被分配到4间房的每一间中，则某指定房间中 恰有两人的概率是 ； （4）十件产品中有3件次品，从中随机抽取2件，至少抽到一件次品的概率 是 。 2．选择题 （1）某公司电话号码有五位，若第一位数字必须是5，其余各位可以是0到9中的 任意一个，则由完全不同的数字组成的电话号码的个数是（ ） （A ）126 （B ）1260 （C ）3024 （D ）5040 （2）若8.0)( ,9.0)(,,=∪=??C B P A P C A B A ，则=?)(BC A P （ ） （A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.8 （D ）0.7 （3）在书架上任意放置10本不同的书，其中指定的三本书放在一起的概率为（ ） （A ）1/15 （B ）3/15 （C ）4/5 （D ）3/5 （4）若3.0)( ,4.0)( ,5.0)(=?==B A P B P A P ，则为（ ） )(B A P ∪（A ）0.6 （B ）0.7 （C ）0.8 （D ）0.5 3．化简下列各式 （1）； A B A ?∪)(（3）； ))((C B B A ∪∪（2）))((B A B A ∪∪； （4）))()((B A B A B A ∪∪∪ 4．指出下列各式成立的条件并说明条件的意义 （1）； A ABC =（3）A B B A =∪； （2）A B A =∪； （4）A C B A =∪∪；
概率论期末考试试题A卷及答案
07级《概率论》期末考试试题A 卷及答案 一、 填空题（满分15分）： 1.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为 10 1 。 解答：10 1 !5!321=?= p 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P =?==则=)(B A P q r - 。 解答：q r B P B A P B B A P B A P B A P -=-?=-?=-=)()()])[()()( 3.设随机变量ξ的分布列为 ,...2,1,0,3)(===k a k X P k 则a = 3 2 . 解答：32233 111310 =?=-?== ∑ ∞ =a a a a k k 4.设随机变量为ξ与η，已知D ξ=25,D η=36,4.0,=ηξρ, 则D(ξ-η)= 37 . 解答： 37 4.065236252)(),cov() ,cov(2)(,,=???-+=-+=-= -+=-ηξηξρηξηξηξη ξηξρηξηξηξD D D D D D D D D D 5. 设随机变量ξ服从几何分布,...2,1,)(1 ===-k p q k P k ξ。则ξ的特征函数 =)(t f ξ 。 ()() .1)(:1 1 1 1 it it k k it it k k itk it qe pe qe pe p q e e E t f -====∑∑∞ =--∞ =ξ ξ解 二、 单项选择题（满分15分）： 1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件至多一个发生”为( ④ ). ① C B A ??. ② C B A C B A C B A ++ ③ ABC -Ω. ④ C B A C B A C B A C B A +++
概率论与数理统计第一章习题解答
《概率论与数量统计》第一章习题解答 1、写出下列随机试验的样本空间： （1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的产品记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果。 （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。 解： （1）设该班有n人，则该班总成绩的可能值是0，1，2，……，100n。故随机试验的样本空间S=｛i/n|i=0,1,2,……,100n｝。 （2）随机试验的样本空间S=｛10,11,12,……｝。 { （3）以0表示检查到一个次品，1表示检查到一个正品，则随机试验的样本空间S=｛00，0100，0101，0110，0111，100，1010，1011，1100，1101，1110，1111｝。 （4）随机试验的样本空间S=｛（x,y）|x2+y2<1｝。 2、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B 与C都不发生。 （2）A与B都发生，而C不发生。 （3）A，B，C中至少有一个发生。 （4）A，B，C都发生。 （5）A，B，C都不发生。 （6）A，B，C中不多于一个发生。
（7）A，B，C中不多于两个发生。 ￥ （8）A，B，C中至少有两个发生。 解： （1）A B C（2）AB C（3）A∪B∪C （4）ABC （5）A B C（6）A B C∪A B C∪A B C∪A B C （7）S-ABC （8）ABC∪AB C∪A B C∪A BC 3、（1）设A，B，C为三个事件，且P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/8，求A，B，C至少有一个发生的概率。（2）已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/5，P（AB）=1/10，P（AC）=1/15，P（BC）=1/20，P（ABC）=1/30，求A∪B，A B，A∪B∪C，A B C，A B C，A B∪C的概率。 （3）已知P（A）=1/2，（i）若A，B互不相容，求P（A B），（ii）若P （AB）=1/8，求P（A B）。 解： （1）因为P（AB）=0，所以P（ABC）=0。故P（A∪B∪C）=P（A）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3/4-1/8=5/8。 . （2）P（A∪B）=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/3-1/10=11/15, P（A B）=1-P（A∪B）= 4/15, P（A∪B∪C）=P（A）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=1/2+1/3+1/5-1/10-1/15-1/20+1/30=51/6 0， P(A B C)=1- P（A∪B∪C）=3/20, P(A B C)=P（A B）- P(A B C)=7/60， P(A B∪C)=P（A B）+ P(C)- P(A B C)=4/15+1/5-7/60=7/20。 （3）（i）因为A，B互不相容，所以AB=Φ，P（AB）=0。故P（A B）
概率论与数理统计考试题
《概率论与数理统计》考试题 一、填空题（每小题2分，共计60分） 1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)A (p ==，则 a ）、若B A ,互斥，则=)B -A (p ; b ）若B A ,独立,则=)B A (p Y ; c ）、若2.0)(=?B A p ,则=)B A (p 3/7 . 2、袋子中有大小相同的红球7只，黑球3只， (1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 7/15 。 (2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/50 。 (3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/55 . 3、设随机变量X 服从泊松分布}8{}7{),(===X P X p λπ，则{}=X E 8 . 4、设随机变量X 服从B （2，0. 8）的 二项分布,则{}==2X p , Y 服从B （8，0. 8）的二项分布, 且X 与Y 相互独立，则}1{≥+Y X P =1- ，=+)(Y X E 8 。 5 设某学校外语统考学生成绩X 服从正态分布N （75，25），则该学校学生的及格率为 ，成绩超过85分的学生占比}85{≥X P 为 。 其中标准正态分布函数值9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ. 6、设二维随机向量),(Y X 的分布律是有 则=a ，X 的数学期望=)(X E ， Y X 与的相关系数=xy ρ。 7、设161,...,X X 及81,...,Y Y 分别是总体) 16,8(N 的容 量为16，8的两个独立样本，Y X ,分别为样本均值，2 221,S S 分别为样本方差。 则：~X N(8,1) ，~Y X - N(0, ，{} 5.12>-Y X p = ，
概率论第一章复习题含答案
《概率与数理统计》第一章复习题答案 一 选择题 1．某人向靶子射击三次，用i A 表示 “第i 次击中靶子”（1,2,3i =），那么事件321A A A ∪∪表示（ D ） (A) 三次都没击中； (B) 恰好有一次没击中； (C) 至少有一次击中； (D) 至多有两次击中. 2.设A 、B 是事件，且B A ?，则下式正确的是（ D ）. （A ）()()=P AB P B ； （B ）(|)()=P B A P B ； （C ）)()()(B P A P B A P +=∪； （D ）((≤P B P A . 3．事件A ，B 为对立事件，则（ B ）不成立. （A ）()0P AB =； （B ）()P B A =?； （C ）()1P A B =； （D ）()1P A B ∪=. 4．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现2点的概率为（ A ）. （A ）1/3； （B ）2/3； （C ）1/6； （D ）1/2. 二 填空题 1．袋中有6个红球，4个白球，从中任取2个，则恰好取到2个红球的概率是1/3. 2.设甲、乙二人独立地向同一目标各射击1次, 其命中率分别为4.0和5.0, 则目标被击中的概率是 ___0.7 . 3.设,.B P ,.B A P ,.A P 60)(20)(50)(=== 则=)(B/A P __0.8 . 4．设A ，B 为互不相容的随机事件，()0.3,()0.6P A P B ==，则=∪)(B A P 0.9 . 5．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为 0.1 . 三 应用题 1.从1到9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，求取出的3个数之积能被10整除的概率. 解：设1A 表示“取出的三个数中有偶数”， 2A 表示“取出的三个数中有5”， 则所求的概率为 )(1)(2121A A P A A P ?=)(121A A P ∪?= )]()()([12121P P P ?+?= ])9 4()98()95[(1333?+?= )214.0(729 156或= 2.甲，乙两个盒子里各装有10只螺钉，每个盒子的螺钉中各有一只是次品，其余均为正品，